ch6 弯曲应力(3rd).doc

第六章 弯曲应力6-2 如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。题6-2图解：金属丝的曲率半径为所以，金属丝的最大弯曲正应变为最大弯曲正应力为而弯矩则为6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。题6-3图解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为依据可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为6-6 图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数Wz与Wy。题6-6图解：1. Wz计算由图b可以看出，所以，DADB对z轴的惯性矩为中部矩形截面对z轴的的惯性矩为于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为而对z轴的抗弯截面系数则为2. Wy计算DADB对y轴的惯性矩为中部矩形截面对y轴的的惯性矩为于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为而对y轴的抗弯截面系数则为6-7 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。题6-7图解：(1) 为使弯曲强度最高，应使值最大。由此得(2) 为使弯曲刚度最高，应使值最大。由此得6-8 图a所示简支梁，由18工字钢制成，弹性模量E = 200 GPa， a=1m。在均布载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变e = 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。题6-8图解：1. 内力分析梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为梁内的最大弯矩则为(a)2. 应力计算（解法一）横截面C底部的弯曲正应力为由此得 代入式（a），得于是得梁的最大弯曲正应力为3. 应力计算（解法二）横截面C底部的弯曲正应力为由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为计算结果相同。6-9 图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为Wz，弹性模量为E，试计算梁底边AB的轴向变形。题6-9图解：梁的弯矩方程为横截面x处底边微长dx的轴向变形为所以，梁底边AB的轴向变形为6-10 图示截面梁，由18工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kNm，材料的弹性模量E = 200GPa，泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。题6-10图解：1.截面几何性质工字钢截面大致形状及尺寸符号如图6-10所示。图6-10由附录F表4查得从而得2计算顶边的长度改变量顶边处有由此可得边的伸长量为3计算上半腹板的长度改变量距中性轴为的点，弯曲正应力的绝对值为 （以向上为正）该处的横向应变为由此可得线段的伸长量为6-12 图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是如何平衡的。题6-12图解： 1. 单元体的应力分析 梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为 与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力t，其值为在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。2. 单元体的受力分析 根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。显然，3. 单元体的平衡根据上述计算结果，得说明单元体满足平衡条件。6-13 图示矩形截面简支梁，承受矩为Me=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。题6-13图解：1.画剪力、弯矩图左、右支座的支反力大小均为，方向是左向上、右向下。据此可画剪力与弯矩图分别如图6-13a与b所示。图6-132求单元体两端面上的应力及其合力单元体两端面及纵截面上的应力分布如图c所示，最大弯曲正应力和切应力分别为由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力与数值相等。左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为3检查单元体的平衡方程是否满足由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。6-14 梁截面如图所示，剪力FS = 200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。题6-14图(a)解：截面形心至其顶边的距离为惯性矩和截面静矩分别为于是得腹板上的最大弯曲切应力为腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边的距离为惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为 于是得腹板上的最大弯曲切应力为腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为6-17 图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0h3l/2。已知许用拉应力st=35MPa，许用压应力sc=140MPa, l=1m，试确定载荷F的许用值。题6-17图解：1.截面几何性质计算由图6-17可得图6-172确定危险面的弯矩值分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当作用在段时，当作用在段时， 3确定载荷的许用值由危险面的压应力强度要求得由截面的拉应力强度要求得由作用面的拉应力强度要求得该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。比较上述计算结果，得载荷的许用值为6-18 图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。已知截面宽度为b，许用应力为。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度h1和h2。题6-18图解：1.求最大弯矩左段梁最大弯矩的绝对值为右段梁最大弯矩的绝对值为2求截面高度和由根部截面弯曲正应力强度要求得(a)由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求得(b)3确定梁的总体积为由得最后，将式(c)代入式(b)，得为使该梁重量最轻（也就是最小），最后取6-19 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F = 4kN，梁跨度l= 400mm，截面宽度b = 50mm，高度h = 80mm，木板的许用应力=7MPa，胶缝的许用切应力=5MPa，试校核强度。题6-19图解：1.画剪力、弯矩图该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为图6-192校核木板的弯曲正应力强度3校核胶缝的切应力强度结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。6-21 图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W = 50kN，最大起重量F = 10kN，许用应用=160MPa，许用切应力= 80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。题6-21图解：1.求最大弯矩设左、右轮对梁的压力分别为，不难求得由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力图6-21该梁的剪力、弯矩图分别如图b和c所示。图中，由得极值位置依次为两个弯矩极值依次为 比较可知，单梁的最大弯矩值为2初选工字钢型号先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得由附录表4初选28a工字钢，有关数据为3检查和修改考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。由于自重，梁中点截面的弯矩增量为上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应力强度时可将二者加在一起计算（计算的比真实的略大一点，偏于安全），即最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。结论：检查的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为28a。6-22 图a所示组合木梁，由6个等间距排列的螺栓连接而成，梁端承受载荷F作用，试求螺栓剪切面上的剪力。题6-22图解：螺栓的间距为用横截面1-1与2-2，从上半木梁中切取块体如图b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为 （a）式中，将上述表达式代入式(a)，于是得6-23图示简支梁，由两根50b工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d = 23mm，许用切应力t=90MPa，梁的许用应力s=160MPa。试确定梁的许用载荷q及铆钉的相应间距e。提示：按最大剪力确定间距。题6-23图解：1.计算组合截面的和由附录F表4查得50b工字钢的有关数据为由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为2许用载荷的确定由此得许用载荷为3铆钉间距的确定由铆钉的切应力强度要求来计算。最大剪力为按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流），其值为间距长度内的剪力为，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即由此得梁长方向铆钉的间距为6-24 横截面如图a所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。设载荷F=10kN，并作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距e=70mm，试求螺钉剪切面上的剪力。题6-24图解：用间距为e的横截面1-1与2-2，从上部木板中切取块体如图b所示。可以看出，螺钉剪切面上的剪力为 （a）式中：Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩；代表上部木板横截面对中性轴的静矩。由图c可以看出，还可以看出，将相关数据与表达式代入式(a)，于是得6-25 图示截面铸铁梁，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即sc = 4st 。试从强度方面考虑，确定宽度b的最佳值。题6-25图解：从强度方面考虑，形心的最佳位置应使即(a)由图中可以看出，(b)比较式(a)与(b)，得于是得6-26 当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。题6-26图解：当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为根据题意，即由此得6-27 图示简支梁，跨度中点承受集中载荷F作用。已知许用应力为s，许用切应力为t，若横截面的宽度b保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。题6-27图解：1.求截面高度弯矩方程为由等强度观点可知，由此得(a)梁的右半段与左边对称。2求端截面高度由式(a)可知，在处，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满足，故需作局部修正。由得梁左端的截面高度为(b)这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。3确定h(x)的变化规律设可取截面高度为h(0)的最大长度为x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取由此得最终确定截面高度h(x)的变化规律为：在区间内 在区间内 梁的右半段与左边对称。6-29 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力s=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) 截面为矩形，h = 2b；(2) 截面为圆形。题6-29图解：(1) 矩形截面危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点（拉应力）和左下角点（压应力）。最大弯曲正应力为根据弯曲正应力强度条件，要求由此得于是得(2) 圆形截面危险截面的总弯矩为由弯曲正应力强度条件，要求于是得6-30 图示悬臂梁，承受载荷F作用。由实验测得A与B点处的纵向正应变分别为eA = 2.110-4与eB = 3.210-4，材料的弹性模量E = 200 GPa，试求载荷F及其方位角b之值。题6-30图 解：横截面上A与B点处的弯曲正应力分别为(a)(