（运筹学与控制论专业论文）银行之间无限重复博弈共谋的研究.pdf

摘要 、 f n 博弈论又称为对策论，作为数学的一个分支，正在经济学中发挥着越来越重 要的作用。而在不合作的大前提下如何促使参与者选择双赢的策略，一直以来部 是很多博弈论专家和学者所关心的问题。大家所采用的方法主要有下面两种： 1 、在无限重复博弈中采用触发策略，即采用开始“合作”，且如果“合作” j i l , g j n 继续“合作”，否则对不“合作”者进行惩罚的这样种策略。如果参与 者将长期( 无限期或时间长度不确定) 打交道，则这时的博弈问题可以被看作是 一个无限重复博弈，此时可以采用触发策略使参与者“合作”。 2 、引用不完全信息，即假定参与者并不能完全了解对手的各种信息。此时， 参与者之间也可以达成一种“合作”。 本文使用第一种方法来研究一个金融领域中的问题。我们把多家银行同时确 定自己的存款利率的问题看作一个标准式博弈问题。用无限重复博弈方法，我们 考虑了当这些银行将长期打交道时的竞争合作一共谋问题。在考虑这一问题时， 本文分别考虑了银行的实力相同时的情况和当银行的实力不相同时的情况。本文 将告诉我们：如果这些银行之间达成共谋，对每家银行都会有好处，并且在一定 、 的条件下，这种共谋可以达成。) 5 本文的结构安排如下：第一部分是引言：第二部分是我们的模型和本文中所 需要的基本概念：第三部分分析了当所有银行的实力都一样时他们之间的“合作” 问题，在这一部分中，我们将会看到银行不“合作”时的存款利率要高于“合作” 时的存款利率，而如果所有银行都选择“合作”时的低利率，对大家都有好处。 并且我们说明了当贴现因子足够大时，可以采用触发策略使得在博弈的每个回合 大家都选择“合作”时的低存款利率；第四部分我们将分析当银行之间的实力不 同的情况下，它们之间是如何达成“合作”的。此时，触发策略不能直接应用到 我们在第二部分所构造的框架中，为此我们把博弈的结构进行了一定的扩展：第 五部分我们为前面的讨论给出了一个具体的例子；第六部分我们分析了本文在当 前形势下的现实意义并提出了一些还需考虑的问题。 关键词：x a s n 均衡、无限重复博弈、子博弈完美w a s n 均衡、窝獯 a b s t r a c t a sab r a n c ho fm a t h e m a ti e s ，g a m et h e o r yisb e c o m i n gm o r e a n dm o r ei m p o r t a n ti ne c o n o m y i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s sa f i n a n ci a lp r o b l e mb yag a m et h e o r ym e t h o d i nt h ist h e s is ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mh o ws e v e r a lb a n k s d e e i d et h e i ri n t e r e s tr a t e sa tt h es a m et i m es u c ht h a te a c h0 f t h e mc a nm a x i m i z ei t sr e t u r n w er e g a r di ta san o r m a lf o r mg a m e a n du s et h em e t h o do fi n f i n i t er e p e a t e dg a m et od i s c u s st h e c o m p e t i t i o na n dc o o p e r a t i o n c o n s p i r a c ya m o n gt h eh a n k sw h e n t h e yw il le f f e c te a c ho t h e ra t al o n gp e r i o do fti m e w e r e s p e c t i v e l yd i s c u s st h es i t u a t i o nw h e na l lb a n k sh a v es a m ea n d d i f f e r e n ta c t u a ls t r e n g t h t h i s t h e s i sw i l lt e l lu st h a ta 1 1b a n k sc a nb e n e f i tf r o m c o n s p i r a c ya n d t h eb a n k sc a nr e a c hac o n s p i r a c yu n d e rs o m e c o n d i t i o n s k e y w o r d s ： n a s h e q u i l i b r i u m ，i n f i n i t er e p e a t e dg a m e s u b g a m ep e r f e c te q u ili b r i u m ，c o n s p i r a c y 1 引言 博弈论，英文名为g a m et h e o r y ，是研究决策主体的行为发生相互作用时的决策问 题，所以又称为对策论博弈论有悠久的历史，1 9 4 4 年由y o nn e u m a n n 和m o r g e n s t e r n 合作的t h et h e o r yd ，g a m e sa n de c o n o m i cb e h a v i o u r 1 一书被公认为该领域中的一 个里程碑作为数学的一个分支，博弈论已经应用到包括经济、政治、军事、外交 等等各个领域现在，博弈论已经成为研究经济学的种重要的有力工具三位博 弈论专家n a s h 、s e l t e n 、h a r s a n y i 更是在1 9 9 4 年获得了诺贝尔经济学奖 在不合作的大前提下如何促使参与者选择双赢的策略，一直以来都是很多博弈 论专家和学者所关心的问题大家所采用的方法主要有下面两种：1 、在无限重复 博弈中采用触发策略，即采用开始“合作”，且如果“合作”顺利则继续“合作”，否 则对不“合作”者进行惩罚的这样一种策略如果参与者将长期( 无限期或时间长 度不确定) 打交道，则这时的博弈问题可以被看作是一个无限重复博弈，此时可以 采用触发策略使参与者“合作”这种方法的主要结果包括f r i e d m a n 在1 9 7 1 年 2 】 a b r e u 在1 9 8 6 年 3 jf u d e n b e r g 和m a s k i n 在1 9 8 6 年 4 1 的结果2 、引用不完全信 息，即假定参与者并不能完全了解对手的各种信息此时，参与者之间也可以达成 一种“合作”这种方法的结果包括a x e l r o d 在1 9 8 1 年 5 】，k r e p s ，m i l g r o m ，r o b e r t s 和w i l s o n 在1 9 8 2 年f 6 1 的结果上面的这些成果主要应用到企业的竞争问题中，典 型的例子就是古诺模型博弈论的一些成果在金融领域的应用却极为少见把研究 参与者的“合作”问题的方法应用到金融领域正是本文的工作之一，同时在考虑参 与者的实力不相同的时候，我们在一定程度上又发展了上面两种方法，从而使得参 与者在实力不相同时可以达成一个令大家满意的“合作” 本论文考虑了多家银行同时决定自己存款利率并长期打交道时的对策问题，这 样的一个问题可以看成是一个无限次重复的标准式博弈，我们的研究表明：如果这 些银行之间不存在“合作”，竞争会使得它们的存、贷款利差比“合作”时小，从而 “合作”对所有银行都有好处我们说明了在一定的条件下，银行之间可以达成一 个理想的“合作”特别是当考虑银行的实力不相同的时候，我们在一定程度上发展 了以前考虑这类问题的方法，从而能够使得银行之间能够达成一个更加合理的“合 作” 本文余下的部分是这样安排的：第二部分是我们的模型和本文中所需要的基本 概念；第三部分分析了当所有银行的实力都一样时他们之间的“合作”问题，在这 一部分中，我们将会看到银行不“合作”时的存款利率要高于“合作”时的存款利 率，而如果所有银行都选择“合作”时的低利率，对大家都有好处并且我们说明 了当贴现因子足够大时，可以采用触发策略使得在博弈的每个回合大家都选择“合 作”时的低存款利率；第四部分我们将分析当银行之间的实力不同的情况下，它们 之间是如何达成“合作”的此时，触发策略不能直接应用到我们在第二部分所构 造的框架中，为此我们把博弈的结构进行了一定的扩展；第五部分我们为前面的讨 论给出了一个具体的例子；第六部分我们分析了本文在当前形势下的现实意义并提 出了一些还需考虑的问题 2 模型及基本概念 让我们首先引入一个基本定义 定义2 1 一个标准式博弈包括以下三个部分 ( 1 j 一个有限集合n ( 参与者集合) ( 2 ) 对每一个i n ，对应一个非空集合a 。( 参与者i 的行动集) ( 3 ) 对每一个i n ，对应一个函数u ： 钆- r ( 参与者z 的收益函数) 七n 通常，我们将上述标准式博弈记作： g = ；a i ，u ，i ) 现在，我们考虑由n 家银行参与的一个博弈每家银行视为一个参与者，记 参与者集合为n = l ，2 ，- ，n ) 参与者i 在博弈中的行动是选择自己的存款利率 t i a 。= 【0 ，q 。 ，其中嘶 0 为给定常数，它表示第z 家银行将获得存款作投资后所 得到的回报率设银行i 收集到的存款数额为d ；，它与所有银行的存款利率有关， 所以我们可以认为它是一个映照 此处，对任何集合b ， 积我们假设d l 具有足够的光滑性且满足 2 0 ，o 。)( 2 2 ) b 。为b 1 ，一，巩的笛卡儿 + r k a0 。 d 2 日 日 = 日 。m n b 警( n ， 挚他 祭( n ， ，r n ) 0 ， v ( r l ，r 2 ，r 。) n ：l ( o ，q ) ，) 0 ，v n ( 0 ，o 。) ( 22 0 ) 5 所以，如果存在i n ，r ：= o t i 或者r ：= 0 ，则( 21 9 ) 一( 2 2 0 ) 与( r i ，j ，r i ) 是博 弈( 26 ) 的n a s h 均衡矛盾故对任何i n ，r i a 。，r ；0 下面我们证明( 21 7 ) 式 因为( r r 1 曩，r ：+ ) 满足( 2 1 6 ) ，所以，显然有 “。( r ：，r 知，r ：) 2 姚( 味r f 22 1 1 下面我们反证上式中的等式不会成立假设上式中的等式成立，则( r ：，r j ，r ：) 满 足( 21 6 ) ，即 ( a 。一r d d 。( r ：，r ； i i l a x f ( a 。一r i ) 现( 亿r 2 n r “，h ) = n 并且因为( r ；，r j ，) ( o ，a k ) ，所以由一阶必要条件可得 k = 1 又因为 + ( a , - r ；) 鬻，屹 + ( 哟一r j r ；) o 眠d j m r ； j 1 r 三) 一，r ：) = 0( 22 3 ) r ：a r g m a x ( a i r i ) d i ( r ：，- ，r o l ，r 知l ，- ，r ：) ，( 2 2 4 ) 再由相应的一阶必要条件可得， 一d i ( r ：，哼， ，吒) + ( 瓴一) 鲁导( r ：，r ；，嚅) = o ( 2 2 5 ) 并且我们上面已经说明r ； ，所以，( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) 导致 雾，喀，a = 0 1 川， ( 2 2 6 ) 这与2 0 丑r j o ( j ) 矛盾这样我们就证明了( 2 1 8 ) 式，并且从上面的证明可以看 出，对博弈( 2 6 ) 的任意一个n a s h 均衡( 2 1 8 ) 式都成立，所以，( r ：+ ，r j + ，r ：4 ) 不 是( 2 6 ) 的n a s h 均衡，于是，本命题得证 从命题2 4 的结果我们可以看出，银行在“合作”的情况下所得到的总收益要 好于不“合作”时的总收益，从而研究银行间的“合作”是有意义的 我们假定在本文所研究的n 家银行之间是竞争而非合作的关系，它们本质上是 不合作的它们只有在双赢的情况下才会选择“合作”的策略，并且它们的这种“合 6 作”不受任何协议的制约，即只有在所有银行都认识到不“合作”将导致对自己不 利结果的情况下，才没有银行愿意偏离这个“合作”我们把银行间的这种“合作” 称为共谋本文要研究银行之间在什么条件下会达成这种共谋 从命题24 中我们知道( r ；，r 曩 ，r 捌不是n a s h 均衡，所以，如果博弈( 26 ) 只进行一次，则博弈的结果只能是该博弈的某一个n a s h 均衡( r j ，r j ，一，r i ) 但如 果博弈g 永远地重复进行下去，下面的分析将告知我们，选择博弈的某个n a s h 均 衡未必导致最好的收益 如果n 家银行之间的博弈问题g 无限次地重复进行，则称之为无限重复博弈 为了描述它，我们需要先给出完美信息扩展式博弈的定义 定义2 5 一个完美信息扩展式博弈包括： ( 1 ) 一个非空集合n ( 参与人的集合) ( 2 ) 一个序列集合h ( 有限或无限的) 满足下列三条性质： ( a ) 空序列日 ( b ) 若( z k ) k ：1 ，2 ，k h ( 这里k 可能是无限的) 且l k ，则( f 2 ) k ：1 玉，l h ( c ) 如果一个无限序列( f ) r ：i ，2 ，满足对每个正整数三有( f ) 女：l l h ，那么 ( 2 ) k ：12 h 在日中的每个元素称为一段历史一段历史中的每一个元素都是由参与人的 行动组成一段历史( f ) k ：魄2 ，k 称为是具有终结的历史，如果它是无限的，或者 不存在f k + 1 使得( f ) ：l 加，k , k + 1 h 具有终结的历史的集合记作e ( 3 ) 一个集值函数p ：h e _ 2 ，p ( h ) 是紧随历史h 后采取行动的参与人全 体、也就是说，我们对于每一段不具有终结的历史定义一个在此时行动的参与者集 合 ( 4 ) 对每一个参与人i n ，对应一个函数“。：e _ r ( 参与人i 的收益函数) 一般地，我们把上面所描述的完美信息扩展式博弈记为 r = n ，h ，p ， 地) ) ( 22 7 ) 从上面的定义不难看出，完美信息扩展式博弈( 2 2 7 ) 中的一段历史反映了博弈 7 的一段进程，例如：对h 中的一段历史 h = ( f 1 ，i 2 ，f ) 5 ( ( z 小，t k 。j ，( z “，z 。) ，( z f ，z ，z 。k 。) ) ， ( 2 2 8 ) 其中，z ，z k 一，i f ，j 磊。n 它说明了从时刻1 到时刻k 参与者之间的 一个博弈过程：在时刻k ( k = 1 ，2 ，k ) ，博弈的参与者为i f ，t 5 ， ，z 。，他们选择 的行动分别是f 。 ，f 。 ，f z 袅。并且在一个完美信息扩展式博弈中，每个行动时刻的 行动者和此刻行动者的行动集都由前面时刻的博弈进程( 历史h ) 决定比如在历史 h 之后，博弈的行动者集合为p ( h ) ； 1 ，2 ，m cn ，则对行动者z p ( ) ，集合 a 。( ) 兰( o ：13 a 三( n 1 ，一，o z l ，吼，啦+ l ，o m ) ，st ( ，o ) h ( 2 2 9 ) 是此时行动者i 的行动集一般情况下，a 。( ) a 。，但我们下面将要定义的重复博 弈却满足a ( ) = a 定义2 6 对标准式博弈( 2 1 ) ，令a = 1 - i a i 则( 21 ) 的一个无限重复博弈 o n 是一完美信息的扩展式博弈 r = ( ，h ，只 u ； 。 ( 23 0 ) 其中， 。 ( 1 ) h = ( 曲 u ( u ) ua 。，这里a 。表示a a a k = 1 0 0 ( 2 ) 对任何的h c j i u ( u ) ，p ( ) = n k = l ( 3 ) 对任何的i n ，存在u ：a 。_ r 满足：v a ，n a ，t 1 ，有 “：( n 1 ，o 。一1 ，n ，o 。+ 1 ，) u ：( 0 1 ，n 一1 ，0 7 ，。+ 1 ，) 哥u t ( ) u ；( n 7 ) ( 23 t ) 其中，n a ，k = 1 ，2 ，一l ，t + l ， 可以看出，无限重复博弈有k = 。个行动时刻，并且在每一时刻，不管这一 时刻之前的博弈进程如何，这一时刻的行动者集合都是，且对此刻的每一个行动 者。n ，i 的行动集都是a 另外注意到u ：和“，的关系，无限重复博弈( 2 3 0 ) 其 实就是由标准式博弈( 2 1 ) 无限次的重复进行所致我们把g 的第女次重复称为f 的第个回合 8 例如，在博弈( 26 ) 无限次重复进行所致的无限重复博弈中， “r j ，r ，r ：) ， ，( r f ，r 笋，r 参) ) a k ( 可以是无限)f 23 2 ) 就是一段历史，它表示第i 家银行在第，回合选择的存款利率是r ? 下面，我们定义u ：如下： f 23 3 1 其中，d ( o ，1 ) 是一个接近1 的常数，称为贴现因子显然对此定义( 23 1 ) 成立 在给出扩展式博弈的均衡概念之前，我们需要先给出下面的定义 定义2 7 参与者i 在无限重复博弈( 22 9 ) 中的一个策略为一个函数 s t ： h e 1 i p ( ) ) _ a 。( ) ( 2 3 4 ) 由于在重复博弈中，对所有h 叭e ，p ( ) = ，a ( ) = a 。，所以，在无限重复博弈 中可以认为参与者i 的策略为 并且我们记参与者i 的所有策略组成的集合为& f 2 3 5 ) 定义2 8 对无限重复博弈( 2 2 9 ) 中的每个策略组合s = ( s 。) ，我们定义s 的结果0 ( s ) 为当每个参与人i n 取策略吼时由s 所导致的具有终结的历史换 言之，0 ( s ) 是一段( 可能无限的) 历史( f 1 ，f 2 ，! 耳) e ，使得对0 曼k k ，我们 有( s 。( ? 1 ，f 2 ，? ) ) 讵= f 下面我们给出扩展式博弈中均衡的概念 定义2 9 完全信息扩展博弈( 2 2 9 ) 的n a s h 均衡是策略组合s + = ( s ：) 。_ 使得对每个参与人i n 以及任意的屯s ，我们有 “：( p ( s ：，+ ，8 i - - i ，s ；，8 i + i ，s ：) ) u ；( d ( s i ，一，s 0 1 ，s ：，s 知1 ，s ：) )( 23 6 ) 在考虑扩展式博弈的稳定性时，仅有n a s h 均衡的概念是不够的为此，我们 还需要下面的两个定义 9 k n r +k 2 r + l r u k 占 i | 2 n r 2 2 r r l n rrru a1 、 d u u 、f ，【 s 定义2 1 0 对于无限重复博弈( 23 0 ) ，设h h e ，则继承历史h 的子博弈 是无限重复博弈 其中 r ( h ) = ( n ，h 【 ，尸f ， “i f 。 v 日i = ( h p m h ) = p ( h ，h 。) ( h ，h ) h ) ， ：， v 日1 h f 23 7 1 f 23 8 1 f 23 9 1 “：【h 满足 u ；1 ( ) 三u ：1 ( h ”) = = = u ：( h ，h7 ) ：( h ，h “) ，v h ，h ”h l ( 24 0 ) 定义 在我们的模型中，对h a 2 以及任意的h = ( ( r ：“，r ：“，r ! + 1 ) ，) h 【 “洲 ) = 矿( r ( 2 4 1 ) 给定( 21 ) 的无限重复博弈中参与者i 的策略s ：和一段历史h h ，用s ；i 表示 在子博弈r ( h ) 中由s 。所导致的策略，即： v h t l h f 2 4 2 1 我们用& l 表示银行i 在r ( h ) 中的所有策略组成的集合，并且用0 表示p ( h ) 的 结果 定义2 1 1 重复博弈( 2 3 0 ) 的一个子博弈完美n a s h 均衡是一个策略组合 s = ( s ：，s ；，s a ) ，使得对任何h 币 u ( u a ) 有 k = l * ；l h ( o h ( s l l h 4 - l i h ，3 ：i ，8 i + l i ，s ：1 h ) ) 4 - l i h ，s ，f ，s 4 l l ，s ：f ) ) ，v s d h s k( 2 4 3 ) 从定义2 1 0 和定义2 1 1 中可以看出，如果一个策略组合是子博弈完美n a s h 均 衡，那么它不仅是整个博弈过程的一个n a s h 均衡，而且要求如果将某一回合之前 的进程固定，则在这个回合之后的博弈里，此策略组合仍是一个n a s h 均衡 1 0 3 相同实力情况下银行间的共谋 我们先引入下述定义： 定义3 1 称银行i 和j ( 不妨设i 0 ，皿o r 3 ( o r + ) d 1 ( r + ，r + ，一，r + ) ( 3 2 2 ) 综合( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) ，我们得到 这与r + 满足 ( d r ) d i ( r ，r ，r + ，- ，r + ) ( o r + ) d l ( r + ，r + ，r + ) ，( 32 3 ) 蒜】( 。一7 ) d l ( n + ，7 + ，7 + ) = ( 。一”) d l ( ”+ ，”+ ，7 + ，+ ) ( 32 4 ) 矛盾于是，本命题得证 命题3 4 的结果表明：当银行之间不“合作”时，各银行为了在储户面前提高自 己的竞争力，会争相提高存款利率，从而最终各银行都给出了一个比较高的利率， 导致各银行的收益都不理想 显然，如果n 家银行的选择是( r ”，r ”，r ”) ，每个银行的收益都可以较n a s h 均衡下的收益有所提高那么n 家银行会不会通过在博弈前事先商定好选择r ”从 1 4 而使得每家银行的收益都有所提高呢? 答案是否定的，当博弈只进行一个回合时， ( r “，r “，r ”) 的结果是不可能出现的试想一下如果n 家银行在选择利率之前可 以进行一次没有成本的协商，并且大家都赞成选择r ”，由于( r ”，r ”，r ”) 并不是 博弈的n a s h 均衡( 注意命题3 3 ) ，所以存在某个i ( 不妨设i = 1 ) 以及r d 0 ，。】 有 “l ( r d ，r ，r + ，、r + + ) “l ( r 。+ ，r + + 、r + + ，r + 4 ) ，( 3 2 5 ) 并且因为我们所讨论的这n 家银行在本质上是不合作的，并且他们上面的协商并不 能达成一个有法律约束力的协议( 可能是为了防范不正当竞争) ，于是银行l 在选 择自己的存款利率时并不会遵循协商的结果，而是选择r d ，从而它可以得到更好的 收益当然其它理性的银行也会知道这种结果，因此当博弈只进行一个回合时，n 家银行协商的结果只能是博弈的某个n a s h 均衡，而不可能是( r “，r “，r ”) 但 如果博弈将一直重复进行下去时，我们却可以得到下面的结果 命题3 5 存在5 + ( 0 ，1 ) ，使得，当d ( n 1 ) 时，可以找到一个子博弈完美 的n a s h 均衡( s ：，s ；，s ：) ，使得 o ( s t ，s ；，s ：) = ( ( r + ，r + + ，r ) ，( r + + ，r + ，- ，r ) ，) ( 3 2 6 ) 即：此时可以找到一个子博弈完美的n a s h 均衡( s ：，s ；，s ：) ，如果第i 家银行按照 策略s ：选择自己的行动，则n 家银行在每一回合的选择都是( r ”，r ”，r ”) 证明：我们下面构造( s i ，s ；，s ：) 对所有i n ，定义 。m ) ：r ，h ) u ( 邕“r “，r “，+ ，r ”严似 1 ) ) ( 3 2 7 ) lr + ，否则， 其中，( r + ，r ，r ) 是博弈( 2 6 ) 的某一个n a s h 均衡 也就是说，银行i 在第一个回合选择利率r ”，且如果以前的回合大家的选择都 是( r ”，r ”，r ”) ，则银行i 在当前回合的选择仍是r ”，否则选择r + 我们首先证明按照( 3 2 7 ) 构造的( s ：，s ；，s ：) 是满足( 3 2 6 ) 式的假设 o m ，s ；，s ：) = ( ( r ，r 3 ， ，r j ) ，( r ，r ；，- ，r ：) ，) ， ( 32 8 ) 我们下面用数学归纳法来证明对任何i n 以及任意自然数k ，有r = r ” 当k = 1 时，按照定义，r = s ：( ) = r + ，结论成立 】5 假设k m 时结论都成立，那么当k = m 十1 时 f 32 9 1 结论仍然成立 因此我们只要证明按照( 3 2 7 ) 定义的( s i ，s ；，s ；) 是一个子博弈完美的n a s h 均衡首先证明( s i ，s i ，s ：) 是一个n a s h 均衡，也就是要证明对所有i n ，当其 他n 一1 家银行的选择是( s ；，s ；_ l s 0 ，s ：) 时，银行i 的最优策略是s ； 当其它银行的选择是( s ! ，s ；。s 一，s ：) 时，如果银行i 的选择是s ；，则 银行i 可以得到的收益为 u ：( 0 ( s ；，s i ，一，s ：) ) = “：( ( r + ，r + + ，r + + ) ，( r ，r + + ，- ，r + + ) ，- ) 。o = 矿。u ：( r ”，r ”， ，r ”) k = t ( r “，r ”，r ”) 1 6 f 3 3 0 ) 如果银行z 不采用s ：，而采用s i 中另外的一个策略s ；，注意到此时其他n 一1 家 银行的选择是( s j ，s i _ 。，s 知，s ；) ，即：其他n 一1 家银行在第一回合都会选择 r ”，并且如果前面的结果都是( r ”，r “，r ”) ，则本回合其他n l 家银行的选择 仍会是r ”，否则，他们将一直选择r + 于是，此时存在k 0 使得 其中， 均衡) 0 ( s i ，一，s ：一t ，s i ，s 1 ， = ( r ”，r ”，r + + ) ( r + + 墨2 ( r + r f r ”且# 叼 o ，口 j j = l ，2 ，- 1 6 s 二) ，r 一，r f “，r 一，一，r ”)( 3 3 1 ) ，r + ，r f “，r 。，r + ) ， 所以有( 注意到( r + ，r + ，r 4 ) 为n a s h 我们令 k1 矿( r ” k = o + d 斛7 ( r + 西= 等等筹 f 33 3 1 其中， u 绎，蕊 地( r ”，r “，r ”，r ”) ( 33 4 ) 注意到( 3 8 ) ，对任意i n ，我们有配( 0 ，1 ) ，并且由啦的对称性不难得到 6 ：= 啦一= 鲒；n 当6 6 + 时，对任意i n 有 由此可得 “l ( r ”，r ”，r ”) 1 6 f 3 3 5 1 u ? + 禹州r 4 ，r 4 ，一， ( 3 瑚) 从而，当6 d + 时，我们可以得到( 注意( 3 3 0 ) ，( 3 3 2 ) 以及( 3 3 6 ) ) r + ) + 6 u ? + 而6 k + i u 。( r + ，r + ，r + ) ( 自3 3 2 ) r 1 “? 等 = 两1 u ：( r “，r ”，r ”) = ：( o ( s i ，s ；_ 1 1s ；，s 苒l ，s ：) ) ，v s t s 1 7 f 3 3 7 ) 弛 ，一 ， ， 一 ， ，r n 付? 一 _ r ， 一，旷麟 k d “皿 0 + ” u占 脚 一 rru d d + 时，我们可以得到一个令我们满意的结果但当 dsd 4 时，这样的“惩罚”就不足以阻止参与者的偏离在这种情况下，1 9 8 6 年f 3 1 a b r e u 给出了一个“惩罚”力度更强的策略，从而拓宽了参与者“合作”的区间 按照a b r e u 的方法，如果某家银行在某个回合偏离了“合作”，其它银行将选择一 个使得偏离者收益最差的利率来对其进行“惩罚”( “惩罚”力度要大于选择n a s h 均衡下的利率时对偏离者造成的伤害) ，从而存在某个d “( 0 ，1 ) ， 6 ”时，银行仍可以达成共谋 从命题3 5 中可以看出，在银行的实力相同的情况下，当贴现因子足够大时，银 行之间可以达成共谋，从而它们在每一回合都可以得到比博弈只进行一次时的n a s h 均衡收益更好的收益 4 实力不同情况下银行间的共谋 现在，我们考虑银行的实力不同时银行之间的共谋问题此时，存款利率的变 动对各银行所收集到的存款数乃至各银行的最终的收益会产生不同的影响，也就是 说，此时对博弈( 2 6 ) 的一个n a s h 均衡( r ：，r ；，r ：) ，命题3 2 的结果一般情况下 不再成立这样，虽然由命题2 4 的结果我们知道( 2 1 8 ) 式成立，但未必有 啦( r ；+ ，r 矗，r ：+ ) u i ( r ；，r ；，r ：) ，v i n ( 4 1 ) 并且，即便( 4 1 ) 式成立，大家“合作”时的收益也未必是大家实力的体现银行应 该把它们“合作”所得到的好处 进行合理的分配假设根据它们的实力，第i 家银行应该从“合作”中得到 其中 ( 42 ) ( 4 3 ) 呓 u 。 峨 。 一 。胁 三 q u ：iu k ( r ：，r j ，r ：) ，( 4 5 ) n 0 a 。 “；) 2 1 f 4 1 1 1 rr k “ 。 一r ” 。 中的银行，我们试想在它们选择利率r ：+ 的同时，它们应该交出自己将要“多拿的 部分”于是，我们将此时的情形描述为标准式博弈 0 = ( ；( a ；) 。；( 皿) 。 ，( 41 2 ) 其中，a 。= o ，“z 】 o ，1 ) ，且对任意( ( cl ) ，( c 2 ) ，一，( r 。c 札) ) n 五 2 n 啦( ( 7 l ，c 1 ) ，( 7 2 ，。2 ) ，一，( r 。，) ) = nc j k + 凡( u k ( 亿r 2 ， j = i k = 1 + ( 1 一n 勺蚓r h ，r 。) j 2 l ( 4 i 3 ) 在这里，银行i 选择( n ，1 ) 的意思是：银行i 选择存款利率并且同意把大家所 得到的收益重新合理地分配而银行i 选择( r i ，0 ) 的意思是：银行i 选择存款利率 但不同意把大家所得到的收益重新合理地分配并且我们假定只有所有的银行 都同意将得到的收益重新分配时，收益才能被重新分配从( 4 1 3 ) 中讥的定义可 以看出，如果有一家银行不同意把大家所得到的收益重新合理地分配，即存在某个 q = 0 ，则d ：等同于博弈( 2 6 ) 中的” 如果博弈( 4 1 2 ) 中n 家银行的选择是( ( r n1 ) ，( r 羚1 ) ，( r 孔1 ) ) ，则可以看出 第i 家银行可以得到的收益正是( 4 7 ) 中所描述的收益，这正是我们希望的 可惜 的是( ( r n1 ) ，( r 矗1 ) ，( r 矗1 ) ) 并不是博弈( 4 1 2 ) 的一个n a s h 均衡因为我们有 下面的命题 命题4 1 如果( r ：，呓，嘴) 是博弈( 2 6 ) 的一个n a s h 均衡，则 ( ( r ：，c ：) ，( r ；，c ；) ，- ，( r ：，醢) ) ( 4 1 4 ) 也是博弈( 4 1 2 ) 的一个n a s h 均衡，其中c ： 0 ，1 ) ，k n ，且c ：，c ；，c ：中至少有两 个取o ；如果( f 1 ，吃，f 。) 不是博弈( 2 6 ) 的n a s h 均衡，则对任何的西 0 ，l ，i n ， 也不是博弈( 41 2 ) 的n a s h 均衡特别地，( ( r n1 ) ，( 呓+ ，1 ) ，( 矗+ ，1 ) ) 不是( 4 1 2 ) 的n a s h 均衡 证明：我们先证明前一部分，如果( r ：，r