（计算数学专业论文）二维kuramototsuzuki方程混合初边值问题的数值方法.pdf

摘要 k u r a m o t o t s u z u k i 方程描述了在歧点附近两个分支系统的行为状况，它是一个非线 性偏微分方程本文研究下面二维k u r a m a t o - t s u z u k i 方程混合初边值问题的数值方法； 饥= ( 1 + i c l ) a u + 札一( 1 + i c 2 ) 1 u 1 2 u ，( 2 7 ，t ) q ( 0 ，t 】 嘉_ o ( 州) a q ( o ，t 】 ( z ，0 ) = u o ( z ) ，z q ， 其中o = ( z 。，x 2 ) ，q = ( o ，1 ) ( 0 ，1 ) ，元表示边界a q 上的单位外法向向量，代表 l a p l a c e 算子a ：= 矗+ 鑫，e l ，c 2 为实数，u ( 茁，t ) ，u o ( x ) 为复函数 文章内容分为两个部分第一部分对二维k u r a m o t o t s u z u k i 方程的混合初边值问题 构造了一个全离散g a l e r k i n 逼近格式，利用b r o u w e r 不动点定理、s o b o l v e 内插不等式及 能量估计证明了逼近格式解的存在唯一陛和收敛性，并给出了收敛阶数为o ( 一+ r ) ( r 2 ) 第二部分建立了一个线性化c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式，利用离散函数的内插不等 式及离散函数的能量估计方法证明了该格式解的存在唯一性，最后给出了差分格式的收 敛阶为o ( h 2 + 7 _ ) 的证明 关键词： k u r a m o t o - t s u z u k i 方程，全离散g a l e r k i n 逼近，差分格式，收敛性 a b s t r a c t k u r a m o t o t s u z u k ie q u a t i o nd e s c r i b e st h ea c t i o no ft w oe m b r a n c h m e n t sa r o u n dt h e b i f u r c a t i o np o i n t i ti san o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h i sp a p e rw es t u d y n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt w o d i m e n s i o n a lm i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： u t = ( 1 + i c l ) a u + “一( 1 + i e 2 ) l u l 2 u ，( z ，t ) q ( 0 ，刀 嘉扎( 州) 。q ( 0 ，丁】， u ( x ，0 ) = u 0 ( z ) ，x 壶， w h e r ez = ( x l ，x 2 ) ，n = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，亓d e n o t e st h eo u t w a r du n i tn o r m a lv e c t o ra l o n g a n ，d e n o t e sl a p l a c eo p e r a t o ra ：= 蕞+ 蒹，c l tc 2a r er e mc o n s t a n t s ，u ( x ，t ) ，u o ( z ) a r ec o m p l e xf u n t i o n s t h e p a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w ep r o p o s eaf u l l yd i s c r e t eg a l e r k i na p p r o x i m a t i o nf o rm i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u s i n gb r o u w e r s f i x e dp o i n tt h e o r e m ，s o b o l v e si n e q u a l i t i e sa n de n e r g ye s t i m a t e s ，e x i s t a n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na r ep r o v e d c o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o ni sa l s oo b t a i n e da n dc o n v e r g e n c eo r d e ri so ( h ” + 7 - ) p 2 ) i nt h es e c o n d p a r to ft h i sp a p e r ，al i n e a r i z e dc r a n k - n i c o l s o nd i f f e r e n c es c h e m ei sc o n s t r u c t e da n ds t u d - i e d e x i s t a n c e ，u n i q u e n e s sa n de r r o re s t i m a t ea r ep r e s e n t e db yd i s c r e t ee n e r g ya n a l y s i s m e t h o d s t h ec o n v e r g e n c eo r d e ro fd i f f e r e n c es c h e m ei so ( h 2 + r ) k e y w o r d s ：k u r a m o t o - t s u z u k ie q u a t i o n ，f u l l yd i s c r e t eg a l e r k i na p p r o x i m a t i o n ，d i f f e r e n c es c h e m e ，c o n v e r g e n c e 1 1 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 = 、关于学位论文使用授权的说明 签名t 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 第一章绪论 1 1 背景及已有工作介绍 k u r a m o t o - t s u z u k i 方程描述了在歧点附近两个分支系统的行为状况 1 】 一维k u r a m o t o - t s u z u k i 方程混合初边值问题为， 地= ( 1 + 钯1 ) 塑o x 2 + u - - ( 1 + 锄) l u l 2 t ， 。，t ) q ( 。，邪 抛8 u - 0 ) = o ，赛( 1 瑚= o o 0 ) 时在l 2 下以 o ( r 2 + h 2 ) 收敛t s e r t s v a d z e 在【5 】5 中构造了c r a n k - n i c o l s o n 差分格式，给出了在l 2 范 数下以d ( 丁2 + 九i ) 收敛并且当7 - = o ( h 什2 ) 0 0 ) 时在l ”下以0 ( 一+ ) 收敛随后， 孙教授在【6 】中对一维k u r a m o t o - t s u z u k i 方程的混合初边值问题的t s e r t s v a d z e 格式给 出了关于空间步长h 和时间步长7 无条件稳定的证明并且在俨下以o ( 丁2 + h 2 ) 收敛 文献f 7 】中，k h a l e do m r a n i 在空间方向采用有限元逼近，时间方向用c r a n k - n i c o l s o n 格式构造了个全离散的有限元逼近格式并证明了收敛阶数是d ( 舻- 4 - t 2 ) ( r 2 ) 以上所有文章都是考虑维k u r a m o t o - t s u z u k i 方程的混合初边值问题，二维情况下 对k u r a m o t o - t s u z u k i 方程数值解的研究很少出现，困难在于二维情况下非线性项m 2 很难处理类似于k u r a m o t o - t s u z u k i 方程的二维问题在( 8 】中研究了a w 型反映扩散 系统，作者构造了全离散的有限元逼近格式并证明了数值解的收敛性 1 壅童查兰堑圭堂堡垒塞篁= !丝 2 1 2 本文的主要研究内容 本文的主要研究内容分为两部分，第一部分研究二维k u r a m o t o - t s u z u k i 方程混合 初边值问题的全离散有限元逼近，第二部分讨论了该问题的有限差分方法，具体安排如 下t 第二章的第一节对二维k u r a m o t o - t s u z u k i 方程混合初边值问题在空间方向运用有 限元逼近，时间方向用线性化c r a n k - n i c o l s o n 格式构造了一个全离散的有限元逼近格 式第二节首先给出了逼近格式解存在性的详细分析，然后利用能量估计及s o b o l e v 内插 不等式给出了一些先验估计并在第三四节中证明了数值解的唯性和误差收敛阶第三 章对二维k u r a m o t o - t s u z u k i 方程的混合初边值问题建立了一个线性化c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式，利用离散的能量估计及离散函数的内插不等式论证了数值解的存在唯一性 和收敛性第四章作出结论，提出今后工作的方向 第二章全离散g a l e r k i n 方法 2 1 格式的建立 本文考虑下面二维k u r a m a t o - t s u z u k i 方程混合初边值问题 饥= ( 1 + i c l ) a u + t 一( 1 + l c 2 ) l 训2 t ，0 ，t ) q ( o ，t i ， 雾= o ，( 州) 鼢( o ，刀， t ( z ，0 ) = u o ( 霉) ， z q ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中z = ( 钆z 2 ) ，q = ( o ，1 ) ( o ，1 ) ，代表l a p l a c e 算子：= 为+ 最，c l ，c 2 为实 数，u ( z ，t ) ，u o ( x ) 为复函数 令1 ，n 2 为正整数，记n 。= z 1 ) 昝，r i 。= 黝) 盘分别为z 1 ，：r 2 方向区间 【o ，1 】的剖分，即 0 = z l o x l l z 1 l = 1 ， 0 = x 2 0 0 2 1 0 ，使得对任意z 甄i i z l l 骨= 有r b 扫( 力，z h 0 成立，那 么存在矿h 使得当i i z 0 口时夕( 矿) = 0 定理2 1 方程偿4 ，- 俾矽存在解 c p ) 挺o 证明用数学归纳法证明解的存在性显然矿存在，假设 ) 2 矗存在对任意 z 魏，定义映射9 ：晶_ 既， o o ) ，x ) 一p 一矿“一，x ) + 争( 1 + c 1 ) ( v z ，v x ) 一( 毛x ) + ( 1 - 1 - 锄) ( i 扩_ 1 1 2 z ，x ) 】，v x 鼠 由r i e s z 表现定理可知g 存在，显然g 连续，在上式中取x = z 得 ( 9 ( z ) ，z ) = 0 一扩一1 ，；，1 - 互t ( 1 + t c l ) ( v 而v z ) 一0 ，名) + ( 1 + 记2 ) “扩一1 1 2 名，z ) 】 两边同时取实部得 - r k g ( z ) ，z ) = i i z l l 2 一r e ( u ”一1 ，z ) + 去【l z l i i i z l l 2 + i i v 一1 2 0 2 】 = ( 1 一钏z i l 2 一r e ( u ”1 ，名) + 知z 曙+ l i v n - 1 z 旧 ( 1 一去) 0 。0 2 一i i 【，“一1 i z 0 = l i z l l ( 1 一去) | _ j i 扩1 忆 因此，当7 0 由引理2 1 ，存在矿鼠，使得夕) = 0 记u ”= 2 z + 一u n 。，得到 ( 半，x ) + 孔+ 锄) ( v 扩一言，v x ) 一( 扩一，x ) 十( 1 + l c 2 ) ( i 【严一1 1 2 - 严一 ，x ) 】= 0 ， 即 ( a t t m ，x ) = 一( 1 + i c l ) ( v 矿一，v x ) + ( 扩一 ，x ) 一( 1 + t c 2 ) ( ，x ) 垄童奎堂堡圭兰堡垒塞篁三塞垒查墼塑皇些丝 6 引理2 2设 u “) 丝。是偿名j 一偿砂的解，则当下充分小时有 0 扩0 c l l 沪l l ，0 n n ， - x - 中g ：e 盯 ： 证明在( 2 4 ) 中取x = 泸一得 慨扩，c ，t i 一) = 一( 1 + i c l ) ( v 沪一，v 扩一；) + ( 沪一，扩一) - ( 1 + 锄) ( ，1 ，扩一) = 一( 1 年i c l ) i 扩一j l i + l i u n 一 | 1 2 一( 1 + 锄) ( i u n 一1 1 2 扩一墨，c ，“一) ， 两边取实部得 去( o 扩1 1 2 8 扩一1 i l 矿一种；( 1 l t 严1 1 2 + f f 扩一1 1 1 2 ) 因此当下 时有 i i 扩1 1 2 再l + r i i 矿一1 雌( 1 + 3 r ) l i 扩一i i ， 由g r o n w m l 不等式得 i i 扩i i e 盯i i 扩眦0 n n 引理2 3p s i ( n i r e n b e r g 不等式j 当 羔。1，；=熹+口(；一署)+(1一n；1fit, ， p 仃rn 口 时有下面不等式成立 l i d 幻0 p ( n ) c 【d m ”a p ( n ) ”| i 朋1 - ( a n ) + i l 钉l l 口( n ) 】， 其中q 是舻中的有界区域 引理2 4对任意z 0 , y 0 ，p 1 有 ( z + f ) 9s2 p 一1 ( 矿+ 旷) 塞查奎堂堡圭兰堡丝塞 篁三塞曼堕坠型塑垄童二一。 引理2 5设 u n ) 丝。是偿偿剀的解，初值u o h h 1 ( q ) n l ”( q ) ，则当下充分小 时有 i v - i l c o ，n = 0 ，l ，2 ， 其中c o = c o ( u o h ，t ) 证明用数学归纳法证明引理2 5 当行= 0 时，俨= u o h 满足，假设第n - 1 层结 论成立，即l u n i 。诺，其中诺是依赖于雠，t 的常量 在( 2 4 ) 中取x = 亟1 + 殴 c l 得到 上1 + i c l 怜u ”1 1 2 = 一( v 扩一 ，v ( a 扩) ) + 百( 扩一，a 沪) 一而1 + i c 2 ( ，a 扩) ， 两边同时取实部得到 雨1i 慨u “1 1 2 = 一丢( 1 u ”瞎一i 扩以i i ) + r e 百( 驴一5 ，侥扩) 】 一觑【 鬻( ，a 】 一万1 、l u1 2 t 一扩- 1 恬h 百 疆i i 矿吗i i i 慨扩 + ( 警) 5 i i 1 1 1 川秽i i 一铲1 2 。一矿。1 1 2 ) + 而慨u 舢i i + 扣沪1 1 2 + 志慨洲2 + 半2 ， 所以 由于 由引理2 3 得 爵1 l 。1 2 。一l 矿- l i i ) 扣矿一i i l 2 + 生笋l i ，1 酽 i l f l i l 2 = i 矿一1 1 2 扩一种= ( 1 扩一i ，l 沪一1 2 ) 妒州ii i i i i u 一1 1 2 i i 孤沪i1 1 2 + 1 1 1 矿一l m i i 产扣扩一1 怯+ o 扩锄铒 o 沪一弘g 【| 扩一蟠1 i t , - 一壬l l + o 沪一铀， 塞塞查堂堡圭堂堡堡塞萋三塞垒查墼鱼皇些垡 8 l i 扩i i 胪c 【i 矿一i i i 扩一t 睁+ i l 沪一 由引理2 4 ij u 一1 。j i p 4 2 3 c 4 1 1 u ”；j j j 沪一钏2 + c p z i 4 】， 由引理2 2 和归纳假设可知i i c p 1 i i p 是有界的因此 ；( i 扩瑶一i 扩一1 i i ) 岛l 扩一钷+ 反譬( i 扩曙+ i 扩一1 l ；) + a 当r 充分小时，由g r o n w a l l 不等式可得 i c p i ；g ( 刃i 沪曙+ ( t ) ， 其中u o = u o h 取c o ( u o h ，t ) = m 8 x 诺，g ( 刃l u o 瞪+ ( t ) ) ，可得 i 扩1 1 c o ( h ，t ) 2 3 解的唯一性 定理2 2 方程f 2 4 j 一似砂存在唯一解 u “) 磐o 证明假设v ”s h 且v o = u o k ，满足 ，f ( 夙妒，x ) = 一( 1 + t c l ) ( v i p 一吾，v x ) + ( i 珊一j ，x ) - ( 1 + i c 2 ) ( i v 一m i 妒一 ，x ) ，坛瓯( 2 6 ) 令= u i v t ，因此e o = 0 ，由( 2 4 ) ，( 2 6 ) 可得 ( a e ”，x ) = 一( 1 - i - i c l ) ( v j 严一 ，v x ) + ( e n i ，x ) 一( 1 + t c 2 ) ( 1 严1 1 2 【严一一l y ”1 1 2 y ”一 ，x ) c 2 7 ) 下面用数学归纳法证明解的唯性显然e o = o ，假设点7 ，i - 1 = 0 ，即扩_ 1 = v - 所以 i u n - 1 1 2 矿一一i 矿一m i 杪一j = l u 一1 1 2 ( 泸一一p 一) = i 驴m i 矿一 奎查查堂堑主堂堡垒塞叁三塞全查墼丝丝塑童鎏 9 在( 2 7 ) 中取x = 驴一i 得到 杀( o 酽i j 2 一l i e n 一1 1 1 2 ) = 一( 1 + 记，) l 驴一i i i + l i e n i1 1 2 一( 1 + i 饧) ( i 扩一1 1 2 酽一，矿一) 两边同时取实邵，由引理2 3 及h n d e r 不等式司得 去( o 酽0 2 一。驴。1 1 1 2 ) = 一i 驴一t l i + o 酽一种 一觑【( 1 + 锄) ( i 扩- 1 1 2 扩一j ，酽一 ) 】 一i 伊一钳+ 0 驴一i l l 2 + ( 1 + 鼋) 钏扩一1 睡i i 扩一钏知 一i 驴一犏+ 0 驴一邪+ c 【i 酽一i 。i i 驴一钏+ 0 酽一砉| 1 2 】 一i 驴一钳+ o 伊一1 1 2 + i 酽一韬+ 譬。酽一；1 1 z + o l l 伊一i l l 2 ；( 1 + g + ) ( o 酽0 2 + i i 驴- 1 1 1 2 ) ， 因此当7 - 充分小时可得 ， ( 嵩筹暴) 讧 因此由归纳假设得点7 ，i = 0 ，即解唯一 首先引入椭圆投影【1 1 】 对t ，h 1 ( q ) ，p h v 是满足 2 4 解的收敛性 p h ：日1 ( q ) _ 瓯， ( v ( p h v 一 ) ，v x ) = 0 ，魄晶，( x ，1 ) = 0 ， ( r 一u ，1 ) = 0 的唯一解 引理2 6 p h 由偿纠偿砂定义，则对任意t ，日( q ) ， 1 8 r 有 i i v ( p h v t ，) 0 c 1 1 t ，1 1 。 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 东南大学硕士学位论文第二章全离散g a “d n 方法 1 0 证明因为p t ，x 魏，所以p t ，一x 魏由( 2 8 ) 可得 ( v ( p 口一t ，) ，v ( p h v x ) ) = 0 ， 即 ( v ( p h v t ，) ，v ，k ) = ( v ( f k t ，一t j ) ，v x ) ， 因此 i i v ( p h v t ，) 1 1 2 = ( v ( p h v t ，) ，v ( r t ，一t ，) ) = ( v ( p h v 一 ) ，v ( x t ，) ) i i v ( p h v t ，) 0 i i v c x v ) 1 1 由瓯空间性质可得 i i v ( p 可一t ，) 恪。溅。瑚i i v c x t ，) 恪c h ”1 i i i i 引理2 7 对任意钉h 。( q ) ，1 s r ，有下面不等式成立t i i p 钉一训l g h 。i l v l l 。 证明首先对l 2 范数进行对偶讨论 对任意妒l 2 ( n ) 且( 妒，1 ) = 0 是下面方程的解， 一妒= 仍z q ，( 妒，1 ) = 0 ，( 2 1 0 ) 鬈：o ，钒 ( 2 1 1 ) 咖 。 由于 i i 妒i i z c l l , , v 妒, l i = c l l 妒l l ， ( p h v u ，妒) = 一( p h v u ，妒) = ( v ( p h v t ，) ，v 妒) ， 由( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 和瓯空间性质可得 ( p h v t ，妒) = ( v ( r ”一 ) ，v 妒) = ( v ( p h v t ，) ，v ( 妒一x ) ) l i v c p h v 一0 1 1 1 i v 似一x ) i i c ( h 。一1 1 1 z 1 1 。) ( h 1 1 妒1 1 2 ) 塞童奎堂堡圭堂堡篁塞篓塞全查墼呈丝丝 1 l 再由( 2 1 2 ) 得 ( r 口一t ，妒) g h h ，i l v l l 在上式中取妒= r 一t ，可得 0 r t ，一t ，0 c h l l v l l 。 2 5 误差估计 下面估计全离散格式( 2 4 ) 一( 2 5 ) 解的误差 令 扩= 扩一p 矿，矿= p 矿一矿， 则 驴一矿= ( u “一p 矿) + ( p 矿一矿) = 酽- i - , 矿 定理2 3 设 l p ) ：o 为偿4 j 一俾剀的解，( 甄t ) 为偿砂- 偿砂的解，若u ( x ，t ) 日3 ( ( o ，t ) ，日1 ( q ) ) n l ”( ( o ，t ) q ) ，则当丁充分小时有 i i u - u ( t n ) 1 1 。c 1 1 6 - 。一u 。o 。+ 危知一( o “。孵+ 厂? o 毗( 。) l l ；d s ) - t - g ( ) ( r 。) 】， 其中r 2 ，7 , = 1 ，2 ， 证明矿的估计可以从引理2 , 7 中直接得到 i i 矿0 = 0 冗矿一u l i g h 。1 1 t 1 1 。， 因此下面只需要估计俨 因为 ( a 俨，x ) = ( 夙u “，x ) 一( a p 矿，x ) ，x s k ， 利用( 2 1 ) ，( 2 6 ) ，c 2 1 0 ) 可得到下面关于扩的方程 ( a 俨，妯= 一( 1 + c 1 ) ( v 俨一j ，v x ) + ( 扩一，x ) 一( 1 + t c 2 ) ( 一，2 ，x ) ， 一( o , p n u 一一，x ) 4 , - ( p ( u n l - 1 广u n 一- 1 ) 一矿一，m 一( 1 + i e 4 ) ( d ( 半) 一矿一，d x ) 壅查查堂堡主堂堡篁塞叁三塞全查墼里丝丝丝 1 2 取x = 俨一可得 ( a 扩，扩一j ) = 一( 1 + 记1 ) i 扩一l i i + 1 1 0 一1 1 2 一( 1 + 记2 ) ( 一，2 ，俨一) 二限晶矿一贯，俨一) + ( 晶( 竺之竺二三) 一矿一，俨一5 ) 一( 1 + t c l ) ( d ( u n + i u n - 1 ) 一矿一 ，d 扩一) ( 2 1 2 ) 由h 6 1 d e r 不等式得 ( 一厶，俨一j ) = ( i 沪一1 1 2 扩一一l u 一 1 2 u n 一，俨一 ) = ( 1 c ，n 一1 1 2 ( 1 【，“一l u n 一 i ) ，俨一 ) + ( ( 恒严一1 | + i 矿一 1 ) ( i u n 一1 i i t ，一z 1l ，u n 一，伊。一) l i c 严一1 i i 各0 c ，l 一一u n 一钏弘0 酽一 0 小 + 矿n 一，i + l u “一 1 1 1 。s 【严一1 i i “”一1 1 1 工。0 t ，一i i l 工s i i 俨一 l i p i i y 一，1 1 2 。0 u ”一一矿一钿小扩一i l l , + ( f i 扩i i l e + ”一钏。s ) 0 扩一, u n - - ；1 1 二。i l u 一1 1 l s l i e “一钏工4 由引理2 3 i l u “一1 i i p c 【i u ”一1 i 0 【严一10 + i i u ”一1 l l 】， j u n i i p o i v 一1 i i l u “一1 i i i + i i 【严i i ， l | “n 一钏l 。o 1 u 一糖i l u 一 t l l i + i i 矿一铀 假设仳0 ，t ) 在qx ( 0 ，卅上有界，由引理2 2 ，2 5 可得 ( ，1 一，2 ，俨一i )c l l l v - 一矿一i i l , i i 扩一 il l , + c 2 1 1 沪一矿一1 洲矿一钏p + 口( “) ( 7 ) 0 俨一吾弘 扣扩一一矿一i i i 蕾+ 譬渺一i i i 知+ 扣扩一矿一1 1 1 2 + 譬杪一l j i 各 + g ( ) ( 于2 ) + ；i i 俨一i l 2 将上式代入( 2 1 3 ) 两边同时取实部得 1 ( 1 1 0 - 1 1 2 一i i 俨一1 1 1 2 ) 一l 矿一 谨+ o 俨一枷2 + 扣沪一l 一矿一绷刍 塞童查堂堑圭堂堡垒塞篁塑坠塑塑垒坠丝丝窒型坠一1 3 + 旦踅与坠翌| | 俨一j i | 乞+ ；o 沪一一u n 一i i z + 掣i l 俨一o 各 + 兰三善j i 俨一 l i 至。+ c ( “) ( 7 - 2 ) + ；i i a p t ，一u ? 一oj 2 + 细p ( ! 喜竺) 一扩耶+ 炉邪 + ；( 1 + c ；) | l d ( 掣一u - ) 1 1 2 + ；l 矿一 瞪 ( 2 1 3 ) 令 ： 。， u 。：1 1 矿一i 一矿一吾p ，忱：0 扩一矿i i ，u 3 ；i l a , p h u 一罅一 i i 蛾：i l r ( 竺 等二) 一矿一钏，坼= i i 。( 竺 笋二一钍”纠i 由于 “，1 ；0 扩一；一u n 一钏p i l u 一 一p ( 竺二芋翌) o + i i r ( 竺二竺) 一u ”一i i p ：l i e - 钏刊死( 半# ) - “ - i i l ， ( 2 1 4 ) 斫2 1 1 e t 一铀乞+ 2 l | r ( 竿) 一伊一钿k 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 和引理2 3 可得 里掣。口一= i 2 + w ( i d ) i i 口一钿b + l - l e 一；“色+ 2 l l e 一；i i 毛 2 c 。【旦毡与生翌+ 掣+ 生譬+ 2 1 【i 矿一言1 1 | l 俨一瓠+ u 俨一 1 1 2 1 ；l 俨一仨+ 霎【4 十( 1 + 雹) + c ( 1 + 鼋) + c 2 ( 1 + 鼋) 1 2 l l o i i - i i l 2；l 俨一悟+ 鼍一【4 十( 1 + 雹) + c ( 1 + 鼋) + c 2 ( 1 + 磋) 1 2 2 + 参【3 + ( 1 + 舌) + 研( 1 + 鼋) + c 2 ( 1 十磋) 】矿一, i l l 2 则( 2 i 4 ) 等价于 丢( | l 矿【1 2 一。扩一i i 。) g 【i l 俨一l i l 2 + o p ( 竺之等) 一矿一；限 + 堙+ 落+ 田+ 以+ c ( “) ( 一) 】 ( 2 1 5 ) 坠里奎! 坠坠苎萋! 堡墨 蔓三塞 全查墼鱼丝丝童童 1 4 其中 最( ! 坚) 一t ，一 忆；( 1 l p l l 弘+ l i p 以o p + i l 兰二专等= 一，一钏弘) = ；( 1 l p l l 时护_ 怯) + 扣c 一铀) 恤如 一 一厂k8 - k ) ，( s ) 幽j l 弘。 j 一l 由于，t ：。； j i 口( 8 - - t n - - 1 h ( s ) 酬弘= z ( e ( 8 - - i n _ 1 h 哟4 叫。 上( e ( 8 - - t n - - 1 ) 2 印2 ( 口蜘) d s ) 2 冲 = ( j 4 ( 8m k - - 1 ) 2 d s ) 5 - ( 上( j 5 镌( 班s ) 2 哟。 c r 钏厂。5 皖( 。) 幽喊 因此 懈( 坐笋) 卅_ | i 弘_ _ c ( 1 l d t l l 弘+ l i p - 1 | 丁钏厂。5 啾。) 娜j j “一l 7 下面分别估计0 i ，0 = 2 ，3 ，4 ，5 ) ： 叻= i i v 一矿一1 0 i i u ”一p 矿一1 0 + i i 尸 矿一矿一1 1 l ：i i o 一1 1 i + i l - r u ， 蛐= i l a , p n u 一n - ! 。0 i l o , e h u 一a 矿0 + i i a 缸n t 住一0 = 季o ( 最“一“) 一e h u n - 1 _ _ u n - - 1 ) “+ u n - - ，u n - - 1 一一h = 抄一矿一1 j j + 剖i 厶一n 。- 。( 8 - - g n - i ) 2 慨( s ) 幽 + 0 一k ) 2 蛳0 ) d s ” 。k j 一知仁，脚川j + 劫口( 8 - - t n - - 1 ) 2 蛳m + ( 8 一k ) 2 t 埘( s ) d s 0 由于 圹仁。i i 小) 1 1 2 埘+ 劫e ( s - t - 1 ) 2 嘶) 如 ，“ + ( s k ) 2 u m ( s ) d s l l ， 。 j k 一工 ：5 ( s k _ 1 ) 2 - 蛳( s 川i = 上( ：5 ( s k - 1 ) 2 ( s ) 幽) 2 叫5 z ( 口( 8 - w 如e 啪叫5 。 = ( e ( s - t - 1 ) 4 d s ) 。( z ( 口吼) 如) 如) l 所( 仁2 如) 。， w 3 t - 钆j 厂t k - 1 川2 d s ) 砌；( j 0 训2 ( s ) 讲、k l 7 类似于忱的讨论- - y 得 她= i i 。( 竿卅- 1 ) 恪鲥( 。i i 砜1 1 2 如) 5 ， 把咄0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 的估计代入( 2 1 6 ) 可得 去( o 俨酽一l | 扩一1 1 1 2 ) _ c j l e ”i l l 2 + l l e 一1 1 1 2 + l l p 1 1 2 + i i 矿一1 1 1 2 + 0 p n l l p 2 + i i 矿_ 1 0 色- i - 孝 lip,(8)112ds-t-rnc ( t ) ( 7 1 2 ) 】 1， 令 兄i ：i i 矿i i 。+ l l p 一t i i 。+ i i p 1 1 2 + o 矿一- o 知+ ! 厂kl i p , ( 。) 1 1 。d s + c ( u ) ( 7 。) ， j t ，i 一1 得到 i l e 1 1 2 0 扩一1 1 1 2 c r 1 l e ”酽+ i i 口”一1 1 1 2 + 足i 】， 即 。 ( 1 一c r ) l l o 1 1 2 ( 1 - i - c ) 0 俨一1 1 1 2 + c r p h 当丁充分小时 i i x 1 1 2 篙妒i i + 品r ， 因此 l i e 骼2 ( 而1 + c r ) 2 砌骞( 嵩) n - j 而蚓0 02 坳喜马， 即 i i 护“旷c 1 l e o l l 2 + r ( 1 1 1 1 2 + i l o 参) + o 几( 5 ) 0 2 d s + g m ) ( 下3 ) 1 五j 0 因为 i i 0 0 0 2 i i p o l l 2 + i l 沪一t 幻i f 2 ， j 矿一1 2 矿一j = i 矿一m i 矿一i + d ( 7 ) ， 由引理2 7 可得 l l 矿0 2 c h l l u “i i ，c h l i m ( 8 ) d 8 一0 0 ， c h d o l l ，+ 慨( s ) d s 】 由引理2 3 ，2 6 ，2 7 得到 1 1 矿1 1 弘c 1 矿l i i p l l + i i p 1 1 c 【旷一钏“”i i ，+ 矿0 矿 r n c h ” 1 l u o l l ，+ i | r 酬， 因此可以得到 i l e ”1 1 2 c 1 l t ，o t o i l 2 + h 2 - - 1 ( 1 l u o l l ；+ l i 毗( 8 ) 孵d s ) - i - c ( u ) ( 下2 ) 】， 命题得证 定理2 4如果定理幺，的条件满足并且初值满足 i i 矿一t 0 l l g 矿一 ， 那么当h ，r 充分小时有 h c p u ( p ) 0 g ( 矿一+ 下) ， 其中c = g ，t ) ，r 2 ，n = 1 ，2 ， 第三章线性化差分格式 3 1 格式的建立 取空间步长h = 击，时间步长下= 吾，其中m ，n 为正整数记$ 1 = i h ，= 歹k = 竹7 ，( ，歹= o ，1 ，m ，n = 0 ，1 ，) ， q = t ( z 1 ，x ) l o t ，歹m ， = t 1 0 n ) 设u = “3 i o l ，j m , 0 n ) 为q 嘶上的网格函数，引进 如下记号 岛f 毕。町i = 塑2 窆 咖轧j = 华，略 = 竿n n 疋n - - 。1 ：譬望， i 矗( 屹一哂) ， i = o ； 堙。t 嚼= 古( t 辑1 j 一2 t 舀+ 咄1 j ) ，1 m 一1 ； 【嘉( 嘞一l j 一“) ， i = m 1 吾( 蠕一墙) ， 醒：“弓= 矗( u 易+ ，一2 t 嚼+ 一- ) ， 【矗( 札n i , m - 1 一嘞) ， j = o ； 1 j m 一1 ； j = m 鸸= 磋。u n 。+ 程。坞 设 = i o t ，j m ) ，u = u d l o ，j m ) 为q 上的网格函数定义内积和 范数 m 一 等姜( + i 呦i ) + 炉薹m + 等喜( 附i ) 一p 扎 c 叫驴百h 2 薹扣+ v m t o m t ) + 酽墓+ 等砉一+ 蛳砚m ) ， m ”= p 善萎( 芈) 2 + 舻喜姜( 竿) 2 j ， l l t ， 。，。；扣，t ，) ：i l v l l 。，n u 腑- 2 ，。= ( ：+ i 付l i ，。) 1 7 奎查查堂堑圭堂垒垒塞鳖塞丝丝丝堑塞 1 8 x 中- z 程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 建立如下线性化c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式t 6 t u 嚣j 一= ( 1 + 记1 ) 趣一；+ 嵋一一( 1 + i c 2 ) 1 一m i ， 0 t ，歹m ，1 竹，( 3 1 ) 四= t o ( x l i ，z 2 j ) ， ( 3 2 ) 其中叼是u ( x l i ，z 巧，t n ) 的近似 3 2 解的存在性 将( 3 1 ) 改写为 嘴一5 = 一1 + ； ( 1 - i - i c l ) “呓一。+ 嵋一一( 1 + t c 2 ) f 一1 1 2 嵋一5 】，o t ，j m 做映射g ：c m + 1 _ g f + l ( g p ) ) 巧= 一叼一1 一去【( 1 - - i c l ) a h v i j + 一( 1 + t c 2 ) i 一1 1 2 】 当口g 卅1 时，分别将( a h v ，v ) h ，i v i i ， 按定义式展开可以得到 一( a h v ，t ，) h = k 因此 ( g 扣) ， ) = 扣，t ，) h 一( 扩一， h 一；【( 1 + t c l ) ( ， ) + ( v , f f ) h - ( 1 + l 免) ( i 泸- 1 1 2 t ，v ) h 】 = 训1 2 一( c p 一1 ，t ，) + 【( 1 + 记1 ) i 训；， 一l t 叫| 2 + ( 1 + t c 2 ) i i 【p 一1 训j 劲， 对上式两边同时取实部得 r e ( o ( 。) ，勘) = ( 1 一三) o t ，o ：一r e w - - x , v ) n + ；【i 口i i ，一+ i i v - l v o 铂 ( 1 - 珈训2 一l l 扩i i i i t ，i i h = i i t ，i i 一 ( 1 - 2 ) 1 1 钉i i 一一i i w 一1 i i , j 塞童查兰堡圭耋堡垒塞苎三塞丝堡叁坌丝塞 1 9 因此当r 2 时，取l = 击0 u “- 1 i i + 1 则觑( g ( 钉) ，t ，) 0 由引理1 ，存在z + 使得c ( z + ) = 0 取= 2 z * 一以即可得 况配j ：( 1 + 记，) 呓一+ n - t 。一( 1 + t c 2 ) i 一i z 霄j 3 3 截断误差 定理3 1 假设原方程的解u ( 。，t ) 伊( q ( o ，卅) ，惕为差分格式何j ，阻剀的局部 截断误差，则存在常量q 使得 。螂m a x 。吲c p + 炉) o n 证明定义网格函数吩一础 “，厶) ，0 l ，j 尬0 犯 在( z l t ，x 2 i ，t 。) 考虑微分方程 u 。t ( x l i ，锄，t 。一 ) = ( 1 + i c l ) a u ( x l i ，z 巧，气一j ) bu (