（运筹学与控制论专业论文）约束最优化问题中的光滑精确罚函数.pdf

摘要 在工程、国防、经济、金融等领域中许多需要解答的问题可以建模为欧几里德 空间中的约束最优化问题求解约束最优化问题的主要方法之一是将它转化为无 约束或带有简单约束的最优化问题，比较常用的两种方法是罚函数方法和拉格朗 日函数方法罚函数方法通过求解有限个或一系列的罚问题来得到约束最优化问 题的解通过精确罚函数可以将原约束最优化问题转化为一个无约束或带有简单 约束的最优化问题，这样就避免了当罚参数太大时容易出现的病态情况，即罚函数 的h e s s i a n 矩阵不适定但是由于传统的精确罚函数不是可微的，这使得一些以梯 度为基础的快速无约束算法难以得到应用，同时可能会在一些快速算法中引起阻 止快速收敛的现象一m a r a t o s 效应因此，构造既精确又光滑的罚函数是很有意义 的本文首先对几类约束最优化问题分别给出新的光滑精确罚函数，其次是对z 。精 确罚函数光滑化。得到了几类光滑的近似精确罚函数 本文结构安排如下第一章简要介绍了目前国内外关于罚函数以及序列二次 规划方法的研究工作，重点介绍精确罚函数以及光滑精确罚函数的已有成果第二 章主要考虑构造新的简单光滑精确罚函数，这里“简单 是指所构造的罚函数只包 含原约束最优化问题的目标函数以及约束函数的原始信息，而不包含它们的导数 的信息主要的想法是通过增加一个新的有限维甚至一维决策变量来构造罚函数 在第二节中对带有等式约束以及箱约束的最优化问题，通过增加一个一维变量，提 出一类罚函数，将原问题转化为只带有简单箱约束的罚问题，在一定的条件下讨论 了此类罚函数的光滑性、下有界性，并证明了原问题的最优解与罚问题的最优解是 等价的，从而得出此类罚函数的精确性一个简单的算法及数值例子说明通过解光 滑的罚问题以求解原问题的方法是切实可行的第三节对于只带有等式约束的最 优化问题，通过增加一个一维变量给出了一类光滑罚函数，并讨论了其精确性数 值结果说明了算法的可行性在第四节中，对带有不等式约束的最优化问题，通过 增加一个一维变量提出了一类带有障碍的光滑罚函数，讨论了它的精确性不同于 一般的障碍函数方法，此光滑罚方法不需要以一个严格可行的内点作为初始点 另外，在实际的计算中，通常只需要求原约束最优化问题的近似解，因此第三 i 章通过光滑逼近z 1 精确罚函数，考虑几类光滑的且近似精确的罚函数第二节对 不等式约束最优化问题给出了一类光滑罚函数，并讨论了罚问题的最优解、最优值 与原问题的最优解、最优值之间的误差估计给出了一类近似算法，并讨论了与计 算有关的问题数值结果表明了此近似算法的可行性第三节对于带有等式及不等 式约束的一般最优化问题，提出了一类光滑近似精确罚函数，给m 了罚问题的最优 解、最优值与原问题的最优解、最优值之间的误差估计，并考虑一类近似算法第 四节以不等式约束优化问题为例，讨论了一族光滑近似精确罚函数，其中第二节中 的罚函数可以作为此族罚函数的一个特例给出了一种通过光滑罚问题来求原问 题的精确解的算法，讨论了此算法的收敛性 第四章对全文的主要内容作出总结，并对未来的工作作出展望 关键词约束最优化精确罚函数罚方法最优解增广拉格朗日函数非线 性规划 a b s tr a c t m a n yi m p o r t a n tp r o b l e m sa r i s i n gi nt h ef i e l d ss u c ha se n g i n e e r i n g n a t i o n a ld 争 f e n c e ，e c o n o m y , a n df i n a n c ee t c ，c a nb em o d e l e da sc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b - l e m s o n eo ft h em a i na p p r o a c h e sf o rs o l v i n gc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s i st ot r a n s f o r mt h e mi n t ou n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s p e n a l t yf u n c t i o n m e t h o d sa n dl a g r a n g i a nd u a l i t ym e t h o d sa r et w op r e v a i l i n ga p p r o a c h e st oi m - p l e m e n tt h et r a n s f o r m a t i o n p e n a l t ym e t h o d ss e e kt oo b t a i nt h es o l u t i o n so ft h e o r i g i n a lc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e mb ys o l v i n go n eo ras e q u e n c eo fp e n a l t y p r o b l e m s b ye x a c tp e n a l t yf u n c t i o n ，ac o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e mc a nb e t r a n s f o r m e di n t oa s i n g l eu n c o n s t r a i n e do rs i m p l ec o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b - l e m ，w h i c hc a na v o i dt h ea p p e a r a n c eo ft h ei l l c o n d i t i o n i n gc a s et h a tt h eh e s s i a n o ft h ep e n a l t yf u n c t i o ni ss e r i o u s l yi n d e f i n i t ew h e nt h ep e n a l t yp a r a m e t e ri st o o l a r g e h o w e v e r ，t h et r a d i t i o n a le x a c tp e n a l t yf u n c t i o ni sn o n d i f f e r e n t i a b l e w h i c h m a k e si td i f f i c u l tt oa p p l yf a s tu n c o n s t r a i n e da l g o r i t h m sb a s e do nt h eg r a d i e n t sa n d m a yc a u s et h em a r a t o sp h e n o m e n at oa p p e a ri ns o m ef a s ta l g o r i t h m ss u c ha st h e s e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gm e t h o d s s oi ti sv e r ym e a n i n g f u lt oc o n s t r u c t s m o o t ha n de x a c tp e n a l t yf u n c t i o nb ys o m em e a n s i nt h i st h e s i s ，w ef i r s t l yp r o p o s e n e ws m o o t he x a c tp e n a l t yf u n c t i o n sf o rs e v e r a lk i n d so fc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ；s e c o n d l y , w eo b t a i ns e v e r a lc l a s s e so fs m o o t ha n da p p r o x i m a t e l ye x a c t p e n a l t yf u n c t i o n sb ys m o o t h i n gt h ec l a s s i c a le x a c tp e n a l t yf u n c t i o n s t h ep r e s e n tt h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 w eg i v eab r i e fi n - t r o d u c t i o nt ot h ee x i s t e dr e s e a r c hw o r ko nt h ep e n a l t yf u n c t i o n sa n ds e q u e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a m m i n gm e t h o d s ，w i t ha ne m p h a s i so ne x a c tp e n a l t yf u n c t i o n s a n ds m o o t he x a c tp e n a l t yf u n c t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s t r u c tn e ws i m p l es m o o t he x a c tp e n a l t yf u n c t i o n s ，w h e r e t h et e r m “s i m p l e ”m e a n st h a tt h ec o n s t r u c t e dp e n a l t yf u n c t i o no n l yc o n t a i n st h e o r i g i n a li n f o r m a t i o no ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o na n dt h ec o n s t r a i n tf u n c t i o n si nt h e c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，b u td o e s n tc o n t a i nt h ei n f o r m a t i o no ft h e i rd i f - f e r e n t i a l s t h em a i ni d e ai st oc o n s t r u c tt h ep e n a l t yf u n c t i o nb ya d d i n gan e w f i n i t ed i m e n s i o n a lo re v e no n ed i m e n s i o n a ld e c i s i o nv a r i a b l e i ns e c t i o n2 2 ，w e p r o p o s eac l a s so fp e n a l t yf u n c t i o nb ya d d i n gao n e d i m e n s i o n a lv a r i a b l ef o rt h e c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t he q u a l i t yc o n s t r a i n t sa n ds i m p l eb o u n dc o n - s t r a i n t s ，a n dt r a n s f o r mt h eo r i g i n a lp r o b l e mi n t oap e n a l t yp r o b l e mw i t hs i m p l e b o u n dc o n s t r a i n t s w bd i s c u s st h es m o o t h n e s so ft h en e wp e n a l t yf u n c t i o na sw e l l a so t h e rp r o p e r t i e ss u c ha sb e i n gb o u n d e db e l o w t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h e o p t i m a ls o l u t i o n so ft h eo r i g i n a lp r o b l e ma n dt h o s eo ft h ec o r r e s p o n d i n gs m o o t h e d p e n a l t yp r o b l e mi ss h o w e dw h e nt h ep e n a l t yp a r a m e t e ri ss u f f i c i e n t l yl a r g e ，w h i c h i m p l i e st h ep e n a l t yf u n c t i o ni se x a c t as i m p l ea l g o r i t h ma n ds o m en u m e r i c a le x - a m p l e ss h o wt h a ti t i sa p p l i c a b l et os o l v et h es m o o t h e dp e n a l t yp r o b l e mi no r d e r t os o l v et h eo r i g i n a lp r o b l e m i ns e c t i o n2 3 ，a n o t h e rs m o o t hp e n a l t yf u n c t i o ni s i i i p r o p o s e db ya d d i n gao n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e mw i t ho n l ye q u a l i t yc o n s t r a i n t s ， v a r i a b l ef o rt h ec o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n a n di t se x a c t n e s si sd i s c u s s e d n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h ep e r f o r m a n c eo ft h i sp e n a l t yf u n c t i o n i ns e c t i o n2 4 ，f o ri n e q u a l i t y c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，ac l a s so fs m o o t hp e n a l t yf u n c t i o nw i t hb a r r i e r p r o p e r t yi sp r o p o s e d a n di t se x a c t n e s si sa l s od i s c u s s e d c o m p a r e dw i t ho t h e rb a r - r i e rf u n c t i o nm e t h o d s 。t h i ss m o o t hp e n a l t ym e t h o dd o e sn o tn e e das t r i c tf e a s i b l e i n t e r i o rp o i n ta st h es t a r t i n gp o i n t s i n c ei nt h ep r a c t i c a lc o m p u t a t i o na na p p r o x i m a t es o l u t i o nw i t h i nt h ee r r o r b o u n di sa l w a y sn e e d e d ，i nc h a p t e r3t h r e ek i n d so fs m o o t ha n da p p r o x i m a t e l y e x a c tp e n a l t yf u n c t i o n sa r ep r o p o s e d i ns e c t i o n3 2ac l a s so fs m o o t hp e n a l t y f u n c t i o ni sp r o p o s e df o ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e mb ya d d i n g ap a r a m e t e rt oc o n t r o li t se x a c t n e s s t h ee r r o re s t i m a t e sb e t w e e nt h eo p t i m a l s o l u t i o n so ft h eo r i g i n a lp r o b l e ma n do ft h ep e n a l t yp r o b l e ma r ed i s c u s s e d a n e x a c ta l g o r i t h ma n da na p p r o x i m a t ea l g o r i t h ma r eg i v e n ，r e s p e c t i v e l y a n ds o m e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ee f f e c to ft h ea p p r o x i m a t ea l g o r i t h m i ns e c t i o n3 3 ，f o r g e n e r a lo p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t he q u a l i t ya n di n e q u a l i t yc o n s t r a i n t s ，ac l a s so f s m o o t ha n da p p r o x i m a t e l ye x a c tp e n a l t yf u n c t i o ni sg i v e n ，a n dt h ee r r o re s t i m a t e s a r ea l s od i s c u s s e d ，w i t hw h i c ha na p p r o x i m a t ea l g o r i t h mi st h e np r o p o s e dt os o l v e t h eo r i g i n a lp r o b l e m i ns e c t i o n3 4 ，t a k i n gt h ei n e q u a l i t yc o n s t r a i n e do p t i m i z a - t i o na sa ne x a m p l e ，w eg i v eaf a m i l yo fs m o o t ha n da p p r o x i m a t e l ye x a c tp e n a l t y f u n c t i o n sw h i c hi n c l u d et h es m o o t hp e n a l t yf u n c t i o ng i v e ni ns e c t i o n3 2 a na l g o r i t h mt h a tc o m p u t e st h ee x a c ts o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e mb ys o l v i n gt h e s m o o t h e dp e n a l t yp r o b l e mi sg i v e na n di t sc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r4 ，w ec o n c l u d et h em a i nc o n t e n t si nt h i st h e s i s ，a n dm a k es o m e p r o s p e c t sf o rf u t u r ew o r k s k e yw o r d s c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n ；e x a c tp e n a l t yf u n c t i o n ；p e n a l t ym e t h - o d s ；o p t i m a ls o l u t i o n ；a u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c t i o n ；n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研 究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已发表和撰写过的研究成果。参与同一工作的其他 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示 了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 签名她师签磋超酌期：巡6 厂 上海大学博：卜学位论文 第一章绪论 1 1 问题的提出 工程，国防，经济，管理等领域的许多实际问题可以建立为下面的约束最优化 问题模型： ( 尸) m i n ，( z ) s t 仇( z ) 0 对i = 1 ，m ， ( z ) = 0 对歹= 1 ，z ， x x ， 这里“m i n 是英文“m i n i m i z e ”的缩写，表示“求极小”，“s t ”是英文 s u b j e c tt o 的 缩写，表示“受限制于”， 9 1 ，鼽， 1 ，确是定义在跄n 上的函数，x 是瓣佗 的一个子集合，z = ( x 1 ，x n ) t 是佗维向量，“t ”表示转置 函数厂通常称为目标函数每一个约束g i ( x ) 0 ，i 1 ，m ) 称为一个不等 式约束，每一个约束心( z ) = 0 ，j 1 ，z ) 称为一个等式约束，x 称为集合约束， 如对变量给出的上下界约束等当目标函数和所有的约束函数是线性的，而且集合 约束能表示成线性等式或( 和) 线性不等式时，上述问题称为线性规划问题，否则称 为非线性规划问题 集合( x l g , ( x ) 0 ，i = 1 ，m ，吩( z ) = 0 ，j = 1 ，z ，x x ) 称为问题( p ) 的可行域，记为厂厂中的元素称为可行点设牙兀如果存在牙的某个邻域 ( 牙，6 ) = z 牙li i x e l i 6 ) ，使得对任意x 厂n ( 牙，6 ) ，成立，( 牙) 厂( z ) ， 则称牙为问题( 尸) 的局部极小点如果进一步成立，( 牙) o ) ， l ( x ) ：= i 1 ，m 1 甄( z ) o ) 设函数，g i ，i = 1 ，m ，h j ，j = 1 ，l 是x 上的连续可微函数设z x ，如 果梯度向量v 仇( z ) ，i i o ( x ) ，v b ( z ) ，j = 1 ，l 线性独立，则称z 满足线性独立约 束品t i ( l i n e a r l yi n d e p e n d e n tc o n s t r a i n tq u a l i i c a t i o n ) ，简记为l i c q 满足l i c q 的 可行点z 称为正则点如果梯度向量v 乃( z ) ，j = 1 ，z 线性独立，且存在z 舻 使得 v 俄( z ) r z 0 ， 此外，设在牙严格互补条件成立，即 砚 0 ，对所有i i o ( 孟) 则牙为( p ) 的严格局鄙极小点 命题1 2 3 ( k k t - ：- 阶充分条件，参见文献纠中定理彳彳剀设，吼，i = 1 ，m ， h j ，j = 1 ，1 二阶连续可微，牙为( p ) 的肼z 点，( 百，面) 为与牙相对应的拉格朗日 乘子向量令付( z ) = _ t z o ( x ) l 魂 o ，船( z ) = i 而( z ) i 魂= o 进一步 设v ：z l ( 2 ，面，雷) 在锥 c=y e 舻降揣茧箸筝嘶尸倒瓜积动) 上正定，即对任意y c ，y 0 ，成立 可丁v z 2 z l ( 2 ，面，否) 可 0 ， 则孟为( p ) 的严格局部极小点 命题1 2 4 惨见文献肛j 纠中定理8 1 2 ) 设孟是问题( p ) 的局部极小点，且满 足m f c q ，那么牙为( p ) 的k k z 最 3 上海大学博十学位论文 1 3 罚函数方法介绍 求解约束最优化问题( p ) 有两种主要的方法原则上讲，一个无约束最优化问 题总是比带约束的最优化问题容易求解，因此第一种方法是将约束问题转化为一 系列无约束问题，甚至是一个无约束问题来求解另一种方法是将约束问题转化为 一系列简单约束最优化问题，例如线性规划问题或二次规划问题来求解 罚函数方法是求解约束最优化问题的第一种基本途径罚函数方法通过引入 某种罚函数来考虑约束，所得到的无约束最优化问题称为罚问题如果要求解一系 列无约束最优化问题，则需要用序列最优化技术s u m t ( s e q u e n t i a lu n c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o nt e c h n i q u e ) ，主要有外罚函数法，内罚函数法或者障碍函数法，以及 增广拉格朗日函数方法如果通过一个无约束最优化问题来求解的话则有精确罚 方法本节我们介绍这几种序列罚函数方法 9 1 3 1外罚函数法 考虑问题( p ) ，令p ：咿_ 瓣是连续函数，使得对所有x 厂，p ( x ) = o ；对所 有z 隹厂，p ( x ) 0 考虑相应于问题( p ) 的无约束问题 1 茹m i nf ( x ) + 孝p ( z ) ， 其中 0 函蜘( z ；e ) = f ( x ) + ；p ( z ) 称为i h - j 题( p ) 的一个罚函数，其中为罚参数，此 罚函数是通过在原目标函数上增加用来惩罚约束违反的一项而得到的当罚参数 越来越小时，罚函数对违反约束所做的惩罚会变得越来越“严厉”给定一串正数 序列 s 知) ，k = 0 ，1 使得七十1 0 ，0 叩 0 ，0 0 ，k = 1 ，转主步 主步以矿。为初始点，计算 x k = a r g z m 妒i n l 口( z ，妒；知) 检验及调整步若( z 忌，”) 是一个k k t 对，则停；否则，选取e 七十1 ( 0 ，】，调整 乘子估计为”+ 1 ，k = k + 1 ，转主步 利用增广拉格朗日方法可以得到序列 扩) 与 a 七) 如果序列 a 知) 有界，则序 列 扩) 具有与二次罚方法相同的收敛性，它的收敛速度依赖于如何对乘子进行调 整。 对于不等式约束i b - 题( 1 3 1 ) ，可以通过引入额外的平方变量谚并将( 1 3 1 ) 写 为 棚m i n 舻m ) s t 仇( z ) + 谚= 0 ，i = 1 ，m 不过这使得变量的个数增加了m 个，可能会带来计算的复杂化 增广拉格朗日函数在许多非线性约束优化问题中是很有效的，许多算法都以 此类函数为基础，只不过因为要额外估计乘子，也增加了计算的工作量 1 4 精确罚方法 精确罚方法试图通过单个无约束函数的极小化，而不是一系列无约束极小化 来求解约束优化问题，要用到的函数是精确罚函数 8 上海大学博士学位论文 精确罚函数概念首先i 由e r e m i n 4 7 和z a n g w i u 1 1 8 于j 5 世纪六十年代后期提 出这是线性规划中大m 法在非线性规划中的自然推广从那时起，精确罚函数 一直在数学规划理论与方法中扮演很重要的角色( 参见 6 】， 8 】， 1 0 ， 17 】， 1 9 ， 2 4 ， 2 8 】，【4 1 ， 4 8 】， 5 3 ，【5 4 ， 5 5 】， 5 s ，【6 3 】， 6 5 】， 6 9 ， 7 5 】， 8 0 】， 8 4 】， 9 3 】，【9 5 ， 1 0 5 ， 1 1 9 d 对于问题( 尸) ，最典型的精确罚函数是f 1 精确罚函数 嘶洄训卅三( 善m a x m 础) ) + 伽l h j ( 蛳 以及f o o 精确罚函数 f o o ( x ；e ) = ，( z ) + 三m a x o ，9 1 ( z ) ，9 m ( z ) ，i h l ( x ) l ，i h t ( x ) l 由于我们致力于通过求解相应的罚问题来求解原问题，因此本文精确罚函数中“精 确”的意思是在适当的条件下，当罚参数e 0 且小于某个闽值。时，罚问题的无约 束局部解或全局解也是约束问题的局部解或全局解，或者逆结论成立 虽然在算法方面使用精确罚函数的历史已经很长，但是一直存在着争论争论 的根源在于精确罚函数的不可微性从算法的角度来看，这种不可微性能够引起所 谓的“m a r a t o s 效应”，即引起阻止快速局部收敛的现象另外，针对精确罚函数的 不可微性，一些学者引入了与上述精确罚函数完全不同类的可微精确罚函数( 1 3 】， 【3 7 】， 3 8 】， 3 9 】， 5 2 】， 6 4 】， 7 s ， 1 0 2 ) ，一般称其为精确增广拉格朗日函数，其中“精 确”是指此类函数建立了约束最优化问题的k k t 点与无约束罚问题的k k t 点 之间的对应关系精确罚函数与精确增广拉格朗日函数的不同之处主要在于，以 精确罚函数为基础建立的无约束问题的变量与约束问题的变量相同，而以精确增 广拉格朗日函数为基础建立的无约束问题却定义在问题变量与乘子( 原始与对偶 变量) 的内积空间上又b t ! t n f l e t c h e r 将上一节中的增广拉格朗日函数中的乘子向 量入，p 分别用连续可微的乘子函数入( z ) ，p ( z ) 来代替，其中入( z + ) = 入+ ，卢( 矿) = 旷， ( z + ，a + ，p + ) 是满足k k t 必要条件的点对于等式约束问题，f l e t c h e r 的精确罚函数 为 u s ( z ；) = y ( x ) + a ( z ) t 危( z ) + 钏允( z ) 1 1 2 ， 9 上海大学搏士学位论文 a ( z ) = _ v ( z ) t v 忍( z ) 】- 1 v h ( x ) r v f ( x ) 对于不等式约束问题， 可f ( z ；e ) = ，( z ) + p ( z ) r 夕( z ) + 圭i im a x 0 ，夕( z ) ) 1 1 2 ， 其中 p ( z ) = 一 v 夕( z ) t v g ( x ) + 8 g 2 ( z ) 】一1 v 夕( z ) t v f ( x ) ， p 0 ，且g ( z ) 是对角矩阵，每一个对角元素为仇( z ) y 女h d ip i l l o 【3 7 给出的形式更为复杂的函数 厶( z ) = ，( z ) + a ( z ) t 夕( z ) + p ( z ) t ( z ) + 盯i b ( z ) 0 2 + 盯| l 尼( z ) 1 1 2 + 4 盯m i n ( 0 _ 盯1a ( z ) + 2 9 i ( z ) ) 其中仃 0 是罚参数，且 ( 三 三；) = - m - i ( x ) v g ( z ) r 、v ，c z ， m c z ，= ( 篆： 三；篆i 三；) ，( z ) 2 ( z ) 矗1 ( z ) = v 9 ( z ) t v g ( z ) + r l g 2 ( z ) + 咆s ( z ) k ， 尬2 ( z ) = 1 ( z ) 丁= v 9 ( z ) t v h ( x ) ， m 2 2 ( z ) = v h ( x ) t v h ( x ) + r 2 s ( x ) i t ， s ( z ) = e ( m a x ( 0 ，吼( z ) ) ) r + i i h ( x ) l 2 ，g ( z ) = 出n 9 ( 俄( z ) ) ， g ( x ) = ( g l ( z ) ，妨( z ) ) r ，h ( x ) = ( h i ( z ) ，( z ) ) t ，i m ( i z ) 表示m m ( t 1 ) 单 位矩阵，r 2 ，r 1 0 ，r 2 0 为常数 其它还有g l a d 和p o l a k 5 9 ，d ip i l l o 并f l g r i p p o 3 8 ，d ip i l l oe ta 1 3 9 】等这类 可微精确罚函数由于其表达式包含有目标函数及约束函数的梯度，在实际计算中 过于复杂，大大限制了其实际应用从上世纪九十年代后期开始，非线性精确罚函 数( 7 0 】，【1 0 6 一 1 0 9 ， 1 1 6 】) 和低次罚函数( 7 9 】， 9 2 ) 得到了较广泛的研究，开辟了关 于精确罚函数的新的研究领域，至今不断有新的研究成果问世 上海大学博士学位论文 下面我们给出发展最为成熟的“精确罚函数方法的主要理论结果设原问 题( 尸) 中集合x 为开集令1 1 精确罚函数对应的罚问题为 ( 鼍) 卿f 1 ( 年) z t 命题1 4 1 阻文献m q 定理9 舅砂设孟为问题( p ) # 勺k k t 点，( 面，雷) 为与牙 相对应的肼睐子进一步，设厂和仇，i j l d ( 牙) = 俐仇( 牙) = 0 ，i = 1 ，m ) 是 凸函数，而且b ，j = 1 ，f 是仿射函数那么对；m a x 魂，i 如 ) ， 巧i ，j = 1 ，z ) ，牙也是问题( 鼍) 的解 命题1 4 2 伶见文献卢彰中定理彳设牙为问题( 尸) 的一个严格局部极小点， 厂，g i ，i = 1 ，m ，h j ，j = 1 ，z 在牙的一个邻域内连续可微，进一步，设牙满 足m 此条件那么存在舌 0 ，使得对所有舌，孟是问题( 鼍) 的局部极小点 命题1 4 3 伶见文献卢髟中定理名，砂设命题j 2 3 的条件成