（运筹学与控制论专业论文）凸体迷向常数与超球帽面积公式.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支，凸体的迷向性是凸体几何研究中一个 重要课题迷向凸体作为几何断层学的研究对象之一在体视学，机器入学中的几何 探索、仿晶学和信息论等领域有着广泛的应用 本硕士论文以凸体的迷向性为主要研究内容本文共分四个部分首先介绍了 几何分析的发展历史和研究现状在第二章首先给出了凸体几个迷向条件，然后证 明了它们的等价性；其次研究了凸体迷向位置的存在唯性并给出了迷向常数的不 同表达形式，由这些表达式可以看出迷向常数与凸体的惯量矩阵、与顶点在凸体内 的随机单形的体积密切相关；论述了迷向体的截面性质，迷向体与虬估计的关系， 迷向体的质量分布特征以及迷向常数关于维数的单调性；最后给出了b o u r g a i n 问题 与截面问题和单形猜想的关系tb o u r g a i n 问题等价于截面问题，而由单形猜想可以 推导出b o u r g a i n 问题成立第三章计算了名空问单位球霹的迷向常数工毋和单 形的迷向常数，并根据m a g l a b 软件计算结果讨论了职的迷向常数工毋的渐近性 质，我们得到对于给定的p 工毋随着n 的增大而减小，在区间【2 ，+ o o 】内l 毋随着 p 的增大而增大，当n 趋于无穷大时，根据计算结果猜想，单形迷向常数最大第 四章给出了r “中超球帽面积公式 作者取得的主要结果是：给出了凸体几个迷向条件，然后证明了它们的等价性； 计算了瑶空间单位球彩的迷向常数l 毋和单形的迷向常数，并根据m a t l a b 软件 计算结果讨论了群的迷向常数l 研的渐近性质；导出了舯中超球帽面积公式 关键词t 凸体，迷向体，迷向常数，皿。估计，铝空间 a b s t r a c t c o n v e x 群o m e t r y i s a n i m p o r t a n t b r a n c h o f m o d e r n 即m e t r y t h e i s o t r o p y o f c o n v e x b o d i e si so d eo fi m p o r t a n ts t u d yo b j e c t si nc o n v e xg e o m e t r y t h ei s o t r o p i cc o n v e xb o d i e s ， a 8as t u d 岖o b j e c ti ng e o m e t r i ct o m o g r a p h y , h a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si ns t e r e o l o g y , g e o m e t r i cp r o b i n gi nr o b o t i c s ，c r y s t a l l o g r a p h ya n di n f o r m a t i o nt h e o r y t h i s m a s t e r d i s s e r t a t i o n r e s e a r c h e s t h e i s o t r o p y o f c o n v e x b o d i e s i n t h e f i r s t p a r t ，t h e h i s t o r yo f c o l l v e xg e o m e t r ya n dt h eg e n e r a la s p e c to f t h es t u d ya r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r 2 ，a tf i r s t 。e o u l i s o t r o p i cc o n d i t i o n sf o rc o n v e xb o d i e sa r eg i v e na n dt h ee q u i v a l e n c eo f t h e ma r ep r o v e d ，t h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so nt h ei s o t r o p i cp o s i t i o no fac o u v e x b o d ya r es t u d i e da n dt h ee x p r e s s i o n so fi s o t r o p i cc o n s t a n ta r eg i v e n ，f r o mw h i c hw ec o u l d c o n c l u d et h a tt h ei s o t r o p i ec o n s t a n to fc o n v e xb o d yh a si n t i m a t er e l a t i o nw i t hm a t r i x o f i n e r t i aa n dr a n d o ms i m p l e xv o l u m uo nt h eb o d y , f l o r a ep r o p e r t i e so nt h ei s o t r o p i c c o n v e xb o d i e s , s u c ha st h es l i c i n gp r o p e r t i e s ，t h er e l a t i o nw i t h 霍n - e s t i m a t ea n dt h em 躺 d i s t r i b u t i o no fi s o t r o p i cb o d i e sa l es t u d i e d ，t h em o n o t o n i c i t yo fi s o t r o p i ec o n s t a n ta b o u t d i m e n t i o ni sd j s c u s s o d ；f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eb o u r g a i n sp r o b l e m a n dt h es l i c i n gp r o b l e m ，t h es i m p l e xc o n j e c t u r e i nc h a p t e r4 ，t h ei s o t r o p i cc o n s t a n t so f 露a n ds i m p l e xa l ec a l c u l a t e da n dt h e i ra s y m p t o t i cp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r 5 ，t h ea r e rf o r m u l a so fh y p e r s p h e r i c a lc a p si n 舻a r ed e d u c e d t h ea u t h o rh a sa b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：s o m ei s o t r o p i cc o n d i t i o n sf o rc o n v e x b o d i e sa r eg i v a na n dt h ee q u i v a l e n c eo ft h e ma r ep r o v e d ；t h ei s o t r o p i cc o n s t a n t so f 四a n d s i m p l e xa r ec a l c u l a t e da n dt h e i ra s y m p t o t i cp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d ；t h ea r e af o r m u l a so f h y p e r s p h e r i c a lc a p si nr na r ed e d u c e d k e y w o r d s ： c o n v e xb o d i e s ，i s o t r o p i cb o d i e s ，i s o t r o p i cc o n s t a n t ，霍a - e s t i m a t e ， 名s p a c e 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：浮砂岛日期砷 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名2 硒，订：；导师签 日期：炒7 # ，矽 第一章绪论 在本章中首先介绍本论文所属学科的发展历程和研究现状，主要代表人物以及 我国数学家的工作接着阐述本硕士论文研究的主要问题及作者所取得的成果，最 后说明论文的结构安排 1 1 学科发展历程与研究现状 本硕士论文选题来源于导师何斌吾教授主持的作者参与的国家自然科学基金项 目- - 超球截函数与b o u r g a i n 问题”( 批准号：1 0 6 7 1 1 1 9 ) 中的子项超球截函数的分 析性质” 凸几何分析( c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 是上世纪初形成，上世纪末蓬勃发展 起来的一门现代几何学科在上世纪，它通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) 或 凸分析( c o n v e xa 8 蛳i 8 ) ，主要应用于数学规划，优化同题等领域近年来在美国， - t h a te l u t w a k ，d y a n g ，张高勇( g ，z h a n g ) 等人的工作，使得其经典理论在信息论 中找到应用( 见【2 8 ，2 9 ，3 4 ，5 6 】) ；在美国微软公司总部设有专门的研究部门，我国青 年数学家宗传明教授曾在此做研究工作通过r j g a r d n e r 和a v a s s m l o 等人的 工作，使得它广泛地应用于体视学( s t e r e o l o g y ) 、机器入学中的几何探索( g e o m e t r i c p r o b i n g ) 、仿晶学( s r y s l a l l o g r a p h y ) 和数理经济学等领域几何分析的应用分枝“几 何断层学。( g e o m e t r i ct o m o g r a p l y ) 已在医学中的x - 射线光机，c t 扫描、核磁共 振、以及计算机模式识别中得到了很好的应用在欧洲，以j b o u r g a t u ( 1 9 9 4 年度菲 尔兹奖获得者) 和v d m i l i i l a j l 等人的工作，使几何分析方法在偏微分方程、概率论 等领域得到广泛的应甩 凸几何分析是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它 是以微分几何、泛函分析，偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学凸几何分 析可分为组合理论和度量理论，组合理论 5 5 l 主要研究几何体( 如多胞形) 的组合 关系，讨论它们的面数、顶点数、棱数等的数量关系，例如，著名的e u l e r 定理，三 维凸多胞形的顶点数y 、梭数e 和面数f 存在关系，y f + f = 2 度量理论主 要研究几何体的度量性质，如几何体的构形，体积、表面积、宽度、角度、投影等， 其中最富有吸引力的是形形色色的应用广泛的等周不等式【6 ，3 0 ，1 0 4 ，i u ，1 1 7 ，1 2 l 】 凸几何分析是1 9 世纪下半叶萌芽，2 0 世纪初形成，2 0 世纪末蓬勃发展起来 1 22 0 0 7 年上海大学硬士学位论文 的- - f 现代几何学科，它不同于微分几何，代数几何，几何拓扑等现代几何，有其 独特的研究对象和研究方法粗略地讲，它可分为下列四个方面的理论 1 经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论 该理论起源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文1 2 4 1 和h m i n k o w s k i 开创性工作的实 质部分【9 5 1 ，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n e h e l 的著名论著【1 1 收集了当时已出版的主要 结果它作为一个经典的数学分支，通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) ，主要是 由s t e i n e r 1 1 8 ，1 1 9 ，b r u n n 2 4 ，2 5 】，m i n k o w s k i 9 5 ，9 6 】，a l e x s a n d r o v 1 ，2 】，h a d w i g e r 5 7 1 ， p e t t y 【1 0 2 ，1 0 3 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 i 和s c h n e i d e r 1 1 5 ，1 1 6 】等著名数学家逐渐发展起来的一 个学科它的主要内容包括等周问题【1 0 3 ，1 0 4 ，1 1 0 ，i i i ，1 2 1 ，混合体积理论【2 4 ，2 5 ， 9 5 ，蚓，表面积测度【1 ，3 5 ，7 0 】，投影体理论和均质积分 4 5 ，5 8 ，7 4 ，7 6 ，7 7 ，9 0 ，1 0 5 最 核心的定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式。设a 和b 是p 中的紧集，则 y ( ( 1 一a ) a + a b ) 击2 ( 1 一a ) y ( a ) 丢+ a y ( 口) 击，v a 【o ，1 j 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石最经典的参考 书是r s c h n e i d e r 的专著( ( c o n v e xb o d i e s ：t h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r y ) ) 1 1 4 和a c t h o m p s o n ， ( m i n k o w s k ig e o m e t r y ) ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，( 1 9 9 6 ) ) b r u n n - m i n k o w s k i 理论巧妙地把欧氏空间中的向量加( 通常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联系起来，使得 它渗透到各个数学领域它是处理各类涉及体积，表面积，宽度等度量关系难题的 有力工具 经典理论的第一位代表人物是h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 - 1 9 0 9 ) ，出生于立陶宛 ( l i t h u a n i a ) ，后来在哥尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接受教育，他的主要贡献是在b r u n n 的基 础上，证明了b r u n n - m i n k o w s k i 不等式和被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构造性 定理【9 5 ，9 6 】 经典理论的第二位代表人物是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c ha l e k s a n d r o v ， 他对经典理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和找到了一种研究椭 圆型偏微分方程新的几何方法【2 1 此外还有h b u s e m a n n 【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，w f e n c h e l ，b j e s s e n ，h l w y ，等等 2 对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论 1 9 7 5 年e l u t w a k 建立了对偶的t h eb r u n n - m i n k o w s k i 理论，它的基本理论是 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 对偶混合体积f 7 3 1 1， y ，) 2i 止。一。p 胁( ) p m ( u ) d u ， 的理论相对于经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的m i n k o w s k i 和，它用径向和，相对于 经典b r t m n - m i n k o w s k i 理论的支撑函数，它用径向函数，相对于经典理论研究凸体 的投影，它研究星体的截面该理论的建立解决了一系列经典理论未解决的问题 印，4 l ，4 2 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，1 2 9 ，1 3 2 例如，b u s e m a n n - p e t t y 问题1 2 3 】就是其中之一。 l a r m a n 和r o g e r s 利用概率论巧妙地证明了当n21 2 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立 【6 9 】；b a l l 利用立方体和球的截面和体积的关系证明了当n 加时，b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立【4 】；g i a n n a p o u l o s 】和b 0 u r g a i n 12 j 分别独立地利用适当的圆柱体和球 的任意小的摄动体取代立方体，改进b a l l 的证明得到了当n 7 时b u s e m a n n - p e t t y 问题的否定回答后来，e l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o nb o d y ) 的概念，发现了 b u s e m a n n - p e t t y 问题的解与相交体的关系，为后来彻底解决该问题开创了新的局面 【7 5 】，进步，p a p a d i m i t r a k i s 1 0 1 】和g a r d n e r 3 9 也分别独立地利用适当的圆柱体取 代立方体，证明了当n 5 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立；g a r d n e r 对，l = 3 时 的b u s e m a n n - p e t t y 问题给出了肯定的回答；旅美华人数学家g a o y o n gz h a n g ( 张高 勇) 1 9 9 9 年发表在a n n a l sm a t h 上论文的【1 3 2 1 解决了b u s e m a n - p e t t y 问题最后遗 留的末解决情形一即n = 4 的情形，最近，a k o l d o b s k y 用调和分析的方法给出 了b u s e m a n - p e t t y 问题n = 4 情形的个简短证明【6 7 1 这方面的代表人物除创立人 e l u t w a k 【7 8 ，7 9 1 外，还有pr c o o d e y 5 0 ，e l g r i n b e r g 5 1 ，h g r o e m e r 5 2 ，p m g r u b e r 5 3 ，5 4 】和华裔数学家张高勇【1 2 9 ，1 3 0 ，1 3 1 ，1 3 2 ，1 3 3 3 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 几何断层学作为经典理论和对偶理论的综合与应用，它主要研究几何体( 主要 是凸体和星体) 的重构问题，即如何从未知几何体的x - 射线，截面及投影重构几何 体的问题，它是医学上b 超，x 射线，c t ( 核磁共振) 技术的数学基础 在1 9 6 1 年，pc h a m m e r 教授在美国数学会上提出了这样一个问题；平面上 的一个凸体最少能被几张x - 射线图片确定? 大约2 0 年后，r j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，pc m c m u l l e n ，a v o l c i c 等一大批数学家积极投入到这个问题的研究，并 且获得了确切的答案【1 2 3 ：平面上的个凸体能被不是某个仿射正多边形边的方向 集的子集的4 个方向上的x 射线完全确定当今世界上对几何断层学的研究可分 为两大群体，其一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论研究者；他们获 42 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 得了一大批令人羡慕的成果，1 9 9 5 年，r ，j g a r d n e r 教授综合了这方面的所有成 果，撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) 3 8 ，其二是由于几何断层学有很强的实际 应用背景，以m i t 大学计算机与电子工程系的a l a nw i f i s k y 为代表的应用研究者， 自8 0 年代以来，一直致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计 算机上的应用 4 b a n a c h 空间的局部理论( l o c a lt h e o r yo fn o r m e ds p a c e s ) 它是凸几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，通常也称为巴拿赫空间几何 学，这一理论已成为现代国际数学研究的个活跃领域或主流方向此理论源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的 f o u r i e r 级数的证法，并在后继的论文中运用球面调和分析对3 - 维空间的凸体证明 了类似的不等式，随后，h m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 - 维常宽凸 体的有趣特征，由此开辟了运用球面调和分析研究几何的方法，此方法具有很强的 生命力，j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸体渐 近理论的研究，在凸体逼近研究中获得了大量深刻的结果【9 2 ，9 3 】，他们合作的一篇 关于凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文1 1 3 】是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引 用的第一论文p m i e r 1 0 7 ，l i n d e n s t r a u s s 7 1 1 等在该领域也作出了创造性的贡献现 在，该理论主要研究两个不同的主题， ( a ) n 一维赋范空间的几何量当n 趋于无穷时的情形； ( b ) 无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系 b a n a c h 空间局部理论中最重要的公开问题是b o u r g a i n 问题；若k 为k 的迷 向常数，是否存在通用常数c 0 ，使得对任意有限维凸体耳都有三k 0 ，k b l ，l 越) 两个凸体k 与l 间的b a n a c h - m a z u r 距离定义为 如j l f ( k l ) = 叫 d ( 甄t l ) lt g z ( n ) ) 其中g l ( n ) 表示舻中可逆线性变换构成的集合用b a n a c h - m a z u r 距离可以刻画凸 多胞形与欧氏球的偏差，方体与欧氏球的b a n a c h - m a z u r 距离为元对于对称多胞 形k ，若k 与欧氏单位球的b a n a c h - m a z u r 距离为d b a l l 【7 】利用对单位球面上关于 口点的球帽e ( ，口) = e k e ，口) 2 ，0 酽一1 ) 扣酽，【0 ，1 ) ) 及关于 点半径为 r 球帽 a f ( o ， ) r ，口酽一1 ) 扣扩- 1 ，0 r 1 面积的近似估计，证明了k 至少 有e n z 个面但其中球帽面积的估计较为粗糙为了改进这个结果，有必要研究 更精确的球帽面积估计 为了研究b o u r g a l n 问题，何斌吾和冷岗松在文【5 9 ，6 0 】中引入球截函数的概念， 给出了一类凸体的迷向常数上界的估计解决b o u r g a i n 问题，球截函数将起关键作 用 为了进一步研究球截函数的性质以及更精确估计舻中超球帽面积，作者给出 了舻中球帽面积的准确公式 设球帽所在球的中心在原点，半径为r ，球帽的高为h ，不妨设0 0 iz n k ，z 舻( 2 1 2 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 若k 是一个舻中原点对称的凸体，则k 以自然的方式导出一个舻上的范数，我 们记x k = ( 舯，旷0 ) 为具有单位球k 的赋范空间x k ，赋范空间x k 的单位球记为 k x 若k 为一个包含原点为其内点的凸体，我们定义k 的极体k + 为 k + = 伽 l ( z ，y ) s 1 ，y k ) ( 2 1 3 ) 若f 1 1 4 k 是r “中的一个凸体，且0 i n t k ，则也是舻中一个凸体，且 k “= k ，i i x l i k = m a x y e kj ( ，) i = h k ( x ) 若c t i 表示r ”中的非空紧子集构成的集合，则对于托l 伊，k 与工的h a u s - d o r f f 距离，定义为 d h ( g , l ) = “ 裟魁i 。一u l ，娑瓣1 2 一u l ， ( 2 1 4 ) 或等价地 d h ( k , l ) = m i n a 0 i k l + a b 彗，l k + a 口爹) ( 2 1 5 ) 伊赋予h a u s d o r f f 距离后成为完备的度量空间 若k 和l 是舻中的凸体，则它们之间的乘积距离d ( k ，l ) 定义为 d ( k ，l ) = i n f a bn ，b 0 ，kcb l ，l a k ( 2 1 6 ) 两赋范空间x k 与x l 间的b a n a c h - m a z u r 距离定义为 d b m ( x k ，x l ) = i n f d ( k , t l ) lt g 工( n ) ) ( 2 1 7 ) 每当我们写( 1 a ) l zj 恻j h i = i 时，总意味着a 与b 是对于每一个。r “都成立 的最小正实数特别地，我们有d b m ( k , 叨) = d 6 根据 7 1 】b a n a c h - m a z u r 距离确定对称凸体类之间的距离，两个体甄与鲍属 于同一等价类当且仅当存在一个t g l ( n ) 使得t k l = 鲍，我们有如果d i m x = n 则d b m ( x ，y ) d 当且仅当存在一个t g l ( n ) 使得 k y c t j 奴cd k y ( 2 1 8 ) 在很多情况下，假定赋范空问x = ( 噩“，f ) 赋予特殊的欧氏范数f f 是方便的在 几何上这意味着我们在r 竹中选定一个特定的椭球作为的单位球在某些情况下， 我们简单地取标准的欧氏范数蚓= ( 銎1k 1 2 ) 1 2 ，这对空间的给定范数并没有任何 关系个经典的椭球& 是选择包含在k 中且具有最大体积的椭球w n e r 第 1 22 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 一个考虑了这种椭球，并证明了此椭球由k 唯一地确定j o h n 在文f 6 3 】中证明对 每一个中心对称凸体都有kcj - r u c k 这事实，明显地蕴涵 d b m ( x ，霹) 瓶，d i m x = n ( 2 1 9 ) j o h n 的结果是最强的，我们不难验证对每一个n ，都有d b m ( c n ，研) = 何，这里 c = z r ”ii o i o o 1 ) 在上述同一篇文章中j o h n 也给出了任意个凸体k 和椭球k 的距离估计， 并证明了，如果反是包含在k 内的具有最大体积的椭球，则k c n 艮，且若k 是 单形，则估计不能被改进 。 在力学中一个经典的事实可陈述为：对r ”中任何一个紧子集k ，存在唯一的 椭球，记为c = c ( k ) ，使得对任一轴，k 与c 有相同的惯量矩椭球c 通常称为 k 的l e g e n d r e 椭球，因此，它被定义为满足下列等式的椭球 厶扛，u ) 2 d x 2 上和，) 2 如对任意的“舻 ( 2 1 1 0 ) l e g e n d r e 椭球也可以由一个实对称正定矩阵引入，即在舯中一个nxn 阶实对称 正定矩阵a 生成一个椭球，记为( a ) ，它被定为 e ( a ) = 扛时l 扛，a x ) 1 ， 这里( z ，a x ) 表示r “中欧氏空间中的标准内积 对于一个星形集( 关于原点) kcr n 它所产生的l e g e n d r e 椭球z ( k ) 由矩阵 【”玎( k ) 】- 1 生成这里 佻j ( k ) 2 丽1 厶( e i ，z ) ( e j , z ) a x ， ( 2 1 i t ) e l ，表示碾p 的标准正交基 设j f 是个关于原点对称的凸体，由k 诱导的范数记为i k ，e l ，e 2 ，e n 是 r 的一组基若对任意的实数t l ，t 2 ，“和任意选取的符号矗= 4 - 1 ，都有； l e l t l e l + e 2 t 2 e 2 + - + e n t n e n 0 k = t i e l + t 2 e 2 + + t h e n ，( 2 1 1 2 ) 则称e l ，e 2 ，e 。是范数”怯的一组无条件基若范数怯是由一组无条件基 生成的，则称是无条件体其几何意义为，若z = 扛l ，x 2 ，k ，则长方形 【_ j z l i ，i $ 2 1 】【- i z 2 i ，k | 】【i i ，i z 。| 】包含于k 4 7 集合a ，b 的m i n k o w s k i 和定义为 a + b = 如+ 6 k a ，b b ) 2 0 0 7 年上海大学硬士学位论文 有限条线段的m i n k o w s k i 和称为带胞形【9 4 】带胞形在h a u s d o r f f 距离意义下的极限 称为带体若z 为带胞形，则有； z = s 1 + s 24 - + s k 其中k n ，岛，s 2 ，& 为线段 若z = 研+ 岛+ + 鼠，且最= c o r t v o q v l - n 仇) ，挑铲，啦 o ，i = 1 ，2 ，k ， 则带胞形z 的支撑函数为 h ( 五) = 啦训 若一个凸体z 的支撑函数可以表示为上述形式，则z 是一个带胞形 kc r “是质量中心在原点的凸体定义k 的体积比为【7 】： 。n ( 耳) = i n f ( 臀) v “：是包含于k 中的关于原点对称的椭球 ( 2 工3 ) 2 2凸体迷向条件的等价性 定义2 2 1 设kcr ”是凸体且体积为1 ，其质量中心在原点 对任意的r ”，都有 厶) 2 出= 口2 2 ， 则称k 为迷向体 若存在常数o 0 ( 2 2 1 4 ) 通常称等式( 2 2 1 4 ) 为凸体k 是迷向体的充要条件，简称等式( 2 2 1 4 ) 为凸 体k 的迷向条件，o 称为k 的迷向常数在关于迷向体的诸课题的研究中，各种 判定条件，即判定凸体是否为迷向体的条件，在不同的课题研究中其效用是不同 下面给出判定凸体是否为迷向体的四个条件的等价性 定理2 1 凸体k 的速向条件( 2 2 1 4 ) 等价于下列三个等式 m f ，。，“) 2 d z = 舻，vu s 。一1 ( 2 2 1 5 ) j k 俐设x l ，z 2 ，为z 对应干某组标准正交基的坐标，对任意的 ，j = 1 ，2 ，n ， 有 厶如巧如。“2 屯 ( 2 2 1 6 ) 一彬对任意的t l ( r ”) ，有 厶( 甄t 批e = 舻( t r t ) ( 2 - 2 1 7 ) 1 42 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 这里t r t 是线性变换丁的矩阵的迹 证明首先证明( 2 2 1 4 ) 与( 2 2 1 5 ) 等价 对任意的y 舻，y 0 ，令y = 圳，u u 为与y 同方向的单位向量， 厶( z ，扩出= 上( 蚓引嘶) 2 如= 川2 厶( 霸) 2 如， 由( 1 ) 得到 川2 上( 马嘶) 2 如5 n 2 2 ， 因i y i2 0 ，显然有 上( 墨) 2 如= a 2 由y 的任意性，( 2 2 1 5 ) 成立( 2 2 1 5 ) 推导( 2 2 ，1 4 ) 易得 其次证( 2 2 1 5 ) 与( 2 2 1 6 ) 等价 设e 1 ，e 2 ，为舻中的组标准正交基。$ 在这组基下的坐标为z l ，却， 取u = 龟，i = 1 ，2 ，一，n ，已k ( 2 2 1 5 ) 得 厶( z ，哪2 出= 上( z ，岛) 2 出= 上z ：如= a 2 ，江1 ，2 ，n ( 2 2 1 8 ) 对任意的t ，j l ，2 ，n ) ，t 工札0 ，且舻+ ，= 1 ，取t = a 矗+ 腑，代入 ( 2 2 1 5 ) 得 厶z ，“) 2 如= 二( 。，a 岛+ p 勺) 2 出= f u ( x z t + 脚) 2 如 = 好l x 如+ 铲| x 奄如+ 2 - # f k x l x j d x ， 由( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 5 ) 及a ，p 的取法得到 j c r 蚴如= o ，j j = 1 , 2 , - - - , n ( 2 2 1 9 ) 结合( 2 2 1 8 ) ，( 2 2 1 9 ) 即可得( 2 2 1 6 ) 成立从而由( 2 2 1 5 ) 可得( 2 2 1 6 ) 成立 下证由( 2 2 1 6 ) 可得( 2 2 1 5 ) 成立对任意的酽，令t ；h e l + a 2 e 2 + + h e 。，增+ 碹+ + 碍= l ，丸r ，i = l ，2 ，n 胁洳= 厶( 姜) 2 出= 耋增加出州e 哟k b 小巧出 = 摧2 a 2 = 舻， 这说明若( 2 2 1 6 ) 成立，则( 2 2 1 5 ) 成立 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 最后证( 2 2 1 6 ) 与( 2 2 1 7 ) 等价 设t ( 舻) 在基e l , e 2 ，e n 下的矩阵为t = ( 幻) 。，则t x 在基e l ，e 2 ，e n 下 的坐标为t ( 。l ，z 2 ，x n ) 7 因此有 缸，儿) = ( 轧，x n ) t ( x l 砌，x n ) = t l j z l x j 由( 2 2 1 7 ) 式，有 厶( 马乳) d x = 吾善幻厶x i x j 出5 蚤奶奶舻2 薹如舻= 舻。田。 nnnnn 从而由( 2 2 1 6 ) 得到( 2 2 1 7 ) 成立 反之，若对任意的t l ( r n ) 有 ( 2 ，t x ) d x = c 1 2 ( t r t ) 取正工( 舻) ，使正在基e l ，e 2 ，e ，l 下的矩阵为玩， = 1 ，2 ，n ，其中忍表 示i 行i 列元素为1 ，其余元素为零的n 阶方阵对于z ；x l e l + x 2 e 2 + + 。e f i ， 有五z = x i e i ，t r t i = 1 ， = 1 ，2 ，一，n 上( z ，正z ) 如：上z 出= a 2 ( t r t i ) = 取巧( 职) ，使在基e l ，e 2 ，下的矩阵为奶+ 如，i j ，i ，j = 1 ，2 ，n 其中表示i 行j 列元素为1 ，其余元素为零的n 阶方阵对于x = x l e l - - i - x 2 e 2 + - + e ，i ，有t i j x = 以勺+ 巧岛，t r = 0 ，i j ，j = 1 ，2 ，n 上z ，劲) d x = f k 2 r c t z j d x = n 2 ( t r t i j ) = 0 ， 因此 ) x 勘z 癍到 即由( 2 2 1 7 ) 成立可得到( 2 2 1 6 ) 成立。 2 3 凸体迷向位置的存在唯一性及迷向常数的表示 设耳是质量中心在原点的凸体，t c l ( n ) ，t k 称为耳的一个位置，若t k 是迷向的，则称t k 为k 的迷向位置 定理2 2 ， w 设kcr “是一个质量中心在原点的凸体则存在t g l ( n ) ，使得 t k 是速向的 1 62 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 证明作孵中的变换 v y l ，y 2 舯，l ，k 2 r ，我们有 m ( ) = 厶( 马口) z 如 m ( k l y l + 碗y 2 ) =( $ ，k l y l + y 2 ) x 如 j k = h 二( 刎- ) z 如+ 乜上( z ，y 2 ) x d x = k l m ( y 1 ) + m ( y 2 ) 因此m 是线性的 设e l ，e 2 ，e ，l 是r ”中的一组标准正交基，z 关于这组基的坐标为( 。1 ，z 2 ，) m ( q ) = ( 。，岛) z d x = x i x d x j k j k 因此，m 关于基e l ，e 2 ，e n 的矩阵为m = ( 氏。i q 出k vy 舻， y t m y = ( 。，口) 2 d x 由内积的连续性，当”0 时，y t m y 0 因此m 是正定的对称变换令s 是m 的正的平方根，即m = 铲，且s 为正定对称矩阵令膏= s 一1 ( k ) 则有 厶似计2 如= jd e t s l 。厶侮- i x , y ) 2 如 = i d e t s i 。厶啪1 妒出 = 矿1 ( 厶( 稍- l y ) 邪。) 如 = l d e t s i 一1 ( m 够一1 ) ，s 一1 y ) = 1 d e t s i 一i y l 2 取t = i s “e k ) r - 1 “s ，则有i t ( k ) i = 1 ，且 二( 叫( z ，9 ) 2 出= i 吾= 南