（计算数学专业论文）构造切触有理插值函数方法的研究.pdf

构造切触有理插值函数方法的研究 摘要 已有的构造切触有理插值函数方法，多数是与连分式计算相联系的。而连 分式的运算是有条件的，且计算量较大。因此，对于给定时插值条件t 能否缘 构造多项式插值函数那样来构造插值公式，是值得研究的问题。本文通过引入 多项式形式插值算子及待定的参数，用凸组合方法来构造切触有理插值函数t 对所构造的切触有理插值函数，还可通过选择参数降低其次数。其构造方法简 单计算过程公式化，便于在计算机上实现且计算量较小，有广阔的应用前 景。 本文的具体安排是：首先介绍切触有理插值的基本概念、理论及已有的构 造切触有理插值函数方法。重点讨论了构造一元数量值、向量值、矩阵值切触 有理插值的凸组台方法以及降低有理分式函数次数的原则，然后将所给方法推 广n - 元的情形。摄后，对二元切触有理插值存在性也进行了讨论，并给出有 理插值函数的显式表示。 关键词：切触插值、凸组合方法、插值公式、参数、方程组 o nt h em e t h o d so fc o n s t r u c t i n go s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n a b s t r a c t e x i s t i n gm e t h o d so fc o n s t r u c t i n go s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o na r ea l m o s t r e l a t e dt oc a l c u l a t i o no fc o n t i n u e df r a c t i o n s s ot h ef e a s i b i l i t yo ft h e i ra l g o r i t h m si s c o n d i t i o n a la n dt h e yn e e dal a r g ea m o u n to fc a l c u l a t i o n f o ra s s i g n e di n t e r p o l a t i n g c o n d i t i o n ，w h e t h e rw ec a nc o n s t r u c to s c u l a t o r yr m m i o n a ii n t e r p o l a t i n gf u n c t i o nj u s tl i k e c o n s t r u c t i n gm u l t i n o m i a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ni sw o r t hr e s e a r c h i n g i nt h i sp a p e rw e i n t r o d u c ei n t e r p o l a t i n go p e r a t o ro f p o l y n o m i a lf o r ma n dp a r a m e t e r sw h i c hi sf i x e dt ot r e a t a n dc o n s t m c to s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n b y t h em e t h o do fc o n v e x c o m b i n a t i o n ，f o ro s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o nt h a tw eh a v ec o n s t r u c t e d , w ec a n r e d u c ei t sn u m b e ro f t i m e sb yc h o o s i n gp a r a m e t e r s t h i sm e t h o do f c o n s t r u c t i n go s c u l a t o r y r a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ni se a s y t h ec a l c u l a t i n gc o u r s ei sf o r m u l i s ma n dc o n v e n i e n t t ob er e a l i z e do nt h ec o m p u t e r i tn e e d sas m a l la m o u n to fc a l c u l a t i o n s oi th a si m m e n s e a p p l i c a t i o nf o r e g r o u n d m a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r el i s t e da sf o l l o w s ：a tf i r s t ，w ed e t a i l e d l yi n t r o d u c e s o m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so fo s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n , a n de x i s t i n g m e t h o d so fc o n s t r u c t i n g o s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n w ed i s c u s sw i t l l e m p h a s i sc o n s t r u c t i n go s c u l a t o r y r a t i o n a l i n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n ( o r v e c t o r - v a l u e d o s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n ，m a t r i x - v a i u e do s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i n g f u n c t i o r nb yt h em e t h o do fc o n v e xc o m b i n a t i o n , a n dw ea l s od i s c u s st h em e t h o do f r e d u c i n gn u m b e ro ft i m e so fr a t i o n a lf r a c t i o n t h e nw ep o p u l a r i z et h i sm e t h o do f c o n s t r u c t i n go s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i n gf u n c t i o nt o b i v a r i a t eo s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n a tl a s t ，w eh a v ed i s c u s s i o na b o u te x i s t e n c eo fb i a r i a t eo s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o na n dp r o d u c ei t se x p l i c i te x p r e s s i o n k e yw a r d s ：o s c u l a t o r yi n t e r p o l a t i o n ；t h em e t h o do fc o n v e xc o m b i n a t i o n ；i n t e r p o l a t i n g f o r m u l a ；p a r a m e t c r s ；s y s t e mo f e q a n t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得盒目巴至些盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：号 车第讳 签字日期：2 。0 6 年臼3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒蟹工些左堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权盒魍王业太 生一可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名 马 签字日期：2 鱼笨右月3 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 名：荣矽勿 签字日期：；口口6 年占月多日 致谢 在论文完成之际，首先感谢合肥工业大学给我这个学习和提高的机会，特别是我 的导师朱功勤教授多年来对我的悉心指导，借此机会向他们表示衷心的感谢! 在学习和论文的写作过程中，朱功勤老师给予了我极大的关怀和帮助，从论文题 目的确定、实施方案的制定、具体工作的进展以及最后论文的撰写与修改，无不渗透 着导师的智慧和心血。朱老师渊博的知识、开阔的视野、分析洞察问题的能力，都使 我受益匪浅。在即将结束三年研究生学习之际，向导师致以最崇高的敬意和诚挚的感 谢l 同时，还要感谢三年研究生期间所有向我传授知识，关心、帮助和教导过我的老 师们! 最后，感谢所有关心过，帮助过我的家人、老师、同学和朋友! 作者：马锦锦 2 0 0 6 年5 月 1 1 研究背景 第一章绪论 在自然科学与技术科学领域中存在着大量需要解决的非线性问题，它们已 经成为科学技术研究的热点和主攻方向之一。诫如英国著名哲学家与数学家罗 素( b e r t r a n dr u s s e l l ) 所说：“所有精确的科学都受到逼近的思想所支配。” 的确，所有的非线性科学也已受到、并将继续受到非线性逼近思想的渗透和影 响。 作为解决非线性问题的工具之一的有理函数逼近，由于用有理函数去近似 表示函数时，比多项式更灵活、有效，且能反映函数的一些固有特性，如奇性 等。因此，在数值计算与函数逼近、计算机辅助几何设计中，人们常常偏爱有 理逼近。关于有理逼近的研究越来越引起人们的关注。作为有理逼近的重要分 支一一有理插值函数的研究已有许多好的结果。如：王仁宏、朱功勤著作 ( 文 1 ) ，对近年来有理逼近、插值、样条等方面的成 果作了较系统的介绍。 切触有理插值是有理插值的自然推广如同多项式中的h e r m i t e 插值那样， 虽然较一般有理插值复杂一些，但它的应用范围更广。特别是，在计算机辅助 几何设计中用它来构造曲线、曲面，是一种有效的方法。 关于切触有理插值问题的研究成果较多，如： 1 9 6 2 年，h e s a l z e r 在文献 2 中将切触有理插值问题由非线性插值问题 转化为一个等价的线性问题的求解，使问题得以大大简化。 lw u y t a c k 在文献 3 ，h e s a l z e r 在文献 2 中，利用连分式方法给出了 构造切触有理插值的递推算法，这些算法可称为经典的算法。 朱功勤、顾传青在文献 4 中把数量连分式的思想引入到向量连分式中，给 出了向量的s a l z e r 定理。 朱功勤、顾传青在文献 5 中利用连分式及s a m e ls o n 逆给出了构造切触有 理插值函数的方法。 文献 6 利用n e w t o n 插值多项式提出了一种判别切触有理插值问题解是 否存在的代数方法，这种方法不但给出了切触有理插值问题有解的充要条件，而 且在有解的条件下还给出显式表示。 l w u y t a c k 在文献 3 中还给出了类似于q d 算法的方法来计算切触有理插 值，这种算法适用于正规切触有理插值表。 文献 7 给出了一种f 算法来计算非正规的切触有理插值表。 文献 1 7 将在切触有理插值中起重要作用的s a l z e r 定理推广到了多元的情 形。 文献 1 6 将在切触有理插值中起重要作用的s a l z e r 定理推广到了多元向量 的情形。 上面列举的构造切触有理插值函数方法都与连分式相联系，而用连分式计 算涉及到可分性( 分母不为0 ) 。因此寻求约束较少，计算简单的构造切触有 理插值函数方法是一个值得研究的问题。 1 2 本文所做工作的概述 第一章对切触插值问题的研究背景及现状进行了概述。 第二章详细介绍了一元数量值( 向量值、矩阵值) 切触有理插值的定义、 基本概念、存在性及各种算法。 第三章利用凸组合方法构造出一元数量值( 向量值、矩阵值) 切触有理 插值函数，并给出数值例子，来显示所给方法的效果。 第四章将第三章所述构造方法推广到二元的情形。 第五章对二元切触有理插值的存在性进行了一些讨论，并对本文内容作 了小结。 2 1 数量切触有理插值 第二章切触有理插值 本节主要介绍了数量切触有理插值的定义和基本概念，此类切触有理插值 问题有解的充要条件及各种算法。 2 1 1 数量切触有理插值的定义和基本概念 切触有理插值是类似于多项式插值中的h e r m i t e 插值的一种插值，即设已 知 x ，及z = 一n ，k = o ，l ，耳- 1 ，i = 0 , 1 ，所谓切触有理插值问 题就是寻求有理分式函数p ( x ) q ( x ) e ( m ，使得 隰l 钾一_ 0 ，”“妒l 扣蜘， ” 其中m + ”= - 1 ，( 砷己， q ( x ) 只 考虑与插值问题( 1 1 ) 有关的线性化问题，即求p ( x ) s 己，q ( x ) 只，使 p 婶( 毛) = ( ，( x ) q ( 功) 忙( 蕾)k = o ，l ，暑一1 ，i = 0 ，1 ，- - t ， ( 1 2 ) 设p o ) = q x ，q ( z ) = 鱼一，则式( 1 2 ) 是一个由m + n + 1 个方程组成的， 含有m + n + 2 个未知数的齐次线性方程组，因此该方程组必有非平凡解。1 9 6 2 年h e s a l z e r 在文献1 2 】中证明了方程组( 1 1 ) 与( 1 2 ) 之间的关系，即 定理2 1 若q “) 0 ，则方程组 ( 剐器l 铲c n 旭叱 s ， 等价于方程组 p ”( 置) = ( ，( z ) q ( x ) ) ”( 而) ，k = 0 ，1 ，t 一1 ( 1 4 ) 若# ( x ) ，q 】( x ) 和p 2 ( x ) ，q 2 ( x ) 是( 1 4 ) 的两组不同解，则不难证明由它们所确定 的两个有理分式 置( x ) = 丘( x ) q , 0 ) ，恐( x ) = e ( x ) g 扛) 是等价的( 见【8 】) ，即 日( x ) q 2 ( x ) = p a x ) q l ( x ) 设p ( x ) ，q ( x ) 是( 1 4 ) 的一组解，因为有理分式r ( x ) = 尸( 曲q ( 可能是可约 的，因此r ( x ) = p ( x ) q ( x ) 并不一定属于r ( m ，h ) 。如果方程组的解 p ( x ) q ( x ) = e o ( x ) q o ( x ) t 而e o ( x ) q o ( x ) 是最简有理分式，若q o ( x ) = 一一，其 中d ，0 ，而a o = 吐= 一d h = 0 ，则我们将p o ( x ) q 0 ( x ) 标准化为使d ，= la 这样 得到的凡。( x ) = 矗( x ) q 0 ( z ) 属于n ( m ，i 1 ) ，且对一切x 值均有蜴( 功0 ， l w u y t a e k ( 参见文献【3 】) 称这样的如。( x ) = p o ( x ) 幺( x ) 为( m ，h ) 切触于f ( x ) 。 因为方程组( 1 4 ) 的任何两个有理分式解都是等价的，从而它们当然有同一 个不可约形式，在这种意义下，自然有 引理2 1 ( m ， ) 切触于f ( x ) 的有理分式函数是唯一存在的。 同有理插值问题中类似，我们也可以得到 引理2 2 若如。o ) = p o ( x ) o o ( 砷( m ，n ) 切触于，( x ) ，则存在 y o ，y l ，+ 。) 的n 个点 毛，知 ，0 s n m i n ( m 一埘，”一h ) ，使 ，o ) = 扛一= 。) o 一知) 晶( 曲 q ( x ) = 0 一毛) - 似一知) - 绕( x ) 满足方程组( 1 4 ) 。 定理2 1 的作用在于把非线性问题( 1 3 ) 转化为一个等价的线性问题的求解， 从而使问题得以大大得简化。 定理2 2为使满足( 1 1 ) 的有理分式函数r ) r ( m ，h ) 存在，必须且只须 ( m ，h ) 切触于，( x ) 的有理分式函数满足式( 1 2 ) 。 证明设r ( 砷= p ( x ) q ( x ) 是( 1 1 ) 的一个解，则q ( 蕾) o ( i = o 1 一，+ 1 ) 。由 定理2 1 可知( 1 2 ) 也成立。若r ( x ) r ( m ，n ) ，则p ( 砷a ( x ) 是不可约的。由引理 2 1 吒。( 功是唯一存在的，从而必有 如。( 曲= p ( x ) q 0 ) 所以( m ，n ) 切触有理分式满足( 1 2 ) 。 反之，假定心。( x ) = p o ( x ) 珐( x ) 是f ( x ) 的( m ， ) 切触有理分式函数，则由 p o ( x ) q o ( x ) 的不可约性可知瓯( t ) o ，( f = o ，1 ，j + 1 ) 若吒。( 砷满足( 1 2 ) ，则由定 理2 1 可知矗( x ) q o ( x ) 是( 1 1 ) 的解，此即存在r ( x ) e r ( m ，n ) 满足( 1 1 ) 式，此定理证 完。 从以上定理2 2 的证明中不难发现，r ( m ，h ) 中每个满足( 1 1 ) 的有理分式 r ( x ) 必然等于f ( x ) 的( m ，n ) 切触有理分式月( r ) ，于是由引理2 1 和定理2 2 可知 有 定理2 3 若切触有理捅值问题( 1 1 ) 于r ( m ，”) 有一解，则此解必唯一且等 于，( x ) 的( m ，帕切触有理分式如。( x ) 。 以上定理的证明均参见文献 8 】。 对于不同的m 和n ，( x ) 的( m ，n ) 切触有理分式可列表如下： 表1f ( x ) 的( m ，h ) 切触有理分式表 民0 0 ) ，民j ( x ) ，r z ( x ) ，r ，( 对， r ( x ) ，墨1 ( x ) ，焉，2 ( x ) ，r 1 3 ( x ) ， 吗o ( x ) ，坞( x ) ，吗：o ) ，恐，( x ) ， 表1 中的每一个元素是相应的切触有理插值问题( 1 1 ) 的解。 2 1 2 切触有理插值的存在性( 见文1 6 】) 在2 1 1 中，我们主要介绍了数量切触有理插值的定义和基本概念。这里 我们将介绍一种判别切触有理插值问题解是否存在的代数方法，这种方法不但 给出了切触有理插值问题有解的充要条件，而且在有解的条件下还给出其显式 表示。 本节针对墨= 2 、 = 3 ( f _ o ，1 ，r ) 情形给出切触有理插值问题( 1 ，1 ) 有解 的条件及解的表达式 对= 2 ( = 0 ，l ，1 ，r ) ，此时插值问题( 1 1 ) 变成 如。( 薯) = z ，聪。( t ) = z “= o ，1 ，) ( 1 5 ) 记 v = c o o ( x ) = 1 吡，( x ) = ( x - x o ) 2 ( x - x 0 2 ( x c 0 2 + l ( = 0 一) ( x ) ， 01 1 q ( ) 吐( 而) 01 畦( x ，) 叫( ) 1 q ( x ，) 吐( ) q ( ) 01 q ( x ad ( ) 经计算可得如下递推公式 及 o o ( x t ) = 1 吼一j ( 坼) = ( 气一叶1 ) 吐h ( x a ，= 1 ，2 ， 吐( 坼) = ( x k 一0 一1 ) h ( x d ，= 1 ， j = 1 ，7 吐，( ) 吐，( ) 硝。( ) ( 1 6 ) j q ( 坼) = 1 畦，( ) = 吐h ( 札) + ( 一x 1 一i ) 吐j _ l ( 靠) ，j = 1 ，2 ，k ，k = l ，r ( 1 8 ) l 叫川( 唯) 2 q ，( 耳) + o 一) 叫，( ) 则 矿= 酬o 研o 研1 d 恐础。碟：”) ( 1 9 ) 引理2 3 设q ( x ) 是满足下列插值条件的多项式 q ( ) = z ，q7 ( 薯) = ，f = o ，1 ，r ( 1 1 0 ) q ( x ) = 硪”万h ( x ) ， ( 1 1 1 ) 。o l 卢0j 其中f 2 j = 蜀“= ”，j = o ，1 ， m + h = n = 2 r + 1 这就是h e r m i t e 插值，只是把解表示成形式( 1 1 1 ) 而已。 为了讨论方便，引入下列记号，并将所需数据重新排序 笼! 盖鬻i 。己 当堤偶数 当堤奇数，f - 0 ，1 ，i ，t ：m + l ，m + 月( 1 1 3 ) 定理2 4 满足插值条件( 1 5 ) 的有理分式民。( x ) = 只( x ) ，q ( x ) 存在的充分 必要条件是方程组( 记m + h = ) 2： 赡 孑嚣孑字孑孑 叩。 一 叩i ： 一 印 存在组解口= 孑。，i ，一r 。 7 满足i ：，= 仉o ，：0 ，1 ，r ，此时有 ( 1 1 4 ) 矗 = = 瓦一凡 ，jl【 l 一卅一“”僻胁 一一 0 | j d m o一，口且 引加器= ( 1 i5 ) 例1 ( 见【l 】) 设，( 砷= s i n 等，= 一1 ，耳= o ，= 1 ，求马，：( x ) = 忍( 砷，q ( x ) 使 之满足插值条件 墨：( ) = ，( 薯) ， 写j ( 五) = ，( 薯) ， f 1 0 , 1 ，2 ， 解 显然，( ) f o 1 ，一；o , l = 1 ，f o = o ，石= 詈，月= o 首先写出矩阵矿 和v 一由 知 矿= ( x ) = 1 ， q 0 ) = 扛一) 0 ) = o 一) = ( x + 1 ) c 0 2 ( x ) = ( x 一) 2 = o + 1 ) 2 ， q ( x ) = 0 一 ) 吐( z ) = z 0 + 1 ) 2 ， 母4 ( x ) = ( x - x o ) 2 ( x 一而) 2 = ( x + 1 ) 2 2 2 ， d ( x ) = ( x 一而) ( x ) = ( x 一1 ) ( x + 1 ) 2 x 2 01 1 ll 01 21 1 2 44 4 01481 24 由式( 1 13 ) 求出“，写出方程组( 1 1 4 ) 解之得 _ 2 1 11 o0 1 o 4 v = 硫 硝 吼 碱 1 4 一4 3 4 之 ， 0 。一2一4 o o 2 5 4 3 4 1 4 0 ，一4 3 4 1 4 3 4 一 一 一 1 o 0 o 石一2厅2。2。一4，一2，一4 2 54 3 4 5 4 34 兄i 罴， 去，o ，罴，为任意糊， 显然有r 0 = - 2 ，r h = 1 ，r ：= 一2 均不为零，由定理2 4 知满足插值条件的有理分式 马：( x ) 存在，由式( 1 1 5 ) 得 q 2 ( x ) = ( 月一2 ) 一2 q r - 3 ) ( x + 1 ) + ( z - 3 ) ( x + 1 ) 2 ， 与( ) = ( 2 一丌) + 2 ( 丌- 3 ) ( x + 1 ) + ( 4 一玎) ( x + 1 ) 2 十o 5 ( x 一4 ) ( x + 1 ) 2 ， 故马：( ，) = g ( x ) ，q ( x ) 即为所求 对于；3 ( t = 0 ，1 ，) 情形，其插值条件为 心。( t ) = z ，置黧 ) = 0 “，k = l ，2 ， m 十, = 3 r + 2 完全类似于j 。= 2 时的讨论，记 v = f 峨( x ) = 1 ， l 毡一( x ) = 吗0 ) 一一1 ) ， l 屿h ( x ) 2 鸭j _ 2 ( x ) 0 一j _ i ) ，= o ，1 ，r l 屿( x ) = 0 9 3 川( x ) o 一- ) = ( x 一) 3扛一叶一。) 3 1 q ( x ，) 吐( o ) q ( ) q ( ) 鸭( ) q ，( ) 0 1 哇( 一) 硝( _ ) 吐( ) 叫瓯) 硝，0 ，) 咄。瓴) 002 蟛( _ ) 瞄( x ，) 衅( t ) 喀以) + 。辑) 峨+ 2 ( ) 即只需将前面讨论2 r 换成3 r ，类似矿的写法便可写出v 一。类似于引理2 3 及定 理2 4 的结论都成立。 定理2 4 给出了切触有理插值问题( 1 1 ) 是否有解的判别法，在有解的条件 下还给出显式表示。而方程组( 1 1 4 ) 的的系数矩阵前m 行的元素来自矩阵v ， 后h 行的元素也与y 。有关，且矿_ 1 中元素由递推关系式( 1 1 3 ) 算出，不需要求逆矩 阵，无疑这种算法是一种实用的方法。 从上面的分析可以看出，对于切触有理插值问题，如果能判别出切触有理 插值问题有解，剩下的问题就是如何求出它的解，这就是切触有理插值问题的 算法。 “ ) ) 气h ，v 越而而q ) ) 2“2 吐硝 ) 0“0 q 1 d n u l n v n u 2 1 3 切触有理插值的算法 前面，我们介绍了一种判别切触有理插值问题解是否存在的代数方法，而 且在有解的条件下还给出其显式表示，无疑是一种有效而简便的方法，但是 对于每一个具体问题，都需要解一个线性方程组，一般来说，计算量仍然比较 大。 本节，我们将介绍另外几种有效的切触有理插值函数的算法。 一、s a l z e r 算法 h e s a l z e r 在文献【2 】中给出了用连分式来计算切触有理插值的种算法。 下面来介绍h e s a l z e r 的这种算法。 首先给出了有理分式函数，( x ) ，q ( x ) 的连分式表示，即： 塑：啦+ 一x - x t 塑 盟 q ( x ) “” q ，i + q 2 + + 盯i h l x - - x 1 丝x - - x 2 + 口2 + 嘞，i+ + 呜一l x - - x 21 二盖= ! 兰二蔓 + a 3 0 + + d 。，0 + 口j i ：竺益 f 1 1 6 1 + 。+ a i j 一1 ( 有关连分式的预备知识见文献【l 】) 并给出了( 1 1 6 ) 右端连分式中系数计算公式，具体实现是： 假定口l 舯q p ，a i 吐钆。l 已经求出，于是由( 1 1 6 ) 可以求出它的渐近分式 器，器，此处f _ 1 一芸_ ，根据连分式三项递推关系式，有 掣：兽翼母出芝业墨盟( 1 1 7 ) q ( x )置( x ) q f 。( 砷+ o 一一i ) q ：( x ) 、7 其中 r a x ) = q 。+ 竖坠 a j+ “j ，2 + + 竺玉兰玉璺= l 立玉 m t 8 ) q ， 一l + q + 1 0 +q “i+ + 一i 当按( 1 1 7 ) 所示的p ( x ) q ( x ) 和切触条件( 1 1 ) ( 其中j = 一) 来确定q 舻口j ”，q 矿 时( 共j 个条件) ，胄( x ) 表达式中的项 是可以忽略的。若记 三二量! 二至! l 三二立 口h t 0 +a h i 1+ + d 梨：q o + 墼竖 墨 z ( “。 q i + 吒，2 + + 嘶即i 则由定理2 1 置( 力和正( 砷两多项式的系数应该满足 s ( 力c 一( 砷+ ( x 一一，) 巧( x ) 只一：( x ) ”1 l 2 m ) s ( x ) q f 刺+ ( 一一一t ) 荆q ：( x ) 胛l ( 女= 0 , 1 ，日一1 ) ( 1 1 9 ) 由此求出s ( x ) ，( x ) 表达式中的各系数q ，q ，i 。- t - 是( 1 1 8 ) 的渐近公 式# ( ，q ( x ) ，只+ 。( x ) ，q + ( x ) ，可按递推公式 p + ，( 砷= q ，只“。 + 譬加+ ：，蓑l ，吐 q 。( x ) = q ，q + 。0 ) + ：i ； q r + ，一：c x ，耋；：一，。一， ( 1 2 0 ) 来逐个地确定，用f + 1 代替i ，用h 替代r ，又可重复上述各步骤当具 有较小的值时，比如s = 2 ，= 3 ，则立即可以比较方便地在多个点处应用公 式( 1 1 9 ) 。 e u l e r m i n d i n g 曾经推导出关于有限连分式s , ( x ) t a x ) 的具体有理分式表达 ( 见文【4 1 】) ： s a x ) = a 舯一i + 1 1 + ( x - x 3 a o a , + 1 + ( x - - x i ) 2 ，哎啦+ 。嘶+ 。嘶+ ： o s e - - 2 ( 1 2 5 ) 表1 的第一列元素辟。( x ) ( 女0 ) 是切触多项式( 分母为零次) a 这说明系数 c 0 ，c 1 ，c 2 ，可以利用带汇集变量的差商来计算( 例如可参考 4 3 ) 。下面的表 3 给出了w u y t a c k 算法所涉及的系数表： 表3w u y t a c k 算法系数表 胡g ： 爿 砰q ? q d ；q ； 为方便计，定义菇= 0 ( k 0 ) ，这样一来，( 1 2 4 ) 式中关于e ：的公式就可用于i - - 1 的情况了。上述表4 5 中的第一列和第二列可用( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 的上面一行 的公式来计算。其它各列的值则需用( 1 2 4 ) 和( i 2 5 ) 的其它公式。 例2 设 x o = 0 ， x l = 1 ，s 0 = 岛= 2 ， 菇o ) = l ，矗1 ) = = 2 ，= 3 利用带汇集变量的差商运算可得 c 0 = 1 ，c i = 2 ，c 2 = 一1 ，q = 3 这样一来，我们就可以形成切触连分式( 1 2 2 ) ，它的渐近分式是，( x ) 的( m ，”) 切触 有理公式t r 。o ( x ) = 1 ， ( x ) = l + 2 x ， 马o ( x ) = l + 2 x - x 2 ， ( x ) = l + 2 x - 4 x 2 + 3 x 3 ， 凡( 小：雨l + 3 x ， 。，、5 x z 一2 码( x ) 2 酱 三、r i c 算法 l w u y t a c k 在文献f 3 中给出了类似于q d 算法的方法来计算切触有理插值， 但这种算法仅适用于正规切触有理插值表。在文献【7 中给出了一种玎f 算法来 计算非正规n e w t o n - p a d s 表，即非正规的切触有理插值表，并用例子说明了这 种算法的有效性。 t h i e l e 倒差商算法，n e v i l l e 递推算法以及前面提到的w u y t a e k 给出的类似 q d 算法和s a l z e r 的连分式算法等，用于非正规n e w t o n p a d a 逼近的计算时，都 可能出现分母为零( 或由于舍入误差，分母虽不为零但绝对值很小) 的情况， 致使计算无法继续下去。而兀f 算法可避免这个问题，只要选择一个小的正s ， 当算得的参数n 或f 的绝对值小于f 时就作零处理，这样算法始终可以进行下去。在 计算机上进行计算时，可预先设置一个阀值s ，逐渐减小，达到精度要求的晶就做零 处理。 2 2 向量切触有理插值 在2 ，1 中我们介绍了数量情形的切触有理插值问题，解决问题的方法是利 用连分式的三项递推关系。这里我们介绍向量切触有理插值的系数算法及有关 插值性质。 由”个不同实数构成的点集仍记为兀：= n f f = 1 ，n j ，它们的重数分别为 ，晶，r = - 1 ，与之对应的向量集为 v ：= i v “( t ) h = o ，1 ，一1 其中 妒b ) = 参( v ( z ) ) l ，v ( 飞小 下面利用向量的广义逆( s a m c l s o n 逆) v 一= 丽v v 表示v 的共轭向量 来构造t h i c l c 切触插值连分式 即砷”+ 寻+ 寻。+ 若+ 苦+ 曾 垡垡丝x - x 3 + b 2 ，2 + + b 2 一l + b ，o+ b ” _ x - x ( 2 1 ) + + b 月 一l 使之满足插值条件： q 扣1 ( ) = 参( _ ( x ) d ( x ) ) l = v ”( t ) ， ( 2 2 ) m = 0 ，1 ，- 1 ；i = 1 ，t ，= 1 ，d 注意到连分式( 2 1 ) 中b = b “( 一) 的确定仅与前面的系数有关，而与后面的 系数无关。记d = ；，下面给出连分式( 2 1 ) 的系数算法： 第l 步计算第一组系数 b 】j ，k = o ，1 ，一，5 i 一1 e , o ( x ) = v ( x ) ； b l - = f l ，o ( x o ， f l 。( z ) = ( d v ( x ) ) ， b 。= f i ( 五) ； b l ( 墨) = k ( d e , k - t ( 而) ) ，k 2 ， f i ( z ) = b l , t ( 功+ f l f 2 ( x ) 第2 步 计算第二组系数b 2 , k ，k = o ，l ，1 - ，s 一1 州2 而x - - x 1 + 葡x - - x i 。罱+ 赫 b 2o ；f 2 ，o 讧2 ) ， f 2 ，( ，) = ( d f zo ( x ) ) ， b 2 l = f 2 l ( x 2 ) ， b 2 = k ( d f 2 n ( 屯) ) ，2 ， f 2 j ( x ) = b 2 t ( z ) + f 2 卜2 ( 曲 第t 步 计算第t 组系数b n ，= 0 ，l ，s ，一1 , 3 t r f j m 扛) 2 i 二x 函- - x ri + + 而x - - x t _ i + + 而x - x i 兰二苎兰二苎 + + ( 一b l , i ) + ( v ( 曲一v ( x 1 ) ) f f 。( 曲= ( 硼o ( x ) ) _ 。，b 1 1 ( 一) = e t ( ) b m = k ( ) ， b = ( d 1 1 i ( 薯) ) ，k 2 ， f f ( 砷= b “( d + f i j 一2 ( 砷 由广义逆构造的连分式( 2 1 ) 的困难在于它不能利用连分式的三项递推公 式，但上述系数算法却具有连分式所有的循环，递归的性质，尤其适合在计算 机上进行运算。 例3 设v ( x ) = ( 一，x 一1 ) ，x 1 = 0 ，x 2 = 1 ，求r ( 对使之满足插值条件： r ”( 气) = v “( 五) ，m = 0 ，1 ， r ( “( 屯) ；v ( ( x b ，= 0 , 1 解 由算法设所求r ( x ) 为 噼。+ 寻+ 百x - - x 1 + 百x - - x 2 十百x - - x 2 ：b ，。+ 土 1 ” b l i v ( x ) = ( 矿，x 一1 ) ， 三型型 + b 2 o + b 2 。i +b 2 j e 。( x ) = v b t l 0 ；eo ( 0 ) = ( 0 , - 1 ) ， ( 加( 观。1 = 石南，b ”嗵- ( 驴( 0 ，1 ) 吣，2 高+ 丽x - x i2 音+ 丽与 b 2o = f 2o ( 1 ) = ( 1 , - 1 ) ， ( 加( d f 2 删) _ 1 = 咭- 再3 x * ，嘉) ， b z , 1 = f 2 胪( 一云，一寺 ；已，一功， b ：( x ) = 2 ( 。f 2 ，。( 功) = 2 ( 弋9 + 讧x 丁 ) ( 2 ( 了1 2 丽x 1 - 了1 i 0 8 刁x 3 夏, - 矿7 2 x 7 ) b z , z i t ) ：2 ( d f ，j ( 1 ) ) 一：( 一；，一1 ) 于是 r o 。_ ( 0 ，_ 1 ) + 而x + 南+ i 菊x - 1 + 甭x - 1 即为所求的满足插值条件的向量有理函数。 一般地有 定理2 s 若由系数算法得到的向量b w = 1 ，n ，=，t 一都是有限 向量，且除。外都不是零向量。则向量切触, , i 连分2 式( 2 1 ) j 满足0 , 11b r ( ”( 薯) = v 螂( x 1 ) ，i = 1 ，2 ，h ，m = 0 ，l ，田一1 由于这里给出的算法是构造性的，所以一般定理2 5 也可由算法经简单计算推 出，故略去证明。类似于向量有理插值，有 定理2 6 设b i , o , b l l ，b 。e c d , 一n ：，x e r 如果对r h 量连分式( 2 1 ) 从未项 起逐项向前施行s a m e l s o n 递变换 1 ， v = 兰百 ( v 表示v 的共扼) ， i v i ，则必存在d 维向量多项式n ( 和实多项式d ( x ) 满足： ( 1 )r ( 曲= n ( x ) ，d ( x ) ；d ( x ) o ； ( 2 ) o ( x ) l i n ( x ) i 证明 用数学归纳法先证明( 1 ) 令s ( 曲= b n , a - i , t ( x ) = l ，假设j = 吒一1 ，吒一2 ，1 g ”o 。吨一+ 嚣+ g 。( x ) = s ( x ) ，f ( x ) ， f ( x ) o ， f ( x ) i l s ( x ) 1 2 成立，其中s ( x ) 为向量多项式，f ( 曲是实多项式。 为 i s ( x ) 1 2 = r ( 砷r ( x ) ，p o ) = b 。卅r ( 曲+ “一矗) s ( x ) ， 则r ( x ) o ，且 ( 2 3 ) 定义向量u ( x ) 和实多项式r ( x ) g 。加k 一+ 葫x - x 吨，- + 竖篙蛋盟 ：坠= ! 尘生生二主型塑：盟 r ( z )r ( x ) 由式( 2 4 ) 知 i p l 2 = ( b 一，( 力+ 0 一) s ( x ) ) ( b 一l r ( x ) + 扛一矗) s ( x ” = k 川1 2r 2 ( x ) + o 一吒) r ( x ) ( s ( x ) - - - b ”】+ b ”l s ( x ) ) + 0 一) 2i s ( x ) r _ 由上式可知 r ( x ) 舨x ) f _ 在式( 2 3 ) e e 令j = 0 得 g 一一( x ) = 6 ”+ 百x - - x + + i x - = x ( 2 4 ) 这就完成了( 1 ) 的证明 下面证明(