（计算数学专业论文）双曲型偏微分方程的小波配点法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科，应用领域十分广泛。1 9 9 0 年，j l i a n d r a t , p t e h a m i t c h i a n 开始始将小波分析应用于双曲型偏微分方程的数值求解。随后有许多专 家学者对这一领域做了进一步的研究和探索，并获得了一些有用的算法。可以将小波分 析应用于偏微分方程的数值求解是由小波函数的特性决定的。小波函数在空间和频域都 具有很好的局部性，它可以根据研究对象的不同频率成分自动调节取样步长，将信号分 解为交织在一起的多种尺度成分，并可聚焦到对象的任何细节。这一点对于解决奇异性 和瞬时突变性的偏微分方程至关重要。 本文首先介绍了小波分析的发展及其理论中的经典理论，包括多尺度分析绍了紧支 撑小波、d a u b e c h i e s 小波。 其次，本文对插值小波理论进行了介绍。主要介绍了插值基函数的构造、插值小波 多尺度分析以及以二分点上的插值多项式为基础的插值小波基函数，在插值小波基上， 函数在二分点上的值与小波系数一一对应，并指出d a u b e c h i e s 小波尺度函数自相关函数 就是一类插值基函数。 最后，在小波插值理论的基础上，本文介绍了一种的基于d a u b e c h i e s 小波求解微分 方程的自适应算法。首先利用在二分点上对初始条件进行多项式插值，构造了在所有二 分点处插值的近似表达式。通过对小波系数与一个阈值比较，保留系数大于阈值的小波， 在保持一定精度下，可以用很少的小波系数来逼近原函数。结合配点法的基本思想，对 空间域进行离散，得到一个常微分方程组，在一个时间步长上再用经典的四阶 r u n g e k u t t a 法求解，即可获得方程在下一个步长时刻的近似解析解，如此循环，就可 以获得方程在所有以步长为整数倍时刻的近似解析解。 关键词：双曲型偏微分方程；插值小波；自相关函数；配点法 双曲型偏微分方程的小波配点法 i n t e r p o l a t i n gw a v e l e t sc o l l o c a t i o nm e t h o df o rh y p e r b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wa c a d e m i cs u b je c ti nr e c e n ty e a r s ，w h i c hh a sb e e na p p l i e di n m a n yd i f f e r e n tf i e l d s i n19 9 0 ，j l i a n d r a t ，p t c h a m i t c h i a nb e g a nt os o l v eb u g e r se q u a t i o n u s i n gas p a t i a lw a v e l e ta p p r o x i m a t i o n l a t e rm a n ys p e c i a l i s ta n ds c h o l a r sm a d es c i e n t i f i c r e s e a r c h e so nt h i sn e wf i e l d a n dg o taf e we f f e c t i v ea l g o r i t h m s ，n l er e a s o nw h yw a v e l e tc a n b eu s e di ns o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni st h a tw a v e l e tc a nc o n c e n t r a t eo nl o c a l c h a r a c t e r i s t i c so faf u n c t i o ni nb o t hs p a t i a la n df r e q u e n c yd o m a i n , a n di tc a na d a p t i v e l yt a k e d i f f e r e n ts a m p l ei n t e r v a l sa c c o r d i n gt od i f f e r e n tf r e q u e n c yp a r t s ，t h e r e f o r ei tc a l ld e c o m p o s e s i g n a l si n t od i f f e r e n tf r e q u e n c yp a r t s ，a n dc a l lf o c u sa n yd e t a i l s ，w h i c hp l a y s a l li m p o r t a n tr o l e i ns o l v i n ge q u a t i o n sw i t hs h a r pt r a n s i t i o n sa n ds t e e pc h a n g e ss o l u t i o n t h i sp a p e ri n s tp r e s e n t st h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e ta n a l y s i sa n ds o m ec l a s s i c s u b j e c t ss u c ha sm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s d a u b e c h i e sw a v e l e t sa r ea l s oi n t r o d u c e d s e c o n d l y ，t h i sp a p e rp r e s e n t st h et h e o r yo f w a v e l e ti n t e r p o l a t i o n i tm a i n l yp r e s e n t st h e c o n f o r m a t i o no fi n t e r p o l a t i n gw a v e l e tf u n c t i o n , i n t e r p o l a t i n gw a v e l e tm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ， t h ei n t e r p o l a t i n gw a v e l e tf u n c t i o nw h i c hb a s e so ni n t e r p o l a t i n gp o l y n o m i a li nd y a d i cp o i n t s e a c hw a v e l e ti su n i q u e l ya s s o c i a t e dw i t ho r l ed y a d i cp o i n ：t ，a n dp o i n t so u tt h a td a u b e c h i e s a u t o c o r r l a t i o nf u n c t i o ni so n ek i n do fi n t e r p o l a t i n gw a v e l e tf u n c t i o n f i n a l l y ，f o l l o w i n gt h et h e o r yo fi n t e r p o l a t i o nw a v e l e t , t h i sp a p e rp r e s e n t sa na d a p t i v e a l g o r i t h mf o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb a s e do nd a u b e c h i e sw a v e l e t s b yu s i n g p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o no nd y a d i cp o i n t s a na p p r o x i m a t i o n o fi n i t i a lf u n c t i o ni sg i v e n t h e n w a v e l e tc o e f f i c i e n t si st h r e s h o l d e da n da l lt h ew a v e l e t sw h o s ec o e f f i c i e n t sa r el a r g e rt h a nt h e g i v e nt h r e s h o l da l er e s e r v e d ，t h u sag o o da p p r o x i m a t i o no fi n i t i a lf u n c t i o ni sg i v e nw i t ho n l y f e w e rw a v e l e tc o e 伍c i e n t s t h e nw eu s ec o l l o c a t i o np o i n tm e t h o d ，a n dc a l c u l a t i o no ft h e s p a c ed e r i v a t i v e sc a l lb ed o n eu s i n gc e n t e r e df i n i t ed i f f e r e n c e s t h er e s u l t i n gs y s t e mo fo d e s c a l lt h e nb es o l v e db yt h es t a n d a r df o r t ho r d e rr u n g e - k u t t am e t h o d i nt h i sw a yw eg e ta n a p p r o x i m a t i o na tn e x tt i m es t e p p e r i o d i c a l l yw ec a ng e ta l lt h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i cs o l u t i o n a ta l lt h em u l t i p l et i m es t e p s k 呵w o r d s ：h y p e r b o l i cp d e ；i n t e r p o l a t i n gw a v e l e t s ；a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ；c o l l o c a t i o n m e t h o d i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：二茸j 雄日期：三堕堕尘坦 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：盘五金垒 导师签名：纽导师签名：= 兰二乏么丝 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 。1 小波分析概况 小波分析的形成是数学家、物理学家和工程师们多学科共同努力的结果。小波分析 的概念是由法国e l fa c q u i t a i n e 公司的m o r l e t 工程师在1 9 8 2 年进行信号分析是引入的 1 1 。m o r l e t 为了给自己提出的小波变换找到精确的理论依据，与法国从事量子力学研究 的理论物理学家g r o s s m a n 合作，g r o s s m a n 随后投入这项研究并精确地推演了m o r l e t 提出的积分变换【2 】。随后，法国数学家m e y e r 在经典调和分析与小波变换之间架起了关 键桥梁，创造性地构造出二进伸缩、平移小波基函数【3 】。m a u a t 将计算机视觉领域的多 尺度分析的思想引入到小波分析中，巧妙地构造了小波的多尺度分析，统一了前人所提 出的各类正交小波的构造方法，提出了塔式快速算法【4 】。比利时人d a u b e c h i e s 在此基础 上，用迭代的方法构造出了著名的紧支撑规范正交d a u b e c h i e s 小波p j 。此后，新的具有 不同性质的小波基不断提出来。1 9 9 5 年，美国b e l l 实验室的计算科学研究中心研究室 负责人s w e l d e n s 提出了一种不依赖与傅立叶变换的新的小波构造方法，即提升方法 ( 1 i f t i n gs c h e m e ) ，称之为第二代小波或整数小波变换1 6 】。这种小波基的构造特点是直接在 时域内完成，同时也保留了第一代小波多分辨的特性。 小波理论飞速发展的同时，对小波应用的研究也异常活跃。现在小波分分析的应用 领域十分广泛，它包括：信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与 武器智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断：地震勘探 数据处理；大型机械的故障诊断等方面。例如，在数学方面，它已用于数值分析、曲线 曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号处理方面的滤波、降噪、压缩、传递等； 在图像处理方面的图像压缩、分类、识别、诊断、去污等；在医学成像方面减少b 超、 c t 、核磁共振成像的时间、提高分辨率等；在故障诊断方面的时频分析、故障特征提取、 信号奇异点检测、噪声去除与弱信号提取、震动信号压缩及系统参数与系统参数识别等。 小波在数值计算中的应用比在信号处理方面的应用稍晚一些。1 9 9 1 年左右，美国 a w a r e 公司的几位研究人员，以及美国学者b e y l k i n 最早开展小波用于数值计算的研究。 随后法国数学研究所的j a f f a r d 论证了小波解偏微分方程的优越性，并构造了周期小波求 解椭圆方程【7 】。小波的优势在本质上源于它兼具光滑性和局部紧支撑性质，从而能够比 传统方法更好的处理局部存在奇异性的问题。一维信号的阶跃点和二维图像的边缘都是 这种奇异性的体现。同样的，在数值计算中，解的不连续性或奇异性也普遍存在，奇异 位置的处理常会给问题带来很大的困难。自小波理论建立起就有研究者将小波用于这类 双曲型偏微分方程的小波配点法 数值求解问题，充分利用小波的局部分析能力来缓解由奇异性带来的复杂处理。自然界 中大量的物理现象都可以用偏微分方程来描述，如流体动力学和大气的运动通常可以用 一系列偏微分方程来表示，但是这些方程一般没有解析解，所以研究其数值近似解法就 成为关键性的问题。传统的求解p d e ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) l 拘数值方法主要有以下 三种： 。 第一种是有限差分法，即在离散网格点上定义未知函数的取值，然后用邻近点之间的 差分来近似表示原方程中的微分算子，进而将问题转化为求解一个线性系统。 第二种是有限元方法，即对求解区域按一定规则作单位剖分，并在剖分集上构造一个 具有紧支撑的线性无关测试函数集，再将微分方程在该函数集上积分，最后微分方程的 解就可以表示为这些测试函数的某种线性组合。 第三种是谱方法，即首先选取具有全支撑和一定光滑性质的基函数集，待求函数就可 以用这些基函数线性表示，然后再将其截断至有限项就得到方程的近似解。 前两种方法的优势在于能够在复杂的几何形状上简洁地求解原问题；而谱方法则具 有更高的求解精度。如果p d e 的解是规则的，那么上述三种方法都很有效。然而描述 很多物理现象的p d e 解都存在奇异点和变化剧烈的部分，如可压缩气体流中的冲击波， 湍流边界层处的突发作用等。这类现象通常表现为在很小的区域内发生了非常复杂的变 化，而且往往不具备时间上的连续性。 这样一来用以上方法求数值解都存在困难。由于解的非规则性直接影响了谱方法的 精度，所以谱方法很难实现；此外，基函数的全支撑特点还会引入著名的g i b b s 现象， 使解的精度下降。对于解存在局部剧烈变化的问题，必须通过自适应有限差分或有限元 法才能得到高精度表示。自适应方法可以自动估计当前解的局部误差大小，并根据误差 判断是否需要进一步加细网格以及确定对何处的网格作加细，这种策略的难点在于当网 格尺度变化时如何稳定，准确的表示差分算子。 借助小波分析的方法可以将待求函数用一系列小波基函数来表示，这些基函数在位 置和尺度上都具有局部性质。与之相应的，谱方法中的基函数无限可微，但它们的支撑 集为全空间，不利于表示解的局部特性；而有限差分或有限元法中的基函数有局部紧支 撑性，但连续性不好。这样的结果就是，谱方法有较好的局部谱分析能力，但空域局部 性不好；有限差分和有限元方法则恰好相反。而小波方法可以同时具备较强的空间和频 谱分析能力，有利于高效的得到高精度解。小波求解微分方程的实质就是将方程由原来 的坐标系转化n d , 波系下求解，充分利用方程在小波系下的稀疏特性来简化计算，提高 算法实现效率。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 小波法解偏微分方程的一般方法为：首先用小波法构造解空间的一组基，然后在二分 点上离散微分方程，形成一个离散或半离散系统后，再用一般传统方法数值地求解该系 统。得到的解或者是解的小波系数，或者是微分方程在二分点上的近似解。如果得到是 小波系数，还需要经过小波变换求得微分方程的解，即需要从小波空间映射回物理空间。 对于时间进化方程而言，通常采取自适应算法，将方程在空间进行小波离散后，使成为 一个线性或非线性系统，再用经典方法处理时间积分。自适应性则通过小波系数的阀值 来实现。 目前已有的小波解法可以分为两大类：一类是小波g a l e r k i n 法，另一类是小波配置 法。g a l e r k i n 法和配点法本质上都是加权残差法【8 1 。 设物理问题为： 端二= g0 娑面， m ， jg ( 痧) 一= ( 于s 边界面) 7 此式为偏微分方程或常微分方程，其准确解咖不易求得，可以设法求近似解妒，近似解妒 使式( 1 1 ) 不为零，而为 上( 驴) 一厂= 马，g ( 妒) 一g = 式中尺，和称为残差。加权残差法的基本思想是设定一个近似解妒，其中有试函数和m 个待定参数，整个解题过程要使残差r 和m 个线性独立的权函数缈相乘之后在全域的积 分值最小，从而归结为一个m 阶线性或非线性方程组。如果当m 寸o o 时，近似解逼近 于准确解妒，那么解此方程组就可以求得近似解。 在g a l e r k i n 法中，权函数形为试函数西，可得 i r w d v = i r d v - - - 0 多多 在配点法中，权函数为矿为d i r a c ，有 r w d v 2 j 肪( x x , ) a v = r i 而= 0 其中薯( f = 1 , 2 ， ，研) 可为一维或多维的。 1 2 小波g aie r kin 法 用小波g a l e r k i n 法求解偏微分方程，首先遇到的问题是边界条件的处理。早期的研 究主要是求解边界条件容易处理的周期方程凹，取得了较好的结果；研究中假设方程满 足周期边界条件，即求解函数与方程右端项均是周期函数，经过小波g a l e r k i n 变分后， 双曲型偏微分方程的小波配点法 得到周期解的卷积形式，然后运用相容矩阵法处理边界条件。与传统的有限元算法相比， 小波有限元方法易于实现解的最优逼近，即采用最少的小波基可以最优逼近有限元的 解，而且逼近系数充分表征了解的光滑性。由于小波函数的紧支撑性，将小波函数引入 到传统有限元插值函数中时，所得到的系数矩阵是稀疏阵，通过简单预处理，其条件与 维数无关， 耐( d - 1k d - i ) - - o ( ) ( 1 - 2 ) ( 1 2 ) 式中，k 是小波插值获得的刚度矩阵，d - 1 是预处理矩阵d 的逆矩阵。 例如在【7 】中，用小波g a l e r k i n 法解椭圆型问题，给出了小波g a l e r k i n 法的一般形式， 在求解区域上构造出了满足边界条件的基。又如在【1o j 中，用小波g a l e r k i n 法解一维微分 方程，用d a u b e c h i e s 小波作为解空间的基函数；在周期问题情形下，系数矩阵是一个循 环矩阵。再如在】中，求解区间 0 ，1 】上的微分方程，从实数轴尺上的多尺度分析开始， 分别构造【0 ，叫和 硼，1 上的多尺度分析，从而得n o ，1 】上的多尺度分析，再用g a l e r k i n 方法近似微分方程。 1 3 小波配点法 由于在配点法中选取的权函数形为d i r a c 函数，从而没有小波g a l e r k i n 中的积分困 难，计算比较简单。1 9 9 6 年，王建中等利用样条函数分别构造区域内的尺度函数及小波 函数和边界上的尺度函数及小波函数，从而构造出了一组s o b o l e v 空间中的三次样条小 波基，并在此基础上建立了一种快速插值方法求解偏微分方程的数值解1 1 2 ，1 7 】。其核心思 想是通过一种快速插值法建立离散小波变换，将物理空间的求解转化为小波系数序列空 间的求解；利用离散形式的微分方程，从已知条件出发，用一阶导算子矩阵和二阶导算 子矩阵对一阶和二阶导算子进行逼近，从而计算出新的时间层上的函数值。 而使用d a u b e e h i e s 尺度函数的自相关函数构造解空间的基最早可以追溯到 s b e r t o l u z z a 1 3 1 和o l e gv v a s i l y e v 1 4 】的工作s b e r t o l u z z a 首先利用自相关函数构造了在 实数轴上的插值算子，并用基于小波方法的预处理方法来处理，对一维的情况，提出了 三种方法解决d i r i c h l e t 边值问题。但文中的方法实际上采用的是均匀的配点，而o l e g v v a s i l y e 则是把二分点作为配置点，采用自适应的多层配置法，即根据函数解的局部性 实现配点的自适应调节【1 4 1 。又如在中将g a u s s i a n 小波函数作为解空间的基，同样把 二分点作为配置点，并且采用多层配置法。这类算法得到的或者是试探解的小波系数， 或者是配置点上的值，即微分方程的近似解。所有的算法都可以很容易地解决一维中的 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 问题。大部分算法在理论上都可以推广到二维或更高维的情形，但实现起来比较困难， 一个是二维中小波基的构造，另一个是边界条件的处理。在【1 7 】中虽然提出了对二维问题 的具体处理办法，但只能处理规则区域，对一般区域无能为力，也无法处理多介质问题。 在这些算法中，对于边界条件的处理也可以分为两大类：一类是在边界上构造满足边界条 件的尺度函数或小波函数，这种处理方法主要出现在第一类算法中，如【| 7 】中，修改边界 上的小波，使其满足第一类边界条件。而在l l i j 中分别构造满足两个边界条件的小波， 再和区域内的小波正交化。这种处理方法不增加未知数的个数，但构造符合边界条件的 小波也并非易事。另一类首先对边界条件做简单处理，然后在边界附近增加一些点，即 在边界附近增加所谓的外小波点来改善误差，这种处理方法主要用在第二类算法中，如 u 5 j 等中，在边界附近将下一尺度的点也作为配置点。这种处理方法虽然简单，但增加了 未知数的个数。在这些算法中这两种边界条件处理方法主要是针对第一类边界条件 ( d i f i e h l e t 边界条件) 的，后一种方法也可以用于第二类边界条件( n e u m a n n 边界条件) 的处 理。除了上述问题之外，对时间进化方程还要考虑时域的离散和方法的稳定性。 1 4 小波分析的基本理论 定义1 1 【1 鄹如果函数y ( 功r ( r ) 满足容许条件： 纠斗o = 上卜针 且满足规范化条件渺l l = 1 ，则称y ( 石) 为基本小波。 若更设l f ，( 国) 在点c o = o 连续，则由容许条件得： 上y ( 功出2 1 1 i ，( o ) = 0 也就是说y ( x ) 必是有正有负的震荡的波形，使其均值为零。这也是称其为小波的原因。 1 4 2 连续小波变换 定义1 2 【1 9 1 设厂( z ) p ( 欠) ，v ( x ) 为基本小波，a , b r ，定义厂( 石) 的连续小波变换为： 厂= 厂( 洲一彪v ( x 口- b 皿 双曲型偏微分方程的小波配点法 一般来说：满足容许条件的y ( x ) 便可以作为基本小波了。但实际上我们还要求y ( x ) 具有一定的正则条件，以便( 国) 在频域上表现出较好的局部性。为此，要求l f ，( x ) 具有 一定的消失矩性质，即： 上x v ( x ) 出- - 0 ，p 2 0 , 1 2 ，聍 此条件等价于 d p _ v ，( c o ) i 删：o ，p ：0 ，1 ，2 ，咒， n 越大越好。 定理1 1 t 1 9 1 设1 f ，( x ) 为容许小波，对任意的厂，g r ( 尺) ，有 工上厂( 口，b ) w v , g ( a , b ) - 窘2 2d b = q u ，g ) 此外，如果厂在x r 处连续，则： 弛) = 石1 上加，6 ) 北f l 2 ￥t ( x - _ _ 口2 b ) ) 塑口，d b 、v ” 一 事实上，上面两式分别与f o u r i e r 变换中的p a r s e v a l 恒等式和逆变换相对应。 1 4 3 小波多尺度分析 先给出多尺度分析的定义u 9 j 定义1 3 多尺度分析是指空间r ( r ) 中的满足如下条件的一个闭空间序列 巧 觎： ( 1 ) 一致单调性：_ 是一个嵌套序列，即7 ，巧+ 。c 巧。 ( 2 ) 渐进完全性：所有l 的并在r ( r ) 中是稠密的，即 4-oo+ u 巧= r ( r ) ， j 毒罂驴冲n v j2 o ( 3 ) 伸缩规则性：v ( ，k ) z 2 ，厂( f ) 巧铮f ( t 一2 。七) 巧， ( 4 ) 如果存在函数1 2 i 使得 妒( f 一姐) ) 脚空间v o 的一组r i e s z 基，即存在常数4 和b ， 0 a b + ，对于每个序列c = c 陆 ，2 ，满足 彳o c l 层l l c 【七】妒( 一七) 0 - b l l c l l ； 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 我们称多是尺度函数，尺度函数生成了( r ) 的一个小波的多尺度分析 定理1 2 1 叨设 巧 觎是一个多尺度分析，9 是尺度函数，并且它的而材厂i e ，- 变换是 虱由2 一 懈，= 专( 等) 则函数族 嘭，。) 越是空间巧，z 的一组正交基。 多尺度分析的一致单调性表明巧巧。特别的，2 川毋( 2 ) 巧c v o 因为 妒o 一，z ) ) 眦是空间的一组正交基，所以我们有下面的二尺度方程 击( 主) = 勤咖， m 3 ， 其中：办【聆】= 去( 主) ，o 一玎) ) 式( 1 3 ) 两边同时进行凡秽泖变换，可以得到 妒( 2 ) 。意1 ( 国) 驴( 国 、， 其中，| i 6 ( 国) = h n e 一。 这t 4 - ，对于任意p 0 ，可以得到 多( 2 叫1c o ) = 焉1 反2 一j d r o ) q ；( 2 一p ) 从而莎( 咖f 血掣陋。 p = l - q 么 ， 如默砒删处连续删坚妒咖妣所蝴咖旧百( 2 - p c o ) 尸 ， 双曲型偏微分方程的小波配点法 定理1 3 1 9 1 ( m a u a t ，m e y e r ) 设爹r ( r ) 是一个可积尺度函数。则 办【挖】) 腱z 的f o u r i e r 变换满足 v r ，陋) 1 2 + f j ；( 国+ 疗) 1 2 = 2 ( 1 4 ) | i 6 ( o ) = 压 ( 1 5 ) 反过来，如果磊( 国) 是以2 丌周期的函数，并且在= 0 的一个邻域内连续可微，如果 满蹦眦5 且畸i 刊n f 酬地哪”旧警卜个贼函数 r ( r ) 的f o u r i e r 变换。 当分辨率增加时，正交小波包含了更多的细节信息。函数厂在尺度2 7 和2 一上的逼 近分别是它们在空间巧和巧一。中的正交投影。我们已经知道巧c 巧一。，设髟是巧在巧一。中 的正交补空间：巧一。= + 髟。 函数厂在空间巧一。中的投影就可以分解为在空间巧和形的投影和 p v l v = p v l j p w l 昂，厂补充了在尺度2 。中没有出现的细节。下面的定理标明可以通过小波函数缈的 伸缩和平移构造出空间髟的正交基。 定理1 4 【1 9 1 ( m a l l a t ，m e y e r ) 设妒是尺度函数，h 是相应的共轭镜像滤波器。设函数y 满 足： 蜘) = 击营( 渺争vz 二二 其中，雪( ) = p 一砌左( 国+ 万) 。 我们令y ( f ) = 专y c 上笋j 。对于任意尺度2 ，p 眦是空间髟的正交基。 对于所有的尺度， i j , n ( ) e z ：是空间r ( r ) 的一组正交基。 定理1 5 1 明序列 y 肋) 艇z 是的一组正交基当且仅当 i 季( 国) 1 2 + i 宫( 国+ 万) 1 2 = 2 季( 国) 磊( 国) + 鸯( 国+ ，r ) 左( + 石) ：0 大连理工大学硕士学位论文 1 4 。5m a iia t 算法 m a i l a t 算法是从多尺度分析的嵌套结构出发，计算信号的在有限分辨率时正交小波 系数的快速滤波器算法。快速小波变换将函数厂在中空间l 的投影最厂分解成更粗分辨 率上的逼近与匆+ 的和i 反过来也可以用和厂重构出名。 既然 嘭， 。z 和妒加 。z 是空间和的正交基，那么函数在基底上的系数就是 a g 刀】= ( 厂，咖，。) 和哆【，z 】_ ( 厂，l f ，肋) 。下面的定理表明这些系数可以是用离散卷积和下采 样的塔式算法计算。我们令i 【刀】_ x 卜刀】， 驯= 耋翟+ ， 定理1 6 n 钔( m a l l a t ) 滤波器口+ l 和d ，+ 1 有如下分解 啊【纠= h n - 2 p a j n = a ，木h 2 p d j + l 【p 】= g n 一2 p a j i n = a j * g 2 p 滤波器乃有如下重构公式 q 【p 】= h p - 2 n a ：+ 。【，z 】+ g p - 2 n d j + ，i n = 嘭卅宰研p 】+ 弓卅木g 【p 1 4 6 d a u b e c h j e s 小波函数 法国学者d a u b e c h i e s 对尺度取二进值( 取2 的整数幂a = 2 j , z + ) 条件下的小波 变换进行了深入的研究，提出一类有如下特点小波称为d a u b e c h i e s 小波2 0 】： ( 1 ) d a u b e c h i e s 小波函数是紧支撑的，支撑长度为2 p 一1 ，其尺度函数也有相同的 支撑长度。其中p 是d a u b e c h i e s 小波函数的消失矩，即 f x l f ，( x 皿= o ，0 k p ( 2 ) 随着p 的增加，尺度函数和小波函数v ，的正则性也增强，实际上和y 属于 c 口p ( 口p 阶可微的连续函数集合，其中0 a 0 ，o 撒【七】 2 2d a u b e c h ie s 自相关函数 实际上，总共有两类插值小波。第一种是插值样条小波，第二类是d e s l a u r i e r s - d u b u c 对称迭代插值的特征函数。而在文f 2 2 】中表明，具有p 阶消失矩的d a u b e c h i e s 小波的尺度 函数的自相关函数和用2 p 1 次l a g r a n g e 插值函数的迭代插值的d e s l a u r i e r s d u b u c 特征 函数是一致的。本文采用的是具有2 阶消失矩的d a u b e c h i e s 小波对应的自相关函数。 以下部分均假设实值函数妒 ) 为d a u b e c h i e s 正交多尺度分析的尺度函数。我们记函 数 9 ( x ) = ( 妒幸妒( 一) ) ( z ) = i 妒o ) 9 i o - x ) d t ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中，表示卷积，称o ( x ) 是咖( z ) 的自相关函数。 由于( x ) 是紧支撑的，所以o ( x ) 也是紧支撑的。例如，若s u p p 妒= o ，n 】，则 s u p p o = - n ，n 】。图2 1 和图2 2 给出了消失矩夕为2 、3 的d a u b e c h i e s 小波尺度函数的自 相关函数的图像。 双曲型偏微分方程的小波配点法 消失矩为2 的。钏去h i e s t j 、i 皮白勺自相关函数 ，一( 0 1 ) ， i f ， ，7 f 暂旷一 ( 2 o ) 缸( 1 ，o ) o ( 1 一列即卜一 、 x 图2 1d 2 的自相关函数 f i g 2 1 a u t o e o r r e l a t i o nf u n c t i o no fd 2 先矩为3 的帅i 啊小麓的白相关函t 图2 2d 3 的白相关函数 f i g 2 2 a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o no fd 3 由尺度函数的正交性，可以很容易得至o o ( x ) 的插值性质： 一1 2 一 大连理工大学硕士学位论文 i p ( o ) = 1 咖o 矽( f ) 衍= l m i p ( 尼) = i ，t k ( t ) ( t - k ) d t = 0 ，k z ，k 0 im 可以证明自相关函数具有如下性质： ( 1 ) 自相关函数是一个偶函数，即 p ( x ) = l o ) 庐p - x ) d t = i 妒( f 动0 + x ) d t m，m ( 2 ) 原点是自相关函数的极大值点，即 o ( o ) 8 ( x ) 定理2 1 1 2 1 1 ( d o n o h o ) 假定驴( x ) 有指数衰减，c 0 是一致连续函数空间。如果厂c o ，则 罂4 厂一t 卅= ，l i m s 砌u p 。 f ( t ) 一乞八，) | _ 0 。 定理2 2 1 1 9 1 设妒( x ) 是正交尺度函数。对应的滤波器是“，2 】。如果l 芗细) | - d ( ( 1 + h ) q ) ， 那么 p ( z ) = i p ) ( f x ) d t 是一个插值函数。并且有如下二尺度关系 日( 詈) = h n 9 ( x - n ) ( 2 2 ) d oh n = h o l m h o l m - n ， 咒】是正交尺度函数妒( x ) 对于的滤波系系数。 定理2 3 i ：( f i x ，s t r a n g ) 任何次数小于或等t p - 1 的多项式都可以分解为 g ( f ) = q ( n 拗( t - n ) 当且仅当j i ；细) 在= 万处具p 重零点。 由以上的引理，可以知道o ( x ) 是插值小波。 由( 2 2 ) 式易知，h 2 n 】= 0 ，玎0 。对于任意p 0 ，滤波器h 的支集是 _ 2 p + 1 ，2 p 一1 】。 g v j - t d a u b e c h i e s 小波的尺度函数，文献1 1 给出了计算b i n 公式： 办c2，z十，：c一，一”石i：丐舌考潞，-p c ，境。一喜毫乃c 咖4 = 。 因此，任意一个一致连续函数厂( x ) 可以用厂( 曲冯。鲇+ 嘭皿j j 很好 的近似。 其中j m i n ，j m a x 分别是_ ，的最小值和最大值。为了能够比较好的捕捉到函数的奇异性， j m i n 取值不宜过小，我们j m i n 一般取值为4 ，而为了实际计算，m a ) 【不可能也不需 要取太大，我们这里取1 l 。 双曲型偏