（应用数学专业论文）广义系统的次优控制.pdf

中文摘要 中文摘要 广义系统自2 0 世纪7 0 年代产生以来，由于在宇航系统、电力系统、机器人系 统、生物系统、化工系统、经济系统及电路系统等领域的广泛应用，引起了广大学 者的极大兴趣，其理论研究取得了很大的进展，许多正常系统的结论相继被推广到 广义系统在二次最优控制方面涌现出不少的优秀成果，但是广义系统的次优控制 问题的讨论成果很少，由于在实际工程中，对于工程设计问题，不一定要求找到严 格实现“最优问题”的控制器，只要能找到满足工程设计要求的控制器即可，于是 研究次优控制问题具有很大的必要性近年来，非方广义系统被广泛研究，但次优 控制的成果很少 本文详细的分析了非方广义系统以及广义系统的次优控制问题的研究状况，并 通过使用半受限等价变换和广义逆矩阵将陈莉在文献汕东大学学报，2 0 0 6 ，4 1 ( 2 ) ：7 4 - 7 7 1 中研究的非方广义系统系统带干扰抑制的l q 次优控制问题中的参数限制条件 替换为更容易寻找的系数矩阵的秩约束条件，仍可得到次优控制一状态对存在，并 且闭环系统性能指标被控制在尽量小的范围内，次优控制可被综合为状态反馈，闭 环系统任意有限特征值均落在开左半复平面此方法使问题的求解更容易，所以利 于工程实现 关键词；非方广义系统；l q 问题；次优控制 a b s t r a c t s i n c e19 7 0 ss i n g u l a rs y s t e m sw e r er a i s e d ：a si tw a su s e dw i d e l yi na e r o s p a c e s y s t e m ，p o w e rs y s t e m ，r o b o ts y s t e m ，b i o l o g i c a ls y s t e m ，c h e m i c a ls y s t e m ，e c n o m i c s y s t e ma n dc i r c u i ts y s t e m ，a n d s oo n ，s oi tp r o v o k e di n t e r e s to fm a n ys c h o l a r s t h e s t u d yo fi t st h e o r yh a sb e e nm a d eag r e a tp r o g r e s s s o m ec o n c l u s i o n so fl i n e a r s y s t e mh a v eb e e ne x t e n d e dt os i n g u l a rs y s t e m s t h e r eh a v eb e e nm a n ye x c e l l e n t r e s u i t sr d a t e dt ol i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ；b u tf e wi ns u b o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mo fs i n g u l a rs y s t e m s f o rt h ed e s i g no fp r a t i c a lp r o j e c t s ：w ed o n o tn e e df i n da c c u r a t eo p t i m a lr e g u l a t o r ，w eo n l yn e e dt of i n dt h er e g u l a t o rw h i c h s a t i s f i e dt h ed e s i g i nr e q u i r e m e n t ，s oi ti sn e c e s s a r yt or e s e r a c hs u b o p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m i nr e c e n ty e a r s ，n o n r e g u l a rs i n g u l a rs y s t e m sw e r ew i d e l yd i s c u s s e d ，b u t f e wr e s u l t sa b o u ts u b o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m i nt h i st h e s i s ，w 0a n a l y s et h ee x i s i t i n gr e s u l t so fn o n r e g u l a rs i n g u l a rs y s t e m sa n d s u b o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fs i n g u l a rs y s t e m s u s i n gs e m i r e s t r i c t i e de q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o n sa n dm o o r e - p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fm a t r i c e s ，w er e p l a c et h e r e s t r i c t e dc o n d i t i o no fp a r a m e t e r si n j o u r n a lo fs h a n d o n gu n i v e r s i t y , 2 0 0 6 ，4 1 ( 2 ) ：7 4 - 7 7 1b ys o m er a n kc o n d i t i o n so fc o e f f i c i e n tm a t r i c e s as u b o p t i a m lc o n t r o l s t a t ep a i r i sc o n s t r u c t e d ，w h i c he n s u r e st h ep e r f o r m a n c eo ft h ec l o s e - l o o ps y s t e mi sw i t h i nc e r - t a i nr a n g e t h es u b o p t i a m lc o n t r o lc a nb es y n t h e s i z e da ss t a t ef e e d b a c k ，a n da l lt h e f i n i t ee i g e n v a l u e so ft h ec l o s e 1 0 0 pa r el o c a t e do nt h eo p e nl e f t - h a l fc o m p l e xp l a n e t h em e t h o di se a s i e rt oc a c u l a t et h es o l u t i o n ；s oi ti sc o n v e n i e n tt oa p p l i c a t i o n si n e n g i n e a r i n g k e y w o r d s ：n o n r e g u l a rs i n g u l a rs y s t e m s ；l i n e a rq u a d r a t i cc o n t r o lp r o b l e m ；s u b o p - t i m a lc o n t r o l i i 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 本部分说明一下本篇论文中用到的一些特殊符号所代表的意义 r a n k ( a )矩阵月的秩 a t矩阵a 的转置 a - 1矩阵a 的逆 d + 闭的右半复平面 舻 讥维欧几里得空间 舻m 礼m 阶的实矩阵 厶 n 礼阶的单位阵 a 0 a 是实对称正定的 a 0a 是实对称半正定的 入m 馘( a )矩阵a 的最大实特征值 k e r ( a )矩阵a 的核空间 r e ( s ) 复数s 的实部 i lx ( t ) 1 1 2函数z ( t ) 的吼范数 l lz ( ) 怯函数z ( t ) 的巩范数 o ( e ，a ) ( e ，a ) 的有穷极点域 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名= 殛琴 答字嗍。加矿s 月z 尸 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名；锾冬喝 签字日期2 【弼年s 月 中 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话t 邮编： 叫 月 呈可 7 沙 矿 溶 喀 ； ，二 名 期 签 旧 f 声 雅 字 第1 章引言 第1 章引言 1 1 研究广义系统的背景及意义 在2 0 世纪，社会生产力随着科技的进步取得了飞速的发展，其中系统控制理 论和实践被认为是对人类的生产、生活发生重大影响的科学领域之一 在控制理论中，系统被认为是由相互关联和相互制约的若干“部分”组成的具 有特定功能的“整体”系统的状态由描述系统行为特征的变量来表示由于在实 际工程中，系统常常会受到外部环境以及系统内部间的相互作用和人为控制等因素 的影响，因此随着时间的推移系统会不断的变化，从而研究带干扰的系统对于实际 的生产、生活具有很大的意义 广义系统作为系统控制理论的一个新兴独立分支，产生于上个世纪7 0 年代 与正常系统相比较，它是一类形式更为广泛的动力系统由于不同领域的学者分别 从不同的角度去认识和研究广义系统的特性和规律，故在一些文章中广义系统又称 为微分代数系统 e o l ( d i f f e r e n t i a la l g e b r a i cs y s t e m s ) 、奇异系统( s i n g u l a rs y 8 t e m s ) 或隐式系统( i m p l i c i ts y s t e m s ) 等 广义系统的研究始于1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 在研究复杂电力网络系统首次提出 了广义系统概念【4 3 1 ，在随后的几年，广义系统理论发展比较缓慢到了2 0 世纪8 0 年代，才陆续出现了诸如广义系统的能控性、能观性的概念以及判别准则【4 4 1 ，系统 的观测器设计 4 9 】、干扰解藕、特征结构配置、l q ( l i n e a rq u a d r a t i c ) 的最优控制 问题1 5 4 , 5 9 以及动态补偿器等方面的研究成果四十年来，经过广大科研工作者的 不懈努力，基本理论已经成熟，如今相关结论也已被推广到时变广义系统、时滞广 义系统、非线性广义系统、不确定广义系统以及分段线性广义系统等方向，研究的 专题也呈现多样化，有系统的运动分析、稳定性分析 5 0 , 5 1 】、吼和矾。优化控制 5 5 , s 8 】、鲁棒控制【5 2 】、受限能控性、干扰抑制、无源性等 广义系统的理论和研究方法是建立在其模型基础上的，广义系统模型揭示了广 义系统行为的规律性或因果关系性，能够对各个变量和参量间的关系按照需要进行 描述 广义系统数学模型的基本要素是变量、参量、常量以及它们之间的关系变量 包括输入变量、输出变量及状态变量：参量是系统的参数或表征系统性能的参数 前者受系统环境的影响产生变化，后者可按照实际的要求而人为的改变：常量就是 黑龙江大学硕士学位论文 指在系统内部不随着时间的变化而改变的参数 广义系统数学模型可分为连续型与离散型两大类【5 7 l 连续型广义系统是指系统的输入变量、状态变量和输出变量在连续的时间点取 值，反映变量间的动态过程表现为连续的时间过程连续型广义系统是用微分方程 描述的，一般形式如下： e ( ) 老( ) = ，k ( t ) ，乱( t ) ，t 】 秒( t ) - 7 - - g i g ( t ) ，“( t ) ，t 】 其中茁( t ) ：锃( 吐y ( t ) 分别是系统的状态向量、输入向量和输出向量，( ) 和夕( ) 是 向量函数，t 0 为时间变量，e ( t ) 为奇异阵 离散型广义系统是指系统的输入变量、状态变量、输出变量只在离散的时间点 取值反映变量间关系的动态过程在时间上是不连续的离散型广义系统是用差分 方程描述的，一般形式如下： e ( 七) z ( 七+ 1 ) = f i x ( k ) ，让( 七) ，k y ( k ) = 9 【。( ) ，锃( ) ：k 】 本文主要研究的是广义系统理论中最基本的一个研究分支：连续广义系统中 的线性时不变广义系统，其主要特点是系统中每个系数矩阵都是不随时间变化的常 数，一般表达式为 e z ( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) y ( t ) = c z ( t ) + d u ( t ) 其中e 舻姗一般为奇异阵，x ( t ) 、u ( ) 和y ( t ) 分别为状态、输入和输出向量， a ，b ，c ：d 为适当维数的定常实矩阵为表述方便，当e = i 时，称上面系统为正 常系统 从实际而言，一般的广义系统都是时变的，但由于时不变系统在研究上具有简 便性和基础性，而且在很大范围内时不变广义系统能够精确的代表实际系统，所以 成为广义系统理论中主要研究对象时不变广义系统实质上是对实际系统近似化后 导出的理想化的模型 与正常系统相比较，广义系统理论更为复杂，有很多独特的性质。首先从e 的 取值考虑，当e 非奇异时，广义系统就是一个正常系统，但一般情况下e 是奇异 的，因此广义系统是对正常系统的推广；从特性来看，正常系统只有动态性，而广 一2 一 第1 章引言 义系统拥有动态性、静态性以及静动态混合的特性；广义系统还具有正常系统不具 有的脉冲行为以及无穷极点，而且无穷极点又有动态无穷极点和静态无穷极点之 分；从自由度来看，具有礼维状态变量的正常系统具有咒个自由度，但对于具有仡 维状态变量的广义系统只有r a n k e ( n ) 个自由度；正常系统的传递函数为真分式矩 阵，而广义系统的传递函数包含多项式矩阵；对于正常系统，任意初始值都存在唯 一解，由于广义系统需要考虑相容条件，故系统的齐次初值问题解可能不存在，即 使存在，也未必唯一；从解的结构来看，广义系统的解可能含有正常系统没有的脉 冲项和控制导数；通常在系统的结构参数扰动下，广义系统也不再有结构稳定性 基于这些特点，使得广义系统理论的研究更加困难，更具有挑战性，但这些特 性又为广义系统添加了很多特色，加之在越来越多的领域，例如。宇航系统、电力 系统、机器人系统、生物系统、化工系统、经济系统及电子网络等 4 6 - 4 s 】被广泛应 用，而且在很多实际工程中，比如反应堆、受限机器人等只能用广义系统描述，却 不能用正常系统来描述，并且广义系统理论对时间序列分析、奇摄动问题、大系统 理论及网络分析等问题的理论分析具有促进作用，因而使广义系统成为一个备受关 注的领域 1 2 非方广义系统研究的状况 非方广义系统是指系统中e 煳2 0 世纪8 0 年代末，一些控制理论工作者 开始研究非方广义系统，非方广义系统的一些基本问题已取得了一定的成果，如在 文献【2 2 中，提出了非方线性广义系统的一种标准型，给出了广义系统的新的系统 等价变换，建立了一个统一的算法，任意一个非方广义系统可等价变换为标准型，并 在此标准型下，可以确定系统的容许初值集，为进一步讨论控制问题确定了框架 文献f 2 3 】提出了长方系统无脉冲，以及脉冲能控、能观的定义，用上述定义证明了 长方广义系统脉冲能控与消除脉冲的状态反馈增益之间是不等价的在 2 4 】中， 提出了非方广义系统广义正则的概念，给出了矩形广义系统在不同反馈形式下可广 义正则化的充要条件基于正则的概念，给出了矩形广义系统的广义逆等价型，并 研究了原矩形广义系统c 能控( 观) 性与其广义逆等价型的c 一能控( 观) 性的 关系在文 2 5 】中，将正则广义系统能达集等概念推广到了非方广义系统在文献 【2 6 】中，讨论了非方广义系统的可解性条件，引入了弱一致的概念，并证明了此概 念等价于广义系统的脉冲能控文 2 7 中，基于非方系统的能观性反应通过输出辨 识初值的能力，通过具体研究初值，提出了能观、弱能观和强能观的定义，并用几 黑龙江大学硕士学位论文 何的方法刻画了这些能观性在 2 8 】中，提出了初值容许性，脉冲模能控性以及容 许| 生概念，并给出脉冲模能控的矩阵秩条件 关于含未知输入的线性系统的观测器设计问题，最近三十年来引起许多研究者 的广泛重视由于许多情况下扰动或输入不可测量，因此研究这个问题无论在理论 上还是在工程实践中都有重要意义关于状态的估计，对正常状态空间系统与广义 系统，已有不少优秀成果 2 9 - 3 1 l ，但对于非方广义系统，在近些年才刚刚起步。在文 献 3 2 】中，基于非方广义系统的结构特征，在初等代数框架下，引入一个输入- 状 态对的非奇异转换，把含未知输入的非方广义系统等价地转化为已知输入的正常状 态空间系统用传统的设计正常状态空间系统观测器的方法构造出了含未知输入的 非方广义系统的未知输入观测器，并给出了观测器存在的充分条件，由此得出了有 限时间观测器的设计步骤文献f 3 3 1 研究了含未知输入的非方离散广义系统的输入 解耦观测器设计问题当系统脉冲能控时，把部分状态与未知输入一起作为新的未 知输入，通过将输入状态对进行非奇异变换，把非方离散广义系统的观测器设计 问题等价地转化为离散正常状态空间系统的相应问题给出了离散广义系统输入一 状态观测器存在的充分条件和简单的设计方法，本文不但渐近估计了非方离散广义 系统的状态，并渐近估计了它的未知输入文献 3 4 对于含未知输入的非方广义线 性系统，研究了该系统具有环路复现特性( l t r ) 的干扰解耦观测器设计问题通过 矩阵的各种变换，将非方广义系统等价地转化为正常状态空间的广义线性系统，并 运用相关定理给出观测器具有干扰解耦和环路复现特性( l t r ) 的充要条件，经分 析，系统具有环路复现特性的充要条件是系统对于任何未知输入干扰解耦，具有环 路复现特性的干扰解耦观测器的设计问题转化为系统关于任何扰动都是解耦的最 后由广义s y l v e s t e r 矩阵方程的显式通解出发，给出了观测器的参数化设计方法， 同时，给出了观测器的设计算法文献【3 5 研究了含未知输入的广义线性系统，观 测器受未知输入的影响，给出了l u e n b e r g e r 观测器的设计方法文献 3 6 研究了 非方系统的降阶未知输入观测器，基于广义约束s y l v e s t e r 矩阵方程给出了设计方 法 1 3 广义系统l q 问题的研究状况 1 3 1l q 问题的含义 我们知道，在研究系统时，需要一个表征系统控制效果好坏或控制品质优劣的 性能指标，这就是指标函数，也被称为性能指标泛函或代价泛函，它是依赖于控制 第1 章引言 函数u ( ) 的函数，记为了【u ( ) 】当系统是线性的，指标函数是关于状态变量x ( t ) 与控制变量u ( t ) 的二次函数，即性能指标是二次的，那么就可以求出最优反馈控 制率u ( f ) = 一( ) z ( ) ，k ( t ) 是由求解一个非线性r i c c a t i 微分方程或代数方程而 确定的，这种问题就称为线性二次( l i n e a rq u a d r a t i c ) 优化问题，l q 是线性二次 ( l i n e a rq u a d r a t i c ) 的简称有时也被称为耽范数最优设计 l q 问题的实际意义在于它把最优反馈控制与非线性系统的开环最优控制结 合，减小开环误差，从而达到更精确的控制，便于工程的实现，因而在实际工程中 得到了广泛的应用 在最优控制问题中，我们定义哈密顿函数取极值的弧为极值弧若极值弧不能 使控制向量表示成状态向量和协态向量的函数，那么问题就是奇异的奇异线性二 次型的概念就是把奇异和线性二次型这两个概念结合在一起得到的一个奇异线性 二次型问题的奇异性( 以时不变广义系统无限时间l q 问题为例) ，等价于性能指标 j = 付( 。t q z + u t r u ) d t 中矩阵兄的奇异性 1 3 2广义系统l q 问题的研究状况 l q 问题是控制理论中的重要问题，其理论成熟，设计灵活，能方便的进行极 点配置，且具有较有成效的工程应用，因此对广义系统的l q 问题的研究自然会吸 引国内外的学者和科技工作者对其进行研究，至今也已经取得了大量丰硕的成果 广义系统的l q 问题最早在1 9 8 7 年由b e n d e r 和l a u b 4 5 】提出的阎九喜在文献 【6 2 中通过引入时变广义系统脉冲能控、脉冲能观等概念，建立了时变广义系统l q 最优控制问题与正常系统l q 问题的等价性，并证明了解的存在唯一性，给出了解 的形式和最优反馈综合文献 2 】通过对系统采取一系列的变换，在新的二次指标 下，使离散广义系统不显含非因果性，给出离散广义系统在二次性能指标下存在线 性最优控制的充分必要条件，推广了正常系统的结果在文献( 3 】中给出了广义系 统n 一正则的定义，并针对n 一正则的广义系统l q 问题，讨论了将其经初等变换化 为正常系统l q 问题的方法，并且该方法也适用于广义系统奇异l q 问题，利用系 统矩阵给出了广义系统n - 正则的充要条件，并得出结论：无论奇异与否，对于n 一 正则的广义系统；l q 问题均可得到状态反馈形式的最优解在 4 】中以矩阵理论 为工具，研究了无脉冲膜的广义系统奇异l q 问题在【5 】中对于具有因果能控的 离散系统在有限时间上的奇异l q 最优控制问题利用受限等价变换将广义系统转化 为正常系统的非奇异l q 最优控制问题，并给出了两个系统等价的充要条件，最终 得到具有因果关系的最优轨线应用与 1 】相同的方法，在【6 1 中对于加权阵r 0 黑龙江大学硕士学位论文 的情况进行了讨论，在一定的条件下，问题转化为正常系统奇异或非奇异l q 最优 控制问题文献f 7 1 将系统化为正常线性系统的非奇异l q 最优控制问题，并用惩 罚法获得最优控制文献【8 给出了降阶慢子系统奇异l q 问题的解，研究了指标 含有奇异摄动系统的最优控制问题，并通过比较发现，奇异摄动系统的最优性能指 标逼近于降阶慢子系统的最优性能指标与上述文章不同，文献【9 中的输出变量 y 除了含有状态变量z 同时也含有控制变量，“：因此性能指标也就更加广泛当系 统向其它系统转换时，输出中由于含有控制变量铭：就不能直接应用【1 】中的结果， 但可应用( 1 】中的方法，将系统转换为正常系统的非奇异l q 问题，并在一定的条 件下，得到唯一的最优控制和最优状态，并将线性系统的最优代价比较定理推广到 广义系统尽管离散系统和连续系统有所区别，但两者之间证明方法存在很多相似 之处，正因如此，文献 1 0 】将 9 】中的方法和结论推广到了离散广义系统在【1 3 】 中，张庆灵、邢伟、张国峰研究了线性广义系统的最优控制问题引入了线性广义 系统的r i c c a t i 方程，并给出了系统二次指标线性最优控制问题的充要条件 上述文章讨论的都是非滞后系统的l q 控制问题，但在实际工程中时滞现象 经常存在，因此对于研究具有时滞的系统l q 控制问题具有很大的必要性在【1 1 】 中，作者推广了【1 】中的方法，利用基本的代数等价变换，将一类奇异时滞系统的 奇异l q 最优控制问题转化为正常状态滞后系统的非奇异l q 最优控制问题，在一 定条件下，得到最优控制率并综合为最优状态反馈 我们知道在正常系统中不定号l q 问题( 二次型指标中的权矩阵含有负特征 值) 是无意义的，但在广义系统中由于e 的奇异性，使得广义系统不定号l q 问题 可解，文献【1 2 】就通过引进辅助二次指标给出将问题转化为广义系统奇异l q 问题 的充要条件，并基于等价系统的奇异系统奇异l q 问题，给出了问题存在唯一最优 控制状态对的充分条件 由于非方广义系统近年来受到广泛的重视，故关于非方广义系统的l q 问题也 取得了较大的进展文献【1 4 】和【1 5 】将【1 中的方法推广到非方广义系统，利用线 性代数和最优等价原则，把非方广义系统的奇异l q 最优控制问题转化为正常状态 空间系统的奇异或非奇异l q 最优控制问题在一些常规条件下，得到最优控制状 态对，并且文章中的系统限制条件是弱于【1 】、【1 6 】、【1 7 】、【1 8 】中的文献【1 9 】 将【1 4 中的非方连续广义系统的奇异l q 问题推广到非方离散广义系统，输出y 中 除了含有状态变量z 同时也含有控制变量让，在一定条件下，给出了问题的可解 性，并给出非方离散广义系统最优代价比较定理在文献【2 0 】中，陈莉研究了非方 广义系统带最坏干扰抑制的奇异l q 问题，应用文献【1 4 】中的方法，将非方广义系 一6 一 第1 章引言 统带最坏干扰抑制的奇异l q 问题等价的转换为线性系统带最坏干扰抑制的非奇异 l q 问题，在一定条件下，最坏干扰和最优控制状态对都存在且唯一，最优控制 可被综合为状态反馈，在最坏干扰和最优控制作用下，闭环系统任意有限特征值均 在开左半平面，闭环系统状态有最少自由元不足的地方是不容易寻找满足限制条 件的参数文献【2 1 】引入了广义逆矩阵和半受限等价变换手段，将【2 0 】中关于参 数限制条件转换成了更容易验证的系数矩阵的秩约束条件，仍可得到最坏干扰和最 优控制状态对都存在且唯一，最优控制可被综合为状态反馈，在最坏干扰和最优 控制作用下，闭环系统任意有限特征值均在开左半平面，闭环系统状态有最少自由 元，此方法更容易工程实现 1 4 广义系统的次优控制问题研究现状 由于最优问题是在系统满足特定条件下才能使性能指标最小，一般是不易给出 解答的，另一方面对于工程设计问题，又不一定要求找到严格实现“最优问题”的 控制器，只要能找到满足工程设计要求的控制器即可，于是提出了次优控制问题， 次优控制能使性能指标在尽量小的范围内，易于工程实现 关于次优控制的理论研究现今主要有以下三种形式。 1 、- 2 次优控制问题 寻找个反馈控制器，使闭环系统是容许的，且闭环传递函数。( s ) 的耽范 数小于给定的正数7 ，即0 疋u ( s ) 1 1 2 ，y 2 、乩次优控制问题 设计个反馈控制器，使闭环系统是容许的，且闭环传递函数疋。( s ) 的 k 范 数小于给定的正数p ，即i | 及。( s ) l i o 。 3 、h 2 巩混合次优控制问题 寻找反馈控制器，使闭环系统是容许的且对于给定的正数，y 和正数p ：闭环传 递函数z u ( s ) 满足i i 正。( s ) i | 2 7 且i l 正。( s ) i i 0 的充要条件是假设( i i ) 成立 注意到 q b l