（概率论与数理统计专业论文）不同信仰和对数效用下的欧式期权定价.pdf

摘要 完全信息下的经济学都是假设投资者知道资产的期望均值和波动率。但现实 中，资产的期望均值我们往往并不知道，投资者只能根据手头上的历史数据去估 计它，即信息不完全。而且估计时还受到投资者个人偏好的影响。因此，投资者 拥有的信息和个人偏好会影响资产定价，从而影响到期权的定价。这说明对不完 全信息情况下的期权定价进行研究更有实际意义。 不完全信息下，文献【1 】通过建立代理人经济模型说明了代理人的信息质量和 个人风险偏好是如何影响期望效用的，并导出c r r a ( c o n s t a n t r e l a t i v er i s k a v e r s i o n ) 效用函数下资产均衡的价格和贴现因子。在此基础上文献【2 6 】、【2 7 】介 绍了不完全信息情况下，代理人的效用函数分别是对数效用函数和幂函数时的欧 式期权定价公式。但其研究的前提是假设代理人之间有共同的信仰，即他们对资 产期望均值的估计相同。 显然，要求代理人对资产的期望均值估计相同不合实际。因此本文是在此基 础上进一步推广：研究代理人之间有不同信仰，效用函数为对数效用函数时的期 权定价问题。本文首先在代理人经济模型上根据第一福利定理得到了代理人之间 有不同信仰和对数效用函数情况下各自的均衡消费，进而根据资产定价一般原理 给出资产的均衡价格和贴现因子，得到了资产的均衡价格不受投资者信仰的影响 和贴现因子为相同信仰下的加权平均的结论，然后根据期权定价一般原理给出文 中不同情况下的欧式期权的价格公式。最后还进一步考虑了违约风险的市场价 格。 关键词：不同信仰；不完全信息；对数效用 a b s t r a c t i h ee c o n o m i c su n d e r c o m p l e t ei n f o r m a t i o na l w a y sa s s u m et h a ti n v e s t o rk n o w n t h ea s s e t s e x p e c t e dr e t u r na n dv o l a t i l i t y b u ti nr e a lw o r l d ，t h ea s s e t s e x p e c t e d r e t u r ni sa l w a y su n k n o w nt ou s ，i n v e s t o rc a r lb u te s t i m a t e si tf r o mp a s tp r i c e d a t ab yh a n d ，i e i n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n f u r t h e r m o r et h ee s t i m a t i o ni sa f f e c t e d b yi n v e s t o r sp e r s o n a lf a v o r i t i s m s ot h ei n f o r m a t i o na n dp e r s o n a lf a v o r i t i s mt h e i n v e s t o rh o l d e na f f e c t e dt h ea s s e t s p r i c i n g ，t h e nt h eo p t i o np r i c i n g i ts h o w e dt h a t i ti sm o r ep r a c t i c a lt om a k es t u d yo fo p t i o np r i c i n gu n d e ri n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n u n d e ri n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n ，l i t e r a t u r e 【1 】s h o w e dh o wt h ei n f o r m a t i o n s q u a l i t ya n dp e r s o n a lf a v o r i t i s mt h ei n v e s t o rh o l d e na f f e c tt h ee x p e c t e du t i l i t y t h r o u g hb u i l du pak i n do fa c tf o re c o n o m i cp e r s o n sm o l d ，a n dd e r i v e dt h ea s - s e t s e q u i l i b r i u mp r i c ea n dd i s c o u n tf a c t o ru n d e rc r r a ( c o n s t a n tr e l a t i v er i s k a v e r s i o n ) u t i l i t yf u n c t i o n o nt h eb a s eo fi t ，l i t e r a t u r e 【2 6 】、【2 7 】i n t r o d u c e de u r o - p e a no p t i o np r i c i n gw i t hl o g a r i t h m i cu t i l i t ya n dp o w e ru t i l i t yf u n c t i o nw h i c hi s a d o p t e db yt h ea g e n t b u ti t i so nt h es a m ea s s u m p t i o nt h a tt h ea g e n t sh a st h e s a m eb e l i e f s i e t h e yh a v et h es a m ee s t i m a t eo nt h ea s s e t s e x p e c t e dr e t u r n a p p a r e n t l y , i ti su n r e a s o n a b l et h a tt h ea g e n t sh a v et h es a l n ee s t i m a t i o no nt h e a s s e t s e x p e c t e dr e t u r n s ot h ep a p e rf a r t h e rs t u d yt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mo n t h ec o n d i t i o n so ft h ea g e n t sh a v eh e t e r o g e n e o u sb e l i e f sa n dt h eu t i l i t yf u n c t i o ni s l o g a r i t h m i cu t i l i t y o nt h ea g e n te c o n o m i cm o d e la n da c c o r d i n gt ot h ef i r s tw e l f a r e t h e o r yt h i sp a p e rg a i n e de a c he q u i l i b r i u mc o n s u m p t i o n ，f u r t h e r m o r e ，a c c o r d i n gt o t h ea s s e tp r i c i n gt h e o r yt h i sp a p e re d u c e dt h ea s s e t s e q u i l i b r i u mp r i c ea n dd i s c o u n t f a c t o r ，o b t a i n e ds u c hc o n c l u s i o n st h a tt h ea s s e t s e q u i l i b r i u mp r i c ei su n a f f e c t e d b yi n v e s t o r s b e l i e f sa n dt h ed i s c o u n tf a c t o ri se q u a lt ot h ew e i g h t e da v e r a g e do ft h e v a l u e st h a ti nc o r r e s p o n d i n ge c o n o m i c sw i t hh o m o g e n e o u sb e l i e f s ，t h e na c c o r d i n g t oo p t i o np r i c i n g sc u r r e n tt h e o r y ，w eg a v et h ee u r o p e a no p t i o np r i c ef o r m u l a so n d i f f e r e n ti n s t a n c e se n u m e r a t e di nt h ep a p e r a tt h ee n do ft h ep a p e rw eu l t e r i o r l y t h i n ka b o u tt h em a r k e tp r i c eo ft h ed e f a u l tr i s k k e y w o r d ：h e t e r o g e n e o u sb e l i e f s ；i n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n ；l o g a r i t h m i cu t i l i t y 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：良屣 调年明阳 厦门大学学位论文著作使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非营利目的的少许复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适应本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权。 2 、不保密( ) 。 ( 请在以上相应的括号内打。、刀) 作者签名：。夏巨 导师签名：勃吉毛k 日期：嗣年弘日 日期：加乡年6 月p 日 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 第一章引言 1 1 不完全信息经济学 大多数经典的资产组合选择和资产定价理论( 1 2 1 一般是建立在假设投资者已 经知道资产的期望回报之上的，但有些时候投资者并不知道期望回报均值，投资 者只能根据市场数据和基本原则去估计其期望值，这也就是我们所说的不完全信 息情况。 不完全市场里，对期权像b - s 模型那样进行精确的复制是不可能的，期权的 价格与投资者掌握的信息质量和风险态度等有关。w a n g 和h o n d a 1 1 l 在他们的 研究中分析了期望均值或红利增长率未知情况下组合最优选择和均衡资产定价 问题。由于个人信仰不同，在不完全信息情况下，对应的鞅测度就不唯一，从而 价格就不唯一。我们只能根据不同的效用函数得到对应的均衡价格。 文献f 2 3 1 中建立了一个有关不完全信息下的连续时间金融模型。在模型中假 设红利的期望回报均值是未知常数，但不是一个随机过程。在此假设下不完全信 息下投资者进行最优化组合选择分两个步骤：第一步是用他当前的条件期望代表 未知的均值；第二步是按m e r t o n 的思想建立一个对冲策略去保护由于他的估计 所可能带来的不利影响。 本文也是假设红利期望均值是一个常数的情况下，建立一个代理人经济模 型，在此模型下运用效用函数理论讨论代理人不同信仰下资产的均衡价格和折现 因子，再根据期权定价一般原理给出所考虑的欧式期权均衡的定价公式。 近段金融研究文献里，d el o n g ，s h l e i f e r ，s u m m e r s 和w a l d m a n n 7 a 等人的 研究强调了资本市场里个人不同信仰的重要性。他们的研究证明了：考虑了投 资者不同信仰的模型可以很好地解释只用一个典型代理人( 即假定代理人信仰一 样) 的模型所不能解释的困惑( 如波动率微笑方面) 。因此考虑投资者有不同信仰 的模型更合现实。 本文只考虑有两种类型信仰不同的代理人情况。即不同信仰类型的代理人对 风险资产的期望回报均值看法不同，作为区分，我们可以把一类代理人称作乐观 者( o p t i m i s t s ) ，他们对风险资产期望回报均值的估计高于另一类代理人的估计， 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 这一类代理人相应称作悲观者( p e s s i m i s t s ) ，且假定乐观者和悲观者自始至终保 持该信仰不变。或许最后的假定不符合现实，但文献 4 】指出若代理人随时间推移 因财富效用最大化要求改变了信仰，但这并不会改变最终本质的结论。当然，该 分析可以扩展到任意有限个信仰类型不同的代理人情况上去，只不过增加了数学 上的复杂性而已。 1 2 效用函数理论简介 在西方经济掣2 4 】中，我们用“ 表示消费者的偏好。如果z 和y 是某些非 示成z y 。效用是从偏好关系中派生出来的。效用函数是偏好关系的一种度量： z 和y ，z y 的充要条件是u ( x ) “( 可) ，则称函数u ( x ) 是消费者的效用函数。 第二次世界大战后，著名的经济学家m o r g e n s t e r n 与著名的数学家、电脑创 始人v o nn e u m a n n 合写了一本书【2 2 】，第一次提出了确定效用函数的公理系统， 既定的收入约束条件下获得尽可能大的满足。在其他条件不变的情况下，当消费 是在既定的收入约束范围内选择商品组合实现效用最大化状态。用公式表示为： 罢譬乱c z b z 2 ， 给予的基本限定很难进行数学运算因此经济学家希望以一个效用函数来体现消 定理：在公理1 4 1 2 4 的假定下，一定存在着定义在集合y 上的一个实值函 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 ( 1 ) y 1 y 2 ，当且仅当乱( 暑1 ) u ( 2 ) ( 2 ) 对于任意的2 7 1 ，z 2 ，x 和0 7 r i 1 ( i = 1 ，2 ，s ) ，并且 7 r i = 1 ，有 i = 1 u ( t q ，7 r s ；x l ，z 。) = 7 r 1 钍( z 1 ) + + 7 r s u ( x s ) 该定理说明，在不确定性条件下，消费者的偏好关系仍然可以由一个效用函 数加以表示。消费者持有或消费一份不确定权益的效用值是这个权益的所以结果 的效用值的加权平均值。其中的权重是这些结果出现的可能性，即加权平均值是 对应的效用值的预期值或期望值。从而我们就可以把不确定性问题的分析转化为 确定性问题的分析。 当消费者在不确定性条件下进行选择时，他的某种行为就具有一定的风险。 选择那种组合取决于消费者对待风险的态度：有人喜欢冒险，从冒险中寻到乐 趣；有人则偏好稳重，尽可能回避风险；也有人持无所谓的态度，不会以冒险为 乐，也不会费尽心思回避风险。我们依次称这三种态度为：风险厌恶、风险中性、 风险爱好三种。如果效用函数是有一阶和二阶导数的一元函数，可定义阿罗一普 雷特a r r o w p a r t t ) 风险厌恶度量：入( z ) = 一位”( z ) 让( z ) ，则 i la ( z ) 0 ，风险厌恶， i 1a ( z ) 0 ，所以它对应风险厌 恶。一般来说，只有存在更高的期望收益，才会去冒更大的风险。即更高的风险 需要更高的收益来补偿，或者说，更高的收益吸引人们冒更大的风险。从而，现 实中风险厌恶者占多数。在后面的章节里，我们的定价就是在投资者是风险厌恶 的假定下进行的。 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 1 3 违约风险及其建模方法 风险是指未来的不确定性。严格说来，现实中从技术、经济到市场、管理等， 只要是还没有发生的事情，都不能给予肯定，这就决定了风险存在的普遍性。从 不同的角度可以将风险分为各种不同的类别：市场风险、信用风险和意外风险。 市场风险可以归结为价格波动的风险。一个企业在经营过程中可能与多种市场发 生联系，因而就面临多种市场风险。意外风险是指由于不可预见的偶发事件造成 的风险。某一天意外的天灾或事故可能造成企业厂房设备的损坏或人员的伤亡， 企业高级人员的人事变动可能使十拿九稳的合同无法签约等。而较为多见的意外 风险则是技术创新和新产品或替代品的出现。 信用风险又称违约风险，是指由于合约一方未能履行合约订立的义务而导致 债权人发生的经济损失的可能性。不能对方是否由于财务困难而未能履行合约规 定，还是由于不愿意不履行非强制性合约，都广义地称为违约风险。长期以来， 人们就将违约风险看作债务价格与债务回报率的关键决定因素。发行风险较高的 债券必须承诺更高的收益，但收益高多少昵? 信用风险建模就是试图应用从风险 权益分析而来的理论，为信用风险定价的。 起初，b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 在他们关于期权定价的开创性论文中朝违 约风险模型迈出了关键的一步。近些年来，人们开发了大量的研究方法为带 有违约风险的债券定价。对违约风险建模有两种基本方法：一种是由m e r - t o n ( 1 9 7 4 ) 开创，经b l a c k ，c o x ( 1 9 7 6 ) ，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 等修正发展的 结构方法( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 。该模型可分为公司价值模型和首达时模型。 另一种方法是d u f f l e ，s i n g l e t t o n ( 1 9 9 5 ) ，j a r r o w ( 1 9 9 7 ) 等人采用的简化形式方 法( r e d u c e df o r ma p p r o a c h ) 。亦即强度模型。 最初为风险债券或类似金融工具的定价建立的模型是m e r 伽( 1 9 7 4 ) 【1 8 】创立 发展的。而基于m e r t o n 的模型，第一个探讨含有交易对手违约风险的定价模型 的是j o h s o n 和s t u l z ( 1 9 8 7 ) i s 。他们的研究是m e r t o n 公司价值模型的一个推 广。价值模型限定，当合约空头方的资产总值低于其债务总额时，空头方才会违 约，合约未到期之前公司不被清算。合约到期时，若发生违约，合约多头方将获 得一定比例的补偿。设坼是对手方公司在? 时刻的承诺支付。我们考虑该权益 是欧式的，即在到期日t 之前承诺支付不执行。如果公司在权益的有效期内可以 垂 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 支付其债务，则在到期日t 该权益可以得到婚的收益。如果在权益有效期内破 产了，权益的持有者就不能得到硒的收益，而是其一部分。这样带有违约风险 的权益的到期收益可表为： 群= 坼i 骶d t + 6 t x t i v t d t ) 其中i 1 是集合示性函数。和胁分别是到期时对手方公司的资产价值和 债务。妨= d 个v t 是回收率( 又称为补偿率) 。 如果违约时间为r 。则7 t 表示对手方公司在到期日前不发生违约或破 产；而t 丁 t 表示对手方公司违约或破产。从而在到期日t 时该风险权益的 价值也可以表示为： 碍= x t i r r + 而婚i 下 m ：出时，投资者i 向上修正 z tz t ，j 一 关于肛的估计，当竺 m ：出时，投资者i 向下修正关于p 的估计。从代理人的 观点看，有着常数值红利期望增长率p 的不完全可测经济等价于有着随机的、时 变的红利期望增长率m 。的完全可测经济。 m ：的平均均方误差w = e 【( m ：一p ) 2 i 霄】是类型i 的代理人关于p 的真值 的不确定性度量，满足动态d y t i = 一妥d t ，其表达式为： w = 赤 它可以作为信息质量的一种度量。当w = 0 时，p 就完全可知了，相应的经 济就是完全信息下的经济；当w 变大时，代理人i 对p 的不确定性增大，对股利 信息m i 的修订就变大。这里需要指出，不同的信仰源于有两类不同的先验分布。 由于有不同的先验信仰，同样的红利消息就由不同的解释，根据初始的差别，除 t = 0 之外，验后信仰就不同了，从而不同的信仰在均衡中一直保持。 我们假定所有的代理人有着相同的消费生命期长t 。代理人i 有着如下形式 的基于期望消费量的效用函数 1 2 ： ，t，t u ( c ) = e ( e - p u ( 4 ，s ) d s ) = e ( e - 舢l n ( c i , ) d s ) ，i 1 ，2 ) ( 5 ) 这里u ( 4 ，s ) 是代理人蕾当前期望消费的连续凹函数，且仳( ，s ) = l n ( 以) ， 即代理人的效用函数为对数效用函数。其中p 是非负的，跟物价指数相关的一个 参数。上式还隐含着假定代理人的最终财富效用为零。 进一步假定，市场上有两支证券，一支是无风险的，一支是有风险的，代理 人通过持有这两种资产的多头或空头以达到他们需要的消费模式。 2 2 均衡的消费 首先，我们对均衡作一下说明：因为代理人虽然有不同的信仰，但是他们之 间没有信息的不对称，所以市场的均衡是标准的a r r o w - d e b r e u 均衡，即每一类 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 点上，有e + 砖= x s ) 的条件下最大化他们的消费期望生命期效用。即在均衡 妒( 入) = 入邵t 【e - - p 。l n ( t ) 如1 + ( 1 一x ) e m 【e p 。i n c ；d s 】 ( 6 ) a 【0 ，1 】并限制在以+ 2 = 写。的条件下。其中入表示类型1 的代理人在积 仰求期望。为求解最大化问题( 6 ) ，我们使用强度过程粕= 斋，并把限制条件 艺+ 砖= 代入目术- 一一z 。，1 4 ： 妒( a ) = e e t 队e - p l n ( c ：) d s + ( 1 一入) e p s 啦l n ( x s 一蠢) d s 】 ( 7 ) 刍砒叩专邓叫e 叫仉去= 。 e2 再氚( 8 ) = z 皇一已= x 糕z 。 ( 9 ) 给定信仰( m i ，w ) ，类型i 的代理人可视l n ( x 。) 为均值为l n ( x t ) + ( m i 一 譬) ( s 一) ，方差为盯2 ( s t ) + w ( s 一芒) 2 的正态分布( 见附录a ) 。因此 蚴：芒蒸鞯一如。且仉= 斋可以重写为 仉= 娜一一嘞一 二 l _ l 一 榔一一一 垃业鳢“ 帅一一帅一忡 堕互 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 特别地，7 7 t = l 。结合( 8 ) 、( 9 ) 式，每一种类型代理人的均衡消费量就确定 了。它们是关于将来时刻s 的红利z 。的函数。 2 3 均衡的资产价格 这一节我们利用h o n & z 模型的主要结果f l o 】【1 1 1 ，研究对数效用函数下均衡的 资产价格。 在均衡状态时，代理人i ( i = 1 ，2 ) 的消费为均衡消费葚。因为他没有其它来 源的收入，所以消费的来源为他持有企业股票所得的红利。于是，相应的状态价 格指数定义为【1 2 j ： 7 = e 一让( ，t ) = e 一万1 ( 1 1 ) v 0 进一步，若假定的动态纠表为： 娥= 疋( 亡) 班+ 弗( z ) d 玩( 1 2 ) 则相应的均衡的短期利率为： 一= 一警 ( 1 3 ) 我们用霹( i = 1 ，2 ) 表示时刻t 的企业股票相对于类型i 的代理人的均衡价 格，则均衡的资产价格过程为： 爰= 磊1 跏【z t 丌矧耳】( 1 4 ) 我们用人；善表示到期日为8 ( s t ) ，到期值为1 的不违约零息票债券在t 时 刻相对于代理人l 的价格，这个权益的均衡价格即折现因子为： 鸠，。= 1 砬e p t 阮l 耳】 ( 1 5 ) 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 这样，田( 8 ) 、( 1 1 ) 、( 1 4 ) 式司得 母= e p t 【z 2 以划s l 耳】 = e 枷【z 1e 叩 d s l 砰 = e 跏【z re 一一半d s l 碍, l = 如。耶t 【t e l 入+ ( 1 一枷) d s l 万1 = e 觑 = e 队竿+ ( 1 一a ) 竿】 p 同理可得 ( 1 6 ) 砰= 1 - 7 e - p ( 一t - 。) ( 1 7 ) 由( 1 6 ) 、( 1 7 ) 式可以看出，均衡的资产价格即不依赖于红利增长率的估计值 m ：，也不依赖于该估计值的平均方差w 。这说明，在对数效用函数下，资产的均 衡价格不受投资者的信仰的影响。因此，尽管代理人有不同的信仰，但资产的均 衡价格唯一。这意味着资产的价格可以从乐观者角度去算，也可以从悲观者的角 度去算；也就暗示着存在一个唯一的等价鞅测度q ( 风险中性的) 和短期无风险利 率n ( 见附录b ) ，资产的价格可以在测度q 下算得，但无论怎样结果相同。 1 m 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 再次，由( 1 1 ) 、( 1 5 ) 式知： 砉耶“以i 万】 e c 饰e - p a 击l 碍】 驯e 叩半去吲 e x t e p - 【e 一伊( 入+ ( 1 一入) 叼。) = 1 e 1 】 e p t 既 a 耶t 【e _ 舻圭l 碍】+ ( 1 一a ) 邱。【e 叩去l 碍口 e - p ( 州玩 入毋【e 乩( 2 ，i 碍】+ ( 1 一入) 邵。【e 地( z i 耳】) a e x p 【( 一p - t - m ；一盯2 ) ( s t ) + 石i l k l ( s 一亡) 2 】 + ( 1 一a ) e x p ( - - p + m ；一盯2 ) ( s t ) + 去嵋( s 一亡) 2 ( 1 8 ) 注意，最后一个等式利用了结论： e 【e x p ( ql n ( x s ) ) 】= e x p a e ( 1 n ( x 。) ) + 等矿a r ( 1 n ( 以) ) 】 同理可得 缱。= 入e x p 【( 一p + m ；一盯2 ) ( s t ) + 去k 1 ( s t ) 2 】 + ( 1 一入) e x p ( 一p + m ；一2 ) ( s 一亡) + 百1 ，t 2 ( s 一) 2 ( 1 9 ) 这里，我们又得到这两类代理人所采用的折现因子也相同，且恰为文献f 2 6 所 研究的相同信仰情况下的折现因子的加权平均。此外，考虑到n 可等价表示 为：r t = a ( p + m ；一盯2 ) + ( 1 一a ) ( p + m 一盯2 ) ，因此它也可以视为相同信仰情况 下的加权平均。因为两类代理人拥有相同的红利历史数据，只不过他们对红利未 来的期望增长率值抱不同的看法而已，即代理人之间没有信息的不称问题，所以 上述结论也是很直观的。 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 第三章不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 3 1 期权的定价 我们考虑这样一个欧式买入期权，它的到期日为蜀( t o t o ) i 碍】 这里为简单起见，假定违约后补偿为零。从而由( 2 0 ) 式知 p t = 州1 ，而e p t 【( 跷一k ) + 1 r 而，i 耳】 + ( 1 一入) a 呈孙昂：【( 硫一k ) + 1 r r o ) l 耳】 ( 2 3 ) 此即存在违约时，可违约的欧式买权在t 时刻的均衡价格。 3 2 均衡价格公式的推导 由第二章的介绍，我们知道a 1 ，而，a 2 h 死，跣，跪的值已经明确了因此， 推导的关键是如何求e p ，【( - 跪一k ) + l 碍】和唧t f ( s 乞一k ) + 1 r l 厅】。下面我 们就分别求出( 2 1 ) 和( 2 3 ) 式的具体表达形式。首先 邵t ( 跪一k ) + l 列 = 驯( 竿 科闻 全1 1 1 3 _ 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 注意到在t 时刻我们根据先验信息得到红利均值的估计值，在t 到如的时间 区间上进行计算时，我们用p 在时刻t 的估计值来替代p 。因此，d b t 和d 目变 为两个完全相同的过程。从而 的计算如下： = e e l ( 1 一e - p ( t t o ) 解方程 得 z t e x p ( m ；一a 2 2 ) ( t o t ) + 仃d b , f t o 】一k ) + ) ，t ，则y n ( o ，1 ) z t e 印( ( m ；一口2 2 ) ( 一亡) + 口v 佤o - t y 一k ) + 孺1 e 一譬妇 1 一e - p ( t t o ) d o = 妩e x p ( m ；一a 2 1 2 ) ( t o 一亡) + 仃、彳两】= k n 篓仙南一( m ；一譬) ( 叫 仃历 从而 厶= e ( 1 - e - p p ( t - t 。) 锄e 圳小砌熵叫+ 仃而1 孺1 e 一譬咖 一k e 去e 名匆 其中 同理可求 1 - f e - p ( t - t 。) 耽e 印【( 一亡) m t l n ( d 1 ) 一k n ( d 2 ) d l = d 2 = d 1 一口可j 邱。 ( 跪一k ) + | 写】 1 垂 x t o k ) + i 耳】 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 罕 2 p，e i i 全 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 兵甲 ：1 - e - _ p t 一- t 。) 轨e 印【( 一亡) m ；】( 五) 一k ( 五) 1 n 嚣+ l n 兰+ ( m ；一譬) ( 一亡) ( 2 6 ) z ：丝一上二：兰： l 趵) o t o t 五= 五一仃胡f 习 综上所述，无违约时的均衡的期权价格为： a = a e x p ( 一p + m ；一口2 ) ( s t ) + 互1 k 1 ( s 一亡) 2 】 + ( 1 一a ) e x p 【( 一p + m ；一仃2 ) ( s 一亡) + 三曙( s 一亡) 2 】) - 盼厶+ ( 1 一入) 】 ( 2 7 ) 式中各参数见( 2 4 ) 一( 2 6 ) 式。 其次存在违约时，我们分两种情况分别求解： ( 1 ) 违约强度与标的资产过程不相关时 其中 耶 ( 跣一k ) + 1 r 硒) | 碍】 = e e 【( 跪一k ) + i 耳i e ，【1 下 t o i 耳】 = 跏 ( 1 - e - p p ( t - t 。) z 乃一k ) + i 耳】p 7 - t o l 耳 = 邵1 【( 竿z 乃一目+ l 耳】e 【e 一俨d s 】 全 2 厶同前 如= e 【e 一俨九凼】 由随机微分方程的知识【2 1 】，知( 2 2 ) 式的解为： a 8 = a t e 一口。一) + 6 ( 1 一e - a ( s 4 ) + p e - a 眠 ， 1 5 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 记一产九如= z ，则 e ( z ) = 研一铲九出】 = 一e 【俨( 凡e 一口( 卜t ) + b ( 1 一e - a ( 8 一t ) + pfe 川( 卜u ) d w = ) d s 】 = 一e 【丘功( 入t e 一口( 。一t ) + b ( 1 一e - a ( 。一t ) 】 - b ( t o t ) + v a t ( z ) = v a t 一产九d s 1 一e - 口( t o t ) ( 九一6 ) 】 = v a r _ 0 ( p 片e 一口( 。刊d 眠) d s 】 = 3 2 v a r 【卸( 于e 叫一) d s ) d 眠】 3 2 v a 俨 = 卢2 俨【 1 一e - a ( t o u ) 1 一e - 口( t o u ) d w ，】 】2 也】 = 譬t ( r o 一亡) 一吾( 1 一e - a ( 而一t ) ) + 由公式e e 2 】= e x p e ( z ) + 壶v a r ( z ) 】 1 2 = 鲫p - b ( t o t ) + 1 一e - 4 ( t o t ) 1 一e - 2 a ( t o t ) ( 九一6 ) 】+ 磊隅叫一( 1 - e - a ( t - o ) + 1 6 1 一e - 2 口( t o t ) ( 2 8 ) 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 同理可求 砌【( 跪一k ) + 1 r 硒) i 耳】 = e v 。【( 跪一k ) + i 嚣】邵：【1 r i 矧 = e v 。【( 1 - - f e - p ( t - t 。) z 一k ) + i 写】p 丁 t o l 耳 = e p z 【( 1 - f e - p ( t - t 。) z 乃一k ) + i 耳腓一俨九d s 】 全 其中 同前 ( 2 9 ) 正= 2 综上所述，当违约强度与标的资产过程不相关时，所考虑的均衡的可违约欧 式期权价格为： p t = a e x p ( 一p - l - 以一c 7 2 ) ( s 一亡) - b 去k 1 ( s 一亡) 2 】 + ( 1 一a ) e x p ( - p + m ；一盯2 ) ( s 一亡) - b 石1y t 2 ( s t ) 2 】) 盼 + ( 1 一入) 】2( 3 0 ) 式中各参数见( 2 8 ) 、( 2 9 ) 式。 ( 2 ) 当违约强度与标的资产过程相关时 我们假设c o v ( d b t ，d w t ) = 础。此时，求p t 的关键是如何求e e - ( s b o k ) + 1 f t o ) l 耳】。同样考虑到在t 时刻我们根据先验信息得到红利均值的估计值， 在t 到的时间区间上进行计算时，我们用弘在时刻t 的估计值来替代p 。因 此，d 鼠和d 霹变为两个完全相同的过程。从而c 伽( d 哥，d w t ) = c o v ( d b t ，d 吼) = 础。因此 厶全e p 【( 跷一k ) + 1 r 而) i 耳】 = 酬生竽础训小枷熵叫+ 仃t o d b 一k ) + e 一俨k 如) 一1 7 ( 3 1 ) 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 记a ( b r o 一鼠) = z ，一俨k 砒= y 。则利用随机f u b i n i 定理得 c 伽( z ，可) = c o v ( a b r o ，一pk 砒) = 一a c o v ( b t o ，俨阻d ( u 叫+ 6 ( 1 一e - a ( u 一2 ) ) + pre 一口( u 一8 ) 批】砒) = 一a c o v ( b r o ，俨e 叫u 一3 ) d w s ) d u ) = 一仃p 俨e 叫) c o v ( b t o ，d w 。) d u = 一仃p 丘码e n 扣一 ) c o v ( d s , ，d w s ) d u = 一盯p 丘功( re 一口似一8 ) 面d s ) d u 0 8 f 2 l n 为了后面书写得方便，我们记 令z l = 如= e ( x ) = 0 1 一e - a ( t o t ) 程= v a r ( x ) = 0 2 ( t o 一) p f = e ( y ) = - b ( t o 一亡) + 一死+ t ) 1 一e - a ( t o t ) ( 九一6 ) 】 曰= y 口咖) = 等隅叫一二2 ( 1 一e _ n ( 聊) p l = z 一诤z c o v ( x ，y )矽p o z o 暂 a o , x 0 謦 y l2 y p y f ( x l ，y l ，p 1 ) = ) + ( 1 - e - ( t 。- t ) ，一蜀+ 亡) a 1 一e - 孙( t o t ) 2 a ，则( x l ，y 1 ) 服从二维正态分布，其密度函数为： 赢e x p 一万而 一1 8 - ( z ；一2 p l z l y l + 可 ) 】 从而( 3 1 ) 式可以化为 厶= 刚生产 1 e - p ( t t o ) p x t x t e x p ( m ；一a 2 2 ) ( t o 一亡) + z 1 】一k ) + e p v + 唧y 1 ，十 e 印【( m ；一a 2 2 ) ( t o t ) + z 1 + a y y l 】 - ，d 0 f ( x l ，y l ，p 1 ) d x l d y l 一k e 1 e - p ( t t o ) e 印卜 亡e e a u y l ，( z l ，y l ，p 1 ) d x l d y l 粥训小竹2 熵叫】c e e 慨讥 2 ( 1 一p ；) ( z ；一2 p l x l y l + 可；) 】d z l d y l k e 脚 1 1 磊而e x p 一2 ( 1 - p ) 作变量替换： 且记 ( 茁 一2 p l x l y l + 秒；) 】如1 d y l z 22z 1 一+ p 1 a u ，y 2 = y l 一+ p l a z 32z 1 一p 1 ， 蜘2 可1 一 2 7 r j 两 ，i + o o ， e a v y l j d o a = ( 一p l a , ) 2 2 p l ( a x p 1 ) ( 一p l a x ) + o y p l ) 2 则j 1 3 可以进一步化为 1 3 = 1 e - p ( t t o ) x t e x p ( m ；一a 2 2 ) ( t o t ) + f d l + p l e r r i - ，一 1 e - p ( t t o ) 2 ( 1 一p ) ( 3 2 ) 咖_ ( z ；一2 p l z 2 y 2 + 谚) 】如2 d y 2 一k e 蜥- - 。i o ，2 磊方鼋e x p 一南 x t e x p ( m ；一0 2 2 ) ( t o t ) + 一k e x p ( p 掣+ 互1u ! ，2 ) ( d 1 + p 1 ) 1 9 ( z ；一2 p l x 3 y 3 + 可；) 】如3 d y a 2 ( 1 一p ；) 】n ( d l + 一p l a y ) ( 3 3 ) 不同信仰和对数效用下的欧式期权定价 同理可计算得 全e p 2 ( s t 2 0 k ) + 1 r 跖) i 厅】 1 一p p ( t - t o ) ， = e p 2 ( 二 甄e 印【( m ；一a 2 2 ) ( t t o ) + 口d b 。1 p j t k ) + e 一俨k 九) = 1 - e f - 从t - t 。) 钆e 印【( m ；一矿2 2 ) ( 蜀一亡) + 可f 】( 4 + 一p 。) 一k e x p ( t t 耖+ 石1 2 ) ( 4 + p l o y ) ( 3 4 ) 综上所述，当违约强度过程与标的资产过程相关时，我们所考虑的可违约欧 式期权的均衡价格为： p t = a e x p ( 一p + m ；一仃2 ) ( s t ) + 去k 1 ( s 一) 2 】 + ( 1 一入) e x p 【( 一p + m ；一盯2 ) ( s t ) + 石1y t 2 ( s t ) 2 】) 队厶+ ( 1 一a ) 】 = 入口( p 【( 一p + 仇；一仃2 ) ( s t ) + 去k 1 ( s 一亡) 2 】 + ( 1 一入) e x p ( 一p + m ；一盯2 ) ( s t ) + 石1 ，t 2 ( s 一亡) 2 】) 1 - e f - p ( t - t 。) 娩队e 印【( m ；一仃2 2 ) ( 蜀一亡) + 玎f 】( d 。+ 一p 。) + ( 1 - a ) e 印【( m ；一口2 2 ) ( 乃一t ) + 习f 毛虿】( 五+ 一p ，) 】 一k e x p ( # 掣+ 石i 2 ) 队( d 1 + p l a y ) + ( 1 一入) ( 4 + p 1 ) 】) ( 3 5 )