（光学专业论文）非线性光波导传输特性分析.pdf

a b s t r a c t i n t e g r a t e do p t i c s ，an e w a n dd e v e l o p i n gs c i e n c es i n c ei9 6 0 s i sb a s e di n t h e o r i e sa n dt e c h n i q u e so fm i c r o w a v e 1 a s e r , s e m i c o n d u c t o r , f i l mo p t i c sa n d i n t e g r a t e dc i r c u i t s i th a sd e v e l o p e dr a p i d l ya n dac o m p a r a t i v e l yi n t e g r a t e da n d m a t u r et h e o r e t i c a ls y s t e ma sw e l la se x p e r i m e n t a lm e t h o d sa n dt e c h n o l o g yh a s b e e nw e l le s t a b l i s h e dn o w i n t e g r a t e do p t i c sd e v i c e sa r em a i n l ya p p l i e dt oo p t i c a lc o m p u t i n gt e c h n i q u e ， o p t i c a li n f o r m a t i o np r o c e s s i n ga n do p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o n ，a n dh a sh u g e l a t e n tp o t e n t i a l i t i e s i nm o d e mi n t e g r a t e do p t i c st e c h n i q u e ，o p t i c a ls o u r c e s ， o p t i c a lw a v e g u i d e s ，e l e c t r o n i cd e v i c e s ，r e c e i v e r se t c c a nb ei n t e g r a t e di n s i m p l ep i e c e sa n dv a r i o u sh i 曲s p e e d ，l o wp o w e rc o m p u t e rd e v i c e sa sw e l la s l o g i cd e v i c e sh a v eb e e nm a n u f a c t u r e d t h er e s e a r c hi ne l e c t r o o p t i ca n d o p t i c a ld e v i c e sh a sd e e p l yd e v e l o p e d i ng u i d e dw a v eo p t i c s ，t h ed i m e n s i o no fo p t i c a lw a v e g u i d ec r o s ss e c t i o ni s o ft h eo r d e ro fm a g n i t u d ef o ro p t i c a lw a v e l e n g t h ，w i t hc o n c e n t r a t e do p t i c a l f i e l d ，v e r yh i g ho p t i c a lp o w e rd e n s i t yc a nb ep r o d u c e db yi n p u t t i n go p t i c a l b e a mw i t hs m a l ii n t e n s i t y b e c a u s eo f t h ec h a r a c t e ro f s t r u c t u r ea n dm a t e r i a l i n o p t i c a lw a v e g u i d e s ，t e ep h a s em a t c h r 、gc o n d i t i o n sw h i c ha r er e q u i r e df o rt h e o c c u r r e n c eo fn o n l i n e a re f f e c t sc a l lb em o r ee a s i l ys a t i s t i e df o r o p t i c a l w a v e g u i d e s t h u so p t i c a lw a v e g u i d e sa r eo n eo ft h eb e s tc o m p o n e n t sf o r f o r m a t i o no fn o n l i n e a ri n t e r a c t i o n s n o w a d a y sv a r i o u sn o n l i n e a ro p t i c a l d e v i c e ss u c ha sh a r m o n i c s g e n e r a t o r s ，m i x e r s ，p a r a m e t r i co s c i l l a t o r s ， i n f o r m a t i o np r o c e s s o r s ，o p t i c a lb i s t a b i l i t yd e v i c e sh a v eb e e nm a n u f a c t u r e d b e c a u s eo ft h ec o m m o nd i s t i n q u i s h i n gf e a t u r e s ( s m a l ld i m e n s i o n ，l i g h t ，l o w l o s s ，i n t e f f e r e n c er e s i s t i n ga n dh i g hc a p a c i t y f o ri n f o r m a t i o ne t c ) o fa l l i n t e g r a t e do p t i c a ld e v i c e sa n dt h ef e a t u r e so fs t r o n gn o n l i n e a re f f e c t sa n df a s t r e s p o n s e ，t h ea p p l i c a t i o no fn o n l i n e a ro p t i c a lw a v e g u i d ed e v i c e st on a t i o n a l e c o n o m y ，n a t i o n a ld e f e n s ea n dt e c h n i c a lr e s e a r c h e si sh i g h l yp r o s p e c t i v e t h u st os t u d ya n dt om a s t e rt h ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i co fn o n l i n e a ro p t i c a l w a v e g u i d e si so fp r a c t i c a li m p o r t a n c ei nr e s e a r c h ，e x p e r i m e n t a lm e a s u r e m e n t a n dm a n u f a c t u r eo f n o n l i n e a ri n t e g r a t e do p t i c sd e v i c e s t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r e ： 】r e v i e w i n g t h ep u b l i s h e dp a p e ro nt h ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f d i e l e c t r i cw a v e g u i d e sa n dt h et h e o r yo fn o n l i n e a rw a v e g u i d e s ，c o n s i d e r i n g t h ec u r r e n ts i t u a t i o ni nd o m e s t i ca n di n t e m a t i o n a ir e s e a r c h e so nt h e o r ya n d 3 a p p l i c a t i o n s e s t a b l i s ht h et h e m ea n dt o p i co f t h i sp a p e r 2 ab r i e fr e v i e wa n d s u m m a r y o fe l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y o f o p t i c a l w a v e g u i d e s 3 d i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h el n ln o n l i n e a rf i l mw a v e g u i d ew i t hl i n e a r s u b s t r a t ea n dc l a d d i n g ( l r e p r e s e n t a t i v et h el i n e a rm a t e r i a l a n dn r e p r e s e n t a t i v et h bn o n l i n e a rm a t e r i a l ) w i t hj a c o b if u n c t i o n ，f i n i t ed i f i e r e n c e m e t h o da n dn u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i c a n a l y s i so ft e w a v e si nn o n l i n e a rp l a n a rw a v e g u i d e sw i t hk e r r - t y p ec o r ei sa n a l y z e db y u s i n gj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n d i s p e r s i o ne q u a t i o n ，f o r m u l a sf o rd e p e n d e n c e o ff i e l dd i s t r i b u t i o no p t i c a lp o w e ro nm o d a li n d e xa r e g i v e n e r r o r si na p u b l i s h e dp a p e r ( b o a r d m a na n de g a n ，19 8 6 ) a r ec o r r e c t e d c o r r e c td a t aa n d c u r v e sa r eg i v e nf o rat y p i c a le x a m p l e 4 t h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so f t h en l nn o n l i n e a rw a v e g u i d e sw i t hk e r r t y p e n o n l i n e a rs u b s t r a t ea n dc l a d d i n gi sd i s c u s s e d ，d i s p e r s i o ne q u a t i o n ，f o r m u l a s f o rd e p e n d e n c eo ff i e l dd i s t r i b u t i o no p t i c a lp o w e ro nm o d a li n d e xa r eg i v e n 5 t h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so f t h en l ln o n l i n e a r w a v e g u i d e sw i t hk e r r t y p e s u b s t r a t e ( o rc l a d d i n g ) i sd i s c u s s e d ，d i s p e r s i o ne q u a t i o n ，f o r m u l a sf o r d e p e n d e n c eo ff i e l dd i s t r i b u t i o no p t i c a lp o w e ro nm o d a li n d e xa r eg i v e n 6 d e p e n d e n c eo fc o u p l i n gc o e f f i c i e n to ng u i d e dw a v ep o w e ro fan o n l i n e a r d i r e c t i o n a lw a v e g u i d ec o u p l e rf o r m e db yt w o o p t i c a lp l a n a rw a v e g u i d e s p l a c e di nc l o s ep r o x i m i t yi sd i s c u s s e d i nt h ec o u r s eo ft h i sm a s t e rd e g r e et h e s i s ，t h ea u t h o rh a ss u b m i t t e dt h e f o l l o w i n gp a p e r s ( p u b l i s h e do ra c c e p t e df o rp u b l i c a t i o n ) ( 1 ) n u m e r i c a lc a l c u l a t i o no f t e om o d ei nap l a n a rw a v e g u i d ew i t hk e r r t y p e n o n l i n e a rf j j mb yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( 2 ) n u m e r i c a lc a l c u l a t i o no ft e om o d ei nap l a n a rw a v e g u i d ew i t hk e r r t y p e n o n l i n e a rf i i mb ym e t h o do f n u m e r i c a li n t e g r a t i o n ( 3 ) a c c u r a t ea n a l y s i so f t e ow a v e si nn o n l i n e a rp l a n a rw a v e g u i d e sw i t hk e r r t y p ec o r e ( 4 ) p r e c i s en u m e r i c a ls o l u t i o n st ot e om o d ei nap l a n a rw a v e g u i d e ( 5 ) g u i d e dw a v e si nn o n l i n e a rw a v e g u i d e s ( 6 ) s c a l i n gr u l e sf o rg u i d e dm o d e si nn o n l i n e a rf i l mw a v e g u i d e s k e y w o r d ： n o n l i n e a ro p t i c a lw a v e g u i d e k e r r t y p eo p t i c a lm e d i a 4 论文摘要 r ( 集成光学是于二十世纪六十年代末在微波、激光、半导体、薄 膜菇摹和集成电路的理论和技术的基础上提出的一门新兴学科。经过 二十多年的发展，目前集成光学 系、塞验方法和工艺手段) 砑、寺心集成光学器件主要应南于光 已建立起比较完整和成熟的理论体 计算机技术、光学信息处理和光纤通 信技术领域，并且存在着巨大的潜力现代集成光学技术已能把光源、 光波导、电子器件、电光器件和接收器等集中在同片子上制成高 速、低功率的各种运算器件和各种开关逻辑器件由于光通信、光计 算机、光信息处理的发展，对于电光和全光器件的研究越来越深入。 在导波光学中由于光波导的横截面尺寸仅为光波长量绂，光场 极为集中，小的输入光强就可以在波导中形成很高的光功率密度，加 上光波导在结构、材料上的特点使它们比块状光学材料更容易满足 非线性效应所必需的相位匹配条件所以光波导是形成非线性相互作 用的最佳介质目i ； 已研制出了许多利用光波导非线性特性的光学器 件如谐波发生器、混频器、参量振荡器、信息处理器、光学双稳器 件等。由于这些器件既具有_ 切集成光学器件的共同特点( 体积小、 重量轻、功耗低、抗电磁干扰、信息容量大等) 。同时叉具有很强的非 线性效应、响应时间极短等特点因此它们在国民经济及国防、科研 中的应用前景是十分巨大的为此了解和掌握非线性光波导的传输特 性对集成光学器件的研究、测量和制住篓具赢重要的蛮犀意义 本文的主要内容是： j 在查阅了大量国内外有关介质光波导的传输特性分析的文献并结合 同内外有关非线性光波导的理论和应用的最新发展现状的基础上 5 确立了本论文的选题和工作 2 较为详细地回顾和总结了光波导的电磁理论。 3 分别用雅可比椭圆函数方法、有限差分法、及数值积分法分析 讨论了芯区为克尔型非线性介质、覆盖层和衬底为线性介质的l n l ( l 表示线性介质，n 表示非线性介质) 型的非线性平板光波导的 传播特性，给出了正确的本征方程、芯区场强分布，t e 模的色散 方程，场强及功率的数学表达式，改正了已有文献( b o a r d m a na n d e g a n ，1 9 8 6 ) 中计算式及结果的几处差错，给出了典型实例的i f 确 数据和曲线 4 分析讨论了n l n 型的非线性平板光波导的t e 。的传播特性， 给出了对称三层平板光波导( 非线性介质均为克尔型介质) 时的场 分布曲线，及功率随模折射率变化曲线 5 分析讨论了n l l 型三层非线性平板光波导的传播特性给 出了三层平板光波导( 非线性介质均为克尔型介质) 时的场分价曲 线，及功率随模折射率变化曲线 6 对于两个同样的n l l 型平扳波导的非线性耦台进行丁探 讨 在本课题的研究过程中作者曾在导师的帮助下把部分成粜写 成以下论文，本文就是在这几篇论文的基础上写成的： 1 非线性薄膜波导的有限差分法计算光电子技术与信息 2 0 0 0 年第二期 2 非线性薄膜波导的数值积分法计算光电子技术与信息 2 0 0 0 年第三期 3 非线性薄膜波导的1 e o 模的传播特性光电子激光2 0 0 06 4 非线性薄膜波导的精确数值解 光电子激光2 0 0 0 6 5 非线性薄膜波导导模量子电子学已录埒j 6 非线性薄膜波导的无量纲表示 光电子激光已录用 关健词：非线性光波导本征方程，导模模折射奉 6 刖舌 光通信的历史虽然可以追溯到很远的年代，但只是在六十年代 发明激光器以后，由于对大容量通信系统日益增长的需要才迅速 发展为活跃的研究领域。几乎在同一时期，以光通信为背景，在微 波、激光、半导体、薄膜光学和集成电路的理论和技术的基础之上 于六十年代术正式提出了集成光学这门新兴学科由于它在光通信 和光信息处理等方面存在着巨大的潜力和经济效益，首先引起了美 国、日本以及西欧等国的重视和关注尔后，包括中国在内的许多 国家也相继开展了集成光学方面的研究工作经过二十多年的发 展，集成光学已建立起比较完整和成熟的理论体系、实验方法和工 艺手段，特别是近十年来这门学科取得了惊人的发展，无论在波 导的制作技术还是器件性能技术指标都有了前所未有的突破。其研 究成果被广泛地应用于光通信和信息处理等方面。集成光学的迅速 发展给人们展示出现代光电子学的美好前景，同时也对其他学科诸 如半导体技术材料科学和物理学等的发展起到了很大的推动作用。 集成光学器件主要应用于光计算机技术、光学信息处理和光纤 通信技术领域，并且存在着巨大的潜力与传统的通信方式相比， 光纤通信具有一系列无可替代的优点，光纤通信容量大损耗低 中继少，抗干扰能力强，保密性能好，且体积小，重量轻，原材料 便宜，是未来通信的主要方式现代集成光学技术已能把光源、光 波导、电子器件、电光器件和接收器等集中在同一片子上，制成高 速、低功率的各种运算器件和各种开关逻辑器件在集成光学器件 中，信号以光速传播。有时运算操作是随着光的传播同时进行的 而且集成光学器件可以与光纤耦合，输入和输出都很方便 介质光波导是在集成电路中用来限制和传导光波的基本元件。 在国内集成光学的工作始于1 9 7 3 年，起步较国外晚几年研究 7 范围主要涉及光波导理论光波导器件研究，还有器件的测试和 微j n 2 1 2 技术等而对于非线性光波导的研究则是九十年代才开始 的在各种集成光电子器件和半导体激光器件的研究中，都要涉及 到非线性波导为此了解和掌握非线性光波导的传播特性对集成光 学器件的研究、测量和制作都具有重要的实际意义本论文就是从 这一角度出发选择了“非线性平板光波导传输特性的分析”作为研 究的课题。 非线性光波导器件所依据的基本概念是导波的局部强度控制导 波的波矢，即当一层或几层介质的折射率随场强改变时场分布及 传播常数依赖于光功率基于这类非线性光学现象全光型集成光学 器件有两类理论分析有所不同第一类是折射率的非线性变化比 波导各层介质的线性折射率之间的差小，在这种情况下传播常数 与场分粕对于功率的依赖关系可以用通常的耦合模理论借助线性 情况下的导模用微扰法求得第二类是当导波介质的折射率的非 线性变化可以与导波介质间的线性折射率差值相比，甚至大于导波 介质线性折射率差值。在这种情况下传播常数与场分靠对于功率 的依赖关系，应该用更精确的解析方法计算即求非线性波动方程 在满足各界面处场强的连续性条件下的解来计算 在各种非线性光波导中，三层平板介质波导又是各种光波导的 基础深入研究这种平扳波导有助于了解结构更复杂的光波导的传 播特性。 近几年来，各种类型的非线性波导在集成光学各个领域被广泛 应用在实验条件具备的情况下设计和制作各种实用的集成光学 器件，探索制作新工艺，当然对集成光学的发展具有推动作用，然 而，在实验条件不具备的情况下，从理论上对各种非线性波导的传 输特性进行分析，并在此基础上提出更有效和更简便的新的理论分 析方法，无疑对各种集成光学器件的设计和计算也具有重要的实际 意义本论文就是从这一角度出发选择了“非线性介质平板光波导 的传播特性”作为我的学位论文的主要研究内容在该课题的研究 8 过程中，分别用雅可比椭圆函数方法有限差分法、及数值积分法 分折讨论丁芯区为克尔型非线性介质、覆盖层和衬底为线性介质的 l n l 型的非线性平扳光波导的传输特性，给出了正确的本征方程、 芯区场强分耵t e 模的色散方程，场强及功率的数学表达式，发 现并改下丁已有文献中计算式及结果的几处差错，给出了典型实 例的正确数据和曲线。并对n l l 、n l n 等类型的非线性光波导的 传输特注以及光波导的非线性祸合也作了分析和讨论这对集成光 学器件的研究设汁、测量和制作是有较大的实用价值。 然而，由于作者的水平所限，对上述各类非线性波导的分析和 讨论尚不够深入错误和缺点在所难免，因此，特请等位前辈和老 师批评指币， 9 第一章平板介质光波导理论 1 - l 线性平板介质光波导的电磁理论”1 j 介质光波导是在光波导器件和集成光路中用以限制和传导光的光学元件， 一种为人们所熟知的介质光波导就是通常具有园形截面的光导纤维，然而，在 电光器件、磁光器件和集成光学中，最基本和最常见的是平板介质光波导，这 一方面是由于平钣介质光波导几何形状简单，其导模和辐射模可用比较简单的 形式来描述，另一方面也是由于平板波导是最常用的光波导，故掌握光在平板 介质波导中的传播的基本特性是极为重要的。 光波是一种电磁波，研究光波导应以光的电磁理论及介质的光学特性为基 础。虽然射线方法在分析平扳光波导的传输特性时是比较简明和直_ 现，但由于 它未能涉及平扳光波导内部的场分布而显得美中不足，而这方面的知识在光波 导和光波导器件的大部分课题的研究中却是必不可少的。为此，用电磁理论柬 研究平扳光波导的传播问题变得十分有意义， j 生本章中我们将以电磁场理论来研究讨论最简单的阶跃型三层平扳介质光 波导中的传输特性，建立其波功方程，给出平钣光波导各类模式的场分佑表达 式进而得到t e 漠和t m 模的模式本征值方程并对模式进行定 生的讨沦最后， 在此基础上推出线性平扳光波导的场分布和模式本征方程为后面的研究打下基 础， i - 1 1 麦克斯韦方程和边界条件 随时删变化的无源电磁场的麦克斯韦方程为 r 可e ( r t ) ，e b ( l t ) a t l 可h ( r , t ) = 0 d ( t ) a t( 1 - 1 1 ) 上式中：t 是时间变量叮为哈密顿算符，r 是位鬣矢量，设场随时1 1 j j 怍胤 期性变化则f 色场矢量和磁场矢量可雌分别为： je ( r , t ) = e ( r ) c x p ( - i t ) lh ( l 1 ) 。h ( r ) e x p ( i t ) ( f - 1 2 ) 式中e ( r ) 和h ( r ) 是复振幅矢量，是角频率如果介质悬无损耗。各向同性 的则介电常数和磁导率u 为实标量，于是电戳场的物质方程为如下形式： ld ( r 产8 e ( r ) l b ( r ) ；“h ( r )( 1 一l - 3 ) 利用上述方程可以得到在无源、无损耗、各向同性和非磁性介质中的复振 幅形式的壹克顺韦方程： 1 0 ( 1 1 - 4 ) 在上式中o 和分别为真空介电系数和真空隘导率对于非磁性介质，设 n 是介质的折射率，有8 = 岛n2 。在介电系数发生突变的边界上，上述麦克斯韦方 程必须遵从边界条件圉l 1 ：l 示出了用折射辜n ，和n ：区分的两种介质的分界 面，其中单位矢量e 垂直于分界面 图l - i 1 折射翠分别为口。和n ：的两种介质的分再面 当界面上没有面电荷和面电流时得到如下的边界条件 re 。( b l - b ：) l0 je ( d i - d ：) io e ( e 1 一e ：) = 0 le 。x ( h - h ：) l0 ，n 。：e 皇n f e ： l e l ，le ：l ，恤3 h 。= 一如， lh i 。= h ：。 ( i - 5 ) ( t 1 6 ) ( 1 - i 7 ) 上式中下标n 和t 分别表示该量是电磁场在分界面上的法向分重和切向分量 对于非磁性介质由于“故由( 1 卜7 ) 可知，在分界面两侧的磁矢量相等邬 h j = h ： 嘲m 慨 q q l = 怒 可可 r，l i 1 2 介质平面光波导的波动方程 一平面光波导的结陶 如图1 1 2 所示的是最简单的平板介质光波导，它由三层材料组成：中侧 一层是厚度为d 折射翠为n ：的波导薄膜( 称为芯模) ，它淀积在折射率为n ，的 寸底上：薄膜上面是折射率为n ，的覆盖层( 即包层) i - 1 2 平面介质光波导结构图 包层通常是空气，薄膜和对底的折射率之差在1 0 4 到1 0 。的范围内。薄膜 的厚度一般为微米数量绒，可以与光波波长相比较。为了构成真f f 的光波导 要求n ：必须大于n l 和m 。一般有r 1 2 1 1 i 1 1 3 ，如果n i = n 3 则称为对体平皈光波 导，否则称为非对称平皈光波导。这里我们主要讨论的是非对称圯波导( 对称 光波导可以看成是非对称平扳光波导的极限情；兄。 = 平扳光波导的波动方程 设在平扳光波导中衬底和覆盖层分别延仲到无穷远，且芯膜的宽度远大 于厚度在该假设条j 丰下可认为平扳光波导中的光波只在一个方向上受限 将该方向选为x 方向并设平扳光波导的几何结陶和折射率分罐沿y 方向是不 变的即折射率分布便与x 有关图t 1 2 所示的平扳光波导中折射率分佑可以表 为： 式 r m n ( x ) = 弋n l n 0 x d x 0 - 0 ，且毛在 波导的各个区域均为指数函数形式由于e 及其导数必须在两个边界面处连 续所以最后的场的分布如图i i 3 ( a ) 所示场随离开光波导的距离的增加而 无限制地增加这说明浚解没有实际的物理意义 2 1 ( on 3 t 3 l c on 1 因为( 1 巳) ( 手e ， a x 2 ) 0 ，由方程( i - 1 1 1 ) 可知在n 层的解是正弦 形式，但在n 和1 1 ；层则是指数形式这样可以得到一个满足边界条件并在n ，和 i 1 ，层中呈指数衰减的解这些解如图i 1 3 ( b ) 和l - 1 3 ( e ) 由于这些模式所携带 的光能量基本上被限制在波导层内沿z 方向传输，因此这些模被称为束缚模或导 模，所以导波模式存在的条件是l c o n ，c dc l c o n ， 1 3 3 1 c o n 3 p l 0 n f 由方程( 1 - l - 1 1 ) 可知在n ，和n ：层的解是正弦形式t 但在n 1 层则是指数形 式如图1 1 3 ( d ) 。所以随着波向z 轴正方向传播光能将要从波导层射入衬底 中，这些模被称为衬底辐射模。这种情况不能在波导中传输导波但可用于把 信号从衬底一边传到另一边以及波导之间耦合。 4 0 p l 【on ， 方程( 1 - i i i ) 的解在波导的三层中都是正弦形式如图1 - 1 3 ( e ) ，这些模式 称为辐射模或包层模波不可能被约束在波导区沿z 传输，波沿波导区传输不丁 多远就辐射损失掉了。 由于光波是潢波( 即t e m 波) ，电场和磁场均垂直于光的传播方向，可是 当光进入平面光波导后不再是t e m 波而是t e 波和t m 波的叠加电磁场产 生了纵向分量，这是光在平面光波导这种特定的结构中的传播的结果。 翠学一挚一学一 毒妻嚣某茎怒嚣腑“叭k “n 下墨t 玎量幂再搀着葱誊蜉幢蔷三 蓐 田l l 3 对应不同b 的取值范田的场分布 1 4 l 1 4 导模的场分布和模式本征方程 一几何光学与锯齿波 从几何光学来分忻波导中传输的导波，可以把它看作一平面波在介质1 2 和2 3 界面处发生全反射象一个锯齿波沿z 传输，如图1 1 4 所示。 图1 1 - 4 锯齿形传输的波 k z y 可以把这个波分解为平行于波导的波( 相位常数为b ) 和垂直于波导的波 ( 相位常数为k ) ，三者的相位常数之间的关系为 扉n ；= 2 + k ： 发生全反射时，反射的相位要产生突变。 反射波的产生相位突变分别为 2 机二= 2 t a n “( q k ) 2 2 j = 2 t a n 。( p k ) 对于t m 波，相位突变分别为 2 小2 t a n f 蜜 听膏， ：虹一“( 剌 ( 1 - 1 1 2 ) 对于t e 波，在界面1 2 和2 - 3 处 ( 1 i 1 3 ) ( 1 1 1 4 ) 在波导中只有相位常数为日的波沿z 方向传输：而相位常数为k 的波在上 下界面处遭受到全反射，而形成驻波显然，建立驻波场的条件即横向共 振条件： k d - i r 籼产m m ；o ，1 ，2 ( i - 1 1 5 ) 式中，d 为波导层厚度由( 1 - i 1 5 ) 可知当波导中传输相虚常数为8 的 导波时。e 必须满足该式对应于不同的m 值，存在着一系列分立的b 值。 1 1 1 就是导波的模阶数式( 1 - 1 1 5 ) 是导波光学中的基本方程，称为模式 方程从解波动方程可以导出相同的结果 1 5 二t e 模的场分布和模式本征方程 由于分析的是导模，由上节可知在薄膜内的场是振荡场( 即为驻波) 。由波 动方程，薄膜内的场的形式应该是正弦或余弦函数的叠加：而在覆盖层和对底 中的场应该是指数衰减的。故三层平面光波导的电场分布为： i a c x p ( p x ) e 。( x ) 叫b c o s ( k x ) + cs i n ( 1 。c ) lo e x p ( q ( x + d 1 1 o x d x 0 喵 x - d “- 卜t 6 ) 式中a ，b ，c 和d 是由边界条件所确定的常数，而参数p , k ，q 各定义为 k = ( k n ：n , ：- 1 3 2 ) 7 2 p = ( d 2 - i ：0 2n 1 - ) ” q = ( p 2 0n 3 ：) ” ( i i - 1 7 ) ( i i - 1 8 ) ( i - i - 1 9 ) 利用e 。( x ) 在薄膜一衬底和薄膜一覆盖层界面处连续以及瑟。瓠在薄膜一 覆盖层界面处连续条件可得： a = b ibc o s ( k d ) - c s i n ( k d ) = d 、p a = k c 于是b ，c ，d 均可以由a 来表示这样e 。( x ) 可写成如下形式 ra e x p ( p x ) 0 x 姐 e 。( x ) - 5 a c o s ( k x ) ( p k ) s i n ( k x ) 】 d x 0 l a c o s ( k x ) - ( p & ) s i n ( k x ) c x p 【q ( x + d ) 】 “ - d ( i - l 一2 0 ) 有了e 。( x ) 即可限据( 1 i - 1 0 ) 求出磁场分量h 、和h ：。式中常数a 可以通过对场 的功率的归一化消去由( 1 - 1 2 0 ) ：及0 e 。o x 在薄膜一覆盖层界面处连续条件可 得： k s i n ( k d ) - p c o s ( k d ) - - = q 【c o s ( k d ) + ( p k ) s i n ( k d ) 】 将上式两边除以c o s ( k d ) 得： t a n ( k d ) 一( q + p ) k ( 1 i x l k 2 ) 【l - 1 - 2 1 ) 该式即为三层平面光波导 r e 模的模式本征方程，通过求解该方程即可求出模 式本征值8 来利用三角函数公式并设： + i ：，啪“( q k )i ，哪。( p k ) 则( 1 1 1 7 ) 可以化为： k d 机，机，tm m - - o 1 2 ( 1 l - 2 2 ) 式中m 是从零丌始的正整数，它表示场在薄膜中的节点数图l 1 4 给出了 t e 0 t e l 和t e 2 三种模式的电场分布，由此可以看出模序数的物理意义 1 6 圈l - l _ lt e t e l ，t k 导模的电场分布 由( 1 - 1 2 ：) 可以看出电磁理论的分析结果与射线光学i “”的分析结果是完全 一致的，所不同的是电磁理论可以给出场分布表达式而射线理论无法作到这一 点 这里我们还给定模式的电磁场的归一化系数为嘲： k 宅k m 一艮( d + i p 。+ 1 7 q j ( k m 2 + p 0 】” ( 1 1 2 3 ) 三t m 模的场分布和模式本征方程 动方程( 1 - 1 l l + ) 即可以写出平面三层光波导的h ，( x ) 三个区域中的表达式为： c e x p ( - p x ) 0 x ( h ( x ) = 1c c o s ( k x ) + ( n i ：n ：) ( p k ) s i n ( k x ) 】 - d x 0 lc c o s 0 = ) - 。( n i2 i n , ：) ( p k ) s i n ( k x ) 】e x p q ( x t d ) 】( x d ( 1 - i 2 4 ) 再由( 1 旭：) a h 、，瓠在薄膜树底界面处连续条件可得三层平面光波导t m 模 的本征方程为： t a n ( k d ) = 【n l ：k ( 山2q - * n 1 2p ) 】( n ：2n 3 2k 2n l q p 】( 1 l 2 5 ) 利用三角函数公式并设： 籼：t a n - l 【( n 1 2 ，n 2 ) ( q k ) 】 b = t a n 。 ( n t ：n ：2 ) ( p ，k ) 】 则( 1 - 卜2 5 ) 可以化为： k d - + 1 2 ：3 - m m = 0 l ，2 ( 1 - 1 - 2 6 ) 对给定的m 。可推出1 m 模的电磁场的归一化系数为： c ，2 k - 【n 1 3 一“艮d “k - + n i p - - ) 1 ” ( 1 1 - 2 7 ) 其中： d e - d + ( n 3 3 啦2 ，x l c - 2 + q _ 2 ) ，( n 3 k j + q - 2 吖n ，2 n 1 2 “) ( 1 c 2 + p m 2 ) ，( n ，4 k - + n 1 4 “2 t m 模之所以比 r e 模的本征方程式复杂主要是由于两者的边界条件是不一 样的 1 7 1 - 1 5 模截止及归一化参量 利用模式本征方程式可以研究有关t e 模和t m 模的各种性质。由( 1 - 1 2 2 ) 和 ( i - 1 2 6 ) 可知，t e 模和1 m 摸的本征方程可以合并写成： k d - + 口：3 = m r m = 0 ，1 2 ( 1 l - 2 8 ) + i ：- - t a r t “ ( n ! ：n l 二) ( q k ) 】 + 1 3 - - t a n 。 ( n ：n 3 ：) ( p k ) 】 其中：k = ( 1 c 0 2n i2 d 3 ) m = l c 0 ( r l l2 - n ：) ”： p = ( p 2 - k 9 1 1 1 2 ) 。4 等l 【0 ( n 二1 1 2 2 ) 2 q = ( d 2 一l c 0 2n 3 2 ) m = k 0 ( n 2 - 沁2 ) ”3 对t e 模： c 12 = c 13 = 1 ， 对t m 模： c 1 2 = n 1 2 n 1 2 ，c t 3 = 1 1 ：2 n 3 ： n 为导模的模折射率，模式本征方程( 1 - 1 2 2 ) 可以改写为如下形式： ( n i ：n 2 ) ”2 k o d - m a + t a l l 。 c 1 2 ( n 2 一n ：2 ) ( n 1 2 - n 2 ) r + t a n l c l j ( n 一1 1 2 ) ，( n 11 n ：) r ( 1 - l - 2 9 ) 这里l ( 1 = 2 州x = c ，通过解该方程可以得到模折射率n 对于不同薄膜厚度d 的 变化关系曲线从而可以研究t e 模和t m 模的各种传输性质。 一模截止 1 截止条件： 导模是指在芯屡内传播的是正弦( 或余弦) 波，而在包层和衬底崖悖播的是衰 减波。这就要求沿z 方向的传播常数d 必须满足条件：k o i l ! ( p k o n ，时衬底层传播的波为辐射波，沿x 方向有能量通过衬底辐射出去， 导致芯层的能量在传播中迅速衰减我们说此时导波被截止了 综上可得出导模截止的条件为：p = l 【o n ， 2 截止厚度： 由上，导模的模折射率n 的取值范围为：n l ，故对同一阶次m ，t m 模的截 止厚度大于1 e 模的截止厚度同样，对同一阶次m 和同一厚度d ，t m 模的模 折射率n 大于t e 模的模折射率n ( 4 ) 对于对称平板光波导，n 2 = n j 由( 1 l 2 6 ) 可以看出零阶模t e o 和t m 。没有截 止即截止厚度为零。 1 8 二归一化参量 为了得到模式的n d 曲线，必须对模式本征方程( 1 1 2 5 ) 作数值计算。为 使各种数值计算结果有更广泛的适用性，我们常引入归一化参量