（光学专业论文）腔内单原子的吸收与色散性质的研究.pdf

磺士学位论囊 磁a s ：1 皇袋st 琏e s 瑶 摘要 对光的吸收和色散是光学介质的一对基本性质，通常情况下光学介质是指具有 一定宏观量的原子集合，存在平均效应因此通常用半经典理论就可以准确描述普 通介质的吸收色散性质但对于腔内单原子这种特殊介质而言，光与物质的相互作 用被推到两个极限上来：其一是物质被减少到只有单个原子与光场相互作用；其二 是单个光子便可以饱和原子正因为如此，被半经典理论所忽略的原子。场之间的量 子关联会对原子的量子行为产生影响原子或腔场光子的一些奇特的量子行为都不 是半经典的理论能准确描述的，因此需考虑全量子理论 本文首先考虑受普通真空库阻尼的腔内单原子模型通过准确的数值计算方法 得到原子对探测场的吸收谱，并讨论了在不同腔衰减率和外加驱动场强度的情况下 谱线的变化情况结果表明：在强驱动、弱耦合的情条件下，单原子和普通介质有相 似的探测吸收谱线；但在弱驱动、强耦合的条件下，吸收谱线呈现锐利的双峰结构； 除此之外，还得到了超宽的单峰、双峰和三峰等其它线型的吸收谱，对此我们用修 饰态的理论加以分析，作出解释 然后，我们考虑坏腔极限下受压缩真空库阻尼的腔内单原子模型利用f 0 k k e r - p l a n k 方程在绝热近似条件下得到单原子吸收色散谱的解析表达式，并讨论了谱线 随压缩真空的压缩因子和相对相位的变化情况当外加驱动场在弱场极限下，随着 压缩因子的增加，吸收峰的宽度和高度均减小；当外加驱动场为强场时，吸收谱不仅 随压缩因子的变化而明显改变，而且相对相位对吸收谱的线型也有明显影响最后， 我们再使用数值方法计算了这种模型在任意衰减率的腔中的吸收色散谱 关键词：光和物质的相互作用，量子光学腔，单原子，吸收色散谱，拉比分裂， 压缩真空 须士学位语文 m a 辨e 襄st 珏e s i s a b s t r a c t t h ed i s p e r 8 i o na n da b s o r p t i o na r eap a 主r0 f 如n d 缸n e n t a l 蝌r t i 嚣0 f o p t i c 越 m e d i u m o r d i n a r y o p t i c a lm e d i u mc o n 七a i n sm a c r o s c o p i cq l l 勰t 量哆o fa t o m 8 b e c a u 踺 0 ft h ea v e r a 驴e 珏碗t ，s 锄i c l 蹈s i c a lt h e o 巧0 fl i g h t - m a t t e ri n t e r a c t i o ni s 嬲l r a t e h 嗍r ，f 0 rt h e 眄8 t e m0 fa8 i n g l ea t o mi i l 8 i d ea d r i v 姐c a 、r i 饥鼬m i c l a 鼹i c a lt h e 0 珂 i 8i n v a l i d l i g h t - m a t t e ri n t e r a c t i o ni 8i nt w on i n i t s ：t h el i l i ti l l 订h j c ht h em a t t e r i 8r e d u c e dt oa8 i n 斛ea t o m i ct r 缸s i t i o na n dt h el i 武ti nw h i c ht h e8 i n 西ep h o t o n s a t u r 曲眵t h ea t o m t h eq u a n t u mc d r r e l a t i o n sb e t w nt h ea t o ma n dt h ec a v i t y 矗e l da r en ol o n g e rn e d e c t a b l e ，t h e r e f o r ，b o t ht h ea t o m 强dt h ec a v i t yi n u s tb e t r e a t e dq u a n t u mm e c h a n i c a n y f i r s t l y w ec o l 璐i d e rt h em o d eo fas i n 醴ea t o md a m p e db yn o m a lv a c u 眦i na 瑚o a a n t l yd r i 、，e nc 捌珏w e 黜i n et h e 吞b 8 0 r p t i o n 趾dd i 印e r s i o no f 七h ea t o mt ot h e w e a | 【p r o b e 丑e l db yu 8 i n gt h ee x a c tn u m e r i c a lm e t h o dw i t h o u t 锄ya p p r 0 函m a t i o n e 跹e p tf o i 。锄a p p r o p r i a t et n l n c a t i o n i ti 8s h o w nt h a tt h es p t n l m 旺l l i b i t 8t h e w e u - l c i l o w nm o u o w8 t n l c t u r ef b rt h es t r o n gd r i 啦n g 蛆dt b ew e a 】【c o u p l i n g ，蛆dt h e w e u 确斌v e d 钿0 - p e a ：k e ds t n l c t l l r e 萤b rt h e 玳a kd r i v i n g 蛆dt h es t r 伽唔c o u p i i n g i np a r t i c l d 村，t h eb r o a do n e - ，t w 0 - 缸通t r e 争p e 幽ds t m c t l l r 够h a 代b e 眦p 他d i c t e d f b rt h ei i i t e 吼e d i a t ed 丽n g 蛆dc o u p h n g t h ep h y s i c a l lr e 弱0 nf ；旺a b o v ed i 髓r e n t h n 朗h 印鹪i 8e 印l a i n e di nt e 加0 fd r e 鼹e ds t a t 镪 s e c o n d l y ，w ec o n 8 i d e rt h em o d e0 fas i n g l ea t o md 锄p e db ys q u 荔e dv a c u l 皿 i nar 够0 n 觚t l yd r i v 龃e a 诚够w ea d d r e 隅t h ep r o b l 锄i nt h eb a dc a v i t y 。l i m i t a n 蝴i c 越麟脚i 0 她1 o rt h e 址嘲i r p t i o n8 p e c t 随啪o b t 蒯b 罗瑚i i l gt h e 砌a b a 七i c a p p r 壤i m a t i o na n df c l k k e r p l 龃ke q u a t i o nm e t h o d w h 印t h e 血、r i n gi si nt h e 啊r e a k 如l dl i m i t ，o n l yt h e 8 q l l e e z i i l gp 缸锄e t 时h 嬲e 珏e c to nt h er 鹤p 伽鼬0 ft h ea t o mt ot h e n p r o b e t l h es q u z e dv 扯u 岫n a r r o w 衄dd 印瑚st h ea b s o r p t i o np e a l 【w 1 1 i l ew h e n t h ed r i v i n gi ss t r o n g ，t h el i n 鹪h a p 铭o ft h es p e c t r ad 印印db o t ho nt h es q u e 皖i n g p a r a m e t e r 缸d0 nt h er e l a t 溉p h 勰eb e t w e e nt h ed r i v i n g 五e l d 她dt h e 唧l e 讫e d 嘲l u m l a s t l y 骶e 】【a m i n et h ea t 啪r p t i o n 卸dd i s p e r 8 i o ns p e c t r ai nac a v i t y 而t h 缸b i t r 龇yl o 鼹r a t eb yu s i n g 瑚加舱r i c a l lm e t h o d k e yw o r d s ：也e 砒e r 神t i o n0 fl i g h t 诵t hm a t t e r ，q u a n t 咖0 p t i cc 耐瓴8 i i l 西e a t o m ，a b s o r p t i o n 柚dd i s p e r 8 i o n8 p e c t m ，f h b is p l i t t i n g ，8 q u e 饬e d 、，a c u u m l n 硕士学位凳更 m a s t l 漾st h e 甜s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：摩层 日期：2 哪年5 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作着签名：鸯最 日期：2 谚年占月2 日 导师签名： 韧习 日期：j n a 年6a2 护惫i j 7 习 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圄枣逾塞握銮卮迸厦；旦主生；旦二生i 旦三生发查! 作者签名：窟层 日期：2d d ；占年z 月2 日 导师签名： 日期：2 嘞 搦舀口向印习 年石月2 日 硕士学位论文 h 【a s t e r st h e 瓯s 第一章引言 腔量子电动力学( c 撕锣q l l a n t u me k 赋r o d y n a m 妇，简称c q e d ) 是量子光 学和激光物理学研究的重要前沿课题它旨在研究受限于特定空间( 如光学微腔、 量子点等) 中的原子( 离子) 与光场作用的量子行为随着对腔量子电动力学的研 究不断深入，许多具有应用前景的c q e d 理论成为激光物理学和量子光学领域的研 究焦点腔内单原子模型不仅作为腔量子电动力学的一个重要的理论模型，而且它 在单原子激光和单光子源等实际应用上已经取得了长足的进展这方面的研究可以 为量子计算、量子通信、分布式量子网络等方面的实验研究提供重要的理论基础 因为量子计算、量子通信、量子网络能否成功实现很大程度上取决于单原子的激 光冷却、囚禁、操控与测量的理论与技术是否成熟这也需要我们能从更广泛的角 度更深入彻底的研究光与腔内单元原子相互作用中的一些基本问题 对光的吸收和色散是光学介质的一对基本性质【l ，2 】，对单原子也是如此通 常情况下光学介质是指具有一定宏观量的原子集合，存在平均效应因此通常用半 经典理论就可以准确描述普通介质的吸收色散性质但对于腔内单原子这种特殊 介质而言，光与物质的相互作用被推到两个极限上来：其一是物质被减少到只有单 个原子与光场相互作用；其二是单个光子便可以饱和原子正因为如此，被半经典 理论所忽略的原子场之问的关联会对原子的量子行为产生影响因此单原子系统 的一些新性质被发现，例如：单原子光学双稳f 3 拍】、真空拉比分裂p 1 0 、腔诱导 自发辐射抑制或增强【1 1 - 1 匀、二能级原子稳态布居反转【1 5 ，1 6 】、单原子亚泊松激 光【1 7 0 】、光子反聚束和压缩【2 1 ，2 2 】、谱线超窄化和多峰结构【2 靴6 】原子或腔 场光子的这些奇特的量子行为都不是半经典的理论能准确描述的，因此需考虑全量 子理论 本文作如下安排第一章介绍量子化光场、量子回归定理以及光与物质相互作 用的基本理论第二章介绍腔内二能级单原子的理论模型，并通过数值计算的方法 1 碛士学位矩支 蝤a s t e 建st h e s i 暮 求解原子对探测场的吸收谱第三章我们考虑受压缩真空阻尼的腔内二能级单原子 模型，分别利用解析求解和数值计算的方法得到原子吸收色散谱随腔衰减率的变化 规律第四章是对本文的总结与展望 1 1 单模光场的态函数 在半经典理论中，对原子的描述采用量子化的算符，而对光场则采用经典电磁 场描述但经典电磁场是不能全面描述光场的波粒二象性的，因此为了揭示光场与 物质相互作用的量子特性，必须将辐射场量子化，即用量子力学算符和态函数描述 光场，这样的描述也叫做光与物质相互作用的全量子理论 描述光场的态函数有很多种，这里只介绍与本文工作密切相关的光场粒子数算 符( 矿8 ) 的本征态一一粒子数态 n ) 和光场湮灭算符。的本征态一一相干态 q ) 如果我们只考虑频率为u 的单模光场，那么其哈密顿量为 日= 鼬( 九+ 丢) ( 1 - 1 ) 单模光场的光子数算符= a + 8 的本征值方程为 1 ) = ni m 由对易关系式【口，矿】= 1 可知，本征值 为正整数，即靠= o ，l ，2 ，。 征值方程 日i n ) = 取i n ) ， 可知单模光场的能量本征值为 ( 1 2 ) 由系统能量本 ( 1 3 ) 玩= 鼬+ 丢) ( 1 4 ) 如图1 1 所示，当光场的能量由上式给定时，系统处于第价激发态若，l = 0 ，则系 统处于真空态( 基态) ，但此时仍有零点能鼬2 存在因此可以看到当系统处于l 竹) 态 时，它的能量本征值取包含佗个能量为无u 的光量子能量再附加上零点能7 i 2 ，此时 2 硕士学位论文 m a s t e r st l e 吝l 器 l 矗+ 1 l 露 i 刀一l ll 1 0 ，3 、工 + 砌 二 o + 与蛔 二 ( 一争枷 三砌 2 1 枷 2 图1 1 ：单模数态光场的本征能谱及产生和湮灭光子的跃迁过程 我们说，辐射场处于有n 个光子的激发态l n ) 由于反映光场强度的能量玩是光子 数n 的本征值，所以光场光子数的大小就反映了光场强度算符。和口+ 满足方程 g i n ) = 、元i 竹一1 ) ， ( 1 5 ) 和 口+ l 啦= 而+ li n + 1 ) ( 1 6 ) 它们表明，算符。的作用是使系统由具有n 个光子的激发态l n ) 转化为只具有n 1 个 光子的激发态l n 1 ) ，所以算符a 为一个光子的湮灭算符相反，算符口+ 的作用使系 统由l n ) 转化为l n + 1 ) 态，所以称算符口+ 为光子产生算符可以看到，用粒子数态描 述的光场具有确定的光子数，因此数态能明显的揭示光的粒子性 另一种能反映光场波动性的态函数是相干态，用这种态函数描述的光场构成一 个波包，其光子数具有较大的不确定性，但相位有近似确定的值理论上把相干态定 义为非厄米算符口的本征态矢l q ) ： 口l q ) = 口i 口) ， 3v ( 1 7 ) 项士学位话文 i l 1 s t e r s t h e 式i 器 由于。是非厄米算符，所以口是复数，可写为q = i q i 将( 1 7 ) 式按粒子数态展开 d i q ) = g ( q ) 何i n 一1 ) = q g ( q ) l 妨， ( 1 8 ) ，i = ln = = o 对上式左边作代换n _ n + l ，这样，上式就变成 ao g + ( q ) 而可l n ) = q g ( a ) m n = on = 毋 将上式左乘( m l ，并注意到( 仇l n ) = 6 赢，就可得g ( 0 f ) 满足的递推关系： 这样可知 ( 1 9 ) g ( q ) = 扩岛镢 再由态函数的归一化条件可以确定即 ( 1 1 1 ) ( 出) = 吲2 薹薹涤( m i n ) = 恻2 薹簪= 恻2 唧( 2 ) = 1 ，( 1 舶) 于是 岛= 唧( 一川2 2 ) ( 1 1 3 ) 所以得到相干态i 口) 的表达式： 唧( 埘2 ) 薹杀m ( 1 1 4 ) 1 2 量子回归理论 本节介绍本文工作所用到的一个重要的理论一一量子回归理论【2 7 书0 】量子 回归理论是处理多时间平均问题的基础理论研究荧光的谱密度或是光子关联度通 常都会用到如下的双时间关联函数 g ( 1 ) ( t ，t + r ) = ( d l ( t ) d 2 + 丁) ) ，( 1 1 5 ) 磺士学位论文 h 躺t e r sl r h e s i 罄 g ( 2 ) ( t ，t + 一= ( 0 1 ) d 1 ( t + r ) 0 叠( t + 1 - ) d 叠 ) ) ( 1 1 6 ) 式中的0 l 、d 2 可分别为原子极化算符或光场产生和湮灭算符 通常来说，仅仅一个密度矩阵方程的解还不足够去计算双时间关联函数，还需 要跃迁几率分布然而在某些条件下量子回归定理就可以通过计算单时间关联函数 从而得到双时间关联函数l 毅认为系统和库的相互作用的运动行为可以看成一种 随机过程该过程中，在给定当前状态的信息的情况下，过去的历史状态对于预测将 来状态是无关的，这种性质叫做马尔可夫性量子回归理论正是这种相互作用的马 尔可夫性的体现 下面我们将在海森堡绘景中，从系统与库相互作用的主方程出发推导量子回归 理论一般地，算符的双时平均定义为 ( d 1 ( t ) d 2 ( r ) ) = n s o r 【) ( ( o ) 0 1 ) d 2 ( r ) 】，( 1 1 7 ) 式中x ( 0 ) 是系统和库的密度算符，它满足 1 戈= 割日，x 1 ( 1 - 1 8 ) 日是系统和库耦合的总哈密顿量d 1 、d 2 是任意两个系统算符它们满足海森堡绘 景中算符的时间演化 d 1 ( t ) = e ( i ) m d l ( o ) e 一( 戤，( 1 1 9 ) d 2 ( t ，) = e ( ) 1 rd l ( o ) e 一“ ) 日( 1 2 0 ) 将它们和( 1 1 8 ) 的形式解代入( 1 1 7 ) 可得 ( d l ( t ) d 2 ( t ，) ) = n s 固冠 e ( i 7 ) 日t x ( t ) d l ( o ) e a ) 日( t ，- t ) 0 2 ( o ) e 一( ) 删】 = n s j 【0 2 ( 0 ) 【e - 掣一t ) x ( t ) d l ( o ) e 删一时】) ( 1 2 1 ) 假设矿t ，令= 矿一t ，并且定义 ) ( d l ( r ) = e 一( i ， ) 日下x ( t ) d l ( o ) e g 砷所( 1 2 2 ) 5 显然，x o 。p ) 满足初始条件为x d l ( o ) = x ( t ) d 1 ( o ) 的方程 孥：三旧硒】 ( 1 2 3 ) 一= 一l 丌y n i t 上oj 以t 方r 1 “v 1 。 、7 将( 1 2 2 ) 式对库求迹，并注意到0 1 ( o ) 是系统算符与对库求迹无关可提出求迹符号， 即得到与x d 。( r ) 对应的约化密度算符 阳。( r ) = n r 阪0 l ( 丁) 】， ( 1 2 4 ) 其初始条件为 p d 。( o ) = n rk ( t ) d l ( o ) 】= n r 阪( 亡) 】d 1 ( o ) = p ( 功d l ( o ) ( 1 2 5 ) 易知肋。满足主方程 t 警= l 肋。， ( 1 2 6 ) 晴r 一 式中l 是刘维尔算符，它的形式由主方程决定上式有形式解 加，盯) = 少如。( o ) 1 _ 少眵( 亡) d t ( o ) 】 ( 1 2 7 ) 将上式代入( 1 2 1 ) 式可得系统算符双时平均值的形式解 ( o l ( t ) 0 2 ( t + r ) ) = 仉 d 2 ( o ) 少p ( 亡) 0 1 ( o ) 】) ， ( 1 2 8 ) 同样的方法，也可以得到 ( d l + r ) d 2 ( t ) ) = m d l ( o ) e l r 【d 2 ( o ) p ( t ) 磅 ( 1 2 9 ) 1 3半经典理论描述二能级原子的吸收与色散 通过半经典理论描述的二能级原子与单模经典场相互作用的模型是光和介 质相互作用最简单的模型，它在研究光和物质相互过程中具有重要意义考虑如 图1 2 所示的二能级原子系统，1 1 ) 表示原子的低能态，1 2 ) 表示原子的高能态，原子 6 硕士学位论囊 m a 簖e 建st h e s i g 2 ) 图1 2 ：二能级原子气体与一个频率为“吃、拉比频率为q 的单模场相互作用的模型 跃迁的本征频率为原子由一束频率为u l 的外加相干场驱动，场的拉比频率 为q = p 1 2 e 危，y 是原子在与真空库作用下从激发态1 2 ) 到基态1 1 ) 的衰减速率在相 互作用绘景下，原子系统的主方程【3 1 】为： 丢p = 一i 【日，纠+ 丢却， ( 1 - 3 0 ) 其中系统的哈密顿量日为 日= 令吒+ q ( 眈l + 叽2 ) ， ( 1 3 1 ) c p 为描述原子的衰减项 c p = 2 c r l 2 眈l c r 2 1 矿1 2 p 一肋1 以2 ( 1 3 2 ) = i i ) g l ( i ，歹= l ，2 ) ，在i = j 时表示原子布居算符，在i 歹时表示原子跃迁算符， 凸芝一蚍为原子共振频率与驱动场频率蚍之间的失谐 现在假设驱动场作用下的原子受一个频率为呻的单色探测场微扰原子对弱 探测场的吸收和色散分布是我们感兴趣的原子受此探测场的作用的线性极化 率x ( ) 可以通过对原子跃迁算符双时平均值做傅立叶变换得到【3 2 】： ， x ( 1 ，) = 坩h 2 ( r ) ，a r 2 1 】) 。尹帆 ( 1 3 3 ) ，o 7 硕_ 士学位论文 m a s 警e 袋s 了链e s i 鑫 上式中的f 标3 表不原子系统的稳定状态，l ，= 岣一n ，是探测场相对原予中心频翠 失谐，p 为原子的跃迁偶极矩阵元，为原子的密度 由主方程( 1 2 3 ) 我们可以得到原子算符的单时平均( ) ( i ，歹= l ，2 ) 的运动方程 为： 丢( 础) ) = 丢( 州坳 1t = ( 一古+ i 。) ( 眈l ) ) 一言q ( 吒( t ) ) ， ( 1 3 4 ) 丢( 吒( t ) ) = 一，y 【1 + ( 昵 ) ) 】一t q 【( 眈l ( t ) ) 一帆2 ( 亡) ) 】 ( 1 3 5 ) 方程( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 的定态解为： ( 吮一# 器， ( 1 3 6 ) ( 吒) 。一再菇寿斋， ( 1 3 6 ) ( c r 2 ) 。= ( 眈t ) ：= = 等皂( 吒) ( 1 3 7 ) 由量子回归定理可知，在7 o 的情况下原子算符的双时平均( r ) ) 。( i ，j ，七，z = 1 ，2 ) 满足与单时平均( p ) ) 。相同的运动方程为了方便我们令：西l ( r ) = ( h 2 ( 7 - ) ，眈l j ) 。，西2 ( r ) = ( k t p ) ，盯2 】) 。，西3 ( 丁) 寻( k 盯) ，眈t 】) 。则相应的运动方 秤为： 鲁州r ) = ( 一三一a ) 哳) + 主嘶( r ) ， 导似丁) = ( 一丢+ ) 似巾兰呱( 吐 导吣r ) = 酬州r ) 一西2 一，y 圣3 ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 4 0 ) 方程的初值条件分别为：西1 ( o ) = 一( 吒) ，西2 ( o ) = o ，西3 ( o ) = 2 q 1 ) 。 方程( 1 3 8 1 4 0 ) 具有和( 1 3 4 1 3 5 ) 相似的形式并可以精确求解将该解代 入( 1 3 3 ) 中便可以得到探测场作用下原子的极化率为： x ( 1 ，) = 言肘仇 丽瓦刁器嚣貉瓦而刁，( 1 4 1 )而西砀i 瓦面两i 丽窃再弦砑而藕万 t l 4 1 ) 硕士学位论文 柏郴尊e 囊st h e 客i 誊 其中 d ( ) = ( 丢一i n ) ( 三一t 口一t ) ( ，y t 暑，) ( 1 4 1 ) 式表示的极化率可以写成 x ( ) = x ，( ) + i ( 1 ，) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 的形式上式中的实部z ( ) 和虚部妒( ) 分别代表介质对探测场的色散和吸收 v 图1 3 ：二能级原子介质的线性极化率的实部( 点线) 和虚部( 实线) 与探测失谐量y 的关系其 中驱动场的拉比频率分别为( 口) q = o 和( 6 ) n = 2 ，驱动场的失谐为4 = o 在图1 3 中，画出了二能级原子的色散卿吸收对探测失谐的曲线图( 以原 子衰减速率7 为单位) 可以看出，当驱动场拉比频率q = 0 时二能级原子的吸收谱 9 硫士学位语文 h ，l 攫st 过e s i 誊 线妒为单峰结构，当探测场频率在原子的近共振频率附近时，吸收有最大值并且伴 随着最大吸收，还出现了最大的色散( x ，) 当驱动场拉比频率q = 2 时，原子的吸收 谱线呈现出比较复杂的m o l o w 三峰型曲线在两个荧光边频p = 蚍士q 处，原子对 探测场的吸收为零但色散最大值得注意的是，在两个零吸收点之内，谱线存在两个 负吸收峰这反映了原子在驱动场作用下对此频率附近的探测场增益的作用 1 0 磺士学位语文 m a s 丁e 建s 豫e s i s 第二章腔内单原子的量子特性 非线性光学效应通常是在非线性介质与强光场相互作用时发生，通常情况下非 线性介质是具有一定宏观量的集合原子s g 仡g e 和c 射i n i c h 踟的研究发现，在量子 光学腔中的单个原子也存在着非线性效应在这种情况下，光与物质的相互作用被 推到两个极限上来：其一是物质被减少到只有一个原子与光场相互作用：其二是单 个光子便可以饱和原子在这种极限情况下半经典的理论就不能准确的描述原子的 量子行为，需考虑全量子理论 2 1腔内单原子光学双稳 考虑一个放置于量子光腔中的二能级原子模型原子跃迁的本征频率为“h 腔 场的共振频率为腔场被一束频率为经典相干场驱动，考虑真空场的阻尼效应 在合适的旋转框架以及偶极近似条件下，根据原予与量子化光场相互作用的j c 模 型，可写出系统约化密度算符的时间演化方程： 曩 y ， 。 图2 1 ：腔内单原子模型 1 1 、y 一 k 硕士学位话炙 m 鹇= r l 漾st h e s i 鑫 鲁= 一主【日，纠+ 伽+ 锄口；霸 。 其中日表示系统的哈密顿量 ( 2 1 ) 日= 尬口盯t 仃+ 气乱c i t d + 硼圆( 8 t d ) + i 两( 0 仃一d 仃) ( 2 2 ) 上式中d t 和扮别表示腔场光子的产生和湮灭算符，a r t = i e ) ( 9 i 和口= i 夕) ( e 1 分别表 示原子的上升和下降算符n = 一咖和c = 忱一分别表示经典驱动场相对 原子的频率失谐和腔场相对原子的频率失谐e 是腔外经典驱动场的振幅，9 是原 子场之间的耦合常数c 口p 描述原子受普通真空的阻尼 c 口p = 丢( 2 仃胪t 一盯t 盯p 一舻盯) ， ( 2 3 ) 式中，y 为原子的自发辐射衰减速率 c c p = 尼( 2 a 一矿印一口) ，( 2 4 ) c c p 描述腔场在普通真空的阻尼下以2 仡的速率衰减 对于任意个系统算符d 的期望值( d ) 随时间的演化方程可由主方程( 2 1 ) 决定 丢( 。) = 晏n ( 。力= n ( 。害) = 去( 【d ，明) + n ( 。c 力 ( 2 5 ) 其中c p = c p + 厶p 将腔场算符n ，原子极化算符口和原子布居差算符昵代入上式 中可得它们的期望值随时间的演化方程 爰如) = e 一+ i c ) ( 由+ 夕p ， 丢( 盯) = 一( 三+ 啦) + 夕( 峨) ， 丢( 以) = 一，y ( 机) + 1 ) + 2 9 ( d ) + 2 9 ( 如) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 式中的既定义为呢= 口k 一口妇和口品分别表示原子处于基态和激发态的布居算 符对于多原子系统而言，可以对上式做如下的近似：( b 口 _ ( c l t ) ( 盯) 和( 吮) 。 1 2 碛士学位论文 鲢炎s 丁e r s t 奠e s i 暮 ( 口) ( 吼) 于是( 2 屉2 8 ) 变化成我们通常熟知的m 叔w e l l - b 1 0 c h 方程但是，这种处理 方法只有在原子态和场态之间是相互独立的情况下才能成立，即i 原子场耦合态) = i 原子态) i 场态) ，或者用密度算符表示p = p 原子。偈对与腔内的单原子系统而言， 原子与腔场之间量子起伏与关联并不能被忽略，因此这样的近似是不能成立的所 以不做任何近似而得到( 2 矗2 8 ) 式的解析解是非常困难的 因此s a v a 薛和c 鲫m i c h e a l l 提出了一种准确求解方程( 2 2 ) 的数值方法这种方法 可以不需要考虑任何近似，即使在非旋波条件下仍然适用下面介绍这种方法：首 先将方程( 2 2 ) 写成如下形式： 掣= 却( 亡) ， ( 2 9 ) 出 一r 、_ 上式具有如下形式解： p ( 亡) = e l p ( o ) ( 2 1 0 ) 为了能用数值方法求解方程( 2 1 0 ) ，需要找到l 矩阵形式即用光场数态和原子态的 耦合态做基矢将方程( 2 2 ) 展开，并将光场态根据需要在一定光子数态截断例如选 择n 个状态表示光场量子态，考虑二能级原子的两个态，即可以用2 个耦合态1 1 ) = 1 9 ，o ) ，1 2 ) = i e ，o ) ，f 3 ) = 陋，1 ) ，1 4 ) = e ，1 ) ，1 2 一1 ) = | 9 ，一1 ) ，1 2 ) = i e ，一1 ) 做基矢用这样的基矢展开的约化密度算符硝2 2 个矩阵元将 这2 2 个矩阵元排列一个4 2 1 的列向量，于是由方程( 2 0 9 ) 可得密度矩阵元 构成的列向量的时间演化方程 知( t ) = 。三岫肭施舶( 1 2 肼 ( 2 1 1 ) 式中l 为一个4 2 4 2 系数矩阵，它的各个元素由主方程确定如果考虑量子腔场 有1 0 个光子数态，原子有2 个态( 系统有2 0 个耦合态) ，则密度矩阵有2 0 2 0 个矩阵元， 那么方程( 2 1 1 ) 则表示含有4 0 0 个方程的大方程组，该方程组的系数矩阵l 含4 0 0 2 个 矩阵元但是对于本节讨论的情况，l 每行只包含1 0 个非零元素对于方程【2 1 1 ) ，可 用一步欧拉循环叠代的方法求解 p ( t ) = 3 哩 i + ( t 肛) l r p ( o ) ( 2 1 2 ) 露 1 3 碛士学位论文 翰【底8 丁e 疑st h e s i 誊 该数值方法的精度是可以通过增大展开基矢的个数( 增大截断的场光子态数) 和 缩小循环叠代过程中的步长来提高p e g g 和b a m e t t 证明在i s ) 截断的数态光子数表 象中，场的湮灭算符可表示为 口= 1 0 ) ( 1 l + 以1 1 ) ( 2 i + + 够l s 一1 ) ( s i ，( 2 1 3 ) 其对易子为 o ，口t 】= 1 一( s + 1 ) i s ) ( 3 1 容易看出，当场在光子数大于s 的态上的布居 很小的时，即( s ipl s ) ( 8 + 1 ) 1 时有( o ，o 】) 1 ，说明该方法在合适的光子数态 截断是可以有较高的精度的 利用相干态l q ) 将密度算符展开，可得到q 分布函数 q = ( 0 f ipl a ) ，( 2 1 4 ) 利用相干态的数态展开( 1 1 1 ) 式，( 2 1 4 ) 式可以化为 口= ( q lpi q ) = ( 口im ) ( m n ) ( 训a ) = 薹型皆如， ( 2 1 5 ) 怠 咖! m ! ”7 、 7 其中= n 咖m ，是对原子态求迹后的约化密度算符 图2 2 是单原子双稳的q 分布函数图其中( a ) c = 6 ，y = 7 ，= 1 ，( b ) g = 6 ，y = 6 8 ，= 5 图中的双峰结构表示腔模场可能处于的两个不同本征值q 的相 干态这里的参数定义为：d = 岳，y = 鼍擎，= 若，它们的含义分别是反映原 子腔耦合程度的合作系数，原子受激发的程度，腔内饱和光子数对比图2 2 可以发 现影响双峰锐利程度的参数主要为越大，原子饱和程度越大，q 分布函数双峰 的区分度越大 2 2腔内二能级原子的吸收色散谱 本节我们仍用数值方法计算腔内二能级原子在普通真空库的阻尼下，对弱探测 1 4 硕r 士学位论文 直j 一漆t l 激st h e 钌霉 图2 2 ：双稳q 分布函数 场的的吸收色散谱我们考虑和上节一样的系统模型，该系统有哈密顿量： 日= 尬口盯t c r + 鬼k 一口+ 讷四( g t 一口) + i 的( 一盯一d a r t ) ，( 2 1 6 ) 它满足主方程 害= 一去【日，纠+ 厶p + 厶p ( 2 1 7 ) 该方程有形式解 p ( 力= e l t p ( o ) ( 2 1 8 ) 利用上节所述的数值截断的方法，选取初始条件p ( o ) = ( 1 ，o ，o ，o ) t ，这表示在初 始时刻腔中光子数为。且原子处于基态k ) 1 5 硕士学位论支 m a s t e r st h e 露i s 我们考虑腔耦合的原子系统被一束弱单色探测场微扰，探测场的频率帅由 于关心该原子在腔场的耦合下对探测场的响应，为此我们计算在不同的腔衰减常 数k 下原子对探测场的吸收与色散原子对探测场的线性极化率) ( 可由对原子算符 对易子的双时平均值的傅立叶变化得到 x ( y ) = 熙t 七上( + r ) ，c r t ( t ) 】) 妙抚 ( 2 舶) 上式中p = 脚一蛐表示探测场相对于驱动场失谐，七是比例常数原子跃迁算符的 双时平均( p + r ) ，矿( 亡) 】) 可以由如下的关系计算 ( 盯0 + 丁) 盯( 亡) ) = n 盯 ) e h p ( t ) p ( z ) 】 ， ( 一( 句盯0 + 7 - ) ) = n 仃( t ) 少【p ( t ) 口+ ( t ) m ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 这里我们关心共振情况口= c = o 以原子自发辐射衰减速率，y 为单位，根据经典 驱动场的强度= 导的大小，可将驱动强度分为三个区域：弱驱动健1 ) ，中等驱 动 一1 ) ，强驱动偿1 ) 根据参数，7 = 南的大小，可将原子与腔场光子的耦 合强度分为三个区域：弱耦合加1 ) ，中等耦合幻一1 ) ，强耦合幻1 ) 我们计算在不同的腔衰减常数下原子的吸收谱，其中k = 1 0 0 ( g ) ，c = 2 5 ( 砷， k = 1 0 ( c ) ，k = 7 5 ( 回，k = 5 ( e ) ，尤= o 2 ( ，) 其他参数固定为矿= 4 0 和，y = 1 为 了比较，我们固定腔内驱动的强度为弹= ( 攀) z = 5 0 这就意味着腔外驱动强度需 随k 减d 、= v 信托4 ( 1 ) 在强驱动、弱耦合区域，单原子的吸收谱线大致和通常的m 0 u o 槽线一 致如图2 3 ( a ，b ) 所示，即：吸收谱的中心频率处为单吸收峰，在两个荧光边频附 近有一对零吸收点，一对增益峰和吸收峰分布于零吸收点的两侧为了方便对 比，在图( a ，b ) 中虚线画出了普通介质对经典场的吸收谱线图( a ) 中，腔外驱动强 度= 5 5 9 ，耦合强度刁= o 0 1 6 ，吸收谱在边频l ，= 士7 0 附近出现零吸收点可以 看出，即使在这种坏腔极限以夕7 ) 的情况下，腔的效应也是明显的图( b ) 中， f = 1 4 0 ，叩= 0 2 5 6 ，腔内单原子和普通介质的吸收谱之间的差别变得更加明显 1 6 磺士学位论支 d 【a s = r 毫建st h e 爨蔷 图2 3 ：腔内二能级单原子吸收谱 为了解释这种现象发生的原因，我们做如下的幺正变换，= z ) t ( a ) p d ( a ) ，幺正 算符d ( ”= 唧( 入口l 一”d ) ，其中入= 一警变换后的密度矩阵满足和( 2 1 7 ) 相同 的形式，只是在新表象中系统的哈密顿有更简结的形式 日= 昙q ( 盯+ 矿) + 韧( a t 口一口仃) ( 2 2 2 ) 上式中q = 攀是腔内驱动场的有效拉比频率在情况( a ，b ) 中，腔场的平均光子 数分别为( a ) 协) 圭o 2 7 ，( b ) 似) 圭o 2 4 对于高衰减率的腔而言，腔场近似地等 效于宽频相干场在弱耦合极限下，方程( 2 2 2 ) 中的前一项对哈密顿的贡献起主 要作用为了对角化第一项，我们来到修饰态表象中系统的修饰态可以表示 为l 吐) = 去( 1 9 ，z + 1 ) 士i e ，z ) ) ，其对应本征值分别为士q ( q 1 ) ，其中z 1 是腔内 】7 有效驱动场的光子数修饰态之间的跃迁由图2 4 中的虚线箭头( 1 4 ) 表示，原子的 i 迸o i 疋o 图2 4 ：腔内二能级原予修饰态 i t 。o l t ，o 吸收谱由这些修饰态之间跃迁的相干叠加决定从图中可以看出吸收谱的三个特 征峰应该位于y = 0 ，士q ，但事实上由于各跃迁之间存在相干性，这些特征峰并不严 格位于这些频率上也正是因为这种相干性，谱线才出现零吸收点以及负吸收( 增 益) 峰 ( 2 ) 在弱驱动、强耦合区域，吸收谱呈现出锐利的双峰结构，如图2 3 ( f ) 所 示该情况下= 0 1 l ，刀= 3 2 7 ，双吸收峰分别位于l ，= 士6 3 在没有原子一场 相互作用或相互作用比较弱的情况下，修饰态 4 ，7 l + 1 ) 和l 拳1 ，住) l 是腔 内光场光子数) 是简并的当系统存在较强的原予场相互作用时，这种简并 被解除，并在修饰态l 吐，n ) = 击( 1 4 ，n + 1 ) 士l 母1 ，磅) 之间产生2 硇圻再了的 能级差，该组修饰态相应的“基态一为i 碥，o ) = 1 4 ，o 与此相类似，修饰 态l 选，n ) = 击( 1 点，n + 1 ) 士l 出1 ，n ) ) 也被退简并，该组修饰态相应的“基态一 为l 珠，o ) = l 文，o ) 图( f ) 中腔场平均光子数伽) 圭9 2 l o 相比而言，真空拉比分 裂起主要影响，因此谱线呈锐利的双峰结构 1 8 硕士学位论支 确【龋了e r s1 阻e s 珞 ( 3 ) 中等驱动、中等耦合区域，单原子吸收谱分别呈现出单、双和三峰结 构，如图2 3 ( c ，d ，e ) 所示明显区别于前两种情况的是吸收谱的增益峰消失并且 谱线的宽度有所展宽( c ) 图中，= 5 5 9 ，7 = 1 6 ，伽) 圭o 1 6 ，三个吸收峰分 别位于l ，= o ，l ，= 士9 8 ( d ) 图中，f = 4 2 ，7 = 2 5 ，伽) 圭o 0 6 9 ，中心频率处 为一个超宽的单峰( e ) 图中，专= 2 8 ，叩= 5 3 ，伽) 圭o 0 4 8 ，两个吸收峰对称 分布在l ，= 士4 7 处相比前两种情况，这种情况下腔内光子数分布较宽，原子 部分处于“激发态 f u 垒，n ) 和卜垒，竹) 上因此原子发生在卜尘，n ) ol 畦，7 l + 1 ) 和l 畦，珏) _ l 迭，珏+ 1 ) 上的跃迁对原子的吸收有贡献于是，两类的跃迁的相干叠 加对原子的吸收谱产生贡献因此，不难推断吸收谱的线型会因为这两类跃迁所占 的比重不同而形成如图( c ，d ，e ，) 中