（光学专业论文）原子在光场中衍射理论研究.pdf

i 摘摘 要要 原子在光场中衍射理论为减速， 冷却和捕获原子提供了理论依据， 在原子光学， 非线性光学以及激光物理的研究中扮演着重要角色。此理论在同位素分离器、电子 束劈裂器以及显微镜等方面有重要应用，特别是近年来，它在调制、定位、聚焦等 方面的应用引起了人们很大的兴趣。一系列纯量子效应如原子的崩塌和回复、亚泊 松统计和压缩光等成为科学家们研究的热点。然而这些研究成果，无论在理论上还 是在实验上，都集中讨论原子在光场中衍射后的动量分布，因此，我们在坐标表象 下研究原子衍射问题就有着十分重要的意义。 第一章在回顾量子光学的发展历程的基础上进一步介绍了原子和光场相互作 用问题的研究进展，另外作为基础主要分析了原子在光场中的受力情况。 第二章主要介绍原子在光场中衍射的基本理论，得到标准 j-c 模型的哈密顿量 在偶极近似和旋波近似下的半经典和全量子表述形式，并进一步介绍了密度矩阵法 和描述原子态密度随时间演化的光学布洛赫方程。 第三章主要研究原子在光场中衍射的动力学行为，在动量表象下求出拉曼纳 斯衍射后原子布居几率分布规律。最后在全量子理论框架下研究了原子反转的崩塌 和回复。 第四章是我们的创新，在半经典近似下求出原子在驻波场中衍射后在坐标空间 的精确解析解并讨论了其空间演化特性，据我们所知，其它的文献尚无涉及。 第五章是我们的总结和展望。 关键词：关键词：标准 j-c 模型， 拉曼纳斯衍射， 密度矩阵方法，光学布洛赫方程， 坐 标表象 ii abstract the atomic diffraction provides a way to slow, cool and trap atoms, and plays an essential role in the research of atom optics, nonlinear optics and laser physics. this effect has important application in isotope separation, beam splitter and microscopy, and so on. more recently, it has attracted much interest in modulation, localization and focusing. it has also stimulated the research on some fully quantum phenomena such as collapses-revivals of atomic inversion, sub-poisson statistics and the squeezing of light. however, many of these studies, both experimentally and theoretically, have been focusing on determining only the final momentum distribution, thus our research of the spatial distribution of atomic diffraction will be very attractive. in chapter 1, a simple history overview is presented about quantum optics and the development of atom diffraction. then the light forces on atoms are mainly analyzed which will be very useful in the following chapters. in chapter 2, the hamiltonian about standard j-c (jaynes-cummings) model is derived under the dipole and rotating-wave approximation. besides above, the density matrix method and the optical bloch equations are presented eventually. in chapter 3, the probability distribution of the raman-nath diffraction in coordinate representation and the collapses-revivals of atomic inversion are discussed. in chapter 4, we derive the exact analytical solution of atomic diffraction by an optical standing wave in the coordinate representation and discuss some peculiar features which have never been mentioned before. in chapter 5, conclusion and outlook of atomic diffraction are given. key words: standard j-c model, raman-nath diffraction, density matrix method, optical bloch equations, coordinate representation 1 1 绪论绪论 1.1 原子在光场中衍射理论概述原子在光场中衍射理论概述 原子在光场中衍射理论是量子光学的基础，原子与光场相互作用特性的研究一 直是人们研究的热点。具有一定动量和能量的自由原子与光场发生相互作用后会产 生一定的偏转，这一现象叫做原子在光场中衍射1。原子与光场相互作用的范围往 往很小，实验中对衍射后的原子进行测量又往往在远场区域，因此原子被衍射前后 都是自由粒子。从这种意义上来说原子在光场中衍射就是由于空间某一小区域光场 的作用而导致的被衍射原子由一种自由态到另一种自由态的跃迁过程。原子发生衍 射后，动量、能量、极化状态、内部结构都发生一定的变化，并且这种改变具有一 定的规律性。研究原子在光场中衍射问题就是建立一个原子与光场相互作用的模型 来描述原子与场相互作用的特性，从而来认识原子的内部结构、推断原子微观世界 的特征以及预言在实验上还不能直接观测到的现象。shankar r 在他的著作中提到： 了解粒子结构和粒子间相互作用力的一个最好的方式就是去衍射它们2。 原子在光场中衍射问题是量子光学研究中最基本也最重要的问题，因此本章第 二节首先回顾了量子光学的发展过程，以期更好的了解原子在光场中衍射理论的历 史本源和发展背景，并在量子光学的大背景下回顾了原子与光场相互作用的研究进 展。为了使研究的问题更加明确，第三节对原子衍射类型进行简单的分类，其中着 重介绍了半经典近似和拉曼纳斯衍射，这是我们全文讨论的重点。本章的第四节 是全文的基础，讨论了原子与光场相互作用过程中的受力情况。第五节简单介绍了 研究原子在光场中衍射过程中应具备的数学知识第一类贝塞耳函数。最后对本 章进行小结，指出原子在光场中衍射理论的重要现实意义。 1.2 历史回顾历史回顾 1.2.1 量子光学发展的历史回顾量子光学发展的历史回顾 经典物理阶段：经典物理阶段：光对人类而言是一个古老的话题，可以追溯到人类诞生之初， 2 但对光的本性的认识却经历了漫长的岁月。18 世纪中叶，以牛顿为代表的一批科学 家认为光是由很小的物质微粒组成，建立了早期光的微粒说。19 世纪中叶，惠更斯 和菲涅尔等人对光的反射、折射、干涉和衍射这些特性的研究，证明了光也是一种 波。1964 年麦克斯韦预言了光是一种电磁波，1988 年赫兹在实验上证实了麦克斯 韦的预言，从而确立了光的波动说。然而正当人们为当时完备的物理学理论自鸣得 意时，却遇到了经典物理无法解释的现象，如黑体辐射，光电效应，原子的光谱线 系以及固体在低温下的比热等。 经典量子力学阶段：经典量子力学阶段：经典物理遇到的难题的突破得益于普朗克的量子假说。普 朗克假设能量只能取某一基本量（即能量子或作用量子）的整倍数，这一基本量也 称普朗克常数，是微观世界的基本标志。量子论的诞生在物理学领域掀起了一场新 的革命，开启了人类认识微观世界的大门，普朗克因此获得 1918 年的诺贝尔奖。 德裔美国人爱因斯坦 1905 年进一步确认和发展了普朗克“能量子”的观念，并提 出了“光量子说” 。他认为光是由一个个能量单体量子组成，这种光量子除了有波 的性状之外，还有粒子的特征，初步奠定了光具有波粒二象性的雏形。爱因斯坦光 量子说圆满地解释了光电效应。鉴于这个发现，爱因斯坦荣获 1921 年诺贝尔奖。 丹麦人玻尔是经典量子论和现代量子论的创立者之一， 1913 年他把量子化的概念引 进原子结构理论，即把爱因斯坦和普朗克的量子论与核式原子概念结合起来，从而 解释了原子发射的光谱，荣获 1922 年诺贝尔奖。美国人康普顿 1922 年通过光与电 子的衍射实验，观测到了光在衍射过程中显示出的粒子性；1923 年发现并解释了 x 射线与电子撞击时波长的变化，从根本上证明了光不仅是电磁波，还是具有能量和 动量的粒子，为量子论提供了有力的证据。这个被称为“康普顿效应”的发现获 1927 年诺贝尔奖。1924 年玻色进一步提出，光子是质量为零、自旋量子数为 1 的粒子。 由于光的波动性和光的粒子性都是由可靠的实验所证实， 20 世纪初科学家们普遍接 受了“光同时具有粒子性和波动性”的观念。这就是微观世界所表现出来的特征，称 为光的波粒二象性。 量子光学阶段：量子光学阶段：认识到光和物质的量子特性是量子光学诞生的基础。量子光学 就是一门主要研究光场与物质相互作用的量子统计和量子特征的学科。量子光学作 为近代物理学中的一个重要分支，是量子场论和物理光学的结合。量子光学起源于 早期的辐射场干涉理论3，格劳伯 1963 年提出的“相干性量子理论”4-6，不仅解 决了现代光学的一些基础性问题，而且预示着一门全新的物理学学科量子光学 3 的诞生。2005 年 10 月 4 日，瑞典皇家科学院宣布，将 2005 年度诺贝尔物理学奖的 一半奖金授予美国量子光学家罗伊格劳伯， 以表彰他对光学相干的量子理论做出的 贡献。他获得诺贝尔奖，是学术界许多人都期待已久的事情，在哈佛大学召开的新 闻发布会上，哈佛大学物理系主任认为，格劳伯的获奖是一个迟到的奖励。20 世纪 60 年代激光的诞生，使人们有可能获得真正的相干光源7，从而促进了量子光学的 快速发展。20 世纪八十、九十年代量子光学发展到鼎盛时期，建立了完备的半经典 理论和全量子理论，构建了物质和辐射场相互作用的基本框架。量子光学发展到今 天，内容已经非常的丰富和广泛，并由此演化出原子光学，非线性光学等各种更新 的学科。随着科学和实验技术的不断提高，越来越多的光学效应被观测到，不断充 实和扩充着量子光学的内涵。 1.2.2 原子在光场中衍射理论的历史回顾原子在光场中衍射理论的历史回顾 虽然量子光学的诞生归功于普朗克的能量子假说和爱因斯坦的光量子假说，但 是利用量子理论全面研究光的量子特性以及光与物质相互作用特性，并从实验上进 行观测，则是近年来量子光学研究的重点。原子在光场中衍射理论是量子光学的一 部分，因此量子光学的发展过程正是原子衍射问题研究深入的过程。了解原子在光 场中衍射问题常常从 1933 年开始，因为在那一年 kapitza p l 和 dirac p a m 预言， 由于受激康普顿效应，电子束可以被驻波光场衍射，后来把这种现象称为“k-d 效 应”8。但由于当时实验条件所限，该预言一直未被实验所证实。直到上世纪 60 年代激光问世后该问题重又引起人们的重视。 bartell l s 等人首次在实验上观测到 电子在光场中的衍射效应9,10，从而证实了“k-d 效应” 。随后，有人预言中性原子 也可以在光场中衍射11。但此后 20 年，实验上一直缺乏大的突破，直到 1983 年 mit的实验小组的pritchard d e及其合作者首次在实验上观测到原子在光场中衍射 后的劈裂现象12。原子被一共振驻波场衍射后，入射原子束被成功的劈裂成对称的 双峰分布。在以后的几年里， pritchard d e 及其合作者围绕光场使原子束偏转、原 子衍射过程中的动量变化等问题深入的研究了原子的“k-d 效应”13-16。自此，原 子与光场的相互作用理论不再只停留在理论的层次，而有了更深的实际意义。二十 世纪八十、九十年代，在量子光学发展的鼎盛时期，原子与行波场17、激光脉冲18 以及驻波场19的相互作用问题在理论上和实验上都得到深入的研究， 原子与光场相 4 互作用过程中的量子特性逐渐被揭示。随着研究的深入，很多在经典领域中不可能 观测到的现象如原子反转的崩塌和回复20-21、光场的反聚束和亚泊松统计21,22，压 缩光23等纯量子效应成为研究的热点。这些非经典效应在光通讯，量子测量，引力 波探测，量子计算机等领域有着广阔的应用前景24。 1.3 原子在光场中衍射的简单分类原子在光场中衍射的简单分类 原子在光场中衍射问题本是一类问题，即研究原子与光场的相互作用特性，但 在研究这类问题时，根据实际情况，我们常常需要采用不同的处理方法，因此为便 于研究，文中把光与物质相互作用按照研究进程和衍射特性进行了简单的分类，其 中着重介绍了和本文关系较大的半经典近似和拉曼纳斯衍射。 1.3.1 按照原子与光场相互作用的研究进程按照原子与光场相互作用的研究进程 按照研究进程一般分为三个阶段： 经典理论阶段：经典理论阶段：光场由麦克斯韦方程描述，而原子的运动速度比光速小很多时 准确的由牛顿定律描述，这些理论一般见于早期的著作中； 半经典理论阶段半经典理论阶段：这个阶段也可以称为半量子阶段，光场依然由麦克斯韦方程 描述，而原子则由薛定谔方程描述。这种描述方式一般比较常见，但由于光场依然 采用经典方式描述，因此虽能反应粒子的波动性，但不能反应场的粒子性，因此在 研究全量子特性时有一定的局限性。 全量子理论阶段全量子理论阶段：对光场和原子均采用量子力学描述，这是目前为止描述微观 世界最完备的理论，揭示了微观粒子和光场的波粒二象性。根据全量子理论预言的 微观世界的特征也正在不断的为实验所证实。 从直观上看，研究原子与光场相互作用系统时，采用全量子理论是最理想的选 择。 然而， 在某些条件下， 采用半经典理论不仅可以得到和全量子理论一样的结论， 还可以使计算大为简化，因此半经典理论在实际应用中有着非常重要的地位。本文 最后一章就是采用半经典理论来研究原子在驻波场中衍射的空间分布情况，因此在 此我们先对半经典理论做一简单的介绍。 当原子的德布罗意波长远小于光波波长时： 5 2 d h pk =? （1.1） 其中 d ，分别是原子的德布罗意波长和光波的波长，p是原子的动量，k是光波 的波矢。上式可以变形为： pk? ? （1.2） 上式表明， 当原子的德布罗意波长远小于光波波长时， 原子的动量远大于反冲动量， 这时就可以用半经典理论来处理。在研究原子与光场的相互作用时，如果入射原子 速度比较大，原子的动量一般远大于反冲动量，所以可以安全的使用半经典理论进 行描述。 1.3.2 原子在驻波场中衍射问题分类原子在驻波场中衍射问题分类 原子在驻波场中衍射理论是本文研究的重点。原子被驻波场衍射有时也被称做 原子的“k-d 效应” ，其中驻波场类似于光学光栅或相当于一个相位门，能够使入 射原子发生一定的偏转12。原子在驻波场中衍射以其理论模型简单，实验现象明显 且意义重大等优点， 深受研究者的青睐。 meystre p 把原子在驻波场中衍射问题分为 拉曼纳斯衍射，布拉格衍射和史特恩革拉赫衍射25。这些划分是根据衍射效果 来区分的，本文沿用这个分类方法，并着重介绍拉曼纳斯衍射。 （1）拉曼纳斯衍射：）拉曼纳斯衍射：拉曼纳斯衍射是在研究声光效应时被发现的，是指 当光通过处在超声波作用下的透明媒质时产生的衍射现象。 1921 年布里渊曾预言当 光通过有高频声波作用的液体时产生衍射效应。 1932 年德拜从实验上观察到这一现 象。这是因为透明介质在超声波的作用下，密度发生了周期性的疏密变化，介质中 形成一声光栅，其光栅常数就是声波的波长，与普通光学光栅相似。1935 年拉曼和 纳斯发现，当光波平行于声波面入射时，若声光相互作用时间较短，则光波通过介 质后，由于通过光密部分的光波波阵面将延迟，而通过光疏部分的光波波阵面将超 前，于是通过声光介质的平面波波阵面出现凸凹现象，变成一个折皱曲面。衍射光 强的分布与普通光学光栅的衍射相类似： 中央极大， 二边对称地出现多级衍射极大， 且强度逐渐减弱。 如图 1.1 所示，沿 y 轴传播的光经过有超声波控制的透明介质后发生衍射，这 6 种声光效应称为拉曼纳斯声光衍射。其特点是出射波阵面上各子波源发出的次波 将发生相干作用，形成与入射方向对称分布的多级衍射光。在研究原子在驻波场中 衍射的问题时，如果入射波可以看作平面波，入射原子的动能可以忽略，且原子与 驻波场相互作用时间比较短，则原子被驻波场衍射后产生多级衍射，称做原子拉曼 纳斯衍射。cook r j 等人利用半经典理论或全量子理论求出了原子拉曼纳斯衍 射在动量表象中的分布特性26-28。原子拉曼纳斯衍射是全文研究的重点，第二章 和第三章将着重研究其衍射特性，并具体给出原子拉曼纳斯衍射的数值描述和原 子在驻波光场中的衍射特性。 （2）布拉格衍射：）布拉格衍射：当声波频率较高，声光相互作用长度l较大时，光束与声 波波面间以一定的角度斜入射，光通过有声场控制的介质后，衍射光各高级次衍射 光将互相抵消，只出现 0 级和+1 级（或1 级）衍射光。在研究原子布拉格衍射时， 入射原子的动能不能忽略，因此必须考虑原子反冲和多普勒展宽，原子的衍射阶就 受到限制，所以只有两个衍射阶可以观测到15, 28，这种类型的衍射被称为原子布拉 格衍射。 （3）史特恩革拉赫衍射：）史特恩革拉赫衍射：在讨论拉曼纳斯衍射，布拉格衍射时，入射光 都可以看作平面波，但在史特恩革拉赫衍射中，入射原子束被限制在一个狭小的 s l 入射光 x y 声波阵面 声波 光波阵面 图图 1.1 拉曼-纳斯衍射图 衍射光 7 区域内，原子束不能探测整个光场的空间特性29。史特恩革拉赫衍射和前面两种 衍射不同，一个入射原子波包只能被劈裂为两个，和自旋为二分之一的粒子在磁场 中的史特恩革拉赫效应一致。 1.4 原子在光场中衍射过程中的受力分析原子在光场中衍射过程中的受力分析 原子在光场中衍射后会发生偏转，说明原子在光场中受到力的作用。原子与光 场相互作用主要通过以下几个过程： （1）原子吸收，即原子从光场中吸收光子，原 子被激发到高能态； （2）原子的自发辐射：这一过程和光场没有关系，原子在任何 情况下都有自发辐射，即原子自发的从高能态跃迁到低能态而发射出光子，发射出 的光子具有各向同性的特点； （3）受激辐射：受激辐射是原子在光场的激发下产生 的，原子在场的激励下，从高能态跃迁到低能态，发射出一定频率的光子。新产生 的光子与激发光子具有完全相同的状态，即频率一样、波长一样、方向一样。在原 子与光场相互作用过程中，原子一般同时具有以上三个过程。 在研究原子在光场中衍射问题时，用到的光场主要是均匀行波场和驻波场，原 子与不同的光场相互作用会受到不同的力的作用。从经典观点出发，原子在辐射场 中不受力。在共振的情况下，原子在场的作用下产生一偶极矩，在一般的实验条件 下，光场的周期比这一偶极矩动量变化率的时间要长的多，因此经过一个光场的周 期的作用时间后，原子偶极矩的动量几乎不发生变化。由于动量不发生或者发生很 小的变化，原子的平均势能为零，与原子在场中的位置无关27。因此为了说明原子 在光场中衍射问题，我们必须从量子力学角度出发。根据产生的机理不同，一般把 原子所受的力分为两类，一类被称为辐射压力，有时也称为自发发射力或衍射力， 一类被称为偶极梯度力或辐射偶极力25。 自发发射力：自发发射力： 光场对原子的作用力是光子的动量传递给原子的结果。 我们知道， 在光场的作用下，原子吸收一个光子后跃迁到激发态，在这一过程中，原子不仅吸 收了光子能量，而且在光束的传播方向上还获得了光子的动量。当经过时间 t (t 为 原子处在激发态的寿命)后， 原子自发辐射一个光子后回到基态， 原子获得光子的反 冲动量。但是，自发发射光子的方向是随机的和各向同性的，所以原子多次自发发 射光子的反冲动量之和为零。结果原子只在光束传播方向净得多次吸收的光子动 量。原子因获得这一动量而受到的力称为光的辐射压力，通常又称为自发发射力或 8 衍射力。原子在与行波场相互作用过程中，就是受到光场施加的这种辐射压力而发 生偏转。 辐射偶极力：辐射偶极力： 在原子的受激辐射过程中， 原子的受力可以分两种情况讨论： （1） 光场为驻波场，受激发射过程会产生力。因为原子在这种光场作用下，可以从波矢 为k ? 的光场中吸收光子，而在受激发射时，则发出波矢为k ? 的光子。在这一过程 中，虽然原子吸收与发射出的能量相同，但是原子的动量却要改变2 k?，从而使原 子受力。我们把这种与受激辐射有关的力称为辐射偶极力。 （2）光场为均匀行波场 时， 不存在辐射偶极力。 因为原子与行波场相互作用过程中虽然存在受激发射过程， 但对于空间均匀的行波场，原子在其作用下受激发射的光子与吸收的光子同向，所 以原子获得的反冲动量恰与吸收的光子动量数值相等，方向相反，原子的动量没有 发生变化，因而不产生力。 ashkin a17利用原子在行波场中受到的辐射压力产生一恒定的中心力场，使中 性原子在一圆形轨道上运动，从而实现高分辨的速度分析器。对速度分析器进行扩 展，可以使原子囚禁在一稳定的圆形轨道上。nebenzahl i 和szoke a? 18利用平面镜 来回反射的激光脉冲与原子相互作用，在实际操作上比 ashkin a 的方案更节约能 源，但在实质上就是原子和驻波场相互作用原理。在原子与光场的相互作用时，尽 管我们区分它是与行波场还是与驻波场相互作用，但实际上却反应了同一个量子效 应，即原子轨道的量子力学劈裂。由于激光束是高斯光束，行波场的不均匀性主要 是电磁场振幅的变化，驻波场的不均匀性主要是场的驻波模式。在非均匀场中原子 轨道的劈裂又被称为光学史特恩革拉赫现象。 值得注意的是，原子与行波场相互作用过程中所受的辐射压力往往比较小，只 能使原子发生很小的偏转。bhaskar n d et al.利用光电原子束反冲技术30,31实现了 受激钠原子对低能电子的衍射32。虽然使用的不是光场，但在量级上反应了原子由 于受到辐射压力而偏转的情况。原子与驻波场相互作用中也受到自发发射力，但由 于辐射偶极力往往远大于自发发射力（在共振情况下自发发射力几乎为零） ，所以 在讨论原子与共振或近共振驻波场相互作用时常忽略自发发射力的影响27。 1.5 第一类贝塞耳函数第一类贝塞耳函数 在研究原子在光场中衍射问题时，要用到第一类贝塞耳函数33，下面将做一简 9 要的介绍。第一类贝塞耳函数是在研究一类问题时提出的，如果问题最后可以归结 为求解微分方程： 2 222 2 ()0 d ydy xxxy dxdx += （1.3） 则此问题便可以归结为求解v阶贝塞耳微分方程。 第一类贝塞耳函数的解可以统一写成： 2 0 ( 1) ( )( )( ) 2! (1) 2 k k k xx jx kk = = + （1.4） （1.4）式被称为第一类v阶贝塞耳函数。其中 k 为非负整数，,v x可以是任意复数， ()1vk+为1vk+的阶乘。若v为整数n，则上式可以写为： 2 0 ( 1) ( )( )( ) 2!()! 2 k nk n k xx jx k nk = = + （1.5） 第一类整数阶贝塞耳函数描述了一类问题的变化趋势，在实际应用中非常重 要。在讨论原子在光场中衍射问题时，我们就必须借助此函数的帮助才可以顺利求 出原子被衍射后的动量分布情况。关于第一类整数阶贝塞耳函数有一些重要的性 质： ( )( 1)( ) n nn jxjx = （1.6） ()( 1)( ) n nn jxjx= （1.7） 式（1.6）表明，正负n阶第一类贝塞耳函数( ) n jx 和( ) n jx只相差一个常数因子， （1.7）式表明n为偶数时，第一类n阶贝塞耳函数关于0 x=对称，n为奇数时关于 0 x=反对称。关于贝塞耳函数还有第二类、第三类等贝塞耳函数，在本文的讨论中 我们用不到，在此就不做介绍，详细内容参阅参考文献33。 最后强调一点是，如果0n=则（1.5）式称为第一类零阶贝塞耳函数。第一类 零阶贝塞耳函数和第一类一阶贝塞耳函数在应用中比较常见，所以关于它有详细的 函数值表，在此我们给出了它们的演化规律。图1.2直观的表现了第一类零阶和一 阶贝塞耳函数的变化趋势。 10 图图 1.2. 第一类零阶贝塞耳函数和一阶贝塞耳函数示意图。 1.6 小结小结 本章简单回顾了原子在光场中衍射问题的发展历程并对其进行了简单的分类。 原子和光场相互作用过程中由于动量转移使原子受力，根据产生的机理不同，我们 分别讨论了自发发射力和辐射偶极力。由于原子在光场中衍射理论可以用来加速 34、偏离、聚焦、囚禁粒子25，因此该理论可以用于同位素分离器、电子束分裂器 17以及实现光学势阱34等方面。近年来，它在调制、定位、原子激光等方面的应用 35，以及在原子反转的崩塌和回复36、压缩态3、混沌等非经典效应方面的研究 吸引着人类探索的目光。原子在光场中衍射理论的发展不仅使人们更系统的了解光 与物质相互作用的量子特性，同时也促进了许多相关领域如原子光学25、非线性光 学37、 量子信息等新兴学科的发展。 原子在非弹性衍射中的拉曼效应， 布拉格衍射， 四波混频、bec超辐射35等在现代光学的研究中扮演着越来越重要的角色。 11 2 两能级原子和单模光场相互作用的基本理论两能级原子和单模光场相互作用的基本理论 2.1 原子与光场相互作用模型原子与光场相互作用模型 2.1.1 两能级原子两能级原子 原子的结构本身是非常复杂的，一般是由一系列分立的能级组成，且大部分能 级是简并的，所以考虑原子所有的能级结构几乎是不可能的。然而原子与光场相互 作用也并不是无法求解，我们借助一定的假设，虽不能完全描述原子与光场相互作 用的性质，有时甚至存在较大误差，但可以把原子与光场相互作用的主要性质表现 出来38。实验证明光场诱导原子在不同能态间跃迁时，只有光场频率与原子本征跃 迁频率相等或近似相等的跃迁发生的几率才最大。所以讨论原子与光场相互作用 时，最自然的做法就是假设原子只有两个非简并的能级，这样的一个原子模型被称 为两能级原子，如图2.1所示。,ab分别称为原子的上能级和下能级或激发态和 基态。 图图 2.1 两能级原子与单频辐射场相互作用 两能级原子波函数一般表示为3： ( )( )( ) ab tctact b=+ （2.1） 其中( )( ), ab ctct分别表示在激发态和基态,ab探测到原子的几率幅。 相应的薛定 a b 12 谔方程为： ( )( ) i tht= ? ? （2.2） 方程中的哈密顿量一般表示为： intaf hhhh=+ （2.3） 其中 a h为单个原子的哈密顿量， f h为辐射场的哈密顿量， int h就是原子和辐射场 相互作用部分的哈密顿量。原子的哈密顿量一般表示为： ( ) 2 2 a p hv r m =+ ? （2.4） 其中m，p ? 分别是原子的质量和质心运动的动量，( )v r是原子的固有能，即电子 和原子核的相互作用势能。在薛定谔绘景中，设原子的上下能级的本征频率分别是 , ab ， 原子的跃迁频率就是 0ab =。 原子的本征矢记为,ab， 则,ab构 成一组完备基，由完备性条件1aabb+=，可以把原子的哈密顿量表示为： 2 2 aab p h m =+ ? ? （2.5） 第一项就是原子的质心动能， a ?， b ?就是上能级和下能级的本征能量， ab +? 为原子内态能。 原子质心坐标和质心动量满足对易关系, ijij x pi = ?（i,1,2,3j =）, , ij x p分别代表在坐标表象下原子质心坐标和质心动量在i和j方向的分量。 2.1.2 辐射场的量子化辐射场的量子化 在经典和半经典表述中，辐射场遵从麦克斯韦方程所描述的规律，所以半经典 理论不能反应光场的波粒二象性。为了充分反应原子与光场相互作用的量子特性， 必须将辐射场量子化。辐射场的量子化就是把电磁场的波函数，电磁势或电磁场强 度转化为算符。场的量子化通常称为二次量子化。下面就简单介绍二次量子化的基 本过程1,38。将辐射场的矢量势(),a r t ? ? 和广义动量(), r t ? ? 变成算符，并令它们满足 13 对易关系()(),a r tr ti = ? ? ? ?，引入算符( )at ?和 ( )at + ?来代替矢量势和广义动量， 可以把辐射场的哈密顿量写为1： f ha a + = ? ? ? (2.6) 其中标识 代表一组完备的光场模式。一般情况下 ? 是光场波矢k ? 和光场偏振状 态 ? 的函数 () ,k= ? ? 。消灭算符( )at ?和产生算符 ( )at + ?满足玻色子对易关系： , vv aa + = ? （2.7） 2.1.3 两能级原子与单模光场相互作用项两能级原子与单模光场相互作用项 在库伦规范下，光场的标量势为零，此时原子与光场相互作用的哈密顿量可以 用光场矢势(),a r t ? ? 表示为38： () 2 2 int 22 ee hp aa pa mm =+ ? ? （2.8） 上式中的第二项描述光场不同模式之间的相互作用，与第一项比较常可以忽略不 计。因为矢量势中含有坐标算符r ? ，所以,0a p ? ? 。假定原子中心处于 0 r ? 处，整个 原子处在由矢量势() 0 ,a rr t+ ? ? 描述的平面电磁波中，由于原子线度很小，因此可以 认为1k r ? ? ?，这就是偶极近似或长波近似。在偶极近似下： ()( )() 00 ,expa rr ta tikrr+=+ ? ? ( ) () () 0 exp1a tik rik r=+ ? ? （2.9） ( )() 0 expa tik r ? ? ? 结合式（2.8）和（2.9） ，在偶极近似下，原子与光场相互作用哈密顿量为： () int0, e hp a r t m = ? （2.10） 如果原子跃迁频率和光场频率相同，即在共振情况下，上式就是我们常见的偶 14 极近似下原子与光场相互作用哈密顿量3： () int0, her e r t= ? ? (2.11) 2.1.4 标准标准 j-c 模型：模型： 描述原子与光场相互作用的基本理论模型是jaynes-cummings(j-c)模型。j-c模 型39是jaynes e t和cummings f w在1963年提出的描述单模光场和两能级原子相 互作用的，在旋波近似下精确可解的模型40,41。图2.1给出了原子与光场相互作用 标准j-c模型的示意图，其中光场为频率为的单模场。rempe g等人利用高q微 波腔里德伯原子与辐射场相互作用，在实验上实现了j-c模型20,21。现在，该模型 已经被推广到单多光子j-c模型，单多原子j-c模型，非线性j-c模型等多种模型， 有着非常重要的实际意义。杨晓雪和吴颖教授在j-c模型的精确求解方面做了大量 的工作，发现该模型与描述自旋1/2的粒子在磁场中的模型相类似，给出了任何单 模、双模，非线性j-c模型的解析解，并有效的推广到所有的j-c模型，用十分简 捷的方式给出了模式的本征值，本征态以及演化方程42-45。 标准j-c模型的哈密顿量就是两能级原子和单模场相互作用的哈密顿量。如果 用全量子理论进行表述，j-c模型的哈密顿量就可以用式（2.3）来表示，其中 a h， f h， int h的表达式就是式（2.5） ， （2.6）和（2.11） 。值得注意的是在全量子化的描 述中，光场也是被量子化的，因此（2.11）式中的电场强度也应是量子化后的形式。 2.2 半经典近似下标准半经典近似下标准 j-c 模型的哈密顿量模型的哈密顿量 2.2.1 偶极近似和旋波近似下原子和光场相互作用部分的哈密顿偶极近似和旋波近似下原子和光场相互作用部分的哈密顿 （1）偶极近似：）偶极近似：在2.1.3节已经讨论了偶极近似，如果光场在原子线度范围内 变化比较缓慢，原子与光场相互作用哈密顿量就是： ()() int00 ,her e r te r t= = ? ? （2.12） ? 是原子电偶极矩，上式也可以说是电偶极矩的哈密顿量。在实际处理中，电场一 15 般采用下列形式表示： ()() 00 ,cose r tet= ? ? （2.13） 0 e和 ? 分 别 表 示 电 场 的 振 幅 和 电 极 化 方 向 。 利 用 原 子 的 完 备 性 条 件 1aabb+=，表示原子与光场相互作用部分的哈密顿量变为： ()()() int0 coshaab beaab bt = + ? ()() 0cosabba dabdbaet= + （2.14） ()() 0 cos ii eabebat = +? 其中 0 0 ab de = ? 是rabi频率， *i abbaab da r e bded = ? ? 是电偶极矩矩阵元， 是偶极矩矩阵元的相位。 （2）旋波近似：）旋波近似：旋波近似就是在相互作用部分的哈密顿量中忽略快变的量， 这 也 是 原 子 与 光 场 相 互 作 用 过 程 中 能 量 守 恒 的 要 求 3 。 利 用 关 系 式 ()() 1 cos 2 i ti t tee =+，把表示系统相互作用部分的哈密顿量表达式（2.14）变为： () () 0 int 2 ii tii tii tii t heeabe ebaeeabe eba = + ? （215） 在上面的展开式中，定义反转算符： ab ab= （2.16） ba ba= （2.17） 式（2.16）表示原子从基态到激发态的反转算符，而（2.17）式则表示从激发态到 基态的反转算符。很显然，原子从激发态到基态的跃迁需要从光场中吸收能量，因 此场的能量就会减少，反之则向场中放出光子，场的能量就增加，因此式（2.15） 的第二部分 i t eab 和 i t eba 是能量不守恒项，在计算中将其忽略，这样一种 近似方法被称为旋波近似。在旋波近似下，表示相互作用部分的哈密顿量为： 16 () 0 int 2 ii tii t heeabe eba = + ? （2.18） 2.2.2 半经典近似下系统的哈密顿量半经典近似下系统的哈密顿量 如果采用半经典近似，则不考虑光场的量子化，因此不包括场的哈密顿量。在 偶极近似和旋波近似下原子和光场相互作用系统的哈密顿量就是式（2.5）和式 （2.18）的结合。此时系统的哈密顿量可以表示为： () int 2 0 22 a ii tii t ab hhh p aabbeeabe eba m =+ =+ ? ? ? （2.19） 系统的全量子哈密顿量可以比较全面的了解系统的量子特性，正如在第一章半经典 近似中所讨论的，但半经典近似下的系统哈密顿量也有着自己的优点。在本文的讨 论中主要应用的就是半经典近似下的系统的哈密顿量，因此式（2.19）是本文讨论 问题的出发点。 2.3 标准标准 j-c 模型的密度矩阵描述模型的密度矩阵描述 密度矩阵法是描述原子和光场相互作用的一个最基本的方法，具有普遍的意 义。本节我们就简要介绍这一方法。 2.3.1 不考虑衰减时两能级原子的密度矩阵方程不考虑衰减时两能级原子的密度矩阵方程 在薛定谔绘景下，原子在t时刻的波函数按其态矢展开就是式（2.1） ，现在采 用矩阵方法进行描述，如果态矢分别记为： 1 0 a = 0 1 b = (2.20) 则原子的波函数就可以表示为： ( ) ( ) ( ) a a ct t ct = (2.21) 17 所以系统的态密度( )( )tt=就可以表示为： ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) aaabaaab babbbabb ct ctct ct t ct ctct ct = (2.22) 很显然， aa 和 bb 分别表示t时刻原子处在激发态和基态的概率，非对角元, abba 与偶极矩有关，是反应原子上下能级干涉效应的态密度。在半经典近似下，系统的 哈密顿量用式（2.19）表示。如果光场强度比较强，rabi频率远远大于原子动能， 此时就可以忽略原子的动能项，系统的哈密顿量表示为： () 0 2 ii tii t ab heeabe eba =+ ? ? （2.23） 把式（2.21）和式（2.23）代入到薛定谔方程（2.2） ，就可以得到原子的几率幅随时 间的演化方程： ( )( )( )() 0 ( )cos, i ti aaab c tit ctieectkz = + ? （2.24） ( )( )( )() 0 ( )cos. i ti bbba c tit ctiee ctkz = + ? （2.25） 利用刘维方程, d ih dt =?，则系统的态密度满足如下方程组： () 0 2 ii tii taa baab di eee e dt = （2.26） () 0 2 ii tii t bb baab di eee e dt = （2.27） ()() 0 2 ii t ab ababaabb di iee dt = （2.28） ()() 0 2 ii t ba abbaaabb di ie e dt =+ （2.29） 由系统的密度矩阵方程可以直接得到0 aabb dd dtdt +=。这一等式意味着 ( )( )( )( )001 aabbaabb tt+=+=，也就是原子分别处在,ab态上的概率不随时 间改变。这就是无衰减情况下原子与光场相互作用系统的密度矩阵方程。另外利用 密度矩阵的厄米性，非对角元 abba =。 18 2.3.2 考虑衰减时两能级原子的密度矩阵方程考虑衰减时两能级原子的密度矩阵方程 原子无衰减情况只是一种理想的假设，在实际中，原子只有处于基态时才是稳 定的，而处于激发态的原子都会由于自发辐射，原子之间的碰撞等因素使得原子发 生衰变，因此原子的激发态都是有一定的寿命的38。原子的衰减必然导致偶极矩密 度的衰减，这种衰减会使辐射的谱线有一定的线宽。下面我们考虑一个有衰减的二 能级系统和经典场的相互作用，在此只考虑由于自发辐射造成的衰