（理论物理专业论文）弯曲时空背景下的标量拢动.pdf

摘要 存第一章，我们用数值方泫研究了有质量的标量扰 播。我们发现m m 的值刘决定弛豫过程的性质起着蓖要 参数有关而与黑洞的参数无关。如果m m 1 则存 一ne 苫d i 心 参 洞背景下的传 过程只和场的 黑洞的质量越 大，扰动衰减的越伙。我们也研究了熙洞的电荷0 剐弛豫过程的影响。 接下来，在第二章，我们研究无质量的标量扰动在随时间变化的黑洞背景卜的演化。我们把 被厂泛使用的有限差分的数值方法推广到k r u s k a l 坐标，以模拟场在质量随时间变化的 s c h w a r z s c h i l d 黑桐背景下的演化。我们发现黑渊的质量变化使得准正则模式( q n m ) 的频率发生 了改变。 在第三章，我们研究了存由b u l ki n f l a t o n 驱动的膜宁宙的暴胀中产生的宇宙学扰动。与那些 认为暴胀是一种膜效应的模型不同我们的研究显示了由于第五维的存在所导致的对标量扰动能 谱的修正。通过选抨矸i 同的初始真空，我们探讨了对标量扰动能谱的修正与所选的真空的关系。 a b s t r a c t w es t u d i e dt h em a s s i v es e a l a rf i e l dp r o p a g a t i o ni nt h eb a c k g r o u n do fr e i s s n e r - n o r d s t r f l 2 b l a c k h o l en u m e r i c a l l y w el e a r n e dt h a tt h ev a l u em mp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei xd e t e r m i n i n g t h ep r o p e r t i e s o ft h er e l a x a t i o np r o c e s s f o rm m 1t h er e l a x a t i o np r o c e s sd e p e n d so n l y0 1 1t h ef i e l dp a r a m e t e r a n d d o e sn o td e p e n do nt h eb l a c kh o l ep a r a m e t e r s f o rm m l ，t h ed e p e n d e n c eo nt h eb l a c kh o l e p a r a m e t e r sa p p e a r s t h eb i g g e rm a s so f t h e b l a c kh o l e ，t h ef a s t e rt h ep e r t u r b a t i o nd e c a y s t h ed i f f e r e n c e o f t h er e l a x a t i o np r o c e s sc a u s e db yt h eb l a c kh o l ec h a r g e0h a sa l s ob e e ne x h i b i t e d n e x t ，w es t u d i e dt h em a s s l e s ss c a l a rf i e l de v o l u t i o ni nat i m e - d e p e n d e n tb a c k g r o u n d w ee x p a n d e d t h ew i d e l yu s e df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dw i t h i nk r u s k a tc o o r d i n a t e st os i m u l a t et h ef i e l de v o l u t i o n o u t s i d eas c h w a m s c h i l db l a c kh o l e ，w h i c hh a si m a s sb e i n gaf u n c t i o no ft i m e 。w el e a r n e dt h a tt h e q u a s i - n o r m a l f r e q u e n c i e sa r e m o d i f i e d d u e t o t h e t e m p o r a l d c l x t d e n c e o f t h e m a s s f i n a l l y , w ec o m p u t et h ec o s m o l o g i c a lp e r t u r b a t i o n sg e n e r a t e di nt h eb r a n ew o r l di n f l a t i o nd r i v e n b yt h eb u l ki n f l a t o n d i f f e t x n tf r o mt h em o d e lt h a tt h ei n f l a t i o n i sab r a h ee f f e c t , w ee x h i b i tt h e m o d i f i c a t i o no ft h ep o w e rs p e c t r u mo fs c a l a rp e r t u r b a t i o n sd u et ot h ee x i s t e n c eo ft h ef i t t hd i m e n s i o n w i t ht h ec h a n g eo ft h ei n i t i a lv a c u l u n ，w ei n v e s t i g a t et h ed e p e n d e n c eo ft h ec o r r e c t i o no ft h ep o w e r s p e c t r u mo nt h ec h o i c eo f t h ev a c u u m 第一章简介 第一节黑洞周围场的准正则模式 对黑涧周围的场的准正则模式( q n m ) 的研究，脊黑洞物理和天体物理中扮演着一个重要的 角色。在前人研究的基础上，现在我们对坡在黑涧外的动力学过程有了一个概略的图像。在黑洞 外的一个静j 七的观察者，可以观察到黑洞外场的扰动随时问演化的三个相继经历的阶段。第一个 阶段是波前的原来的形状，它依赖于初始的脉、巾。紧接着的是准正则振荡( q u a s i n o r m a lr i n g i n g ) 阶段，这一阶段主要由特征的准正则复频率( c o m p l e xq u a s i - n o r m a lf r e q u e n c i e s ) 来描述。准正则 复频率的实部反映振荡周期长短，而虚部反映振荡衰减快慢。准正则频率与黑洞的参数，如黑洞 质量、电荷，有直接的联系。因此，准正则振荡被认为是能证明黑洞存在的一个直接证据，对准 正则振荡的观测则有望由设计制造中的引力波探测器来完成。最后，在经过相当长的时间后准 正则振荡被衰减更慢的弛豫过程所取代，这一阶段称为波尾( w a v et a i l ) 。w a v et a i l 在黑洞无毛定 理和质量暴胀等方面得到应用因此对w a v e t a i l 的研究有其自身的意义。 对无质量标量场、电磁场和引力场在渐近平坦的时空中的准正则模式的研究的历史已经超过了 三十年a 文献 1 回顾了这些研究的成果。大体来说研究指出了准正则振荡随时间指数衰减，并得 到了准正则振荡的特征频率【3 】。最早的对w a v et a i l 现象的研究来自p r i c e 等人 2 】，他们的研究包括 了s e h w a r z s e h i l d 黑洞和r e i s s n e r - n o r d s t r 鳇黑洞。研究指出对于处在黑洞外固定位置的观察者， 场的扰动演化为幂指数衰减的w a v e 蜘l 。这一结果为数值模拟的结果所确i 1 正 1 4 。在渐近平坦的时 空，有质量( 有白相互作用) 的标量场的演化也为人们所关注，近来这方面有过一些文章。我们在 第二章中对此作详细的叙述。 对准正则模式的研究并不限于渐近平坦的时空。在对暴胀的研究的推动下，人们研究了在d e s i t t e r ( d s ) 时空中的准正则模式 4 】 5 】。在d s 时空中的q n m 与在渐近平直时空中的q n m 最明显 的不司之一是在d s 时空中，场的振荡始终是指数衰减的，幂指数衰减的w a v et a i l 并不出现。而在 发现a d s c f t 对应关系的激励下，近来人们对a n nd e s i 她( a d s ) 时空中的q n m 的研究1 6 1 1 7 1 1 9 9 1 发现，在a d s 时空中。场的振荡也始终是指数衰减的。 最近，研究发现了q n m 的一个新的有趣的方面，q n m 可能可以用来研究黑洞的量子性质。 这一推测首先是由h o d 等人做出的，他们发现s e h w a r z s c h i l d 黑洞的q n m 与b e k e n s t e i n - h a w k i n g 温度相对应并隐含着由f i x e da r e aq u a n t u m 描述的粒子发射0 0 l 。这一工作接着被推广到别的黑 洞模型如d - 维球对称黑洞 1 l 】近极端s c h w a r z s c h i l d d es i t t e r 黑洞和k e r r 黑嗣【1 2 l 等【1 3 1 ，尽管 这方面的研究还带有推测的性质，它却有可能将黑洞的经典的、宏观的性质与黑洞的量子信息联 系起来。 第二节计算q n m 的一种数值方法 在返一节中，我们简要地回顾一下用于处理场在黑洞背景下传播的有线差分的数值计算方法。 该方法自i 9 9 4 年由文献【1 4 引入以来，由于其简单而有效，被广泛地用于处理场在黑洞背景下的 时间演化问题。在文献【1 4 中，作者用该方法计算了无质量的标量场在s c h w a r z s c h i l d 黑洞背景下 的l a t e t i m e t a i l 现象a 有限差分的方法在 5 4 】【5 5 】【5 6 j 中被推广到r e l s s n e 卜n o r 出打鳇黑垌，在 5 7 1 1 5 8 中被用来研究带电的无质量标量场在r e i s s n e r - n o r d s t r 鳇黑洞和d i l a t o n 黑洞背景中的传播。此外， 该方法也被用来研究非渐近平坦的对空，如s c h w a r z s c h i l d d e s i t t e r 黑洞【5 7 】，s c h w a r z s c h i l d a n t id e s i t t e r 黑洞 5 8 】【5 9 】，r e i s s n e r - n o r d s t r 越a n t id es i t t e r 黑洞 6 0 】和t o p o l o g i c a l 黑洞 6 1 1 。除了标量场 之外，电磁场和引力场也满足同样的方程因此可以用同样的方法进行研究 2 。关于这方面的研 究工作，可以参考回顾文章川及其中的文献。 在第二章中，我们用该方法研究有质量标量场在r e i s m e r - n o r d s t r f l i 黑洞背景中的传播，而 在第三章中，我们把该方法推广到k r u s k a l 坐标系下，并讨论了无质量标量场在动态s e h w a r z s c h i l d 黑洞背景下的准正则模式。 在此，为简单起见，我们仅以无质量标量场在静态s e h w a r z s c h i l d 黑洞背景下的演化为例。静 态s c h w a r z s c h i l d 黑洞的度规是 出2 = 一，d 产+ ，一协2 + r 2 d f l 2 ，( 0 1 ) 其中，= 1 2 m r 。在弯曲时空中，波的传播满足k l e i n g o r d o n 方程 口西= 0 ( 。2 ) 代入度规，上式成为 孚钆一( 一矗+ 2 r ，) q r 2 挣什一c o t 触一一垂脚一：西圣舯= o ( o - 3 ) 由于背景是球对称的，我们可以写 垂( ，r ，口，面) = 嘶( t r ) ，k ( 口，毋) r ，( 0 4 ) 并得到对于每一个多极动量的方程 l - 1 “肌一胁+ 【掣十钟姐 ( 0 5 ) 由下式定义t o r t o i s e 坐标r d r = 厂1 d r ( 0 6 ) 6 则f 0 5 ) 式成为 妒。一啦，+ y ( r ) 妒= 0 ， ( 0 7 ) 其中有效势 附h 【掣+ 钭 ， 为了h j 数值方法求解( 07 ) 式，可以引入n u l lc o o r d i n a t e s u = t r ，口= t + r ，( 0 9 ) 并把( 0 7 ) 式重写为 哆。+ ；y ( r 渺= o ( o i o ) 为了把上式写成离散的形式，可以构造一个泛函 玎纠= j ：，d u d v f “，十，砬。，啦。】，( o a d 而( o 10 ) 式要由泛函变分 丽6 r 妒- 1 ：o ， ( 0 1 2 ) 砌 1 即 叫o _ f 驯o fi + _ o _ 【 吣o fj i 一篙劬 ( 0 1 3 ) 得到。为满足此要求，可取函数f 为 f f q 峨啦。，哆。】= 啦。啦。- ；r e r ) 妒 ( oi 4 ) 对一次导数用t h r e e p o i n tf o r m u l a ，并用l r a p e z o i dr u l e 。可将( 0 i1 ) 式的积分化为求和 啦u ”善j 虹型制要型一丛学 ( 0 1 5 ) l ，j l j 其中已把妒h ，码) 简写为哦现在把每一个离散的毗，看作是独立的变量，那么泛函变分( 0 1 2 ) 式 就矗为个偏微分方程 掣扎 6 ) 龇，j 7 将( o i5 ) 式代入上式，得 哦- l j + l + 砒+ l d l 一啵- l j l 一哦+ i d + l i u 口y ( r ) 砒，j = 0 ( o 17 ) 取以下标记 7 4 n = 母。“。i + 1 妒e = 咄扎j l 讥= 哦一】，j 一 讥p = 咄一1 ，j + 井用两个柏邻格点的平均值代替两点连线中点的值 = 盟产 我们得刮 蛳= 伽+ 锄一啮一“”附) 学 f 0 18 ) ( o 1 9 ) r 02 0 ) 为求解上式，我们可以建立一个矩形的”点阵，在= 蝴和”= 两条线上给定初始条件， 则数值积分可以从左下到右上进行计算。由于计算结果对初条件不敏感，初条件一般取为 妒扣，u = 地) = 嘎( o ，2 i ) 和在似”= ，曲上的一个高斯型脉冲。( 图1 1 ) 给出了对于无质量标量场的一个典型的计算结果， 横坐标为时间，纵坐标是振幅的绝对值的对数。在图中可以清楚地看到扰动的准正则振荡部分和 l 越et i m et a i l 部分的情况。 銎ll ：典型的计算结果。 第三节暴胀过程产生的宇宙学扰动 以广义相对论为基础的标准宇宙模型，有可能用来探讨p l a n c ks c a l ep h y s i c s 。在宇宙形成的极 早期，量子场的涨落对短距离的物理过程敏感。这种敏感可能反映在暴胀产生的宇宙微波背景辐 射( c m b ) 谱中- 近来对c m b 各向异性的观测能否在对m a n s p l a n c k i a np h y s i c 和s 蚋n gp h y s i c s 的 研究中开辟一个新的窗u 引起了人们的极大兴趣 3 0 - 4 6 1 。研究这一问题有两个主要的途径。一种 途径是尝试特定的i r a n s p l a n c k i a np h y s i c s 的模型，例如引入n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y 4 3 并研究 该模型对暴胀涨落谱的影响。另一种途径主要关注真空的选取f 4 4 】【4 5 】 4 6 ，文献【4 7 】【4 8 】中对d e s i t t e ri n v a n a n t 真空进行了探讨，这是研究”a n s p l a n c k i a np h y s i c s 的一种简单有效的工具。尽管有 作者对d es i d e r i n v 撕t 真空的一致性提出t 质疑 4 9 5 0 1 1 5 】，但是不能被排除d e s i d e r i n v a f i a n t 真空应用于暴胀的可能 5 2 】。由于还没有完整的量子引力理论，现在还很难给出对t r a n s p l a n c k i a n p h y s i c s 的信号的确实的预言。 对暴胀产生的宇宙学扰动的兴趣也来自于它可能对e x t r ad i m e n s i o n 的存在提出某种检验。最 初的工作认为：我们可见的世界是在五维空间中的三维膜，它存在于第五维的某一绐定点上【5 3 】。 考虑最简单的情况，即暴胀是由三维膜上的标量场驱动的，人们研究了t r a n s d i m e n s i o n a ip h y s i c s 对在暴胀期间产生的原始的密度扰动谱的影响。尽管标量扰动的能谱没有改变，张量扰动则由于 第五维的存在而要有所修正。宇宙学扰动成为研究e x t r a d i m e n s i o n 的物理的有力的工具。 在第四章，我们尝试把【5 3 】的工作推广到b r a h ew o r l d 暴胀是由b u l km f l a t o n 驱动的情况。我 们将计算在由b u l ki n f l a t o n 驱动的暴胀中产生的宇宙学扰动，并与在传统的四维宇宙中的暴胀进 行比较。我们的结果表明，由b u l ki n f l a t o n 驱动的暴胀中产生的宇宙学扰动与在传统四维宇宙中 的暴胀产生的宇宙学扰动相比有修正。此外，我们还将此结果用于文献【“】中关于为模式方程选 择边界条件的拟设( a n s a t z ) 中。 9 第二章有质量标量场在r n 黑洞背景下的扰动 第一节近似解 我们考虑在r e i s s n e r - n o r d s t r 鳇黑洞背景下无质量标量场的演化。r e i s s n e r - n o r d s t r 鳇黑洞由 如下度规描述 舻= 一1 - 了2 m + 升2 + ( 1 - _ 2 m + 玎n r 2 d 哦 ( 1 1 ) 其中m 和q 分别是黑洞的质量和电荷。径向的t o r t o i s ec o o r d i n a t e r + 定义为 打= 可d r ，( ! 2 ) 其中 2 _ 1 一半+ 7 q 2 ( 1 3 ) 使用t o r t o i s ec o o r d i n a t e ( 1 1 ) 式成为 d s 2 = 2 ( 一d 护+ d r 2 ) + r 2 d 舻( 1 4 ) 质量是m 的标量场满足波动方程 ( 口一m 2 ) m = 0 ( 15 ) 由于背景是球对称的，可以把场写作垂= 嘞( t ，r ) k ( 一，妒) r ，这样就得到对每一个多极动量， 场所满足的方程 吐“一哆r ，+ y 妒= 0 1( 1 6 ) 其中 r = 【- 一半+ 剐掣+ 7 2 m 一7 2 q 2 耐j n ， 在( 1 7 ) 中明显的包含了黑洞参数m 和0 。 为研究有质量标量场的时问演化，【1 4 】定义了延迟g r e e n 函数 f 嘉一嘉州m r _ ”；t ) 训盼) - n s ) 而( 1 6 ) 式被写为 妒( r ) = ，【g ( r ，r ”；t ) 吼( r ，o ) + q ( r 。”；f ) 妒( 一，o ) d r 。 ( 19 ) 推迟g r e e n 函数可以用f o u r i e r 变换得到。作如 f 变换 舌r ”，u ) f c ( r ，r ”，z ) e - , t d t ( 11 0 ) 则0 f r ，r ”；u 1 可以表示为两个线性无关解西( r ) 和也( 川，r ) t b f l i 合，这两个解满足下列齐次 ( 嘉一y 讧( ) - 0 i 乩2 ( 1 1 1 ) 豢+b下l(1+1)2m-譬+m2一i d2aa d r 2 ；扎 n 萨+ f 一习一 ”“7 为了得到在文献【1 4 】中作了一些近似以简化方程。假设观察者远离黑洞( m r ) t ( 1 1 2 ) 式 可以展开为丝和叟的级数 叫w 2 _ m 2q - _ - 2 m m 2 + 4 m w 2 一丁t q + i ) + 竽+ 。i m 2 r 4 】卜。( 1 1 3 ) 如果满足生譬m 。，些警坐砉尘，等m 2 和7 m 2 盟专生，则( 1 1 3 ) 式可以进一 “卜以掣卜。 ( 1 1 4 ) 而上面的四个不等式，结合起来既是观察者处在】旷而r ( m m 2 ) _ 1 这样的i n t e r m e d i a t e r a n g e ，且有m m 1 。( 1 1 4 ) 式表明在渐进远的区域发生的散射被忽略了。而文献 1 4 正是从( 1 1 4 ) 式出发，认为有质量标量场在i n t e r m e d i a t er a n g e 的行为只与场的参数有关。而与黑洞参数无关。 第二节数值模拟 在这节，我们不引进任何近似，而是直接用数值方法求解( 1 6 ) 式。注意i - g ( 1 固式在下列的 标度变换下不变 r o r ，一口t ，m a m ，q a qm m 口，( 1 1 5 ) 其中是一个正的常数。在上面的标度变换下，m m 的值妊不变的。用n u l lc o o r d i n a t e s = z r 和u = t 十r t ，( 1 6 ) 式可以被重写为 4 砂。4 - v ( r 冲= o ( i1 6 ) ( 1 6 ) 式可以用文献 1 4 】中描述的有限差分方法数值积分。有质量标量场的l a t e t i m e t a i l 不依赖 于初始数据的形式。在我们的计算中使用如f 的g a u s s i a n 脉冲 帅= 0 , v ) = a e x p f 一半) 2 ( 11 7 ) 在数值积分完成后，我们提取妒( 。，u ) 的值，其中u 呻，是格点中最大的u 值。当u m ，足够 大时，妒( “，w ) 是视界处的波函数的足够好的近似。文献 1 4 】指出，波的行为在离视界很远和很 近的地方是一样的。因此，我们研究对于不同范围的m m 值，波的行为对黑洞参数的依赖。 为了测试我们的程序，我们首先取m = 0 ，并研究黑洞电荷对无质量的标量扰动衰减速度的 影响。结果见( 圈2 1 ) 。在黑洞电荷取临界值q 时，衰减的速度有一个极值。当q 哦时，无 质量标量场的衰减随黑洞电荷的增加而减缓，直至黑洞电荷到达极值q = m 。考虑到阻尼过程的 时间标度r 和准正则频率的虚部”的关系r = l i q i 我们的数值计算结果显示i ”i 有一个晟大 值。i 叫i 的这种行为，与文献【1 5 】【1 6 】中对研究的最低的正则模式的研究相一致。 强2 1 ：当l = o 时不同的黑漏电黄耩对或的豪减速度。嚣漏质量m = 1 0 0 。标藿场覆量m ；0 ， 现在给出对有质量标量场在r n 黑洞背景下的演化的数值模拟的结果。在第一个系列的数值 计算中，选取适当的黑洞质量和标量场质量，使满足m m 1 。( 图2 2 ) 和( 图2 3 ) 给出了对应 于不同m 值的l = 0 模式。为了清楚的显示扰动衰减的性质，我们把每一次振动的最高点连接起 来而振动的其余部分没有显示在图上。很明显地可以看出，在区域m m 1 内，对应于不同的 黑洞质量的衰减速度近似相等。图上各条曲线的斜率的差别在1 0 q 级别，这个差别是由选取振动 的顶点时的误差导致的。同样，对于不同的电荷，振动的衰减速度也保持相等。这与标量场质量 为零时的结果( 图2 1 ) 不同。我们在此通过数值计算得到的图形，支持了文献 1 7 1 中的近似解。 有质量标量场在i n t e r m e d i a t er a n g e 的渐近行为确实与黑洞参数无关。 酉2 2 ：袁质量标量场忡在r n 襞酾营景下的演化，其中m = 0 , 0 1 1 = 0 观察者在固定半径 t = 5 0 处，秘下方的曲线，m = 0 5 ，q = q 4 5 衰减速度繇曲线斜毒为b 一一n 1 4 7 0 。对上方 的毒绒m = 1 0 ，q = 0 4 5 ，b = 一1 4 3 2 。 圈2 3 ：在黑洞视界孵近曲场，其中m = q m ，l = 0 ，横坐标是n u l l c o o r d i n a t e su 。对下方的曲 线，m = 0 5 q 0 4 5 对上方的砖线，m = 1 0 q = 0 4 5 ， 扰动的衰减速度对黑恫参数的依赖关系在m m 值大的时候出现。当 舟n 1 ，我们找到了黑 洞参数不同导致的衰减速度的不同。( 图2 4 ) 显示，对于越大的黑洞质量，有质量标量场的扰动 的l a t et i m et a i l 就衰减的越快。而( 图2 5 ) 给出了黑洞电荷不同造成的弛豫过程的不同，图中黑 洞的质量固定为= 2 0 0 我们发现，衰减的速度( 斜率) 先是随着电荷的增大而减小，当电荷 超过一个临界值之后，衰减速度反丽随着电荷的增加而增加。对其他的黑洞质量也有同样的行为。 而黑洞质量越大，这种对电荷的依赖关系就越明显。就准正则频率而言，当黑洞电荷小于一个临 界值时t 黑洞电荷越大准正则频率的虚部就越小：而当黑洞电荷大于该临界值时，黑洞电荷越大 准正则频率的虚部也越大。这种由于黑涧电荷的不同导致有质量标量场扰动的l a t e t i m e t a i l 的准正 则频率f 挎虚部形成弯曲线的行为，吁无质量标量场的情况有着定性的不同。 3 盈2 4 ：当m m 、时素质量标量场的l 曲e t i m e t a i l 的时阗演化。纵坐标是在黑嗣视界附近场的 幅度横坐标是n u l l c o o r d i n a t e sv ，扶上翻t 黑洞的参数分粕是m = 5 0 q = 4 5i m = 2 0 0 q = 4 5 稳m = 1 0 0 ，q = 4 5 ，场鹤质量m = 1 多极动量指耘l ：0 t q 图2 j 5 ：不同的黑漏电荷对应昀衰减速凌。黑满质量m = 2 0 0 而m = 1 1 = 0 。 我们用数值模拟的方法代替近似解研究了有质量标量场在r n 黑洞背景下的传播。我们发现 场随时间演化的行为与无质量的标量场不同。在有质量的标量场的弛豫的时间演化过程中，m m 的 值起着重要作用。当m m 1 ，我们的数值结果确认了文献【1 7 1 中给出的近似结果。由质量标量 场的w a v et a l l 在i n t e r m e d i a t er a n g e 的行为近似地只与场的参数有关而与黑洞的参数无关。对于 m m 1 ，用于i n t e r m e d i a t er a n g e 近似的条件不再成立。我们的数值结果显示了m m 1 时弛豫过 程与黑洞质量的关系。而当胁n 1 时，这种依赖关系变得更加明显。在m m 1 区域，也观察 到了鬻洞电荷对弛豫过程的影响。对于较小的电荷。当电荷增加时，有质量标量场的扰动衰减的 变慢。但当黑洞电荷超过一个临界值后，我们得到一个相反的结果：当电荷继续增加时。扰动的 衰减加快。这说明有质量标量场的弛豫过程受黑洞电荷的影响与无质量标量场的情况不同。这些 有趣的新现象以及对标量场的自相互作用的引入，使得黑洞外的波动力学的结果更加丰富。 4 第三章无质量标量场在动态黑洞背景下的扰动 第一节静态黑洞背景下场的演化 对于研究q n m ，我们在第一章中所回顾的传统的数值方法虽然在讨论静态黑洞背景对十分 彳：效，但难以推广到动态的时宁中。x , j 于动态的s c h w a r z s c h i l d 黑涧，黑洞质量m = m ( 幻是时间 的函数，这样在波动方程中就多了与列时间的一次导数有关的项。这样的方程很难处理，一方面 这时t o r t o i s e 坐标r 不但是r 的函数也是的函数；另一方面方程中多了对时间的一次导数项。 这样无法得到便于处理的形式，也就无法使用传统的数值处理方法。 为了避免这些麻烦，我们在k r u s k a l 坐标系来讨论这个问题。k r u s k a i 坐标系。f 的类时坐标r 和 类空坐标p 的度规项是相同的。这样一来，黑洞质量( 只出现在波动方程的角度部分，处理方 程的难度就小了根多。关于动态黑洞背景我们将在下一节中进行详细的讨论。这里首先对静态 黑洞背景进行研究，咀检验用k r u s k a l 坐标系讨论波动方程的可行性。 在k r u s k a l 坐标系下s e h w a r z s e h i l d 黑洞的度规如下 d s 2 = 3 2 _ = m - 一se r ，2 似r 2 一如2 ) 一r 2 d n 2 ，( 2 i ) 其中r 和p 分别是类时和类空坐标。在r 2 m 区域它们的定义为 r = 再r ，4 ms 劬南，一= 岳五r i a mc o s h 南 ( 2 z ) 无质量标量场的传播由k l e i n g o r d o n 方程口m = 0 描述。把度规代八方程，得到 2 r s i n 圣，+ r 2s i n 锄，什一2 f 8 i n 疗。垂p r 2 s i n 伊t 即 一半一一r ，z 一扩擎。伽驴黑。叫。一o 。3 由于背景是球对称的，对应于不同的多极动量的场分别演化，我们可以写 西= 奶( r ，p ) l k ( 口，) ，( 2 4 ) 并得到对于每一个多极动量的方程 + 孚卧一一孚+ 型攀# 竺皿蛐 ( 2 5 ) 按传统的作法- 1 1 4 ) ，引入一个修改的场妒= r 中，而上式可以写作 如一啦，+ i3 2 m a l ( 1 + r 3 1 ) e - t m 一等+ 等卜。 ( 2 6 ) 类似于f 1 4 冲采用的n u l lc o o r d i n a t e s ，我们作如下参数代换 = t p ，口= f + n( 2 7 ) 波动方程变为 砂。+ r 妒= 0 其中 v一8m3l(1+1)e-2m 堑 1 - or 当m 是常数时? 删的表示很简单，对静态黑洞有 ( 28 ) ：一1 6 m 4 厂e 7 2 m ( 21 0 ) 从( 2 8 ) 式可以直接写出离散形式的波动方程 讥= ，+ t 一魄一u y ( r ，) 型! 芏：型蔓( 21 1 ) 编程计算的唯一困难在于对每一个格点由( 2 2 ) 式和( 2 7 ) 式反解出r 和t 。在典型的设置中，u 和” 大致的取值范围分别是从一1 0 0 到一t o 一和从1 0 1 到1 0 。为了能在台理的时间内完成计算，同时 保证达到可接受的精度，我们把整个积分区域划分成许多小块，每个小块中步长“和”按要求 取不同的值。从左下方开始，所有的小块一个一个地进行计算，计算完成的小块的结果被用作后 面的小块的初始条件。在所有的计算中，我们使用的初条件是妒( u ，”= v o ) = 0 以及在妒0 = u o ，”) 上的一个高斯型脉冲。 r 酋3 1 ：在固定距离t = 2 处的场由抟时闯演化。黑洞质量m = 0 5 多极动量指标l = 2 ，实线 是在k r u s k a l 坐标下褥弛的虚线是在一般坐标系下得翻的。 在( 圈3 1 ) 给出了对f = 2 模式的数值计算结果。为了比较，我们同时给出了在一般坐标系 下得到的曲线。振荡的振幅没有实际物理意义我们主要研究振荡的准正则复频率。( 表3 1 ) 给 出了从( 图3 1 ) 中得到的准正则频率的实部蛳和虚部。以及其他一些模式的准正则频率。由 此可以看出， 】k r u s k a l 坐标系得到的数值结果与用一般坐标系的结果符合得很好。 6 8 文献【1 4 】中给出的值为0 5 6 5 文献 1 4 】中给出的值为一0 ，1 9 第二节动态黑洞背景下场的演化 如果黑洞质量依赖于时间- 在k m s k a l 坐标下，m 是r 和p 的函数。由于度规只竹= ，黑 洞质量m 只出现在波动方程的角度部分，这是使用k r u s k a l 坐标的一个很大的优势。在含时情况 下，波动方程任由( 2 8 ) 式给出，但此时二阶导数如，比较复杂 l 。：一下1 6 m 4 e , 2 m + ! ；竽一4 m ( m u - m v ) e - 7 2 m ( 2 1 2 ) l “n 。一；r 一+ 高一；一 ( 2 1 2 ) 上式中的m 。，m 。和m 。分别由 机= 孙一如) ， 虬= 孙屿) ， m 。= 譬( 弓一昂) + 譬( b 一) ( 2 1 3 ) 给出其中竹和髓分别为m 对t 的一阶和= 阶导数。t ，如，h 和可以直接由( 2 2 ) 式得到 k 竺! 竺：；壶 ”p ( m m t ) 铲可4 m a 矗s i n h 2 笋t ， 扣业垫篇篙掣， 。1 4 k ：璺匕竺壶竺二竺! ：竺：竺：! 竺竺二竺i 一1 丽啊f j 丽一 我们现在给出在动态黑洞背景下的数值模拟结果。首先考虑最简单的情况黑洞的质量随t 线 7 性的变化( ) = 且矗士以，其中 如和口是常数。结果见( 图3 2 ，3 3 ，34 ) 。当黑洞质量随时问 线性增加时扰动衰减的进度变慢，振动周期变长，即u 。和u ，变小。反之，当黑洞质量随时问 线性减小时，扰动的衰减变快，振动周期变短，即叫。和u ，变大。 t 强32 ：在s c h w a r z s c h i l d 黑漏背景t 当f = 2 1 = t 时场韵耐间演诧。实线对亵于m = m o 斗毗 虚线对应于m = m o a t 点线是m = m o 对的情况，其中m o = n 5 。= b x l 0 一。 t 强33 ：t 昏37 2 ) 中振荡的顶点的连线黑濑质量随础闯变化勘起的对l 鹃修正可以扶各条线的 斜率变纯读出。 强3 4 ：出e l y 3 2 ) 串振荡的焉期决定的准正现4 频率的窭部r 。蓝线的振动是出数值计算的误差 交起的， 接下来，我们讨论一个更实际的模型寨含有蒸发过程的s c h a r z s c h i l d 黑洞。蒸发中的 s c h w a r z s c h i l d 黑洞的质量由下式决定 2 9 】 府= 一参， ( 2 1 5 ) 其中蜘是常数对于黑洞质量m 1 0 1 7 9 和m 1 0 1 7 9 两种情况，哪取不同的值。但由于波动 方程( 2 3 ) 在标度变换m _ a m ，r 一r ，t _ 耐下不变。咖的值到底是多少并不重要，在计算中， 我们按m 1 0 ”g 的情况取= 2 0 1 1 x1 0 。从上式我们可以得到黑洞质量 m ( o = 【3 a o ( 6 一) 】1 ，3 ， ( 2 1 6 ) 其中b 是任意常数。( 图3 , 5 。3 6 3 7 ) 给出了对蒸发黑洞的数值模拟结果。对蒸发黑洞，准正则 频率咖和嘶都随时间增大而增加与前面的简单情况定性一致。 舀3s ：无质量标量场在蒸发黑满黄景下的时间演他，我们在计算中辑敬的参数为 l = t z 毫，= 2 0 1 1 x 1 0 、b = 2 0 7 2e 盎线是在静态黑瀚背最中的结果糟以比较， - - 。1 。+ “。一 9】 f 辔j 。6 ：d 3s ) 中振荡构顶点的连线黑漏质量随时趣变化蓟起的砖l 的修正曰默从各条线的 斜率变化读出。 壁37 ：由( 图3 。s ) 中挺蕊的嗣期决定的准正黜额率的实部。曲线的舞动是由数值计算拍误差 j 起的， 我们研究了无质量的标量场在动态的s c h w a r z s c h i l d 黑洞背景中的演化。发现对于研究波在动 态背景中的传播采用k r u s k a l 坐标系是合适的。我们避免了在波动方程中直接放入一个含时的 散射势，尝试以一种比较自然的方式推出动态黑洞背景中的含时的有效势。为此，考虑一个动态 的s c h w a r z s c h i l d 黑洞，该黑洞的质量随时问发生变化。在k r u s k a l 坐标系下，我们推出了所要的 有效势。 在数值计算中，我们发现了黑洞时空对时间的依赖关系所导致的对q n m 的修正。在黑洞的 吸积过程中，黑洞的质量增加，这时准正皿频率的实部和虚部都随时间增大而减小。在黑洞的蒸 发过程中，黑洞的质量减小，这时准正则频率的实部和虚部都随时间增大而增大。 第四章对膜宇宙暴胀能谱的修正 第一节暴胀过程产生的宇宙学扰动 我们考虑一个 1 1 】维膜嵌入在五维b u l k 的稳定半径上。在宇宙学环境下，一个自然的膜宇宙模 型的度规取如r 形式 1 8 1 9 d s 2 = 一n 2 d t 2 + ( 1 2 d x 2 + d 2( 3 1 ) 其中n 2 = ( 删) 2s i n h 2 ( y t ) ，0 2 = n 2 ，a o = e x p ( h q 。在这里h 是四维h u b b l e 常数而代 表e x t r a d i m e n s i o n 。四维超曲面的位置在= 蜘 1 8 ，而膜的位置由下式和日联系 日= 面可1 丽， ( 32 ) 其中2 = 1 6 h 5 1 1 2 。 由于b u l k 中引力场的动力学，在b u l k 中存在一个d i l a t o n 型的标量场，其具有效势y ( 毋) 。我 们假定有效势是正的，并且随空间和时间非常缓慢的变化。当变化足够慢时，b u l k 内的标量场即 导致标准的s l o w r o l l 暴胀。随着宇宙的演化，y 逐渐减小并晟终变为零。当取低能极限时，就回 到标准的f r i e d m a n n 宇宙。为简单起见。用文献【1 9 1 中的模型，并且假定有效势取以下形式 矿( ) = + i m 2 2 ，( 3 3 ) 其中m 2 霹以保证满足a 5 ，甜 0 - 我们把上面出现的f 用k 来代替，h 由岛= 6 l a 耻” 给出。在下面的运算中，为了便于书写，我们把h 写成l 。 准b u l k 背景中的标量场的方程是 一嘉( s 日甏+ 嘉) + 砉器+ 兰n f t 塑, y 堂, g y ) 1 + 孝= m 2 一 c ，司 假设在动量空间，波函数可以被分离为 帅，俏，= 南，础掣e “ 其中_ = 一( ) = 一e x p ( 一m ) h 。因此当t _ 一o o 时 一一o o ，当t o o 时r l _ 0 。 ( 3 6 ) 型 现在，( ) 和g ( q ) 的方程成为 等+ ；c o c h ( y 1 ) 掣y y ) _ m 2 十高钿 掣+ 卜砉( 。+ 靴一o ， 其中 2 是对应于在k a l u z a - k 埘n 紧致化中出现的i ，a j u z a k l e i n 质量的分离常数。 式( 37 ) n n f l 是 m 刊酬7 ( 扎1 ) “r ( 工二声， 半肿；- _ ) + b j m 3 z - - 1 ) 一1 + 引7 2 f ( 一3 1 _ 。i 二盟，二! ：! ；兰二土，一，一；：i 其中z2 c 。曲( y o ，v = 瓣，7 一一3 2 + p ，“：厨再刀萨。 ( 37 ) ( 38 ) 利用超几何函数的性质何l 哪d r e 多项式的定义，( 3 9 ) 是可以被简化为 ，c ”，= ；端+ 口踹 p ， 当z 叫1 ，1 。时，l e g e n d r e 多项式q z 澎2 ( z ) 发散，为保持正则性必须取b = 。而上式 中的系数 则要由下面的归化条件来定f 2 0 】 由归化条件定出系数为 2 研) 咖s i n h 2 ( ”f ) 鬈= 6 ( 一 ，) ( 3 1 1 ) 掣s ih z l2 2 n 掣fj 对于m = o l j l a = 0 的情况，解是一个常数 ( 3 12 1 而= 4 2 砷蒜蒜两1 萧旆 ) 这个解反映了不受e x 蛔d f m e n s i o n 影响的四维时空的性质。 对于m 0 ，e x t r a d i m e n s i o n 的影响将显现出来。这时( 3 7 ) 式的解是 应用邑对称性条件 o v f ( v ) f ：b = n ( 3i4 1 ( 31 5 ) 由 pj0 矾坦 ， i l a 掣 。町。 我们发现1 由下式决定 ( + 2 ) z o 巧! 】i ；72 ( 却) = ( ”+ 7 + 2