（原子与分子物理专业论文）量子纠缠和纠缠转换的研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文围绕量子纠缠的度量、性质和纠缠的转换进行了研究。主要内容包括： 详细阐述了两体纠缠度量须满足的基本条件，以及五种基本纠缠度量：v o n n e u m a n n 熵、结构纠缠、提取纠缠、相对熵纠缠和纠缠单调，给出了一类态相对熵 纠缠的解析计算公式。 证明了结构纠缠小于互信息，同时证明了对于任意的量子态( 除了经典关联为0 的态) ，它的两个约化密度矩阵的直积不可能为它的最近分离态。 研究了在纠缠的两体两维系统中，一个系统的一些操作可导致另一个系统发生 相应的变化。这些能影响另一个系统的操作就是p s 操作( 不完备的测量操作) ，并 得出了在一系统的p s 操作下，另一个系统转换后的约化态。利用这个公式，讨论了 如何概率地远距态纯化和远距态制备。 f 借助于两体纠缠纯态转换的n i e l s e n 定理，指出了纠缠可用来帮助纠缠纯态的转 换，并且证明了在局域操作和经典通信下，两个不存在相互作用的纯态系统的信息 可以发生互换。 利用辅助系统得到了在局域操作和经典通信下，一定的纠缠纯态转换到特定的 纠缠混合态的充分条件及具体的转换方案。 得出了s c h m i d t 可分解的多体纠缠纯态( 简称为s c h m i d t 态) 的转换规律，发现 这种转换规律与两体纠缠纯态的转换规律相同。 论证了在局域操作和经典通信下，单个多体纠缠混合态( 每个子系统的维数都 为2 ) 不可能被纯化；密度矩阵有着较高秩的混合态也不可能被纯化；给出了一类多 体纠缠混合态，在局域操作和经典通信下，对某一纠缠纯态的忠实度不能增加。 讨论了在局域操作和经典通信下，三量子位纯态的转换规律，得出了w 态之间 概率为l 转换的一个必要条件，同时得到了完成这类态转换所需的广义测量的一些 第1 i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 特征。并且证明了非s c h m i d t 态的三量子位g h z 类态，不能概率为1 地转换到s c h m i d t 态。l ，。一 关键词：量刊嘭继度量每逦磊雌转换多彰t 害西， 第1 v 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 s t u d y o nq u a n t u me n t a n gie m e n ta n d e n t a n g ie m e n t t r a n s o r m a tio n a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nd o e sar e s e a r c hi nt h em e a s u r eo fq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，i t s p r o p e r t y a n de n t a n g l e m e n tt r a n s f o r m a t i o n t h em a i nc o n t e n to ft h i sd i s s e r t a t i o n i sa s f o l l o w s ： t h i sd i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e si nd e t a i l st h eb a s i cc o n d i t i o n st h a t b i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t m e a s u r es h o u l d s a t i s f y a n dt h ef i v e e n t a n g l e m e n tm e a s u r e v o nn e u m a r me n t r o p y , f o r m a t i o no f e n t a n g l e m e n t ，d i s t i l l a t i o no fe n t a n g l e m e n t ，r e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t a n de n t a n g l e m e n tm o n o t o n e t h i sd i s s e r t a t i o n p r e s e n t st h a t f o rac l a s so fs t a t e s ，t h e i r r e l a t i v ee n t r o p yc a nb ec a l c u l a t e da n a l y t i c a l l y t h i sd i s s e r t a t i o n p r o v e s t h a tf o r m a t i o no fe n t a n g l e m e n ti ss m a l l e rt h a nm u t u a l i n f o r m a t i o n a sab y - p r o d u c t ，t h i sd i s s e r t a t i o na l s op r o v e st h a tt h e r ed o e sn o te x i s tt h i s k i n do fq u a n t u ms t a t ew h o s en e a r e s t s e p a r a b l es t a t e i st h ep r o d u c to fi t st w or e d u c e d d e n s i t ym a t r i c e se x c e p tt h es t a t ew h o s ec l a s s i c a lc o r r e l a t i o ni sz e r o t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h ee v o l u t i o no fo n es u b s y s t e mu n d e rl o c a lo p e r a t i o no n a n o t h e re n t a n g l e ds u b s y s t e ma n dd e r i v e sag e n e r a lf o r m u l ao ft h ee v o l u t i o nu n d e rt h ep s o p e r a t i o n ( p o s t s e l e c t i o n ) o na n o t h e re n t a n g l e ds u b s y s t e m b a s e do nt h i sf o r m u l a ，t h e r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o na n ds t a t ep u r i f i c a t i o nw i t hs o m e p r o b a b i l i t ya r ed i s c u s s e d b a s e do nn i e l s e nt h e o r e mo f b i p a r t i t ep u r e - s t a t et r a n s f o r m a t i o nu n d e rl o c a lo p e r a t i o n a n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ( l o c c ) ，t h ed i s s e r t a t i o ns h o w st h a tq u a n t u m e n t a n g l e m e n t c a nb eu s e dt oa c c o m p l i s hs t a t et r a n s f o r m a t i o na n d p r o v e st h a tt h ei n f o r m a t i o ni nt h et w o p r o d u c ts y s t e m s c a nb et r a n s f e r r e du n d e rl o c c w i t ht h ea i do f a n c i l l a ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o na n dl o c a lo p e r a t i o ns t r a t e g yf o rs t a t e t r a n s f o r m a t i o nf r o me n t a n g l e dp u r es t a t e st o e n t a n g l e dm i x e ds t a t e su n d e rl o c ca r e 第v 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 p r e s e n t t h i sd i s s e r t a t i o nd e r i v e st h et r a n s f o r m a t i o nr u l eb e t w e e ns c h m i d td e c o m p o s a b l e m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e dp u r es t a t e s ( s c h m i d ts t a t e ) u n d e rl o c c ，w h i c h i st h es a m ea st h e r u l ef o rt h eb i p a r t i t ee n t a n g l e dp u r e - s t a t et r a n s f o r m a t i o nu n d e rl o c c t h i sd i s s e r t a t i o np r o v e st h a tas i n g l e m p a r t i t ee n t a n g l e dm i x e ds t a t ei nt h es y s t e m w h o s ed i m e n s i o no fe a c hs u b s y s t e mi st w oc a n n o tb ep u r i f i e dt oa n m p a r t i t ee n t a n g l e d p u r es t a t e i ng e n e r a l ，as i n g l em p a r t i t ee n t a n g l e dm i x e d s t a t ew h o s e d e n s i t ym a t r i xh a s h i g h e rr a n k c a n n o tb e p u r i f i e d t oa n m - p a r t i t ee n t a n g l e dp u r e s t a t e f o rac l a s so f e n t a n g l e d m i x e ds t a t e s ，i t sf i d e l i t yc a n n o tb ei n c r e a s e du n d e rl o c c t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h et r a n s f o r m a t i o nr u l ef o rt h r e e - q u b i tp u r es t a t e su n d e r l o c ca n dd e r i v e san e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nws t a t e sw i t h p r o b a b i l i t yo n e m e a n w h i l e ，s o m ep r o p e r t yc o n c e m e dw i t ht h eg e n e r a l i z e dm e a s u r e m e n t o ft h et r a n s f o r m a t i o ni s p r e s e n t t h i s d i s s e r t a t i o nj a l s o p r o v e st h a ta n yn o n s c h m i d t t h r e e q u b i tp u r es t a t eb e l o n g i n gt og h z c l a s sc a n n o tb ed e t e r m i n i s t i c a l l yt r a n s f o r m e dt o a n ys c h m i d ts t a t eu n d e r l o c c k e y w o r d s ：o u a n t u me n t a n g le m e n t c l a s s i c a ic o m m u n i c a t m e a s u r eo fe n t a n gie m e n t l o c ai o p e r a tio na n d o n ( l o c c ) e n t a n g ie m e n tt r a n s f o r m a t io n 第v i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 量子信息学发展简介 以量子通信和量子计算为主要内容的量子信息学，是最近几年迅速发展起来的 新兴交又学科。由于它潜在的应用价值和重大的科学意义，正引起各方砸越来越多 的关注。 量子信息学是用量子态表示( 编码) 信息，进行信息传输和信息处理的科学， 它利用量子力学的基本原理和基本量子现象来实现信息的传输和处理。由于量子规 律不同于经典规律，例如量子态具有非经典的量予纠缠现象，这就使量子信息能够 实现经典信息不可能实现的新功能，如已经发现的量子密钥分配、隐形传态、量子 稠密编码和量子并行计算等。因此量子信息学是经典信息论和计算机科学的革命性 发展。量子信息学的历史发展可分为三个阶段( 具体的发展过程可见文献 1 ) ： 第一阶段( 1 9 0 0 1 9 8 2 ) ：在这个阶段里，量子力学和计算机科学、经典信息论 平行发展，几乎没有人注意到量子力学和计算机科学、经典信息论的直接联系。这 一阶段发生的主要事件有： 1 二十世纪初，量子力学的产生； 2 二十世纪三十年代，t u r i n g ，c h u r c h ，p o s t 和g 6 d e l 等提出的计算数学模型， 为计算机诞生奠定了理论基础； 3 1 9 4 5 年，数学家v o r ln e u m a n n 提出计算机系统结构设计的基本思想； 4 1 9 4 6 年，第台电子计算机问世； 5 1 9 4 8 年，c e s h a n n o n 发表“通信的数学理论”论文”，标志经典信息论 涎生。 第l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二阶段( 1 9 8 2 1 9 9 4 ) ：以著名物理学家f e y n m a n 在1 9 8 2 年研究量子力学系 统的计算机模拟时提出量子计算的概念。”为标志，在这个阶段里，人们已经注意到 量子力学和计算、通信的本质联系，开始了量子通信的理论和实验研究，提出了量 子计算数学和计算机模型。这一阶段发生的主要事件有： 1 1 9 8 5 年，d e u t s c h 提出量子t u r i n g 机模型5 1 ； 1 9 8 9 年，d e u t s c h 建立起量子计算机的量子网络模型，并证明了量子计算 机通用逻辑门组的存在”1 ； 2 1 9 8 4 年，b e n n e t t 和b r a s s a r d 提出利用极化光子非正交态，建立量子密钥 的方案( b b 8 4 ) ”3 ： 1 9 9 1 年，a k e r t 提出基于纠缠态的量子密钥方案。1 ； 3 1 9 9 3 年，b e n n e t t 等提出量子隐形传态的方案。1 ： 4 1 9 9 5 年，b a r e n c o 和e k e n 提出量子稠密编码的方案“0 1 ： 5 1 9 9 2 年，i b m m o n t r e a l 小组首次利用极化光子作了量子密钥分配的原型实 验3 。 第三阶段( 1 9 9 4 ) ：这一阶段的主要标志是：1 9 9 4 年，s h o r 发现分解大数质 因子的量子算法“，这种算法可把数学上的n p 问题转换为p 问题，使得广泛使用 的r s a 密钥系统不再安全。从此量子信息学研究引起世界范围内的广泛关注。 1 1 9 9 6 年，c n d e r b a n k 、s h o r 和a n d r e ws t e a n e 找出量子纠错和容错计算方法， 使得量子计算没有原则性的困难“1 “1 ： 2 1 9 9 5 年，c i r a c 和z o l l e r 提出离子阱计算机方案“”，同年c o l o r a d o 卅i b o u l d e r 的国家标准和技术实验室首次实现离子阱方案c n o t 门运算“； 3 1 9 9 6 年，g r o v e r 提出随机数据库搜索的量子算法“”； 4 1 9 9 7 年，g e r s h e n f e l d 和c h u a n g 提出利用核磁共振( n m r ) 技术实现量子 计算的思想“，之后n m r 信息处理器在几个实验室建成； 5 1 9 9 7 年，奥地利i n n s b r u c k 大学的研究小组，实验实现量子隐形传态“。 在这个阶段里，量子信息物理实现取得了迅猛发展，量子通信逼近实用阶段， 量子信息处理器在实验室实现，使得量子信息学进入迅速发展的快车道。 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 虽然目前量子信息学仍处于实验和理论物理学家的原创性研究阶段，但是对量 子信息的研究已经大大加深了人们关于纠缠现象、量子态演化、量子测量等量子力 学基本问题的认识。此外，量子信息和量子计算要求重新审视经典信道容量、s h a n n o n 编码定理，经典计算机科学中的可计算性、算法复杂性理论等经典信息论的基本问 题，这些问题的深入研究，必将促进信息科学的进一步发展。 1 2 量子纠缠 自量子力学的基本理论形成以来，对于纠缠现象的研究就一直是量子力学基本 问题研究的重要课题。量子纠缠现象的一个简单例子是空间分离的两个电子l 和2 构成的总自旋为0 的纯态 甲) = 击( o ( 1 ) ) | l ( 2 ) ) + | 1 ( 1 ) ) 0 ( 2 ) ) ) 。( 1 - - 2 - - 1 ) 当我们对态1 测量电子1 的自旋时，将以概率1 2 得到自旋向上态，以概率1 2 得 到自旋向下态。如果测得电子1 自旋向上，则态f 甲) “塌缩”为l 甲) = 0 0 ) ) ) ) ，电 子2 无可选择地处在自旋向下态。我们看到，一般地对共处于一个纯态的两个子系 统执行类空分离的测量，对其中子系之一的测量，虽然不能对另一子系统产生直接 的相互作用，但却包含了另一子系统的信息，并瞬时地改变了另一子系统状态的描 述，式( 1 2 一1 ) 描述的态是纠缠态。 量子纠缠是没有经典类比的现象，从经典物理的观点是很难理解的。早在1 9 3 5 年，e i n s t e i n 、p o d o l s k y 、r o s e n ( e p r ) 就根据这种情况对量子力学提出置疑”，从 而使量子纠缠现象获得令人深刻的表示，引起人们的注意。他们认为，在对系统没 有干扰的情况下，如果我们能确定地预言一个物理量的值，那么这个物理量就必定 是客观实在，对应着一个物理实在元素；一个完备的物理理论应当包含所有的物理 实在元素。对于两个分离开的并且没有相互作用的系统，对其中的一个测量必定不 能修改关于另一个的描述，也就是说自然界不存在超距的相互作用，现在文献中称 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 他们的这些观点为“定域实在论”。根据这种观点，他们分析了由两个粒子组成的一 维系统，指出虽然每个粒子的坐标和动量算子不对易，但这两粒子的坐标算子差 一一x ：和动量算子和墨+ b 对易。因此可以存在一个两粒子态1 甲) ，是算子一一x ：和 只+ 最的共同本征态。设 ( x 。一x ：) 甲) = 盯j 甲) ， ( b + p a y ) = 0 对态f 甲) 若测得粒子1 的坐标为工，就可得到粒子2 的坐标为z 一盯；同样，若测得粒 子l 的动量为p ，粒子2 的动量必为一尸。但是当口值足够大时，对粒子l 的测量必 然不会干扰粒子2 。按照e p r 的观点，这两个粒子系统就可以有4 个独立的物理实在 元素。而根据量子力学，一和鼻，x ：和只都不对易，这个系统只能有2 个物理实在元 素，所以他们得出结论：量子力学是不完备的，这就是所谓的e p r 佯谬。 企图给量子纠缠现象以理论解释的是b o h m ，他首先提出隐参数理论。“2 “。在隐 参数理论中，测量实际上是经典决定论的，但对于某些自由度不是严格已知的，才 表现出概率性。当测量电子自旋态时，测量结果表现为概率性，实际上蕴含着存在 更深层次的隐参数，其中测量结果被隐参数参数化。上述处在纠缠态的两个电子彼 此分离开时，就各自处在由隐参数支配的一个实在的状态，只是在量子力学中或现 在的实验技术中还没有发现、认识、控制它，才使测量表现出概率性，但这种隐参 数又确实在起作用，使分别对电子测量结果表现出相关性。 1 9 6 5 年，b e l l 进一步分析了这一问题，他从隐参数理论和定域实在论出发，导 出了自然界两个分离的部分相互关联程度必须满足的一个不等式- - b e l l 不等式。“。 b e l l 不等式的提出，使得原来只能停留在哲学层面上的e i n s t e i n b o h r 之争变成了一 个可以从实验上加以定量检验的河题，从而激发了一大批构思巧妙的实验工作。著 名的a s p e c t 实验“”对两光子偏振态实施的测量证实了它们的相关程度，确实超过了 b e l l 不等式容许范围，证实了量子非局域性的存在。 在量子信息学中，纠缠扮演着极为重要的角色。仔细考察已经发现的量子信息 不同于经典信息的新功能，几乎都可归结为纠缠现象的应用。1 9 9 1 年第一个基于纠 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 缠态的量子密钥方案的提出93 和它的实验实现。“；1 9 8 5 年量子t u r i n g 机模型的提出 “3 ，1 9 9 4 年分解大数质因子的量子算法的提出”“，1 9 9 6 年g r o v e r 算法的提出“”和它 的核磁共振实验演示。；量子隐形传态方案的提出。1 以及1 9 9 7 年首次实验实现“等 等，这些都和纠缠在信息科学中的应用有关“。纠缠是一种有用的信息资源，可以 说，量子信息研究的目的在很大程度上就是开发和应用量子纠缠这一新的信息物理 资源。因此对量子纠缠的深入研究，无论是对量子信息的基本理论，还是对未来潜 在的实际应用都具有十分重要的意义。 本文紧紧围绕量子纠缠讨论了它的度量、性质、和它在局域操作和经典通信下 的转换。本文所做的主要工作有： 在量子纠缠的度量方面给出了一类纠缠态的相对熵纠缠的计算公式。 在量子纠缠的性质方面，证明了互信息大于结构纠缠，而结构纠缠是现在提出 的许多纠缠度量的上限，这个结论佐证了互信息是量子关联和经典关联之和的推测； 论证了对于任意的量子态( 除了经典关联为0 的态) ，它的两个约化密度矩阵的直积 不可能是它的最近分离态；得出了处在纠缠态的两体两维系统中，一个系统的约化 态在另一个系统操作下的转换公式，利用这个公式，可以实现概率地远距态制备和 远距态纯化。 在两体纠缠转换方面，指出了纠缠可用来帮助纠缠纯态的转换，并且证明了在 局域操作和经典通信下，两个不存在相互作用的纯态系统的状态可以相互交换；利 用辅助系统得到了在局域操作和经典通信下，一定的纠缠纯态转换到特定纠缠混合 态的充分条件以及具体的转换方案。 在多体纠缠转换方面，得到了在局域操作和经典通信下，s c h m i d t 可分解的多体 纠缠纯态( s c h m i d t 态) 概率为1 转换的充要条件；给出了在局域操作和经典通信下， 从一个s c h m i d t 态得到另一个s c h m i d t 态的最大概率；论证了在局域操作和经典通信 下，单个多体纠缠混合态( 子系统的维数都为2 ) 不可能被纯化，密度矩阵有着较高 秩的混合态不可能被纯化；给出了一类多体纠缠混合态，在局域操作和经典通信下， 对某一纠缠纯态的忠实度不能增加；得出了三量子位w 态概率为1 转换的必要条件： 证明了非s c h m i d t 态的三量子位g h z 类态，不能概率为1 地转换到s c h m i d t 态。 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 4 本文的篇章结构 本文的篇章结构如下： 第二章介绍了量子信息研究中涉及到的一些主要概念和基本知识。 第三章介绍了两体纠缠度量须满足的几个基本条件，以及现在提出的五种基本 纠缠度量，并给出了一类纠缠态的相对熵纠缠的计算公式。 第四章根据目前提出的描述两个子系统总体关联的互信息，初步探讨了量子关 联、经典关联和互信息的关系。接着讨论了在存在纠缠的两体两维系统中，一个系 统的局域操作如何影响另一个系统。 第五章研究了两体纠缠态的转换规律，给出了纠缠在态转换中的应用，以及两 体纠缠纯态转换到两体纠缠混合态的转换规律。 第六章得出了s c h m i d t 可分解的多体纠缠纯态的转换规律；证明了大部分多体纠 缠混合态不可能单个被纯化；讨论了三量子位纯态的转换规律。 第七章是对全文内容的总结并对将来进一步的研究提出展望。 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 参考文献 1 s t e a n ea q u a n t u mc o m p u t i n g r e p p r o g p h y s 1 9 9 8 。6 1 ：1 1 7 1 7 3 2 】s h a n n o nc e am a t h e m a t i c a lt h e o r yo f c o m m u n i c a t i o n b e l ls y s t t e c h j 19 4 8 2 7 3 7 9 ，6 2 3 【3 】f e y m a n nres i m u l a t i n gp h y s i c sw i t h c o m p u t e r s i n t j t h e o r p h y s 1 9 8 2 21 ：4 6 7 - 4 8 8 4 f e y m a n nrp q u a n t u mm e c h a n i c a lc o m p u t e r s f o u n d p h y s 1 9 8 6 1 6 ：5 0 7 5 3 1 f 5 d e u t s c hd q u a n t u mt h e o r e y , t h ec h u r c h t u r i n gp r i n c i p l ea n dt h eu n i v e r s a la u a n t u m c o m p u t e r p r o c r s o c a 1 9 8 5 ，4 0 0 ：9 7 117 6 d e u t s c hd q u a n t u mc o m p u t a t i o n a ln e t w o r k s p r o c r s o c a 19 8 9 4 2 5 ：7 3 9 0 7 b e n n e t tc ha n db r a s s a r dg q u a n t u m c r y p t o g r a p h y ：p u b l i ck e yd i s t r i b u t i o na n dc o i n t o s s i n g p r o c i e e ec o n f o n c o m p u t e r s s y s t a n ds i g n a lp r o c e s s 19 8 4 ，p p17 5 17 9 8 a k e r tak q u a n t u mc r y p t o g r a p h yb a s e do i lb e l l st h e o r e m p h y s r e v l e t t 1 9 9 1 6 7 ：6 6 1 - 6 6 4 9 b e n n e t tch ，b r a s s a r dg ，c r d p e a uc ，j o z s ar ，p e r e saa n dw o o t t e r sw k t e l e p o r t i n g a nr i z k n o w r t q u a n t u m s t a t ev i ad u a lc l a s s i c a la n d e i n s t e i n - p o d o l s k y r o s e nc h a n n e l s p h y s r e v l e t t 1 9 9 3 ，7 0 ：1 8 9 5 1 8 9 8 1o b a r e n c oa a n de k e r tak d e n s ec o d i n gb a s e do nq u a n t u me n t a n g l e m e n t j m o d o p t 1 9 9 5 ，4 2 ：1 2 5 3 1 2 5 9 il 】b e n n e t tch ，b e s s e t t ef ，b r a s s a r dg ，s a v a i lla n ds m o l i nj e x p e r i m e n t a lq u a n t u m c r y p t o g r a p h y j c r y p t 0 1 1 9 9 2 ，5 ：3 2 8 1 2 s h o rpw p o l y n o m i a l t i m ea l g o r i t h m sf o r p r i m ef a c t o r i z a t i o na n dd i s c r e t el o g a r i t h m s o na q u a n t u mc o m p u t e r l a n le p r i n t ，q u a n t p h 9 5 0 8 0 2 7 113 1c a l d e r b a n ka r a n ds h o rpwg o o d q u a n t u me r r o r c o r r e c t i n gc o d e se x i s t p a y s r e v a1 9 9 6 5 4 ：1 0 9 8 - 1 1 0 5 1 4 】s t e a n eam e r r o rc o r r e c t i n gc o d e si n q u a n t u mt h e o r y p h y s r e v l e t t 1 9 9 6 国防科学技术大学研究生院学位论文 7 7 ：7 9 3 7 9 7 15 1c i r a cjia n dz o l l e rpq u a n t u mc o m p u t a t i o nw i t hc o l dt r a p p e d i o n s p h y s r e v l e f t 1 9 9 5 ，7 4 ：4 0 9 1 - 4 0 9 4 e 1 6 im o n r o ec ，m e e k h o f dm ，k i n gbe ，i t a n owma n dw i n e l a n dd j d e m o n s t r a t i o no f au n i v e r s a lq u a n t u m l o g i cg a t e p h y s r e v l e t t 1 9 9 5 ，7 5 ：4 7 1 4 - 4 7 1 7 17 】g r o v e rlk q u a n t u mm e c h a n i c sh e l p si ns e a r c h i n gf o ran e e d l ei na h a y s t a c k p h y s r e vl e t t 19 9 7 ，7 9 ：3 2 5 - 3 2 8 【18 】g e r s h e n f e l dn la n d c h u a n g il b u l ks p i n - r e s o n a n c eq u a n t u m c o m p u t a t i o n s i e n c e 1 9 9 7 ，2 7 5 ：3 5 0 3 5 6 【1 9 b o u w m e e s t e rd ，p a njw ，m a t t l ek ，e i b lm ，w e i n f u r t e rha n dz e i l i n e r a e x p e r i m e n t a lq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n n a t u r e1 9 9 7 ，3 9 0 ：5 7 5 5 7 9 1 2 0 e i n s t e i na ，e ta l 。c a nq u a n t u m m e c h a n i c a l d e s c r i p t i o n o fp h y s i c a l r e a l i t y b e c o n s i d e r e dc o m p l e t e ? p h y s r e v 1 9 3 5 ，4 7 ：7 7 7 【21 b o h md q u a n t u mt h e o r y n e wy o r k ：p r e n t i c e 。h a l l 19 51 2 2 b o h md as u g g e s t e di n t e r p r e t a t i o no f q u a n t u mt h e o r yi nt e r m so f h i d d e nv a r i a b l e ， p h y s - r e v 1 9 5 2 ，8 5 ：1 c a u s a l i t ya n dc h a n c ei nm o d e mp h y s i c s n e wy o r k ：h a r p e r 】9 5 7 2 3 b e l ljs o nt h ep r o b l e mo fh i d d e nv a r i a b l e si nq u a n t u mm e c h a n i c s r e v m o d p h v s 1 9 6 6 ，3 8 ：4 4 7 - 4 5 2 2 4 a s p e c ta ，o r a n g i e rpa n dr o g e rg e x p e r i m e n t a lt e s t so fr e a l i s t i cl o c a lt h e o r i e sv i a b e l l st h e o r e m p h y s r e v l e t t 1 9 8 1 ，4 7 ：4 6 0 4 6 3 2 5 3j e n n e w e i nt ，s i m o nca n dw e i h sge ta 1 q u a n t u mc r y p t o g r a p h yw i t he n t a n g l e d p h o t o n s p h y s r e v l e t t 2 0 0 0 ，8 4 ：4 7 2 9 4 7 3 2 2 6 c h u a n gil ，v a n d e r s y p e nlmka n dz h o uxe ta 1 e x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no fa q u a n t u ma l g o r i t h m n a t u r e1 9 9 8 ，3 9 3 ：1 4 3 1 4 6 2 7 3 曾谨言，裴寿镛，龙桂鲁量子力学新进展( 第二辑) 北京：北京大学出版杜， 2 0 0 1 一- - - _ _ - - _ _ 一 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章量子信息基础 这一章简要地给出量子信息研究中涉及到的些主要概念和基本知识。详细内 容可参考文献 i - 4 。 2 1 密度矩阵 密度矩阵可以用来统一地描述量子系统的纯态和混合态。假设一个量子系统分 别以p ，的概率处在相应的纯态j 丫) ( 归一化的矢量) ，这里i 是指标，我们称 只，f 甲) 是个混合态系综。这个系统的密度算子定义为 p = e p , l v , ( v , | ，。n = 1 。 ( 2 1 ) 密度算子在给定基下可表示为矩阵形式，称为密度矩阵。一个算子p 是关于某一系 综 只，i 一) ) 的密度算子的充要条件是：( 1 ) p 的迹等于l ；( 2 ) p 是一个正定算 子。p 是正定算子意味着：假设j ) 是态空间中的任一矢量，那么 h o ) 0 。区 分密度算子描述的是纯态还是混合态，只要看下面的关系式是否满足： p2=p，(2-2) 如果满足，那么p 描述的就是纯态系综，否则就是混合态系综。 一个密度矩阵有许多不同的系综形式。例如等概率的纯态1 1 、) 和i 山) 混合的系综 和等概率的纯态击( 1 卞) + 卜) ) 和击( f ) 一i 上) ) 混合的系综都有相同的密度矩阵 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 口= 三 o 2 o 1 2 ( 2 3 ) 任意一个混合态p 的每种系综形式都可由下面的方法获得”1 ：假设 a ，i 中。) ) ( i = 1 ，2 ，月) 是p 的正交分解( 正交分解指的是f ，) ， 分别是p 的归一化的本征 态和相应的本征值， 是p 的秩) ， p ，i 一) ) ( f _ l ，2 ，聊) 是p 的任一种纯态分 解即 p = 只f 丫) ( 丫i = a f ，) ( o ，i ， j = lt l 那么存在这样的关系式 只= 五= 1 ， ( 2 4 ) ，= if = l 厄= 周一) ，江1 ，2 ，m ， ，一-t(2-5) 其中u 是一个肌删的么正矩阵，州大于或等于p 的秩”。由于只有u 的前，? 列被 用到，因此我们可以让u 是一个埘”矩阵，它的n 列是正交归的矢量。 注意在本文中若不作特别强调，凡是用右矢表示的纯态都表示的是归一化的纯 态。 2 2 约化密度矩阵 假设我们有物理系统a 和b 组成的一个复合系统，它的物理态可用密度矩阵 p 。来描写。子系统a 的约化密度矩阵定义为 p a r r o ( p 月e ) ， ( 2 6 ) 这里的玩表示矩阵对子系统b 的自由度求迹。相似地，子系统b 的约化密度矩阵 定义为 几；巩( p a 口) 。 ( 2 7 ) 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 因为约化密度矩阵对于相应子系统的测量提供了正确的测量统计结果，从而给 复合系统中予系统的状态提供了正确的描述，即它包含了子系所处状态的全部物理 信息，所以它可用来描述相应的子系统，是相应子系统的密度算子。约化密度矩阵 对应的态称为约化态。 2 3s c h m i d t 分解 假设i 甲) 是复合系统a b 中的一个纯态，可以证明“1 在子系统a 和b 中分别存在 正交归一态 ) 和i ) ，使得下面关系式成立 i 甲) = a , i i a ) i i b ) ， ( 2 8 ) 其中 是非负实数，被称为s c h m i d t 系数，它们满足，砰= 1 。并且正交归一化态 | i 。) 和| i 。) 分别称为a 和b 系统的s c h m i d t 基。非零的s c h m i d t 系数的个数称为态 i t ) 的s c h m i d t 数。式( 2 8 ) 称为纯态i 甲) 的s c h m i d t 分解。通过s c h m i d t 分解， a 和b 子系统的约化密度矩阵分别为 p 。= ，彳i ) ( f ， ( 2 9 a ) 岛= ，邪。) ( i ， ( 2 9 b ) 它们具有相同的本征值谱刀。 复合系统的许多重要性质都是由这个系统的约化密度矩阵的本征值来决定的， 所以对于一个处在纯态的复合系统而言，两个子系统的许多特征是相同的。s c h m i d t 数在相对每个子系统的局域么正操作下是不变的。按照量子力学的测量理论，对处 在态l 甲) 复合系统子系之一的测量将使态l 甲) 塌缩到其中之一项上，从而对子系之一 的测量结果瞬间决定了另一个子系的态，这就是量子纠缠现象。注意在本