概率论与数理统计教程 魏宗舒等编 第二章.doc

第二章 离散型随机变量2.1（类似） 设随机变量的分布列为：，求(1)；(2) ； (3) 。解 (1) ;(2) ;(3) .2.2 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。2.3 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解 2.7 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解，其中。2.8 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则+；。2.9 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。泊松分布的数值表，得。2.10 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的泊松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间内通过交叉路口的汽车数，则时，所以；时，因而。2.11 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为利用泊松定理求近似值，取，于是上式右端等于212 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使 ，利用泊松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，泊松分布数值表，得。2.13 设二维随机变量的联合分布列为： 求边际分布列。解。2.15 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各自的边际分布列。解 ， ，； ，； ，。2.162.18证明：若随机变量只取一个值，则与任意的离散型随机变量相互独立。2.192.20 设随机变量与独立，且，又，定义，问取什么值时与独立？解 = 而，由得2.21 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。 证明因为所以相互独立。同理与相互独立。但是，因而不相互独立。2.22 已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。解 , , , 2.25 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。解 设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而。2.26 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为求的分布列。解2.27 设随机变量具有分布：，求、及。解，+4+4=272.29设离散型随机变量的分布列为：，问是否有数学期望？解 ，因为级数发散，所以没有数学期望。2.31 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，则，所以。2.32 把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设则的分布列为：于是，设匹配数为，则，因而。2.34 从数字0，1，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设为所选两个数字之差的绝对值，则，于是。2.35 设为取非负整数值的随机变量，证明：(1) ;(2) 证明 (1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而。(2) 存在，所以级数也绝对收敛，从而2.36 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为，则，利用上题的结论，+=1+2.39流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解：设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修之间产品总数为，则因独立同分布，由此得：，。，。2.40 从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。2.45 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，