（光学专业论文）量子化光场的偏振态.pdf

上海大学硕士学位论文 量子化光场的偏振态 摘要 本篇论文从经典光场的s t o k e s 参量及偏振态在p o i n e a r e 球上的表示出发， 通过s u ( 2 ) 量子代数及与角动量的s c h w i n g e r 玻色实现的类比，引进了s t o k e s 算符，并用s t o k e s 算符讨论量子化光场的偏振态。论文介绍了偏振相干态、偏 振光子数态、偏振压缩态这些光场的非经典偏振态，引进了偏振奇偶相干态。 计算了这些非经典偏振态的s t o k e s 算符的期望值，它们对应了s t o k e s 参量，讨 论了在这些态中s t o k e s 参量的二阶及高阶涨落，定义了s t o k e s 参量的二阶和高 阶压缩条件并研究了在这些非经典偏振态中s t o k e s 涨落的二阶与高阶压缩。我 们还讨论了非经典偏振态的偏振度及在测量这些非经典偏振态光场的s t o k e s 参 量时的信噪比。 在量子化光场中，由玻色算符的对易关系导致的量子噪声是s t o k e s 参量涨 落的根源，s t o k e s 参量的涨落不仅与光强有关，而且与两个偏振模中的光子数 有关，因此与光的偏振态有关。光强的增强将使s t o k e s 参量的涨落增加。对偏 振光子数态来说，毫的各阶涨落为零，童和是不存在二阶压缩，仅存在高阶压 缩。在偏振压缩态和偏振奇偶相干态中，不仅有二阶压缩，而且有高阶压缩。 由于量子噪声的存在，偏振非经典态中的偏振度总小于1 ，这表明量子光学中 不存在完全的偏振光，并且偏振度随光强增强而增大，在较强的光强下偏振度 接近于1 。 由于量子信息中光子的偏振态作为量子比特，因此，描写偏振态的s t o k e s 参量的涨落直接影响到量子信息的传递和处理，也将影响到量子计算与量子复 制的精度。这表明，对非经典态光场的量子特性的研究是很重要的。 关键词：偏振光子数态；偏振压缩态：偏振奇偶相干态；高阶涨落；高阶压缩； 偏振度；信噪比：s t o k e s 算符 v 上海大学硕士学位论文 t h ep o l a r i z a t i o ns t a t e so fq u a n t i z e dl i g h tf i e l d a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , a c c o r d i n gt ot h es t o k e sp a r a m e t e r si nc l a s s i c a lo p t i c sa n dt h e r e p r e s e n t a t i v eo fp o l a r i z a t i o ns t a t e so nt h ep o i n c a r es p h e r e ，w er e c o m m e n dt h e s t o k e so p e r a t o r sa n dd i s c u s st h ep o l a r i z a t i o ns t a t e so fq u a n t i z e dl i g h tf i e l d t h e p o l a r i z a t i o nc o h e r e n ts t a t e ，t h ep o l a r i z a t i o nf o c ks t a t ea n dt h ep o l a r i z a t i o ns q u e e z e d s t a t ea r es t u d i e d ，t h ep o l a r i z a t i o ne v e na n do d dc o h e r e n ts t a t ei si n t r o d u c e d w e c a l c u l a t et h ef l u c t u a t i o n so fs t o k e sp a r a m e t e r si nt h e s en o n - c l a s s i c a lp o l a r i z a t i o n s t a t e s ，d i s c u s st h es e c o n d a n dh i 曲一o r d e rf l u c t u a t i o n si nt h e s es t a t e sa n dt h e i r s q u e e z i n g s f i n a l l y w ed i s c u s st h e p o l a r i z a t i o nd e g r e eo ft h e 1 0 1 1 - c l a s s i c a l p o l a r i z a t i o ns t a t e sa n dt h es i g n a l - t o n o i s er a t i oi nm e a s u r i n gt h es t o k e sp a r a m e t e r s o f t h en o n - c l a s s i c a lp o l a r i z a t i o ns t a t e s i nt h eq u a n t i z e dl i g h tf i e l d ，t h eo r i g i no f t h ef l u c t u a t i o n so f s t o k e sp a r a m e t e r si s r e s u l t e df r o mt h eq u a n t u mn o i s ed u et ot h ec o m m u t a t i o nr e l a t i o n s t h ef l u c t u a t i o n s o ft h es t o k e sp a r a m e t e r sa r er e l a t e dw i t ht h ei n t e n s i t yo fl i g h ta n dt h ep h o t o n n u m b e r so ft w op o l a r i z a t i o nm o d e s t h ef l u c t u a t i o n si n c r e a s ew i mt h ei n c r e a s i n go f t h ei n t e n s i t yo fl i g h t t h ef i u c t u a f i o n so f 是i nt h ep o l a r i z a t i o nf o c ks t a t ea r ez e r o a n dt h ef l u c t u a t i o n so f 墨a n d 是i nt h ep o l a r i z a t i o nf o c ks t a t ed o n te x i s ts e c o n d - o r d e rs q u e e z i n g sb u te x i s th i g h o r d e rs q u e e z i n g s t h e r ee x i s ts e c o n d - o r d e r s q u e e z i n g sa n dh i g h o r d e rs q u e e z i n g s i n p o l a r i z a t i o ns q u e e z e d s t a t e sa n d p o l a r i z a t i o ne v e na n do d dc o h e r e n ts t a t e s d u et ot h eq u a n t u mn o i s e ，t h ep o l a r i z a t i o n d e g r e eo f t h en o n c l a s s i c a ls t a t e si sa l w a y ss m a l l e rt h a no n e ，w h i c hs h o w st h a tt h e r e d o e s n te x i s tp e r f e c tp o l a r i z e dl i g h ti nq u a n t u mo p t i c s t h ep o l a r i z a t i o nd e g r e e i n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h ei n t e n s i t yo fl i g h t w h e nt h ei n t e n s i t yo fl i g h ti s q u i t es 廿o n g ，t h ed e g r e eo f p o l a r i z a t i o nw i l lb ec l o s et oo n e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，t h ep o l a r i z a t i o ns t a t e so fp h o t o n sa l er e g a r d e da s q u a n t u mb i t s ，s ot h ef l u c t u a t i o n so ft h es t o k e sp a r a m e t e r sw i l ld i r e c t l yi n f l u e n c et h e 上海大学硕士学位论文 t r a n s f e ra n dt h ep r o c e s s i o no ft h eq u a n t u r ni n f o r m a t i o n ，i ta l s oa f f e c t st h ep r e c i f i o n o ft h eq u a n t u mc a l c u l a t i o na n dq u a n t u mc o p y i n g s oi t sv e r yi m p o r t a n ti ns t u d y i n g t h e p r o p e r t i e so f p o l a r i z a t i o no f t h eq u a n t i z e dl i g h tf i e l d k e yw o r d s ：p o l a r i z a t i o n f o c ks t a t e ；p o l a r i z a t i o ns q u e e z e ds t a t e ；p o l a r i z a t i o ne v e n a n do d dc o h e r e n ts t a t e ；h i g h - o r d e rf l u c t u a t i o n ；h i g h o r d e rs q u e e z i n g ；d e g r e eo f p o l a r i z a t i o n ；s i g n a l - t o - n o i s er a t i o ；s t o k e so p e r a t o r v i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 主墨鳆日期：迦，厶i 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趣蝤导师签名：塑聋 1 1 日期：竺生丝 上海大学硕士学位论文 第一章引言 量子光学是近三十年来蓬勃发展起来的前沿学科，最初是从量子电动力学 理论中发展、演变而来的；它既是量子电动力学理论的一个重要分支，又是激 光全量子理论深入发展的结果：它的主要任务在于研究光场的各种非经典现象 的物理本质、揭示光场的各种线性和非线性效应的物理机制、揭示光场与物质 ( 原子、分子或离子) 相互作用的各种动力学特性、揭示光子的基本特征、机理、 规律以及光子的深层次结构等。光的偏振是光的波动性的基本特征之一，也是 光波的横波性的重要证据，因此具有十分重要的意义。光的偏振与偏振态在经 典光学中是一个古老的问题。尽管如此，在量子光学中，量子化光场的偏振特 性的研究是近几年才展开的。 近年来，偏振光问题在量子光学领域内被重视，并作了许多研究主要是由 于它在当前成为研究热点的量子信息理论与技术中的应用i i “s 。光场非经典态 中光的偏振表现出许多经典光场中所没有的新的特性，这些特性起源于光场的 量子特性，并且对量子信息的传递和处理有着重要的影响。在量子信息中光子 往往作为量子信息的载体，而光的偏振态往往用作量子比特。例如，在双光子 纠缠态的研究中，就是利用互相垂直方向偏振的光子。1 9 9 7 年奥地利学者与 1 9 9 8 年的意大利学者分别在实验中实现了量子隐形传态。在这两个成功的实 验中，他们都采用了单个光子偏振态作为待传送的量子态。 光的偏振卜”1 引起人们的兴趣是由于它在量子信息领域中的应用。因此， 研究光的偏振、偏振的涨落、偏振度和偏振测量的信噪比是很有意义的。由于 前人已经对相干态，压缩态和双光子态等态以及它们的非经典性质t 1 1 - 1 4 j 作了一 定探讨和研究，本文主要介绍偏振光子数态，偏振压缩态，重点对偏振奇偶相 干态以及它的偏振特性( 涨落、高阶压缩、偏振度、信噪比等) 进行分析和研 究。 本篇论文的主要工作是研究了斯托克斯参量在几个非经典偏振态( 主要包 上海大学硕士学位论文 括偏振光子数态，偏振压缩态，偏振奇偶相干态) 中的二阶及高阶( 四阶、六 阶) 涨落及其压缩的一些规律和性质，并讨论了在这些非经典偏振态中的偏振 度和信噪比的问题。 本篇论文的安排如下：第二章主要介绍了光场偏振态的经典描述以及量子 描述，其中经典描述主要是s t o k e s 参量和p o i n c a r e 球并由此引入了s t o k e s 算符 来描写量子化光场的偏振：第三章给出了量子化光场中的一些非经典偏振态， 包括偏振光子数态，偏振压缩态( 单模和双模) 及其偏振奇偶相干态，以及它 们的一些性质：第四章引入压缩的概念0 5 - 2 2 并计算和讨论了斯托克斯参量在 前面几个非经典偏振态中的二阶涨落和二阶压缩，并给出了压缩的条件：第五 章继续推算出斯托克斯参量在非经典偏振态中的高阶涨落和高阶压缩；第六章 给出了偏振度和信噪比的定义，并在几个态中进行了讨论；第七章对整篇论文 的研究工作做出了总结，并对涉及到的深一步研究给出了自己的一些建议。 上海大学硕士学位论文 第二章光偏振态的描述 2 1 光偏振态的经典描述 2 1 1 椭圆偏振光的表示 光是一种电磁波。如果光沿z 轴方向传播，那么电磁场的豆和百分别处于 与z 轴垂直的平面内，言和霄正交，并且与z 方向构成右手螺旋系。由于e 和 h 并不是独立的量，他们的数值之比为一正的实数，e h = 肛( 为介质的 磁导率，s 为其介电常数) 。因此在光的传播过程中，豆和百是同位相的，因为 大多数光探测器对置有响应，因此光的波动理论中通常只考虑豆，把五称为光 矢量。光矢量在z y 平面内的分量e ，e 。分别可以写成： e x = a ic o s ( c o t - k i + 峨) ( 2 1 1 a ) e 。= a 2c o s ( g - t - k f + j 2 ) ( 2 1 1 b ) 其中波矢露：_ 2 zs _ ，i 是光传播方向的单位矢量，尹为观察点的矢径，4 ，嘎为 初位相。e x ，e 。的这一表达式可以组成一个椭圆方程 2 + ( 割2 一z 鲁汹。占 汜m ， 其中占= 4 一疋，因此光矢量的端点在光的传播过程中画出一个椭圆，这样的 光称为椭圆偏振光，这椭圆内接于一长方形，长方形各边与坐标轴平行，边长 分别为2 q 和2 呸，参见图2 1 1 。 云的x 分量与y 分量的位相差j 取不同的值时，将退化为几种特殊情况： ( 1 ) 当占= m , z e ( m = 0 ，1 ，2 “) 时，退化为线偏振光，这时 笔- ( - 矿生a a ( 2 1 3 ) 即光矢量端点的轨迹为一条直线，直线的方程由0 2 ，q 的比值决定，a 。= 0 时 上海大学硕士学位论文 为y 方向线偏振光，a ：= 0 时为x 方向的线偏振光。 ( 2 ) q = a 2 ，占= 肌万2 ( m = 1 ，3 ，5 ) 时退化成圆偏振光，“+ ” 号时对应于右旋圆偏振光，这时迎着光传播方向观察时，光矢量端点按顺时针 方向描出一个圆；“一”号对应于左旋圆偏振光，这时迎着光传播方向观察时， 光矢量的端点按逆时针方向描出一个圆。 v 7 荔蓊参vn 。一、统f 骣磐一7 图2 1 - 1 光矢量振动椭圆 2 1 2 椭圆偏振光的特征参量 如图所示的椭圆，光矢量在x y 坐标系中，坐标轴的两个分量为t ，e ， 在x y 坐标系中啻的两个分量，他们之间的关系为 a 。= e xc o s + es i n y ( 2 1 4 a ) a y = e xs i n + e ，c o s y ( 2 1 4 b ) 描写偏振椭圆的椭圆参数有半长轴a 与半短轴b ，长轴方位角，这些参数与 椭圆偏振光的参数q ，a 2 及相关参数占有关： + a b = a l a 2s i n d ( 2 1 5 ) a 2 + 6 2 = 彳+ ( 2 1 6 ) 上海大学硕士学位论文 t a n 2 ：粤c o s j ( 2 1 7 ) c i c 1 2 如果给定任意一组坐标轴中的a 。，a 2 和位相差占，而且如果令口 ( 0 口2 z ) 代表一个角，使得 t a n 口：a 3 l( 2 1 8 ) a l 则椭圆的主半轴和6 ，以及长轴与0 k 的夹角少( 0 茎；f ， 石) 由下列公式确定： 口2 + 6 2 = a ? + ( 2 1 9 a ) t a n 2 妒= ( t a n 2 a o c o s 8 ( 2 1 9 b ) s i n 2 z = f s i n 2 0 r ) s i n 占 ( 2 1 9 c ) 式中z ( 一州4 z 万4 ) 是一个辅助角，它确定振动椭圆的形状和转向： t a i l z ：鱼 ( 2 1 1 0 ) 反过来，如果知道椭圆的轴长a 、b 和取向( 即给定a 、b ，) ，则从这些公 式能够求出振幅q 、q 和位相差巧。 2 1 3s t o k e s 参量 一个椭圆无论在x - y 坐标中还是z y 坐标系中，都是由三个参数确定， 例如在两个特定方向上的两个分量的振幅及这两个分量之间的相位差j ( 或偏 振椭圆的长短轴a 、b 及椭圆的取向角口) ，然而在实用上，最常选用的是三个 宏观可测量的独立参量- - s t o k e s 参量1 1 1 。这些参量是g e o r g eg a b r i e ls t o k e s 在1 8 5 2 年在研究部分偏振光时提出的，其中每一个都为强度的量纲。 s o = a 卜口； ( 2 1 1 l a ) sl = a ? 一呸2 ，s 2 = 2 a l a 2c o s 8 ，砖= 2 a l a 2s i n 8( 2 1 1 l b ) 由于一个椭圆只要一个参量就可以完全确定，因此上述四个参量不是独立的， 他们满足 上海大学硕士学位论文 2 = s ；+ 霹+ 霹 s 。表示偏振光强度，墨，s ：，邑可以用及椭圆的方为角y 及确定椭圆半轴比 的椭率r = 鱼来决定： a s l = 3 0c o s 2 r c o s 2 9 s 2 = 5 0c o s 2 r s i n i u s 3 = s os i n 2 r 于是偏振椭圆就可以完全由s t o k e s 参量决定 缈：a r c t 孤k 。) 缈2t 孤p 25 l ， 玎：三a r c t a l l f 坠 驴i 面i ( 2 1 1 3 a ) ( 2 1 1 3 b ) 2 1 4p o i n c a r e 球 以斯托克斯参量为分量构成偏振矢量s = s i + s 2 ，+ 焉膏( f ，- ，和盂是正交 的单位矢量) 。砰+ + s ；= s ；是一个球面方程，这个球面就是庞加莱球，其半 径为s o ，因此光场的偏振态可以用这球面上一点表示。球面上对应坐标为s ，( = 1 ，2 ，3 ) 的一点表示一个确定的偏振态，如图2 1 2 所示，它们的经度和纬 度分别为2 p 、2 玎，它们决定了偏振椭圆的取向0 ( 0 目兰石) 和椭圆率叩 ( 一z 4 行蔓z 4 ) t a n ( 2 0 ) = 是s l ， t a l l ( 2 叩) = s 3 4 s ? + s ； ( 2 1 1 6 ) 6 上海大学硕士学位论文 x y 图2 ，1 - 2 光场偏振态在经典光学中的几何描述 当& 为常数，即光场强度给定时，对它每一个可能的偏振态，球面上都有 一点与之相对应，反之亦然。 例如： ( 1 ) 若刁= 0 ，p 点在赤道上，表示方位角不同的线偏振光，若目= 0 ，对 应水平线偏振光；矽= 疗2 处为垂直线偏振光。 ( 2 ) 若p 点在北极和南极则分别为右、左旋圆偏振光。 ( 3 ) 若p 点在球面上其它任一点，则表示椭圆偏振态。 经典统计光学中用偏振度1 来定量描述光场的偏振态，定义为光场中偏振 部分的光强与总光强之比 p ：掣 当p = l 时，对应完全偏振光：0 ； ( 2 2 6 ) s t o k e s 算符的平方可用玻色算符的正规序表示成 母= ：霉：+ 鼠，( ，= o ，1 ，2 ，3 ) ( 2 2 7 ) 由( 2 2 4 ) 式可知，s t o k e s 算符满足下列海森伯不确定关系 ( ( 峨) 2 ) ( ( 峨) 2 ) 障 1 2 工七删= 1 ，2 ，3 ，_ i m ( 2 2 8 ) 其中( ( 心，) 2 ) = ( 霹) 一( ，) 2 是第，个s t o k e s 算符的涨落。由上式可知，在量子 光学中由于各s t o k e s 算符相互之间不对易，因此，s t o k e s 参量无法同时精确的 测量。这一点与经典s t o k e s 参量不同，其根源在于光场量子化后导致的对易关 系式( 2 2 3 ) ，它也是产生s t o k e s 参量涨落的原因。不确定关系( 2 2 8 ) 给 出了量子光学中s t o k e s 参量的基础量子涨落为 ( ，) l 。 根据角动量算符理论可知，雪2 和奄有共同的本征态，记做1 s ，p ) ，此态被 称为量子偏振态，本征值分别为s 0 + 2 ) 和p ，即 21 5 ，p ) = j ( 5 + 2 ) i s ，p ) ( 2 2 9 ) 鼋1 j ，p ) = pl s ，p ) ( 2 2 1 0 ) s 和p 为量子数，它们分别对应于角动量理论中的量子数，和m 。对每个 量子数5 ，量子数p 可取一s ，一s + l ，0 ，1 ，s ，共2 s + 1 个值。a l o d j a n t s 己证明量子数s 和p 的物理意义分别是偏振光子数态光场中二个偏振模的光子 数的和与差2 ”，因此，s 和p 完全决定t - 个偏振模中的光子数，也就确定了 量子化光场的偏振态。 上海大学硕士学位论文 第三章量子化光场的非经典偏振态 量子光学中，量子化光场态“可以由不l 司的基矢来表不，常用的有光场 粒子数算符( d + a ) 的本征态一粒子数态( f o c k 态) i n ) ；光场湮没算符a 的本 征态一相干态i 岱) ；量子化光场还可以有各种非经典态，例如：光场压缩算符 s ( f ) = e x p 圭扩一f + a 2 ) 相关的压缩态以及光场湮没算符平方口2 的本征态一 奇偶相干态( i 口) 。、i 口) 。) 等等。其中最基本的是f o c k 态，这是因为相干态、 压缩态以及奇偶相干态等都可以用粒子数态矢集 l h ) ) 的线性叠加明显表示出 来。 本章中我们主要讨论双模下的非经典偏振态：偏振光子数态( f o c k 态) ，偏 振压缩态以及偏振奇偶相干态。 3 1 偏振光子数态 如果只考虑频率为脚的单模光场，其哈密顿量为 日= 坂口+ a + 争 ( 3 ) 它的本征态为光子数态i h ) ( 即f 0 c k 态) ，对应的本征值为。+ 圭) 。算 符口、口+ 对它的作用为： 口i n ) = 石卜1 ) ，口+ f 甩) = 鬲”1 ) ( 3 1 2 口和d + 称为光场的湮没算符和产生算符。 与此类似，定义双模光场的f o c k 态为i _ ，n ) ，它是光子数算符的本征态， 即 q i q ) 2 n i r ) ， t 以i m ) = 也i m ) ( 3 1 3 ) 其中n 和n 分别为表示偏振态的两个模，即右旋偏振模与左旋偏振模中的平均 光子数，玎= _ + 垃为光场的总光子数，l _ ，m ) 也是袁( 鼠+ 2 ) 和童的本征态， 1 0 上海大学硕士学位论文 所以有 ( f + ，n - 1 4 ( & + 2 ) l h ，m ) 。= 竹 + 2 ) ( 7 + ，- 1 41 + ，垃) = 一一n 另外，在偏振相干态中，由于 吩i q ，艇) = i q ，幔) 因此，斯托克斯算符宕，( ，= 1 2 ，3 ) 在偏振相干态中的平均值为 ( q ，以l 宣l q ，盟) = z 盟+ q z = 2n 瓜+ n _ c o s 6 ( q ，以i 受l q ，盟) = q z 一吼= 2n 厄+ n _ s i n 6 ( q ，盟j s i q ，幔) = q 一谚以= _ 一吃 其中，k = l a + 1 2 ，j = 正一正。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 3 2 偏振压缩态 3 2 1 单模光场的压缩态 1 9 7 6 年，h p y u e n 引入算符b ，b + ： b = f l a + v a + ，b + = a a + + v + a ( 3 2 1 ) 式中参数，v 满足如下关系式： 坩一盯= 1 ( 3 2 2 ) 因此，b ，b + 满足对易关系： 【6 ，b + 】_ 1 ( 3 2 3 ) 这也就是说，算符b ，b + 是和光场的湮没、产生算符a ，口+ 性质相似的玻色算 符，它们可以通过对算符a ，a + 进行幺正变换s 而联系起来，即 b = s a s + = i t a + f a + ( 3 2 4 ) 选用幺正算符为 上海大学硕士学位论文 s ( f ) ：e x p 圭f a 2 - 昙善( 口+ ) 2 】 ( 3 2 5 ) 式中亭= r e 8 为任意复数，显然 s + ( 善) = s 一( f ) = s ( 一f ) ( 3 2 6 ) 根据( 3 2 4 ) 式 6 = s ( g ) a s = e x p 【扛丢弛+ ) 2 ae x p 1 f ( 口十) 2 一胡 = 口+ 睦f 口2 一圭f ( 矿) 2 ，目 + 五1 哼ig 盯2 一互1f ( 口+ ) 2 ， 圭f d 2 一三f ( 矿) 2 ，口 】+ ( 3 2 7 ) 利用对易关系式： 哇掌+ 口2 一与熟+ ) 2 ，d 】_ 和+ _ m 叼 11 去f 口2 一去f ( 盯+ ) 2 ，口+ 】= 善d = r e 一”口 其中r = 例，而0 为复常数喜的幅角，因此( 3 2 7 ) 式可得出 b = a c o s h r + a + e ”s i r d a r 上式与( 3 2 4 ) 式相比较，得到 2 = c o s h r 。矿= e ”s i n h r 它们满足关系( 3 2 2 ) 式： 卅一i v l 2 = c o s h 2 r - s i n h 2r = 1 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 可见，对算符a 实施幺正变换s ( f ) 和规范变换的结果一致，幺正变换s ( 善) 即为我们所求的变换算符。 利用幺正变换算符s ( f ) ，可以将压缩相干态明显地表示出来。即 i ) 。= s ( f ) l ) = s ( f ) d ( ) i o ) ( 3 2 1 1 ) 这里d ( ) 可看作为相干态的平移算符，它的作用是使真空态l o ) 变换到相干态 i ) ，定义为 d ( f 1 ) = e x p ( f l a + 一卢a ) ( 3 2 1 2 ) 上海大学硕士学位论文 1 9 8 1 年，c m c a v e s 在分析引力波的测量时，给出了压缩相干态的另一 种定义： f 口) 。= d ( 口) s ( 孝) l o ) ( 3 2 1 3 ) 式中d ( 功是与( 3 2 1 2 ) 形式相同的平移算符，s ( 4 ) 为光场的压缩算符。虽然 平移算符d 和压缩算符s 两者不对易，但是可以证明这两个算符在适当地变换 参数后，可交换位置。这是因为 s ( f ) d ( 口) = s ( f ) d ( 掰) s + ( f ) s ( ) ：d ( ) s ( 善) ( 3 2 1 4 ) 式中 d ( f 1 ) = s ( 善) d ( a ) s + ( 善) ( 3 2 1 5 ) 口= a c o s h r a + e os i n h r ( 3 2 1 6 ) 可见这两种关于压缩相干态光场的定义是等价的。 3 2 2 双模光场的压缩态啪1 与单模光场的压缩态的定义有两种一样，频率为吐和缱的双模光场的压缩 相干态也有如下的两种定义： i 段，应，孝) = 墨一偕) d t ( 鼠) 口( 应) i o ) ( 3 2 1 7 ) i q ，啦，f ) = q ( q ) d - 奴) s + 一( 善) l o ) ( 3 2 1 8 ) 这里口，d - ，趾分别表示为 d ( ) = e x p 瓴一口) ( 3 2 1 9 ) 坟( 屈) = e x p ( f l + a ：一厦啦) ( 3 2 2 0 ) 瓦一( 善) = e x p ( 善口+ 一一亭：) ( 3 2 2 1 ) 式中q ( d 一) ，n ：( 芷) 分别表示频率为q ( 蛆) 的湮没、产生算符，它们满足对易 关系： 啄，】= 1 ， q ，唣】= q ， = 0 上海大学硕士学位论文 很显然，皿和d _ 分别表示频率为q 和以的光场的平移算符，它们与单模光场 的平移算符具有完全相同的性质，墨一( f ) 式中含有双模场的算符q 和，称为 双模压缩算符。 利用( 3 2 7 ) 式容易证明 6 = 墨一( 手) 口殴( f ) = qc o s h r + a ；e ”s i n h r ( 3 2 2 2 ) 这里f = f e ”。利用( 3 2 2 2 ) 式和( 3 2 1 7 ) 式可得 良 反，焦，手) = 墨一g ) 噬筻g ) q ( 屈) 口( 屋) o = 屈i 展，应，善) ( 3 2 2 3 ) 可见由( 3 2 1 7 ) 式定义的双模压缩相干态厦，应，手) 是算符6 ( 6 - ) 的本征值为 疋( 尻) 的本征态。利用( 3 2 2 2 ) 式我们也可以证明d ( 屈) 与_ d ( ) 之间满足 d ( 屈) 2s l ( 善) d ( 啦) 足一) ( 3 2 ，2 4 ) 式中屈与满足如下关系式： 版= 吣c o s h r + 矿s i n h r ( 3 2 2 5 ) 因此双模压缩相干态的两种定义式可以在形式上化为一致。对于双模压缩相干 态f q ，e t _ ，f ) ，利用( 3 2 1 8 ) 和( 3 2 2 2 ) 式可以得到 - 啦 ( 3 2 2 6 ) = kj 2 + s i n h 2 ， ( 3 。2 2 7 ) = z 盟， _ z q ( 3 2 2 8 ) = 2 ( 3 2 2 9 ) = = 瓯幔- e x p ( i 目) s i n h r c o s h r ( 3 2 3 0 ) 由以上式子可以看出，压缩算符墨一( f ) 仅仅对光场每一模的平均光子数 和两模间非对角元 和 的期望值有影响。 1 4 上海大学硕士学位论文 3 3 偏振奇偶相干态 单模奇相干态和偶相干态是相干态i 口) 和1 吨) 的相干叠加，即 1 口) 。= 4 ( 1 口) 一l 一口) ) ( 3 3 1 ) 1 口) 。= a i 口) + i 一口) ) ( 3 3 2 ) 其中规一化系数 爿。= o 5 c x p 0 5 ( i 口1 2 ) 【s i n h ( 忙1 2 ) 】叫 ( 3 3 3 ) a e = 0 5 e x p o 5 ( b 1 2 ) 】【c 。s h ( p 1 2 ) 一 ( 3 3 4 ) 单模奇相干态和偶相干态是湮没算符口2 的二个简并的本征态，具有相同的 本征值口2 2 2 1 。展开成光子数态的叠加，它们分别只包含奇数光子数态和偶数 光子数态： 阶( s 呻f ) 咣薹斋旧+ 1 ) c 。s s ， 峨2 ( c 。s h m 一萎丽o l 2 n 1 2 聆) ( 3 3 6 ) 其中口= a l e x p ( i a ) 。i 口) 。和l 口) 。可以用算符日相互转换 口i 口) 。= 口( t a n h k l 2 ) l 口) 。，i 口) 。= a ( c 。t h l 口1 2 ) 必i 口) 。 ( 3 3 7 ) 在奇、偶相干态中，光子数平均值分别为 = 阱c o , h i l l 2 ，r = 阱t a i l l l 阱 ( 3 3 8 ) 口一d 一在奇相干杰中的平均信p s 是 ( 口”a ”) 。= o r “ o t * m o e - ”c o t h ( 口d 0 m 、n 均为偶数，包括零 m 、胛均为奇数 ( 3 3 9 ) m 、h 一个是奇数，一个是偶数 矿”矿在偶相干态中的平均值只要把上式中c o t h ( 口1 2 ) 改成t a n h ( a1 2 ) 。 上海大学硕士学位论文 下面我们引入双模下的偏振奇偶相干态【3 0 - 3 ”，它们是双模相干态i q ，以) 与 一c o ，一口一) 的叠加 口) 。= 爿。0 口+ ，盯一) 一l q ，- a 一) ) i 口) 。= 4 ( i 口+ ，1 2 一) + i 一口+ ，一d 一) ) ( 3 3 1 1 ) 其中系数 a o = 0 5 e x p o 5 ( p + f 2 + k f 2 ) 】 s i n h ( f 口+ f2 + p f 2 ) 】一 ( 3 3 1 2 ) a 。= o 5 e x p o 5 0 口+ 1 2 + l 口一1 2 ) c 。s h ( 1 a + 1 2 + i 口一1 2 ) 】一必 ( 3 3 1 3 ) 式中= k + e x p ( i 8 + ) 。偏振奇偶相干态i 口) 。和| 口) 。是湮没算符口：的二个简并 的本征态，它们的本征值是2 ，即 d ：i 口) 。= 口：l 口) 。，口：l 口) 。= 口：i 口) 。 ( 3 3 1 4 ) 与单模奇偶相干态一样，l 口) 。和l 口) 。可以用啦相互转换 啦峨= a - 。扛面丽峨 口+ f 口) 。= 口+ 石：i 面i 7 面i 口) 。 n ：”a ：在奇相干态中的平均值是 f ”z 7 越 m + ，、疗+ _ j 均为偶数，包括零 ( “芷7 芷) 。一 q * m q n “一* 1 幔k c o m ( k 1 2 + i - 1 2 ) ，m + l 、即+ t 均为奇数 0 m + ，、聍+ _ i 一个是奇数，一个是偶数 ( 3 3 。1 7 ) 同样，口：”口! 在偶相干态中的平均值只要把上式中c o t h ( 1 q 1 2 + k 1 2 ) 改成 t a n h l 1 2 + 川2 ) 。 上海大学硕士学位论文 第四章s t o k e s 参量的涨落及其涨落的压缩 4 1 压缩的基础知识 在量子光学中，对于两阶压缩，定义有两种。 定义i 在量子力学中，任何一对物理量算符之1 9 都存在着一定的对易关系。 如果这两个物理量的算符不对易，那么，根据海森堡不确定关系，这两个物理 量的涨落之间就存在这一定的关联。利用不对易算符之间关系的这种性质，可 以定义关于物理量的压缩，即： 如果对于任意一对厄密算符4 和b ，它们之间的对易关系为： a ，b 】= i c ( c 为常数或一厄密算符) ； ( 4 1 1 ) 则在态j y ) 中，厄密算符4 和b 期望值的量子涨落受到海森堡不确定关系的限 制： ， ，三i ，| 2 ( 4 1 2 ) 这也就决定了算符a 、b 有着自己的基础量子涨落，算符a ( 或者b ) 在 态i i f ，) 中的涨落 ，( 或者 ，) 受到它在该态中的基础量子涨落 丢i ，i 的限制。如果一个物理量在某个态i y ) 中的涨落小于其在该态中的 基础量子涨落，则称该物理量的涨落被压缩，对该物理量而言，l y ) 态就是压 缩态”】。 定义考虑一个单模电磁场振幅口5 1 的两个正交分量算符置，它们分别定 义为： 五= 三+ 矿) ，五= 去以一口+ ) ( 4 1 3 ) 它们满足的对易关系和不确定关系分别为： i x l ，蔓卜， ， ，而1 ( 4 1 4 ) 其中 上海大学硕士学位论文 ( 蟛) 2 = 一 2 ( i = 1 ，2 ) ( 4 1 5 ) 我们知道，光场处于相干态l a ) ，那么它的两正交分量算符置和五的量子 涨落有最小值“4 ，即 ( 置) 2 = ( x 2 ) 2 = 1 4 ( 4 1 6 ) 这就是说，相干态是光场的振幅涨落有最小不确定值的态，那么，如果某个分 量五( f - 1 或2 ) 的方差小于它在相干态中的值，就称墨的涨落被压缩了。 根据上面介绍的压缩的两种定义，我们可以知道：首先，对于置和五， 如果对易式 4 ，b i 中的c 为一常数，则基础量子涨落寺i ，j 恰好等于它在 相干态中的方差( i 4 ) ，此时定义i 和定义i i 是等价的，并且基础量子涨落与 态无关；但是如果c 不是一常数，那么基