（应用数学专业论文）两类带非线性对流项退化抛物方程解的存在性与梯度估计.pdf

摘要 本文分别研究了两类带非线性对流项退化抛物方程解、周期解的存在性，并给出了 相应解的工m 估计 首先，我们考虑一类带非线性对流项平均曲率型方程的d i r i c h l e t 边值问题 “t d i v 盯( 1 v 1 2 ) v u ) + b ( u ) v u = 0搿n ，t 0 u ( z ，0 ) = u o ( x ) z q ；u ( x ，t ) = 0z a n ，t 0 其中q 为r ”中具有光滑边界的有界区域；o ( i w l 2 ) 为一类形如_ 7 辛胃而的函数；b ( “) 为向量值函数，满足j b ( ) jsk 4 ，k ，卢为某确定的数，且k 0 ，卢o i 初值“。l q ( n ) 利用退化抛物方程的正则性理论、g a l i a x d o n i r e n b e r g 不等式、m o s e r 迭代技巧及a u b i n 紧致性引理我们得到了解的存在性及梯度估计 其次，利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理、m o s e r 迭代技巧我们讨论了满足d i r i c h l e t 边 值条件的另一类带有非线性对流项m l a p l a c i a n 型发展方程 毗一d i v l v u l “v u ) + b ( u ) v u = ，( z ，t ) “o i nq 砘1 u ( x ，t ) = 0 o y ia nx 瓞1 “( z ，t + u ) = t ( z ，t ) i nqx r l 周期解的存在性与梯度估计其中q 为嗵“中具有光滑边界的有界区域，u 0 ，m o ； ，( 。，t ) 0 是关于t 周期为u 的函数 关键词：平均曲率型m l a p l a c i a n 型非线性对流项周期解存在性梯度估计 m o s e r 迭代退化抛物方程 a b l s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c ea n dg r a d i e n te s t i m a t e so ft h es o l u t i o n so r p e r i o d i cs o l u t i o n st ot w od e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t han o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r m - f i r s t l y , w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h em e a nc u r v a t u r e t y p ee q u a t i o n sw i t han o n h n e a rc o n v e c t i o nt e r m u t d i v ( a ( i v u l 2 ) v u ) + b ( “) v u = 0 岱n ，t 0 u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) 茁n ；“( z ，t ) = 0z a n ，t 0 w h e r eqi sab o u n d e dd o r n a i ni nr nw i t hs o m es m o o t hb o u n d a r ya q o ( 1 w 1 2 1i saf u n c t i o nl i k e i 丐：i l f i 茗芦，a n d b ( “) 1 san o n l i n e a rv e c t o r6 e 1 48 “。“h 8 i b ( “) i 茎2l “1 4w i t hs o m e o “8 t 臼20 f o rt h ei n i t i a ld a t a “ow eo n l ya s s u n l eu o l 9 ( q ) u t i l i z i n gt h et h e o r yo fd e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n ，g a l i a r d o - n i r e n b e r gi n e q u a l i t y ，m o s e rt e c h n i q u ea n da u b i nt e c h n i q u e ，w e o b t a i nt h ee x i s t e n c ea n dg r a d i e n te s t i m a t e so ft h es o l u t i o n s s e c o n d l y , b yl e r a y - s c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e ma n dm o s e rt e c h n i q u e ，w ed i s c u s s t h e e x i s t e n c ea n dg r a d i e n te s t i m a t e so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h ee v o l u t i o nm - l a l a c i a ne q u a t i o n s w t han o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r m u 一d i v i w l m v u ) + b ( u ) v u = ，( z ，t ) 钍。 i nn r 1 ( o ，t ) = 0 “( 贯，t + “j ) = “( 石，t ) o na q 瓞1 i nq 皿1 w h e r eni sab o u n d e dd o m a i ni n 黔w i t hs m o o t hb o u n d a r ya qa n d 0 ，m o ；f ( x ，t ) 0i s p e r i o d i ci ntw i t hp e r i o du 0 k e y w o r d s ：m e a nc u r v a t u r et y p ee q u a t i o n ；m l a l a c i a nt y p ee q u a t i o n ； an o n l i n e a r c o n v e c t i o nt e r m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；e x i s t e n c e ；g r a d i e n te s t i m a t e ；m o s e rt e c h n i q u e ；d e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n i i 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学俄论文独创性声明 本人声明所星交的学位论文是我个人农导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 巢+ 霉我所知，除了文中特别加浚标疆和致谢的媲方矫，论文中不截含其他人已缀发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获禧东囊大学或其它教育机l 句的学位或诞书面使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了游塞。 = 、关于学位论文使用授权的说明 签名；垒3 至骜日期：叟：! ：! z 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家爆书馆有权保霹本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他簸制手段保存论文本人电子文档的内 容稷纸爨论文黪凑容攘一致。除在缳密絮瘫戆保密论文羚，龛许论文被套阕秘爨瓣，可 以公布( 包括刊鼗) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊髓) 授权东南大学研究生 虢办理 签名： 越导师签名： 日期：堕：! ：1 2 杀彳 赁 筹一章绪论 非线性退化抛物方程作为偏微分方程领域中的一个重鼹分支，来源予自然界中广泛 存在的扩散现象渗流理论、生物化学理论及半导体物理镣领域中的许多问题都可以厢 这类方程来接述+ 攘对于绞毪方程彝不巽逯纯缝凌其它奄辩蛙懿菲线瞧方程嚣言，一方 面，非线性退化方橼能够更精确地反映某些物理现象的实际，例如扰动传播的有限性等； 另一方面，退化性的存在也使得研究的内容更加丰富多彩因此，几十多年来，这类方程 的礤突教萼| 了基起铃众多魏数学王雩# 考，劳曩敬缮诲多弓| 入瞩嚣豹进嶷。 本文的匿的在于利用逯他撼物方程的正劐性理论、m o s e r 迭代技巧等数学方法，对 非n e w t o n 流体渗流过程中出现的两类退化抛物方程解的存在性进行较深入的研究，并给 出鳃的蔗剜性及梯发镄计 1 1 方程的实际背景 本文讨论篾有瓣明物理背最，又有丰富疆论内涵静典黧方程，邸默 一d i v 1 w l “v + b ( u ) v u 一0( 1 1 ) 为 弋裘鹣菲n e w t o n 多毳渗流方鼷 方程( 1 _ 1 ) 在m 0 时具有遐化性我们将在后面的两章 中分别讨论这两种情形 壤孑罨摇窭戆是，这秘劳对浚磺懿逯豫弦秘方程竣曩寒攘逑菜些爨滚、运输滚、金融 模型，而且这类方程还是组成用于描述油罐中两个相变流以及在工业上描述固液分离的 沉积道程方程组的个重要部分目前，一批从事数值计算的数学工作街对这类问题产 生了浓厚鳃兴趣，羚= 燕数篷计算方整齐展了谗多璎究工俸 下雨我钌来及渗流阕遂推导方程( 1 1 ) 设有一种不可臌液体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中流动，由质撼守恒律与d a r c y 律，搿 塞砌v v = 。 ( 1 2 ) v = 一k v 曲 ( 1 3 ) 其中v 袅渗流速度，8 表夯凌懿乳蒎率，k 为泼导系数，垆为总位势 1 东南犬学硕士学位论文 2 假设吸附作用、化学作用、渗透效应积热效应都可忽略，则咖可袭艘 舌= 妒十岩( 1 4 ) 右端母是由于毛细管作用而产嫩的吸引而引怒的静力学位势，z 为重力位势，这里我们 取黛拣( 。，y ，。) 楚z 辘垂壹悫土 联合( 1 2 ) ，( 1 4 ) 可得 警= d i v d y e + 笔 5 ) 其中d = kd 妒d 8 晒数d 与通常是餍经验公式给出静，对于幂律流体，可取 d = a i v o i k = b o b 其中蠢、b 、多湾为正懿常数，m 一1 将上述d 与k 的表达式代入( 1 5 ) 式，并适当选取自交摄的尺度，即得 魄一d i v l v o l ”v o + b ( 0 ) - v 0 0( 1 , 6 ) 1 2 解的存在性与臌则性及相关问题 编徽分方程懿蒺奉 霹瑟之一怒磅究各耱耪逡篷阉遂薅瓣存在缝，瑟逐诧静黎其它鸯 性的方程一般不具肖古典解，s o b o l e v 空间的引入为求解初边值问题提供了有效的途径 研究选类方程的第一步就是选取适合于方程特点的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空间 寒定义广义勰，褒遮为广泛戆爆数类申寻求方程鹣舞，磐聚在这襻遮取瓣函鼗空阗审辩 不仅激存在的而鼠建唯一的，那么这就是一个理想的函数窝间在得到弱解后，再谶 步讨论这些解是否舆有更高的光滑性，是否也是古典解，躐就是所谓的正则性问题凭 论是扶理论上还是从应霜上慧怒舞望毙找到使薅唯一的最鹅鲍茧数空阕，霹襻也希爨豫 遭最好的正鄹性如何，函数空间的选取还用于对各种逼近问题作必要的先验估计，也港 进一步研究解的性质的基础 髑期性扩散方程是非线性扩漱方程的一个重要分支，周期性因素如嬲季的更迭、潮 汐熬涨落、生禽酶繁衍等条释静影响，律淹鬻许多扩散褒象餍麓往扩散方程的磷究中 最基本的问题是周期解的存在性、周期解的个数和稳定性、周期特征值问题等早在上 个世纪七十年代，周期扩散方稷就已经引起了数学工作者的注意，近年来的研究工作见 文簌 1 5 2 露 东南大学硕士学位论文 1 3目前的研究进展及本文的主要结果 近年来，有关初边值问题 3 u t d i v o ( i w l 2 ) v u ) + 9 m ，v u ) = 0z n ，t 0( 1 7 ) 仙( 茁，0 ) = u 0 ( z ) x 52 ；“( o ，) = 0 d s 2 ， 0 ( 1 8 ) 解的存在性的研究已有许多结果，其中q 为砘“中具有光滑边界的有界区域 当o ( i w l 2 ) = 南时，d i v o ( i w l 2 ) v u ) 是微分几何中的重要算子一极小曲 面算子 n a k a o ，o h a r a 和c h e n 在文献 5 、 6 】中分别讨论了不含扰动项、含强扰动 g ( v u ) = 土l w l ”1 ( o 0 ) 时问题( 17 ) - ( 1 8 ) 解的整体存在性与梯度估计，但他们都是要求 较强的初始数据蛳咐栅( n ) 并加上了初值条件| | v u 0 足够小的约束本文将在第二 章中对区域附加一定条件后讨论含非线性对流扰动9 ( “，v u ) = b ( u ) y u 时问题( 17 ) ( 1 8 ) 弱解的存在性，并给出解及解梯度的估计其中b ( u ) 为向量值函数，满足l b ( “) j 茎川4 ； 为了得到我们的结果，我们对初值u 0 仅要求“o 口( q ) ，q 卢 对于非线性扩散方程周期解的研究近几十年来也非常活跃最近伍卓群等 2 2 】运用 拓扑度理论讨论了带有强非线性项( m + 1 a o( 2 1 ) 钍( 嚣，0 ) = u o ( x ) 搿f 鼍锚茹，t ) = 0 茹挣f ，t 0( 2 , 2 ) 其中n 为舯中具有光滑边界的有界区域； o ( i w l 2 ) 为一擞形如7 每嚣掰的函数；b ( ) 为良黧潼函数，滤照| b n ) | 女吲p ，声势菜稳定鹃数，且k o ，声o ；甥德“o 掣( q ) 。 对于类似问越，众多学者研究过解的整体存在性与不存在性当o ( 1v “i 。) = l v u f z 时，c h e n ，n a k a o ，和o h a x a 1 - 3 】分别对不同扰动项研究了巍初值“o 嚼伽m ) 或“o l q ，g 1 对问题( 2 。1 ) ，( 2 2 ) 解的静谯性，并得到了解梯度的玉。估计；z h 脚 4 | 讨论了鼹的 存在陡与不存在往。对予平均曲率辍方程：o ( 1 w l i 2 ) = 1 i 嚣搿，c h e r t ，n a k a o ，稍o h a r a 簪棚l 也进行了初步的研究，并得到了i lv “( t ) | 。的估计，但那里要求初始数据“o 州一o ( n ) ，且 【6 】要求| lv u o 照够小。本文烹爨研究问题( 2 1 ) ( 2 2 ) ，在较弱初始数据“o l q ，q 三n f l 毽霹敷竣骞一定要求辩褥嚣类稼络果。 物理上，方程( 2 1 ) 可用来袭示考虑重力影响、毛细现象、蒸发及透吸等因素时流体 在多子l 介质内的流渤现象，如地滕中的地下水、石油、天然气的运动等，其中u ( z ，t ) 波 承慕移慧义下单位多弦穷震悫懿含零量；秀b ( u ) tv u 接述獒速度爨b ( u ) 翡对滚终曩 目前，带该项扰动的稀疏介质型方程有所讨论，但对平均曲率型方程的缩果则鲜见，尤 其对问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 解和解梯度的五。估计的研究结果甚少， 5 垄塑奎兰堡熹堂堡堡塞 6 本章的主要目标是；在有界区域q 上建立问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 弱解的存谯性，对解和解梯 囊泠您估诗。注意翻主顼一d i v o ( i v - 1 2 ) v ，纛 审”l = 。o 餮雩澈逡 乏，这襻缭涯蹋遥远勰懿 收敛性帮来了困难文章采用j e 则化方法，用列非退化问题来逼近问题( 2 1 ) ( 2 2 ) ，由 偏微分方程古典理论得到正则化方程的一列，乜滑逼近解；然后利用g a l i a r d o n i r e n b e r g 不 等式程m a s e r 途代瓣簿遴符三。继诗；再改遽方法褥刭薅裙发瓣2 、妒以及五。蘩计， 特别嫩在t _ 0 + 时l v “i 的性态；由a u b i n 紧性结果得逼避解的极限即为原问题的褓 2 。2 准备知识与主要结果 为了简单起见，我们略去常厢函数空间的定义，用 和”，分另表示p = 驴( q ) 和w “，p = w ”1 p ( n ) 中的范数，在不混淆的情况下本文通常省去q 黄先绘出o ( v ) 、b f “) 移q 静假设： ( h 2 。1 ) 扣) c 1 ( 瓞+ ) ，取+ ； 0 ，。) ，满足下列条件： k o ( 1 + ) 一is 口扣) 董l ( 1 + ”)( 2 3 ) k o ( 1 十。) 一口扣) + 2 口) ”和| 口7 扣扣l 鬟k l d ( v )( 2 4 ) ；。盯( ”) ”sz ”盯( q ) d ”s z a ( ”) ” ( 2 ，5 ) ( a ( | | 2 一# | | 2 ) 。f r ) 0( 2 ，6 ) 其中，k l 为某藤常数，m 为菜给定常数 ( t t 2 2 ) b ( “) = ( 6 l ( ) ，6 2 ( “) ，吣( u ) ) 为定义柱瓞l 上的爬一值函数，满足： | b | s 尸( 2 7 ) 其中成2 为某一确定的数，胆0 ，也 0 t t 2 。3 ) q 为舻中其有光滑遗棼敬蠢界区域，q 戆取法楚褥下列式子成立： - t 2 如一1 ) 五：川舻2 v u l 3 出sz 川9 如 五。| 窜砰如g ( 二了斋如) 7 这里，我们令q 1 = 茁ni v u ( x ，t ) l 1 ) ，啦燃a a 1 ，m a x 1 ，菥端) 1 0 ，有 z 。点 一“纯+ 娟v 砰) v “v 妒十b - v 谚妇蹴 一五( 咖( 删) 一m 毗) 如 ( 2 - 8 ) 成立+ 其中b 墨) 一嚣b ( s ) d s 。 我们的主要结果如下： 定臻2 。l 。设( h 2 。1 ) 一h 2 。3 痰立，u 0 l q ( c t ) ，q 反赠瓣题2 ；1 ) 一( 2 2 ) 存壹唯一弱 解，满足： 豆衰船诗 珏( t ) 五麓( ( o ，o o ) ；l ( n ) ) nl 篇j ( 0 ，) ；砰苫2 ( n ) ) n 1 。, 。2 ( ( o ，0 0 ) ；l 2 ( n ) ) ( 2 ，9 ) “( 圳o 。c o t ，o t t ( 2 1 0 ) | | v u ( t 州2 5 c o t ，0 t t ( 2 1 1 ) f i i “。幢如s 岛r ”，0 t 3 ，且有估计 j i v t , ( t ) l l p q t 一如，0 0 ，m 1 ，b ，c 0 ，1 则 ( t ) a - 1 o ( 2 a + 2 b t l 一。) 1 。t 一 + 2 g ( a 十b t l 一) 一1 t 1 6 ，0 0 ，我们考虑逼近问题 i t t d i v 盯。( 1 v 1 2 ) v 札) + b ( “) v u = 0z n ，t 0 f 2 1 9 ) “( 。，0 ) = u o # ( 茁) q ； u ( z ，t ) = 0茁a n ，t 0( 2 2 0 ) 这里函数“o f 皤m ) ，且在空间l q ( q ) 有! i + m u o ，s = t t o 问题( 2 1 9 ) 一( 2 2 0 ) 是标准的拟线 性抛物型方程，由偏微分方程的古典理论知：对任意e ，其在 0 , o c ) 上具有唯一的光滑解 u e ( t ) ( 参见【9 ) 下面推导姚( t ) 的各种估计( 记u = ”。( t ) ) 命题2 1 设条件( h e 1 ) 一( 9 2 2 ) 成立，“o l q 若“( t ) 是( 2 1 9 ) 一( 22 0 ) 的解，则 “) 三。( r + ，l q ) 垄爨= 奎兰塑态：兰堡冀惑 9 谖：以 u r 2 “黎 2 i 鳓，再分郝积分，碍 ；象陋瞩十五如( 1 讥同v ”v 聃r 2 ”) 如+ 五b v “h 。q “如= 。 由 点匪f 飘妒) v n v ( i 卵吨珏 如2z ( 女。( 1 + 1 w 1 2 ) 手s ) f “v ( 1 珏 r 2 n 如 独( ) 上蒜j 卵。2 妣 三0 并j | ；f i 嘴 互b t 啦* v n 蚓。_ 2 “如= 互妻魏e * 渺r 2 珏器妇 = 娄五( z ”b i ( s ) n q s d ) 。如 = 厶吨s ) 如 t 2 i ” 0 1 得 ；象* 秘吼 。 定理得 正 口 鑫怒2 ；2 。若q t ) 楚 2 , 1 9 ) 一2 2 0 越辉，则 f i ( t ) l l 。s c o t 3 ，0 s t ( 2 2 i ) 遗黑a = 墨，骗为依赖于| | 咖t i g 的常数。 添泼| 7 t l p - - 2 慕f 2 。l ，褥 翔du 峻仙上焘v 棚( 旷妇。 避一莎，骞 临仙正( 舞丽+ ；汀v 卵，如 茎孥诳厕v * 窜辫l p - 2 珏胁 嗤j n 南粤n 锄 、l， 鑫 p 蓐 缸 毽 f。，皤，f；疋 芦 i i j i 壅塑奎兰堡童兰堡垒塞 1 0 跌两 ；磊d 黼；十硒五w v ( 1 卵q “) 如 譬互，v 删妒气胁雩上。l v u i v u v r 2 u ) 如 买审，n i 、f 1 2 瀚取法见( h 2 3 ) 移项，褥 抽坤川州，一雩) 五v u - v r 2 喇。s 务) 小r 2 | v 卵出 枣条释( h 2 3 x 我们每 ；扣旧”一害) 蛐叫知v 堋剑俐器 ( 2 - 2 2 ) 取p l g 显p n = 2 p u 1 ，t t , = 2 ，3 ，蒌l j 由g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，蠢 i m i 舳羔g 砉怕| | ；= 。| | v u 粤| | ；。，p “( 2 2 3 ) 其中 p2n(1-pn_ip二i)l 2 + nn + 2 ( 2 , 2 2 ) 中取p = p 。并由( 2 2 3 ) ，年譬 磊i 。d ；l l u 国| | 鼗苏1 s 一暑| | “腻- ( 1 - ，辩挚i i “l 嚣| l u ( 嗡 即 d l l “o ) 1 1 鼽+ _ c - - 2 o | uj o , l l u i i 茹风剑珏( 娜： ( 2 ，2 4 ) 这羹令反= 鲰# 一p 。= 2 8 9 。 下证，存在有界序列 靠) 殿收敛序列 h ) ，使得 “( 制p 。s & i “”，0 玉tf 2 。2 5 ) 鬻实上，n = l 时，取 l20 1 f 12 s 舢u p i i “o ) i i ，由命题2 1 知( 2 2 5 ) 成立若( 2 2 5 ) 对 n 一1 成立，贝0 由( 2 2 4 ) 剖dn 擘) i i ，。卜c f - 2 o 盛辂1 一胁i 1 2 9 0 - l i “( t ) i i 鲰 由引瑷2 2 知 | b ( ) | | m 2 a 。一l + 2 ，风+ 2 t ) 1 ，岛( 9 2 。晓i ) 1 7 一k ( 2 2 6 ) f 2 2 鼢 i 已堕盔堂堡惠堂焦鲨惠 即2 ，2 5 ) 对n 也成立，其中 车n ：= 岛一 2 c 2 ，搴( a n 十t ) p 。】1 ，禹，a n = l 盘q + n l ，咒= 2 ，3 ， 由参考文献f l o 中学i 理4 易得。l + i r a 。a 。= 菇，下面只需证矗，有界， 事实上，蠢 岛= & 一l 眵( 十2 n 日k l + 2 n 妒) ( 2 2 8 ) 鼠悉 = 两n i l f + 2 8 q a n _ l + 擎圆l 丽n1 n 槲2 8 + i - 1 ) 十2 ”q t d 丽n1 n p + 妒) 2 n + 1 3 l n 如墨1 n t 十1 n i u ( n + q t ) 警曼古2 警悫等) 妯鞋阳垌舟警塞警揽 涵t 。； 丽由d a t e m b e r t 拳蟒h 法知，级数墨学收娥一 口 2 4 解梯度v 札( t ) 的三2 恼计 下嚣黠2 ，l 眵( 2 2 0 ) 笼器辩躲裙褒v 珏翰避学信诗+ 命麓2 , 3 。若“( t ) 最( 2 1 9 ) 一( 2 , 2 0 ) 的辉，则 | | v “( 刈2 岛t “，0 0 为常数，进一步，以“乘( 2 1 9 ) ，樽分部积分，得 r d l v - 1 2 ；sk i 正a 。( ! v u l 2 ) i v - 1 2 d x 一一k l 酶u d x o i n t l 2 l “ 2 j 5 ； j n 因此，我们有 d r d l w 一+ 硼u 匿2 璎( | 舻u 固硎硼黎 z ，i 砚铲如+ 羔：i 耳r 赶尸如) 扭3 3 ) 由( 2 5 ) 、( h 2 3 ) 及前面命题的绪论知 墨r + c t x ( 2 - q ) + f 孙，翰t - 2 肼 z ，zj 钆”以e s ) 幽如+ 互。i v 妒如 。t 一2 p r e ( t ) + 2 k o ( ! i 7 器如) ) 一铆 r d t ) + 训2 丽1 + s ) 办出1 1 岛一2 雕阢( ) 十曙f ) ) 这里，我们简记r ( t ) = r e ( 1 v u l 2 ) 。由y o u n g 不等式，有 荔d 疋f # + 繇1 ( 2 一翠) + 瑶瓣国 一帮3 r ( ) 十i c 稼一莉+ 霹( 秘+ 岛t 一垫笃；擎：曲 由引理2 2 ，得 疋固虽( 2 + 2 谁一扩+ 2 c o t l _ 瓣) 一h 婶刊+ ， + 2 c o f l + ( 2 一q ) + + c o t h 肼1 t 一( 心翳蚰一1 i ，o t ? 由，y 的取法，知她譬掣一1 0 令 产2 悟雠二黧莓二囊麓二江。a ， 寿 n 托) c o t 一；8 。0 t r 结合条件( h 2 3 ) ，易得 | | v 牲( ) | | 2 0 b 一彝，0 0 慨幡d ss 岛t ，0 0 嚣 。( t ) + u ( t )在a 。( ( 0 ，。) ；l 2 ( f 2 ) ) 上 且有 蔗。( t 蛞) e d i v ( | v * 。( t ) i e ) v u 。0 ) 主x 在l l c ( ( o ，o c ) ；w l ，2 ( q ) ) 上 由于a 。是l 乞。( ( o ，。) ；孵2 ( q ) ) 劐_ l 己。( ( o ，。) ；w o - 1 , 2 ( n ) ) 的单调算子，赦出m i n t y 技巧， 易得( 见文献【2 ) ：) ( = 一d i v d ( 1 w 1 2 ) v “) 扶嚣， 珏) 魏凝羧 “ 瀵是2 8 ) 燕蕊嚣戆售嚣对n 磅赛成立，存在蛙褥 聂。 蔓塑盔堂要主主鱼鲨皇 1 4 下面证明解的唯一性 对于n = l ，2 ，我们定义对( s ) = 1 ，当n s l ；对( s ) = n 2 s 2 e 1 一鼎2 ，当0 n s 1 令g 。( ) = 詹g n ( s ) d s ，t 碾1 ，这里鼽( s ) 是时( s ) 在r 1 上的奇延拓那么，当l n s l21 时， 醇( 8 ) = o ；当l n 8 l 1 时，0 站( s ) 茎2 e s 设u 1 ( t ) 、u 2 ( t ) 是( 2 1 ) ( 2 2 ) 的两个解，记u ( t ) = t t l ( t ) 一“2 ( t ) 用鲰( ) 乘以( 2 1 ) ，得 丢五g n ( “( 踟如+ 上p ( 1 v u 1 2 ) v “一a ( 1 v u 。| 2 ) v u z ) v “g ：( “) 如 = 一( b ( u 1 ) 一b ( “2 ) ) v u 9 ：( “) d x( 2 3 6 ) 由( 2 6 ) 知，上式第二个积分是非负的进一步利用跏( u ) 的性质，我们有 l 溉五( b ( u ) 一b ( u z ) ) v “醇( u ) 出i 熙五i s i b ( “t ) 一b ( u 。川v u 阮( u ) 出= 。 因此，由( 2 3 6 ) 得羞l l u ( t ) 1 1 1s 0 ，即i i “( t ) 1 1 1 i u ( o ) 1 1 1 = o ，t 0 所以l ( t ) ；“2 ( t ) ，t 0 口 2 6 定理2 2 的证明 在本节中，我们来证明定理2 2 “( t ) 的存在性和唯一性与定理2 1 的证明相似，因此 我们只需对假定的光滑解来推导估计( 2 1 3 ) 式 命题2 5 若u ( t ) 是( 2 1 9 ) 一( 2 2 0 ) 的解，则 i i w ( t ) l l p q 一如，0 3 ) 乘( 2 1 9 ) ，得 ；墨l l w ( 圳；+ 五d i v 慨v u ) d i v 胛u r 2 v u ) 出 = 正b ( u ) v u d i v i v u l p - 2 v u ) 如 ( 2 3 8 ) 奎童查堂堡圭兰堡垒奎 1 5 由分部积分，有 d i v c r 。v u ) d i v i v u l 9 。v u d 。 j n = 一五 畦) 甜 i v y i p - ：u j ) 如+ 以n 以地h i v u j p - 2 u j 啊幽 = 五 a 柏b l v 卵- 2 嘶h 如一上。【 “t 州v “r 2 礼 一 a e 地h v u i p - 2 “j n j d s 2 n z b i v u p 嘶一( 一1 以n 口e 1 v 例。) 4 5j3 o 吒u ；b i w l p 。2 u j f i d x ( 23 0 ) j n 其中 以( i v j 2 ) - j a l w l p - 2 u j i = ( d j “2 j + 2 a e u 女“女j u t ) i v u l p 一2 u i j + ( p 一2 ) 1 w 1 9 4 u l u l i u j = l v u i p 一2o e 舀+ 2 a ：u k u k j u i u i j ) + ( p 一2 ) 1 w i 一4 ( u “t j “+ 2 f f l e u k u k j u i u l u l i u j ) i w , i _ 2 ( + 2 口 i v “1 2 ) l d 2 u 1 2 + 去p 一2 ) i v “i ”4 ( + 2 以l v “1 2 ) i v ( i v u l 2 ) 1 2 ( 1 + i v “1 2 ) _ 2 + 司 i w l 坤 d 2 u 卧去( p _ 2 ) l v u r 4i v ( i v y l 2 ) 1 2 ) ( 2 4 。) 又由( 2 7 ) 及y o u n g 不等式，有 ，b ( 。) v 。d i v i v 。i ”一2 v “) d z j n ( p 1 ) i b ( u ) l l v u l l w p 一2 i d 2 u l d x j n k l ( p 1 ) l u l 4 l w l 叫i d 2 u i d x j n s等(1+【v“门“2vuj r 2 i d 2 u 1 2 如+ c p 2 j nm | 2 1 v 训q 1 刊v 训2 ) 吖2 如 ( 2 4 ” n s z 由( 2 3 8 ) 一( 2 4 1 ) ，得 ；d l l w ( t ) l ”i k o 小邶奸) - 3 5 + e 1 w l 畔i d 2 u 同z + k 。o ( p _ 2 ) ， n i v y p 一4 ( 1 十l v “j 2 ) 一3 7 2 + e i v ( 1 w 1 2 ) 1 2 如 c p 2 | u 1 2 z l w l p ( 1 + 1 w 1 2 ) 3 2 d x j n 印2 五，i u p i v “i 出+ z 。i u p l 乳i 卅3 出) ( 2 4 2 ) 这里n l ，q 2 的取法同( 2 3 3 ) 进而，由命题2 2 得 ；d l l w ( 驯j ；+ 可c 1 忡i 钷。甜产雕( i i v u l l ；+ i i v u 嵝p + + 。3 ) ( 2 4 3 ) 奎翼奎兰堡圭兰堡塑壅 由g a 对i a r d o - n i r e n b e r g 不等式及h s l d e r 不等式，得 i l w l l 川冬g 钿u 峭护u t e 。z e ，。p 1 6 ：g ：( 五l v 训管帆 ) 刘1 。忡 砸2 0 。9 胁叫訾) 薯( 舯圳a 。) 寿r “忡l 懈9 g 铂v 。8 笋措酬l 尹躺忡1 皑9 其中0 ：4 n p 2 ( p + 3 ) 如一1 ) + 】再运用y o u n g 不等式及命题2 3 ，有 c b y 。一。口x 。i i 。川l i r p + + a 3 sg 。p 2 t - 2 p + + 3 1 - 0 “li l y 。；“ ；! ；5 i 署1 2 产盟l l i v u l 2 ：”+ 3 7 9 曼舄l l i v u i l i ； 2 + g t 一南【喏错+ p i i w l 懵+ q ( 2 埘) 由( 2 4 3 ) - 【24 4 ) ，得 ：d l l w ( 伽+ 2 pv 删；，。g ( t i i v ”l l ；十t ) 这里记xm a x 2 肼，南卜+ 锚错 ) 再由引理2 - 1 ，有 i i v 。i i ，茎c ；酬i 圳啦加 其中口1 ：( p 一2 ) 4 十一2 ) r 1 从而，由( 2 4 5 ) 得 扣u ( 邮+ c - 2 e 1 i i v u i j 少卉i i v u l l 妒 o ； b ( “) 为向量假函数，满足1 b 1skm 4 ，芦为莱确定的数；f ( x ，t ) 0 是关予周期为 u 的函数记q = q ( 0 ，w ) 对于方强( 3 1 ) 稳应黪初透篷阕题，诲多作者磅究避蘩的存在j 隧、唯一佳、不窍在性、 渐近行为及稳态等，觅文献【l 一4 ，8 】特别髓，陈才生等鞴研究了f ( x ，t ) = o ，u 0 l q ( f 2 ) ( 1 q 0 ：0 时解的存在性与唯一性，并给出了解及解梯度的五。估计；z h a o 4 】用凸 性方法讨论了髂的存在性慧不存在性褥关该类方程的鼹期解也有许多研究当b = 0 对，伍辜群等溯运焉荔扑发理论讨论了带有强 缓镌硬泓i 我 0 ，奠 o ，b 0 ，c 0 ，列 y ( t ) m & x 1 ，( a 一1 ( b + e ) ) 1 加) ) 3 3 定璎3 1 的证明 我们将用抛物难刘性的方法证明定理3 。1 即考虑正则化方程 毗d i v ( i w l 2 + ) m ，2 v + b ( “) v u = f ( x ，t ) u 。n ，t 0( 3 7 ) 其中8 0 ，则方瑕( 3 ，7 ) 满足( 3 2 ) ( 3 3 ) 的解魄( ) 的极限“( 曲即为问题( 3 1 ) - ( 3 3 )