（应用数学专业论文）平衡三角范数与平衡模糊关系方程的研究.pdf

中文摘要 摘要 平衡三角范数是三角范数的一种推广形式，是针对信息融合问题提出的一种 平衡算子。本文主要对平衡三角范数的性质进行了比较详细的研究，提出了平衡 模糊关系方程的概念，并对平衡模糊关系方程的求解问题进行了初步的讨论。 关于平衡三角范数的性质，本文主要从函数方程和半群理论两个方面对其进 行了研究。平衡三角范数作为一个二元函数，连续性是它的最主要的性质之一， 对此本文提出了平衡三角范数的连续性、单变量连续和左右连续的概念，并对它 们的关系进行了讨论。由于平衡三角范数的特殊性质，它们之间的关系也具有一 定的特殊性。从代数角度讲，r 是个平衡三角范数当且仅当( 卜1 ，l 】，正匀是一个带 有零化子( 零元) 0 的全序交换半群。所以类似于半群性质的研究，我们可以讨论 平衡三角范数的幂等元、幂零元和零因子。此外，我们还对平衡三角范数的单调 性、阿基米德性、极限性、平衡三角范数的构造、平衡反三角范数等进行了初步 的讨论。 关于平衡f u z z y 关系方程，本文给出了平衡f u z z y 关系复合的定义，从而引出 建立在此基础上的平衡f u z z y 关系方程。和经典的f u z z y 关系方程一样，平衡f u z z ) , 关系方程的求解问题也是主要的研究对象。因此，本文借鉴求解经典f u z z y 关系 方程的t s u k a m o t o 方法，对有限论域的极大一极小平衡f u z z ) , 关系方程、极大一 乘积平衡f u z z y 关系方程的求解过程进行了详细的讨论。 关键词：平衡f u z z y 集；平衡三角范数；平衡f u z z y 关系；平衡f u z z y 关系复合； 平衡f u z z y 关系方程 英文摘要 a b s t r a c t b a l a n c e dt r i a n g u l a rn o r mw h i c hi sa ne x t e n s i o no fc l a s s i c a lt r i a n g u l a rn o r mw a s i n t r o d u c e db yw a d y s l a w h o m e n d aa i m i n ga tr e s o l v i n gt h ep r o b l e mo fi n f o r m a t i o n a g g r e g a t i o n i nt h i sp a p e r , b a s i cp r o p e r t i e so ft r i a n g u l a rn o r m s a r ea n a l y z e di nd e t a i l a n dac o n c e p to fb a l a n c e df u z z yr e l a t i o ne q u a t i o nw i t hb a l a n c e dt r i a n g u l a rn o r mi s i n t r o d u c e d ，a sw e l la st h ep r o b l e mo fs o l v i n gb a l a n c e df u z z yr e l a t i o ne q u a t i o ni ss t u d i e d p r i m a r i l y t h ep r o p e r t i e so fb a l a n c e dt r i a n g u l a rn o r m sw e r es t u d i e df r o mt w or a t h e r i n d e p e n d e n tp o i n t so fv i e w ，n a m e l y ，t h ef i e l do f f u n c t i o n a le q u a t i o n sa n dt h et h e o r yo f s e m i g r o u p s c o n t i n u i t yi n c l u d i n gc o n t i n u i t y i no n ec o m p o n e n ta n dl e f t - ( r i g h t 9 c o n t i n u o u si ss i g n i f i c a n tw h e nb a l a n c e dt - n o r m sa r eb i n a r yf u n c t i o n t h e i rn o t i o n sa r e g i v e na n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e mw h i c hp o s s e s sp a r t i c u l a r i t yd u e t ot h ee s p e c i a l p r o p e r t i e so fb a l a n c e dt - n o r m sa r ed i s c u s s e di nt h i sa r t i c l e f r o ma na l g e b r a i cp o i n to f v i e w ，( 卜1 ，1 】，瓦9i sat o t a l l yo r d e r e dc o m m u t a t i v es e m i g r o u pw i t ha n n i h i l a t o r ( z e r o e l e m e n t ) 0w h e r et i sab a l a n c e dt - n o r m f i r s t l y ，i d e m p o t e n ta n dn i l p o t e n te l e m e n t sa n d z e r od i v i s o r so fb a l a n c e dt - n o r ma r er e s e a r c h e d 。t h e i ri n v e s t i g a t i v em e t h o d sa r es i m i l a r t ot h eo n e sw h i c ha r eu s e dt oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so fs e m i g r o u p m o r e o v e r ，i ti s n a t u r a lt oc o n s i d e ra d d i t i o n a la l g e b r a i cp r o p e r t i e sab a l a n c e dt - n o r mm a yh a v es u c ha s m o n o t o n e ，a r c h i m e d e a na n dl i m i tp r o p e r t y ，ag e n e r a lc o n s t r u c t i o nm e t h o do f b a l a n c e d t - n o r m sb a s e do na d d i t i v eg e n e r a t o r sa n dt h eb a l a n c e dt - c o n o r m s t h es e c o n dk e y s t o n ew i l lc o n c e n t r a t eo nb a l a n c e df u z z yr e l a t i o ne q u a t i o nb a s e do n t h ec o m p o s i t i o no fb a l a n c e df u z z yr e l a t i o nw h i c hw a sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r a st h e c l a s s i c a lf u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n ，t h ep r o b l e mo fs o l v i n gb a l a n c e df u z z yr e l a t i o n e q u a t i o ni si m p o r t a n t t s u k a m o t om e t h o df o rs o l v i n gs u p i n fa n ds u p - p r ob a l a n c e d f u z z yr e l a t i o ne q u a t i o ni nf i n i t ef i e l di ss h o w e d 英文摘要 k e yw o r d s ：b a l a n c e df u z z ys e t ；b a l a n c e dt r i a n g u l a rn o r m ；b a l a n c e df u z z y r e l a t i o n ；t h ec o m p o s i t i o no fb a l a n c e df u z z yr e l a t i o n ：b a l a n c e df u z z yr e l a t i o n e q u a t i o n 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果j 撰写成博硕士学位论文 竺垩煎三角整数皇垩笾撞糊差丕左程的硒究= = 。除论文 中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公 开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：盈堕堑芝 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，h p 大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论 文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式 出版发行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于： 保密口在年解密后适用本授权书。 不保密回( 请在以上方框内打“4 ) 论文作者签名：前磅眸导师签名：渺查 日期；应哆年多刖e l 平衡三角范数与平衡模糊关系方程的研究 引言 1 9 6 5 年，美国计算机与控制论专家l a z a d e h 教授提出了f u z z y 集的概念【l 】，开 创了研究模糊性和不确定性问题的理论和方法，迄今已成为一个比较完善的数学分支。 近四十年来，模糊理论与技术在模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊 评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面都形成了大量具体的研究成果， 同时其学术理论体系的不断完善也推动了应用数学、决策科学、管理科学与社会科学的 进步。 三角范数在模糊集理论中扮演着重要的角色，它的概念最初是由m e n g e r 于1 9 4 2 年 在研究统计问题时提出的【2 】，主要的观点是用概率分布而不是确切的数值来刻画所提问 题中的空间2 元素的距离。后来，s c h w e i z e r 和s k l a r 在2 0 世纪6 0 年代研究概率度量空 间时也涉及到三角范数和三角余范数的概念【3 一，并给出了它应具有的性质公理。概率 度量空间的重新定义，使这一领域得到了快速发展，许多关于三角范数的结论都是在这 一发展过程中得出的。至今，三角范数已被越来越多的领域所应用，三角范数本身也得 到了更多的发展与推广。 从经典数学的角度来看，三角范数理论有两个相对独立的根源，函数方程和半群理 论。在函数方程方面，连续的a r c h i m e d e a n 三角范数被人们广泛关注，其研究前景也比 较深远；而半群理论中的某些构造方法，如( 同构) 转化和序数和方法，已经被成功地 用来构造一些典型的三角范数族。在f u z z y 集理论中，人们仍然主要从这两方面对三角 范数进行研究，并获得了很多有意义的结果，如c l i m e s c u ，c l i 仃0 r d ，s c h w e i z e r 以及s k l a r 箜箜【5 ，6 】 寸寸 。 三角范数自身的发展也促进了它的推广和应用，如一致范数和零范数等都是由三角 范数推广而来的新算子【7 。9 】，并在一些领域起到了重大的作用。 目前大部分关于三角范数的研究都是针对【0 ，l 】区间上的算子来进行讨论的，这些算 子有一个共同的缺点就是不对称，而实际生活中许多问题需要有一个对称模型来刻画。 因此人们开始定义和研究一些新的算子，来弥补这一缺陷。例如：试图从对三角范数自 身的推广角度来解决这个问题的o w a 算子、对称和算子【l o ，1 1 】等，试图从负信息和信息 引言 的对称性角度来解决这个问题的双重f u z z y 集、直观f u z z y 集、粗f u z z y 集等【l 3 ，1 4 】。在 文献【1 5 】中，区间卜l ，1 】被考虑进来并赋予其上的算子一个类似于环的代数结构，这就为 平衡f u z z y 集的研究奠定了一定的代数基础。文献【1 6 ，1 7 q b 将真假值 0 ，1 ) 按比例推广 到 - l ，l 】，并对合成算子和信息融合做了进一步的研究和讨论，文中推广的合成算子与 本文研究的平衡三角范数有一个共同点就是将区域 0 ，1 x 0 ，l 】上的算子以( o ，0 ) 点对称 的映射到区域卜l ，0 】卜l ，0 】上。许多文章也就解决不对称问题提出了不同的方法【1 8 - 2 0 1 ， 但是都没有考虑到负信息，有些推广也不是很严密，并没有解决算子不对称和人们要求 对称的矛盾。 平衡f u z z y 集理论是w a d y s l a wh o m e n d a 在解决信息融合问题时提出的【2 1 1 。经典集 合到f u z z y 集的推广是将集中在 1 ) 这一点的正信息分布n 区n ( 0 ，l 】， 0 ) 点仍然代表负 信息。而经典f u z z y 集到平衡f u z z y 集的推广，则是在保持( 0 ，l 】区间上关于正信息的性 质的同时将集中在 o ) 点的负信息分布到卜l ，o ) 区间，并使正负信息关于 o ) 对称。 0 经典信息 1 1 专) w 励, 1 经典负信息 j r 一推广7一 r r1 r - 1 模糊负信息0模糊嗍 1 图l 平衡模糊集的推广方法 f i g 1t h em e t h o do fb a l a n c e df u z z ys e t se x t e n s i o n 平衡三角范数与平衡侧胡关系方程的研究 平衡三角范数 7 1 是平衡f u z z y 集理论中主要的研究对象，它是由三角范数推广而来 的一种平衡算子，记为凡f 在卜l ，0 l 卜l ，0 _ k f l a 公式月嘛y ) - - 如，训定义，其中厂 是经典f u z z y 算子。这样，两个负值在f 运算下的结果分布在【- 1 ，o 】区间上，即两个负 信息在f 作用下融合为负信息，而不同类型( 一正一负) 的信息融合后的正负性则不确 定，需要进一步的探讨。“平衡”为刻画负信息和信息的对称性提供了有力的工具，也 为解决实际应用中的许多对称问题提供了一种新的数学处理工具。 本文主要讨论了平衡三角范数的性质和平衡f u z z y 关系方程。关于平衡三角范数的 性质，从函数方程和半群理论两个方向对其进行了研究。首先，平衡三角范数是一个二 元函数，对于函数来说，连续性是它的最重要的性质之一，文中详细的讨论了平衡三角 范数的连续性、单变量连续及其左右连续。由于平衡三角范数所特有的性质，它的连续 性与弱连续性之间也存在着特殊的关联，文中比较具体的给出了这些关系的定理。从代 数角度讲，r 是一个平衡三角范数当且仅当( 卜l ，1 】，瓦9 是一个带有零化子( 零元) 0 的 全序交换半群。所以类似于半群性质的研究，我们讨论了平衡三角范数的幂等元，幂零 元和零因子。我们还研究了平衡三角范数的一些其它性质，例如：单调性，阿基米德性 和极限性等，并总结了所有这些性质的一些关联。本文还给出了一种构造平衡三角范数 的方法，利用加法生成元来构造连续的平衡三角范数，也简单的介绍了平衡反三角范数。 在模糊集理论中，模糊关系方程是一个十分重要的研究方向。模糊系统、模式识别、 模糊规划、模糊决策、数据挖掘和故障诊断等领域的许多问题常常归结为f u z z y 关系方 程的求解问题 2 3 , 2 4 。因此，本文对平衡f u z z y 关系方程也予以了关注。 平衡f u z z y 关系方程是由经典f u z z y 关系方程推广而来的建立在平衡f u z z y 关系复 合运算基础上的一种新类型的方程。w a d y s l a wh o m e n d a 曾经在文献【2 2 】中提到了平衡 f u z z y 关系复合的问题，但未做深入系统的讨论。本文给出了它的严格定义并由此引入 了平衡f u z z y 关系方程的概念，然后借鉴求解经典f u z z y 关系方程的t s u k a m o t o 方法， 对两种基本的平衡f u z z y 关系方程极大一极小型平衡f u z z y 关系方程和极大一乘积 型平衡f u z z y 关系方程的求解过程进行了详细的探讨，并给出相应的例子以便更清 晰明了的说明这两种方程的求解过程。 第1 章预备知识 第1 章预备知识 1 1 平衡f u z z y 集 1 9 6 5 年美国计算机与控制论专家l a z a d e h 第一次提出了f u z z y 集概念【l 】，对 c a n t o r 集合理论做了有益的推广，受到了广泛重视，迄今已形成一个较为完善的数学分 支，且在许多领域中获得了卓有成效的应用。 f u z z y 集么是论域x 至t j o ，l 】的一个映射，即 彳：x _ 【0 ，l 】，x i - - a ( x ) 此时，函数么表达了论域x 中的元素x 对f u z z y 集的隶属程度。 随着f u z z y 集理论的发展，f u z z y 集的推广也得到了深入的讨论和研究。平衡f u z z y 集出现在w l a d y s l a wh o m e n d a 的论文中【7 ，2 ，是经典f u z z y 集的一种平衡推广，目的是 用一个函数既能表达出一个元素对某个集合的隶属程度，又能表达出一个元素不隶属于 这个集合的程度。 定义i i ( 平衡f u z z y 集) ：设彳是论域x 到【_ l ，1 】的一个映射，即 a ：x _ 【一1 ，1 】，xh 么( z ) 称j 是x 上的平衡f u z z y 集，j ( 功称为平衡f u z z y 集的隶属函数。 例1 1 ：设论域x = 0 ，l o o ，按百分制来评判学生的成绩好坏，认为1 0 0 分为好， 6 0 分以下为不好。那么用经典f u z z y 集表示，彳的隶属函数为 f 00 x 6 0 ， 彳( z ) 2 兰= ! qz 6 0 l 1 0 0 6 0 这个集合只表达了学生的成绩为好的隶属程度，但是对于成绩为6 0 分以下的学生， 却没有给出一个详细的程度描述。为了全面分析学生的整体情况，我们也需要对6 0 分 以下学生的成绩做个评判，确定他们属于不好的程度。这时我们就可以用平衡f u z z y 集 彳来描述，彳( z ) 的隶属函数为 平衡三角范数与平衡模糊关系方程的研究 ly l l - 10 x 6 0 承加 鳖蹦。 1 1 0 0 6 0 显然，这个隶属函数既描述了学生成绩好的隶属程度也描述了不好的隶属程度。 z 上全体平衡f u z z y 集所构成的集合记为f ( 。如果a f ( x ) ，且a ：x _ 【0 ，l 】， 则j 退化为经典f u z z y 集，从而经典f u z z y 集可视为平衡f u z z y 集的特例。也就是说， 经典f u z z y 集么及其隶属函数么分别是平衡f u z z y 集与隶属函数的特例。反之，平衡 f u z z y 集彳及其隶属函数彳( x ) 是经典f u z z y 集及其隶属函数的推广。 1 2 平衡三角范数 1 2 1 平衡三角范数的概念 三角范数的历史起源于m e n g e r 的论文“s t a t i s t i c a lm e t r i c s ” 2 1 。当时是为了讨论统 计问题而提出的，后经s c h w e i z e r a n d 和s k l a r 的系统总结给出了我们今天仍在使用的三 角范数理论1 4 。目前，三角范数也是经典f u z z y 集中基本的运算工具。 三角范数是一个函数z 【0 ，l 】 0 ，l 】一【0 ，l 】，满足结合律，交换律，单调性及边 界条件即对任意的x e o ，l 】，有瓢1 ) = 戈。 三角范数的引入促进了概率度量空间理论的快速发展，同时许多学者也开始关注于 三角范数自身的研究及推广。平衡三角范数是三角范数的平衡推广，最早是由w l a d y s l a w h o m e n d a 针对信息融合问题提出的【7 1 。它的提出为解决实际应用中的对称问题提供了有 力的工具。 定义1 2 ( 平衡( 反) 三角范数) 【7 】：平衡三角范数和平衡反三角范数是一个映射 尸：卜1 ，1 】 - 1 ，l 】一【- 1 ，l 】，这里尸既代表平衡三角范数又代表平衡反三角范数，满足 下面的条件： ( t 1 ) p ( 口，e ( b ，c ) ) = p ( p ( a ，6 ) ，力) 结合律 c r 2 ) p ( a ，6 ) = p ( b ，交换律 ( t 3 ) p ( a ，b ) p ( c ，力，a c ，b d单调性 第1 章预备知识 ( t 4 ) 双0 ，曲= 口，a 【0 ，1 】 平衡反三角范数的边界条件 及l ，西= 口，口【0 ，l 】 平衡三角范数的边界条件 ( t 5 ) 尸 力= ( ，) ) 对称性 平衡( 反) 三角范数的定义是通过将经典( 反) 三角范数推广到卜1 ，1 】2 区域并加入 对称性而得来的。这样的推广使平衡三角范数保持了经典三角范数所具有的性质，并使 算子在区域【0 ，l 】2 和 一l ，o 】2 上具有对称性。 1 2 2 平衡三角范数的相关结论 根据平衡三角范数的性质，可以得出下面三个结论，它们对于后面一些定理及结论 的总结和证明起着重要的作用。 结论1 1 【7 】：定义在单位区域 o ，1 】2 上的平衡三角范数r 和平衡反三角范数s 分别等 价于经典三角范数t 和经典反三角范数s 。 结论1 2 7 1 ：定义在单位区均2 - 1 ，0 】2 上的平衡三角范数r 和平衡反三角范数s 分别 同构于经典反三角范数占和经典三角范数t 。 结论1 3 【7 】：在区域【0 ，1 】卜l ，0 】和卜1 ，0 】【0 ，1 1i - _ 的平衡三角范数丁的值为0 。 根据结论1 3 ，由于平衡三角范数在【o ，l 】卜l ，0 】和卜l ，o f o ，l 】上的值都为0 ，具有 一定的规律性，所以我们也称这样的平衡三角范数是正常形式的，本文主要针对正常形 式的平衡三角范数进行分析和研究，为了方便，文中统称这种算子为平衡三角范数。 1 2 3 四个基本的平衡三角范数 极小三角范数、乘积三角范数、l u k a s i e w i c z 三角范数、突变积三角范数是经典模 糊集中的四个基本算子，现在我们利用对称原则将它们推广到平衡区域卜l ，l 】2 上。 ( 1 ) 极小平衡三角范数： ，= 攀 ( 五y ) e o ，1 】2 ， ( x , y ) 卜1 ，0 】2 ， 其它 ( 2 ) 乘积平衡三角范数： 平衡三角范数与平衡模糊关系方程的研究 驰= ( x , y ) 【0 ，1 】2 ， 伍力【一i ，0 】2 ， 其它 ( 3 ) l u k a s i e w i c z 平衡三角范数 瓦c 毛力= t m 孑a ；n x 。( x + + y y + - 1 ，, 0 ) ( x ，力e o ，1 】2 ， ( x , y ) 卜l ，o 】2 ， 其它 f m i n ( x , y ) ( x ，y ) 【o ，1 】2 血= l 或) ，= 1 ， ( 毛y ) = m a x ( x ，y ) ( x ，茆卜1 ，o 】2 r x = 一l 或) ，= 一l ， l0 其它 根据定义1 2 ，可以证明上面的四个算子都是平衡三角范数。这四个算子作为最基 本的平衡三角范数将在平衡模糊集的研究中起到重要的作用。 1 3 平衡f u z z y 关系 在自然界中，事物之间存在着一定的关系。有些关系是非常明确的，而有些关系的 界限是不明确的，如“相像关系”、“朋友关系 、“信任关系”、“两数几乎相等， 等等。在f u z z y 集理论中，这些界限不明确的关系可以用直积上的f u z z y 集加以描述， 如果我们将经典f u z z y 集中所描述的信息看成是正信息，则区间【o ，1 仲的数值代表着正 信息的程度，而0 基本代表着“不相像”、“不是朋友 、“不信任 、“一数远大于 ( 或小于) 另一数 。如果我们从补充经典f u z z y 集不足的角度来考虑，“不想像”、 “不信任”一定也有程度，即使“不是朋友”也存在着某种程度的关联，而“两数不 相等”总有远近之分，这些可以称之为负信息的信息在经典f u z z y 集中被我们忽略掉了， 但是在某些环境中，它们却扮演着非常重要的角色。 为此我们引入平衡f u z z y 关系的定义，将某种关系的相关程度和不相关程度完整地 予以描述，以此来解决负信息被忽略掉的问题。 第1 章预备知识 定义1 3 ( 平衡f u z z y 关系) ：设置】，是两个论域，那么x 到y ( 或x 与】，之间) 的平衡f u z z y 关系r 是一个直积x y = ，力lx xy d 上的平衡模糊集，即r f ( x xd r ：x 】，_ _ l ，l 】 r ( x ，力表示x 与y 具有r 关系的程度。特别地，当x = y 时，r 称为x 上的平衡f u z z y 关系。 对于x 咒y y ，尺似力刻画了x 对于y 的相关程度和不相关程度。如果将尺限定 为x y 的经典模糊集，则此时r 即变为经典f u z z y 关系，所以平衡f u z z y 关系是经典模 糊关系的推广。我们将取y 上全体经典f u z z y 关系所构成的集合记为地，力，而全体平 衡f u z z y 关系构成的集合记为f c x , 力。 例1 1 ：设x = 缸l ，x 2 ，x 3 表示父辈的三个人x l ，砣，x 3 的集合，而】，= y l ，沈，y 3 ，y 4 y 寸 他们子辈的集合，若“相像关系 r e f ( x 玢是一经典f u z z y 关系，则 0 60 30 30 80 70 2 r = 一+ 一+ 一+ 一+ + 一 ( x i ，y i )( x i ，y 2 )( x 2 ，y i )( x 2 ，y 2 ) ( x 3 ，y 3 ) ( x 3 ，y 4 ) 岛= 只( 蝴( 净1 ，2 ，3 , j = l ，2 ，3 ，4 ) 表示劫对弦的“相像程度”，而没有写出的项表示相 像程度为0 ，即基本不相像，也就是把某些条件以下的都归类为“不相像 。但实际上 不相像也有一定的程度，如果我们希望能同时描述“相像程度”和“不相像程度 ，那 么就可以用平衡f u z z y 关系表示为： 0 6 0 30 30 80 70 2 尺= 一- i + 一+ + 一+ 一 ( x 1 ，y 1 ) ( x l ，y 2 ) ( x 2 ，y i ) ( x 2 ，y 2 ) ( x 3 ，y 3 ) ( x 3 ，y 4 ) 一o 4 0 60 20 90 80 3 一一i 一i - 一- 卜一- k 一 ( x l ，j ，3 ) ( x l ，x 4 ) ( x 2 ，y 3 ) ( x 2 ，y 4 ) ( x 3 ，y 1 ) ( x 3 ) y 2 ) 正的勘表示x l 对y t 的“相像程度”，而负的鳓则表示x i 对y t 的“不相像程度” 1 4 平衡f u z z y 关系的复合 在经典模糊集中，有许多方法定义经典f u z z y 关系的复合，最常见的是最大一最小 复合。 平衡三角范数与平衡模糊关系方程的研究 一般的，设q e p ( x xd ，r e p ( y 2 ) ，艇p 刁，若 “z ) e s 存在y e y , 使瓴力q 且饥z ) e r ， 则称关系s 是由关系q 与r 的复合，记作 s = q o r 即 q o r = 瓴z ) e x xz 1 3 y e y , g ，力e q , 戗z ) e r 用隶属函数表示，有 q 。尺( x ，y ) = v q c x ，力 r ( 而力 将上述关系推广到平衡f u z z y 关系，从而有平衡f u z z y 关系复合的定义。 定义1 4 ( 平衡f u z z y 关系的复合) ：如果q 是x 】，上的一个平衡f u z z y 关系，r 是】，z 上的一个平衡f u z z y 关系，则q 与r 的复合( c o m p o s i t i o nr e l a t i o n ) ，记为q 。尺， 是x z 上的一个平衡f u z z y 关系，其隶属函数是 q o 尺( 五z ) 2 鲁 2 ( q ( 毛力，r ( x ，砌 ，v x e x , z e z a 特别地，当s 为极大平衡反三角范数( 蚴，z 为极小平衡三角范数( m 时，称之为极大 一极小平衡复合。其中 = i ：搿 x + y 0 ， z + y 0 ， x + y = 0 根据乃s 的对称性，两个平衡f u z z y 关系复合后的关系函数也具有对称性，即vx e x , z e z ，有q 。r ( x ，z ) = - q 。r ( 一而一z ) 。 第2 章平衡三角范数的基本性质及其构造 第2 章平衡三角范数的基本性质及其构造 在第一章第二节中，我们介绍了平衡三角范数的定义，这一章我们主要研究它的性 质和构造。 2 1 平衡三角范数的自身性质 先从平衡三角范数定义本身看它都具有哪些性质。平衡三角范数需要满足的前四个 公理和经典三角范数相同，很显然的，由( t 3 ) 可知，平衡三角范数具有单调性；而根据 边界条件和单调性，对所有的x 卜l ，1 】，每一个平衡三角范数? 都满足 及o ，功= r ( x ，0 ) = 0 ； 再根据对称性，对每一个n 当a e 0 ，l 】时， 孔l ，回= a ，砰l ，力= 0 ； 当口卜l ，o ) 时， 及1 ，= 0 ，致一1 ，= 口。 2 1 1 两个平衡三角范数的比较 因为平衡三角范数是一个从区域卜1 ，1 1 2n 反n - 1 ，1 】上的二元函数，我们可以用通 常的方法来比较它们的大小。 定义2 1 ：设r l 和死是两个平衡三角范数，若对任意的 ，y ) 一l ，1 】2 ，有i 乃似 力is l 乃 力l ，则称乃比死弱( 或t 2 比丁l 强) ，记作l 死ls i 列。 容易验证，对所有正常形式下的平衡三角范数乃都有i 习 - i t m i ，即砌是最强的平衡三 角范数。而平衡三角范数7 k 是有界的，所以任个平衡三角范数丁都有界。进步，对四 个基本的平衡三角范数，有这样的不等式成立：l t d i i t l i n 时，有 a - 6 毋 口+ 占。若x = 口，则可知口是卜l ，1 】的孤立点；若x 口，那么a 的任意一个g 领 域内都含有无穷多个属- 于 - 1 ，1 】的点，则a 是 - 1 ，1 】的聚点。所以由a 组成的集合是一个闭 包，闭包是闭集，结论得证。 2 3 2 一些其它的代数性质 一些平衡三角范数还具有其它的代数性质，我们根据半群理论给出下列的定义和性 质。 定义4 5 ：对于一个平衡三角范数r ，考虑下面的性质： ( 因为丁在卜1 ，0 ) ( o ，l 】 和( o ，1 】卜1 ，0 ) 上恒有取力= 0 ，所以只考虑 - 1 ，o 】2 和 o ，l 】2 区域上的l 下面的性质限定 x ，y ，z 都是同号的) ( 1 ) 称丁满足严格单调性( 蚴，如果当x ，y ，z 同号且x 0 ，y z 时，有t ( x ，力 m ， 幻。 平衡三角范数的基本性质及其模糊关系方程的研究 ( 2 ) 称? 满足相消律( c d ，如果当z ，y z 同号时，若有酏力= t ( x ，力，则x = 0 b 或y 2 z o ( 3 ) 称2 满足黼消律( c c l ) ，如果当x ，y ，z 同号时，若有眠力= 酏力0 ，则 y 2 z ( 4 ) 称丁满足阿基米德性，如果对每个 力( 0 ，1 ) 2u ( - 1 ，0 ) 2 ，存在一个n e n , 使 l 毋hy l 。 ( 5 ) 称丁具有极限性质( 柳，如果对于所有的似力( - l ，o ) o ( o ，1 ) ，有。l i r a 。毋= o - 例2 3 ：( 1 ) 定义中的代数性质都与连续性无关：连续函数z k 说明了具有连续性不 代表具有其中的任何一个性质，而平衡三角范数【2 5 】 t ( x ，力= x y 2 x y 2 m i n ( x ，力 m a x ( x , 力 o 似”e o ，1 ) 2 ， ( 毛力( - 1 ，o 】2 ， ( x ，力 0 ，1 】 1 ) u 1 x o ，l 】， ( 而力 一1 ) 卜1 ，o 】u 卜l ，o 】卜l ， 其它 是非连续的但严格单调且满足相消律，说明具有定义中的任何一个性质也不代表具有连 续性。 ( 2 ) 平衡三角范数乃 - 1 ，1 】2 专 - 1 ，1 】：其中每个似力卜l ，0 ) 2u ( 0 ，1 】2 与一对严格递 增的自然数列( 0 5 加e ，如k e ) 一_ 对应，由自然数x 和y 的无穷并矢形式分别唯给出： x = 去和y = 去， n = l 二n = l 二 定义 t ( x ，力= 忑吾( x ，y ) e ( o ，1 】2 ， n = l - - z 2 而+ 相( x ，y ) 卜1 ，o ) 2 ， 0 其它 第2 章平衡三角范数的基本性质及其构造 n t 是严格单调的，在【o ，l 】2 区域上左连续，显然在卜1 ，o 】2 上右连续，但是在每一点如y ) e ( o ， 1 ) 2u ( - 1 ，o ) 2 不连续，而且不具有阿基米德性【1 碉。 下面给出这些性质之间的几个简单关系。 定理4 6 设丁是一个平衡三角范数，那么有 ( 1 ) r 是严格单调的当且仅当它满足相消律。 ( 2 ) 丁满足相消律，那么它满足条件相消律，但是反之不成立。 ( 3 ) 如果丁是连续且严格单调的，那么它具有阿基米德陛质。 ( 4 ) 丁具有阿基米德性当且仅当它有极限性质。( 在拓扑半群中，阿基米德性通常由极限 性定义。 证明：( 1 ) 从 一1 ，l 】中任取x ，y ，且使它们同号。 假设y 歹且酏力0 ，由t 的单调性有玳力撒，) 。根据相消律，若酏力= 砒 ，) ，n y = y + ，与假设矛盾，所以毗力 ，根据数列极限定义：若对任意的正数g ，总存在整数，使当n n 时有i 砖一0 i 0 时，由严格单调性，对所有的口 l ，有酏口) 酏1 ) = 口，与假设矛盾；当a 0 时同理。 所以z 只有平凡幂等元。 ( 2 ) 证明与( 1 ) 类似。 ( 3 ) 由于每个x ( - 1 ，o ) u ( o ，1 ) 都是r 的幂零元，即对任意的x ，总存在咒，使毋= 0 ， 所以对每个力( - 1 ，0 ) 2u ( 0 ，1 ) 2 ，都有i 毋l - 0 iyi ，即丁具有阿基米德性。 2 4 平衡三角范数的构造 我们知道，在研究三角范数时，它的构造问题一直是一个值得讨论的热门话题，而 最常见的就是利用加法生成元构造三角范数的方法，现在我们也利用这种方法，类似的 构造出平衡三角范数。在此之前，我们先介绍一下伪反函数的定义。一个函数若有反函 数，那么要求它必须是一一映上的，这样的条件要求比较严格，现在我们想将反函数推 广到更一般的情况，因此引出伪反函数的定义 3 1 , 3 2 】。 定义5 1 ( 伪反函数) ：设z 【a ，b 】_ 【c ，棚是一个单调函数，这m a ，6 】和【c ，明是实 数轴卜d ，佃】上的闭子区间，厂的伪反函数f c - 1 切：k 明- 【a 96 r , y 面的公式定义： f s u p x 口，b 】i 厂( x ) 厂( 6 ) ， 1 0厂( 口) = 厂( 6 ) 这罩s u p # = a 。 阿贝尔在1 8 2 6 年提出了加法生成元的基本概念【3 3 】，给出在一定的条件下，实数轴 上满足结合律的二元算子能由一个连续的，严格单调并且在其值域上关于加法封闭的一 元函数构造出。定义了伪反函数后，可以将这个结论推广到更一般的情况。此时，一元 函数不要求一定是连续的，一一映上的，关于加法封闭的条件也可以减弱。根据这种构 造经典三角范数方法，现在我们来构造正常形式下的平衡三角范数。 定理5 2 ：设， - 1 ，1 】_ 卜o 。，+ 叫是一个严格递减的奇函数r a l ) = 尺- 1 ) = 0 ，使当五y 0 ，l 】时，f ( o ) = l i m 。f ( x ) f 1 f ( x ) + 厂r a n ( f ) u 【厂( o ) ，叫；当x , y 卜1 ，0 】时， 第2 章平衡三角范数的基本性质及其构造 厂( o ) = ，l i m 。( x ) 且劝+ r a n ( f ) u - o o ，厂( o ) 】，下面的函数乃 - i ，1 】2 一卜1 ，1 是一个 正常形式下的平衡三角范数 啪，= k 八卅八力裟印 1 】2 u - 1 ，o 】2 其中，叫做平衡三角范数的加法生成元。 由函数川 1 】一卜，侧坝功= 仁三主篱) 俑4 捌c z 平衡三角范 数堋加二茎鼢产成乘积平衡三角范数；突变积平衡三角范数由 f 2 一x i ( 功= x 一2 1 1