（理论物理专业论文）激光光束通过含有硬边光阑光学系统的计算模拟.pdf

、，7 1 8 8 5 8 激光光束通过含有硬边光阑光学系统的计算模拟 理论物理专业 研究生刘雅静 指导教师季小玲教授 在光学中，对光束起限制作用的光学元件的边缘、框架或专门设计的带孔 屏都称为光阑。在激光的产生和传输过程中或多或少地要受到光阑的限制。实 际工作中，各种形状的光阑有抑制高阶振荡模式、空间滤波和光束整形等多种 用途。对软边光阑可用数学函数表示，例如高斯光阑的计算模拟问题比较简单。 但是光束通过含有硬边光阑光学系统的传输常得不到解析公式，需要直接从 c o l l i n s 公式出发作数值积分。大型复杂的光学系统光阑数目较多，数值积分将 变得十分困难，甚至无法在个人微机上完成。因此，对受硬边光阑衍射光束的 计算模拟成为激光光学中一个重要的研究问题。目前己发展了多种快速算法， 典型方法包括光束模式展开法、矩阵表示法、复高斯函数展开法、解析公式法 和递推算法等，其中矩阵表示法和复高斯函数展开法因其适用性较强而尤其引 起重视。本论文利用这两种方法研究了激光束通过含有硬边光阑光学系统的传 输问题。主要工作包括： l 、对高斯光束通过含有环形光阑的一阶a b c d 光学系统的传输进行r 研 究，采用将圆形域函数表示为复高斯函数叠加的技巧，推导出了解析的传输公 式。高斯光束通过圆孔和圆屏光阑的传输公式可作为我们理论模型的特例得出。 以高斯光束通过有光阑限制的薄透镜聚焦系统为例进行了数值计算。 2 、将复高斯函数展开法推广用于多光阑复杂光学系统，并采用b - - 0 成像 矩阵分解的技巧，对拉盖尔一高斯( l g ) 光束通过多光阑b = 0 光学成像系统和多 级空问滤波器的传输进行了研究，推导出了解析的近似传输公式，高斯光束的 传输可作为我们理论模型的特例给出。数值计算例表明使用我们的解析公式和 直接对c o l l i n s 公式作数值积分的结果基本一致，但可节约大景机时。 3 、对轴上光强为零的奇数模厄米一高斯( h g ) 光束通过含光阑系统的聚焦特 性作了洋细研究。采用复高斯函数展开法推导出了由环围功率法定义的束宽传 输的近似解析方程，并用数值计算例研究了光学系统和光束参数对光束聚焦特 性的影响。 4 、将矩阵表示法推广用于研究了贝塞尔一高斯光束通过多光阑复杂光学系 统韵传输，给出了用矩阵表示的传输公式，以光阑一透镜系统为例进行数值计算， 计算结果与直接由c o l l i n s 公式积分所得结果一致，矩阵表示法在菲涅尔区和夫 朗和费区都达到了足够的精度。 5 、以平顶高斯光束通过多个硬边光阑a b c d 复杂光学系统的传输为例， 分别用矩阵表示法和复高斯函数展开法推导出其对应的解析公式，通过大量数 值计算对两种方法进行比较。研究表明，矩阵表示法在菲涅尔或夫琅禾费衍射 区都很精确，但仅能用于轴对称光束和轴对称光学系统。复高斯函数展开法在 非常靠近光阑的近场处会有误差。两种方法与直接积分法比较都能节约大量机 时。 关键词：光束传输；硬边光阑：快速算法；复高斯展开法；矩阵表示法 2 n u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h e p r o p a g a t i o no f l a s e rb e a m s t h r o u g ha no p t i c a ls y s t e mw i t h h a r d e d g e da p e r t u r e s m a j o rt h e o r e t i c a lp h y s i c s g r a d u a t el i uy a j i n g s u p e r v i s o rj ix i a o l i n g i n o p t i c ，t h ee d g e o rf r a m eo fo p t i c a le l e m e n ti sd e f i n e da s a n a p e r t u r e i nt h ep r o d u c t i o na n dp r o p a g a t i o no fl a s e r st h e r ea r em o r eo r l e s sl i m i t i n ga p e r t u r e s i np r a c t i c ea p e r t u r e sw i t hd i f f e r e n ts h a p e sa r e a p p l l e d t o s u p p r e s sh i g h e r o r d e ro s c i l l a t i n gm o d e s ，a n dt or e a l i z e s p a t i a lf i l t e r i n ga n db e a ms h a p i n ge t c t h es o f t e d g e da p e r t u r et h a tc a n b ee x p r e s s e d b y m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n ，f o re x a m p l e t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no fg a u s s i a na p e r t u r ei se a s y b u tf o rh a r d e d g e da p e r t u r e ， a n d a n a l y t i c a lp r o p a g a t i o ne q u a t i o n c a n tb eo b t a i n e d w h e nb e a m s t h r o u g h s u c h t y p e s o f o p t i c a ls y s t e m w eo f t e ne a l e u l a t e f r o m s t r a i g h t f o r w a r di n t e g r a lo ft h ec o l l i n sf o r m u l a b u ti n c o m p l i c a t e d o p t i c a ls y s t e m s i n t e g r a lw i l lb e c o m ev e r yd i f f i c u l ta n de v e nc a n tb e f i n i s h e di ni n d i v i d u a lc o m p u t e r t h e r e f o r e t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f t h et r a m s f o r m a t i o no fl a s e rb e 锄st h r o u g hh a r d e d g e da p e r t u r e do p t i c a l s y s z e m si s o fp r a c t i c a l i m p o r t a n c e ，a n dav a r i e t yo ff a s ta l g e r it h m s w h i c ha r em o d ee x p a n s i o nm e t h o d ，m a t r xr e p r e s e n t a t i o n ， e x p a n s i o no f c o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o n s ，a n a l y t i cf o r m u l aa n dr e c u r r e n c ea l g o r i t h m h a v eb e e nd e v e l o p e d t h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o na n de x p a n s i o no fc o m p l e x g a u s sj a nf u n c t i o n sa r ew i d e l ya p p l i e d s oi m p o r t a n c ei sa t t a c h e dt ot h e m t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt o s t u d y i n gl a s e rb e a m sp a s s i n gt h r o u g h o p t i c a ls y s t e m sw i t hh a r d e d g e da p e r t u r e s t h em a i nr e s u l t sa c h i e v e di n t h et h e s i sc a r lb es u 岫a r i z e da sf o l l o w s ： 1 t h ep r o p a g a t i o no fg a u s s i a nb e a m st h r o u g hap a r a x i a la b c do p t i c a l s y s t e mw i t ha na n n u l a ra p e r t u r ei ss t u d i e d t h ea n a l y t i c a lp r o p a g a t i o n e q u a t i o ni sd e r i v e db ym e a n so ft h ee x p a n s i o no ft h ee i r cf u n c t i o ni n t o af i n i t es u mo fc o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o n s t h ep r o p a g a t i o ne q u a t i o n s o fg a u s s i a nb e a m st h r o u g hc i r c u l a ra p e r t u r ea n dc i r c u l a rs c r e e nc a nb e r e g a r d e da ss p e c i a lc a s ei no u rt h e o r e t i c a lm o d e l n u m e r i c a lc a l e u l a t i o n e x a m p l e sa r eg i y e nf o rt h ef o c u s i n go fg a u s s i a nb e a m sb ya na p e r t u r el e n s s y s t e m 2 b ye x p a n d i n gt h ea p e r t u r ef u n c t i o ni n t oaf i n i t es u mo fc o m p l e x g a u s s i a nf u n c t i o n sa n du s i n gt h em e t h o do fm a t r i xd e c o m p o s i t i o r l ，t h e c l o s e d f o r m p r o p a g a t i o ne q u a t i o n s o f l a g u e r r e g a u s s i a n ( l - g ) b e a m s t h r o u g ham u l t i a p e r t u r e di m a g i n gs y s t e mo f b ：oa n dm u l t i p l es p a t i a l f i l t e r sa r ed e r i v e d t h ep r o p a g a t i o no fg a u s s j a nb e a m st h r o u g hs u c ht y p e s o fo p t i c a ls y s t e mc a l lb er e g a r d e da sas p e c i a lc a s e i no u rt h e o r e t i c a l m o d e l n u m e r i c a le a l c u l a t i o ne x a m p l e sb yu s i n go u rf o r m u l aa r eg i v e n ， w h i c ha r ef o u n dac o n s i s t e n tw it ht h o s eb ys t r a i g h t f o r w a r di n t e g r a lo f t h ec o l l i n sf o r m u l a ，a n dc o m p u t i n gt i m ei sg r e a t l yr e d u c e d 3 t h ef o c u s i n g p r o p e r t y o fh e r m it e g a u s s i a n ( 1 t g ) b e a m sw h o s e o n a x i s i n t e n s i t y i sz e r op a s s m g a p e r t u r ei ss t u d i e di nd e t a i l t h e t h r o u g ha no p t i c a ls y s t e mw i t ha n a p p r o x i m a t ea n a l y t i c a tp r o p a g a t i o n e q u a l i o no fb e a m w i d t hd e f i n i t e db yg r e e n h a llm e t h o di sd e r i r e db ym e a n s o fe x p a n s i o no ft h eh a r d e d g e da p e r t u r ef u n c t i o ni n t oaf i n i t es u mo f c o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o n s t h ei n f l u e n c eo ft h eo p t i c a ls y s t e ma n db e a m p a r a m e t e r s o nt h e f o c u s i n gp r o p e r t y o fb e a m si sa l s os t u d i e dw i t h n u m e r i c a ie x a m p l e s 4 b yu s i n gt h em e t h o do fm a t r i xr e p r e s e n t a t i o n ，t h ep r o p a g a t i o n 4 e q u a t i o n s o fb e s s e l g a u s sb e a m st h r o u 【g h am u l t i a p e r t u r e dc o m p l e x o p t i c a ls y s t e m a r ed e r i v e d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ne x a m p l e s o f 8 e s s e l - g a u s sb e a m sp r o p a g a t i o nt h r o u g ham u l t i a p e r t u r el e n ss y s t e ma r e g i v e n t h e n u m e r i c a lr e s u l t s f i n d a n a g r e e m e n t w i t ht h o s e b y s t r a i g h t f o r w a r di n t e g r a lo ft h e c o l l i n sf o r m u l a t h ea d v a n t a g eo fm a t r i x r e d r e s e n t a t i o nm e t h o di sv e r ya c c u r a t ee v e n i nt h ef r e s n e lr e g i o no r f r a u n h o f e rr e g i o n 5 u s i n gt h em e t h o d so fm a t r i xr e p r e s e n t a t i o na n dc o m p l e xg a u s s i a n f u n c t i o ne x p a n s i o n ，r e s p e c t i v e l y ，d e r i y e s t h er e c u r r e n c ep r o p a g a t l o n f o r m u l a eo faf l a t t e n e dg a u s s i a nb e a mt h r o u g hm u l t i a p e r t u r e do p t i c a l a b c ds y s t e m s n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n i ti ss h o w nt h a tt h em a t r i x f o r m u j a t i p r o v i d e ss a t i s f a c t o r y r e s u l t si nb o t hf r a u n h o f e r a n d f r e s n e lr e g i o n s h o w e v e r ，t h i sm e t h o di ss u i t e do n l yt oa x i s s y m m e t r i c o d t i c a lb e a m sa n ds y s t e m s b yu s i n g t h ec o m p l e xo a u s s i a ne x p a n s i o n dis c r e p a n ci e se x i s ti nt h en e a rz o n ec l o s e rt ot h ea p e r t u r e b o t ho f t h et w o 【e t h o d sr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lt i m eg r e a t l yi nc o m p a r i s o n w i t h t h ed i r e c ti n t e g r a t i o n k e y w o r d s ：b e a m sp r o p a g a t i o n ；h a r d e d g e da p e r t u r e ；f a s t a l g o r i t h m c o m p l e xg a u s s i a nf u n c t i o n se x p a n s i o n ；m a t r i xr e p r e s e n t a t i o n 褒麓一，蔫勰磊。 图卜1 近似计算示意豳 z 式中e 。( 工，y ) 和e ：( x 。，y 2 ) 分别为源点p 1 与场点p 2 的场分布，p 为它们之间的 距离，波数k = 2 石五，五为波长，0 为积分面上源点处的法线与p 的交角， f l + c o s 0 ) 称为倾因子。但用它来解决实际问题数学上还是很困难，故还需对它 作某些近似。假定观察点p 2 离衍射屏的距离远大于衍射孔径三的线度，且衍 射屏与观察屏之间的距离z 远大于观察区域的线度。则两屏上任意两点间的距 离p 和衍射屏法线之间的夹角0 ，可分写成p ，c o s o = 1 。p 应用二项式展开， 忽略平方项以上的各项，满足条件 2 3 ； ( 石2 一 ) 2 + ( j 七一儿) 2 】。缸 ( 1 2 则得到菲涅尔衍射公式： 岛沁奶) 。丢e x p ( 池) 巾 ( 1 _ 3 ) e x p 尝：一柚2 + ( y - - ，- y t ) 二 ) 如方t 再进步增大：，满足条件 z _ , c 工1 2 + y 1 2 ) 。 ( 卜4 ) 则得到夫朗和费衍射积分 2 1 ： 最( b y ! ) 2 老e x p ( 概) e x p 【尝( 工：2 + y ：2 ) 1 州一幽) ( l j ) 棘p - 一( x 2 x l + 儿m ) 出l 匆1 但当源点所在曲面与所考查点间不是自由空间上述积分公式不能直接应 用。为解决这个问题，1 9 7 0 年c o u i n s 采用近轴矩阵光学的方法，对于轴对称 光学系统，只需用一个2 2 矩阵( 称为轴对称光学系统的变换矩阵或a b c d 矩 阵) ，若光线顺次通过矩阵表示为： 够= ( 三盖 ，肘：= ( 乏茏 n - 6 ) 的光学系统，利用乘法规则得到 m = ( 詈三 ：( 乏爰) 戛鲁) 光束通过由a b c d 矩阵元表示的复杂光学系统后的场分布可表示为： 疋( x ：，款) = 一- 嘉e x p ( i k l ) ；。le l ( x ，m ) e x p 蠢 m ，2 2 ) + d ( x 2 2 + y 2 2 ) 一2 ( x 2 x i - t - y 2 删嘲 即c o l l i n s 衍射积分公式 3 1 。 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 1 2 硬边衍射光束的计算模拟方法 由于光束通过含有硬边光阑光学系统的传输常得不到解析公式，需要直接 从c o i l i n s 公式出发作数值积分，耗费机时，因此对激光光束通过含有硬边光阑 光学系统的计算模拟成为了一个令人感兴趣的研究课题。目前已有多种计算模 拟方法，典型方法如下： ( 1 ) 光束模式展开法 1 9 7 2 年，k a z u m a s at a n a k a 等研究出了一种光束模式展开法【4 若入射场 为f ( r o ，o o ，z o ) ，则可将衍射场 ，( ，0 ，：) 表示为： v ( ，臼，：) = 2 n ( ! z l - z o ) e x p 【- i k ( z - z o ) j f ，岛，z o ，1 一 e x p 一忐 ，2 + r 0 2 2 r r oc o s ( o - o o ) r o d r o d o o l z z 0j 其中k ：2 石兄为波数， 为波长，其他参数如图i - 2 所示。再将光波入射场 f ( ，o o ，毛) 写垫竺。! ：! 旦! ! ) ，形式如下吲 只曲2j 煮e x p 【_ f “外) 】巩们n l q z r - ) e x p 卜去7 7 。r 2 + i 云f 而t a n 。f f i l 彳2 争2 j c 。s ( t o o ) ( 1 一l o ) ( m = o ，s 。= 2 ； m 0 ，s 。= 1 ) 式中 9 f = 掣k w o 一斋w o o l l 7 2 十善2 图卜2 光束模式展开法示意图 将( 卜l o ) 代入( 1 9 ) 整理并将其中的上。“( r i 0 2 r 0 2 ) 和l ( 砜z z 。) 进行能级 展开，就把衍射场表示成入射光束模式叠加的形式： u 。( ，0 ，z ) = c 。”v 。p ，目，z ) i i t 2 ) m n 以高斯光束通过半宽为a p 的p 个光阑光学系统为例加以说明f 6 。没在半宽 为a i 的第一个光阑= 处高斯光束场分布为： 。( r ，z ) ：鍪e x p 一汝( z - - z s ) 一去硌3 玎二r3 + f t a n 。善1 ( i - 1 3 ) 吖刀一 式中 盯：1 + 沾 ( 卜1 4 ) 其它参数见( 1 - 1 1 ) 式，：，为最小柬宽w ；所在位置。则第一个光阑后的场分布 表示为： u ( r ，z ) = c 翟妒蜜( z ) ( 1 1 j ) n = o 只取第一项则上式写为： u 1 ( ，z ) 。c 0 0 ( 1 ) y 0 0 0 ) 、z r ，z ) ( 1 1 6 ) 以此类推光柬通过第二个光阑后的场可表示为： 1 0 警 、，0 小 p + 一 阿 门 ，l。脚 f i ， r ，l m u 啦( ：) 。q ? c 譬蛾( ，= )( 卜1 7 ) 通过第p 个光阑后，光束模式眈：( ，z ) 的参数由光束束腰w ：一和其所在位置z 。t p ) 来表示，取l q 纠。的最大值 7 1 。再利用公式 f 厶2 c l p = 乞+ - ，7 州2 2 1 墨x 2j 2 ：；：2 麓乏卜2 ) “e x 2 p 二1 2 郎2 ( 2 r + p z z ! 分肛0 c - 砌， 【+ 7 7 p “口p ( 刁p 口p 2 + 叩p + 1 2 以p d ，2 + 7 7 p + l2 以p 2 ) 】= 、。 可得到解捧j 。即可求得高斯光束通过多个光阑的场分布。但这种方法要求每一 光阑均位于夫朗和费衍射区，光阑半径与场分布比较不是很小的情况下能达到 所要求的精度。 ( 2 ) 矩阵表示法 1 9 8 9 年，l u c i a n ov i c a r i 和f r a n c e s c ob l o i s i 等对轴对称光学系统研究了 种矩阵表示法f 9 j ，当圆对称光束通过受硬边光阑限制轴对称光学系统时，利用 h a n k e l 变换和贝塞尔函数的性质，可以将衍射积分公式写成有限个贝塞尔函数 之和，或矩阵乘积的形式。这即矩阵表示法的物理思想。 图卜3 中e l ，e 2 e d 是由a b c d 矩阵表示的光学元件，f 1 ，f l t f n 是由复杂函数表示的光学元件，每两个连续的滤波小孔之间用a b c d 矩阵l i ， l 2 l 表示，g 1 ，g 2 国+ i 是m m 矩阵，五，乃玮是表示滤 波小孔的m m 矩阵。若输入面r p m 的场为则输出面r p 。的场。表示为： f e 2b e p 誓。u t l 一n + - 一 虱 g n q 。 图卜3 矩阵表示法示意图 _ m，三|。，。，h f ， 4 ， - ejjiiiji - 邑oiij”0 肿：一： - 一 = = = 节卜g ，+ 1 = g o o 其中 g = g m 瓦x g x x g 2 正x g l 设圆对称光束在z = o 处的场为磊( ，0 ) ，且z = o 处有 则在z 处的场可表示为： e ( r ，：) = ( - 2 z k r 2 ) e x p ( i k z ) e x p ( i k r 2 2 z ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 半径为b 的圆孔光阑 。e o ( j k r ，o ) e x p ( 蝣侧k r ) 慌铲 2 1 ) 式中 ，j 1 分别为零阶和一阶贝塞尔函数，r 为某一设定值，。是零阶贝塞尔 函数的所有正零点，当， k g b z 时，e o ( 。z k r ，o ) = 0 ，凡+ 。是第一个满足 _ ，。+ k r b z 条件的第一类零阶贝塞尔函数的零点，因此，( 卜2 1 ) 式中的求和 运算截断到s = m 。 ( 卜2 1 ) 式可写成矩阵形式 e ( r ，z ) = t x e 。( 1 - 2 2 ) 式中 r 一豢e x p ( i k z ) e x p ( 喾) e x p ( 盯f z 2 k r 2 如佃刖肼二 ( 1 - 2 3 ) ( 卜2 1 ) ( 1 2 3 ) 式对z = o 面后为自由空间的菲涅尔和夫琅和费衍射区都是适用 的。对a b c d 光学系统，( 卜2 1 ) ，( 卜2 3 ) 式成为： e ( r ，z ) = ( - 2 i b k r2 ) e x p ( i k z ) e x p ( i k r 2 d 2 b ) 芝e o ( j ：日，k r ，。，e x 。c z 留2 a b 2 七尺2 ，。：! ；：；专；j ；产 e t z 。， r = 一繁e 删蛳x p _ i r 旷k d j 吲驴, ，z 删2 艘2 ) 蹦眠玎2 2 j ) 这一方法还可推广用于圆对称光束通过含多个光阑轴对称a b c d 光学系统的计 1 2 算模拟。 1 4 l2 1 j 墨08 哇 兰 0 6 04 o2 0 08 0 ? 06 0 - 5 墨04 3 = 03 02 0l 0 000 0 0 6 400 0l 2 8r m 12 0 8 o 迎 3 0 6 = 0 4 0 2 0 2 l8 16 t 1 j1 2 打 宵l 占 = 08 0 6 0 4 0 2 0 o00 0 0 800 0 t 6r m o1 00 0 0 8 00 0 1 6r m 图1 - 4 高斯光束通过一圆 l 光阑后在( a ) f = 9 4 ；( b ) f = i 8 9 ； ( c ) f = o 4 9 面上的横向和( d ) 轴上光强分布，“? 用( 1 - 2 2 ) 式 计算结果，”用c o l l i n s 公式数值积分结果 1 3 z ，m2 图卜4 给出了高斯光束通过z = o 处置一圆孔光阑后在不同菲涅尔数 f = b 2 ( 尼) 处的横向和轴上光强分布。计算参数为= l m m ，允= 1 0 6 u r n ， b = l m m 。由图知，无论在菲涅尔或夫琅禾费衍射区，与直接数值积分c o l l i n s 公式的结果都符合甚好。因此，矩阵表示法是一种可提供足够计算精度的算法， 但其计算精度与r 选取有关。r 取得越大，计算精度越高，但计算对间增加。 ( 3 ) 复高斯展开法 1 9 9 8 年，w 妇和b r e a z e a l i l o 】将半径口圆孔光阑的窗口函数c i r ( r ) 用有限个 ( 卜2 6 ) 式中系数f ，g 和项数见表i i 。显然，这一方法也能推广用于矩形光阑，对 应窗口函数为r e c t ( x ) 。( 卜2 6 ) 式的主要优点是：( i ) 已作最佳化处理，即用较 少的系数拟合c i r ( r ) 误差最小，耗机时也少；( j i ) 用( 卜2 6 ) 式代替硬边光阑窗 口函数代入c o l l i n s 后，对常见光束，例如平顶高斯光束，贝塞尔光束，贝塞尔 一高斯光束和部分相干光等通过含有个或多个硬边光阑a b c d 光学系统的传 输公式都能写为解析的形式1 1 1 1 1 m 1 ，使计算机时大为减少，并保证足够的计算精 度，仅在靠近光阑的近场( 小于o 1 倍的菲涅尔区) ，会有较大误差。 表1 - 14 、e 值 4 5 6 7 8 9 l o 1 4 蕊焉淼黜淼 一一一一一一一一一一 瓣瓣赫一 溢蒜湍嬲淼 00 511 52 图卜5c i r ( r ) 与拟合函数的实部和虚部 ( 卜2 6 ) 式与c i r ( r ) 的拟合见图1 - 5 。由图知，复高斯函数展开式的振幄和位相 都不能完全与c i r ( r ) 拟合，特别是在光阑边界( p 口) 处相差较大。这是产生计算误 差的物理原因。可以针对这一问题做一些改进，例如将c i r ( r ) 展开为傅立叶级 数和有限个复高斯函数之和的乘积形式 1 8 1 ，这样拟合误差可以进一步减小，因 此，计算精度得以提高。但因拟合公式的复杂化会造成计算时间的增加。 ( 4 ) 解析公式法 当有硬边光阑存在时，若c o l l i n s 公式可直接积分得到便于进行物理分析的 解析公式，数值计算变得简单。1 9 9 9 年，吕百达等对双曲余弦高斯( c h g ) 光 束传输特性作了研究，现以此为例加以说明。 设在z = 0 面上有场分布为f 1 9 i ： r 2，、 e ( x ，o ) = e x p ( 一) c o s h 心o x ) ( 1 2 7 ) 略 的c h g 光束，式中w 。和q 。分别为高斯振幅分布的束腰宽度和与双曲余弦有关 的参数。若在z = 0 面上有全宽度2 6 的硬边光阑，将( 卜2 7 ) 式代入c o l l i n s 公式直 接积分，得到双曲余弦高斯光束通过有光阑限制近轴a b c d 光学系统的解析 传输公式为【2 0 】： 2 l 8 6 4 2 o 2 l o 0 o 0 0 e ( z ，z ) 2 i 1 7e x p f ( 旁2 e x p ( 一了q oz “) e x p ( 刁2 织) 出矿( 望w 0 一参一朋一。矿( 一等一易一肛) 】 ( 1 _ n 8 ) z p w nj 2 p j?。 、1 + e x p ( - 7 7 2 耐壮矿( 等一易一艄一e r ，( 一等一荔一芦，) ) 式中 r l = 南2 协“，。丽q o 蒜，x = x w o , 口= 嘁 z 。， e r f 为误差函数。容易证明，在有光阑限制情况下，除双曲余弦高斯光束外， 对基模高斯光束，厄米一双曲余弦一高斯光束等也都可推导出解析传输公式。 ( 5 ) 递推算法 对某些光束，虽然直接积分得不到解析结果，但可以推导出计算通过硬边 光阑衍射后场分布的递推公式，作递推计算就得到解析结果。一个典型例为厄 米高斯光束2 ”。 设在z = o 处有场分布 e ( x ，o j = 月。( 坐_ f ) e x p ( 了x 2 ) 【l 一3 0 ) w 0 的二维厄米一高斯光束通过硬边光阑限制a b c d 光学系统，式中w o 为对应基模 高斯光束束腰宽度，为m 阶厄米函数。令m = o ，1 代入c o l l i n s 公式，直接 积分得到 酏加譬 ( 卜3 1 ) 加每阱( m 硝 _ e x p 例2 + f f - z z q f x ( 1 _ 3 z ) 式中 1 6 p = s ：j 去唧 ( q 2 一罢h d ：旦 。x b p f = e 矿( 6 尸一! 班) + 8 矿( 6 尸+ q x )( 13 3 ) 五为波长，与波数的关系为k = 2 丌五。若m 阶厄米一高斯光束的场e 。( z ，z ) = 0 ，l ，2 ) 已知，可以证明m + 1 阶厄米一高斯光束的场e 。( x ，z ) 可由递推公式 f ，、一2 - ( 2 q x e m ( x ，z ) 瓦如：) = 斧勘( 南，b 那， 一高以w o ) 鼬肌硝 - ( - 1 ) e x p 喇：3 ”铷 计算出来。例如，由( 卜3 1 ) ，( 卜3 2 ) ，( 卜3 4 ) 式得二阶厄米高斯光束的传输公式 为： 弘一加寿 - 4 ( 卯一q x ) e x p 【- ( 卯+ q x ) 2 j m 3 3 5 ) 5，m f j 一1 4 ( b p + q x ) e x p - ( b p q x ) 2 j + - f i f ( 2 一p 2 嵋+ 4 q 2 茗：) 此方法为严格的解析解法。 光束模式展开法，光阑只能位于夫琅和费衍射区不能位于菲涅尔衍射区。 解析公式法和递推算法能提供解析( 或形式上解析) 的传输公式，便于对影响 光阑衍射的物理因素作直观的物理分析。在近轴近似下利用解析公式能得到与 直接对c o l l i n s 公式作数值计算完全一致的结果，计算效率高，但能求解的光束 类型有限。对常见光束，使用复高斯函数展开法都能得到近似解析传输公式， 除在靠近光阑的近场处外，一般能保证计算精度，并兼顾计算效率。其计算误 差是因为用有限个复高斯函数之和不能完全拟合硬边窗口函数引起的。可通过 更好地拟合窗口函数来进一步提高计算精度。矩阵表示法仅能用于圆对称光束 1 7 亘脑 一 十 压 和轴对称光学系统。当取足够大的尺时，可保证计算精度，但以牺牲计算时间 为代价。r 的选取与光束的衍射发散程度有关，对多光阑光学系统，衍射光束 在不同位置光阑处的发散情况不同。 第二章高斯光束通过有环形光阑限制a b c d 光学系统的传输 自1 9 8 8 年，w e n 和b r o a z e l 提出用有限个复高斯函数之和来逼近硬边光阑 窗口函数的方法，使光束通过硬边光阑的变换可用解析公式近似描述，典型例 为d i n g 和l i u 研究的贝塞尔一高斯光束【1 “。之后，这一方法又用于研究了平项 高斯光束通过圆孔光阑限制的光学系统的传输b 2 】和高斯光束通过方孔光阑成 像系统的传输 砣j 问题。迄今为止，还未有将这一方法用于环形光阑的报道。本 章将圆形域函数表示为复高斯函数的叠加形式应用于环形光阑，对高斯函数通 过有环形光阑限制的一阶a b c d 光学系统的传输进行了研究，给出了解析公式， 将圆孔光阑及圆屏光阑作为特例进行研究并得出了传输公式。以光阑一透镜为 例，用我们的公式和直接对c o l l i n s 公式作数值积分比较说明本章所得公式的精 度及优点。 2 1 传输公式 设高斯光束在z = o 平面上的场分布为： e 1 ( ，o ) = e x p ( 一_ 2 w 0 2 ) ( 2i ) 其中w n 为高斯光束的束宽。 高斯光束通过环形光阑位于z = o 平面上的的一阶a b c d 光学系统时，其场 分布由柱坐标下的c o l l i n s 知公式给出： 以”) = 西ke x p ( 等屹2 ) fe x p 【毫一嘉开m ( 警) 幽 = 去e 坤( 等吃疆f e x 一【秀i k a 一订i 川2 。百k r l r , 蛾。 十f e x p ( 等一嘉汀m ( 警川 其中，乳b 分别为环形光阑的内、外半径，波数k = 2 z i 2 ，旯为波长，山为零 阶贝塞尔函数， a 、b 、d 表示光学系统的变换矩阵元素。半径为d 的圆孔函 数可表示为： f r k 1 _ 矗 ( 2 3 ) 日( _ ) 。 o 苏d “1 1 9 上式可展开为复高斯函数的叠加： 盹) = 喜们p 哮_ 2 ) ( 2 - 4 ) 其中4 ，毋分别为展开系数和高斯系数，可由计算材l 优化得剑。当朋2 1 ”“日 4 ，马值可见表1 - 1 。 将( 2 4 ) 式代入( 2 2 ) 式得到： z ) = 扣絮气2 ) 觊n = l f - o x p ( 五i c a 一百1 一墨b 2 砰 州警姚。) 一脚c 学一嘉一和m c 警 利用指数函数泰勒展开公式及贝塞尔函数相关公式 厶咿射h 嘉 佗咱 r e x p 汀“出= 赤 篮7 ( 2 5 ) 式积分简化为： 最( 乇翻鼍善纵去e x p ( 石1 2 ) 一i 1 “p ( 面1 2 ) 】 但喝 其中 p ：去哪等 = 篆一嘉一争， * = 丝2 b 一了1 一矿b n ，f 寺 2 啕 由( 2 8 ) 式得到轴上场分布为： e 2 ( 0 ，垆一面k 驴1 0 2 1 。 甍掣釜。时，( 2 - 8 ) 式过渡为高斯光束通过圜孔光阑限制的a b c d 光学系统 ( 1 ) 当萨o 时， 式过渡为高斯光束通过圜孑l 光喇限制酮a 乩u 7 。子承现 ( 2 1 1 ) ( 2 ) 当6 一。时，( 2 - 8 ) 式过渡为高斯光束通过圆屏光阑限制的a b c d 光学系统 的传输公式： e ：( ，2 ，z ) = 就一五1 e x p ( 石1 2 ) + 丢i o4 万1e x p ( 笔) 】 ( 2 一1 2 ) 其中 s = 一_( 2 1 3 ) 2 b w o ： 、 7 2 2 数值计算及分析 本章以高斯光束通过有光阑限制的薄透镜聚焦系统为例进行数值计算。设 光阑及焦距为厂的薄透镜位于z = 0 平面上，其光学系统的变换矩阵为： fa 竺1 ：1 止( 1 + & ) ，1 ( 2 - 1 4 ) l cd jl 一1 1 j 其中，业= ( z 一厂) 厂，相对于透镜的光束出射面距离为：。数值计算参数为 w o = l m m ， = 1 0 6 # m ，f = o 5 m ，数值计算结果总结于图2 1 至图2 - 3 ，其中买 线为用c o l l i n s 公式直接数值积分结果，黑点为分别用公式( 2 8 ) 、( 2 - 11 ) 和 ( 2 - 1 2 ) 式计算的结果。 图2 一l 、图2 2 和图2 - 3 分别为高斯光束通过受环形光阑、圆孔光阑和圆 屏光阑限制的薄透镜聚焦系统的光强分布曲线。图2 一l 至图2 - 3 中( a ) 给出的 是在距离光阑很近的位置径向光强分布，可见用本章方法计算的结果具有一定 的误差。图2 - 1 至图2 - 3 中( b ) 给出的是在离光阑稍远的位置上径向光强分布， 图2 - 1 至图2 - 3 中( c ) 给出的是在远场( 几何焦面) 径向光强分布，由图可知， 黑点与实线符合的很好。图2 - 1 至图2 - 3 中( d ) 给出的是轴向光强分布，可看 出只要是距离光阑不非常近，