（应用数学专业论文）无穷维hamilton算子的谱与特征函数系的完备性.pdf

无穷维h a m i l t o n 算子的谱与 特征函数系的完备性 摘要 本学位论文以无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系( 辛正交系) 的完备性为主题，围 绕着无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论以及完备不定度规空间中极大确定不变子空间的 存在性问题开展研究工作，从而拓广了s t r u m - l i o u v i l l e 问题以及按特征函数展开的求 解方法，为h a m i l t o n 体系下采用分离变量法提供了理论保障 无穷维h a n f i l t o n 算子特征函数系( 辛正交系) 的完备性问题足无穷维h a m i l t o n 算子理论以及无穷维h a m i l t o n 系统中的重要问题对于分离变量以后可导向s t r u m l i o u v i l l e 问题的偏微分方程，分离变量法是一种十分有效的求解方法但是，无穷维 h a m i l t o n 算子一般情况下是非自伴算子，因此在h a m i l t o n 体系下的分离变量法是否 适合和正确的问题显得格外重要然而以上问题的理论基础足无穷维h a m i l t o n 算子 特征函数系( 辛正交系) 的完备性问题因此，本文充分利用无穷维h a m i l t o n 算子特 征函数系的辛正交性以及一类无穷维h a n f i l t o n 算子的特征值正负成对出现的独特性 质，给出了一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系( 辛正交系) 的c a u c h y 主值意义下完 备的充分条件，在此基础上，对这类无穷维h a m i l t o n 正则系统采用c a u c h y 主值意义 下的分离变量法( 即，分离变量法采用c a u c h y 主值意义下的叠加原理) 得到了c a u c h y 主值意义下完备的解这一工作对于解决无穷维h a m i l t o n 正则系统的求解乃至一般 的偏微分方程的求解问题提供了新方法、新思想，具有极高的理论价值与实际意义 要解决更一般的无穷维h a m i l t o n 正则系统的求解问题，须考虑它所对应的一般 无穷维h a m il t o n 算子的特性，这个问题属于线性算子理论范畴我们知道，线性算子 的谱分析是泛函分析的重要组成部分，是线性算子理论的灵魂，它的中心课题是谱分 解理论因此，本文中把无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论放在了非常重要的位置，给出 了上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱集以及连续谱只和主对元有关的充要条件，从而 为彻底解决上三角型无穷维h a n f i l t o n 算子的谱补问题和谱扰动问题提供了必要的准 备；为了解决无穷维h a m i l t o n 算子生成强连续半群的问题，又给出了无穷维h a m i l t o n 算子只有纯续谱的充分条件除此之外，当系统导出的算子可逆时，对半解析法提供 了强有力的保障，此时，偏微分方程可化成常微分方程，因此无穷维h a m i l t o n 算子的 可逆性问题也显得很重要，而这个问题的本质足零点是否包含于正则点集的问题从 而，本文利用非负h a m i l t o n 算子的结构特性，运用内部项刻画了一般的非负h a m i l t o n 算子的可逆性问题，解决了非负h a m i l t o n 算子何时具有紧域解式的问题值得注意的 是，在刻画谱集的分布范围时数值域有着非常重要的应用，因为有界线性算子的数值 域闭包包含谱集，然而，最近发现，对有界线性算子来说二次数值域不仅是数值域的 子集而且它的闭包也包含谱集，因此，刻画谱集时二次数值域能提供比数值域更好的 信息基于以上原因，本文又研究了一类无界无穷维h a m i l t o n 算子的数值域和二次 数值域，并给出了不仅数值域的闭包包含谱集，而且二次数值域的闭包也包含谱集的 结论 本文还研究了完备不定度规空间中无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论不定度规空 问上的算子理论并不是h i l b e r t 空间上算子理论逻辑上的推广，而是有着深厚的基础 的它的应用涉及到物理学、数学及力学方面由于无穷维h a m i l t o n 算子的特殊性， 引进适当的不定度规以后无穷维h a m i l t o n 算子会变成不定度规意义下反自伴箅子， 而此时，它的性质与完备不定度规空间中自伴算子的性质非常接近，因此可以得到许 多有意义的结论在此基础上，本文又给出了无穷维h a m i l t o n 算子在完备不定度规 空间中存在极大确定不变子空间的充分条件 其次，自从h w e y l 在1 9 0 9 年发现有界自伴算子的孤立的有限重特征值集合与 w e y l 谱在谱集中的补集重叠以后( 即，著名的w e y l 型定理) ，j s c h w a r t z ，s b c r b e r i a n 等许多学者研究哪些算子满足w e y l 型定理，于是满足w e y l 型定理的算子范围不断 扩大但是，大部分成果均以有界算子为研究对象，关于无界算子的w e y l 型定理的 结论非常少见因此本文给出了具有扰动的无界自伴线性算子满足w e y l 型定理的充 分条件，仅而得到了紧算子满足w e y l 型定理的充分条件 全文分为七章，第一章介绍了选题意义和我们的主要工作；第二章给出了上三角 型无穷维h a m i l t o n 算子的谱的性质，并讨论了无穷维h a m i l t o n 算子特征值问题；第 三章是无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系的c a u c h y 主值意义下完备问题；第四章是非 负h a m i l t o n 算子的可逆性问题；第五章研究了一类无穷维h a m i l t o n 算子的数值域及 二次数值域的性质；第六章研究了具有扰动的无界自伴线性算子何时满足w e y l 型定 理的问题；第七章是完备不定度规空间中无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论以及极大确 定不变子空间存在性问题 1 1 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子，非负h a m i l t o n 算子，特征函数系，c a u c h y 主 值，完备性，数值域，二次数值域，可逆性，k r e i n 空间，极大确定不变子空间，谱， 点谱，剩余谱，连续谱，纯虚谱 分类号：( 中图) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b 1 1 1 s p e c t r u mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a no p e r 姐o r sa n d c o m p l e t e n e s so ft h e e i g e n f u n c t l 0 ns y s t e m s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so i lt h ec o m p l e t e n e s so ft h ee i g e n f u n c t i o n ss y s t e m s( s y m p l e c t i co r t h o g o n a ls y s t e m ) o fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n dr e s e a r c h e s i n t ot h es p e c t r a lt h e o r ya n do de x i s t e n c eo fm a x i m a ld e f i n i t ei n v a r i a n ts u b s p a c ei n k r e i ns p a c e ，w h i c hd e v e l o p e st h es t r u m l i o u v i l l ep r o b l e m sa n dt h em e t h o d so fe i g e n f u n c t i o n se x p a n s i o na n dp r o v i d e sat h e o r e t i c a lb a s i sf o re m p l o y i n gt h em e t h o do fs e p - a r a t i o no fv a r i a b l e sb a s e do nh a m i l t o n i a ns y s t e m s i nt h e o r i e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n di n f i n i t ed i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，c o m p l e t e n e s so ft h ee i g e n f u n c t i o n ss y s t e m s ( s y m p l e c t i co r t h o g o - h a ls y s t e m ) o ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si sv e r yi m p o r t a n tp r o b - l e m t h et r a d i t i o n a lm e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l ei se f f e c t i v et os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc a nb et r a n s f o r m e di n t ot h es t r u m l i o u v i l l ep r o b l e ma f t e rs e p a - r a t i n gv a r i a b l e s h o w e v e r ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o ri sn o n - s e l f a d j o i n t o p e r a t o ri ng e n e r a l l y , t h e r e f o r e ，t oe m p l o yt h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sb a s e d o nh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，t h ec o m p l e t e n e s so ft h ee i g e n f u n c t i o n ss y s t e m s ( s y m p l e c t i c o r t h o g o n a ls y s t e m ) o ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sm u s tb es o l v e d t h u s ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ec o m p l e t e n e s si nt h es e n s eo fc a u c h y p r i n c i p a lv a l u eo ft h ee i g e n f u n c t i o n ss y s t e m so ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a n o p e r a t o rb yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h es y m p l e c t i co r t h o g o n a l i t yo fe i g e n f u n c t i o n ss y s - t e r n sa n dt h e + p r o p e r t yo fe x i s t i n gr e a le i g e n v a l u e so rp u r ei m a g i n a r ye i g e n v a l u e so n l y a n da p p e a rp a i r w i s ea c c o r d i n gt op o s i t i v ea n dn e g a t i v e ，c o n s e q u e n t l y , w eg e ts o l u t i o n s o fc o m p l e t ei ns e n s eo fc a u c h yp r i n c i p a lv a l u e t h i sw o r k sg i v ean e wm e t h o da n d n e wi d e at os o l v ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e ma n de v e no r d i n a r yp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp o s s e s sh i g ht h e o r e t i c a lv a l u e sa n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e 1 v t os o l v em o r eg e n e r a li n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，w em u s ts t u d y t h ep r o p e r t i e so fg e n e r a li n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r ，w h i c hb e l o n g st o a r e a so fl i n e a ro p e r a t o rt h e o r y a sf a ra sw ek n o w ，s p e c t r a la n a l y s i so fl i n e a ro p e r a t o r i si m p o r t a n tc o m p o n e n to ff u n c t i o n a la n a l y s i sa n ds o u lo fl i n e a ro p e r a t o rt h e o r y , i t s c e n t r es u b j e c ti ss p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n t h e r e f o r e ，i nt h i sp a p e r ，w ea l s of o c u so n s p e c t r u mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o ra n do b t a i ns p e c t r a lp r o p e r t i e s o fu p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r ，w h i c hp r o v i d e sn e c e s - s a r yp r e p a r a t i o n sf o rs o l v i n gc o m p l e t i o np r o b l e ma n ds p e c t r a lp e r t u r b a t i o np r o b l e m o fu p p e rt r i a n g u l a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r ；t os o l v et h ep r o b l e m o fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o rg e n e r a t e sc 0s e m i g r o u p ，w ea l s oo b t a i n t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o re x i s t sp u r ei m a g - i n a r ys p e c t r u mo n l y ；i na d d i t i o n ，w h e nt h eo p e r a t o ri si n v e r t i b l e ，i tp r o v i d e t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n sf o rs e m i a n a l y t i c a lm e t h o da n dt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb e t r a n s f o r m e di n t oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h e r e f o r e ，t h ep r o b l e mo fi n v e r t i b i l - i t yo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o ri sv e r yi m p o r t a n ta n dt h en a t u r eo f p r o b l e mi sz e r op o i n tw h e t h e rb e l o n g st or e g u l a rs e t t h e r e b y , t a k i n gf u l la d v a n t a g e o fs t r u c t u r eo fn o n - n e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rn o i l - n e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r se x i s te v e r y w h e r ed e f i n e db o u n d e di n v e r s ea r eg i v e n i t i sw o r t hn o t i n gt h a tt h en o t i o no fn u m e r i c a lr a n g ei si m p o r t a n ti nv a r i o u sa p p l i c a - t i o n s ，s i n c ei tw a su s e dt oa sat o o li no r d e rt ol o c a l i z et h es p e c t r u mo fo p e r a t o r s ，t h a t i st os a y ，t h ec l o s u r eo fn u m e r i c a lr a n g ec o n t a i n st h es p e c t r a ls e t h o w e v e r ，r e c e n t l y h l a n g e rf o u n dt h a tt h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fb o u n d e do p e r a t o ri sas u b s e to f t h en u m e r i c a lr a n g ea n dt h a ti t sc l o s u r es t i l lc o n t a i n st h es p e c t r a ls e t t h u s ，i ng e n e r a l ，i tg i v e sb e t t e ri n f o r m a t i o na b o u tt h el o c a t i o no ft h es p e c t r u mo fb o u n d e dl i n e a r o p e r a t o rt h a nt h en u m e r i c a lr a n g e s o ，i nt h i sp a p e rw es t u d yt h eq u a d r a t i cn u m e r i c a l r a n g ea n dn u m e r i c a lr a n g eo fa c l a s so fu n b o u n d e di n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a n f i l t o n i a n o p e r a t o r sa n dt h ec o n c l u s i o nt h a tn o to n l yt h ec l o s u r eo ft h en u m e r i c a lr a n g e c o n t a i n s t h es p e c t r a ls e tb u ta l s ot h ec l o s u r eo ft h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g ec o n t a i n st h e s p e c t r a ls e ti ss h o w n w ea l s oi n v e s t i g a t et h es p e c t r a lt h e o r yo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si nc o m p l e t ei n d e f i n i t en m t r i cs p a c e l i n e a ro p e r a t o rt h e o r yi ni n d e f i n i t em e t r i c v s p a c ei sn o tal o g i c a lp r o m o t i o no fl i n e a ro p e r a t o rt h e o r yi nh i l b e r ts p a c e ，b u th a sp r o - f o u n dt h e o r e t i c a lb a s i s ，i t sa p p l i c a t i o ni n c l u d i n gp h y s i c s ，m a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s i nv i e wo fp a r t i c u l a r i t i e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，a f t e ri n t r o d u c i n ga p p r o p r i a t ei n d e f i n i t em e t r i c ，i tc a nb e c o m ea n t i s e l f a d j o i n to p e r a t o r ；t h e r e f o r e ， w ec a nd r a wm e a n i n g f u lc o n c l u s i o n s f u r t h e r m o r e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o re x i s t sm a x i m a ld e f i n i t ei n v a r i a n ts u b s p a c ei sg i v e n i n1 9 0 9 ，h w e y ld i s c o v e r e dt h a tc o m p l e m e n ti nt h es p e c t r u mo ft h ew e y ls p e c t r u m o fb o u n d e ds e l f a d j o i n tl i n e a ro p e r a t o rc o i n c i d e sw i t ht h ei s o l a t e de i g e n v a l u eo ff i n i t e m u l t i p l i c i t y t o d a yt h i sr e s u l t i sk n o w na sw e y l st h e o r e ma n di th a sb e e ns t u d i e d b yn u u l e r o u sa u t h o r s s u c ha sj s c h w a r t z ，s b e r b e r i a n ，a n de x t e n d e df r o mb o u n d e d s e l f a d j o i n to p e r a t o rt oo t h e rc l a s so fb o u n d e do p e r a t o r b u tm o s to fr e s u l t sa r ew e y l s t h e o r e mf o rb o u n d e do p e r a t o r sa n da b o u tu n b o u n d e do p e r a t o r sa r ev e r yr a r e h e n c ei n t h i sp a p e rw ec o n s i d e rh o ww e y l st h e o r e ms u r v i v e sf o ru n b o u n d e ds e l f - a d j o i n to p e r a t o r u n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o n sa n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fc o m p a c to p e r a t o rs u r v i v e s w e y l st h e o r e m a r eg i v e n t h i sp a p e rc o n t a i n ss e v e nc h a p t e r s i nf i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h es i g n i f i c a n c eo ft o p i c sa n d m a i nr e s u l t sw eo b t a i n e d ；i ns e c o n dc h a p t e rt h es p e c t r a lp r o p e r t i e s o fu p p e rt r i a n g u l a rh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r eg i v e na n dt h ee i g e n v a l u ep r o b l e m so f i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa r ed i s c u s s e d ；i nt h i r dc h a p t e r ，c o m p l e t e n e s si nt h es e n s eo fc a u c h yp r i n c i p a lv a l u eo ft h ee i g e n f u n c t i o n ss y s t e m s ( s y m p l e c t i c o r t h o g o n a ls y s t e m ) o ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si ss t u d i e d ；i n f o u r t hc h a p t e rw ei n v e s t i g a t et h ei n v e r t i b i l i t yo fn o n n e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ； i nc h a p t e rf i f t h ，t h ep r o p e r t i e so fn u m e r i c a lr a n g ea n dq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo f i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a n f i l t o n i a no p e r a t o r sa r ec o n s i d e r e d ；i ns i x t hc h a p t e r ，t h ew e y l s t h e o r e mf o ru n b o u n d e do p e r a t o r su n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o n si ss t u d i e d ；i nl a s tc h a p t e r w ei n t r o d u c es p e c t r a lt h e o r yo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si nk r e i n s p a c e k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，n o n n e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ，e i g e n f u n c t i o n ss y s t e m s ，c a u c h yp r i n c i p a lv a l u e ，c o m p l e t e n e s s j n u m e r i c a lr a n g e ，q u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g e ，i n v e r t i b i l i t y , k r e i ns p a c e ，m a x i m a ld e f - i n i t ei n v a r i a n ts u b s p a c e ，s p e c t r u m ，p o i n ts p e c t r u m ，r e s i d u a ls p e c t r u m ，c o n t i n u o u s s p e c t r u m ，p u r ei m a g i n a r ys p e c t r u m s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：( c l ) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b v l l i x r c r e ( 入) ，m ( a ) t 4 d ( t ) r ( t ) n ( a ) b ( x ，y ) b ( x ) b s ( x ) ( x ，y ) 恻i g t ) ( 丁) 盯( t ) 唧( 丁) 盯。( t ) 听( 丁) w ( t ) 主要符号表 单位算子 h i l b e r t 空间 实数域 复数域 复数a 的实部 复数a 的虚部 线性算子t 的共轭箅子 线性算子丁的定义域 线性算子t 的值域 线性算子t 的零空间，即集合 z d ( t ) ：t x = o ) 从x 到y 上的有界线性算子全体所组成的集合 空间x 上有界线性算子的全体所组成的集合 空间x 上有界自伴算子的全体所组成的集合 两元素x ，y 的内积 元素x 的范数 线性算子丁的预解集 线性算子丁的近似点谱 线性算子t 的谱集 线性算子丁的点谱 线性算子t 的连续谱 线性算子t 的剩余谱 线性算子丁的w e y l 谱 9 8 原创性声明 本人声明：所* 交的学位论文是本人在导师的指导卜进行的研究i ：作及取得的研究成 果。除本文已经注明引h j 的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得囱墓直太堂及其他教育机构的学位或证j 饽而使川过的材料。与我一同l ：作的同 ：基对本研究所做的任何贡献均已往论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日期： 指导教师签名：卫坌壑丝鱼 日 期：主歧立z f2 ：f 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使川学位论文的规定，即：内蒙古人学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部fj 送交学位论文的复印1 ；，l ：和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采刚影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学侮论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属丁- 内蒙古人学。作者今肝 使川涉及在学期间土要研究内容或研究成果，须征得内蒙古人学就读j ：| 间导师的同意；若川 _ 丁发表论文，版权单位必须署名为内蒙古人学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：乏牲 e l 期：甚! ! 曼，! 宣j 艚别币叛千习擅昀指导教师签名：! ! 兰! ! 二型 日 期：乏芝! 墨丝： 第一章绪论 h a m i l t o n 体系是由w r h a m i l t o n 本人从几何光学着手创建他的理论模式的，而 后他根据光学与力学之间的深刻联系，对经典力学进行了创造性的研究，得到了在经典 力学范畴内与n e w t o n 力学、l a g r a n g e 力学等价的又一种力学描述形式一一h a m i l t o n 力学h a m i l t o n 体系的应用领域极其广泛，包括结构生物学、药理学、半导体、超 导、等离子体、天体力学、材料和偏微分方程等量子力学创始人之一s c h r s d i n g e r 曾 说：“h a m i l t o n 原理已成为现代物理的基石如果您要用现代理论解决任何物 理问题，首先得把它表示为h a m i l t o n 形式”【1 j 1 1无穷维h a m i l t o n 算子的历史背景 h a m i l t o n 系统是h a m i l t o n 体系的数学形式，它包括有限维或无限维的特定形式 常微分方程( 组) 或偏微分方程( 组) 到目前为止，h a m i l t o n 系统可分为如下三种形 式： 第一种形式是经典h a m i l t o n 系统( 相空间维数为偶数) ，是由h a m i l t o n 本人为 了研究几何光学而建立的相空问为2 n 维的经典h a m i l t o n 系统的正则方程为 f d p a 冗( p q ，亡) 可d q 二一盈v 五- 1 ( 1 - 1 - 1 ) 1 面= 掣 _ _ 其中咒( p ，q ，t ) 是定义在开集q r n r n r 上的光滑实值函数，称为h a m i l t o n 函 数，它表示系统的总能量；p = 防。( ) ，p 2 ( ) ，( ) t ，q = f g l ( ) ，9 2 ( ) ，( ) 】t 分 别表示广义动量和广义坐标 方程组( 1 1 1 ) 还可以写成如下形式 警寸1 v 邺， ( 1 1 2 ) 其中引卿n v 郴一= v 洲即h 署，丛o z 2 ，穗丁小 三针厶为 n 阶单位阵，方阵j 是辛几何中的度量矩阵，它满足，q = 尸= - j , j 2 = 一1 2 n 考虑如下线性系统，咒= 互1z 丁s z ，其中s 是2 n 2 n 阶对称数矩阵，则式( 1 1 2 ) 变为 面d z = h z ，h = - j s 2 内蒙古大学博士学位论文 并且有 日= 瞄三丁 坞， 其中b ，c 是n n 对称矩阵，a 足任意n n 矩阵称日为h a m i l t o n 矩阵( 也称 为无穷小辛矩阵t 2 j ) 经典h a m i l t o n 系统正则方程的简单例子是在保守力学体系中将 n e w t o n 第二定律导向h a m i l t o n 系统其具体过程如下：保守力学体系中n e w t o n 第 二定律为 m 象= 一罾 用动量p = m 口代替速度，总能量表示为 h ( p ，q ) = t ) + y ( q ) = 去 ，m _ p ) + y ( q ) 于足得到h a m i t o n 正则方程为 o h o h p 2 一酉q2 丽 第二种形式是广义h a m i l t o n 系统( 相空间维数为奇数) ，是为了用与经典h a m i l t o n 系统类似的方法解决相空间维数为奇数的问题而引进的广义h a m i l t o n 系统足 p a u l i ( 1 9 5 3 年) 和m a r t i n ( 1 9 5 9 年) 分别独立发现的，广义h a m i l t o n 系统主要由广义 p o i s s o n 括号定义，而广义p o i s s o n 括号是把经典p o i s s o n 括号非退化性限制不予考虑 而得到的描述自由刚体定点转动的e u l a r 方程足三维p o i s s o n 括号上的广义h a m i l - t o n 系统事实上，刚体相对于固定在直角坐标系的三个角动量作为动态变量，则相 空间为 p r b = ( m 1 ，m 2 ，m 3 ) i r a i 为角动量) 竺r 3 在这个相空间上，刚体的运动由下面的e u l a r 方程所描述( 其中厶足主惯性) ： 疣，= 笺斧m 2 m 3 m 2 = 饼m 3 m l m 32 l l - l j e m l m 2 ( 1 1 4 ) 定义如下广义p o i s s o n 括号 f ，g ) r b ( m ) = - m ( v m f ) v mg 其中m = ( m ，m ，m ) t ，v 仇是梯度算子，此时利用刚体的能量函数h ( m ) = 薹l 瓦1 i 2 ，可以将方程式( 1 1 4 ) 改写为括号形式 m i = m i ，h r b ，i = 1 ，2 ，3 第一章绪论 3 这说明由刚体定点转动的e u l a r 方程是三维p o i s s o n 括号上的广义h a m i l t o n 系统 第三种形式足无穷维h a m i l t o n 系统，是为了用与经典h a m i l t o n 系统类似的方法 解决连续统力学的问题，诸如流体力学、弹性力学以及发展方程问题，其中包括k d v 方 程、s c h r s d i n g e r 方程、m a x w e l l 等方程而引进的引入无穷维h a m i l t o n 系统的另一个 目的足为了用算子半群理论研究一类数学、物理、力学中的偏微分方程2 0 世纪7 0 时 年代，发展方程的无穷维h a m i l t o n 系统的概念首次出现在在m a g r i 【3 】，v i n o g r a d o v 【5 1 等人的工作中在此基础上，o l v e r 在专著【7 】中对无穷维h a m i l t o n 系统理论作了专 门介绍 那么如何把有限维h a m i l t o n