（应用数学专业论文）一类不确定中立型时滞系统的鲁棒控制.pdf

0 。 例1 4 t 4 】e r g e n 在核燃料循环理论中遇到了时滞微分方程， 文= 一 ，口( ，- “堙( x ( 甜) ) 幽 2 一 产 、 t 第1 章绪论 其中x ( f ) 表示时刻f 的中子密度。1 9 6 4 年j j l e v i n 和j n o h e l 对此进行了改进和研 究。 例1 5 【5 】在考察信息网络的无损传输线连接问题时得到中立型模型 99 应( ，) 一k i k t 一= ) = ( “( r ) ，u ( t 一二) ) ss 从以上例子我们可以看到时滞微分方程在实际中有着广泛的应用。时滞微分方 程在人口理论、医学问题、生物学、经济问题、自动控制理论、物理学等等的多学 科的许多领域都有涉及，可见时滞的普遍存在性。由于时滞是系统不稳定的重要因 素，并且慢变系统大多存在时滞量，利用单纯的补偿办法并不能保证系统稳定，因 此研究时滞系统有很重要的理论意义和应用前景。特别，研究中立型时滞系统具有 重要的理论价值和实际意义。一方面，中立型时滞是一类更为广泛的滞后系统，大 多数时滞系统都可看作中立型系统的特殊情况；另一方面，许多时滞系统都可以转 化为中立型系统来研究，如标准时滞系统，标准分布时滞系统，无损传输线模型等。 中立型时滞系统大量地存在于工程实际中，如微波振子，船的稳定性，人口免疫反 应，涡轮喷气式飞机引擎系统，一个薄的运动体的连续热感应现象，以及血液中的 白蛋白分布等。 1 3时滞系统的发展及其研究现状 一直以来，时滞系统就是由泛函微分方程表示。自1 9 5 9 年后，较具体的微分差 分方程和一般的泛函微分方程发展都非常迅速，在多领域取得了重要的成果，如解 的基本理论、周期解理论、稳定性理论、振动理论、分子理论、解算子理论等。在 7 0 年代兴起的无界滞量和无穷时滞的泛函微分方程发展也非常迅速。：早在6 0 年代， 我国的一些学者就在泛函微分方程这个方向有一定的研究成果，例如秦元勋、刘永 清、王联在1 9 6 3 年出版的专著带有时滞动力系统的运动稳定性，由于某些原因， 被中断，直到1 9 7 8 年在青岛举行第一届微分方程会议，才又开始重视起这个方向的 研究来。然后第一届全国泛函微分方程会议于1 9 7 9 年在长沙举行，第二届全国泛函 微分方程会议于1 9 8 1 年在合肥举行，第三届全国微分方程会议于1 9 8 4 年在峨嵋举 行。通过这三次会议，极大地促进了泛函微分方程在我国的研究和发展。对时滞系 统的研究在8 0 年代中期以前只有零星的报道，直到9 0 年代才出现了大量的研究成 果。近年来，有部分作者在控制理论的专著( 如文献 6 8 】) 中把对时滞系统的研究列为 单独章节。 传统上对时滞系统的分类主要从以下描述的这几个角度，一是系统中所含时滞 的个数，含有一个时滞的为单时滞系统，否则为多时滞系统；二是看时滞是否与时 间有关，时滞与时间无关的时滞系统是常时滞系统，若不然就为变时滞系统；三是 3 河北科技大学硕士学位论文 判断系统中函数的性质，可以划分为线性时滞系统和非线性时滞系统；四是从时滞 的表现形式上，可以划分为离散型时滞系统和连续型时滞系统等。 我们知道，系统的稳定性跟时滞有密切关系，根据是否依赖系统中时滞的大小， 可以将稳定性条件分为时滞无关和时滞相关两类： ( 1 ) 时滞无关的稳定性条件：在给定条件下，对所有的时滞f 0 ，系统是渐近 稳定的。由于在给定条件下滞后时间对系统的稳定性没有影响，因此对于具有不确 定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析就很方便。一般情况下，时滞无 关的稳定性条件比较保守，因为要想系统满足时滞无关的稳定性条件，则对任意大 的滞后时间，都要求系统都是稳定的，显然，这样的要求比较强，尤其对小时滞系 统。相对的，时滞无关的稳定性条件条件也有其自身的优点：一、表述形式上比较 简单；二、由于可以允许系统的时滞是不确定的或未知的，从而对于系统时滞的信 息没有必要确切知道。关于这方面的研究始于二十世纪初，现在其理论成果已经比 较成熟。 ( 2 ) 时滞相关的稳定性条件：在给定条件下，对滞后时间f 的某些值，系统是 稳定的，而对滞后时间，的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳定性依 赖于滞后时间。一般认为，时滞相关稳定性结果比时滞无关稳定性结果具有更低的 保守性。然而，目前使用的时滞相关稳定性研究方法常常得到非常保守的结果，特 别是当应用于一个与时滞大小无关的稳定系统。现有的时滞相关稳定性结果在某些 情况下仍然太保守。时滞系统时滞相关稳定性分析和控制器设计的保守性的量测可 由所允许的时滞大小或者相应性能指标的乔限来判定。 在对时滞系统进行研究时主要有时域分析法和频域分析法这两种。频域分析法 主要适用于单输入单输出( s i s o ) 时滞系统，其中一种重要的分析参数不确定时滞 系统的稳定性的方法就是借助准多项式族。频域分析的主要研究成果可见文献 9 。 虽然频域分析方法在系统分析和综合时非常有效，但是对于时变结构不确定的时滞 系统就比较难处理。两相比较，在时域内分析时滞系统时，就可以解决处理时变和 参数摄动的问题，而且时域分析方法比频域分析法更易于计算，从而成为时滞系统 尤其是不确定时滞系统稳定性分析和控制器设计的主要方法。 早期在时域中研究参数不确定系统的鲁棒分析与综合问题的一种主要方法是 r i c c a t i 方程处理方法，应用求解r i c c a t i 方程处理方法可以给出控制器的结构形式， 便于进行一些理论分析，但在实施这个处理方法之前，一些待定参数需要被人为确 定，这些参数的选择会影响结论的好坏，更甚者会影响到问题的可行解。在近来的 一些r i c c a t i 方程处理方法中，对寻找这些参数还没有最佳方法，因此这种处理方法 给出的结果往往带有很大的保守性。另一方面，目前求解r i c c a t i 方程多用迭代法， 这种方法的收敛性并不能够保证，因此r i c c a t i 型矩阵方程本身的求解也存在一定的 4 一 、 第1 章绪论 问题。 在时域中研究时滞系统稳定性的主要理论基础是l y a p u n o v 稳定性理论，时域分 析法中对系统进行分析和综合的一种主要方法是l y a p u n o v 方法。在l y a p u n o v 方法 中又分为直接法和间接法两种。直接法就是不通过解方程，而直接应用线性矩阵不 等式( l m i s ) 方法构造出l y a p u n o v 函数( 泛函) ，然后应用l y a p u n o v 泛函来判断 系统的稳定性。由于m a t l a b 中提供的l m i t o o l b o x 软件包可以很好的解决线性矩 阵不等式的处理问题，因此线性矩阵不等式处理方法受到了众多学者的青睐。 l y a p u n o v 第二方法：选取适当的l y a p u n o v 泛函，直接应用系统状态空间方程 就可得到使系统稳定的充分条件。其优点是不需要求特征方程的根，对于大多数具 有无限谱的时滞系统，特别是具有无限不稳定谱的中立型时滞系统的研究变得比较 简单。而在l y a p u n o v 第一方法中涉及到寻找系统特征方程根的问题，只是对于简单 系统来说比较容易实现。 2 0 世纪9 0 时年代初，线性矩阵不等式再次受到控制界的关注是由于求解凸优化 问题内点法的提出，并在系统和控制的各个领域中广泛应用。许多控制问题可以转 化为一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，或者是一个线性矩阵不等式的可 行性问题。1 9 9 5 年，m a t l a b 中提供的l m i 工具箱可以可以使人们更加方便和有效 的解决线性矩阵不等式的处理、求解问题，更加快速地推动了线性矩阵不等式方法 在系统和控制领域中的应用。m a t l a b 中提供的l m i t o o l b o x 软件包给l y a p u n o v 第 二方法提供了强有力的研究工具。 由l y a p u n o v 方法给出的结果优劣经常地取决于选取的l y a p u n o v 函数的好坏， 其结果主要由线性矩阵不等式或r i c c a t i 矩阵不等式给出。如文 1 0 1 3 只是把时滞作 为非线性扰动讨论了线性系统的稳定性问题，利用r i c c a t i 矩阵不等式或者线性矩阵 不等式给出了系统稳定的充分条件，并对扰动界进行了估计。文 1 4 1 5 矛l j 用对线性 时滞系统的变换技巧，基于r i c c a t i 矩阵不等式得到了一些时滞相关性稳定性判别准 则。 时滞系统的另一种稳定性分析方法是代数方法，代数方法也是频域响应法，即 对于时不变系统，若系统的所有特征值位于复平面的左半平面内，那么该系统是渐 近稳定的，它基于l y a p u n o v 第一方法。这种方法要系统的所有特征值有负实部。 如文 1 6 - 2 1 】，其中文 1 6 】推广了凸方向的概念，利用基于凸方向概念边界理论构造超 越多项式( 时滞系统的特征多项式) 的测试集；文 1 7 禾l j 用频域法给出了使系统稳定 的滞后量的最大界；文 1 8 ，1 9 1 给出了一种使线性时滞系统稳定的最大滞后区间的计 算方法，得到了系统稳定的一个充要条件，说明了当前状态下系数矩阵的稳定性， 以及当前状态系数矩阵与滞后状态系数矩阵的和矩阵稳定是系统稳定的必要条件： 文 2 0 】讨论了线性时滞系统三种模型变换时产生的附加动态的一些性质；文 2 1 禾j j m 5 河北科技大学硕士学位论文 r a z u m i k h i n - t y p e 定理、l y a p u n o v 稳定性理论、g e r s g o r i n 定理( 矩阵的对角占优的 特征值定理) 研究了具有结构性扰动时滞系统的d 稳定性。 在应用频域响应法研究时滞系统时会变得复杂而困难，它具有很大地局限性。 我们来考虑标准线性时滞系统 文( f ) = 血( f ) + 4 x ( t - r ) 的渐近稳定性，则要求必须解特征方程 d e t ( 以一彳一4 p 一刖) = o 分析其特征方程可知得到它的解是非常困难的，因为是一个超越方程。当我们用这 种方法处理中立型系统时，得到的特征方程会更为复杂，尤其对于存在无限不稳定 谱的中立型时滞系统。 p o n t r y a g i n 稳定性方法我们把多时滞系统的特征方程写作 厂( z ) = 少# k = o j = o 在l s p o n t r y a g i n 给出的研究结果的基础上，r b e l l m a n 和k l c o o k e 描述了如上超 越方程的解。他们给出的这种方法取决于主要项。的存在性，如果a 。= 0 ，系统不 稳定。如果a n 。01 分离i 厂( 1 e o ) 为虚部和实部，即 f ( i c o ) = h ( c o ) + i g ( 缈) 假定乙+ 0 ，那么拟多项式是稳定的当且仅当h ( c o ) 和过g ( 缈) 有交错的实根， 且对于所有实的国，不等式 g ( 彩) 向( 缈) 一g ( c o ) h ( 彩) 0 成立f 1 7 】，而分解后的超越方程h ( c o ) = o 和g ( 国) = 0 的寻根问题，用分析的方法是不可 能实现的，只有利用数值的方法去解决。 t h o w s e n 方法【2 1 】应用这种方法我们可以将超越特征方程转化成非超越方程，且 非超越方程的纯虚根也是超越方程的根。但是此方法只适用于简单系统。 测试法f 1 7 】考虑有限个拟多项式的凸壳 nn ，= 厂( z ) = , u t 彳( z ) l 朋o ，l = 1 ，2 ，；m = 1 ) = 1= l 其中顶点拟多项式彳( z ) 的结构如彳( z ) = 口p 叩，且每一个拟多项式有主 k = o ，= 0 要项。因此，这个拟多项式族的每一元素是时滞系统或者中立型系统的拟多项式。 问题就是寻找一个蕴含原族f 稳定的稳定子族。然而，即使找到了测试集，其测试 集的元素的稳定性也难以判断，所以此方法只适用于少数特殊的时滞系统。 w a n g 方法事实上它是以l y a p u n o v 第一方法为基础，给出了这样的一个结 论，即若系统有一些特征根落入复平面的右半平面，系统也可能是稳定的( 但不是 6 ， 、 第1 章绪论 渐进稳定的) ，实际上只要这些特征根落入由系统矩阵决定的右半平面的一个有界 区域外即可。这个方法也局限于一阶系统。 对时滞系统的稳定性分析方法还有一种主要的方法即分析方法：文 2 2 - - 2 9 就运 用了分析的方法，其中文 2 2 1 给出了离散时滞系统的滞后无关性指数稳定性条件；文 【2 3 研究了一类单输入单输出时滞系统，给出了一种估计滞后量大小的算法。文 2 4 - 2 6 研究了不确定时滞系统与时滞量的大小相关的稳定性条件，在当前状态矩阵 与滞后状态矩阵的和矩阵稳定的条件下，给出了系统渐近稳定的滞后上界。文 3 0 】 对非线性时变系统进行了讨论，并给出了使其稳定的滞后无关性条件进一步对解的 衰减速度进行了估计。文【3 1 】利用泛函分析的方法讨论了线性时滞系统的口一稳定 性，进而得出了非线性时滞系统的口一稳定性判据。 对于非线性系统而言，l u r i e 控制系统是一类非常重要的系统，八十年代有许多 学者致力于无时滞l u r i e 控制系统的研究，如今其理论已日趋完善。进入九十年代中 期有极少数学者将目光转向时滞l u r i e 控制系统的绝对稳定性研究，这无疑给l u r e i 控制系统的研究带来了生机和挑战( 如文 2 7 3 6 ) ，然而还没有人将其引入中立型系 统。 中立型泛函微分方程的发展相对滞后，结论较少。这主要由于中立型泛函微分 方程中差分算子d 较难处理，使这类方程解的性态更加复杂。1 9 7 0 年c r u z m a t 3 7 】 和h a l e j k f 3 7 j 共同提出了中立型泛函微分方程，得出了与时滞泛函微分方程平行的 基本理论和稳定性理【3 8 】。 1 4 本文的主要工作和结构安排 本文主要从时域角度，利用稳定性理论设计相应的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数，根 据线性矩阵不等式理论，研究几种常见的中立系统的鲁棒稳定性，所得的结果以线 性矩阵不等式给出，并利用m a t l a b 线性矩阵不等式工具箱进行系统仿真，用数值例子 说明所得结果的可行性和有效性。 第1 章，绪论。介绍了本文的研究目的与意义，重点介绍了时滞系统的应用背 景、发展及研究现状。 第2 章，中立系统的稳定性分析。简单介绍了中立系统的定义、中立系统解的 基本结果以及其特征方程的性质；然后应用系统的模型变换法给出了有关时滞系统 的稳定性的几个定理；通过自由权矩阵的方法，我们用线性矩阵不等式给出了满足 标称系统的稳定性的条件，最后简单介绍了系统的谱镇定。 第3 章，含马氏跳变参数的中立型时滞系统的鲁棒稳定。在这一章里研究了带 含有马氏跳变参数的中立系统的鲁棒稳定性问题。通过建立一种加权矩阵来计算那 些l y a p u n o v 函数所忽略的细节问题，通过建立新的l y a p u n o v 函数，保守性变的更 7 8 定性问题。最后用一组 首先简单的介绍了鲁棒 并给出了一个新的鲁棒 变参数的不确定中立系 第2 章中立型系统的稳定性分析 第2 章中立型系统的稳定性分析 我们一般研究的时滞系统，时滞项都存在于系统的状态向量中，而对于中立型 系统，是指不仅在系统的状态中存在时滞项，连带状态的导数中也存在时滞项。由 于状态的导数中存在时滞，使得情况变得更为复杂，在实际的物理系统中经常会遇 到中立系统，有时为了改善系统的控制性能，中立时滞也常被人为地应用到系统中， 例如重复控制系统就是一类重要的中立型系统3 9 1 。在本章中，概述了中立型系统的 一些基本性质，并给出了几种中立型系统的稳定性分析。 2 1 中立型系统解的基本结果 中立型系统按照时滞微分方程的提法应为 戈( f ) = f ( t ，x ，毫)( 2 1 ) 其中f ：r xe 。，c ，一月”，毫g f o g ，为c ( - r ，o ，r ”) 的简记，表示从区间卜f ，0 映入月”中的连续函数所组成的具 有一直收敛拓扑的b a n a c h 空间。范数定义为恻卜一m a x i c t ( o ) i ，矽g 其中| | 为科 中的范数。如果t o r ，口0 ，x c ( f o f ，t o + 口 ，) ，贝0 对 x t ( 秒) = x ( ，+ 秒) ，0 卜r ，o 】，v t l t o ，t o + 口l 奄x | cn 。o j 对于方程( 2 一1 ) 满足初值条件 ； x；：三荔：；，秒c一乃。，ti ( 9 ) = 驴( 9 ) 7 。 。o 的解一般是不连续的。所以，1 9 7 0 年m a c r u z 和j k h a l e 提出了一种特殊的中立 型泛函微分方程 一u ，。d ( t ，薯) = ( f ，t ) ，t t o ( 2 - 2 ) “l 初值条件为 气o ) = 伊( 口) ， v 0 一f ，0 ( 2 3 ) 如果t o r ，口o ，x e c ( t o f ，t o + 口】，f ) ，并且一在区间【t ot o + 口 上满足方程 式( 2 2 ) ，则称x 是方程式( 2 2 ) 的解。对于给定的( t o ，汐) q ，q 为r xe ，中的一开子 集，若方程式( 2 2 ) 的解x ( t o ，缈) 满足初值条件式( 2 3 ) ，则称x ( t o ，矽) 为方程式( 2 - 2 ) 的初 值解。 9 河北科技大学硕士学位论文 定理2 1 ( 局部存在性) 对于任意的( t o , 缈) q ，且d ( t ，矽) 对矽的二阶f r e c h e t 导数连续，则中立型系统式( 2 - 2 ) 存在过( t 0 , 缈) 的解。 其中d ，为q 斗月”的连续泛函，d 在0 处是原子的。典型的算子d 定义为 d ( ) = 矽( o ) 一g ( 一f ) ，矽e ， 这里g 为常数矩阵，且g r “”。 目前，方程式( 2 - 2 ) 关于一般性的泛函d ，厂尚无解的整体存在性结论。 定理2 2 【4 0 1( 整体存在性) 线性o p _ v _ 型自治系统 - 兰d ( t ，) = ( 薯) ( 2 - 4 ) 式中，d ，为q _ 足”的连续泛函，且d ( 矽) 在0 处是原子的，则方程式( 2 - 4 ) 对任意的矽g ，在【- f ，o 。) 上的解存在。 文献 4 1 给出了方程式( 2 2 ) 解的整体性的一个结果。特别对于中立型自治系统， 文献 4 2 1 给出了解的整体存在性。 定理2 3 ( 唯一性) 若f ( t ，矽) 在q 中的紧集上对矽满足l i p s c h i t z 条件，则对 任何( t o , 伊) q ，方程式( 2 2 ) 过( f j ，妒) 的解是唯一的。 2 2 特征方程的性质 对于中立型线性系统 ， 导 x ( t ) - g x ( t - r ) 】- a x ( t ) + a ，x ( t f ) ( 2 - 5 ) “f “： 特征方程为 d e t s ( 1 一p 一”g ) 一彳一a , e 一” = 0 ( 2 - 6 ) 定理2 5 【4 3 】如果矩阵g 的所有特征值不等于o ，则对于式( 2 6 ) 的所有零点以， 存在口和，使得 q ，且痧( f ) 表示【一，0 上的连续初始向量函数。 定理2 9 1 4 4 1给定标量办 0 和，如果存在尸= p 7 1 0 ，q = q 7 0 ，r = r r o ， z = z r o , ：一 l 掌 下的l m i 成立： 意 。，和具有适当维数的矩阵( j _ 1 ，2 ，3 ) 使得如 墨，j = o l ll l l l i l 彳7 日 鬈h 中1 1 c r h h 1 2 0 ，h 0 ，d o ，x ( ，) 暑尺”，脚( f ) r m , 4 0 ，4 ，g r ，b 。，b 1 r 。引进记号 ( 秒) = x o + 秒) ，0 卜，0 】；q ( 丁) = u ( t + f ) ，r - h ，o 。系统( 2 1 6 ) 的初值条件为 x ( 口) = x o ( 臼) ，0 一r ，0 。 茁= m a x r ，d ) ， ( 2 1 7 ) 砧( f ) = u o ( r ) ，f - h ，0 x o c ( 一誓，0 ，r ”) ， n o c ( - h ，o ，r ”) 定义变换t ： z o ) = r ( x ，比) 9 ) = x ( f ) 一g x ( t d ) 一a ：e - a ( u + a ) g x ( t + l t ) d p + p 一爿c 舢，4 ，x ( ，+ 秒) d 目+ ：一一c r + 一，b , u ( t + r ) d r 2 18 显然，z a c ( o ，o o ) ，r ”) ，因而几乎处处可微，这里a c ( o ，o o ) ，r ”) 表示 o ，o o ) 上的 绝对连续函数类。微分式( 2 1 8 ) 等号的右端，并利用( 2 1 6 ) ，容易得到，当矩阵4 满 a ( i - e 卅d g ) = a + p 刊7 a 1 ( 2 1 9 ) 类似可得 = e 一曲d u o a ( e 一7 一彳v i ) c e 一如d u o ( & ，一a ) g + e 一u o ( p 如7 一彳p t ) a l = e - s o d s o u o a ( e 川y 一，) g = 0 u o ( b o + p 一 b 。) = 0 _ 二一一 第2 章 中立型系统的稳定性分析 = = = = i = = = z = = 目= = ；l ；= = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =：= = = z = = ；= j ：；= = = e i i 自； 于是有 砜 a o ( ) ，或+ p 一啪b j = 0 注意到条件阳础 - ( j ) ，局+ p 埘骂】- 玎，那么就是砜= 0 。这与u 。是矩阵彳的特征值 对应的左特征向量矛盾，所以命题得证。 值算例说明了所得结论的有效性。 3 1问题描述和预备知识 1 6 第3 章含马氏跳变参数的中立型时滞系统的鲁棒稳定 给定一个概率空间( q ，f ，p ) ，其中q 是采样空间，f 是事件代数，p 是定义在f 上的概率测度。我们定义随机过程 仇，t 【o ，矽b 是一个同类的，有限状态的并且具有 右连续轨迹的马尔可夫过程，这个过程以因子s = ( p o ) 在一个有限集s = l ，2 ，s 上 取值即f ，jes ，从时间f 的模态f 到时间t + 万的模态( f ，j s ) ) 的状态转移概率是 = p ( r , + a = j i r,=i)=1占+。万x)，；三；(3-1po+ a , f l + o ( 8 ) 2 1 “： 其中对于任何的f ，s ，i j 状态转移概率满足口，i 0 和口，= 一杰口膳，在 这里万 o 并且l i m 砒0 ( 8 ) 8 = 0 。集合s 中包含系统研究中的各种算子模式。 在本节中，我们将研究如下带有跳变参数的时变滞后的中立系统： m t ) 一【c ( 仇) + a c ( r l , ) x ( t h ) = ( 彳( 仇) + 4 ( 仍) ) x o ) + ( 男( 仍) + a b ( r l , ) ) x o f ( f ) )( 3 - 2 ) x ( t o + p ) = ( p ) ，p l r m ，0 ( 3 - 3 ) 研= i ， ( 3 4 ) ” 其中x ( t ) 贸”为状态变量，f ( f ) 是一个时变时滞，h 是一个中立时滞，c ( r l , ) ， 么( 仍) 和b ( r l , ) 是实数矩阵，a c ( r , ) ，鲋( 仇) 和a b ( o , ) 是不确定的时变矩阵，( ) 是 一个连续的向量值初始函数。下面假设变时滞彳( r ) 满足以下条件： ”孢 0 r ( r ) ，o ) 0 矩 阵 j g ，f ( 纠。1 是非奇异的。 引理3 1对具有适当维数的常数矩阵y ，d 和e 以及对称矩阵y ，矩阵不等 式 y + d i z ( t ) e + e 7 户7 ( 矿d 7 o 成立的充分必要条件是：存在常数f 0 ，满足下面的矩阵不等式 河北科技大学硕士学位论文 置昌_ - _ 昌= 昌篁崔_ l 葺皇墨暑昌昌置置_ - 目岩= 昌昌昌昌毒- 昌昌皇= = = 昌昌蕾e = 穹= = = 掌昌昌譬= 眷掌= = = 昌寓te 田昌：昌；昌ll 昌篁：昌 = 目_ 鲁目：l 昌皇 y + 占- 1 e 7 s 。 一三，亨 三二多 s 。 c 3 9 ， 成立，式中f ( t ) 满足f r ( f ) ，( f ) i 。 引理3 2 对v s 0 ，矽贸”，缈婀”，都有下列等式成立： 2 矽7 伊卅7 矽+ 占一1 缈7 伊 引理3 3 【5 2 1 对任意地实常数矩阵m ，m 贸脚，m = m t 0 ，标量厂 0 ， 向量函数c o ：f o ，尸1 _ 贸”，则以下积分表达式成立： 一，r 彩7 ( s ) m c o ( s ) d s - ( s oa , ( s ) d s ) 7 1m ( s oc o ( s ) d s ) ( 3 1o ) 一 3 2 主要结论 本节将对在不确定型中立系统中含有马氏跳变参数的情况，基于l m i 方法，讨 论系统的鲁棒稳定性问题。 定理3 1 如果存在实矩阵厶，正定的对称矩阵p ，q ，墨，垦，使得线性矩 阵不等式 = 4l | p j c | a i e ：lp , h | b 1l|0a i e ：i 0 v 3 3l i c | 0l ? h | 一r 2 仅；e l 0 毒毒 一仅i it 2 i g j 卑卑| 簟 一仅? i 0 ， ( 3 - 11 ) 其中 ，= 一墨+ p 4 + 彳，p + 乃f 十q ， 嘲+ 击r t + 击墨， 2 2 = 一( 1 一) q 一l 墨， j t m = 乏+ 墨+ 垦 成立，则我们称中立系统( 3 2 ) 是鲁棒渐近稳定的。 证明：考虑l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数 v ( x ，t ，r l , ) = 巧( x ，r ，仍) + 蛭( x ，t ，仇) + k ( x ，t ，仇) + 圪( 工，f ，r l , ) 其中 k ( x ，t ，r l ，) = x 。( f ) p ( 7 7 ，) x ( f ) ， 1 8 第3 章含马氏跳变参数的中立型时滞系统的鲁棒稳定 ( x ，f ，7 7 f ) - - - f - r ( t ) x t ( ，) 纵o ) d s ， ( 剐，仍) = lp ( v 皿，文( v ) d y e s ， _ ( x ，f ，玩) = f - 文7 ( j ) 垦史( j ) d s 我们把弱最小算子科】应用于随机过程 x ( f ) ，1 7 ，t 0 ，当v ( x ，t ，仍) 在点 x , t ，r l , = 砖时 。s 阶詈俐乱，+ 喜批刈 ( 3 _ ，2 ) 随之我们可以得到： s m 】2 文r ( f ) p ( 玩) x ( f ) + 乃x 7 ( t ) p j x ( t ) = 2 ( c ，o ) 文o 一办) + 4 ( r ) x o ) + b ，x ( t f ( f ) ) ) 丁 p x ( f ) + 乃x ，( t ) p j x ( t ) ， s ；【k x t ( t ) q x ( t ) - x 7 ( f - r ( t ) ) q x ( t f ( f ) ) 】( 1 一于( 嘞 x 7 ( ，) q 零o ) 一 x 7o r ( t ) ) q x ( t r ( f ) ) ( 1 一尹) ， s ? 】= f ( t ) s c7 1 ( f ) 足，文( f ) 一f - f ( ，) 文7 ( s ) 尺，s o ( s ) d s ， 根据引理3 3 ，我们可以得到 一l 文7 ( s ) 墨支( s ) 出 一去h ，郫，凼hl 掷，叫 一_ 1 【x ( f ) 一x ( 卜f ( f ) ) 】7 只。【x ( f ) 一x ( f f ( f ) ) 】 = 一 x7 ( f ) - x r ( ，一f ( f ) ) 墨【x ( f ) 一x ( 卜f ( f ) ) 】 因此 s i 匕】f m j 7 ( ，) r ，戈( ，) 一7 7 x t ( r ) 墨x ) 一2 x t ( ，一f o ) ) 足。x ( f ) + x r ( 卜f ( f ) ) 墨x ( t - f ( f ) ) s j 【圪 = 文7 ( f ) 足2 文( f ) 一支7 o - h ) r 2 文( f - h ) 对任意的实矩阵厶，我们有 1 9 河北科技大学硕士学位论文 0 = 2 y c 7 ( f ) 厶卜文( f ) + c f i c ( t 一办) + a i x ( t ) + e x ( t - 丁( f ) ) = 文7 1 ( f ) ( 一2 厶) 戈( f ) + 文7 ( f ) ( 2 厶c ，( f ) 文( f j i 2 ) + j 7 1 ( t ) 2 l , a ，( f ) x ( ，) + 文。( ，) 2 厶eo ) x ( ，一r p ) ) ) 结合以上式子， 3 ； 矿】= s ； k + 3 ； 圪 + s ； 圪 + 3 7 【圪 + 。( t ) z i ( r ) 0 其中 g ( t ) = e x7 ( f ) ，x t ( t - f ( ，) ) ，圣7 ( f ) ，戈7 1 ( ，一向) r 在这里， 因此我们可以得到： 其中 在，中， 1 = ，2a 7 ( r ) 厶只c ( f ) 宰 少2 2 彰( f ) 厶0 幸宰 。厶c ( r ) 木水木 一r o = 一墨+ p 爿，( ，) + 彳，( f ) p + 毛+ q ， ，：p 曰，( f ) + l r ? + 上r 2 p 靴) + 专? + 二2 r m -z 互m 2 2 = - ( 1 - i ) q 一二墨 z m 3 = - 2 + 墨+ 垦 ，= y + 当户o ) 幺+ 户7 1 ( f ) 等 o ，= 雌鞋 ，专= p t h o l i h o ，幺= 缈：一士墨+ p j a , ( t ) + 4 ( f ) p + 窆乃乞+ q ， t mi j 2 0 一。= ，t ，= ；= 2 ：， = = = 二- - ! = 。t _ = | = = = = ； = = = 目| 2 ，= = = = ；e ! t ! ；= = ! = ! ! t = = = = = 二：；z = j = e ，1 = = r = = 一z = 一一 一 ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) e 。 f 7 1 l 引 ( 3 。18 ) i e j l 于 第3 章含马氏跳变参数的中立型时滞系统的鲁棒稳定 = 只郫) + 去群+ 击札 沙2 2 = - ( 1 - ) q 一二墨， l f ，3 32 2 + v m r l + r 2 根据引理3 1 ，由于不等式、 0 ，使得 毕h 毛舅北 瞄划冀 0 | p ，9 ， 我们利用s c h u r 补定理，可以的到， 0 等价于， 0 ，在这里 3 = 妒i i 桫na t l , p c | s 。e ：| s | - 1p i h t 毒 v nb il i 0 s i e ：i 0 毒卑 妒3 3l i c l 0 s ：tl t h t 卑卑毒 一r 2s | e i 0 木宰木幸一j ( 木牟木水木 一， 0 ( 3 2 0 ) ，= 一置+ e a ，( f ) + 爿，( f ) 尸+ 磊f + q ， 。m， ：= 聃( 卅去m 群+ 专毗 - - m y 2 2 = - ( 1 一) q 一l - r l ， 。肘 y 3 3 = 一2 l , + r 1 + r 2 在不等式， 0 的两边分别左乘和右乘对角矩阵坊昭 ，i ，i ，i ，s ，s i ，并且令 s 2 = 口，则不等式， 0 等价于不等式 0 。这说明系统( 3 2 ) 鲁棒渐近稳定的并且 定理得证。 在定理3 1 的基础上，如果在系统( 3 2 ) 中不存在不确定项，即c i ( ，) = 0 ， a a j ( f ) = 0 和肚，( f ) = 0 时，中立系统化为 5 c ( t ) - c ( r ( t ) ) s c ( t - h ) = 彳( 厂( f ) ) x ( f ) + b ( ，( f ) ) x ( f f ( f ) ) ( 3 2 1 ) 此时，我们可以得到以下结果： 推论3 1如果存在实矩阵厶，确定的正定实对称矩阵p ，q ，墨和r ，使得 如下线性矩阵不等式成立 河北科技大学硕士学位论文 - 置蕾_ l 鼍昌昌= 昌皇_ 皇昌昌昌昌置l 毒暑= = = = 昌霉皇昌窖= 暑罩昌篁皇= = = = 宣毒：皇= 昌昌=：= = = = _ 盲皇： 昌= 罱= 昌昌= 皇皇= ：= e 蕾 其中 d = 三_ l ：a ? 厶p c口， p 日， 彝 三nb 1l i 0 a e ：t 0 卑聿 e 珏l i c l 0 l i h l 肆毒毒 一r 2o i | e i 0 掌 幸 宰 一口，i口，g 母木奉幸牛 一口。1 三= 一_ 1r 1 + 4 p + e a ，+ 乃z + q ， = 群p + 击群1 + 土2 r m 轧 n u 三2 2 = - ( 1 - z ：) q 一二墨， z m 三3 3 = - 2 厶+ 玛+ r 2 0 ( 3 2 2 ) 则我们称中立系统( 3 2 1 ) 是鲁棒渐近稳定的。 在定理3 1 的基础上，如果在系统( 3 2 ) 中不存在时滞，即r ( t ) = 0 时，所述中立 系统化为 x ( t ) 一 c ( r l ，) + a c ( r l ，) 戈( ，一h ) = ( 4 ( 研) + z x a 0 7 ，) ) x o ) + ( b ( r l , ) + a b ( r l , ) ) x ( ，) ( 3 - 2 3 ) 此时，我们可以得到如下推论 推论3 2 如果存在实矩阵厶，正定的对称矩阵p ，q ，墨和r ，使得线性矩 阵不等式 其中 5 = 中uy l 2a ：l lp i c | | e ：tp , n | 卑 v 2 2b 1l l 0 o c i e ：；0 毒 y 3 3l ；c l 0 l | h l 毒卑卑 一r 2o l | e i 0 卑毒卑 卑 一q ia ；g l 幸 幸 幸幸 木 一a ：二， y = - r l + 尸4 + 4 p + 乃髟+ q ， ，= 1 ：= p b ，+ 圭群+ 互1r ，：= 一q 一羁， 缈4 4 = 2 厶+ r 1 + 心 0 ， ( 3 2 4 ) 第3 章含马氏跳变参数的中立型时滞系统的鲁棒稳定 成立，则我们称中立系统( 3 2 3 ) 是鲁棒渐近稳定的。 在定理3 1 的基础上，如果在系统( 3 2 ) 中不存在马氏跳变参数，所述中立系统化 为 文o ) 一【c + , x c s c ( t 一办) = ( a + a a ) x ( t ) + ( b + a b ) x ( t - - r ( t ) ) ( 3 2 5 ) 此时，我们可以得到如下推论 推论3 3 如果存在实矩阵三，正定的对称矩阵p ，q ，墨，垦，使得线性矩 阵不等式 。 = 沙1 2 a r lp c 宰沙2 2 b r l0 木木 3 3 l c 木毒木 一垦 0 ， ( 3 - 2 6 ) 其中 l l = 二- l - 墨+ p a + 爿尸+ p + q ， 。z m 2 肼击群+ 击昧 2 = - ( 1 一) q 一二墨， 。 z m i f ，4 4 = 一2 l + r 1 + r 2 j 成立，则我们称中立系统( 3 2 5 ) 是鲁棒渐近稳定的。 i 下面我们应用另一种方法对系统( 3 2 ) 进行分析，在这种方法中，：由于设计的李 雅普诺夫函数的不同，我们在处理其问题时也应用了不同的运算技巧。 定理3 2 如果存在实矩阵m ，。，：，s ，是，正定的对称矩阵p ，q ， 墨，垦，玛，使得 人= 1妙1 2一s j沙1 4 0 n ls口，0 卑 l f ，礁一s 2b 1m 1 0 n 2s 2t 2 i e ：i 0 半木 一r 3 0 0 00 00 卑卑毒 y m i c f 000 m | h i 木木 宰 一r 2 00 口，e 0 木 宰宰枣 木 一r 000 宰 木 木堆木宰 一墨0 0 木木枣木 幸 拳木 一a i lq g 瘩 木 木宰木球母宰 一口二， 0 ( 3 2 7 ) 为 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 - 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) s ；暇】= 3 9 t ( t ) q x ( t ) - x r ( f - r ( t ) ) q x ( t - r ( t ) ) ( 1 一于( 嘞 x ，( ，) q x o ) 一【x7 ( f r ( t ) ) q x ( t f (