（数学专业论文）对高一学生函数概念理解的调查研究.pdf

对高中1 1 - ：函数概念理解的调奄研究 中文摘要 函数概念是数学中的基本概念，数学中的许多概念或由函数派生，或由函数统率， 或可归之为函数观点。函数思想贯穿于高中数学课程的始终，是高中数学的核心内容， 同时也是难点所在。本研究从高一学生对函数概念的定义理解、表示方法的掌握和概 念的应用三个方面调查了高一学生对函数概念的理解，目的是为了准确了解高一学生 对函数概念本质特征的认识，寻找学生认知上出现的困难和产生错误的原因，并提出 有针对性的教学改进措施。 本文通过对普通中学高一年级1 2 0 名学生的调查、统计、分析得出以一卜结论： ( 1 ) 高一学生对函数定义的理解和判断更多的是利用概念在脑r | 一的意象而非概 念的定义。 ( 2 ) 高一学生对函数不同表示方法的理解掌握和应用存在不平衡，对解析式表 示的函数掌握最好，图形表示的函数次之，对表格表示的函数理解存在困难。学生难 以在函数的多种表示方法之间进行灵活地转换。 ( 3 ) 高一学生的函数概念应用水平比较低，表现出对函数概念的本质模糊不清， 对自变量和应变量的识别和如何表现两者的关系方面存在困难。 结合教学实际，提出以下建议： ( 1 ) 抓住函数的特点，优化概念教学过程 ( 2 ) 注重学生思维发展水平 ( 3 ) 注重学习数学概念的心理过程特点 关键词：函数概念，理解，教学 对高中生函数概念理解的调查研究 ab s t r a c t f u n c t i o nc o n c e p ti st h eb a s i cc o n c e p t so fm a t h e m a t i c s ，m a n yo ft h ec o n c e p t so rd e r i v e s f r o maf u n c t i o n ，o ri sc o m m a n d e db yaf u n c t i o n ，o rc a nr e t u r ni ta saf u n c t i o np o i n to fv i e w f u n c t i o nt h o u g h ti st h r o u g hf r o mb e g i n n i n gt oe n di nh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s ，a n di st h e c o r eo fh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s ，a n di sa l s ot h ed i f f i c u l tl o c a t i o n t h i ss t u d yh a d i n v e s t i g a t e ds e n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t su n d e r s t a n d i n go f t h ef u n c t i o nc o n c e p t sf r o mt h r e e a s p e c t sw h i c hi n c l u d e ：t h ec o m p r e h e n s i o no ff u n c t i o nc o n c e p td e f i n i t i o n ，t h em a s t e ro f r e p r e s e n t a t i o n ，t h ea p p l i c a t i o no f t h ec o n c e p t ，a n dt h ep u r p o s eo ft h i ss t u d yi st oa c c u r a t e l y u n d e r s t a n dt h ec o m p r e h e n s i o no fe s s e n t i a lf e a t u r eo ff u n c t i o nc o n c e p t ，a n dt of i n do u tt h e c o g n i t i v ed i f f i c u l t i e s ，a n dt o f i n do u tt h ef a u l tr e a s o n ，a n da l s ot or a i s et h et a r g e t e d i m p r o v e m e n t s t h r o u g ht h es u r v e y , s t a t i s t i c s ，a n a l y s i so f12 0s e n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t s ，t h i sp a p e r r e a c h e st h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： ( 1 ) s e n i o rh i g h s c h o o ls t u d e n t su n d e r s t a n da n dj u d g et h ef u n c t i o nd e f i n i t i o n a c c o r di n ga st h ec o n c e p to fa d d i t i o n a li m a g e si nt h e i rm i n d s ，r a t h e rt h a nt h ed e f i n i t i o no f t h ec o n c e p t ( 2 ) t h e r ei sa ni m b a l a n c et h a ts e n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t si st ou n d e r s t a n da n da p p l y f u n c t i o ni nd i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o n s ，t h eb e s tr e p r e s e n t a t i o ni sa n a l y t i cf u n c t i o n s ，t h e s e c o n di s g r a p h i c a lr e p r e s e n t a t i o n ，a n di t s d i f f i c u l tf o rs t u d e n t st ou n d e r s t a n dt h e r e p r e s e n t a t i o no ff o r m s t u d e n t sc a nn o tu s e d i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o n sf l e x i b l y ( 3 ) i ti sal o wl e v e lt h a ts e n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t sa p p l yt h ef u n c t i o nc o n c e p t a n d t h e p h e n o m e n o n i sr e f l e c t e d b ya m b i g u o u se s s e n t i a lc o n c e p to f af u n c t i o n ，t h e i d e n t i f i c a t i o nb e t w e e ni n d e p e n d e n tv a r i a b l ea n dt h ev a l u eo ff u n c t i o n ，a n dh o wt os h o wt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n d e p e n d e n tv a r i a b l ea n dt h ev a l u eo ff u n c t i o n i i 对高中生函数概念理解的调查研究 c o m b i n a t i o no ft e a c h i n gp r a c t i c e ，m a d et h ef o l l o w i n gr e c o m m e n d a t i o n s ： ( 1 ) g r a s pt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e f u n c t i o nc o n c e p tt o o p t i m i z et h ep r o c e s so f t e a c h i n g ( 2 ) p a ya t t e n t i o nt ot h et h i n k i n gl e v e lo fs t u d e n t s ( 3 ) p a ya t t e n t i o nt ot h ec h a n g eo fm i n d i nl e a r n i n gt h em a t h e m a t i c a lc o n c e p t k e y w o r d s ：f u n c t i o nc o n c e p t ，c o m p r e h e n s i o n ，t e a c h i n g i i i 对高中牛函数概念理解的调查研究 图目录 图1 1 高一学生对函数三种表达方式的理解分析2 0 2 对高中生函数概念理解的调查研究 表目录 表1 1 高一学生根据自己的理解叙述什么是函数回答的分类1 5 表1 2 第2 题正确率统计结果17 表1 3 第3 题正确率统计结果18 表1 4 第4 题正确率统计结果18 表1 5 第6 - - 8 题主要考察对函数概念的应用2 l 表1 6 第9 、1 0 题统计结果2 2 对高中生函数概念理解的调查研究 1 1 研究背景 第一章绪论 1 1 1 函数概念的发展及带来的启示 函数概念是数学中的基本概念，也是不断变化发展的概念。 纵观数学的发展历史，我们可以知道，进入十六世纪以后，笛卡尔提出的“变量” 导致了人类数学思维发生根本的转折。从此，运动进入了数学，数学中描述运动变化 的概念“变量”以及函数概念随之成为此后数百年里数学研究的中心。 最早提出函数概念的是1 7 世纪德国数学家莱布尼兹，最初他用函数一词表示幂， 后又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标等。当时绝大部分函数 是被当作曲线来研究的，使用范围狭窄。 1 7 1 8 年瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量x 和常量按任何方式构成 的量叫x 的函数。”他所强调的是函数要用公式来表示。后米数学家觉得不应该把函 数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就 可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示就不作为判别函数的标准。1 7 5 5 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为“以某一种方式依赖于另一些变量的变量。”同时 指出，对函数来说不一定要有解析表达式，欧拉的定义就不强调函数要用公式表示了， 把对函数的认识推进了一个新的层次。 1 8 2 1 年，法国数学家柯西给出函数定义：“在某些变数问存在着一定的关系，当 一经给定其中某一变数的值，其他变数值可随之而确定时，则将最初的变数日l | 自变量， 其它各变数叫函数。 在柯西的定义中首先出现了自变量一词，他认为对应关系是必 要的，利用这个对应关系可以求出每一个x 的对应值。 0 1 杜石然函数概念的发展历史数学通报，1 9 6 1 9 对高中生函数概念理解的调查研究 德国数学家狄利克雷认为，怎样去建立x 与y 的对应关系是无关紧要的，他( 1 8 3 7 年) 指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y 都有一个或多个确定的值与之对 应，那么y 叫做x 的函数”这个概念抓住了函数概念的本质属性，这就是人们常说的 经典函数定义。变量y 称为x 的函数，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围 中的每一个值，有一个确定的y 值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表 格或其它形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方 便，曾被长期地使用过。 自从德国数学家康托尔创立的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数 概念就是现在高中课本里采用的了。 1 9 3 9 年，数学原理( 法国) 中这样定义函数“设e 和f 是两个集合，它们可以 不同，也可以相同。e 中的一个变量x 和f 中的变元y 之间的一个关系称为一个函数 关系，如果对于每一个x e ，都存在唯一的y e f ，它满足跟x 的给定关系。 函数概念的定义经过3 0 0 多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这 并不意味着函数概念发展的历史终结，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完 结，随着数学以及以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还必将会继续扩展。 回头审视一下目前高中课本中所出现的函数概念，大致相当于1 9 世纪上半叶时 的函数定义。然而，相对于中学所讲的有关函数内容，这一定义已经“超前”了。中 学里二次函数的主要内容早在公元前3 世纪业己成型：对数函数的框架1 7 世纪初基本 建立：三角函数则至1 8 世纪中叶趋于完善。教科书并非历史的再现，而是根据教育学 规律对已有的数学知识重新编排而成的，但是了解函数概念的演化过程可以更好地指 导学习和教学。 1 1 2 函数概念是中学数学概念中的重点和难点 函数概念是从大量的实际问题中抽象出来的，是描述客观世界变化规律的重要数 杜石然函数概含的发展历史数学通报，1 9 6 1 9 2 对高中生函数概念理解的调查研究 学模型函数思想贯穿于高中数学课程的始终，是高中数学的核心内容 代数式、 方程、不等式、数列、排列组合、极限与微积分等代数内容与函数知识都有着紧密 的联系，甚至解析几何与立体几何问题中也常渗透着函数的思想函数概念十分抽象， 一些研究得出结论：对学生来说，第一次接触、学习非常量的变量、函数概念，特别 是在学生概念形成水平较低时期，他们在认知上可能会出现困难，因此理解有一定困 难。这一点也说明，函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。因而了解 函数概念产生与发展的背景、准确把握构成函数的三要素、理解函数概念的本质，对 于提高学生的数学素养是十分必要的 1 1 3 学生对函数概念认知发展的规律 我国中学的函数概念教学，在初中采用“变量说“，在高中采用“对应说”，这 种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序，也符合人们对于函数概念认识过 程上的发展性、阶段性，但即便如此，学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低。 大幂的教学实践表明，函数概念是学生数学学习中感觉最困难的概念之一。这是因为， 一方面，函数概念是抽象的数学概念，是学生在数学学习过程中接触的第一个非常量 意义的概念。学生理解函数不仅要理解常量、变量的概念，而且要理解“变化过程” 和变量之间的关系。同时函数表示方法的多样性，要求学生在符号语言、图形语言和 文字语言之间进行灵活地转换，使抽象思维和形象思维结合起来，这对学生而言，是 一种思维上的挑战。另一方面，中学阶段，学生的思维发展水平从具体形象思维逐步 过渡到抽象逻辑思维，刚进入高一的学生，他们的思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维， 学会了对一些事物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辨证逻辑思维阶段州。中学生 这利一认知发展的阶段性特点，往往限制了他们对于抽象函数概念的理解和把握，从而 导致了高一学生在学习函数时对函数对应变化的相依关系深感困难。 蛐贤奎珠2 0 0 4 函数学习中的六个认知层次数学教育学报1 3 ( 3 ) ：7 9 8 1 朱文芳函数概念学习的心理分析数学教阿学报1 9 9 9 8 对高中生函数概念理解的调杏研究 1 2 研究内容 函数概念在数学中具有举足轻重的地位。而高一是函数概念学习的重要阶段，学 生对函数概念的理解掌握直接影响到高中数学中许多内容( 如不等式、数列、解析几 何等) 的学习，所以我们有必要搞清楚高一学生对函数概念的理解程度，为以后的教 学提供第一手资料，以便更好地提高教学质量，为学生服务。本文将从函数概念的定 义、表示方法和应用三方面为切入口进行研究，以此来了解高一学生对函数概念的理 解程度。 1 3 研究方法 研究方法拟有以下几种： ( 1 ) 、文献研究法：主要对历史上相关研究文献作整理、概括、提炼出有关函数 概念错误成因的理论，并用现代认知心理学理论及建构主义的观念进行分析。 ( 2 ) 、问卷调查法：主要结合函数概念的学习，进行一些测试、调查研究，以了 解高中生对函数概念的理解。 ( 3 ) 、访谈法：通过与学生的谈话，了解学生的内心世界和学习状况。 本论文研究的方法主要是个别访谈和问卷调查。个别访谈主要的目的是为了了解 i 苛中生对函数定义的理解，了解具有代表性的学生内心对函数的看法，以此丰富调查 研究内容。问卷调查的目的是希望通过学生解答的测试卷，分析学生在解决函数问题 时所采用的方法以及在解题过程中出现哪些具体障碍，以探索如何从初中函数概念向 高中函数概念顺利转化，及转化中存在的困难，为进一步的学习扫除障碍。数据的处 理方面，采用e x c e l 软件统计分析。 在研究的初期采用个别访谈，通过对一线教师、以及学生的访谈和调查，收集资 料，集多家之言，并用对比研究法对材料进行整理，为下一步的问卷调查做前期准备。 研究中期采用问卷调查，对我校( 三类学校) 高一年级1 2 0 名学生进行调查和测试， 4 对高中牛函数概念理解的调查研究 以此来考察学生对函数概念的理解和掌握水平。研究后期主要对调查和测试的结果进 行整理统计，运用对比分析和归因分析方法，并得出最终结论。 2 1 国外研究现状 第二章文献综述 针对学生对函数概念理解的研究，国外的实证研究较多： s h l o m oy i n n e r 和t o m m yd r e y f u s ( v i n n e r sa n dd r e y f u s t ，1 9 8 9 ) 于1 9 8 9 年 调有了以色列2 7 1 名不同专业的大学生和3 6 名初级中学的教师对函数概念的理解， 结果发现，学生对函数概念的理解多种多样，函数概念的表象和定义之间存在的矛盾 是很普遍的。调查显示，不同专业的学生对函数概念的理解有很大不同，除了数学专 业的教师和学生，其它专业的学生对函数定义的理解都很肤浅、简单，学生能给出正 确定义叙述的比例随着它们所学数学水平的提高而提高。 p i a g e t 运用实验、) | ! l ! 察等方法研究后提出，9 、1 0 岁的儿童就可以试着去分析一 个归纳性问题中的函数关系，显示出有发现数量上协变的一般能力 。t h o m a s ( 托马 斯，1 9 7 5 ) 用问卷和个别访谈的方法研究了1 1 1 4 岁学生函数概念发展的情况。他 调查时使用的是含单变量的实值函数，他认为学生是分阶段掌握函数概念的。这些阶 段是：最低阶段，函数被理解为指派的程序；第二阶段，可按不同的背景识别函数， 且能在这些背景之间转换：最高阶段，函数被看成一个对象，有一定的性质且日j 对其 施加运算和复合。 w a g n e r ( 瓦格纳，1 9 8 1 ) 作过一个研究，要求平均年龄为1 6 岁的高中生解一个 有特定变量的方程，然后研究者改变了变量的名称，要求学生再去解这个“新”变量 的“新”方程。结果发现，只有1 3 的学生一开始就指出“新 方程的解与原问题 的解一样，其余学生则重解这个“新”方程。对变量改名( 用不同的字母表示) 学生 皮亚杰( p i g a e t ，j ) 发生认识论原理商务印书馆，1 9 8 8 6 对高中生函数概念理解的调查研究 有不同理解：一部分学生接受，认为数保持相同时，字母变化不会对数造成影响；另 一部分则把只改变了变量字母的问题看作一个全新大的问题，且不发生学习上的迁 移。这说明部分高中生的辩证思维发展还处于不成熟的阶段，思维水平基本停留在形 式逻辑思维的范畴，只能局部的、分隔的、静止的认识所学的事物。 英国沃里克大学教学教师d a v i dt a l l 在( a d v a n c e dm a t h e m a t i c a lt h i n k i n g ( 高层次的数学思维) 中对函数概念的学习过程进行了深入研究，指出函数概念学 习的思维具有两个重要组成部分：准确严谨的数学定义和建立在此基础上定理的逻辑 演绎。朝着高层次数学思维的转变，即凭直观建立函数概念，转变为利用数学语言表 征概念，其本质好似通过逻辑演绎进行构造的过程。 2 2 国内研究现状 对于函数概念理解研究，国内研究现状为： 首都师范大学的朱文芳 博士于1 9 9 9 年3 月5 月对北京市六所中学的8 0 2 名初 一到初三的学生进行了调查，考察了初中生的函数概念发展水平，并进行了数据分析， 撰写了论文初中生函数概念的发展研究。她的研究结果表明：初中生函数概念的 发展存在着较为特殊的年龄特征；学生所接受的学校教育的内容显著地影响其函数概 念的发展水平：初中生进行正与反、肯定与否定之间转化的辨证思维能力还比较差； 初中生将近一半的人不能用运动、变化的观点来看待问题；初二是学生函数概念发展 的一个转折点，从初二以后，学生无论是进行文字信息，还是图形信息加工的能力都 有明显地增强，但将文字信息和图形信息进行转换的能力还很低；在考查同类问题的 联系时，学生还不能脱离开问题的实际内容来理解抽象概括的数量关系。另外，她还 于1 9 9 9 年1 1 月在数学教育学报杂志上发表了题为函数概念学习的心理分析 一文，从学生的概念形成水平、不同数学气质类型的影响以及学生思维发展水平三个 方面论述了学生学习数学概念困难的根源。分析指出，函数是个较难形成的概念，当 謦朱文芳初中生函数概念发展的的研究博士学位论文1 9 9 9 6 对高中生函数概念理解的调查研究 学生概念形成水平较低时，就会出现认识上的困难。因此，教学分两次学习来减轻学 生认知上的困难是必要的；学生数学气质类型上的差异在函数学习中表现得尤为显 著；对中学生的思维水平来说，建立函数这样一个复杂的概念在认知上需要克服许多 障碍。 曾国光在中学生函数概念认知发展研究中，通过对初三、高一、高二这三 类学生进行调查、分析和推理发现，学生函数概念的认知发展有以下3 个阶段：作为 “算式”的函数；作为“变化过程的函数；作为”对应关系”的函数。 陈蓓在函数概念的发展与比较中认为应把函数学习看成是学生主动的建构活 动，学习应与一定的知识、背景即情景相联系，在实际情景下，让学生完成从具体剑 抽象的过程，避免函数教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生 较好的完成函数概念的建构。 夏国良在多年教学经验的基础上提出了如下教学策略：( 1 ) 把握教材体系，处理 好概念教学的层次；( 2 ) 注重概念的引入，客服学生的心理抑制：( 3 ) 从多方面入手， 加深对概念的理解；( 4 ) 采取多种方法巩固概念。 贾丕珠教授对函数学习的认知过程进一步的细分，将其分为以下六个认知层次 ： l 认识变量，实现由静到动的转变；2 认识变量之间联系；3 运用函数表达式；4 理解 函数的本质属性；5 掌握函数形式化描述；6 逐步深刻理解函数概念，形成整体对象。 并指出学生对函数的认识层次往往是线性的，只有把各知识点进行网络形的联接，才 会有较完整的理解。 南京师范大学的李善良( 李善良，2 0 0 2 ) 老师子2 0 0 2 年8 月在数学教育学报 杂志上发表题为数学概念学习中的错误分析文，指出数学概念学习中的错误主 要有2 种类型：( i ) 过程性错误。包括用日常生活概念、概念原型、对高中生函数概念 理解的调查研究形象描述等代替数学概念，分类与比较不合理，概括与抽象不完善， 概念定义与概念相脱离，概念运用僵化，建立不恰当的联系，对联系作不正确的推广 气竹幽光中学乍函数概念认知发展研究数学教育学报，2 0 0 2 n 廿贾小珠2 0 0 4 函数学习中的六个认知层次数学教f f 学- i * l ，1 3 ( 3 ) ：7 9 8 l 7 对高中生函数概念理解的调杏研究 或依据个人经验强行进行不正确的联系等错误：“合理性错误”。包括用原来的思维审 视新的概念，按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，不自觉地对思维 进行限制等错误。 以上这些研究主要对初中、高中、大学和中职学牛的函数概念认知情况进行了探 讨，有从教育学角度研究的，也有从心理学角度研究的，为函数教学提供了很好的参 考。但是对函数概念的本质特征和多种表示方法和应用的深入研究目前还比较少，有 一定的研究空间。本文将以函数概念的定义、表示方法和应用三方面为切入口进行函 数概念的研究，以此来了解学生对函数概念本质特征的认识。 8 对高中生函数概念理解的i l 司查研究 3 1 研究过程 第三章研究设计 整个研究过程分为三个步骤，首先进行个别访谈，然后进行问卷调查，最后对调 查和测试结果进行整理分析，最终得出结论。 3 2 研究对象 笔者所任教的南京市栖霞中学，是一所普通高中，在学校的高一年级随机抽取了 1 2 0 名学生进行问题访谈和问卷测试。 3 3 个别访谈 ( i ) 访谈问题设计 1 ) 你认为什么是函数? 2 ) 你能举出几个生活中函数的例子吗? 3 ) 请解释函数的表示方式：y = f ( x ) 的意义 4 ) 函数是含有未知数的式子这句话对吗? 为什么? 5 ) 函数y = f ( x + 1 ) 中的自变量是x 还是x + 17 为什么? 6 ) 判断下列结论是否正确，并说明理由 f ( x ) + f ( y ) = = f ( x + y ) 已知f ( x ) - - x + i ，则f ( x 2 ) = ( x - - 1 ) 2 7 ) x 2 + y 2 = l 函数吗，为什么? 8 ) y = o 是函数吗，为什么? 9 对高中生晒数概念理解的调查研究 9 ) 你能说m 函数有哪几种表达方式吗? 1 0 ) 是否存在一个函数，当自变量为整数时，函数值为l ；当自变量不是整数时， 函数值为- 1 7 若是，请写出函数解析式，若不是请说明理由。 ( 2 ) 访谈问题设计说明 问卷调查虽然考察了学生答题正确与否的情况，但问卷无法反映出学生具体的思 维活动过程。通过访谈，在与学生的交流中可以了解学生的想法及为什么会这样想， 同时访谈可以作为问卷调查的补充和说明，并且针对访谈中出现的问题，可以更加准 确地进行问卷调查，这样可以进一步摸清学生对函数定义、多种表示方法的理解程度， 了解函数概念学习中存在困难的根源。第1 、2 、3 、7 、8 题主要是针对学生是否掌握 函数定义进行设计，第4 、5 、6 题是针对定义掌握中存在的错误进行设计，第7 、8 题主要针对对函数定义的应用进行设计，第9 、1 0 题主要针对学生是否了解函数的几 种表达方式进行设计。 3 4 问卷设计 ( 1 ) 问卷测试设计 1 ) 请根据自己的理解叙述什么是函数。 2 ) 下列表达式中，那些表示了一个函数关系，那些不能表示函数关系?( 是的 在() 内写“y ，不是的则写“n ) 并说明理由。 s = 3 t () 理由 f ( y ) = e ，() 理由 f ( x ) = 3 () 理由 x 2 + y 4 = 3 ( )理由 3 ) 下列表格中两个量表示的关系是函数关系吗? 请说明理由。 表格( 1 )某厂上半年每月产量单位：吨 1 0 表格( 2 ) 某医院各科室每日平均就诊人数单位：个 科室内科 外科 耳鼻喉科 妇科儿科 人数4 6 5 22 7 3 l8 9 答案： 理由： 4 ) 指出下列图象中，哪些是变量x - - y 的函数，那些不是x - y 的函数并写出判 断的理由 y 。 ， f 弋 + x 一 ， 答案： 理由： y ? ，j o 。_ 31 x y 、 o x 答案： 理由： 答案： 理由： ， y 公f 夕 x 答案： 理由： 对高中乍函数概念理解的调奄研究 yj l 一 d x 答案： 理由： 5 ) 请用不同的方式表示函数y = lxi 厂 6 ) 已知函数( z ) ：工2 2 x + 1 ，g ( x ) = x l ，求g ( f ( x ) ) 。 7 ) 请说出函数y = s i n x 的定义、画出它的图像并写出它的一些性质。 8 ) 已知函数y = f ( x ) 的定义域为( 1 ，2 ) ，求函数y = f ( 2 x 一1 ) 的定义域? 9 ) ：把圆的直径表示为圆的面积的函数( 写出解析式) 1 0 ) x ：人的身高，y ：量身高所得的刻度，y 是x 的函数吗? 请说明理由。 1 1 ) ：假设向下图瓶中灌水，画出水的高度h 与瓶中水容积v 的关系草图： h 街t 聋褰积， ( 2 ) 问卷测试设计说明 为了能够明确的描述高中学生对函数概念的理解程度，拟将高中学生对函数概念 的理解分为三个方面。第一方面：对函数定义的理解；第二方面：对函数的表示方法 的理解；第三方面：对函数概念的应用。 考察函数定义的题目为第1 题主要是了解学生所理解的函数定义和表象。 对函数表示方式的理解主要从对解析式表示方式的理解、对表格表示方式的理 1 2 对高中生函数概念理解的调查研究 解、对图形表示方式的理解及对几种表示方式的运用方面进行界定。 考察学生对函数多种表示方法理解运用的题目有：第2 题、第3 题、第4 题、第 5 题。第2 题考察学生对解析式表示函数的理解程度，第3 题考查学生对表格表示函 数的理解程度，第4 题主要考查学生对图形表示( 图像表示和箭头表示) 的函数的理解 程度，第5 题主要考察学生综合运用函数多种表示方法的水平。 考察学生对函数概念的应用有：第6 - 11 题。第6 题考察学生能否将函数概念的 学习从具体操作的过程转化为一个以定义域、值域、对应关系三要素构成的对象，将 函数看成是可被操作的实体，作为整体、综合的对象来认识。第7 题考察学生对具体 函数的认识从而反映对函数概念的理解程度。 考察学生对抽象函数的理解有第8 题。第8 题考察学生是否能超越函数的各种表 象形式，深刻理解函数的抽象性表示方式。 考查函数实际应用水平的题目有：第9 题、第l o 题和第1 1 题，其中第9 、1 0 题对函数概念的应用问题，第11 题为生活实际应用问题，其口的是考查学生对函数 概念的应用水平和利用函数概念解决实际问题的能力。 3 5 个别访谈和问卷调查的实施及整理统计 ( 1 ) 个别访谈 根据预先设计好的访谈提纲于2 0 0 9 年1 0 月2 6 日至2 8 日分别对9 名访谈对象进 行了谈话。要求他们如实做答，并解释和阐明各自问卷中的答案和理由，澄清模糊回 答的含义。每次谈话大约用了3 0 分钟左右的时间，随后对访谈内容进行整理分类， 总结出规律，为问卷调查做好前期准备。 ( 2 ) 问卷调查 实施过程 2 0 0 9 年1 1 月1 6 日1 1 月1 8 曰共三天分别对这高一年级1 2 0 名学生进行问卷调 查， 1 3 对高中生函数概念理解的调查研究 时间为5 0 分钟。共发出问卷1 2 0 份，收回1 2 0 份。 评分标准 第l 题只用来了解学生对函数定义的认识，不计分。 第2 题的四小题每题判断正确得5 分，错误不得分。判断的理由只用来了解学生 在判断一个对象是否为函数时所用的函数概念表象，不作为评分依据。 第3 题判断正确并写出存在的函数表达式或说明的理由正确得5 分，只判断正确， 但理由不正确或判断错误不得分。 第4 题判断正确并且理由正确得5 分，判断正确但理由不正确的3 分。 第5 题能用函数的其他任何一种表示方法( 如列表法、图像法等) 表示得5 分。 第6 题全部算对得5 分 第7 题写出正确的定义得5 分，画出正确的图像得5 分。 第8 题正确的写出定义域得5 分。 第9 题正确写出解析式和定义域的得5 分，只写出解析式而定义域未写或写错的 得3 分。 第1 0 题正确写出解析式和定义域的得5 分，只写出解析式而定义域未写或写错 的得3 分。 第l l 题画出正确的关系草图得5 分，否则不得分。 1 4 对高中生函数概念珲解的调查研究 第四章数据整理及统计分析 调查结果用e x c e l 2 0 0 0 软件管理数据，并用e x c e l 2 0 0 0 的统计函数对实验数据进 行统计分析，同时结合访谈资料得出了本项研究的结果。结果分析采用定性与定量相 结合的方式，其理论依据是现代认知心理学。结合访谈和问卷测试，本研究从对函数 定义的理解、对函数表示方法的理解、对函数概念的应用三个维度进行分析。 4 1 高一学生对函数定义的理解 在苏教版的教材中，初中函数采用“变量说”，高中采用“对应说”问卷第1 题考察学生对函数概念定义的理解，要求学生根据自己的理解叙述什么是函数，学生 的回答多种多样。详细分析了每个学生的答卷，根据学生回答问题的情况，把答案进 行分析归类，并请教了中学有多年教学经验的老师，从而把学生对函数定义的回答主 要分为“对应说”、“关系说”、“算式说”、“具体函数说”和“图形”说5 个种类。对 问卷调查的具体回答来看，学生对函数定义的理解多种多样。表1 显示了学生对函数 定义回答的分类情况。 表1 1 高一学生根据自己的理解叙述什么是函数回答的分类 具体函数 回答分类对应说关系说算式说图形说其它 说 人数( 1 2 0 )6 52 8 1 2735 比重 5 4 2 3 1 0 6 3 4 从表1 可以看出，高一学生对函数定义的理解呈多样性，占5 4 的学生认为函数 是“两个变量之间的对应”。2 3 的学生认为函数是“两个变量之间的依赖关系”，或 者认为“一个变量随另一个变量变化而变化”。1 0 的学生认为函数是一剩- “算式”、 1 5 对高中生函数概念理解的调查研究 “式子”、“等式”、“方程”。6 的学生认为函数是“一些具体函数”，列举出了一次函 数、二次函数、反比例函数。3 的学生认为“可以画出图像的是函数”。值得一提的 是有一位学生对于函数的理解写道：“很难学的，很难懂，很抽象的，不同于其他内 容，但用处很大”。对于变量，有学生理解为“自变量、应变量”，“一个变量、另一 个变量”，“x 、y ，两个未知数”，还有说“只有一个未知数是变量”的。由此可见学 生对函数的学习感觉很困难。首先对什么是函数存在多种理解，反映出不同的理解水 平，通过对比平时成绩可以看出回答“对应说”的学生总体数学水平较高，其次是回 答“关系说”的。 按照数学教育心理学及认识论的研究分析，数学概念具有二重性，许多概念既表 现为一种过程操作，又表现为一种对象、结构。把握一个概念，通常要经历由过程， 然后转变为对象的认知过程，概念只有步入对象状态后，才呈现出一种静态的结构关 系，易于整体把握性质，只有这时，一个概念才形成。但由于形成概念的过程中步骤 的前后次序以及每一步中包含不少细节，思维要把握的要素呈序列动态，就不易全面 把握，较难抓住要害和实质 。在对函数定义理解的调查中发现，有的学生对函数的 理解还完全停留在初中的水平，甚至对初中函数的理解也存在片面性，有理解为算式 的，包括理解为式子、等式、公式、方程的，还有理解为具体函数的，特别是一次函 数的，还有理解为图形的。这些理解反映出学生对函数的解析式、图形究竟表示的是 什么没有弄清楚，归根结底都是没有将函数的本质把握好，只抓住了形成函数过程中 的一些表象而没有上升到将概念形成对象的认识。 4 2 高一学生对函数表示方式的理解 函数有多种表示方式，它可以利用解析式、表格、图象、等多种形式来表示。在 一种表示法中理解了一个概念并不意味着在另一种表示法中也能理解它，学生需要在 不同的表示法中理解概念，并在它们之间进行联系和转换。不同的情境提供了不同的 9 李j ：琦p m e ：数学教仃心理华东师范大学出版社，2 0 0 1 1 6 对高中生函数概念理解的调查研究 视角，在不同的表示法中认识同一个概念，可以使学生反思多种表示法背后函数概念 的共同点，从而体会形式与本质之间的紧密联系，进一步理解函数概念的本质。所以 学生对函数多种表示方法的理解掌握程度直接地反映了学生对函数概念的理解程度。 问卷第2 ，3 ，4 ，5 题分别考察了学生对函数多种表示法( 解析表示、表格表示、图形 表示) 的识别、理解和应用情况。 学生对解析式表示方式的理解 第2 题有4 个小题，要求学生根据所给式子判断y 是否为x 的函数，并说明理由， 主要考察学生对解析式表示的函数的识别判断情况。表2 是学生对第2 题中4 个小题 回答正确率的分布情况。 表1 2 第2 题正确率统计结果 题号 2 ( 1 )2 ( 2 )2 ( 3 ) 2 ( 4 )平均 正确人数 11 9 1 0 9 7 6 8 69 7 所占比重 9 9 9 1 6 3 7 2 8 1 从表2 统计结果可以看出，高一学生对函数解析式的理解总体水平较好正确率最 高的是第( 1 ) 题，达9 9 ，这说明一次函数给学生的印象最深，影响最大。第( 4 ) 题学生的正确率也较高，结合访谈的结果分析多数学生解释的原凶是这种形式在之前 的学习中没见到过。 ( 2 ) 对学生选择理由的分析 第( 1 ) 题选择正确的理由多种多样，如：“对于t 的每一个值，都有唯一的s 与它对应”：“s 随t 的变化而变化、是有未知数的式孑”；“这是一次函数”或无理由 等，可见虽然判断正确但判断的理由却反映出学生还没有掌握函数的本质。 第( 2 ) 题选择正确的理由也有多种，如：”对于y 的每一个值，都有唯一的f ( y ) 与它对应”；“它表示两个变量之间的关系”：“是指数函数”等。其中“是指数函数” 的答案最多。选择错误的原因如：“只有一个变量、取值无对应”或空白等。可见错 误的学生对于变量的表示及何为自变量，何为应变量理解的不透彻，此外对函数的抽 1 7 对高中生函数概念理解的调杳研究 象符号表示方法没有掌握。 第( 3 ) 题选择错误的原因也很多，如：“它是一个常数”；“只有一个变量”；“没 有自变量”；“随x 的变化函数值不变”等。 第( 4 ) 题选择不是函数的理由如：“不符合函数的形态”；“这是一个方程”或无 理由。选择是函数的理由为“有两个变量”。 表1 3 第3 题正确率统计结果 题号3 ( 1 )3 ( 2 ) 平均 人数( 1 2 0 ) 5 28 06 6 所占比例 4 3 6 7 5 5 从表3 统计结果课看出第( 1 ) 小题回答是函数的占4 3 ，不是函数的人数较多 达5 7 ，回答不是函数的理由有：“无规律”：“这是点集”；“月份和产量没有固定关 系”；“不成比例关系”：“两者无关系”；“不随自变量的增大而增大或减小”。第( 2 ) 小题回答是函数的占3 3 ，回答4 i 是函数的占6 7 ，虽然回答正确的人数较多，但这 里含有很多认为表格不能表示函数的学生，而不是因为不是数集的原因，这一点可以 从回答的理由看出，回答不是函数的理由有：“无关系”；“无规律”；“不符合函数概 念”，能正确写出原因的不多。相比前面对解析式的判断，对表格表示函数的方式学 生掌握的差很多。 学牛学习函数概念是通过学习一次函数、二次函数和反比例函数等函数不断加深 的，而这些都是有解析式的，所以学生认为只有用解析式表示的才叫函数，将函数的 非本质属性当成了本质属性，扩大了函数的内涵。同时很多学生认为表格不能表示函 数，认为“科室”和“人数”没有关系，将函数的外延缩小。内涵的扩大和外延的缩 小导致学生对函数概念模糊不清，抓不住概念的本质属性。 表1 4 第4 题正确率统计结果 1 8 对高中生函数概念理解的调奄研究 人数( 1 2 0 ) 9 85 5 6 79 16 27 5 所占比重 8 2 4 6 5 7 7 6 4 5 6 3 由表4 统计结果可以看出第( 1 ) 题和第( 4 ) 题正确率较高，第( 2 ) 题正确率 较低只有4 6 。 第一题回答不是函数的原因有：“对于x 的值”；“y 有两个值与之对应”：“因为 与y 轴有两个交点”；“不是x y 而是y x ”；“不是唯。一的数与之对应”。 第( 2 ) 题回答是函数的原因有：“每个x 都有唯一一个y 值相对应”；“y 随x 的 变化而变化”：“满足一一对应”；“是分段函数” 第( 3 ) 题回答不是函数的原因有：“x 不随y 的改变而改变”；“x 轴上的数y 有 不止一个值与之对应”： 值得注意的是回答是函数的原因有：“符合函数图像( 直线) ”。 第( 4 ) 题回答不是函数的原因有：“存在一个x 值有两个y 值与之对应”：“这 是两个函数”。 第( 5 ) 题回答是函数图形的原因有：“每个x 的值都有唯一y 值与之对应”：“符 合一一对应”；“有两个变量；y 随x 的变化而变化” 回答不是函数的原凶有：“是点，不是线”：“函数是一条线”。 总的来看，学生对第4 题所做判断的理由多种多样，其中利用“对于每个x 的值 都有唯一一个y 值与之相对应”解释的比例最高，其次是用“一一对应”的较多，值 得注意的是有学牛只利用已学函数的图像来判断，认为“不是直线或不是一条连续的 线”就彳：是函数。说明很多学生在判断函数时利用的彳i 是函数的定义，而是用函数在 头脑中的意象来判断，甚至学生连函数的定义是什么都不是很清楚，意象的偏差直接 带米判断的错误。概念的意象在概念形成、理解、运用中有着重要的作用，它构成了 数学概念的关键部分。学生在记忆、标准、运用数学概念是，多是与概念意象项联系， 却较少使用概念定义。概念意象和概念定义有联系也有区别，与精确的形式定义相比， 概念意象包含较多的无关特征，具有主观性、变化性、模糊性。因此概念意象的贫乏 1 9 对高中生函数概念理解的调查研究 和不恰当会导致错误概念的产生，用概念意象代替概念也会造成许多错误。如“