（应用数学专业论文）灰色预测控制模型的病态性研究.pdf

武汉理工人学硕士学位论文 摘要 灰色理论研究的是“少数据不确定性”问题，经过短短2 0 年的发展已成为 一门完备的理论体系，其应用范围也不断拓宽，已先后在控制、农业、地质、 电力、图像、经济等数十个领域得到广泛的应用。灰色预测控制是通过g m ( 1 ， 1 ) 模型对系统行为进行预测，根据预测值的大小对系统进行控制。而g m 模 型的病态性有时会严重影响实际预测控制效果的准确性和可靠性，因为当系数矩 阵的条件数很大时，数据的微小变动或计算中的舍入误差常常造成预测值的巨 大误差。因此研究g m 模型的病态性问题，寻找能降低系数矩阵条件数的有效方 法，是保证灰预测控制实际效果可靠性的重要基础。邓聚龙教授首先注意到了 灰色模型的病态性问题( 或解的漂移问题) ，但如何解决该问题，仍处于探索之中。 本文主要研究灰色模型建模过程中出现的病态性问题。 为了全面反映病态性理论及其应用研究的最新进展，首先，本文介绍了国内 外最新的求解病态性方程的方法，然后介绍了狄色模型病态性问题的研究进展 灰建模理论是灰色系统理论的核心内容，在建模过程中通过引入累加法、 最小二乘法对参数进行估计，取得了较好的效果。本文用特征分析法与条件数法 对灰色模型的病态性进行了诊断，并试图就这两个方法的概念、区别与联系，以 及存在的模糊认识进行研究和澄清另外，本文利用g e r s h g o r i n 定理分析了灰色 模型后指出：累加和最小二乘法是灰色模型病态的直接原因引入累积法g m 模 型一一种新颖的参数估计方法，研究表明累积法g m 模型条件数一般都较小，属于 良态模型。 g m ( 1 ，1 ) 模型是灰色模型理论的核心内容，是灰预测和灰控制方面应用 最广泛的灰色模型。本文研究了仿射变换对g m ( 1 ，1 ) 模型及模型参数的影响； 通过求解降低模型病态性及提高建模精度的两个目标的优化函数后，得出对a g 0 序列实施仿射变换不仅能有效降低系数矩阵的条件数，还可以提高建模精度。 g m ( 2 ，1 ) 模型由于有两个特征值，能反映系统单调的、非单调的或摆动 的( 震荡的) 情形，在g m 建模型中有重要的地位。本文研究了数乘变换对g m ( 2 ，1 ) 模型的影响后发现：原始序列的数乘变换并不影响模型的发展参数和预 测精度，与控制参数、预测值均为线性关系，选择适当的数乘变换还可降低模 武汉理上人学硕士学位论文 型的条件数。 本文在灰色系统模型病态性的理论研究方面做了一些初步探讨，在理论和 方法上有一些创新结果，但也存在许多问题，其他灰色模型如g m ( 2 ，1 ) 模型， 灰色v e r h u l s t 模型等的病态性还没有得到彻底解决，累积法g m 模型条件数一般 都较小的理论依据还有待进一步探讨，今后我们将在这些方面作进一步研究。 关键词：灰色模型；预测；控制；病态性；仿射变换； i i 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e 乒a ys y s t e mt h e o r yd e a l sw i t ht h eu n c e r t a i np r o b l e mw i t hn oe x p e r i e n c ea n d l i t t l ed a t a w i t ht w e n t yy e a r s d e v e l o p m e n t s ，i tf 0 瑚sas e l f _ c o n t a i n e di h e o r ys y s t e m ， a n da l s ob e c o m e san e wi m p o r t a n tm e m b e ro f s y s t e ms c i e n c et h e o r i e s m e a n w h i l e ， t h ea p p l i c a t i o no ft h e 掣a yt h e o r yb e c o m e sb m a d e ra n db r o a d e r ，a n dt h et h e o r yw a s a p p l i e d i nd o z e n f i e l d s ， i n c i u d i n gi m a g e ， u f e s c i e n c e ， g e o l o g y ，a g r i c u i t u r e ， e n v i r o n m e n t 。p r o t e c t i o n ，e l e c t r i cp o w e ra n dc o n t r o ls y s t e m t h ek e yt e c h n i q u eo f g r e yp r e d i c t i v ec o n t m l l e r ( g p c ) i st h eg m ( 1 ，1 ) g r a yp r e d i c t i o nc o n t r o lm o d e l ，b u t t h e r ee x i s t si i l - n d i t i o n e dp r o b i e mi nt h ee q u a t i o ng r o u po fg m ( 1 ，1 ) ，s o m e t i m e sm e c o n d i t j o ni ss e r i o u s ，i tw i ua f 艳c tt h es t a b i l i t ya n de f f i c i e n c yo fp r e d i c t i o nc o n t r o l s y s t e m ，p r o f e s s o rd e n gp o i n t e do u t h ei l l c o n d i t i o n e dp m b l e mo fg r a ym o d e l f i r s t l y b u th o wt o r e s e a r c hh a v e o ta p p e a l1 1 1 i s p a p e rm a i n l yr e s e a r c ho nt h e i l l c o n d i t i o n e dp r o b l e mo f g r a ym o d e l i no r d e rt os h o wn e w d e v e l o p m e n t so f t h eg r a y h e o r ya n dt h e 擎a yt e c h n o l o g y f i r s t ，t h ep a p e ri n t r o d u c e st h et h e o r y sb a s i sa n di t st y p i c a le x a m p l e so fd e v e l o p m e n t t 1 1 e ni n t r o d u c e st h en e w d e v e l o p m e n t so ft h er e s e a r c ho nm - c o n d i t i 咖e dp r o b l e m i n g r a yt h e o 珥 g r e ym o d e l i n gt t l e o r yi s t h ek e ym a t t e r0 f 酎a yt h e o r y i nm o d e l i n gp r o c e s s ， b e c a u s eu s i n ga c c u m u l a t eo p e r a t i o na n dl e a s ts q u a r em e t l l o d ，w eg e tb e t t e re f l i e c t b a s e do nc o n d i t i o nn u m b e ra n d e i g e n v a l u ea n a l ”i c a i t h e o r e m ， t h i s p a p e r d i a 印o s e o nt h ei l l c o n d i t j o n e dp r o b l e m ，p o i n to u tt h ea d v a n t a g ca n dd i s a d v a n t a g eo f 【h i st w om e t h o d s t h m u g h a p p l y i n gg e r s h g o r i nt h e o r e l n ，a n a l y z e a n dg e tt h a t a c c u m u l a i eo p e r a t i o na n dl e a s ts q u a r em e t h o di s t h ed i r e c t i o nr e a s o no fm e i l l c o n d i t i o n e di n 酎a ym o d e l t h i sp 印e ri i l t r o d u c e sc u m u l a t i v eg mm e t h o d ，an e w m e t h o dt oe s t i m a t et h e i rp a r a l l l e t e r t l l o u 曲p r a c t i c c ，w eg e tt h ec o n d i t i o nn u m b e ro f c u m u l a t i v eg mm e t h o di sl i t t e rc o m m o n l y ，t h e s em o d e l sb e l o n gt ow e l l c o n d i t i o n e d m o d e l g m ( 1 ，1 ) g r a yp r e d i c t i o nc o n t r o lm o d ei st h ek e yt e c h n i q u eo fg r e ym o d e l ，h a s b e e nu s e d w i d e l y i n p r e d i c t i o n c o n t r o lm o d e l 1 1 l m u 曲s t u d y i n g a f f i n e d t r a n s f o r m a t i o no nt h eo r i 百n a ls e q u e c ea n da c c u m u i a t e dg e n e r a t i n go p e r a t i o n ( a g o ) i 武汉理工大学硕士学位论文 s e q u e n c et t h i s p a p e rp r e s e n t s t h a t s e l e c t i n gp r o p e r e n t e r p a r a i i e lm o v i n g t r a i l s f 0 册a t i o t oa g o s e q u e n c ei ng m ( 1 ，1 ) m o d e l i n gp r o c e s si sa ne f f e c t i v e m e t h o df b rs o l v i n gi l l c o n d i t i o n e dg m ( 1 ，1 ) m o d e li ng r e yp i 弓d i c t i o nc o n t r o l l e l d u et o g m ( 2 ，1 ) m o d e lh a st w oe 逗e n v a l u e ，c a nr e n e c ts y s t e mc a s es u c ha s m o n o t o n y n o n - m o n o t o n y o rs w a y ( s h a k e ) ，s oj th a s i m p o r t a n ts t a t i o n i n g r a y m o d e l t h o u g hs t u d y i n g t h ea f f e c to f m u l t i p i yt r a n s f o r m a t i o no ng m ( 2 ，1 ) m o d e l ， w e g e tm u l t i p l y t r a n s f o m a t i o no n o r i g i n a ls e q u e n c e d o e sn o te f f e c to nt h e d e v e l o p m e n tp a m m e t e ra n dp r e d i c t i o np r e c i s i o n ， c a nd e n o t ec o n t r o lp a r a m e t e ra n d p r e d i c t i o nv a l u el i n e a r i t y i fw e c h o o s e p r o p e rm u l t i p l yt r a n s f o m a t i o n ，w ec a n r e d u c e t h eo d n d i t i o nn u m b e l p r e l i m i n a r yr e s e a r c h e s a r es t u d i e do ni 1 1 一c o n d i 垃o n e dp r o b l 锄孕a ym o d e l i n g w i t hs e v e r a l i n n o v a t i o n si nt h i sp 叩e r h o w e v e rm a n y p r o b l e m s a r cs t i l le x i s t e d ，s u c h a sh o wt od o w l l r i g h ts o l v et h ei 1 1 c o n d i t i o n e dp m b l e mi ng m ( 2 ，1 ) m o d e l ，g r a y v 色r h u l s tm o d e l ，柚dt h et h e o r yo fw e l l c o n d i t i o n e do fc u m u l a t i v eg r e ym o d e l w e s h a l 】c o n t i n l 】er e s e a r c ba tt h e s ef j e h j si nt h ef u t u r e k e y w o r d s ：g r e ym o d e l ；p r e d i c t i o n ；c o n t r o l ；l c o n d i t i o n e d ；a m n e dt r a n s f o m a t i o n ； 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章文献综述 灰色理论是针对既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定 性”问题提出来的。经过短短2 0 年的发展，已经形成了以灰数学为基础的门 完备的理论体系，也是系统科学理论群体的一个重要的新成员。同时，灰理论 的应用也在不断的拓宽，现在已经先后在图像、生命科学、地质、农业、环保、 电力和控制等数十个领域中得到了广泛的应用。 灰色模型是一个近似的差分微分方程模型，具有微分、差分、指数兼容等 性质，模型的参数可调，结构随时间而变，突破了一般建模要求数据多、一般 得不到“微分”性质的局限，是建模思路和方法上的新突破。在实际应用中， 只要完全掌握了建模的特点和建模方法，g m 模型一般都有较好的拟合效果 灰色预测控制是基于灰理论的原理、观点和模型，以少数据不确定为特征 的控制，其思想是通过灰色模型对系统行为进行预测，根据预测值的大小对系 统进行控制。 g m 模型是灰色系统理论的核心，是灰预测和灰控制方面应用最广泛的灰色 模型。而g m 模型由于其特殊的建模方法( 由累加数构成及最小二乘法的参数估 计方法) 导致模型在不同程度上存在着病态性，有时还异常严重( 条件数达到1 0 这对控制系统的稳定性影响很大，其预测、控制结果的可靠性也受到人们的怀疑。 因此寻找能降低系数矩阵条件数的预处理方法，引起了许多学者的关注。 一般的，对大数或小数集中在某行或某列的病态矩阵，可以用数乘法很方 便的降低其条件数；对大数或小数的分布没有规律的，常采用避开解正规方程 组的方法或其他算法，这在理论上和运算上比较复杂，难于操作( g m ( 1 ，1 ) 模型 的病态矩阵就属于这一种) 。文献【1 】首先注意到了灰色模型的病态性问题( 或解的 漂移问题) ，文献【2 】分析了三种g m 模型病态性的原因，但如何解决该问题，仍处 于探索之中。 1 1 病态性理论 条件数是衡量矩阵病态性的一个最常用的标准。 对方程组 武汉理工大学硕士学位论文 4 x = 6 进行摄动分析，首先令爿固定且爿为非奇异，6 摄动一个6 b ，x 解变为 x + 6 工，即 制s 剖 酬i s 黼 刮p 。1 鲥。虬有斜s 黯 从上式可以看出，忙一1 爿i | 愈大，爿，b 摄动使解z 的变化越大， 忙1 爿0 反 2 武汉理工大学硕士学位论文 删m 叫掣箸二善 称c 硎d ( 爿) ( 或记为r ( 彳) ) 为矩阵4 求逆的关于算子范数| i | | 的条件数。 常用的是关于p 一范数| | | | 。的条件数，可记作c o n d ，( 爿) 。 对矩阵一= ( 口。) 。r ，常用的范数有 = 嘴m 2 踹孙i ， i i 爿l l = ( ；蓦i n 。1 2 ) “2 ( f ，。6 e n z “s 范数) ：= p 似7 爿) 】啦 引理1尺上所有矩阵范数彼此等价 即在利用矩阵范数进行分析和估计时，范数的不同选区一般不会使结论 产生本质上的差别 若c 伽d ：( 4 ) = ”。”恻l ：，称c 伽d ：( 爿) ( 或心( 4 ) ) 为谱条件数，其中，这里 p 似7 爿) 是4 7 爿的谱、# 径 定理l设4 r 是非奇异矩阵，则 ( 1 ) 成立 f ( 爿) 1 r ( 爿) = r ( ) ； 茁) = d 刎) ，n r o ( 2 ) 叫小端，其中州) 并口州) 分另。表示4 的最大奇异值 和最小奇异值，即彳爿的最大特征值和最小特征值的非负平方根 3 武汉理上大学硕士学位论文 ( 3 ) 若4 是正规矩阵，则 m a x r z ( 爿) 2 孙 m “ 定义1 设4 r ，| | | | 是+ 种矩阵范数，k ( ) 是关于1 1 | 1 的条件数。 如果盯( 彳) 是大的，则说爿是关r 范数i | 1 i 的矩阵求逆或方程组求解的病 态矩阵。 如果盯( 爿) 是小的，则说4 是关于范数| | | l 的矩阵求逆或方程组求解的良 病态矩阵；特别的， 茁( 爿) = 1 时，说爿是完全良态矩阵。 实践中一般认为：若1 c 七o ) c 1 0 ，则爿为良态的：若1 0 sj i o ) c 1 0 0 ，则 爿为轻度病态；若1 0 0 9 ) 1 0 0 0 ，则4 为中等程度或较强的病态：若 ) 1 0 0 0 ，则4 为严重的病态。 1 2 病态方程求解技术综述 病态方程血：y 的解法要追溯到t i k h o n o v 在1 9 6 3 年发表的两篇论文。，称为 f 则化解法，其准则是下列光滑函数中。( x ) 取得极小值，即 m 。o ) = 1 1 a r y + 口1 2 = m i i l ( 1 ) 式中：中a “) 称为t i k h 衄o v 光滑函数；口为正则化参数，应满足条件口，o ，符号 表示x 的范数，其定义为工7 x 如果已知正则化参数，上式具有唯一解， x t 口+ 2 ，) “4 7 y( 2 ) 矩阵爿r 爿+ ：j 的特征值在 z ， z + 门之间，则条件数s ! 雌，且随着 的增 大而减小，从而可以控制病态性 文献 6 提出了一种改进的t i k h o n o v 正则化方法 若y ：血+ ，“) = 盯2 y ，盯2 y 为对称正定协方差矩阵，j 为权重矩阵，则 x 墨阳7 y - 1 彳+ u ，) _ 1 爿v 以y 当矿：，；，时，即为一般的t i l 【l l o n o v 正则化方法 该方法为了获得( 2 ) 式的解，文献 6 还提出了迭代t i k h o n o v 正则化方法，使 用如下迭代法求解 4 武汉理工大学硕士学位论文 x ( o ) = o r ( o ) 兰v 且，当f = 1 ，2 ，时 x 1 = j 。一1 + 0 4 7 爿+ 2 ，) 一1 爿7 r ( 2 一”，r ( 。) # y 一爿x ( 。) 假如已知矩阵爿的奇异值分解为4 = u y 7 ，其中u ，矿为诈交矩 阵，= d 抽g ( q ，呸，嚷) ，q 为矩阵爿的奇异值，则x ；瞳+ u y = 罗二( u y x k ， 镝u ， 其中k 为与奇异值q 对应的正交矩阵y 的第f 行向量文献【5 】提出了一种截断的 奇异值分解法f r s v d ) 1 9 7 0 年h e o r la e 和k e n n a r dr w 提出的岭回归( 或岭估计) 方法。1 也属 于正则化解法，且岭估计在有偏估计的均方误差意义下给出了估值精度的评价 方法，采用正则化算法能有效地提高参数估值的精度通过将4 7 爿附加岭参数丘 使参数估值的均方误差减小，改善了爿7 爿的病态性。但是究竟选取什么样的岭 参数最优，目前还没有一种很好的办法来解决。其模型为： x = 似+ 灯) 。1 y 其中t 为岭估计的岭参数。 广义岭估计。1 的定义为： x = 似7 爿+ 6 k 伊) _ 1 爿7 y 式中，g 为正交方阵，使 g 1 似7 4 ) g = a d 如g ( ，九， ) 式中， o ( f - 1 ，2 ，f ) 为爿7 爿的r 个特阵根。而k = 加g ( ，女：，t ) 为对角 阵，称为广义岭估计的岭参数“。 若= k ：z 七。= 七，广义岭估计就退化为岭估计 h o u s e h 0 1 d e r 方法，是将误差方程左乘一个镜像影射矩阵，使设计矩阵变 为一个上三角阵，从而方便地解出参数。这种方法既充分发挥了最小二乘法的优 点，又从一定程度上避免了正则矩阵的强复共线性对估计量的影响。 文献 1 1 介绍了h o u s e h 0 1 d e r 方法，都属于等精度观测误差方程的参数求 解。文献 1 2 提出了非等权观测误差方程式的等权处理方法若观测方程记为 血：工，误差方程为y = 血一三，权矩阵为 p 墨d f 口g ( p 1 ，p 2 ，一，p 。) ( b 0 ) p ；号2 5 武汉理工火学硕士学位论文 贝u 只y = # 爿工一号，记# y = y 。，# 爿= 爿，只l = c ，然后对y + = 彳。工一进 行参数估计。 自从1 7 9 4 年g a u s s 创立最小二乘法以来，特别是g a u s s m a r k o v 定理的建立， 最小= 乘估计( l s 估计) 一直被作为一个良好的估计而被广泛地采用。然而，在应 用中，人们逐渐发现法矩阵的病态性往往引起l s 估计的性质显著变坏。为此， 许多学者就这一问题提出了有偏估计这一新兴的理论和方法。尽管有偏估计问 世的时间不太跃，但它己在许多领域显示出勃勃生机和强大的生命力。 目前提出的有偏估计主要有s t e i n 估计、岭估计、主成分估计、组合主成分估 计、根方估计等等，它们都是处理病态法矩阵的有效方法。但是，有偏估计与 l s 估计一样不具有抗差性，它们极易受到 r 差的强烈干扰，导致解案面目全非。 事实上，有偏估计只解决了设计空间的不完善对参数估值的影响，并未考虑到 观测空间或者说观测误差的影响。文献 1 3 应用现代抗差估计理论，提出了一个 抗差有偏估计类( 抗差泛岭估计类) 并且建立了抗差泛岭估计的计算方法。理论分 析和模拟计算表明，抗差泛岭估计具有既可克服法矩阵病态性影响又可抵抗粗 差干扰的良好性质。 1 4 1 8 只涉及到岭估计的抗差问题。 1 3 数乘变换下四种灰色模型 在灰色系统理论中，生成是一个重要的概念和方法，而数乘变换则是灰色 建模的基础在灰色系统建模过程中，一般对收集来的原始数据必须进行数据变 换和处理，使其消除量纲和具有可比性，而近年来的研究表明，原始数据的数据 变换还是调整和提高g m 模型精度的重要手段。常用的变换方法有初值化、均值 化、归一化、区间值化及坐标平移等，其中的前4 种方法都可归结为数乘变换。 在单因素或多因素的系统建模中，由于涉及到的数乘变换的数量很多，这些变换 对灰色系统模型的参数和预测值有何具体影响，它们间的量化关系怎样，显然需 要在理论上做深入探讨。 1 数乘变换下的g m ( o ，n ) 模型 文献 1 8 ，1 9 讨论了原始数据的数乘变换对g m ( 0 ，n ) 模型的影响问题，指 出了系统的预测值只与系统主行为原始数据的数乘变换方式有关，而与系统行 为因子的数乘变换无关。该结论在多因素的灰色建模中有重要的实际意义。因 为无论系统行为因子的单位( 或量纲) 是否相同，都不会影响系统的预测值和 6 武汉理工大学硕士学位论文 误差， 这样在g m ( o ，n ) 建模过程中，是否需要对原始序列做初值化或均值化等处理完 全可根据其它的因素，如计算量的大小，数据的实际意义等来决定。 2 数乘变换下的g m ( 1 ，1 ) 幂模型 设口。，“，b 。分别为原始序列_ ) ( o 的g p m 模型的参数和数据矩阵，上序列 的g p m 模型的对应参数和数据矩阵为口，屿e 工( ) = p y 棚( ) ，= 1 ，2 ，h 则 有口= 口。，“= p1 “。 3 数乘变换下的g m ( 1 ，n 1 模型 设陋，6 6 ，b v r 、 ，6 ：，6 3 i 6 。】7 是分别建立在原始序列y | 【i l 和数乘 变换m t 序列z p 上的g m ( 1 ，n ) 模型的参数向量，x j ) = p ，y ；( ) ，则有 口= 口，岛= 生1 6 ，。 一 4 数乘变换下的g m ( 1 ，1 ) 模型 文献 7 1 分析了灰色系统g m ( 1 ，1 ) 模型在建模过程中原始数列乘以不等 于零的常数对模型值及预测值的影响，得出g m ( 1 ，1 ) 模型完全适用于负数据 序列建模的结论 设原始数据序列乘以常数k ，蚝一o ，生成新的数据序列y 一，有 并且i = 瑶p 曰1 参数“1 = ，0 “，n 1 一口 5 平移变换下的灰色模型 为提高g m ( 1 ，1 ) 模型的预测精度，文献【1 6 】提出了优化模型( g o h u 其 思路是：首先利用传统的g m ( 1 ，1 ) 模型得到模型参数n ，“：然后对累加生成序列 工( 1 作平移变换以提高精度，由于平移值与模型精度之间存在某种数量关系， 通过建立优化模型得到最优的平移值c 。主要结论有 ( 1 ) ll 口“1 = “+ c n ( 2 ) i f o ( 女+ 1 ) = 膏o ( k + 1 ) + c + 1 ，其中+ 1 = 0 。一1 ) e 一“ ( 3 ) 为了确定使残差最小的平移值c ，提出下面的目标函数 7 垫望翌盔堂堡主堂篁笙苎 m i n f ( c ) = m i n 【鼋f o 他+ 1 ) 】2_ 1 = m i n 一冰+ 1 ) 埘川】2 上述模型有最优解： 。：尝夏n 矿“ 。1 一e 一2 ( 川p 鲁。严 1 4 解决g m ( 1 n ) 模型病态性的技术 文献 1 首先分析了g m ( 1 ，n ) 模型的病态性问题，邓聚龙教授在该文中指出： g m ( 1 ，n ) 建模的关键是数据矩阵b 的结构，若口中某行( 或某列) 之间过分悬殊或过 分接近( 彼此相等) ，则矩阵出现过大条件数，造成解的漂移为了解决条件数过大问 题，g m ( 1 ，n ) 模型建模序列，要做数据预处理比如初值化 1 5 累积法g m ( 1 ，1 ) 模型 累积法。”1 是一种曲线拟合技术，该体系最初是从意大利数学家马尔奇西 ( p m a r c h s i ) 首创的累积法雏形中得到启发而形成的。其基本思想是利用有关 数据的累积和( 即对某列数据按照一定的叠加规律，进行不同的叠加后所得到 的结果) 及权数直接估计模型有关的系数，在经济计量模型的结构参数的估计 方面有着非常好的效果【5 6 】。下面给出g m ( 1 ，1 ) 模型中参数的累积法估计。 首先对g m ( 1 ，1 ) 模型方程旌加累积算子，假设累积法算子的最高阶数为r ， 由于模型参数有2 个，因此r 一定不小于2 。这样取r = 2 乏。v 吣 ) + a r 邶) 2 ”乏。 荟2 x ”( ) + n 荟2 z 。( 2 ) 2 “荟2 如果记 8 武汉理工大学硕士学位论文 x 。； 夏 荟 一荟。1 h 一乏但3 z =一夏。 ) 一丕2 ) 那么方程组可以写成矩阵如下形式： ，n = r 同理可得参数估计： 4 ；x j l r 大量的应用实例表明，基于累积法参数估计的g m ( 1 ，1 ) 模型也具有很高的精 度。 为进一步比较累积法g m ( 1 ，1 ) 模型与原g m ( 1 ，1 ) 模型的差别，文献【9 4 ，1 0 9 】 讨论了g m ( 1 ，1 ) 模型中的参数性质，以下对累积法g m ( 1 ，1 ) 模型的参数性质进 行类似的研究。 累积法g m ( 1 ，1 ) 模型中参数的显示表达式为： a = 高r 弘睁扩卜备 “= 高【亳m ) 薹忙v ” ) 一耄扩 ) 亳犯k ( o ) 2 禽 其中 l b i 2 荟。荟2 z 。( ) 一荟2 + 荟。z 。( 2 ) 设y ( 。】；( y ( ”( 1 ) ，y ( 。( 2 ) ，y ( ”( n ) ) 是原始序列z c 。的数乘变换序列，即存在常数 p 使得x ( 。) 。p y ( 。衅) ，女；l 2 ，n 如果序列y ( 。) 与z ( 0 ) 的累积法g m ( 1 ，1 ) 模型 中的参数、预测值、误差分别为： ( i 西7 ，( 口，“) 7 ，o 位) ，i ( 0 1 ) ，； ) ，e ( t ) ，女- 1 2 ，n 则有 n 。：，“；p i ，i 。罅) - p ，。壮) ，e ) = ； ) t l 2 ，h 上式表明：假如模型因为其他种种原因，如绝对数较大：数据变化较大等原 因，我们仅仅只需要对原始数据进行数乘变换就可以了在累积法g m ( 1 ，1 ) 模型 日 z z 武汉理工大学硕士学位论文 中，发展系数a 及预测值j c 。 ) 均与序列初值z 种( 1 ) 无关。以上结果与文献 1 中 关于g m ( 1 ，1 ) 模型的结果完全一样，这说明利用累积法作为参数估计建模完全保 留了原g m ( 1 ，1 ) 模型的性质。 1 6 展望 病态方程的求解直是应用数学研究的热点，目前有r l ：多解决病态的方 法，采用的原理可分为：改变解的定义：将要求解准确地满足已知条件改变为接 近满足：改进求解方法：对方程组进行规范等几种。这些方法都可以不同程度地 改善病态，提高解的稳定性，但这些方法无论是计算精度还是通用性都还存在 不足之处 灰色模型的病态性问题已受到许多关注，模型病态的直接原因己经找到， g m ( 1 ，n ) 模型的病态性问题已得到解决，并且有了新的估计参数的方法：累积法， 这种方法因为回避了最小二乘法，而导致模型具有较小的条件数。但如何解决 其它灰色模型的病态性问题，还有待进一步研究 1 7 小结 本章主要内容如下： 1 ) 系统综述了病态性理论及求解病态性方程的技术； 2 )系统综述了数乘变换下的灰色模型的参数变化情形 3 )综述了最近解决灰色模型病态性的技术。 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章灰色模型的病态- | 生诊断 病态性问题在工程控制、测量平差模型、经济、统计分析等数据处理中是 。分常见的【3 9 _ 4 ”，病态方程微小的观测误差或计算中的舍入误差会导致计算结 果有很大的误差，其危害十分严重。习找解决模型病态性的预处理方法( 或称平 衡方法) 以削弱和克服数据的病态性对参数估计的不良影响，仍是各领域面临的 重大问题。 灰色模型( g r e ym o d e l ，简记为g m 模型) 的病态性有时会严重影响实际预测 控制效果的准确性和可靠性。对灰色模型的病态性进行正确的诊断，是研究如何 削弱和克服其病态性影响的基础。 2 1 灰色模型概述 灰色模型是灰色理论的核心内容，它是灰色控制理论与灰色预测理论的 基础灰色系统理论通过定义灰导数，利用系统的少量离散数据序列建立近似微 分方程，以反映系统的动态特征，其微分方程的形式： d “1 d ”1 1 扩_ 2 1 五； + “，寸+ “：矿+警鸲1 ，啷+ 列1 ) + 其中等，专笋称为灰导数，x 称为背景值口i ，岛称为参数 化为矩阵形式： n ( 墨”，2 ) n ( 掣，3 ) n 协( 掣，) n 即枷( ”，2 ) ， n 协。，( 掣，3 ) ， 2 ) 3 ) n 4 ，( ”，) ，n “。2 ( ”，) ，n o ( ”，) 口l 4 2 ： 口n 一1 + 墨 ，il，i n o 口 球 “叫“叫 背尊 ，ji，fi 2 2 = 卜 盯 口 武汉理工大学硕士学付论文 y = 口= 一z o ( 2 ) ，x ( 2 ) ，1 ( 2 ) 霹( 2 ) 一z o ( 3 ) ，x ? ( 3 ) ，z ；”( 3 ) 霹( 3 ) 一z o ( ) ，工? ( ) ，砖”( ) ”( ) 其中 z ) ：三 爿1 ( t ) + 斟，1 一1 ) 】， ：2 ，3 ， n 0 1 ( 掣，2 ) n t 曲( ，3 ) = 一 一z “( 2 ) ，工? ( 2 ) ，砖”( 2 ) 屯”( 2 ) 一z o ( 3 ) ，工 ( 3 ) ，毯”( 3 ) ”( 3 ) 一z ”( ) ，x ：1 ) ( ) ，”( ) 硝”( ) 方程化为 y = 爿 口1 2 + b 口 岛 ： 6 一。 口“ 6 1 ： _ 一。 n 扣删，2 ) ， 仃”。2 ( 爿”，3 ) ， “o 。1 ( 爿”，) ，n 。- 2 ( “，) ，n o ( ”，j v ) = 涫) 1 口2 n 一1 口 岛 ： 一。 - i 占) ， ，为要估计的参数，按最小二乘法，得，- _ ；丑) 7 即涫) ( 爿；口) 7 y ，其中 ( 41 b ) 7 口! b ) 为实对称矩阵。 下面分析g m ( 1 ，1 ) ，g m ( 2 ，1 ) ，灰色v e r h u r s t ，模型： ( 1 ) g m ( 1 ，1 ) 将模型转化为： 1 2 刁对 i ，jj，j、 口 、ij l i j 七 。 球茸 ，f_、，i 卜 p 口 4 武汉理工大学硕士学位论文 等一1 ) - 。，二_ 刚r d t 。 。o 令“；得1 1 ，1 ，1 7 ( 爿i 曰) = 日= b 。曰= 一z ( 1 1 ( 2 ) 一z 1 ( 3 ) 乏p ( ) 2 一荟z ( 1 ) ( 。) z m ) = 三 耐1 ) + x ：1 ( t 一1 ) ，t = 2 ，3 ，| v ( 2 ) g m ( 2 ，1 ) 将模型转化为 等蝎譬+ 。豳m 叫：呲，。 r 1 ，蜘，言枷豳”k 虬扣h “j 令“= 魄吐得_ 1 ，1 ，1 r ( 爿；b ) = 一o 耐”，2 ) - 一口o 暖“，3 ) 一口o “”，砂 ( 爿! 曰) 7 ( 爿! 曰) = - z 1 ( 2 ) 1 - z 1 ( 3 ) 1 z 1 ( n ) 1 荟 州2 ) 荟 ) 州七) 一荟石柚 ) ( 3 ) 灰色v e r h u r s t 模型将模型转化为 x o ( 七) + n z 1 1 ( 七) = 6 ( z 1 1 ( 七) ) 2 ，贝0 1 3 一工o ( 2 ) 一z 1 ( 2 ) 1 一x ( o ( 3 ) - - 一z 1 ( 3 ) 1 一工( o ( n ) - 一z 1 ( ”) 1 荟x 0 ( 七) z 。( 2 ) 一夏x 0 ( 尼) 舻1 删2 一扩( 七) n 一1 协 ，。酽p 武汉理工大学硕士学位论文 似；占) = 一( 2 ) 一z 1 ( 3 ) z 1 ( 2 ) 2 z ( 3 ) 2 ( 爿 b ) 7 ( 爿；b ) = 2 2 病态性诊断技术 ，y ； 荟( 娥) ) 2 一乏( 一”3 工o ( 2 ) 上o ( 3 ) x o ( ) 一荟( 邶) ) 3 荟( 邶) ) 4 有 2 2 1 特征分析法 b e l s l e y 通过对复共线性与病态性关系的研究，发现在线性模型的最小二乘 法( l s ) 估计这种情况下模型的病态性等同于数据的病态性【2 1 】。因此，在这种特殊 情形下，对模型病态性的诊断可以转化为对设计阵复共线性的诊断。通常我们 说的复共线性，指的是设计阵数据列间的复共线性，换句话说，是指其中的某 些数据列可以由其余的数据列近似( 非精确) 地线性表示。复共线性诊断的主 要任务是：分析设计阵的列向量问是否存在复共线性；到底有多少个复共线性 关系；每一个复共线性的严重程度、复共线性存在于哪些数据列之间：以及评 价采用l s 估计作为模型未知参数的估计的合理性等等。 通常我们说的复共线性，指的是设计阵数据列间的复共线性，换句话说， 是指其中的某些数据列可以由其余的数据列近似( 非精确) 地线性表示。不管 有没有明确的统计意义，设计阵的列向量之间都可能并且也可以存在复共线性， 因此复共线性本质上是一个数据问题，所以对复共线性我们只能说“诊断”， 而不能说“检验”它是否存在。 关于复共线性的诊断、复共线性严重程度的度量以及复共线性对l s 估计等的 影响程度的研究，是近年来十分引人注目的一个热点问题，到目前为止，人们 已经提出了约1 0 余种诊断技术。早期的一些方法如直观诊断法、行列式法、相 关系数法等，由于在实际应用中有难以克服的局限性，已逐渐被摈弃。人们通 过对这个问题进行深入的研究，提供了许多应用性较强的理论和方法“ 灰色模型中，为估计灰色微分方程的参数，常将其白化后利用最小二乘法 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 转化为 阿= y + pe 0 ) = 0v a r ( e ) = 仃2 ，( 1 ) 式中，系数矩阵口r ，待估参数，r “1 ，观测向量y r “及其误差向量 e r ”1 ，如果是各元素相互独立的偶然误差向量，通常用最小二乘法来估计r j = ( 占1 b ) _ 1 b 。) 丘作为，的估计是否良好，一般应该考察它的均方差2 3 】( m e a ns q u a r e e r r o r 记为 m s e ) ，实践表明它是一个衡量丘与，偏离大小较好的数量指标。定义为： 船( 丘) = e ( 9 一刘2 ) = 研( 矗一，) 7 ( 丘一，) 】 引理2在模型( 1 ) 下，有 腮( ，l ) = 盯2 护( s 。) 设模型( 1 ) 的误差服从正态分布e 口n ( 0 ，盯2 i ) ，有 蹦r ( 忱一州2 ) = 幻4 打( s 。2 ) 其中s = b 7 b 由于s ；口7 b ，0 ，其特征根皆为正数，设有 2 t ) o 又s _ 1 的特征根为丢，f 1 1 ，2 ，“有f r ( s - 1 ) 2 耋去，故有符 臌珏a 2 砉砉 眦c 1 2 ) = 2 。4 骞丢 由此可见，当九很接近于0 时，即s = 矿丑呈现所谓“病态性”时，肘配 ) 与 删月( 忙一x d 的值都很大，即预测值很不稳定，所以我们认为；不是x 的良好估 武汉理工大学硕士学位论文 计。 实事上，令b = ( 日岛e ) ，若c 为对应于口7 b 特征根 的标准正交化 特征向量，且兄一o ，则 曰1 曰c ： c 。0 两端左乘c 1 ，则得 c ，b 7 b c 篇0 从而有b c o 记c 7 = ( c 1c ：e ) 于是 b c = c 1 e + c 2 8 2 + c e 一0 上式表明，口的列向量之间有近以的线性关系，特证分析法计算简单，但b 曰特 征根很近于“o ”是一个很模糊的说明，应用上很难掌握。在纯数学中，若b 7 且 是奇异方程，则认为其列向量线性相关，而如果0 7 b 是接近奇异的，则认为它 的列向量接近线性相关。如今常命名为复共线性关系( m u l t i c o l l i n e a r i t y ) 。 2 2 2 条件数法 条件数是衡量矩阵病态性的一个最常用的标准f 州。 一般来讲，若r f 4 1 很大，即使4 和6 的扰动很小，也能引起x 的很大偏 差。要改善x 受4