（课程与教学论专业论文）关于职前数学教师算法知识的调查与互助式教学设计初探.pdf

a l g o r i t h m i ck n o w l e d g e a n dt e a c h i n gd e s i g n d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ：ib 皇q 盟q ! 垡 i 婪! 坐匝坌凸鱼! d 三! 些! i q 凸 d i r e c t i o n ： 凹曼! b 皇田墨! l 坌! q 幽巳皇! l ! l q 凸坌凸垡 q 垫! 皇幽：三q ! y l 凸g a d v i s o r ： q ! 皇墨墨q 苎l q 凸g 昼i 凸 n a m e ： ! = 些q b 呈d g b q d g a p r i l 2 0 1 1 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文关于职前数学教师算法知识的调查与互助 式教学设计初探，是在华东师范大学攻读硬步扁士( 请勾选) 学位期间，在导 师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： o 年，月乡口日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 关于职前数学教师算法知识的调查与互助式教学设计初探系本人在华东 师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的砸专门尊士( 请勾选) 学位论文，本 论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留 和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据 库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数 据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方 式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密学位论文搴， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 、力2 不保密，适用上述授权。 导师签名型本人签名琢 2 , , 0 1 1 年f 月；o 日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ， 未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位 论文，均适用上述授权) 。 里墨塞硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 鲍建生教授华东师范大学主席 赵小平副教授华东师范大学 李俊副教授华东师范大学 陈月兰副教授华东师范大学 吴颖康副教授华东师范大学 摘要 算法初步作为普通高中数学课程标准( 实验) 中新引入的内容，引起了 广大教育工作者的关注。本文通过问卷调查和访谈的方法对职前数学教师算法知 识进行了调查研究，在此基础上，结合s e c i 模型并通过实验，对职前数学教师 同伴互助式算法教学设计进行了探索。研究主要围绕职前数学教师对算法初步知 识的理解、算法知识的应用、教材中算法初步的认识与教学设计这三个方面展开， 重点关注了职前数学教师在算法概念及特征、算法相关知识、算法史、伪代码、 算法经典案例、程序框图、数学中算法教学的特点与难点以及教学设计等方面的 表现，得出如下研究结果： 1 算法初步知识的理解方面：被试者对算法的认识不透彻，甚至存在偏差 和错误；被试者对算法的相关知识及伪代码的掌握较好；算法历史悠久，但被试 者缺乏对算法数学史的关注。 2 算法知识的应用方面：被试者对程序框图的理解较好，但没有做到熟练 运用；算法案例是学习算法的绝佳途径之一，但被试者缺乏对经典算法案例的理 解及研究。 3 对教材中算法初步的认识及教学设计：作为职前数学教师，被试者能够 正确看待算法在数学学科与计算机学科中的区别，以及算法教学与普通数学问题 教学的关系。但由于缺乏相关教学经验，故被试者对算法教学难点把握不准确。 最后通过实验表明，在s e c i 模型的指导下，职前数学教师能够以同伴互助的形 式创生出属于自己的算法教学设计。 最后根据研究结果笔者提出了几点建议。 关键词；算法职前数学教师s e c i 模型同伴互助 a b s t r a c t a san e wc o n t e n to f ，a l g o r i t h mh a sr e c e n t l yd r a w nw i d ea t t e n t i o n sf r o m m a n ys p e c i a l i s t so ne d u c a t i o n i nt h i sp a p e t h ea u t h o rt a k e sas u r v e yo np r e - s e r v i c e m a t h e m a t i c st e a c h e r s k n o w l e d g eo fa l g o r i t h mb yu s i n gq u e s t i o n n a i r ea n di n t e r v i e w c o m b i n e dw i t ht h es e c im o d e la n de x p e r i m e n t ，t e a c h i n gp l a n so fa l g o r i t h mb y p r e s e r v i c e m a t h e m a t i c st e a c h e r s p e e r - c o a c h i n gh a v eb e e nr e s e a r c h e d t h i s i n v e s t i g a t i o nf o c u s e so n t h ef o l l o w i n ga s p e c t ss u c ha sc o n c e p td e f i n i t i o na n d c h a r a c t e r so fa l g o r i t h m ，t h eb a s i ck n o w l e d g eo fa l g o r i t h m ，h i s t o r yo fa l g o r i t h m ， p s e u d o - c o d e ，t y p i c a lp r o j e c t o fa l g o r i t h m ，p r o g r a mc h a r t ，c h a r a c t e r i s t i ca n d d i f f i c u l t i e so fa l g o r i t h mt e a c h i n g ，a l g o r i t h mt e a c h i n gd e s i g n f r o mt h es u r v e yt h e a u t h o ro b t a i n st h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： a u n d e r s t a n d i n go fa l g o r i t h m t h es u b j e c t sh a v en o tq u i t eg r a s p e dt h ec o n c e p ta n d c h a r a c t e r so fa l g o r i t h m ，e v e nh a v es o m ed e v i a t i o no rw r o n g t h e yk n o ww e l lo f b a s i ck n o w l e d g eo fa l g o r i t h ma n dp s e u d o c o d e ，b u tl a c ko fa t t e n t i o no nh i s t o r y o fa l g o r i t h m b a p p l i c a t i o no fa l g o r i t h m t h es u b j e c t sa r en o te x p e c t e dt ou s ep r o g r a mc h a r tt o s o l v ep r o b l e mb u tc a nr e a dp r o g r a mc h a r tf l u e n t l y t h e yl a c ko fu n d e r s t a n d i n g a n dr e s e a r c ho ft y p i c a lp r o j e c to fa l g o r i t h m c v i e w p o i n t so ft e a c h i n gm a t e r i a l sa l g o r i t h ma n dt e a c h i n gd e s i g n a sp r e s e r v i c e m a t h e m a t i c st e a c h e r s ，t h es u b j e c t sc a nu n d e r s t a n dt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e a l g o r i t h mi nm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e rs c i e n c e ，a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n a l g o r i t h mt e a c h i n ga n do r d i n a r ym a t h e m a t i c a lp r o b l e m st e a c h i n g d u et ol a c ko f t e a c h i n ge x p e r i e n c e ，t h e yc a n n o tg r a s pt h ed i f f i c u l t i e so fa l g o r i t h mt e a c h i n g a t l a s tt h ee x p e r i m e n ts h o w st h a tu n d e rt h eg u i d a n c eo ft h es e c lm o d e l ，p r e s e r v i c e m a t h e m a t i c st e a c h e r sc a nd e s i g nac h a r a c t e r i s t i ct e a c h i n gp l a nf o rt h e m s e l v e sb y p e e r - c o a c h i n g s o m es u g g e s t i o n sa r eg i v e na tt h ee n do ft h i sp a p e n k e yw o r d s ：a l g o r i t h m ；p r e s e r v i c e m a t h e m a t i c st e a c h e r s ；t h es e c im o d e l ； p e e r c o a c h i n g 目录 摘要i a b s t r a c t 第一章引论。1 1 1 研究背景及意义1 1 2 研究问题4 1 3 论文结构4 第二章文献综述6 2 1 算法6 2 1 1 国际数学教育对算法教学的认识6 2 1 2 国外算法相关研究7 2 1 3 国内算法相关研究。9 2 2 同伴互助1 0 第三章理论基础1 3 3 1 算法的定义及相关概念1 3 3 1 1 算法的定义及特征1 3 3 1 2 算法的基本结构和基本语句1 4 3 1 3 算法的表述形式1 5 3 2 教师的知识构成及隐性知识1 5 3 2 1 教师的知识1 5 3 2 2 隐性知识的界定1 6 3 2 3 隐性知识的特征1 6 3 3s e c i 模型1 7 第四章研究的设计与实施过程2 0 4 1 测试问卷2 0 4 1 1 编制预测试问卷。2 0 4 1 2 实施预研究2 1 4 1 3 修改问卷2 2 4 1 4 生成正式问卷2 4 4 2 研究对象2 5 4 2 1 测试对象2 5 4 2 2s e c i 实验对象2 s 4 3 问卷实施2 5 4 4 问卷对象、访谈对象及实验对象的编码2 5 第五章数据整理与统计分析2 7 5 1 算法初步2 7 5 1 1 算法的概念及特征2 7 5 1 2 算法的相关知识3 1 5 1 3 算法的数学史3 2 5 1 4 伪代码3 4 5 1 5 本节小结3 5 5 2 算法的应用3 s 5 2 1 算法案例3 5 5 2 2 程序框图的应用3 8 5 2 3 本节小结4 2 5 3 算法的教学4 2 s 3 1 数学中的算法4 2 5 3 2 数学中的算法教学4 3 5 3 3 本节小结 第六章基于s e c l 模型的互助式教学设计初探 6 1s e c i 模型的应用 6 1 1 社会化 6 1 2 表征化。 6 1 3 联结化 6 1 4 内在化。 6 2s e c i 模型的补充 6 2 实验效果与后记 第七章研究结果与建议 7 1 研究结果 7 2 建议 第八章不足与后续研究 参考文献 附录l 预研究测试问卷。 附录2 正式研究测试问卷 附录3 六位实验者的算法概念教学设计 附录4 六位实验者的循环结构教学设计 致谢 第一章引论 1 1 研究背景及意义 算法历史悠久，可以追溯到9 世纪的古波斯，最初它仅表示“阿拉伯数字的 运算法则”。在国外，公元前2 1 0 0 年左右，美索不达米亚人已有了乘法表，其中 有六十进制的算法。公元前2 0 0 0 年左右，古埃及已有将乘法简化为加法的算法。 算法的英文a l g o r i t h m 明确出现于1 2 世纪，来源于阿拉伯数学家花拉子米 ( a i k h w a r i z m i ) 名字的拉丁译名a l g o r i t m i 。 在中国古代文献中称算法为”术”，最早出现在周髀算经、九章算术， 算术方法是一个由己知推求未知的运算过程。九章算术中给出了关于体积、 盈不足、勾股、方程及方程组求解的算法；三国时代的刘徽给出求圆周率的算法 刘徽割圆术；而南北朝时期孙子算经则举例说明筹算分数算法和筹算开 平方方法。我国从1 1 世纪到1 4 世纪，出现了一批著名的数学家和许多经典数学 著作，如：唐代有一位算法、算法；宋代有算法绪论、算法秘诀以 及著名的杨辉算法、详解九章算法；元代有丁巨算法：明代有珠算鼻祖 程大位的算法统宗；清代有开平算法、算法一得、算法全书等等， 其中一些方法在现代仍然是极为优秀的算法。 实际上算法无处不在，它是数学机械化的一部分，能够帮助我们解决复杂的 计算问题，甚至是一些诸如行程表的安排等生活问题。在2 0 世纪晚期，当一个 没有受过专门教育的人想到数学时，他首先想到的便是计算机。数学家们自己正 逐渐地接受机器计算进入他们的学科。对许多数学家而言，笔和纸仍是最重要的 工具。然而自2 0 世纪5 0 年代以来由于计算机的计算能力飞速发展，计算机已经 进入了数学主流问题的研究中。众所周知，算法是计算机的灵魂，计算机不能独 立算法而存在，或者说独立于算法的计算机其存在价值要大打折扣。 算法作为一种思想，能锻炼我们的思维，使思维变得更清晰、更有逻辑，已 经成为现代人应具备的一种数学素养。算法是对事物本质的数学抽象，看似深奥， 却体现着点点滴滴的朴素思想。有了算法，我们就有能力去解决某一类问题。算 法的思想和初步知识，也正在成为普通公民的常识。算法有利于培养学生理性分 1 析和实践能力，也是实施探究性学习的良好素材，对今后的进一步学习、工作和 生活都非常有益。算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新 特色。 我国义务教育阶段课程对算法的要求主要集中在运算上，而算法概念明确提 出是在高中阶段。普通高中数学课程标准( 实验) 中提出：在必修课程中将学 习算法的基本思想和初步知识，算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分。必修 课程数学3 中涉及算法初步内容，约1 2 课时。 表1 1 普通高中数学课程标准必修3 算法初步内容要求 内容要求 通过对解决具体问题过程与步骤的分析( 如，二元一次方程组求解等问题) ，体 算法的含义 会算法的思想，了解算法的含义。 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体 程序框图问题的解决过程中( 如，三元一次方程组求解等问题) ，理解程序框图的三种基本逻 辑结构：顺序、条件分支、循环。 经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句输 基本算法语句 入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。 中国古代数学 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 中的算法案例 除了我国，其他国家对算法也有一定要求： 美国学校数学教育的原则和标准( 2 0 0 0 ) 要求6 8 年级的学生能够建构 和分析进行分数、小数、整数运算的算法，并培养使用的熟练程度；要求9 1 2 年级的学生应把分析和比较算法作为研究数学的一部分，通过比较算法考虑哪些 容易理解，哪些容易运用，哪些最有效，学生应分析为何建立和如何建立算法， 对要升学的学生则要求研究和计算机算法有关的课程。 在德国的巴伐利亚州中学的教学大纲中，从九年级开始就专门有信息学内容 要求：基本的控制结构数据结构( 包括控制结构、简单的数据结构、程序语 言初步) ；数学的算法( 包括数学问题算法答案的开发、将解决问题的算法阐述 成计算机程序以及程序的测试和修正) 。十年级时要求没有完成九年级学习内容 的学生继续完成，并增加了继续学习的内容，包含以下内容：程序的组织，步骤、 2 数据的组织以及数据场、简单数值过程的研究。 荷兰的数学课程将非标准的算法和学生自己发明的数学语言都纳入具体目 标体系，强调数学学习的开放性，尊重学生的个性发展和个人潜能，激励多样性 与独立思考并存的学习方式。如：小学阶段要求学生能在对算法理解的基础上使 用计算器解决计算问题；中学阶段要求能在心算、笔算和使用计算器等多种方法 中作出选择，并能正确地使用这种算法。 日本高中数学选修a 中对算法的要求为：计算机的操作，程序框图与程序， 使用计算机进行计算。选修b 的内容为：电子计算机的功能，各种算法程序。选 修c 的目的是算法的应用，包括灵活使用计算机进行矩阵计算，描绘各类型曲线， 进行数值计算和统计处理等。 国内外的课程标准还有很多，这里不再一一列举。由上述分析可知，无论是 国内还是国外，对中小学算法的教学都提出了相关要求。但在目前的学校数学教 育中，对算法初步的教学重视不够，存在一些困惑。在笔者与部分中学教师的访 谈中，许多教师特别是老教师表示：算法初步是数学课程的新事物，自己当学生 时也没有系统地学习过；由于缺少素材，上课的时候感觉底气不足，不如别的数 学课顺手；算法初步的学习中涉及程序语言，但这是计算机课程的内容，数学教 师讲授时大多采取“解读程序步骤”的形式，哪怕是对一些经典案例的教学。而 算法课程的教研活动大多是以讲解的形式进行，培训形式较单调，缺乏与教师的 互动。已有的研究指出，年轻数学教师有计算机学习基础，应成为算法教育的主 力军。有的学校甚至直接让见习职前数学教师进行这部分的教学。 美国学者傅乐认为，一个专业教师的成长，是经由关注自身、关注教学任务， 最后才关注学生以及自身对学生的影响这样的发展阶段而逐渐递进的。那么职前 数学教师对算法知识的理解和应用情况是怎么样的呢? 他们又是如何理解和处 理数学中算法内容的教学呢? 为此，本文中笔者以华东师范大学的职前数学教师为研究对象，旨在调查他 们对算法知识的理解和应用情况，在此基础上结合s e c i ( 知识创生螺旋理论) 对 职前数学教师互助式教学设计进行探索，并从职前数学教师的培养角度提出相关 建议。 1 2 研究问题 本研究以华东师范大学职前数学教师为研究对象，旨在调查他们对算法知识 的理解和应用情况，在此基础上结合s e c i ( 知识创生螺旋理论) 对职前数学教师 互助式教学设计进行探索，主要从以下三个方面展开研究： 1 职前数学教师对算法初步知识的理解 ( 1 ) 职前数学教师是否能准确描述算法概念及其特征； ( 2 ) 职前数学教师是否能够正确理解算法初步相关知识； ( 3 ) 职前数学教师是否了解算法数学史： ( 4 ) 职前数学教师对伪代码的理解。 2 职前数学教师对算法知识的应用 ( 1 ) 职前数学教师对经典算法案例的理解； ( 2 ) 职前数学教师对程序框图的应用情况。 3 职前数学教师对算法初步的认识与教学设计 ( 1 ) 职前数学教师是如何看待数学学科中算法教学的特点与难点； ( 2 ) 职前数学教师基于s e c i 模型的互助式算法教学设计探索。 1 3 论文结构 本文共分八章。 第一章主要介绍研究的背景、意义及研究问题。 第二章是对相关文献所进行的评述。主要围绕国际数学教育对算法的认识、 国内外对算法的相关研究，以及教师间的同伴互助展开。 第三章从算法的定义及相关概念、教师的知识构成及隐性知识、s e c i 模型这 三个方面，阐述本研究的理论框架。 第四章主要阐述了研究方法，包括研究样本、研究工具和研究过程。 第五章针对本论文的研究问题，选用定量研究加定性分析的研究方法，通过 问卷调查和访谈，并结合已有研究结果，对职前数学教师对算法知识的理解、应 用以及对算法教学特点及难点的掌握情况进行了讨论分析。 第六章在第五章研究结果的基础上，借助s e c i 模型，通过同伴互助的形式， 对职前数学教师算法教学设计进行了实验探索。 4 第七章总结前两章中的研究发现，在讨论的基础上形成了本研究的基本结论。 最后，根据研究结果提出了几点建议。 第八章提出了本研究的不足与后续研究。 第二章文献综述 本章主要介绍国内外关于算法以及同伴互助的一些研究结果，这将对笔者的 研究有指导作用。 2 1 算法 2 1 1 国际数学教育对算法教学的认识 1 9 7 6 年在德国卡尔斯鲁厄举行的第三届国际数学教育大会( i c m e ， i n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so nm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n ) 有三个主题，其中一个就是计 算机与新技术用于课堂教学。 1 9 7 8 年国际教育委员会出版的论文集( ( t h en e wt r e n d si nt h em a t ht e a c h i n g ) ) 中，a e n g e l 在他的论文t h er o l e o fa l g o r i t h m sa n dc o m p u t e r si n t e a c h i n g m a t h e m a t i c sa ts c h 0 0 1 ) ) 中，按算法的思想对整个中学数学课程中的所有算法进 行了详尽的归纳，整理得到九个大的主题模块：低水平的程序读写；圆和双曲线； 方程的根；最值；数值积分；组合；概率问题；排序；随机过程的仿真，而每个 模块的内容又有细化的介绍。这项工作是用算法思想审视中学数学课程的重要观 点的体现。 1 9 8 0 年在第四届国际数学会议中，德国f r a n k f u r t 大学的a r t h u re n g e l 教授 作报告指出：“如果我们不能成功地将算法容入到数学教育之中，那么我们的数 学教育的重要性以及威信将大打折扣”。可见当时算法在数学教育中的重要性已 经在国际上引起了人们的重视。 1 9 8 5 年国际教育委员会斯特拉斯堡会议在讨论“计算机和计算机科学对数 学课程的冲击”时也指出：“在中学数学课程中代数仍然处于极其重要的地 位。运用公式和其他代数表达的能力仍是必需的。而且需要更加强调算法， 虽然计算的复杂性的理论不能进入学校，但要注意比较解决同一问题的不同算法 的效率”。 1 9 8 6 年国际教育委员会科威特会议讨论“9 0 年代学校数学”时建议数学课 程内容要引进与计算机科学有关联的离散数学的概念，其它因计算机的出现而可 能进入课堂的内容，要重新强调算法，并让学生比较解决同一问题的不同算法的 效率，要培养学生的符号操作能力。 6 1 9 8 8 年在匈牙利召开的第六界国际数学教育委员会上提出计算机改造数学 教育的说法。 1 9 9 8 年全美数学教师协会出版的年鉴( ( t e a c h i n ga n dl e a r n i n go f a l g o r i t h m si n s c h o o lm a t h e m a t i c s ) ) 就是有关算法教学研究成果的一个集成，论文集中所有的 论文分成五部分：第一部分处理算法的特征，算法在计算器和计算世界中的重要 性问题；第二部分试图回答有关算法的历史演变问题；第三部分关于小学中的算 法教学，为论文中最多的一部分；第四部分以分数算法教学为主的中学算法教学； 第五部分为高中算法的教与学，讨论如何在图论中帮助学生理解和发展算法的方 式，通过算法探索随机数的本质，利用一个算法去分析散点图等问题。 2 0 0 2 年在中国举办的国际数学家大会上，德国的z i e g e n b a 教授在报告“算 法数学与数学教育的基础”中指出：在当今这个计算机的时代，有必要充分 认识和重视算法作为数学与数学教育基础的重要性和必要性。 2 1 2 国外算法相关研究 德国著名的数学教育家施万克教授以算法为载体，对个体解决问题时的思维 差异进行了实验研究，提出了特征性和功能性的认知结构差异理论。其研究重点 涉及：掌握“算法基本概念”这个特殊对象领域时，被试的表现情况；在学习算 法基本概念时学生的认知结构如何等内容。德国研究人员以这一认知理论为基准， 开始了有关“初中数学教学中算法思维与公理性思维的整合”的学校教学实验。 经后续实验研究表明，施万克所提出的认知结构差异理论是一种文化不变量。 澳大利亚“学习者的观点”研究中学主任克拉克( 2 0 0 5 ) 认为在小学阶段学 习算法思想至少有几下理由：在世界范围内，算法都是小学数学课程的传统内 容；算法可以有效地解决一类问题；算法是一种经过压缩的、一般化的解题 程序；算法是自动化的；算法是目标指向的，而且是高效率的；算法的书 面记录便于教师和学生发现其中的错误；算法是可教的；算法易于处理和评 价。 当然，也有研究者指出，过早地进行算法程序的教学会导致一些不利( k a m i i d o m i n i c k , 1 9 9 8 ；m c i n t o s h ，1 9 9 8 ；u s i s k i n ，1 9 9 8 ) ，包括：算法程序常常与人们 的思维习惯不一致；算法的运用会诱使学生放弃自己的想法；算法不利于数 7 意识的形成；算法使学生习惯于依赖数字的空间排列；算法会使学生盲目接 受运算的结果等。 美国研究者c a r r o l ( 1 9 9 7 ) 借助“创造算法选择算法焦点算法”这 个整体过程来提高小学学生对运算过程的理解，并提高学生的基本运算能力。这 里创造算法是指学生在第一次学习运算时，教师要求学生通过自己的方法来解决 问题，以此代替教师一味的教授。选择算法的来源包括历史算法、学生自我创造 的算法和数学家或数学教师教育者提出的算法，学生可从中理解、比较以上所给 的可选择的算法，体会算法的多样性并加深对运算的理解。在这两个过程的基础 上，对每种运算选出一个有效，易于理解和学习的算法作为焦点算法。这种算法 是学生今后学习和交流的平台，并保证哪些自己不能创造算法的学生，至少能够 学会一种基本运算的算法。这里研究的主要是小学阶段的算法，集中在数的运算 上。与此形成鲜明对比的是日本的算法教学研究。 日本的小学数学课堂中就已经通过“比身高”活动引出了算法的概念，同时 以此为契机要求教师指导学生编写找到最大数的程序，并上机进行操作。日本近 年高考数学i i 数学b 试卷最后一问必是算法题，且这类题目都是直接以程序的 形式出现。可见日本对算法有很高的要求。 正是由于对算法有较高的要求，m a s a t e r uh i s h i n a ，k e n i c h it o k u o k a 和 k a z u k ik a w a m u r a ( 2 0 0 4 ) 通过研究发现单纯通过抽象的程序语言来进行算法 学习是很困难的，尤其是对高中学生或非理工科的本科生。为了克服这些困难， 他们设计并开发了“日本p a d 编辑和翻译( j p a d a t ) 学习支持服务系统，通过 这个系统将自然语言和p a d 问题分析图结合起来支持算法的实现。在使用该系 统应用于实际的程序课程后发现：与单纯使用程序语言进行算法学习相比，通过 j p a d a t 学习系统学习算法效果更好，更利于支持学生的算法学习。h i r o k id o b a s h i 等人的研究中也提出了类似的，帮助算法学习的操作界面。 其中p a d ( p r o b l e ma n a l y s i sd i a g r a m ) 问题分析图是由日立公司于上个世纪 七十年代提出的，一种支持结构化程序设计的图形工具，它用二维数形结构的图 表示程序的控制流。问题分析图仅仅具有顺序、选择、和循环三种基本成分，正 好与结构化程序设计中的基本成分相对应。p a d 图是面向高级程序设计语言的， 为f o r t r a n ，c o b o l 和p a s c a l 等每种常用的高级程序设计语言都提供了一整套相 8 应的图形符号。由于每种控制语句都有一个图形符号与之对应，显然将p a d 图 转换成与之对应的高级语言程序比较容易。p a d 是一种程序结构可见性好、结构 唯一、易于编制、易于检查和易于修改的详细设计表现方法。用p a d 可以消除 软件开发过程中设计与制作的分离，利于学习者对算法的理解及操作。 2 1 3 国内算法相关研究 算法初步作为课改数学教材新引入的教学内容，引起了教育工作者的广泛关 注。国内与算法初步相关的研究主要集中在以下方面： ( 1 ) 算法思想 算法作为一门古老的数学学科，其所代表的“程序化”和“机械化 思想是 数学的瑰宝。徐元根( 2 0 0 5 ) 从现代算法思想的一般特征、现实实用性以及程序 化的角度揭示古代算法思想的特征。杨辉军( 2 0 1 0 ) 利用算法思想，通过计算机 模拟蒙特卡罗方法，在巩固两部分内容的同时激发了学生的学习兴趣；屈黎明 ( 2 0 0 8 ) 、陈敬星( 2 0 1 0 ) 等将算法在高中数学其他章节中的渗透进行整理，发 现算法思想在数列、函数等数学章节中应用广泛，是培养数学亲近感的极好的载 体。俞听( 2 0 0 8 ) 通过具体例题分析，指出在算法思想中隐含着分类讨论思想、 递归思想、解不定方程的思想等数学思想。有关算法思想的研究还有很多，如： 刘智强( 2 0 0 3 ) 、黄伦( 2 0 0 9 ) 、欧小雪( 2 0 0 9 ) 、李伟( 2 0 1 0 ) 、刘海珍( 2 0 1 0 ) 。 ( 2 ) 高中数学算法教材比较 2 0 0 3 年我国通过并施行了普通高中课程改革方案( 实验) ，首次将算法 内容编写进了高中必修内容中。日本也自2 0 0 3 年开始了新一轮的课程改革。辛 颖( 2 0 0 8 ) 通过对中日两国高中算法的教材比较后发现：中日两国的教科书在算 法部分各有所长。我国算法部分课程标准精确到位，能够体现课程改革的新观念； 教材编排条理明确，亲切感强；教材一例多用，贯穿始终；教材贴近学生生活， 逻辑性强。但我国教材中算法内容较孤立，缺乏与其他知识点的联系；与信息技 术的整合上不是很理想；教学思维与内容都有待充实。而日本教科书算法部分章 节安排合理，内容充实；采取螺旋上升的编排方式；算法的计算机实现度较高， 充分体现了算法内容的工具性和实用性。杨晓( 2 0 1 0 ) 等也得出了相应的分析结 论。 9 吴晓红( 2 0 0 9 ) 贝j j 通过对北师大版、人教a 版和江苏版的算法教材进行比较， 从算法教材的深层结构内容和表层结构内容进行分析，结合教学实验后发现：北 师大版教材情境问题丰富、注重总结；人教a 版教材学科结构严谨、学法丰富； 江苏版教材篇幅精练，入口浅、寓意深。 ( 3 ) 算法的教与学 算法作为独立章节首次被引入高中数学课程，对教材编写和教师使用而言都 是新的尝试。王慧春( 2 0 0 6 ) 通过对江苏某中学1 0 9 名高一学生进行调查研究发 现学生在搜索算法上能力较薄弱，同时指出上机有利于算法的学习，算法思想可 早于算法初步的教学内容，但注意不可过分追求算法的通用性。周恩超( 2 0 0 6 ) 通过对江苏省某中学2 7 0 名高一年级学生进行调查研究，指出学生的学习动机、 学习观念、学习态度影响着学生算法学习的整个过程。学生的元认知能力、认知 策略、算法设计体验以及计算机知识水平、数学素养对算法问题的解决有直接的 影响。通过对l i 2 位来自宁夏、贵州及江苏的教师的调查研究，发现大多数数学 教师的算法素养不高，算法教学的准备不足，对学生的算法学习不能进行有效地 指导。而不同版本的教材对算法内容处理上的差异对算法教学产生了一些负面影 响。童玲( 2 0 0 8 ) 的研究中也得到类似结论。朱彬( 2 0 0 9 ) 以吉林省某地区1 0 2 名高中数学教师作为研究对象，对教师算法知识体系进行研究，结果表明教师在 算法部分知识掌握较差，有较大的提高空间。张军令( 2 0 1 0 ) 、王晓红( 2 0 1 0 ) 、 林彩连( 2 0 1 0 ) 、徐芳芳( 2 0 1 0 ) 等人的研究为算法初步的教学提供了相关建议， 如算法学习应和现实生活情景相结合，对算法模型进行简化，总结典型例题，结 合数学史加深算法思想的学习和理解等。 ( 4 ) 其他研究 任传贤( 2 0 0 7 ) 从算法的概念、算法的思想与流程图、算法的结构与基本语 句三方面出发，为算法初步内容与高校教学衔接提供了相关建议。林磊( 2 0 0 1 ) 、 王小青( 2 0 1 0 ) 、程启帮( 2 0 1 0 ) 、孙晋勇( 2 0 1 0 ) 的研究均是关于利用算法或算 法思想来进行解题。 2 2 同伴互助 崔允湃( 2 0 0 9 ) 认为要提高教学的有效性，教师可通过以下三个方面来进行 1 0 教学研究：自我反思、专家引导和同伴互助。 同伴互助的思想渊源最早起源于古希腊时期，苏格拉底、亚里士多德和他们 的同事们就是以同伴学习的形式开展辩论学习的。同伴互助作为教师同事合作为 主要形式之一产生于上个世纪8 0 年代初的美国，在英语中是p e e rc o a c h i n g ，其 中p e e r 是指同等的人，c o a c h i n g 是指集指导与受指导于一身。当时的美国感受 到来自日本经济快速发展的压力，于是在1 9 8 3 年美国发表了国家处于危险中： 教育改革势在必行，要求对美国教育进行持续改革。鉴于教师在教育中教师的 重要地位，全美数学与美国未来委员会在报告中提出：改革学校教育的关键是培 养、选拔和留住优秀的教师。一时间探索基于院校伙伴关系和教师同事合作的群 体专业发展模式得到了美国教育界的关注。 针对教师培训方式，乔以斯和肖沃斯( j o y c e ，b s h o w e r s ，b 1 9 8 2 ) 的研究 指出：学校内教师之间的互相听课和指导能使教师将在职培训中所学到的知识和 技能运用到日常课堂上。乔以斯和肖沃斯认为导致美国教师培训的效果非常失败 的主要原因有三个：人们对什么是有效的教师学校教学的策略认识不清；同时人 们不清楚学校研究应该怎样推广教学改革与创新的成果；也不清楚学校应该怎样 帮助教师在教学中有效地使用所学的知识技能。为了证明同伴互助的有效性，乔 以斯和肖沃斯进行了实证研究，其中实验组所在的学校在培训期间推行了在教师 之间互相听课和指导的方式，而对照组所在的学校则没有类似的活动，经过三个 月的在职培训后发现，实验组中有7 5 的教师在课堂中能有意识地而有效地应用 所学的知识技能，而对照组中只有1 5 的教师能有同样的表现。以后的几项研究 也有类似的发现，教师们同伴互助的效果明显超过单元式的工作坊。 戴布里认为要推广同伴互助的好处在于：同伴互助为教师提供了安全的专业 发展环境；使教师们获得了基于工作场所的专业发展机会；使教师摆脱了职业孤 独。 克拉克和理查德( c l a r k e r i c h a r d s o n ，1 9 8 6 ) 通过对1 1 位小学教师进行问 卷和访谈研究发现，同伴互助有利于建立积极的同事关系；帮助同事间持续互动； 有助于建立学校的合作文化。 豪斯克克林( h o s a c k c u r l i n ，1 9 8 8 ) 对1 2 名志愿者进行实验研究后发现，同 伴互助能改善在职教师的学习：让教师更适应和顺利实施新课程；教师在实施同 1 1 伴互助后教学有了明显进步。 卡普比安克( c a p o b i a n c o ，1 9 9 9 ) 以8 9 位小学、初中、高中教师为样本进行 研究后指出，实施同伴互助使高中教师比小学教师的成就更好，同伴互助使得教 师间出现了直接的专业的相互影响，促进专业成长和专业对话并形成教师间彼此 分享成长的风气。 崔允沸( 2 0 0 9 ) 指出在教师同伴互助中，合作方式是多种多样的，课堂教学 观察( 听课) 、共同研讨、示范教学、经验分享、课题研究等都是可选择的方式。 教师同伴互助的模式通常是共同教学、共同计划、观察和会议、录像分析、课例 研究等多种活动形式的组合，其最典型的模式是合作备课、课堂观察和反馈所构 成的一个过程。 同伴互助可以引发艺术切磋与教学研究，但也有其缺点。顾泠沅、王洁在报 告教师在教育行动中成长中指出：若教师间的仅仅局限于同伴互助，那么同 事间的横向互助常常会自囿于同水平反复。而邓涛( 2 0 0 8 ) 也通过分析指出了教 师间同伴互助的缺陷在于：合作的目标往往带有狭隘性和功利性，且合作的持续 性开展等问题也没有得到解决。 第三章理论基础 本章的目的是阐述本研究中所涉及的术语及理论基础，这些理论将用于指导 笔者在第五章对算法知识的调查结果进行数据分析和讨论，并能用于指导第六章 的算法教学设计实验及其分析。 3 1 算法的定义及相关概念 3 1 1 算法的定义及特征 关于算法的界定有很多，以下列出七条： ( 1 ) “算法”a i g o r i t h m ，指一种循序渐近解决问题的过程，尤指一种为 在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算