（应用数学专业论文）离散非线性schrodinger方程的离散呼吸子解的存在性.pdf

离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性中文提要 中文提要 本文讨论了一维格点系统中参数驱动和有阻尼的离散非线性s c h r s d i n g e r 方程 讧( t ) + 2 i 饥( ) l 幻饥( ) + n + l ( ) + 饥一l ( t ) 一2 讥( ) 】= 媛( ) e m 。一研如( t ) 和广义离散非线性s c h r s d i n g e r 方程 讧( f ) = 一，y i 饥( 圳幻“( ) 一陋+ u l 妒( o i 孙1 m i + l ( t ) + 饥一l ( t ) 】 的b r i g h t 离散呼吸子解和d a r k 离散呼吸子解的存在性 本文首先研究了r 2 一豫2 的光滑可逆的非线性映射m ：( z ，z ) 一( z ，一z + 2 z + ，( 2 ) ) 这里讨论的映射朋是非常特殊的，在稳定流形和不稳定流形存在的前提下， 它们具有非常有用的对称性利用流形的这种对称性，可以得到映射m 的同宿轨和异 宿轨的存在条件 其次，本文研究离散非线性s c h r s d i n g e r 方程此时，先将特殊的周期解讥( ) = “代入方程得到关于“的方程然后。再将驴。的实部和虚部鲰分离，并取 非零实常数k ，使得y n = k x 。，得到仅关于实部z 。的方程取适当的函数i ( z ) 就可得 到与该z 。的方程对应的映射朋 最后，利用前面得到的映射m 的同宿轨和异宿孰的存在条件，就可以得到所研究 的方程的离散呼吸子解的存在条件如此采用的方法能给出严格的证明，而且和使用 延拓定理的方法不同，这里得到的结果并没有限制在弱耦合的系统中 关键词；同宿轨，异宿轨，离散呼吸子解，离散非线性s c h r s d i n g e r 方程 作者；肖旭峰 指导教师：秦文新 e x i s t e n c eo fd i s c r e t eb r e a t h e r so fd i s c r e t en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n a b s t r a c t e x i s t e n c eo fd i s c r e t eb r e a t h e r so f d i s c r e t en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fb r i g h ta n dd a r kd i s c r e t eb r e a t h e r so f t h ep a r a m e t r i c a l l yd r i v e na n dd a m p e dd i s c r e t en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n i c n ( t ) + 2 l c n ( t ) l 钉讥( t ) + q 【仉+ l ( ) + 饥一1 ( ) 一2 以( t ) 】= 惦( t ) e 妇一研机( t ) a n dt h eg e n e r a l i z e dd i s c r e t en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n i 也( t ) = 一? 幻饥( 幻一【o t + p ( t ) 一【协+ l ( ) + 枞一1 i no n e - d i m e n s i o n a ll a t t i c e s f i r s to fa 1 1 w es t u d yan o n l i n e a rs m o o t hi n v e r t i b l em a p 朋：r 2 _ r 2d e f i n e db y ( z ，z ) h 啼 ，一z + 2 。+ ，( 2 ) ) i ft h es t a b l ea n du n s t a b l em a n i f o l d so f 4e x i s t ，t h e s y m m e t r yo ft h e mi sv e r yu s e f u l u s i n gt h es y m m e t r y o ft h em a n i f o l d s ，w ep r o v e dt h e e x i s t e n c eo fh o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i co r b i t so ft h em a pm n e x t w ed i s c u s st h ed i s c r e t en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n s w ja c q u i r ea n a l g e b r a i ce q u a t i o no f 九b ys u b s t i t u t i n gt h ea n s a t z 以( ) = 如e “l e t = z n + i y n ， w h e r ez n ，y n r w 毫o b t a i na ne q u a t i o no fz nb yc h o o s i n gan o n z e r or e a lc o n s t a n t ks u c ht h a t 鼽= k x n c h o o s i n ga na p p r o p r i a t ef u n c t i o n ，( z ) ，w eh a v eam a pm a s s o c i a t e dw i t ht h ee q u a t i o no fz n l a s t l y , w es h o wt h ee x i s t e n c eo fb r i g h ta n dd a r kd i s c r e t eb r e a t h e r sa s s o c i a t e dw i t h t h eh o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i co r b i t so ft h em a p 朋t h er i g o r o u sc o n c l u s i o n so ft h i s p a p e ra r en o tr e s t r i c t e dt ot h ew e a k l yc o u p l e ds y s t e m ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h o s e w o r k su s i n gt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e m k e y w o r d s ：h o m o c l i n i co r b i t ，h e t e r o c l i n i co r b i t ，d i s c r e t eb r e a t h e r s ，d i s c r e t en o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n i i w r i t t e nb yx i a ox u f e n g s u p e r v i s e db yp r o f q i nw e n x i n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明t 所提交的学位论文是本人在导师的指导下。独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不舍其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不舍为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承担 本声明的法律责任 研究生签名。幽日期。z 丝蚴加曰 学位论文使用授权声明 苏州大学中国科学技术信息研究所，国家图书馆，清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文 的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名，鸳建军日期，型塑笪幽 导师签名t 离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性一引言 1 1 课题的背景和意义 第一章引言 非线性动力学的发展是2 0 世纪自然科学最重要的成就之一它的发展不仅使应用 数学、力学获得了巨大的进展，也推动了自然科学的各个领域的发展这是由于实际的 自然现象是复杂多样的，其动力学规律往往必须用非线性方程来表示 离散呼吸子( d i s c r e t eb r e a t h e r s ) 1 是离散的非线性格点系统中一种时间周期且 空间局部化振动的现象，也称为固有局域模式( i n t r i n s i cl o c a l i z e dm o d e s ) 或非线性局 部激发( n o n l i n e a rl o c a l i s e de x c i t a t i o n s ) 2 在不少物理系统( 如磁性颗粒( m a g n e t i cs o l i d s ) 、耦合光学波导管( c o u p l e do p t i c a lw a v e g u i d e s ) ，光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) ) 中能观测到离散呼吸子的现象【3 ，4 l ， 因此在理论和实验研究中引起了大量的注意离散呼吸子解的大多数理论和计算工作 主要集中在以下三个经典的系统中：自治的哈密顿系统或翻转系统【5 ，6 ，7 1 ，自治的强 制阻尼系统【7 ，8 ，9 】和强制的时间周期系统【10 】 目前，对于离散非线性s c h r 6 d i n g e r ( d n l s ) 方程，理论和数值上已经得到若干结 果【1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 】 文献【1 l 】考虑了参数驱动和有阻尼的d n l s 方程 也( t ) + 2 1 0 , , ( t ) 1 2 ( t ) + v i e + 1 ( t ) + 讥一1 ( t ) 一2 以( ) 】= 织( ) e 锄一t 6 讥( ) ，( 1 1 ) 其中实参数h 和6 分别确定了驱动外力和阻尼，实数y 为耦合常数，刻划了格点 间的耦合力，q 为外力频率作者先构造了特殊的周期解以( t ) = 九，其中振幅 “= t , n + i 鲰为复数，u 为旋转频率将周期解饥( ) 代入方程( 1 | 1 ) 得到关于 的方程取u = 0 1 2 时，分离实部和虚部可得到一个四维映射当u ，kq 满足一定 条件时，( 0 ，0 ，0 ，0 ) 为双曲平衡点这个双曲平衡点有两维的稳定流形和不稳定流形 如果它们能横截相交产生同宿轨，那么由于这个同宿轨在7 , 一十o o ( 一o o ) 时沿稳定流 形( 不稳定流形) 趋于原点，同宿轨的存在性意味着离散呼吸子解饥( ) = 以e 的存 1 离散非线性s c h r s d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性一引言 在性。而在四维相空间中要判断二维稳定流形与二维不稳定流形是否相交是比较困难 的因此文献【1 1 】采用将稳定流形和不稳定流形投影到二维空间上，用数值模拟来验 证的方法证明它们相交所以这是缺乏严格论证的 对于方程( 1 1 ) 的高维情形，文献 1 2 】先考虑单个振子的周期解的存在性和稳定 性，再利用延拓定理将其延拓至弱耦合的情形因此得到的结论只能适用于耦合常数 的绝对值充分小的情形 文献【1 3 】考虑了一维格点系统中广义d n l s 方程 l 以( ) = 一7 i 以( ) 1 2 以( ) 一【v + p i 讥( ) m 饥+ l ( t ) - i - 讥一。( 吼( 1 2 ) 其中实参数7 和p 分别确定了不同的非线性力，实数y 刻划了相邻格点间的耦合 作者采用和文献【1 1 】类似的方法得到关于九的方程，直接取为实部得到个二维 映射( 这里的推理是不够严谨的) 然后用m e l n i k o v 方法证明了在参数，y 的绝对值充分 小时二维映射的同宿轨的存在性，从而得到离散呼吸子解的存在性 。 通常研究的呼吸子解是当一十o o 时解以( t ) 的模指数趋于零的特殊的周期 解，这个一般称为b r i g h t 呼吸子解( 17 】如果当一+ o o 时解饭( ) 的模指数趋于 非零常数，则称为d a r k 呼吸子解【1 8 】 1 2 本文的主要工作 本文第二章讨论r 2 一r 2 的光滑可逆的非线性映射m ：( z ，z ) 一( z ，一zq - 2 z + ，( 。) ) ，其中i ( z ) 是r 上的c r ( 1 r5 + o o ) 的奇非线性函数这里讨论的平面映射 州是非常特殊的。在稳定流形和不稳定流形存在的前提下，它们具有非常有用的对称 性利用流形的这种对称性，可以得到平面映射m 的同宿轨和异宿轨的存在条件 本文第三章的第一部分讨论一维格点系统中参数驱动和有阻尼的d n l s 方程 l 如( ) + 2 i 以( ) i 幻机( t ) - fn + 1 ( t ) + 札一l ( ) 一2 讥( ) 】_ 娠( ) e m 钾( t ) ，( 1 3 ) 其中实参数h 和，y 分别确定了驱动外力和阻尼，口r 为耦合常数，实数口 0 ，n 为 外力频率先将特殊的时空分离的周期解机( ) = 。e “代入方程( 1 3 ) 得到关于九 2 离散非线性s c h r s d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性一引言 的方程再将如的实部和虚部孙分离，并取非零实常数k ，使得= ，得到 仅关于的方程取适当的函数i ( z ) 就可得到与的方程对应的平面映射m 最 后，利用前面得到的平面映射m 的同宿轨和异宿轨的存在条件，就可以得到所研究的 方程的离散呼吸子解的存在条件 本文第三章的第二部分讨论一维格点系统中广义d n l s 方程 地；( ) = - w l o ( t ) 1 2 4 饥( t ) 一b + 弘( t ) 一+ 1 ( t ) + 识一d t ) l ，( 1 4 ) 其中实数盯 0 ，实参数，y 和t 分别确定了不同的非线性力，实数口刻划了相邻格点 间的耦合采用和第三章第一部分中同样的研究方法可得方程的离散呼吸子解的存在 条件 本文采用的技巧是将离散呼吸子解的存在性问题转化为特殊的平面映射m 的同宿 轨和异宿轨的存在性问题，使用这样的方法就能给出严格的证明而且这里得到的结果 对于耦合常数并没有特别的限制，仅仅就存在性的结果而言要比用延拓定理或m e l n i k o v 方法得到的结果好此外，本文研究的方程中有参数盯是更加一般的d n l s 方程，而 且还同时给出了b r i g h t 离散呼吸子解和d a r k 离散呼吸子解的存在条件 3 离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 第二章平面映射的同宿轨与异宿轨 对于一般的r ”一r 一的微分同胚9 ：x 一9 ( x ) ，不动点) 【0 称为双曲的，若在 点】c 0 处9 的j a c o b i a n 矩阵没有模为1 的特征值在双曲不动点附近，动力系统的性 质等价于它的线性部分 记u 为双曲不动点) 【0 的充分小的邻域，则 w ( ) c 0 ) = x 【，i 矿( x ) 一x o ，当n 一+ c 1 3 ，且酽x ) 以v n o ) w ( x o ) = xeu l 矿( x ) 一x o ，当n 一一o 。，且矿x ) 阢v n 0 ) 分别称为双曲不动点) 【0 的局部稳定流形和局部不稳定流形根据不动点的稳定流形 定理f 1 9 ，定理1 4 2 z o ，定理1 0 1 】，w ( ) 【o ) 和w ( x o ) 存在，它们的维数和为m 且 和9 有相同的光滑性此外，还有w ( ) ( 0 ) 上的点x 当n 一+ o o 时，矿( x ) 指数趋 于点x o ；w ( x o ) 上的点x 当7 , 一一o 。时，酽( x ) 指数趋于点) 【o 而 w 。( ) c o ) = u 矿( w ( ) 【0 ) ) ，w “( ) 【0 ) = u 矿( w ( x o ) ) ， n s 0n 0 称为双曲不动点x o 的( 整体) 稳定流形和( 整体) 不稳定流形同样。有w 5 ( x o ) 上的 点x 当n 一+ o 。时，矿( x ) 指数趋于点x o ；、俨( ) ( o ) 上的点x 当n 一一o o 时，酽( x ) 指数趋于点】( 0 需要注意的是，虽然流形w 5 ( ) 【0 ) 和w ( x o ) 可以看作是空间r ”中的光滑曲线， 但是这些流形上任何一点p 的轨道 矿( p ) ) 都是离散的点列 如果存在点q w 5 ( p ) n w ”( p ) ，且q p ，那么q 称为9 的同宿点，轨道 酽( q ) ) 称为夕的同宿轨如果存在点q w 5 ( p 1 ) n w “( p 2 ) ，且p l p 2 ，那么q 称为夕的异 宿点，轨道 酽( q ) 称为9 的异宿轨 下面介绍一类特殊的平面映射的同宿轨和异宿轨的存在条件，为后续的讨论作铺 垫 4 离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 考虑r 2 一孵的光滑可逆的非线性映射m ：( 。，z ) 一( z ，一苫+ 2 z + ，( 。) ) ，其中 ( z ) 是r 上的c r ( 1 r + ) 的奇非线性函数 定义平面映射s ：( z ，z ) 一( 乙z ) 与丁：( z ，z ) 一( 一z ，一z ) ，简单计算可得 mo so 朋= 朋o t 。m = 丁 ( 2 1 ) 注2 1 ( z ) 是奇函数的假定对于式( 2 1 ) 中的第一个结论是不必要的，对于第二 个结论是必需的同样对于后续的某些结论也是不需要奇函数的假设的，就不一一指 明了 2 1 稳定流形与不稳定流形的对称性 这里研究的平面映射m 是非常特殊的，故存在的稳定流形和不稳定流形具有非 常有用的对称性本部分主要是研究在稳定流形和不稳定流形存在的前提下，它们所 具有的对称性 引理2 1 若原点o ( o ，0 ) 为平面映射m 的双曲不动点，则所存在的不稳定流形 w “( 0 ) 和稳定流形w 5 ( o ) 关于直线z 一。对称，( 见图2 1 ) 5 0 图2 iw 。( o ) 和w ( d ) 的对称性( 此为示意图，只画出情况之0 证明；因为原点是平面映射m 的双曲不动点，所以平面映射朋存在不稳定流形 w “( 0 ) 和稳定流形w 8 ( 0 ) 设不稳定流形w “( d ) 关于直线z = z 对称的流形为r 在 r 上任取一点a ，有8 ( a ) w “( 0 ) 根据式( 2 1 ) 中第一个结论，有m0 8 0 m ( a ) 5 离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 w “( o ) 由于平面映射朋是可逆的连续映射， 50 朋( a ) = 州_ 1 ( m0s 0 州( a ) ) w “( d ) 因此m ( a ) r 根据式( 2 1 ) 中第一个结论，还有对任意n n ，朋”0 s o m “= s 成立故对任 意n n ，“( a ) = s 一1 。 v l 一”0 s ( a ) = 8 ( m 一”( 5 ( a ) ) ) ( 注意到s 一1 = s ) 由8 ( a ) w “( d ) 可知，当竹一十o o 时m “) 一o ( o ，o ) 因此a w 。( 0 ) 注 意到点a 的任意性，可得r 属于w 5 ( 0 ) r 和w 5 ( 0 ) 都是空间r 2 中的一维流形 因此，r 即为w 。( d ) 所以，w 。( d ) 和w 8 ( d ) 关于直线z = z 对称 口 引理2 1 若原点o ( o ，0 ) 为平面映射m 的双曲不动点，则所存在的不稳定流形 w “( 0 ) 和稳定流形w 。( 0 ) 关于直线彳= 一七对称 只要在引理2 1 的证明过程把映射s 改为丁即可得引理结论 引理2 2 若点q ( z o ，7 - o ) 为平面映射川的双曲不动点，则所存在的不稳定流形 w “( q ) 和稳定流形w 5 ( q ) 关于直线z = z 对称 只要在引理2 1 的证明过程把点o 改为点q1 2 p 可得弓l 理结论 引理2 2 7 若点q ( z o ，z o ) 和p ( 一动，一动) 为平面映射m 的双曲不动点，则所存在 的不稳定流形w ”( q ) 和稳定流形w 5 ( p ) 关于直线z = 一z 对称 只要在引理2 1 的证明过程把w ”( o ) 改为w “( q ) ，w 5 ( d ) 改为w 5 ( p ) 即可 得引理结论( 注意到此时当n 一+ o o 时，由m “( 丁( a ) ) 一q 可得m “似) = t ( m 1 ( 丁( a ) ) ) 一p ) 而且，同样可以证明不稳定流形w “( p ) 和稳定流形w 5 ( q ) 关 于直线z = 一z 也是对称的 2 2 平面映射的同宿轨 假设( z ) 有三个不同的实零点由于，( z ) 是奇函数，可设它的三个实零点为 - - z o ，0 ，z o ，其中z o 0 经简单计算可知，平面映射朋的不动点为以一z o ，一匈) ，o ( o ，o ) ， q ( z o ，z o ) 在原点。蝴，平面映射m 的协b t a n 矩恸0 。 1 ) 该矩阵 的特征多项式为a 2 一( 2 + ，( o ) ) a + 1 当，( o ) ( ，( o ) 十4 ) 0 时，可求得它的两个实特 6 离散非线性s c h r s d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 征值为a - ，a z ，对应的实特征向量为( 二) 和( 之) 注意到a - a ：= t ，a t a 。，可 知原点是平面映射m 的双曲不动点所以平面映射m 存在不稳定流形w “( o ) 和稳 定流形w 5 ( 0 ) 而且，w “( 0 ) 与w 。( o ) 的图像在原点分别与直线z = a 2 z 和z = a l x 相切 2 2 1 ，( o ) 0 的情况 如果，( o ) 0 ，那么有0 a 1 1 ，1 a 2 + o o 此时，可以得到如下的结论 引理2 3 不稳定流形w “( 0 ) 与线段e q 交于线段内部，其中e ( o ，z o ) ，q ( z o ，动) ( 见 图2 2 ) 图2 2w “( d ) 与线段e q 相交 证明：w ”( o ) = ，骂朋“( w ( d ) ) 与直线z = a 2 z 在原点处相切，且1 a 2 0 ，有w ( p ) = w ”( o ) n u ( o ，6 ) 只能在z 轴与直线z = z 之间 对于a o e q 内任一点a ( 孟，乏) ，它的坐标满足0 牙 牙 z o 故点a 在平面映射 m 下的像m ( a ) 的坐标为( 互，一牙+ 2 孑+ ，( 孑) ) ，且满足0 + l 一，n = 0 ，l ，2 ， 故，( ) a ，咒= 1 ，2 ， 用厶表示点以到直线z = z 的距离，则靠= 气伊= 警，n = 0 ，l ，2 ，( 记 以1 = x o ) 由式( 2 2 ) 的第二个式子可得z n + l z n z n z n 一1 + ，( ) ，n = 0 ，1 ，2 ， 故以以+ l = 傀十，( ) ，n = 0 ，1 ，2 ， 而由 锄- = 以d 0 ， 、锄= 以d l 十f ( z 1 ) ， 以厶+ = 以d ，l + f ( z n ) ， 可得以d r i + 1 = j d 0 + 萎，( 五) s 、_ d o + 量o ：、弛+ 舭注意到o 0 并且在+ o o 的某个邻域内函数f ( z ) 的值的上确界为负，则平面映射朋：0 ，z ) 一 ( z ，一z + 2 z + 厂( z ) ) 存在同宿轨 9 离散非线性s c h r & t i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 证明；根据引理2 4 ，不稳定流形w “( d ) 与直线z = 。有异于原点的公共点根据 引理2 1 ，w ”( p ) 和w 5 ( d ) 关于直线。= 茹对称因此w ”( 0 ) 与w 8 ( d ) 有异于原点 的公共点所以结论成立 口 2 2 2 ，7 ( o ) - - 4 的情况 如果，7 ( 0 ) - - 4 ，那么有- - 1 a 1 0 ，- - o o a 2 - - 1 因为，7 ( o ) + 4 0 ，所以对于函数，( 。) + 4 z 而言在区间( 0 ，z o ) 内 至少有一个零点 引理2 6 若，( o ) 一4 且函数f ( z ) + 4 z 只有一个正零点而，则不稳定流形w “( o ) 与线段啻国交于线段内部，其中亩( o ，乏d ) ，0 ( - c o ，面) ( 见图2 4 ) z z = 一z 仄 e a o 受皇z 图2 4w “【d ) 与线段豆国相交 证明：w ”( 0 ) 与直线z = a 2 z 在原点处相切，且一o o a 2 0 时，有w ( 0 ) = w 。( d ) n v ( o ，6 ) 只能在z 轴与直线z = 一z 之间 对于d 豆国内任一点a ( 孟，牙) ，它的坐标满足0 一孟 2 知点a 在平面映射 ，l 下的像朋( a ) 的坐标为眩一至+ 2 三+ 歹( 乏) ) 由0 三 一孟。+ l = 磊i ，n = 0 ，1 ，2 ，一 在+ o 。的某个邻域内函数f ( z ) + 4 z 的值的下确界为正的条件保证了函数f ( z ) + 4 z 在区间【三l ，+ o o ) 内的值的下确界为正，设为b 故，( 磊) + 4 磊b ，n = 1 ，2 ， 用矗表示点矾到直线z = 一z 的距离，则厶= 每矛= 警，n = 0 ，l ，2 ， ( 记2 一l = 孟o ) 由式( 2 3 ) 的第二个式子可得磊+ l 一磊= 雪。一3 磊i 一，( 矗) = 磊i 一磊一1 一 ( f ( y , n ) + 4 磊) m = 0 ，1 ，2 ，) 故以厶+ 1 = 沮一( f ( i - n ) + 4 磊) = 0 ，1 ，2 ，) 离散非线性s c h r & l i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 而由 以d 1 = 、，乞- 如， 砌2 = 以d 1 一( ，( 牙1 ) + 4 2 1 ) 、，压矗+ 1 = 芝厶一( ，( 磊1 ) + 4 磊1 ) 可得以“+ 1 = 恤一登( f ( 2 i ) + 4 磊) 以d o 一萎b = 以d 0 一n b 注意到b 0 ，两 边取n 一十o o 得l i m 2 厶+ l = 一o o 这导致矛盾，所以引理结论成立 口 一1 - w 定理2 8 若，( z ) 是r 上的奇c r 函数满足有三个不同的实零点，( 0 ) o 的情况 和 当，( 匈) 0 时，点p ，q 都是平面映射m 的双曲不动点所以平面映射m 存 在不稳定流形w “( q ) 和稳定流形w 。( q ) 1 3 离散非线性s c h r s d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 引理2 9 若，( z o ) 0 ，则不稳定流形w “( q ) 与线段o f 交于线段内部，其中 f ( 动，0 ) ( 见图2 6 ) 作坐标平移使点q 成为新坐标系的原点，根据引理2 3 后的注2 2 知结论成立 定理2 1 0 若s ( z ) 是r 上的奇c r 函数满足有三个不同的实零点一z o ，0 ，z o ，且 ，。( z o ) 0 ，则平面映射m 存在异宿轨( 见图2 6 ) z = 一zzz = x 彳饧 i ，! 夕、婶f 盘 m ( t ) d 图2 6w 。( q ) 与线段o f 相交 证明：根据引理2 9 ，可设点曰( 孟，0 ) 为w “( q ) 与线段o f 的交点，其中0 牙 z o 简单计算可知点疗在平面映射m 下的像m ( 疗) 的坐标为( 0 ，一牙) 显然， 点疗与点m ( 曰) 关于直线z = 一z 对称根据引理2 2 知m ( 霄) w 。( p ) ，故 m ( 曰) w 。( p ) nw “( q ) 所以，平面映射m 存在异宿轨 口 1 4 离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性 二 平面映射的同宿轨与异宿轨 2 3 2 ，( 2 0 ) 一4 的情况 当f l ( z o ) 0 ，k ，7 1 0 ，使得 l i 以i 一事i k e 一”吵当川充分大时成立， 则称妒= 讥) 是模型方程的d a r k 离散呼吸子解 3 1 d n l s 方程的离散呼吸子解 这一部分主要讨论一维格点系统中参数驱动和有阻尼的d n l s 方程 i 以( t ) + 2 i 讥( t ) l 缸以( t ) + a l e + 1 ( t ) + 讥一l ( t ) 一2 讥( ) 】= 惦( ) e 埘一i 7 以( t ) ，( 3 1 ) 其中实参数h 和，y 分别确定了驱动外力和阻尼，a r 为耦合常数，刻划了格点问的 耦合力，实数盯 0 ，n 为外力频率 下面讨论方程( 3 1 ) 的形如以( ) = n e i t “( 0 1 为旋转频率) 的解由于它已经是周 期的，只要再证明的模指数趋于常数，讥( ) 就为方程( 3 1 ) 的离散呼吸子解 将讥( ) = 札e 埘代入方程( 3 1 ) ，且取u = a 2 可得 u 一2 1 1 孙九一口( 妒。+ l + 钆一1 2 丸) = 一 蝣+ 竹“ 1 6 离散非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的离散呼吸子解的存在性三d n l s 方程的离散呼吸子解 分离镛的实，虚部，即设瓠= z 。+ l ，其中，孙r 将其代入上式，得 u 一2 ( z ：+ 镌，z n 一口( z 叶1 + z n 一1 2 z n ) = 一九一7 蜘，( 3 2 ) iu 鲰一2 ( 茹：+ 编) 4 y n q ( 鲰+ l + y n l 一2 鲰) = ，y z 。+ 若存在非零常数k r ，使得= k x n ，将其代入式( 3 2 ) 得 ( + - y k + “，) z n 一2 ( 1 + 七2 ) 4 z ：一( x n + 1 + z n 一1 2 z n ) = o ， ( 3 3 ) i ( u 七一，一h k ) x 。一2 ( 1 + 七2 尸惫z ：一o k ( x 。+ l + z 。一l 一2 x 。) = 0 、7 式( 3 3 ) 中的两个等式是等价的，只要w k - ) , - h k = 七( 九+ ，y 七+ u ) ，即 y k 2 + 2 h k + - y = 0 成立在l h i i - y i 0 的前提下，其作为惫的一元二次方程有实数解 七。，：二二2 h 掌；一；h 土1 y - 历_ 9 , 2 记7 = 彤f = 矿20 ，取k = 二，则式( 3 3 ) 即为 ( u + 7 - ) z 。一2 ( 1 + k s ) 9 z 3 一口( z 叶1 + 岛。一1 2 x 。) = 0 ( 3 4 ) 根据上述分析，在条件i h i 0 下，只要式( 3 4 ) 存在绝对值指数趋于常数的 解( z 。) ，方程( 3 1 ) 就存在离散呼吸子解 为求解( 3 4 ) ，令 i 茹n + l = z b ， 1 + l = 一+ ( 2 + 喘 ) 一：( 1 + 七2 ) 一露 利用本文第二章中的结论可得如下的定理 定理3 1 当i h i f ，y l 0 ，q 0 ，u + r 0 或l h l j ，y l 0 ，+ 下 一4 a 0 时，方程( 3 1 ) 有b r i g h t 离散呼吸子解 证明；取，( 2 ) = w _ c 。l ! z 一三( 1 + k 2 ) 。夕，( z ) 是r 上的c r 的奇非线性函数 条件o l 0 ，u + 7 - 0 可以保证f ( z ) 有三个不同的实零点一句，0 ，z o ，7 ( 0 ) = 警 0 ，且：l 里m + o o f ( z ) = 一0 0 根据定理2 5 ，平面映射朋存在同宿轨 条件u + f 一4 口 0 也可以保证f ( z ) 有三个不同的实零点一2 0 ，0 ，z o 且满足 ，( o ) = w 。+ t 0 ，口 0 时，方程( 3 1 ) 有d a r k 离散呼吸子 解 证明：同样取f ( z ) = 警2 一苎( 1 + 七2 尸2 3 ，( z ) 是酞上的c 7 的奇非线性函数 条件口 0 保证了，( z ) 有三个实零点一徇，0 ，z o 且满足，7 ( z o ) = - 2 2 0 。根据定理2 1 0 ，平面映射m 存在异宿轨 这就表示平面映射州存在轨道 ( z 。，气) ) 当n 一+ o 。时，( z 。，z n ) 指数趋于点 尸( 一z 0 ，一z o ) ；当n 一一o o 时，( z 。，z n ) 指数趋于点q ，动) 也就是说式( 3 4 ) 存在 解