（运筹学与控制论专业论文）无限时间随机lq最优控制所导致的代数riccati方程的研究.pdf

致谢 y 3 a 3 0 8 8 本文是在导师陈叔平教授的指导下完成的三年来导师严谨的治学态度， 精深的学术思想和辨1 博的学识使我受益匪浅无论是在学习上还是在生活上， 陈教授都给了我及我的家人以极大的帮助，使我能够顺利完成学业、在此谨向 陈教授致以衷心的感谢， 感谢刘康生教授许多富有启发性的建议刘教授对学问执着的追求，严谨 的工作作风，给我留下了难忘的印象，使我明白了许多做学问的道理 感谢运筹学与控制论专业全体成员有益的讨论在这里特别应提到我办 公室的诸位师兄弟对我的学习和生活上的帮助，他们是：禹新辉，袁富宇，司守 奎，孙煜等博士三年来，我们共同学习，互相帮助，结下了深厚的友谊 感谢我的家人对我的理解和支持 摘要 本论文由两个主题组成：魁冠盟盥士凰圣：q 墨垡量型问题所导致的垡整 粤照萼2 醢鼬研究，以及由此而导致的对隧垫瑟统i 曼l 叁壁和鲎的研究 伍机无限时间l 。q 最优控制问题可以表述为在约束 ! i ? 。堂2 ( f ) + 口“( f ) j 4 + 【c 。( ) + d u ( ) 。w ( ) ， ( o1 )t 【z 【o ) = z o 下，优化 。i n f 3 。* ez 。( 。( ) 口。( ) 十”( 。) 咒“( 。) ) 。 h 诛问颈导致代数r | c c a t i 方程 f 尸a + f ：p j g 7 尸e ( 尸b + c p 口) 一( 口7 p + d p e ) + 口= o ， ( o2 )nd p d 【= 冠+ 、u 叫 容易看出来自确定性l - q 最优控制的代数r i c c a t i 方程 _ p a + a 7 ，+ 0 一p e r 一1 口p = o ，( 0 3 ) 是( o 2 ) 的一种特殊情形迄今为止，对方程( o3 ) 已进行了深人的研究，另方 面，对方程( o 2 ) 的性质知之甚少，仅有部分学者研究了( o2 ) 的特殊形式( c = 0 或d = o ) ，丽结论不能令人满意 在第二章中，我们弓l 进了一些定义和准刚，然后通过构造迭代算法，证明了 在0 0 ，1 0 ，( a ，曰；e ，d ) 能稳，( a ，c ，口1 ，2 ) 能观的条件下，方程( 0 2 ) 有反馈 能稳解，改进了m 2 8 1 的结论、在q 0 ，r2o ，( a ，日；c ，d ) 能稳的条件下，我们 认为( 0 9 ) 也应有反馈能稳解，但仅就一种特例进行了证明我1 j 给出一例说明 在口0 ，兄20 ，不等号非严格成立的条件下，( 0 2 ) 可能无解我们也证明了迭 代的收敛速度是二次的本章也讨论冗兰0 情形( o 2 ) 的可解性问题，所得结论 较 4 8 】的结果更加有用 在第三章中，我们研究随机系统的能稳性和谱首先将【9 】的定义做了推 广，定义了系统( o 1 ) 的能稳性，然后给出了一个定理，该定理断言系统( o 1 ) 的 能稳性等价于方程( o 2 ) 有正解其次我们指出了文献 2 3 j 在这方面的一个错 误关于随机系统的谱，我们提出了一些有趣丽有意义的问题，有待于进一步的 研究 在第四章中，用逼近的方法证明了在日0 ，r 0 ，( a ，口；c ，d ) 能稳，没有 能观性假设豹条件下，代数r i c c a t i 方程( o 2 ) 有唯一的强勰，改进了文献b 4 的 结论卜一y 一 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w o t o p i c s ：t h es t u d y o n a l g e b r a i c r i c c a t ie q u a t i o n a r i s i n g f r o ms t o c h a s t i ci n f i n i t eh o r i z o nl qo p t i m a lc o n t r o l ，a n dw h i c hl e a d sn st o s t u d y s t a b i l i z a b i l i t ya n ds p e c t r u m so fs t o c h a s t i cs y s t e m s s t o c h a s t i ci n f i n i t eh o r i z o nlq o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s c a nb es t a t e da sf o l l m v s ： u n d e rt h ec o n s t r a i n t s 供。：2 ) + 口“( 舭+ m ) + d “( 。) m 。) ， ( 0 1 ) 【z ( t o ) = z o ， t om i n i m i z e 毒。e f 州枷脚舭 t h ea b o v ep r o b l e ml e a d st ot h ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n fp a ? 中，g 佻一( p b + e 帅) n - 1 ( 卯+ d p e ) + q = o ， ( 0 2 ) 【n = 冗+ d p d 、7 i ti se a s i l ys e e nt h a ta l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n p 4 + a p + q p b r 一1 b p = 0 ，( 0 3 ) w h i c ha r i s e sf r o md e t e r m i n i s t i cl qo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，i sa s p e c i a lc a s eo f e q u a t i o n ( 0 ，2 ) u pt o1 1 0 6 r e q u a t i o n ( 0 3 ) h a sb e e ne x t e n s i v e l ye x p l o r e d ，o i lt h e o t h e rh a n d ，w ek n o wl i t t l ea b o u te q u a t i o n ( 0 2 ) ，o n l 5 + af e wa u t h o r ss t u d i e di t s s p e c i a lf o r m ( c = 0 o rd = ( ) ) ，a n dt h e s er e s u l t so n ( 0 2 ) a r en o ts a t i s f a c t o r y t h ec o n t e n to ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e e c h a p t e r s ：c h a p t e r2 ，c h a p t e r3 c h a p t e r4 i nc h a p t e r2 ：w ei n h 。o d u c es o n l ed e f i n i t i o n sa n dc r i t m i a ，t h e nb yc o n s t r u c t i n g a l li t e r a t i o ns h e l n e ，、ep l0 、et h a tu n d e rt h ec o n d i t i o nq 0 r 0 ， 一4 b ：c ，d ) 4 s t a b i l i z a b l e ，( a ，c ，q ) o b s e r v a b l e ，a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ( o 2 ) h a s af e e d b a c k s t a b i l i z a b l es o l u t i o n ，w h i c hi m p r o v st h er e s u l t so f 3 ， 2 8 f o rt h ec a s eq o ，r 0 ，( a ，b ；c ，d ) s t a b i l i z a b l e ，w e t h i n ke q u a t i o n ( o 2 ) s h o u l da l s oh a saf e e d b a c k s t a b i l i z a b l es o l u t i o n ，b u tw ec a no n l yp r o v ef o ras p e c i a lc a s e w e g i v ea ne x a m p l e t oi l l u s t r a t et h a tf o r0 0 ，r 0 ，( a ，b ；c ，d ) s t a b i l i z a b l e ，t h ei n e q u a l i t i e sd o n t h o l ds t r i c t l y ，( 0 2 ) m a yh a v en o tas o l u t i o n w e a l s op r o v et h ec o n v e r g e n c er a t e o fo u ri t e r a t i o ns c h e m et ob eq u a d r a t i c i nt h i s c h a p t e r ，w ea l s od e a lw i t ht h e s o l v a b i l i t yo fe q u a t i o n ( 0 2 ) f o rt h ec a s e 冗兰0 ，t h er e s u l t sd e r i v e da r em o r eu s e f u l t h a nt h o s eo f 4 s 1 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h es t a b i l i z a b i l i t ya n ds p e c t r u m so fs t o c h a s t i cs y s t e m s f i r s t l y ，w eg e n e r a l i z et h ed e f i n i t i o no f 9 】t od e f i n et h es t a b i l i z a b i l i t yo fs y s t e m ( o 1 ) ， g i v i n gat h e o r e m ，w h i c ha s s e r t st h a ts t a b i l i z a b i l i t yo fs y s t e m ( o 1 ) i se q u i v a l e n tt o e q u a t i o n ( 0 2 ) h a v i n g ap o s i t i v es o l u t i o n ；s e c o n d l y ，w ep o i n to u ta ne r r o ro f 【2 3 1 a b o u ts p e c t r u m so fs t o c h a s t i cs y s t e m s ，w ep r e s e n ts o m ei n t e r e s t i n ga n d s i g n i f i c a n t p r o b l e m s ，w h i c ha r en e e d e dt ob ef u r t h e rs t u d i e d i nc h a p t e r4 ，w eu s ea na p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，u n d e rt h ec o n d i t i o nq 0 ，r 0 ，( a ，口；c ，d ) s t a b i l i z a b l e ，n o td e m a n d i n g o b s e r v a t i o nc o n d i t i o n ，p r o v et h a t ( o 2 ) h a sau n i q u es t r o n gs o l u t i o n ，w h i c hi m p r o v e st h er e s u l to f 1 4 第一章引言 1 1 记号说明 整篇论文将使用下列记号： 冗n n 维实向量所形成的空间 冗n m ：nxm 阶实矩阵形成的空间 对a ，b 冗“”，定义 ：= t r a c e ( a 7 b ) ，其诱导范数i i a i l ：= l 2 s n ：n 阶对称矩阵 j ”( t o ，丁) 表示时变对称矩阵，变化区间为【1 0 ，明 对ae5 “( t o ，t ) ，定义i i a l l = m a x t 。t ti i a ( t ) i i a o ( a 0 ) 表示a 正定( 半正定) a b ( a b ) 表示a b 0 ( 三0 ) a ，矩阵a 的转置 a ( a ) 矩阵4 的谱 i a i 矩阵a 的谱范数，即i a i = m a x ： a ( a ) ) s ；= a s “：a o ) 霹= a s ”：a o ) s “( t o ，t ) ：= a 5 ”( 1 0 ，t ) ：a ( t ) o ，v z 【t o ，t 】) s “+ ( t o ，t ) ：= a s 8 ( t o ，7 ) ：a ( ) o ，v te 【t o ，r 】) c 一开的左半复平面 c - , o 闭的左半复平面 c + 开的右半平面 ，单位矩阵 1 2 问题、背景与已有结果综述 本论文由两个主题组成：无限时区随机线性二次最优控制问题所导致的 代数r i c c a t i 方程的研究，以及随机系统能稳性和谱的研究 无限时区随机线性二次( s l q ) 最优控制问题也就是在线性约束 d x ( t ) = a z ( t ) + b u ( t ) l d t + c z ( t ) + d u ( t ) l d w ( t ) ，z ( t o ) = z o ( 1 2 1 ) 下求解 。硪i n f 。ez 。( 。( ) 嗍) + “沁) 露删4 。， ( 1 删 这里( t o ，x 0 ) o ，o 。) 佗”是初始数据，t o 表示初始时间，z o 表示初始状态， z o 佗n ；a ，c 冗n m ，b ，d 记n m ；w ( t ) 是标准的一维w i e n e r 过程，五= 一 w ( s ) ：t 0 s t ) 硝：。表示所有冗“值五适应可测过程，且满足 e h ( t ) 1 2 d t 0 ，则有 。“i n ：f 3 。e 。( 。( 。) 。$ ( ) + u ( ) 咒u ( ) ) 。= 。：尸2 。， + = 一( r + d p d ) 一1 ( 曰p + d p c ) x ( t ) ， 因此，a r e ( 1 , 2 3 ) 的研究对s l q 具有重要的作用，众所周知，线性二次 ( l - q ) 最优控制问题在控制理论学科本身占有重要的地位，且有广泛的应用自 六十年代开始，随着随机微分方程的发展和成熟，随机控制理论得到了巨大的 发展，这方面的早期成果见总结性的文献 4 6 】及专著【4 5 】目前有限时区r 正 定时的s l q 最优控制问题以及相关的d r ef 微分r i c c a t i 方程) fp + p a + a p + c 。p c 一( p b + c p d ) n 一1 ( b p + d p c ) + 0 = o ，尸( ，) = 0 in ：r + d ，p d ( 1 2 4 ) 解的存在，唯一性问题已获得圆满的解决饱括系统方程的系数为随机的) ，见 f 2 】 4 j 】f 1 8 】等，且非正定情形也已有一些深入的研究，见 6 j 但对方程( 1 2 3 ) 而 言，至今研究还不多部分学者讨论了( 1 - 2 3 ) 的特殊情况，见 3 1 l 【1 4 】，【2 8 1 ， 4 3 】j f 4 4 】 我们列举其中些主要结果以便与我们后面的结论相对照 定理1 2 b ( w o n h a m 3 】) 设q o ，r 0 ，( a ，日) 能稳，( q 1 2 , a ) 能观，且有 则 t 对if e t ( a - b l r ) c c e t ( a - b k ) d t 0 ，且矩阵a b r 一1 b ，p 是稳定的 w o n h a m 【2 8 】还研究了更一般的a r e p a + a 7 p + c p c + q p b ( r + d p d ) 一1 b 尸= 0( 1 2 7 ) 的可解性，他证明了 定理1 2 c 设q 0 ，r o ，( a ，b ) 能稳，( q ，a ) 能观，且 1 掣fz 。一加删。( k i d d k g ) e t ( a - b i ) d t l “， ( 1 2 舟) 则a r e n 2 力有唯一的正解尸，a b ( n + d p d ) 一1 b p 是稳定的 值得指出的是，a r e ( 1 27 ) 也可看成是( 1 2 3 ) 的特例，因为处理方程( 1 2 3 ) 的技术和所得结论可推广到下列更为一般的方程 fp a + a r j p + 墨l c ：p a 一( p b + 譬1 c i p d ；) n 一1 ( 曰p 十冬l d ：p c i ) + q = 0 【= 咒+ 是1 d ：p d ， s o u z a 等人 1 4 】最近研究了( 1 2 6 ) 具有最大解的条件及性质，这就是 定理1 2 d 设( a ，蟊) 能稳，q o ，r o ，条件仁2 5 ) 成立，则a r e 仁2 有一 个最大饵p 0 ，o ( a b r 一1 b p ) c c - o 对a r e ( 1 2 3 ) 解的研究具有重要的意义：( 一) 从理论上讲，可以加深对 s l q 最优控制| 可题的认识由于a r e ；( 1 2 3 ) 当咒兰0 时仍可有反馈能稳解，反 映刭s l q 最优控制问题上，就是这对的s l q 最优控制问题是适定，丽在确定 性情形，为保证l - q 问题的适定性，r20 的要求是必需的这说明s l q 最优控 制与确定性l - q 最优控制有本质的区别，这个现象最早是由文献【5 ， 6 指出的 本文也研究_ 配艺0 这种情况下a r e ( 1 2 3 ) 的可解性问题( 二) 在实际中，为了 通过状态反馈使闭环系统稳定，导致了我们对a r e ( 1 2 3 ) 反馈能稳解的研究， 搞清楚a r e ( 1 2 3 ) 何时具有反馈能稳解，显然是有意义的 本文的第二个主题论及随机系统的能稳性和谱 能稳性的概念最早是由j l w i i l e m s 和j c w i u e m s 【9 对下列系统提出的： k f d z = ( a x + b u ) d z + 以r z d 孵+ p i g i u d w ， ( 1 2 9 ) i = l 1 = 1 这里w 1 ( 江l ，2 ，) 和 ( j = l ，2 ，f ) 表示干扰假设它们是不相关的标 准w i e n e r 过程因此 s d w , 1 = d ，e d w = o ，e ( d 哪) 2 = d t e d ( 孵) 2 = d t ，e d 峨d 睢= o ，i l e d 嵋d 吆= o ，j l 矗，e d w ：d 孵= 0 对i ，i 1 ，i 2 = l ，2 ，女和j ，j 1 ，j 2 = 1 ，2 ，f 因子吼和p j 表示干扰强度常矩阵 a ，r 冗”。“，曰，g ；佗“。m 【9 对系统( 1 ，2 9 ) 弓i 迸了能稳性的概念： 定义1 2 e 系统( 1 2 9 ) 称为是均方意义下能稳的，如果存在一个常值矩阵i f ， 使反馈控制律 f = k z 对所有初始状态闭环系统方程 满足 kl 出= ( a z + b k ) z d t + m 最z d 叫+ p j g j k z d 叼 ( 1 2 1 0 ) l = 1 = 1 。l 。i r a 。e 0 ( t 扣( t ) ) = 0 【9 】给出了一些准则用以判断( 1 2 9 ) 的能稳性，所有这些准则依赖于他们 的下列定理： 定理1 2 e 9 1 系统( 1 2 9 ) 均方能稳的的一个充分条件是存在口 0 ，r 0 ，使 a r e ik p a + a p p b ( r + p j 2 c ；p a j ) 1 b7 p + 以2 掣p 只= 一日 ( 1 2 1 1 ) 有正解p 0 必要条件是对任何给定的q 0 ，冠 0 ，( 1 2 ，i i ) 有解p 0 本文将上述能稳性的定义做了推广，定义了系统( 1 2 1 ) 的能稳性，并给出 了一个类似于定理1 2 e 的结果，也指出了文献【2 3 】在这方面的一个错误并将 能稳性用于a r e ( 1 2 3 ) 解的研究，改进了前面文献中的结论 需要指出的是，w o n h a m 【3 , 2 8 】和s o u z a ( 1 4 】等人的工作都只讨论了( a b k ) 的稳定性，而由j l w i l l e m s 和j c w i l l e m s 的工作可知( a b k ) 稳定不足以保 证闭环随机系统的稳定性，因而不足以保证s l q 问题的适定性 在研究p f + p p + g p g = 一q ( q o ) 的过程中，自然会与畎只g ) 的谱联 系起来，“) 的谱与方差控制的能控性相关，我们在这方面作了一些探讨 5 1 3 本文内容简介 ( a ) 对d = 0 ，口0 ，冗 0 ，w o n h a m 【3 】得到了定理1 2 a ，本文证明了 定理1 3 1 设0 0 ，r 0 ，( a ，b ；c ，o ) 能稳，( a ，c ，q 1 2 ) 能观，则a r e 仁t 多有 唯一的反馈能稳解 p 0 ( a ，口；c ，d ) 能稳性的定义见后面定义2 2 3 ，( a ，c ，q 1 ，2 ) 能观性的定义见定 义2 2 9 我们还举例说明定理1 2 b 的条件蕴涵着定理1 3 1 ，反之不正确，而定理 1 3 1 的结论要比定理1 2 b 的强当c = 0 ，d 0 时，我们证明了定理1 3 1 较定 理1 2 b 的结论要强 ( b ) d 0 的一般情况下，我们证明了以下定理 定理1 3 2 设( a ，b ；c ，d ) 能稳， 如果口 0 ，r 0 ，则a r e 和z 副有唯一的反馈能稳解p o i ( j f ) 如果q o ，昱 0 ，( a ，c ，0 1 ，2 ) 能观，则a r e ( 1 2 3 j 有唯一的反馈能稳 解p 0 ： 注记1 , 3 a ( 1 ) 在臼 0 ，r 0 ，d 列满秩的情形下，我们认为a r e ( 1 2 3 ) 也应 有反馈能稳解p o ；本文仅证明了种特例 ( 2 ) 对印0 ，r20 ，但不等号非严格成立的情形，我们举例说明a r e ( 1 2 3 ) 没有任何解 我们还构造了具有二次收敛性的迭代格式，这样我们比较完整地解决了 指标非负时a r ef 1 2 3 1 解的存在性问题 ( c 1 由l - q 问题收敛性要求以及上述定理的证明，我们知道与确定性情 形一样，能稳性是随机系统一个极其重要的性质，尽管我们证明了( a ，b ；c ，d ) 的能稳性等价于a r e ( 1 2 3 ) 对q 0 ；r 0 有正解，至今为止，没有具体的检 验方法w o n h a m 定理1 2 b 中的条件蕴涵着( a ，月；c ，0 ) 能稳，但反过来不成立 f 2 3 1 给出了一组条件用以判断a r e 有正解，我们举例说明这一结论是错误的 因此有必要在这方面作进一步的研究 ( d ) 5 】，【8 】最早指出：在随机l - q 最优控制问题中，r o 的要求并非是必 要的f 4 8 】研究了r 0 ，c = o 情形下a r e ( 1 2 3 ) 的可解性问题，得到了下列结 论： 定理1 3 b 下列方程 fp a + a p + q p b n 一1 b p = 0 ， 1n = r + 皂l d ：尸d i 0 对某个n 雪? 是可解的充要条件是存在问号见第3 2 页) + ，n 一，+ 一 0 ， 使 n + r + d7 f ( n + ) d r + d7 f ( n 一) 刀2 一( 1 3 1 ) 我们证明了在一( a ) n c 十= 西时，( 1 3 1 ) 的左半不等式自动成立在一定的 条件下，右半不等式也自动成立 ( e ) 在研究 p f + f p + g p g = 一q ( q o ) 的过程中，自然会与一( f g ) 的谱联系起来，a ( ，- ) 的谱与方差控制问题的能控性 有关，我们在这方面作了一些探讨，得到了下歹q 结论： ( i ) 谱能移动不等价于任意移动； ( i i ) 我们定义了随机系统的不可移动的谱，即 定义1 3 3 我们称a 是系统2 i ) 的一个不可移动的谱，如果对任何反馈 u = k z ，都存在x s n ，使 x ( a + b k ) + ( a + 口) x + ( c + d k ) 。x ( c + d k ) = x 根据确定性最优控制的相关结论，我们提出了下列有趣而未解决的问题： 问题1 3 c 设 是系统( 1 2 1 ) 的一个不可移动的谱，则存在x s “，使 x a + a x + c x c = a x ，x b + c x d = 0 ，d 7 工d = 0 第二章代数r i 。a t i 方程解的研究 5 2 1引言 本章我们研究随机线性二次最优控制问题所导致的代数r i c c a t i 方程，即 在线性约束 d x ( t ) = 【a z ( t ) 十b u ( t ) d t + 【c z ( t ) + d u ( t ) d w ( t ) ，z ( t o ) = z o ， ( 2 1 - 1 ) 下求解 。以i n f 3 。e 上。( 。( 2 ) 口z ( 。) - j - u t ( ) 置“( ) ) 疵， 2 1 2 所导致的代数p d c c a t i 方程 fp a + a p + e p c 一( p b + e 7 p d ) n 一1 ( b p + d t p g ) + 口= o ，( 2 1 3 ) in = 五+ d p d 。 。 这里( t 。，z o ) f o ，o o ) 咒n 是初始数据，t o 表示初始时间，# 3 0 表示初始状态， ；z 0 冗n w ( t ) 是标准的一维b r o w n 运动，t = 口 ( s ) ：如墨。st ) 是自然滤波 碰：。表示所有r “值五- 适应可测过程，且满足 e ff u ( t ) 2 d t 0 溅者五+ d 户d 0 的反馈能稳解p 必定唯一特别 当d = 0 ，丑 0 时，a r e 口，j 3 j 的反馈能稳解是最大解 由( 2 3 2 ) ，我们可以构造一个拟线性化迭代方法如下：取凰冗n 一，令 步骤1 解 步骤2 取 f o = a + b k o ，g o = c + d k o p i + a f , + f 只+ 1 + g ：p i + l g i = - q k ：r j “( 2 3 4 ) k + 1 = 一( r + d p i + 1 d ) 一1 ( b 只+ 1 + d 只+ 1 c ) 只+ l = a + b 耳冲1 ，g i + l = c + d 件l 。( 2 3 ，5 ) 再返回步骤1 求只+ ，等这个步骤能进行下去的充分必要条件是 ( a ) ( 2 3 4 ) 有一个唯一解只+ 1 ； ( b ) r + d ，p i + 1 d 非退化，从而k ，只+ 1 ，g + l 是可定义的， 由引理2 2 6 ，我们有 1 9 弓i 理2 3 2 设( 只，g t ) 是稳定的，则仁3 印有一个唯一解，而且 p i + 1 0 为了刻划稳定性，让我们做些简单的计算，易见 只f f + 掣只+ g ：只g = p i e 一1 + 卅一1 最+ g ：一1 p , g i 一1 + p i ( 只一e 一1 ) + ( 丑一只一1 ) 只+ q 只鼠一g ：一1 只g 一1 = - q 一( k 一；一1 ) ( 置+ d 7p l d ) ( i j f 一1 ) 一k ：r 耳 再用引理2 2 6 ，从( 2 3 6 ) 得到 引理2 3 ，3 设q o ，r 0 ，则p f 0 蕴涵着( 只，g ) 是稳定的 t i m i o 。只= p o 0 ，则p o 是a r e 俾1 3 j 的反馈能稳解 而且，( 2 3 4 ) 和( 2 3 6 ) 导致 ( 只一p f + 1 ) f i + 爿( 只一只+ 1 ) + g ：( 只一只+ 1 ) g = ( k i1f t ) ( 咒+ d7 只d ) ( t l 一片。) ， 由此可得 引理2 3 4 设( 足，g i ) 是稳定的，则 r + d 只d o ( 2 3 6 ) 如果还有 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 蕴涵着最只+ 1 定理2 3 5 如果( a ，口；c ，d ) 是能稳的，q 0 , r 0 ，则可构造序列 只) ， l i m i 。只= p o 0 是a r er 2 i 3 ) 的一个反馈能稳解 证明显然，由上面的讨论知可以构造 p f ) ， 只) 是单调非负的，其极限是存在 的我们仅需要证明极限1 o 0 ，而这只需证明岛是非奇异即可否则，存在 o 满足屁= 0 ，用f 左乘( 2 3 。2 ) ，f 右乘( 2 3 。2 ) ： f ，( p o e o + 蜀- p o + c o p o g o f = f ( 一q a 名r k o ) ，( 2 3 9 ) 从( 2 3 8 ) ，得 0s g ：p o g o = 一r ( 0 + k r j f ) f 0 由引理2 2 6 和定 义2 2 3 ，证明完成 下面研究q 0 ，r o ，( a ，c ，q 1 2 ) 能观情形下a r , e ( 2 1 3 ) 的反馈能稳解 的存在性为此需要将引理2 2 6 加以推广 引理2 3 ，6 设( a ，c ，q 1 2 ) 是能观的，q2o ，则l y a p u n o v 一型方程 p a 4 - a p + e p g = 一0 ( 2 3 1 1 ) 有正定解p 的充要条件是( a ，g ) 是稳定的 证明如果( a ，c ) 是稳定的，则由引理2 2 1 0 ，( 2 3 1 1 ) 有一个唯一的半正定解尸 由于( a ，c ，0 2 ) 能观，我们能够证明p 0 否则，任取f f = k e r p ，f 0 ，分 别用f 和f 乘( 2 3 1 1 ) 的左边和右边，得到 f c p g f = 一f 0 f ， 这分别导致 0 1 2 f = 0 ，p g f = 0 ，p a f = 0 这蕴函k e r ( p ) 是关于a , c 的不变子空问，k e r ( p ) ck e r ( q 1 2 ) ，这与能观性的 定义矛盾撤必有p 0 现在通过下列步骤证明必要性 步骤1 如果p a + a ，p + c ，p g = 一口有半正定解p ，令 f = p 1 2 a p 一1 力，g 2 p 1 2 g 尸一1 2 ， d d = p 一1 2 q p 一1 2 ， 则通过简单的讨论，我们有 f + f + g g = 一d d ，( 2 3 1 2 ) ， ( a ，c ，0 ) 能观 = 争( f g ，d ) 能观， a ( a ，c ) = f ( e g ) 步骤2 设咖= x + i y ， = q + 印是下列特征值问题的解 此处x ，y s n 构造 可以验证 牵f + f f 串+ g l 牵g = 、串 户= ( 吾呈) ，台= ( 言吕) 西= ( d 。品) 肛( x y 二) 山( ? 了) w p 七哥w + 甘w e = a w 斗8 j w 争+ 一+ o | e = 一西i d 一，w = ( ：了) w = ( - x yx y ) 步骤3 注意到w 是一个非零实对称h a m i l t o n 矩阵，即 w = 彬j = 一w 工 故w 有一个完备的实特征值系，可设 ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 ) a ( w ) = a i ，- a i ，i = 1 ，2 ，一，r ) ， 1 a 2 - a ，02 一a ， 一a 1 用r 。表示关于 的一个特征空间，则j f 。是一个关于一a 的特征空间，而且， 对f 1 ，记 冗“= o 1 f i o k l t ，r 露= h q ，良= 等+ q ? 2 2 这里 f ， r t ，q ，, 7 1 j f ， 步骤4 在( 2 3 ，1 5 ) 中用f r 1 作内积( 不失一般性，设= 1 ) ，得到 a 1 f 7 ( 户+ p k + 由( 2 3 1 6 ) ， 一拍 f 2 = a a l = a a l ，( 注意a 1 o ) ( 2 3 1 7 ) t = 1 f ( 户+ 户) = - i 口f 1 2 一i d o l 2 = 一( 1 f f l 2 + i , d 1 2 ) 一i 西f f 。， ( 2 3 1 8 ) 综合( 2 3 ，1 7 ) ，( 2 3 z s ) ，我们有 i = 1 a - n = 一( a ，一圳钟一( a l + x d l 醒1 2 一a 1 f 良1 2 ( 2 3 1 9 ) t = 1 步骤5 利用( 2 3 t 9 ) 和已知条件 a 1 0 ，a l k 0 知a 0 ，下面证明a 0 如果n = 0 ，则 le g = 0 ，i 1 ；孵= 0 ，i l ；西f = 0 良= 器r 1 ；讲= 0 分别用乘( 2 3 1 5 ) 和( 2 3 1 6 ) 的两边，得到 ( 2 3 2 0 ) ，( 2 3 2 1 ) 导致 1 矿声+ a 1 p f + 1 0 器= 1 卢，f 哥+ 亏te + e 1 钱= 0 ( w a 1 ) f = a l 卢凡 ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) g ，河 考虑到声= ：。( + 咖，刚 ( a 。一a ) 卜( a t + a 1 ) q f = 口艇， ( 2 ，3 z 2 ) i 2 1i ；1 注意到艇j r l ，( 2 3 2 2 ) 蕴涵 f ! = o ，一= o ，v i 1 q f - 一；以 步骤6 取任何妒，r 1 ，象前面一样，可取酬= 1 ，令 类似于步骤5 ，易见 rr a l 妒( 户+ ，) 妒一a i 蚓2 + k 棚2 = a - 。 i = 1i = 1 故 因此， ( 户+ j p ) 妒= 一i o 妒i2 一i b ，, 1 2 ；一( i 毋 1 2 + f l p 引2 一t b q , 1 2 ， a = 一( - 一划l p 1 2 一( a - + 划卅一 i 西叫2 0 妒= 妒 t ，r l ，亩妒= 0 上述讨论蕴涵着如果a ：o ，令r ：r l oj l 。，刚r 是一个关于费，0 的不变子空 间，且b r = o ，r t o ) 由户的定义，通过简单的讨论，易知存在一个非平凡的 。一维子空间r 1 ，r 1 是关于f ，g 的不变子空间，且d i ，= 0 ，显然，这与能观性的 定义矛盾，故o ( a ，g ) cc 一，即( a ，c ) 是稳定的引理证毕 现在我们可以证明下列定理 f妒 + f ，汹 i | 妒 - p p 妒+ 咖 ， = 妒 g 定理2 3 ，7 。设( a ，b ；c ，d ) 是能稳的，q2o ，丑 0 ，( 4 ，c ，日1 2 ) 是能观的，则a r e f 2 1 副有一个反馈能稳解p o 0 ，p o 在半正定矩阵类中是唯一的 证明。用引理2 3 ，6 重复上面的迭代方法即可 下面将定理2 3 7 与w o n h a m 的下述结论作一比较： 定理2 3 a ( w o n h a m 3 】) 设o 0 ，r 0 ，( a ，b ) 能稳，( 0 1 2 ，a ) 能观，且有 则 i 簪lf e t ( a - b k ) c t c e t ( a - b i ( ) d r “( 2 3 _ 2 3 ) p a + a p + c p c + q p b r 一1 b p = 0( 2 3 2 4 ) 有唯一解p 0 ，矩阵a b r 一1 日，p 是稳定的 因为由第三章的定理3 2 ，1 和【3 】的定理4 1 知( a ，嚣) 能稳和( 2 3 2 3 ) 成立， 蕴涵着a r e ( 2 3 2 4 ) 有正解，而后者等价于( ，口；c ，o ) 是能稳的下面举例说 明能稳性未必满足条件( 2 3 2 3 ) 因此，定理2 3 7 的条件弱于定理2 3 a ，而定理 2 3 7 的结论显然强于定理2 3 a 为说明( a ，b ；c ，o ) 能稳，不一定推出( 2 3 2 3 ) 成立，我们有下面例子：取 a = ( i ) ，曰= ( ；) c = ( ii 0 ；) a 2 【、苫苫：) 曰2 ( 、：j c 2 【、：。：j 由后面的定理3 2 1 知：( a ，b ；c ，o ) 能稳的充要条件是下列a r e p a + a p + c p c p b b 7 p = 一i 有正解p 0 求解后得 ；)蕊。蠢。 肚 7 2 l ， i= 1 0 9 ( 半) l ， 条件f 2 3 2 3 ) 不成立 w o n h a m 【2 8 】还研究了更一般的a r e 三。) 尸a + a 7 p + c 7 p g + q p b ( r + d ，d ) 一1 曰p = 0 ，q 0 ，矗 0 的可髌性 定理2 8 1 3 ，设q 0 ，r o ，( a ，b ) 能稳，( q ，a ) 能观，且 睡! 己e t ( a - b k ) 。i t t d td k + c ? c 、e f ( a - b k d p熊欲 e 一2r q o 主，h r 毗 。 冀 则上述a r e 有唯一的正解p ，a 一口( 冗+ d ，p d ) 一1 b r p 是稳定的， 当g = o 时，定理2 3 8 比定理2 3 ，b 要强若取 a = ( 。1 三) ，口= ( ：) ，。= ( ：) ， 对一切o t ( a ，b ；0 ，d ) 是能稳的，但仅当a 2 0 ，r 0 ，d 列满秩这种情况，我们认为a r e ( 2 1 3 ) 有一个反馈能稳解户 o ，但还不能给出一个一般的证明，仅就下面的特殊情形 给出了证明 定理2 3 9 设( 4 ，缸g 印能稳，口 o ，如果6 和d 线性相关，d o ，b 0 ，6 ，d ，冗” 则a r e p a + a p + o p b ( d7 p d ) 一b p = 0( 2 3 2 5 ) 有一个反馈能稳解p o o 证明显然，在给定的条件下，上述迭代可一直进行下去我们断言只一岛 0 ， 否则，必有d i p o d = o 不然的话，岛满足 p o a + a 岛+ 口一p o b ( g e o d ) 一1 b - p o = o (