（计算数学专业论文）构造分布函数的样条函数方法及其应用.pdf

构造分布函数的样条函数方法及其应用 摘要 本文共包含五章内容。 第一章提出了研究对象为分布函数，并且介绍了分布函数的不同的算法。 在此基础上提出了用b 一样条函数构造分布函数的理论。第二章给出了构造算 法所需要的基础知识。 第三章和第四章由经验分布函数出发，利用b 一样条函数理论，分别给出 构造一元分布函数和多元分布函数的方法。首先给出了构造一维随机变量的分 布函数的方法：用这种方法构造的分布函数在给定的水平下可通过柯尔莫哥洛 夫检验，从而可很好的逼近母体之真实分布函数。然后将经验分布函数的定义 拓展为广义经验分布函数，以二元函数为例，在假设母体真实分布函数存在的 基础上，利用双三次b 一样条函数，给出了构造二维随机变量的分布函数的一 种方法。在实际计算中，我们只需用经验分布函数巧ty ) 来代替真实分布函数 f ( x ，y ) 即可。对连续型随机样本母体中的简单随机子样的观察值，在不易得到 其具体分布或不知道其密度函数的情况下，可用此方法来近似求出其分布函数 并可达到很好的逼近效果。 第五章对全文进行了总结并提出了值得改进的地方。 关键词：分布函数；样条函数；柯尔莫哥洛夫检验；一致逼近 t h em e t h o do fc o n s t r u c td i s t r i b u t i o nf u n c t i o nb ys p l i n e f u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h et h e s i si sc o m p o s e do f f i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rp u tf o r w a r d st h es t u d yo b j e c ti sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，a n di n t r o d u c e s t h ed i f f e r e n ta r i t h m e t i c so fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nb yo t h e r s b a s e do nt h e s e ，u s i n gt h e o r yo f b s p l i n ef u n c t i o n ，t h ea n t h o rp u t sf o r w a r dan e wa l g o r i t h mo fd i s t r i b u t i o nf i m c t i o n t h e s e c o n dc h a p t e rg i v e st h en e c e s s a r yf o u n d a t i o nk n o w l e d g eo f t h i sa r i t h m e t i c t h en e x tt w oc h a p t e r sa r et h em a i nc o n t e n t f r o me m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ， u s i n gt h e o r yo fs p l i n ef u n c t i o n ，g i v en e wa l g o r i t h m so fm o n a dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n d m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ns e p a r a t e l y f i r s t ，t h ea n t h o rg i v e san e wa l g o r i t h mo f m o n a dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n u n d e rg i v e nl e v e l ，t h i sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nc a l lp a s s k o l m o g o r o vc r i t e r i o n ，t h u si tc a r la p p r o x i m a t es a m p l e sr e a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n t h e n ，t h e a n t h o re x t e n d st h ed e f i n i t i o no fe m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt og e n e r a l i z e df u n c t i o n c i t e sd u a l i t yf u n c t i o na sa ne x a m p l e ，s u p p o s e dt h es a m p l e sr e a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o ne x i s t s ， u s i n gb i c u b i cb - s p l i n ef u n c t i o n ，g i v e san e wa l g o r i t l n no fd u a l i t yd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i n r e a lc a l c u l a t i o n ，w h a tw es h o u l dd oi sj u s tu s i n ge m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt or e p l a c e r e a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n t h e r e f o r e 。t os u b s a m p l e so b s e r v a t i o no fc o n t i n u o u sr a n d o m s a m p l ep a r e n tp o p u l a t i o n ，i fw ec a n tg e ti t sm a t e r i a lf u n c t i o ne a s i l y , o rw ed o n tk n o wi t s d e n s i t yf u n c t i o n ，w ec a nu s et h i sw a yt oa p p r o x i m a t ei t sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n a n dt h e s e m e t h o d sc a d _ a c h i e v eg o o da p p r o x i m a t i o ne f f e c t t h ef i f t hc h a p t e rs u m m a r i z e st h ew h o l et h e s i sa n db r i n gf o r w a r ds o m ep l a c ew h i c h n e e dt ob ei m p r o v e d k e y w o r d s ：b s p l i n ef u n c t i o n ；d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ；k o l m o g o r o vc r i t e r i o n ；u n i f o r m a p p r o x i m a t i o n 图表清单 图l群g ) 与巧b ) 比较图1 5 图2s i ( x ) 与f ( x ) 比较图2 1 图3 s 、( x ) 与f ( x ) 比较图2 2 图4 所构造的函数s ( x ，y ) 的图像3 0 图5 真实分布函数f ( x ，y ) 的图像3 0 表1胸围与总体高搭配所占人数比例表2 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导r 进行的研究j 作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致i 身 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金妲些盍堂 或其他教育机壮j 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的蜕明并表示谢意n 学位论文作者签字：靴峙签字腓。f 年f 月3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解佥胆、业厶堂有关保留、使片j 学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被奄阅或借阅。本人授权盒8 b 王些丕 ! ! l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可咀采心影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学能论文在解密后适用本授权书) 学位论文者孙培 签字日期： 口f 年1 月) 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 名：和笋 导师签名：p 7 。 签字日强：o s 年r 3 t 3 电话 邮编 致谢 在硕士学位论文即将完成之际，我想向曾经给我帮助和支持的人们表示衷 心的感谢。 首先我要对我的导师朱功勤教授表示衷心的感谢，他教导了我学术研究的 方法，也为我指引了研究的领域和方向。他严谨细致、一丝不苟的作风一直是 我学习中的榜样：他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在 本论文的撰写过程中，朱老师从选题直至成稿直给予我重要的指导和帮助， 为我解开了无数的困惑，提供了很多关键性的建议。在此祝愿他身体健康，全 家幸福! 还要感谢檀结庆老师、杜雪樵老师、黄有度老师、邬宏毅老师以及理学院 的所有老师，他们让我在课堂上学到了丰富的知识，让我见识了众多研究领域 的精华。尤其是杜雪樵老师，对我的论文的完成给予了很多指导性的意见和建 议。 最后，感谢我的家人。在整个研究生阶段，我的家人给予了我很大的支持 和鼓励对此表示诚挚的谢意。 作者：陈亚婷 2 0 0 6 年5 月 第一章绪论 众所周知，数理统计是具有广泛应用的一个数学分支。它以概率论为理论 基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性 做出种种合理的估计和判断。数理统计的理论和方法，就是分析、处理和研究 随机试验的观测结果( 一般可用数据表示) ，以推断随机现象的客观规律性的理 论和方法。而分布函数是用来描述随机现象的基本工具，是数理统计学的基础。 不论什么类型的分布，都可用分布函数来描述和处理。任何统计方法都离不开 分布函数的概念和各种具体分布的性质。因此，分布函数在现代统计理论中起 到很重要的作用。从而，研究分布函数的计算方法既具有理论意义又有实际的 应用价值。 随着计算机的广泛应用，出现了大量的统计计算软件。而在利用计算机进 行统计计算时，经常涉及到分布函数爿x ) 的计算问题。例如在产品或生物体的 寿命分析中，人们常常关心寿命大于x 的概率s ( x ) ( 即可靠性函数或称生存函 数) ，显然s ( x ) = 1 一f ( x ) ；又如若规定合格品的尺寸为a p ，则次品率为 p = f 口一p ) + 卜，( 口+ e ) ：再如进行统计检验时，常要用到一些分布函数的数值 表。以往解决的办法是将数值表存入计算机内，需要时调出来使用。这样做一 方面要占用很多计算机内存，另一方面数值表的间距较大，用插值方法不仅费 时阃，精度也差。最好的办法是利用分布函数的计算公式进行计算。因此人们 就考虑怎样得到分布函数的计算公式，即可以使得计算简便又可以使误差在适 定的范围内。 为了解决上述问题，我们先介绍分布函数的一般算法，然后给出用样条函 数逼近分布函数的方法，并且用实例说明它的有效性。利用样条函数构造的分 布函数，可近似逼近随机变量的分布函数，并可达到很好的逼近效果。 针对分布函数的计算问题，传统的统计学有如下两种方法【l j ：其一是参数 估计与检验法，在实际问题中，根据以往的经验，可以推断我们所关心的随机 变量的分布是什么分布，但往往这个分布中有些参数未知。我们通常利用估计 或检验着两种统计手段得到未知参数。这种方法的缺点在于在许多场合，并不 知道总体分布的类型，因此随机变量的分布函数往往会很难得到。因此统计学 家又引入了非参数检验法，即需要根据样本提供的信息，通过概率论有关理论 推导或有关专业知识、经验、文献介绍或用非参数估计方法形成对某一总体x 分布的猜想、看法。这种方法的缺点在于要检验母体服从哪一种分布函数时， 也是靠主观经验和样本的某些特征来进行推测。 因此，人们就考虑用其他方面的数学知识来研究分布函数的算法，把分布 函数的计算问题转化为其他的函数或函数值的计算问题。下面介绍近年来与计 算数学相关的关于分布函数的一些算法。 1 积分的近似算法【2 设连续型随机变量x 的密度函数为s ( x ) ，则x 的分布函数为 f g ) = e 厂( 印。 分布函数的计算归为积分的计算。 1 1等距内插求积公式( 牛顿一柯特斯求积公式) 计算k ，6 区问上积分f 扛皿的近似计算公式： r ，g 胁“( b - o ) t 毋s ( a + _ l ! ，) ( 1 1 ) 此公式称为等距内插求积公式，也称牛顿一柯特斯公式。其中 c 少= 揣f 掣加 ) c 5 是不依赖于厂0 ) 和区间k ，6 】的常数，可事先计算出来，称为牛顿一柯 特斯( n e w t o n c o t e s ) 系数。 牛顿一柯特斯公式至少具有h 次代数精度。 1 2高斯型求积公式 考虑积分f p ( x ) j ( x ) a ，其中是p g ) o 权函数。 只要选择节点满足条件 e p o k g h 。0 玲= 0( 1 3 ) 则 p g 驴g ) 出aa ，厂b ，) 0 4 ) 的代数精度就能达到2 n 一1 因此( 1 4 ) 式即为求积公式。 其中系数以_ 踹出 ( 1 5 ) 实际上，利用区i l la ，6 】上关于非负权函数p ( x ) 的正交多项式系k 。0 ) 的性 质：乳g ) 的聆个零点是实数、不相重、且分布在0 ，b ) z 中。对给定的权函数p ( x ) 总能构造出关于此权函数的丁f 交多项式系k 。扛) 。而且岛g ) 的九个零点就是高 斯求积公式的”个节点。 高斯型求积公式的优点是代数精度高，还可以计算无穷区问上的积分。但 是节点和系数的计算比较麻烦。为此，前人对某些特定的权函数事先算出了与 它对应的节点和系数表，这样在计算时可班直接查表得到求积公式，而不必每 次都用正交条件柬求节点和相应的系数。 2 函数逼近法【2 】 分布函数f g ) = j 二，o 如一般具有连续、可微的性质。分布函数的计算就是 求函数值的问题，但分布函数，g ) 的表达式一般较复杂，计算，0 ) 值时，可以 用简单函数p g ) 去近似它。通常p 扛) 可取为多项式、有理函数或连分式等。 2 1 有理函数逼近( p a d 6 逼近) p a d 6 逼近是以函数的幂级数展开为基础的，设0 ) 在h l 内可展成幂级数 i 厂( x ) = c 女x 。又设m ，n 为非负整数( 不妨设加 ) ， k = o 只。g ) = d ， 卢o q j ，g ) = 圾z = o 用有理函数 露。b ) = b ) q 。如) 来近似，0 ) 。即令s ( x ) * 匕g ) 已“) ，则 己g ) “s ( x 乜g )( 1 6 ) 称有理函数r 。就是s ( x ) 的， ) 阶p a d 6 近似式。 用p a d 6 方法得到的有理函数近似式证像幂级数展开式一样，只是在原点附 近有良好的精确度，而当工增大时，精确度很快就递减了。 大量的计算例子表明，当坍+ = 上为一确定常数时，在各种可能的( 肌，h ) 阶 p a d 6 近似式中，采用m ， 相等或接近相等时为最佳。如l = 2 k 时，采用任，) 阶 p a d 6 近似式：如三= 2 t + 1 时，采用( 女+ 1 ，t ) 或( k ，k + 】) 阶p a d 6 近似式。 2 2 连分式逼近 定义形如 6 0 + b + b 2 + a 3 的表达式称为”节连分式。 设f g ) 为分布函数，首先求，b ) 的幂级数展丌式： f g ) 叩， l - 0 ( 1 7 ) 然后把f ( x ) = c ，x 1 化为连分式，用有限节连分式作为f ( z ) 的近似式。这种方 i = 0 法就是连分式逼近方法。 利用化函数为连分式的一般方法 幂级数c j x l 的连分式展开式为 仁o 唾 + 扣。早一丽a l x 一硐c t 2 x ( 1 8 ) 其中口o = c o ，f = c ，c _ l ( f = 1 , 2 ，) 。 使用连分式逼近法的好处在于可以使计算量减小，因此用连分式逼近法是 计算分布函数的一种常用算法。 3 利用分稚函数之间的关系【2 利用分布函数之间的联系，只要用前面介绍的积分近似算法或函数逼近方 法计算几类基本分布的分布函数，就能得到另一些分布的分布函数值。例如一 般正态分布函数可利用标准诈态分布函数计算；f 分布的分布函数、f 分布的 分布函数、二项分粕的分布函数均可用b a t e 分前】的分布函数计算等。 4 随机加权逼近法卧1 6 j 随机加权法源于b o o t s t r a p 方法( e f r o nb ，1 9 7 9 ) 其主要思想是，利用计 算机“再抽样”，以计算机“实验”数据为基础进行统计分析。目前，国内外出 现了许多关于b o o t s t r a p 方法和随机加权法的研究。如郑忠国的随机加权法 是用随机加权法构造了分布函数。王虹的光滑经验分布函数的随机加权逼近， 徐伟的连续型经验过程的随机加权逼近，他们是利用某些权函数将分布函数 光滑，得到光滑经验分布函数，在一定条件下证明了光滑经验分布函数随机加 权逼近的相合性。 设u ，圪为随机变量，满足k + 屹+ = 1 ，嵋，的联合分布为 d i r i c h l e t 分布，即k ，一】在 r 一11 s j = ( 嵋，一1 ) ：k 0i = 1 , 2 ，”一1 _ 1 l i = 1 j 上具有均匀密度厂( k ，一1 ) = 0 1 ，。 现将这一随机权加在样本点b l ，z 2 ，b 上构成一个分布函数 h 。0 ) = z v i s 讧。兰x ) ( 1 9 ) 1 = 1 对。h 。g ) ，证明了在一定的条件下，对几乎所有的样本序列x i ，x 2 ，靠 打。0 ) 一e 0 ) ) 坐j 占护) 其中b 是b r o w n 桥。 5 已知某些数字特征的分布函数的算法 7 李跃波在其论文随机变量的分布函数及其计算一文中，提出了在统计 中经常遇到一个随机变量的矩容易求出而该随机变量的分布函数难以得到的问 题。他以傅氏级数为基础，运用契贝谢夫多项式，给出了用随机变量的矩求其分 布函数的表达式。虽然这种表达式以级数的形式给出，但它便于用计算机进行处 理与计算。 6 特殊分布函数的样条逼近【8 】 黄建东在其论文两种概率分布函数的样条逼近一文中，讨论了三次样 条插值函数对正态分布函数和罗辛( r o s i n ) 分布函数的逼近，并且通过误差分析 得到了对服从上述两种分布并处于有限区间中的数据进行三次样条拟和具有合 理与可行性。 上述方法有的是已知随机变量的密度函数，有的是知道随机变量的某些数 字特征，或者是对一些特殊的分布函数进行研究。但是一般情况下，我们经常 会遇到不易得到随机变量的具体分柿或不知道其密度函数和数字特征的情况， 基于此，我们设法利用b 一样条函数构造逼近分布函数的近似分布函数。这样 的近似分布函数的优点在于对连续型随机样本母体中的简单随机子样的观察 值，在不易得到其具体分布或不知道其密度函数和数字特征的情况下，可用此 方法来近似求出其分布函数，并可达到很好的逼近效果。这就是本文所研究的 内容。 为此，本论文作如下安排：首先，介绍文中所用到的概率统计、b 一样条 函数、实变函数的基本概念和主要结果，然后利用b 一样条函数构造一元分布 函数，这是本文的重点。接着再将第三章的方法推广到多元，这是第四章的内 容。最后，对全文进行了总结并且提出需要改进的地方。 第二章预备知识 由于在概率统计、样条函数和实变函数这几个方面的文献较多，为了后面 的叙述方便，下面将本论文所用到的基本知识给出。 2 1 概率统计有关的定义和定理 i 9 1 - 1 2 自然界和人类社会中会发生各种各样的现象，其中有的现象在一定条件下 是必然要发生的，有的则表现出一定的随机性，但总体上又有一定的规律可循。 一般称前者为确定性事件，后者为不确定性时间( 随机事件) 。概率论与数理统 计就是研究和揭示随机现象和统计规律的一门数学学科。它是数学学科中最活 跃最富有生命力、应用最广的一个分支，也是最广泛与其他学科交叉、渗透的 一门学科。 定义2 1 1设( q ，) 为一可测空间，定义尸上的满足下列条件( 公理) 的 一个实值集函数p ( a 1 ，a f ( 1 )v a f ，0 p ( a ) 1( 非负性) ( 2 ) p ( q ) = 1 ( 规范性) 厂、 ( 3 ) 对w ，f ，f _ 1 , 2 ，a ，a a ，= 中，f ，有p iu 爿j | = z p ( a ，) ( 完全 卢，= l 可加性) 称p 为( q ，尸) 上的概率，尸0 ) 为事件a 的概率， ，f ，p ) 为概率空间。 定义2 1 2 设心，f ，p ) 是一概率空间，亭= 善( ) ，q 是定义在q 上的实 单值函数；若对于v 实数z ，总有切i 舌如) 石 e f ，( 即集合如i f 如) x 恒为随 机事件) ，则称告0 ) 为( 概率空间( q ，f ，p ) 上的一个) 随机变量。 定义2 1 3 设孝为概率空间( q ，f ，p ) 上的一个随机变量，定义 f ( x ) = p ( f x ) ，一o o x + ， 称f ( x ) 为 的分布函数。 对于连续型随机变量，b ) = e 。g 陋。 定理2 1 1设f ( x ) 为随机变量孝的分布函数，则 ( 1 )f b ) 为单调不减函数。即若_ x ：，则有f g 。) f ( x 2 ) ； ( 2 )，g ) 为左连续。即l i r af ( x ) = ，g o ) ；v x 。( - 。，+ m ) ； ( 3 ) l i mf ( x ) = 0 ，l i mf ( x ) = 1 。 f z _ + 定理2 1 2 若实函数f ( x ) ，一0 0 x + o 。，满足定理2 1 1 的三点性质， 则必存在某一概率空间上的随机变量孝以，( x ) 作为其分布函数。 定义2 1 4若随机变量玎的密度函数 ，一丝 ，= 軎p2 9 2 一o 。 z 0 ，则称叩服从参数为麒口2 的正态分布( 1 】o r m a d i s t r i b u t i o n ) ，记为玎b ，盯2 i o 特别地，当= 0 ，盯= i 时， o ，1 2 ) 称之为标准正态分布函数，其密度函数 1 】2 特别已为妒g ) ，即妒o ) = 。2 | 。 吖二厅 定义2 i 5 若j l ，z 2 ，一。是刀个随机变量，出他们组成的一个数组 x = ( x 1 ，x 2 ，戈。) ，叫做( n 维) 随机向量x l ，x 2 ，x 。瞄做x 的分量。 当疗= 1 时，随机向量就化为随机变量。 定义2 ，l ，6 设羔= ( x ，x 2 ，。) 为一随机向量。若存在一个非负函数 f ( x ) = f ( x l ，一，x n ) 使得对一切一0 0 d ，b ， o o ，i = o ，1 ， 均有 p 0 1 z l 占1 ， 。 6 。) = 窖一- 厂o t ，皿l 吨 则称z 为连续型随机向量，f ( x l ，- ，x n ) 称为它的分布密度。 由定义可推知，连续型随机向量的分布密度函数具有下列性质： ( 1 )f ( x l ，一，) 0 ： ( 2 ) e 。( ，岛陋1 d x 沪1 定义2 1 7 设x = ( 玛，置，瓦) 为一随机向量，对任一1 1 维向量 b l ，x 2 ，h ) ，令函数 f ( _ ，h ) = p ( x j x 1 ，一。x n ) 它称为随机向量x 的分布函数。 定理2 1 3 随机向量的分布函数f ( x l i - ，x 。) 有如下性质： ( 1 )对每个i ，p ( x l ，_ 一，x n ) 是_ 的单调不降左连续函数。 ( 2 ) f ( 一m ，x 2 ，h ) = ，扛，一0 0 ，x 3 ，) 一= r ( x 一，x 。一】，一。o ) = o 0 ) f b ，。) = 1 ( 4 )设z 为连续型随机向量，厂扛l ，- ，h ) 为它的分布密度，则它的分布函 数为 f ( x i , - - , x n ) = 卫必h 一以溶，毋。 定理2 1 4 若函数f ( x - ，x 。) 满足上述定理2 1 3 的( 1 l ( 2 l ( 3 ) 三点性质， 则必存在某一概率空闯上的随机向量x 以f ( x ，一，x 。) 作为其分布函数。 定理2 1 5 设石= 隅，五，以) 有分布密度函数f ( x l - ，h ) ，记 g 1 ) ，厶g 。) 分别为蜀，x 2 ，x 。的分布密度，则戈l ，x z ，x 。楣互独立的充 要条件是 ，g 一，b ) = 正0 ，) 对一切实数x 】，一，x 。成立。 正b 。) 定义2 1 8 独立标准正态变量x i , x 2 ，x 。的有限个线性函数 m1h 垆2 锻卜 称为m 维正态随机向量，y 的分布密度或分布函数都简称为m 元( 所维) 正态分布，有时简记为 y n 。忸，a a ) 出定义立即可知，独立标准一态随机变量x ，x ：，r ，组成的随机向量x 可 写成 x = x l ，一，x 。，n ( o ，。) 定理2 1 6 若y 0 ，v ) ，且m 0 ，则y 的分布密度是 厶t ( y ) 。而1 e x p 一三一) 矿1 1 。一) 若i v j = 0 ，此时不存在通常意义下的密度。 定理2 1 7 设j ，是m 维随机向量，则y 是正态分布的充要条件是它的任 一线性函数口f y 都是一维正态分布。 定理2 1 8 设y l ，y 2 是两个相互独立的卅维随机向量，如y = y 1 + y 2 遵从 拢维正态分布，则y i 和y 2 都遵从掰维正态分布。 定理2 1 9 设y l ，y 。是 个相互独立的m 维随机变量，q ，a n ；“，b 。 是两组常数，令 ：i = c f n ， i = 1 z 2 = 岛y i = 1 h 则0 ) 如j ，l ，一，y 。都遵从正态虬，矿) 且q b ，= 0 ，则z 1 和z 2 独立。 i = 1 ( 6 ) 如果刁和z 2 独立，则当q 6 ，0 时y i 遵从, q 维正态分布。 定义2 1 9 设伍，x 2 ，) 是从连续型随机样本母体x 中抽取的简单 随机子样。记x l ，z 2 ，) 为子样的一组观察值。将观察值各分量按大小递增次 序排列，得到x ? z ：z ：。 0 记 巧g ) ：j 生 l 疗 1 1 当z 墨工? 当x ： x ： 称上述函数巧g ) 为经验分布函数，又称子样分布函数。 定义2 1 - 1 0 设( x ( ”，x ( 引，工( ”) ) 是从母体x 中抽取的子样，记 & ( ”，x ( ”，x 加) 为子样的一个观察值，对此，我们定义多维随机样本的经验分 布函数； f ：b 1 嘞) = 去弘一- ， 其中记x ( o = o 儿，) 7 ( f = 1 , 2 ，”) ，为示性函数： f 0 ( 存在某竹，1 5 ，i ，戗f 勺j z ( x f i x i ，- - ，x 请 工) = 【i 供它) 设口= ( 4 一，以) 7 ，b = ( 6 1 ，) 7 ，假设球， 6 ，对于= 1 , 2 ，均成立，则记作 口 b ，按照此记号，上述定义又可表示为： 巧g ) = 兰兰， d 。，则拒绝 h o ( f g ) = f oo ) ) ，否则接受h o 。当”较大时，可利用极限分布求得d 。的近 似值d 。 定理2 1 1 2 ( g l i v e n k o c a n t e l t i 定理、 、 设( ”，扣) 是从具有分布为f ( x ) 的维随机样本母体中抽 取的摘单随机子样，巧b ) 表示其子样分布函数，则对任一固定的工r ，有； l i m 巧0 ) = f ( x )a 矗) 这一结论说明，只要子样容量足够大，则由简单子样缛到的经验分布函数 巧g ) 与理论分布f 0 ) 只有很小的差别。 2 2 样条函数有关的定义和定理【1 4 1 样条函数在工程实践与科学应用中有着广泛的应用。例如，试验、统计数 据如何用函数表示，设计、分析、优化的结果如何用函数表示等，几乎各个领 域都要用到样条函数来对数据进行处理。b 一样条函数是最常用的样条函数， 它可以给出非常光滑的插值函数。因此在数值逼近、常微分方程求解以及科学 和工程计算中应用均相当广泛。 定义2 2 1 m ，g ) = ( 等距b 一样条的积分差分递推定义) h m 。i x ) = j l m o 净，k = 2 ，3 ， 定理2 2 1b 一样条具有如f 的性质： ( 1 )m 女0 ) 是分段一1 次多项式，且当k 为偶数时，具有整数节点，女为奇 数时，具有半整数节点。 ( 2 ) m 。0 ) c 卜2 ( 一c o ，+ o 。) 。 ( 3 ) m 。g ) 为偶函数，并且芒肘；g 妞= 1 ( 4 )紧支柱性质与非负性 0 ，h 1 ) ( 7 ) k 一1 次保存性质。 7 m 女y - - x ) = x 7 + p l - t g ) ( f k - 1 ) ， 其中p 1 - 1 b ) 是工的某个，一1 次多项式。 8 )b 一样条是同阶样条函数空间中一组具有最小支柱的基底。 ( 9 ) 零点性质。吖 ”o ) 在开区间f 一喜，喜1 内恰有v p _ k - 2 ) 个零点。 定理2 , 2 2 闭区间k ，6 上连续且单调增加的函数f ，经过积分一差分运 算后，在l 口+ 冬，6 一i hl 上仍是增函数。 定理2 , 2 3任一次数不超过k 一1 的多项式最一1 g ) 必可唯一的表示成 b 一。b ) = z y ，m tx - r ) 其中抄。 是某组与只一l 有关的另一个具有相同次数的多项式在x = v 处的值。 定理2 2 4 对于给定型值点的( 一，y ，) ，i = 0 , 1 ，埘，其相应的三次b 一样 ，“”，10 条函数厶b ) 在节点一处有下式成立： ，3 g 。- y i = 一2 y ，+ y h ) 定义2 2 2设x = c 【口，b 】，y = c c ，d ，令x = s p a n 溉，丸 ， = s p a n o o ，妒。 分别表示由x ，y 中的基函数 谚) ( o s i ”) 与妨 ( o ，m ) 张成的子空间，它们的维数分别为n 十1 与m + l 。 。 e ，；s p a h 协g 如，) ：0 i n , o j m 定义为张量积。 定义2 2 3考虑u = k ，6 】c ，训上的矩形网格= ，a 且 t ：日= x o x i x n = b ， a ，：c = y o y l 0 ，j l ，对于v n n ，v x 爿，有f t ，：，0 ) 一0 j 0 ，存在可测集x dcx ，使； 0 ，有0 厶一，1 盯j 寸0 0 专m ) ，则称i s 在x 上依 测度收敛于厂，( 简称测度收敛于f ) ，汜作厶与厂。 显然可知由定义一致收敛芍几乎一致收敛一致收敛穹处处收敛等几乎处 处收敛 定理2 3 1 若厶- 厂，o u ，则j f ，a e ，反之，若( ) o o ，厶斗f ， a e ，则兀斗，a m ( 后者称为e g o r o v 定理) 。 叶果洛夫e g o r o v 定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接 关系。 通过这个定理，可以几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一 致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。 定理2 3 2 若 斗厂，a u ，则厶与厂。反之，若厶与，则饥 有一子列几乎一致收敛于厂( 后者称为r i e s z 定理) 。 定理2 3 3 若六山厂，则 ：， 有一子列几乎处处收敛。反之，若 z j 0 ，使得对于任意自然数h 及任意两两不交的左 闭右开矩体1 ，= b oj ，b “j ，( f = 1 ，n ) ，当v ( s 。) j 时，总有3 f ( ，：) 占。其 中f 表示由f 所确定的l e b e s g u e s t i e l t j e s 测度： ( 3 )f 关于l e b e s g u e 测度m 绝对连续，即f 0 ，使得v n 1 ，及v a ( “，6 ( ，) r ，o ：1 ，n ) 只要妻d - ( j j ，6 ( ，) ) 占且 ， 苫两两不交( 其中，表示连接a ”6 ( ) 之线段为对角线的左l 翔1 右丌矩体) ，便 有 兰i f ) 一f g o ) ) s i = 1 称具有上述性质的_ 元函数为绝对连续函数。显然，绝对连续函数是连续 的。当= 1 刚，此处的绝对连续性就是通常所蜕的一元函数的绝对连续性。 推论2 3 7一维随机变量是连续性随机变量的充要条件是其分布函数是 绝对连续函数。 推论2 3 8维随机变量是连续性随机变量的充要条件是其分布函数满 足定理2 3 5 中的命题( 2 ) 。 定义2 3 4设f b ) 是有界变差与左连续函数。给定有限区间( d ，6 ) 和一个 函数f ( x 1 时，可以作出和式 厶= 厂g ；) f g ，) 一f ( x h ) 】 i = 1 这里用满足条件口 x 1c x 。 b 的点a ，6 ) 分割。而x ；e g f - l ，一) 是任取的。 如果当月斗m 时而使各个区间长趋于0 ，上述和式趋于极限 j = l i m j 。 则称j 为，g ) 关于f e ) 的s t i e l t j e s 积分，并记作j = f 厂g 舻g ) 。 广义积分定义为。l i ，m f f ( x ) d f ( x ) = 厂扛弦o ) 。 第三章构造一元分布函数的样条函数方法及其应用 本章由经验分布函数出发，利用b 一样条函数理论，给出构造一维随机变 量的分布函数的方法，用这种方法构造的分布函数在给定的水平下可通过柯尔 莫哥洛夫检验，从而可很好的逼近母体之真实分布函数。首先利用一次b 一样 条函数构造分南函数，在此基础上，为了提高代数精度，用三次b 一样条函数 构造分布函数。三次b 一样条函数构造的分布函数具有光滑性和连续性，从而 对连续型随机样本母体中的简单随机子样的观察值，在不易得到其具体分布或 不知道其密度函数和数字特征的情况下，可用此方法来近似求出其分布函数并 可达到很好的逼近效果。 由第二章定义2 1 9 知，该定义中的经验分布函数e x ) 单调非降、左连续， 具有随机变量的分布函数的一切性质，因此巧b ) 是分布函数。但是巧g ) 还有 一个缺点就是不连续，不过我们可以构造一个连续函数巧g ) 来近似巧g ) ，并 且使得巧g ) 还具有分布函数的性质。 下面将经验分布函数g ) 中的各点顺序连接为折线：k ，o ) ， 丑 垒，击l ， ( 孚才一，( 学砂，( 华，斟栅图： 幽1 巧g ) 与0 ) 比较图 称在b - x ：j 上的折线函数为巧g ) 。 下面对巧g ) 的定义进行延拓： 巧g ) = 0b 茸：j 由巧g ) 及巧g ) 的定义知，对v x r ，有l 巧o ) 一巧g 1 去。 f h 上述构造方法可以看出，连续函数巧b ) 可以作为一b ) 的近似，并且延 拓后的巧g ) 具有分布函数的性质。下面我们就出0 ) 出发，利用b 一样条函 数理论，给出构造一维随机变量的分布函数的一种新的算法。由此方法得到的 函数可很好的逼近母体之真实分布函数。 3 1 利用一次b 一样条函数构造分布函数 首先给出区间k ：，x ：】上一个步长为h 的均匀分划 x ? = o d 】 口。l = 工： 对进行延拓： 1 ：8 0 ( q ( 口 口卅“ 在【。，口。，】上定义一0 ) ： 嘶) = m 刍+ l 啪- - - - i 批 半一z ) ，其中蛳) 2 1 一x当0 工 l 1 + x当一1 x 0 0 其他 将s & ) 的定义延拓到r 上： 置b ) = 0b a m + 1 ) 延拓点日。+ l 是为了保证s 】b ) 在整个数轴上连续。因为巧妇。) 可能不为 故需延拓一点。 定理3 1 1可以证明出上述方法构造的s l b 具有如下性质： 0 ) s l o ) 在r 上是连续函数； ( 2 ) l i r as l g ) = 1 及l i ms 0 ) = 0 ： ( 3 ) s b ) 在r 上为非降函数。 于是，墨0 ) 可作为真实分布函数c g ) 的近似。 证明：性质( 1 ) ，( 2 ) 显然，下证性质( 3 ) 。 欲证s l g ) 在r 上为非降函数，只要证它在k ，口。j 】上非降即可。 对v x k o ，口。1 ，x 必属于某个小区间a j , 口川j ，o = o ，1 ，m ) 。 笥= f 笥= i 一1 其它 一一。主一。 、宁 m则 因此 墨g ) = 爵g ，1 - 气1 + 巧g 川) 气= 巧g ，) + 匿。川) 一i g ，庐， 其中o 三兰1 。 又因为蜀g ，) = 巧0 ，) ，s 1 0 川) = 巧k ，+ 。) ，而i g ，) 巧仁，+ 。) 可知s b ) 为一直线段且斜率为曼墨兰掣不小于。，即s o ) 在 b ，日川j 上非降。 由此可知s 】g ) 在r 上为非降函数。 得证。 上述对k i ，x ：j 的剖分依_ f 述法则进行：设d 。是给定水平口下的统计量d