（运筹学与控制论专业论文）非线性时滞系统的鲁棒稳定性与观测器设计.pdf

摘要 时滞系统的稳定性分析和观测器设计一直是控制理论研究中极其重要的 课题之一，对于一般的非线性时滞系统，通常很难找到恰当的控制律，使得系 统稳定。同样，对于一般的不能量测的非线性时滞系统，也很难找到适当的观 测器，使得误差状态稳定。 本文主要研究了几类时滞系统的稳定性分析和观测器设计，包括变时滞 控制系统的变结构控制、l i p s c h t l z 非线性时滞系统的稳定性分析和观测器设 计及l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定性分析和观测器设计。 对于变结构控制问题，以往的文献中主要处理了线性时滞系统的变结构 控制，我们首次对带有扰动量和不确定扰动量的变时滞系统的变结构控制方 法进行了研究，同时给出了控制律，使得系统渐近稳定。 在讨论非线性时滞系统的稳定性分析和观测器设计时，我们首次对满足 l i p s c h t i z 条件的非线性时滞系统的稳定性和观测器设计进行了研究，应用矩 阵正定分解和矩阵的奇异值分解，求出了观测器的显式表达式。 类似地，在讨论l i p s c h t i z 非线性电立型时滞系统的稳定性分析和观测器 设计时，我们首次对带有不确定量的l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定 性和观测器设计进行了研究，利用矩阵的正定分解，矩阵的奇异值分解和矩阵 的广义逆定理，给出了所设计的观测器的显式表达式。 本文由以下三部分组成： 1 变时滞控制系统的变结构控制。 2 带有不确定量的l i p s c h t i z 非线性时滞系统的稳定性分析和观测器设 计。 3 带有不确定量的l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定性分析和观测 器设计。 关键词：渐近稳定；- - 次稳定；时滞系统；l i p s c h t i z 时滞系统；矩阵分解；线 性矩阵不等式；广义逆定理；观测器设计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d y ，u n d e rs o m ea s s u m p t i o n s ，s t a b i l i t ya n a l y s i sa n do b s e r v e r d e s i g no fs o m e c l a s s e s * fd e l a ys y s t e m s ，w h i c hc o n s i s to ft h ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l o fv a r i a b l et i m e d e l a ys y s t e m s ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n do b s e r v e rd e s i g nf o rl i p s c h t i z n o n l i n e a rd e l a ys y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e sa n dt h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n do b s e r v e rd e - s i g nf o rl i p s c h t i zn o n l i n e a rn e u t r a l t y p ed e l a ys y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e s i nc h a p t e r1 ，t h ev a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o li sd i s c u s s e df o rt h ev a r i a b l et i m e d e l a ys y s t e m 露( t ) = a x ( t ) - i - a ( t h ( t ) ) + b ( “+ e k ( t ) + d )( 1 ) w e g a i nt h ec o n t r o l l e ro f t h ev a r i a b l et i m e d e l a y s y s t e mb yu s i i l ga p p r o a c hl a ww h i c h u t i l i z e st h em e t h o d 5 0 ft h er i c e a f t e q u a t i o na n dt h em a u i xi n e q u a l i t i e s i n c h a p t e r2 ，w e ：i n v e s t i g a t e dt h es t a b i l i t ya n s l y s i sa n do b s e ：l v e ：rd e s i g nf o rt h e l i p s c h t i zn o n l i n e a rd e l a ys y s t e m w i t hu n c e r t a i n t i e s ： 未( t ) = a + a a ( t ) 石( t ) + a d + a d ( t ) 茗( t h ( t ) ) + 西( 髫( t ) ，( t ) ) + 嚷( 算( 一 ( ) ) ，u ( f ) )m y ( t ) = c x ( ) ”7 石( t ) = 拳( t ) t 一 ( t ) ，0 w e , , c q u i r e a ，b yu s i n gt h em a t r i xd e c o m p o s i t i o na n ds o l v i n gt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l - i t i e s ，a ne x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ed e s i r e do b s e r l c e ri nt e r m 8o fs o m e , f l e ep a r a m e t r e s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h es t a b i l i t y a n a l y s i sa n do b s e r v e rd e s i g nf o rt h el i p s c h t i zn o n l i e a rn e u t r a l t y p ec l e l a ys y s t e mw i t hu n c e r t a i n t i e s ： ：( t ) 一豇( t h ( t ) ) = c a + a a ( t ) 菇( t ) + a d + a a d ( ) 茹( t h ( t ) ) + 西( 石( t ) ，u ( t ) ) + 西 ( 茁( t 一 ( t ) ) ，m ( t ： ( t ) = ( t ) = ( t ) = ( t ) t 一h ( t ) ，0 ( 3 ) w eo b t a i n ，i nt e a m so fs o m ef r e ep a r a m e t r e s ，a l le x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ed e s i r e do b g , e l v e rw h i c hi n v o l v e di nc e r t a i ns e tb yu s i n gt h em a m l xd e c o m p o s i t i o n ，s o l v i n gt h e l i n e a rm a x 【r i xi n e q u a l i t i e sa n dt h eg e n e r a l i z e di n v e r s et h e o r y k e yw o r d s ：a s y m p t o t l e a ls t l l b i l i t r ；q u a d r a t i cs t a b i l i t y ；d e l a ys y s t e m s ；m a t r i xd e c o m p o s i t i o n ；l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t l e s ；g e n e m l i r , e dm i y ；曲r v 口d e 8 i 口 2 概论 近年来，时滞系统的稳定性分析和观测器设计问题一直是控制理论研究 中极具挑战性的课题之一 1 6 对线性时滞系统和可线性化的时滞系统的稳 定性分析和观测器设计问题取得了一些成果 8 ， 1 0 然而，对于一般的非线 性时滞系统的可镇定性和观测器设计方面的结果相对少些 因此，对非线性时滞系统的可镇定性和观沿器设计问题引起了人们的关 注文献 1 讨论了一类时滞一全时滞系统的变结构控制，对一类线性时滞系 统设计了滑模面，并给出了控制律；文献 7 讨论了一类l i p s c h t i z 非线性系统 的稳定性分析和观测器设计，利用矩阵分解和线性矩阵不等式，求出了符合 l i p s c h t i z 条件的非线性系统的观测器；文献 1 2 研究了一类时滞系统一中立 型线性时滞系统的稳定性分析和观测器设计，利用矩阵分解和广义逆定理，给 出了所要设计的观测器的显式表达式 以上涉及的主要是线性时滞系统的可镇定性和观测器设计方面的研究 我们在本文主要研究了几类变时滞系统的稳定性分析和观测器设计，包括变 时滞控制系统的变结构控制、l i p s c h t i z 非线性时滞系统的稳定性分析和观测 器设计及l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定性分析和观测器设计 对于变结构控制问题，以往的文献中主要处理了线性时滞系统的变结构 控制，我们首次对带有扰动量和不确定扰动量的变时滞系统的变结构控制方 法进行了研究，同时给出了控制律，使得系统渐近稳定 在讨论非线性时滞系统的稳定性分析和观测器设计时，我们首次对满足 l i p s c h t i z 条件的非线性时滞系统的稳定性和观测器设计进行了研究，应用矩 阵正定分解和矩阵的奇异值分解，求出了观测器的显式表达式 类似地，在讨论l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定性分析和观测器 设计时，我们首次对带有不确定量的l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定 性和观测器设计进行了研究，利用矩阵的正定分解，矩阵的奇异值分解和矩阵 的广义逆定理，给出了所设计的观测器的显式表达式 本文由以下三部分组成： 1 变时滞控制系统的变结构控制 2 带有不确定量的l i p s c h t i z 非线性时滞系统的稳定性分析和观测器设 计 3 带有不确定量的l i p s c h t i z 非线性中立型时滞系统的稳定性分析和观测 器设计 下面我们对上述三部分分别作简要的概述： 1 变时滞系统的变结构控制 变结构控制的基本概念起源于二阶系统的相平面研究，它是一种综合的控制方法，其控制机制是先 3 设计一个恰当的滑模面，井选取一个适当的切换函数使得系统的轨线在有限时间内达到滑模面，根据 所设计的滑模面和切换函数的选取。使得系统的轨线趋于稳定。由于滑模控制具有很强的鲁棒性，可以 实现对任一连续变化的输入信号的跟踪等优点，变结构控制已开始被用来解决实际问题。如机器人的控 制、飞机自适应控制、卫星姿态控制、机电控制、电力系统控制等，因而对这一系统的研究逐渐引起了人 们的兴趣， 本节考虑了如下一类带扰动和不确定扰动量的变时滞系统： ；( ) = a x ( 1 ) + a ( 1 一h ( f ) ) + b ( u + e x ( f ) + d )( 1 一1 ) 其中，* ( t ) ，* ( t h ( t ) ) 男8 ；a ，五国“为系数矩阵；b 露“7 为列满秩控制矩阵；u ( ) c - 劈为 控制列向量；ec - 庸“4 为扰动量矩阵； ( i ) 为状态变时滞量，h ( t ) 0 ，( 1 ) 0 ，使得方程 a 孑+ 尸 。+ ( e i + e ：+ e 3 + e 4 + 5 ) p 2 + ( i l r 2 + e i lr i ) e + 南时 轧+ ( ；1 而+ e i l 连) e + 扭 + s 0 ( 2 9 ) 存在一个正定对称矩阵p ，则系统( 2 8 ) 是二次稳定的。 定理2 2 如果存在正常数6 l 一句，口，矩阵s ) 0 及k 满足( 2 9 ) ，则方程( 2 9 ) 有正定解p = p 7 0 存在的充要条件下关于脚的线性矩阵不等式： ( m c ) 7 + m e + 卢一2 r a 一( e i lr 2 + e i lr ) e 5 一南 e i l a ；+ ( e 拍+ e i l r ；) e + 捐 一s 0 ( 2 1 0 ) 存在解肘，且存在半正定矩阵n ，正定矩阵v ，使得方程 ( m c ) 7 + m c + - 2 a r a 一( e i l r 2 + e i l 一) e 一南吲a 轧+ ( 批+ i 1 理) e + 口e 3 一s = ( 妒+ 卢一1 a 7 ) ( 俨+ 1 9 1 a 7 ) 7 ( 2 1 1 ) 存在正定解p = p 7 = 卢一1 面y p 2 a 7 0 。 如果系统( 2 一1 ) 中a a ( t ) = 0 ，a a d ( f ) = o ，此时误差系统( 2 8 ) 化为 e = a e + a 一 + 中( * ，u ) 一v ( e ，”) + 中 ( 靠，“) 一垂 ( 氟) ( 2 1 2 ) 我们给出判定误差系统( 2 1 2 ) 稳定性和观测器设计的另一种方法，即有下面的定理： 定理2 3 对于系统( 2 1 2 ) ，如果存在正常数l ，2 ，3 及矩阵s 0 ，如果存在矩阵k 和正定对称 矩阵p ，使得如下矩阵方程 ( a k c ) r p + p ( a k c ) + ( e l + 2 + e 3 ) p + f 南 i 1 a ：p a d + 以 + s = 0 ( 2 1 3 ) 成立，且，l r 2 满足如下条件 一r + 高高黜 ( z “) 则系统( 2 1 2 ) 是二次稳定的。 定理2 4 如果有如下线性矩阵不等式i a r e + p a 一( 鹏) 7 一m c + ( e l + e 2 + e 3 ) p + 南蝌a 驰d + 扭 + q e 0( 2 1 5 3 ) 其中口勇，存在可行解p 和! i f ，则可选取观测器增益矩阵如下： k = p 。1 m ( 2 1 6 ) 可使误差系统( 2 1 2 ) - - - - - 次稳定。 3 带有不确定量l i p s c h t i z 非线性中立时滞系统的稳定性分析和观测器 设计 中立型时滞系统是一类时滞系统，这类系统具有一般时滞系统的特征。同时又具有自身系统的特 性，中立型时滞系统包括化学反应、医学中的传染病的潜伏期和血液蛋白质的供应等，这些系统需要适 时进行延时通常所研究系统的稳定性一般先把系统线性化，研究线性化方程的谱，要求使它的所有的 谱位于左半复平面，以保证线性化方程的稳定化，再根据线性化条件，给出所要研究的系统的稳定性。 然而。对于中立型时滞系统几乎总有无限谱，因而在利用谱理论研究中立型时滞系统时带来很大困难， 从而以往文献中大多是假设中立型时滞系统的谱位于左半复平面，鱼到文献h 2 才突破这一障碍，利用 矩阵的奇异值分解和广义逆定理，研究了如下线性中立型日寸滞系统的稳定性分析和观测器设计： ；( 1 ) 一j i ( 一 ) = * ( ) + 庐( t 一 ) 其中h 为常时滞置。本章考虑更为一般的带有不确定量的变时滞中立型时滞系统： ；( t ) 一岛( 1 一h ( 1 ) ) = ( + z x a ( t ) ) j ( 1 ) + a d + z x a d ( t ) # ( t h ( 1 ) ) + 母( # ( 1 ) ，( i ) ) + 吼( * ( i 一 ( i ) ) ，u ( i ) )( 3 一1 ) y = ( f )( 3 2 ) * ( f ) = ( t ) t 一 ( i ) ，o 】( 3 3 ) 6 的稳定性分析和观测器设计。其中，( t ) ，z ( t h ( t ) ) 露4 ；a ，加，j ，z x a ( t ) ，山( t ) 露“为系数矩 阵； ( i ) ，钆( r ) 为不确定扰动矩阵；c “为输出矩阵， ( ) 为状态变时滞量；( t ) 为连续的n 维向量函数；m ( x ( ) ，“( t ) ) ，a ( z ( r h ( t ) ) ，u ( ) ) 刀；y ( t ) 刀为输出状态。 在本章中，我们讨论下面的全维线性观测器： i 一i ( t h ( 1 ) ) = a + a a ( t ) l ( ) + 也+ a a d ( t ) i ( t h ( f ) ) + 西( i ( 1 ) ，“( t ) ) + 瓯( i ( t 一 ( 1 ) ，m ( t ) ) + e l y ( t ) 一，( ) ( 3 4 ) ，( t ) = 盘( )( 3 5 ) 其中向量矩阵k 是将被设计的观测器参数向量。 令误差状态为 e ( t ) = * ( ) 一i ( i )( 3 6 ) 则由( 1 ) 一( 6 ) 易导出： e ( t ) 一扣( t 一 ( f ) ) = a k c + z a a ( t ) e ( i ) + a d + a 4 ( t ) e ( t h ( t ) ) + 毋( # ( t ) 。“( i ) ) 一西( i ( t ) 。u ( t ) ) + 晚( # ( i 一 ( 1 ) ，( ) ) 一乱( i ( 一 ( f ) ，h ( ) ) ( 3 7 ) 为便于书写，我们作如下记号： e ( i ) ：= ee ( t 一_ i i ( t ) ) ：= e * ( ) ：= # ( 1 一 ( t ) ) ：= x ( t ) ：= a 。：= a k c 则系统( 3 7 ) 化为如下形式 d 一矗。= a 。4 - ( ) e + a d + a d ( f ) “+ 中( 茗，) 一中( 霉。“) + 中( 。h ，耻) 一垂( i l h ) ( 3 8 ) 在本章中，我们集中对( 3 8 ) 中误差系统e 进行稳定性分析和设计观测器k ，使得系统( 3 8 ) 是二 次稳定的，在如下假设： 假设3 18z x a ( t ) l i ri ia a d ( f ) | | 心 假设3 2h ( i ) 0 ，且h ( t ) 0 ，则系统( 3 8 ) 是- - 次稳定的。 定理3 2 如果存在正常数q e l l ，d ，矩阵s o 及k 满足( 3 9 ) ，有解p 0 的充要条件是存在 7 正常数l e l l ，1 2 ，s 0 满足( 3 一l o ) 和( 3 1 1 ) 有解p o ，且所设计的观沿器k 都包含在露中。 其中： n ：= ( e i l 一e l e 4 一e j e 8 一e l 。) p 2 一( i l r 2 + 6 r 2 + e 7 r ：+ ( f 1 + e 彳1 ) r ) e i 南 ( e i l + e i l + i 1 + i 1 + e 9 + 1 1 ) j i p 2 j + ( e i l + 3 ) a 轧 + ( ( e 矗+ e 膏) r i + i 1r ：) e + a e 一s 0( 3 1 0 ) 层一矿( c r ) + i n 一i ( p + e 2 ，) e c r ( c r ) + ：0 露：t ( c r ) + e 妒n y + e i l ( p + e 2 a d + e 一( c 7 ) + c r 3 n l 7 其日f “是任意的矩阵。 8 u 垃 一 一 0 0 第一章变时滞控制系统的变结构控制 举章对一类豢鸯撬漤囊稳不礁定撬裁爨懿燮霹拣系统翡交露 鸯羧裁方法避嚣了谤究，运援线性矩 蹲不簿式嚣找满足聪戚方糕和矩阵不等式的解，刿定时潍系统的灏近稳定性，绘出了控割捧，并通过 铡予簸涯了控制律的有效缝。奉章由蔽下三节缀戚：1 1g 富1 2 滑摸巍翳确宓，i 3 按裁律设 计和谬j 证 1 1 菩l 嵩 变结构控剩系统是一类熏婺的控稍系统，这类控制系统农六十年代得到很好发殿“* 甜，其羧制糖制 最先设计一个遗警懿游骥霉，舞选取一个埝警懿甥捩丞数，筑褥系统豹羲缄程露隈瓣避麓内戮达滑横 i l l ，援器辑漩 耱携攘嚣露甥按嚣教懿选鼗，捷褥豢凌鞔缓憝手稳定。蠢子滢攘控裁彝褰稷强静黉捧 憔，可以实蕊对任一涟续突他蚋辕入德峰的跟踪等优点。近年来，这一控铡蠢法逐渐褥到控制嚣抟簧遘 焚注。 文献 13 串骄究了女a 下全糖滞饔靖糖控制系统 ；( | ) = 般( 1 ) 4 - 教( 一h ) + 擞。 箕孛h 为鬻瓣瓣基本文考虑鲡下更加一般豹带拣秘鞠幂糖藏撬凌爨魏变对游系统 孟( 1 ) 拳 # ( 1 ) + i ( 一 ( 1 ) ) + 嚣( m + 最 ( 1 ) + d )( 1 1 ) 冀串，# ( ) ，( 一 1 ) ) 礴。； ，羞毯囊妒“魏系数矩簿；b 黛“为残满秩控籍艇簿；n ( ；) 劈为 控割裂囱薰；嚣露露魏璐蠢矩跨；a ( 1 ) 荛靛豢变霹溅豢，h ， 1 ) l ；毒露r 荛零稳定抗旗量； 占雾n # l 西8 目的燕设计一樯当的辨模磷，并滤取检鲞瓣切按控铡输人。( ) ， 靛褥系统 l 1 ) 是渐遥稳定鹃。 l 。2 滑模面的确定 为了研建系统 e ，羚 o 1 。露获筑( 2 ) ，翔募毒在藏定黯舔嫩游嚣，孕，整褥 f r 嚣+ 掀+ 0嬷 1 i 麓 一1 一脚) ) 妒l 。， ( 一3 ) 猁系统( 1 2 ) 变酵游灌豫定瓣 证骥若菇在瀵是l 一3 戆挺定黠豁矩箨| | 。钒定义 联藏 一 o ，嚣越藏( 彩) 爨系缝l 一2 ) 令秘删泛涵，攫爨l y a p u n o v 燃， 知系绕( 1 2 ) 燕变时辩瀚近橡定的。 魏在我稻去确定( 1 一1 ) 瓣蒋摸霹。籁知交酵潞系统 0 ，r i 0 ( i = 1 ，2 ，r ) ；s 弘( s ( t ) ) = 唧 ( s i ( i ) ) 8 印( 5 2 ( t ) ) ，。s s n ( s ，( t ) ) 为r 维列向量； 讪小) ) - = ：篙狐幺 r ) p ( z ) = j d oi i p b i l ( 0 豆忆i i + l i 五i | ) ，p o l ，鼍 矗( s ) = f o l ( j l ( t ) ) ，血( 5 2 ( f ) ) 厶( 斗( 1 ) ) 】7 ； f o , c 删= 鬟弧a 把( 1 1 7 ) 代入( 1 1 6 ) ，得 j ( t ) = 一 a s 和( s ( 1 ) ) + r s ( t ) 】+ p b e x ( ) + d 一p ( x ) f o ( s ) f 一a 8 伊( s ( i ) ) 一蟊( 1 ) 0 ， l 一a 唧( j ( i ) ) 一氟( t ) 0 ，s ( 1 ) 0 取y ( s ( 1 ) ) = ，( i ) s ( t ) ，则p ( s ( i ) ) 沿系统( 1 ) 的轨线对f 求导，得 矿( i ( i ) ) = s t ( t ) s ( 1 ) 一，( 1 ) d s g n ( 5 ( 1 ) ) 一5 7 ( i ) 凡( t ) 0 ，h ( t ) l ；j ( 1 ) = 5 l ( t ) ，。2 ( t ) 7 选取q = 3 ，日= l ，而1 i = 一i ，n i 2 = i 如( 1 一1 3 ) 露解毒搴鼯= 岛= l ，敷以，鬈= 显i 1 是嚣= 1 ，p = 1 ，t 】。s ( 1 ) 可墩荧s ( ) = ) ：x ， o ( i = 1 ，2 ，s ) 是半正定p 的非零特征值，且 ，= f r = m r d l a g ( 佤，佤，0 ，o ) u 引理2 3 ( 矩阵的奇异值分解定理) 设a 口”( r 0 ) 则存在酉矩阵u e 俨，矿p “，使得 幽y ：1 其中= d i 嵋( 九，屯，诉) m 0 ( i = 1 ，2 ，r ) 为a 的全部非零奇异值。 证明：记h e m f i t e 矩阵 的特征值为 l a 2 a ，+ i - a 。= 0 。则存在n 阶酉矩阵y ， v c 只t ，y ： 1 i 。 ：【2 。】 令p ： n ，屹 ，则 勘y ：p 【2 。】 即a s a v l = v 1 k = v t ，n “i 一 a v l = n 2 ，( a v 2 ) v 2 = 0 ( a n 1 ) “ = e ，a 也；0 令n = a n ，则钟v i = e ，即u 1 的r 个列向量是两两正交的单位向量。记u 1 = ( u ，“2 ，坼) 把 l ，h 2 ，u ，扩充为的标准正交基h l ，u 2 ，珥，蜥+ l 一，记u 2 = ( 珥+ 1 “，“。) ，u = u 1 ，u 2 ， 则u = u 1 ，如 是m 阶面矩阵，且有叫u l = e r ，皑u i = 0 淌吲 蚓= 胁啦。 = 嗽。】_ 【。障 引理2 4 如果 舻“y 舻。p ( m p ) ，若存在一个矩阵v 同时满足y = 们，w 7 = e 的充分 必要条件是们矿= 证明：必要性如果存在一个v ，同时满足：y = 研，w 7 = e ，那么 = ( 州( 州7 = 甲( ) 矿= 咿 充分性如果胛= y y r a i f ，由引理2 3 知，肝旷与y ，有相同的奇异值，且存在正交阵，q ，巧， k ，且仉= 以使得 伊：乩【乙o 】瑶；! k ，【瓦0 】 笺 y ；q 【弓。】哆： m 【弓o 】 萋 这里乙= 磊来自孵与y ，的相同奇异值而取得的对角矩阵。 取y = k 【7u k u r r - _ 咿地则w = 乩r 。】饿【7u 】嵋 = 州乙。】哆“ w r = e 易证。 在本文讨论时滞系统的稳定性时，我们应用l y a p n o v 泛涵方法定义系统的二次稳定性。所以有必 要给出系统( 2 一s ) 的- - 次稳定性的定义。 定义2 1 对没有外界作用( n = o ) 的不确定非线性时滞系统 e = a 。+ z x a ( 1 ) e + d + a d ( 1 ) e + 毋( x ，0 ) 一口( 霉，0 ) + 中 ( j 氇，0 ) 一圣 ( 哥 ，0 ) ( 2 9 ) 如果存在对称阵p 0 。口 0 和a 0 ( 口为常数) ，若 y ( 州) = e 现+ l ( 1 ) e 7 ( r ) 伽( r ) d r 沿系统( 2 9 ) 任意轨线的时闯导数满足 p ( e ，t ) 一口忆l | 2 则称系统( 2 9 ) 是二次稳定的。 2 3 主要结果 2 3 1 稳定性分析 1 5 在这一部分，假定观测器足被给定，给出带有不确定量的非线性时滞系统( 2 8 ) 的二次稳定的充 分条件，并给出证明，即有下面的定理： 一 定理2 i 假定观测器k 给定，d 0 是充分小的常数，如果存在正常数e 。，e 2 ，6 3 ，e t 和。5 ，d 及正 定对称矩阵s 0 ，使得方程 a + p a 。+ ( 1 + e 2 + e 3 + e 4 + 5 ) 尸2 + ( e i lr 2 + e i lr ) e + f 钿 e i l a 轧+ ( e 1 1 r ；+ i 1 r ；) e + 扭 + s = 0( 2 1 0 ) 存在一个正定对称矩阵p ，则系统( 2 8 ) 是二次稳定的。 证明：我们取 r f y ( e ，f ) = e r p e + l ，( s ) q e ( s ) d s o l 一 ， 其中q 是待定的正定矩阵，p 是矩阵方程( 2 一1 0 ) 的解。 那么( 8 ) 在初值* = ( i ) 下， p ( e ，i ) = 讯+ e 啦+ e 硌一( 1 一 ，( ) ) e = e ( a + e a 。) e + e a ( t ) p + p a a ( t ) e + e j ；耋犯+ c 协坛 + e 耠a r t ) + e * p z 、a d ( t ) + 击( # ，“) 一面( ；，n ) 饥+ e p 中( # ，u ) 一垂( 三，“) + o h ( x h ，) 一饥( 乱，h ) 仇+ e r p 瓯( 粕。u ) 一吼( 磊，n ) + e r q e 一( 1 一h ( d ) j q ( 2 1 1 ) 由引理2 1 、假设2 1 和假设2 3 知，对任意的正常数e l ，e 2 ，3 ，e 4 和6 s 。有 ， a a 7 ( t ) p + e z x a ( t ) e 0 存在。 如果方程( 2 一1 9 ) 存在解j i f ，使得d 0 ，那么由引理2 2 ，知存在面，使得 五= 五7 。d = 五2 从而由( 2 一1 9 ) 知 丽= ( 卢p + a 7 ) ( 妒+ 9 1 a 7 ) 7 又由引理2 4 知，存在正交矩阵y ，使得 凹+ b - t a r ：历y 即p = 卢1 五矿一声一2 a 7 故由以上推导，我们得到如下定理 1 7 + d e 一s ( 2 一1 9 ) 定理2 2 如果存在正常效q 一。5 ，d ，矩阵s 0 及足满足( 2 一l o ) ，则方程( 2 1 0 ) 有正定解p = p r 0 存在充要条件是关于肌的线性矩阵不等式( 2 2 0 一1 ) 存在解朋，且存在半正定矩阵五，正交矩 阵矿，使得方程( 2 一1 9 ) 存在正定解p = p 7 = 卢- 1 面矿一卢- 2 a 7 0 。 注2 3 在实际计算中，我们要去解所希望获得的观测器k ，先通过非线性替换k = p - 。m ，由( 2 2 0 一1 ) 解荧于m 的线性矩阵不等式求出m 再把盯代入( 2 1 9 ) 式，利用( 2 2 0 2 ) 式，求出p ，并判定 p 的正定性。 2 3 2 2 观测器的另一种设计方法 现在讨论系统( 2 一1 ) 中a a ( t ) = o ，x