（应用数学专业论文）第二次可选的空竭服务mxg1型休假反馈排队系统分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文首先运用补充变量方法，讨论空竭服务m 。l o l l 型排队系统 在具有第二次可选服务和单重休假策略以及反馈机制下稳态队长的 概率母函数，通过比较单重休假策略下m z l o l l 与m i g l l 排队系统的 稳态队长，推导出m 。i g l l 单重休假以及反馈系统的稳态队长也存在 随机分解。 其次，本文研究了具有n 策略的多重休假和反馈机制的 m 。i g i i 型排队系统，运用补充变量法得到了稳态队长的概率母函数， 并且得到该模型在多重休假策略下稳态队长的随机分解。通过与n 策 略多重休假m i g l l 排队模型的比较，得出了n - 策略多重休假m r l g l l 排队模型也存在随机分解。 最后，在前一章模型的基础上，我们讨论了具有n 一策略的多重 休假和反馈机制的m 。i g 1 型排队系统的等待时间，通过与n 一策略 的多重休假m o i l 排队的模型比较，得出其顾客在忙期到达的条件下 的等待时间也存在随机分解。 关键词：批量到达；单重休假；多重休假；随机分解；稳态队长；等 待时间。 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t b ym e a n so fs u p p l e m e n t sv a r i a b l e ，w ef i r s td e r i v et h es t a b l e s y s t e ms i z eo fm 。g 1q u e u ew i t he x h a u s t i v es e r v i c ed i s c i p l i n e ，t h e f e e d b a c km e c h a n i s m ，t w oo p t i o n a ls e r v i c ea n ds i n g l ev a c a t i o n s ( d e n o t e d b ym 。g ( e ，s v ) i ) h a sd e c o m p o s i t i o np r o p e r t i e sa n db yc o m p a i r i n g m 。g ( e ，s v ) 1 w i t h m g ( e ，s v ) 1q u e u e ，w es h o wt h a tt h es t a b l e s y s t e ms i z eo fm 。g ( e ，s v ) 1h a sd e c o m p o s i t i o n p r o p e r t i e s s e c o n d l y , o nt h e m 。g 1w i t hf e e d b a c ka n d o p t i o n a ls e r v i c e b a s e do nm u l t i p l ev a c a t i o nu n d e rn 却o l i c yw i t he x h a u s t i v es e r v i c e d i s c i p l i n ei sc o n s i d e r e d ，t h ep g fo ft h es t a b l es y s t e ms i z ei sg i v e na s w e l l t h es t a b l es y s t e ms i z eo f t h e m 。g ( e ，m v ) iq u e u ew i t hm u l t i p l e v a c a t i o n si sd i s c u s s e d i nt h ee n d ，b a s e do nt h ep r e c e d i n gc h a p t e ro fm o d e lf o u n d a t i o n ，w e d i s c u s s e dm ew a i t i n gt i m eo fm 。g 1 q u e u e i n gs y s t e mw i t hm u l t i p l e v a c a t i o na n df e e d b a c km e c h a n i s mu n d e rnp o l i c y w ea l s o g e tt h e d e c o m p o s i t i o np r o p e r t i e so f w a i t i n gt i m e k e y w o r d s ：b a t c ha r r i v a l ；m u l t i p l ev a c a t i o n ；s i n g l ev a c a t i o n s ；r a n d o m d e c o m p o s i t i o n ；s t a b l es y s t e ms i z e ：w a i t i n gt i m e u 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：；l 戎 0 6 年只f 讧b 指导教师签名： 如年白月( 牛日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明、。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： ；瞅 日期：口年月7 幺日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对排队论的发展概况和背景作一些简单介绍，同时阐明排队论的研究 意义以及主要的研究内容。 1 1 排队论的简介 1 1 1 排队论的发展 随着科学技术的不断发展，运筹学在现实生活中发挥了重要作用，经典随机 服务系统理论，也称为排队论，它是运筹学的重要组成部分。排队论源于2 0 世 纪丹麦数学家、电气工程师e r l a n g 将概率论用于电话问题的研究，从而开创了 排队论这门应用数学科学，3 0 年代中期，当费勒( w f e l l e r ) 引进了生灭过程时， 排队论才被数学界确立为一门重要的学科，2 0 世纪以后得到迅猛发展，成为随 机运筹学与应用概率论中最有活力的研究课题。 5 0 年代肯德尔( d g k e n d a l l ) 对排队论作了系统的研究，他用嵌入马尔可 夫( a m a r k o v ) 链方法研究排队系统，使排队论得到进一步发展。2 0 世纪以来， 随着计算机通讯网络、柔性制造系统( f m s ) 、异步转换模式( a t m ) 等高新技 术的发展，提出了大量的复杂系统设计和控制问题，经典排队系统处理这类问题 时表现出很大的局限性。休假排队系统正是在这种条件下应运发展起来。休假排 队系统是对经典排队系统的延伸，它允许服务台采取多种某个时候不对顾客进行 服务的策略，这些暂时中断的服务时间统称为休假。 排队论应用范围很广，它适应于一切服务系统，尤其在通信系统、交通系统、 计算机存储系统和生产管理系统等方面应用最多。 1 1 2 排队系统的各部分组成 排队在我们的周围到处可见，比如排队买票，排队买饭以及排队上车，这些 都是排队系统的一部分，当然还有其他排队，像计算机数据的处理也是一种排队。 既然如此就要了解排队系统的组成部分。 一般排队系统有输入过程和到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时 间、服务规则和输出过程。 江苏大学硕士学位论文 1 输入过程和到达规则。输入过程一般是用顾客到达间隔时间来描述的。 根据到达间隔时间所服从的分布，输入过程可分为定长输入、指数输入、几何输 入等。到达规则指到达是单个到达、成批到达等等。本文将研究的是批量到达。 2 排队规则。一般分为等待制、损失制和混合制。等待制指顾客来到系统 发现服务台均被占用，自动排到队尾等待服务。损失制指顾客来到服务台发现服 务台均被占用，马上离开系统。等待制和混合制又分为先来先服务、后来先服务、 随机服务等等，此外还有顾客服务后反馈等。 3 服务机构的结构。服务机构的结构可分为单服务台、有限个服务台与无 限个服务台，而在多个服务台中又可分为并联和串联。还有一个服务台连续为顾 客服务多次以及一个顾客连续被服务多次的情形，后者可分为并联和串联结构。 4 服务时间与服务规则。服务时间指服务一个顾客需要的时间，可分为定 长分布、指数分布、与一般分布等。服务时间分为有假时间和无假时间两类。有 假时间的又分为穷尽服务、闸门服务、限量服务、减量服务，在穷尽服务和闸门 服务中又分单重休假和多重休假。还有单个服务和批量服务。 5 输出过程指的是顾客的离去过程，可分为离去和反馈两种。 1 1 3 排队系统的表示方法 1 9 5 1 年肯德尔用三个字母组成的符号a b c 来表示排队系统。其中a 表示 到达时间分布，b 表示服务时间分布，c 表示服务机构中服务台的个数。一般用 m 表示指数分布，用g 表示一般分布，后来在前两个字母的右上角加字母以表 示每次到达几个顾客与每次服务几个顾客。本文研究的是m x g l 排队系统。一 般还假定到达间隔时间序列为独立同分布的随机变量序列，服务时间序列也为独 立同分布的随机变量序列且这两个随机变量序列也相互独立。 1 1 4 排队系统的主要指标 一个排队系统要从两方面考虑，即服务机构和顾客的利益来考虑，顾客希望 等待的时间越短越好，那就需要服务机构的服务台越多越好，而服务机构要想获 得高的利益就必须限制服务台的个数。综合考虑排队的几个指标：队长、等待时 间、和服务台的忙期，成为排队论的主要研究内容。 队长：指系统中的顾客数。 2 江苏大学硕士学位论文 等待时间：指从顾客到达时起到他接受服务时止这段时间。 忙期：指空闲的服务机构从有顾客到达开始服务时起到系统服务完所有 顾客时止这段时间。 1 2 批量到达排队系统的研究现状 随着现实问题的复杂多变，描述排队现象的排队模型也越来越多。在各种各 样的排队模型中，批量到达排队模型由于具有较强的适用性而得到了广泛的研 究。例如在生产系统中原材料往往是批量到达；通信系统中信元的传输也往往成 批的。总之，在实际生活中我们经常会遇到批量到达的排队现象。 在批量到达的排队模型中研究的较多的是m x o 1 排队模型。首先在早期的 著作中t a k a c s l ，s u z u k t 等人研究了基本形式的m x g 1 排队模型，获得了一些 排队指标。之后，1 9 7 5 年b u r k e p j 研究了有延迟的m x g 1 排队模型，1 9 7 9 年 c h a u d h u r y 研究了m x g 1 排队系统及其分枝情况，对经典的m x g 1 排队模型进 行了一些扩展，n 策略的引入获得了更多的排队指标。此后各种排队规则逐渐引 入到m x g 1 排队系统中。b a b a y 在1 9 8 6 年研究了具有休假时间的m x g l 排队 模型，1 9 8 7 年b a b a y 又讨论了后到先服务规则下带休假与不带休假的m x g 1 排队模型。2 0 世纪9 0 年代以来各种休假策略和n 策略也被引入到m x g 1 排队 模型中。例如19 9 3 年r o s e n b e r g e ，y e c h i a l i 研究了后到先服务规则下单重体假与 多重休假的m x g 1 排队模型。1 9 9 4 年和1 9 9 5 年l e e h w ，l e e s s ，c h a e k c 等人 对n 策略单重休假及多重休假的m x g 1 排队模型进行了深入的研究，得到了比 较丰富的排队指标和随机分解等结果。到2 i 世纪初c h o u d h u r y g 讨论了启动时 间和休假时间相结合的m 1 g 1 排队模型。 1 3 第二次可选择服务的排队系统的研究现状 由于实际生活中需要服务的形式是多种多样的，因此服务类型要随着实际情 况而发生变化，一种较为多见的情况是具有第二次可选服务的排队系统，即一个 服务台可以为顾客提供两种服务，第一种服务是必要的，第二种服务是可选择的。 例如2 0 0 0 年，m a d a n 研究了具有第二次可选择服务的m g 1 排队模型。另外 1 9 9 9 年b a b a ，y 研究了每忙期的前n 个顾客接受不同服务的m g 1 排队系统。 江苏大学硕士学位论文 b a b a 同时指出这类系统可以广泛的应用于通信系统和生产系统。2 0 0 3 年邓永录 等又研究了批量到达具有第二次多选服务的m g 1 排队模型。 2 0 0 4 年，c h o u d h u r y 研究了n 策略下的多选服务m x g 1 排队系统。同年， kcm a d a n 又研究了可选重新服务的m x ( g 1 , g 2 ) 1 排队模型。 第二次可选择服务的排队系统研究背景：现研究较多的是顾客只接受一次服 务的排队系统，而一个顾客接受两次不同服务的情况却研究较少。两服务员的串 联排队系统( c o o p e r , 5 c i 永录) 可看作是一类这样的模型：顾客到达系统后，先 到其中一个服务员处接受服务，然后转到另一个服务员处接受服务。与之不同的 是，顾客的两次不同服务均由同一个服务员完成的情况，在生产和生活中经常出 现。其特点是所有到达的顾客都需要接受一种主要的服务，服务完后可能会进一 步要求服务员提供其他服务。 第二次可选服务的排队系统更符合实际生活情况，研究此情况对我们的服务 业有较大的推动作用。 1 4 休假排队的研究现状 经典排队系统规定服务台随时等待为顾客服务，但是在某种情况下并不能得 到最优的统筹安排，如果在系统无顾客时让服务台去进行其他辅助工作，就会得 到很好的利用。休假排队指服务台在某些时候没有顾客，使服务暂时中断的排队 系统。随着科技的发展，现实生活中已经出现了多种休假排队的例子。 例1 ( 保养策略)为了使服务系统长久有效的对顾客服务，当系统空闲时 就对服务设施进行一次例行保养，实施保养的时间可以视为休假，此期间到达的 顾客需等待完成保养以后才依次被接待。 例2 ( 辅助工作) 在负荷较低的排队系统中，为了有效的利用空闲时间， 可设置某种辅助工作。假定辅助工作也需一项接一项的地完成，完成每项辅助工 作的时间是独立同分布的随机变量。一旦系统内无顾客，服务员就立刻开始一项 辅助工作。完成后若系统中仍无顾客，就继续从事另一项辅助工作，直到完成某 项辅助工作时遇到系统中已有顾客等待则立刻恢复对顾客的服务。若顾客在服务 员从事某项辅助工作时到达，即使前面没有顾客等待也不能立刻得到服务，须等 到该项辅助工作完成后才能利用服务台。把辅助工作时间看作服务员休假。 4 江苏大学硕士学位论文 例3 ( 启动时间)为降低服务成本，当系统中无顾客时可以关闭服务设施， 当有顾客到达时通常需要一个启动时间，启动时间也可以是随机变量。该顾客及 启动期内到达的顾客均需等到启动时间完成后才能相继得到服务。启动时间可以 看作由闲期到达的第一个顾客触发的一段休假时间。 例4 ( 优先权)具有不同优先权的多类顾客的排队系统在经典排队论中已 得到深入研究。如果把高优先权顾客造成的低优先权顾客的服务中断( 抢占或非 抢占) 视为对低优先权顾客的服务员休假，优先权排队也可纳入休假排队的框架 中。 例5 ( 机器故障) 服务台在运行过程中可能发生损坏或需要补充能量，而 故障维修或能量补充必需中断正在进行的服务，这些中断时间可视为服务员休 假。 大量实际问题都可通过在经典排队系统中引入休假策略加以描述和研究。2 0 世纪中期以来，随着各技术的发展，提出了许多复杂系统的设计和控制问题，休 假排队在处理这些问题时，显示出了极大的优越性。从2 0 世纪7 0 年代开始研究 以来，不少学者作出了重要贡献。1 9 7 5 年l e v y 与y e c h i a l i 从有效利用排队系统 闲期的观点出发，首先研究了m g 1 型休假排队系统，并引入了休假和休假策 略等术语。休假排队受到广泛关注，在8 0 年代，研究的重点是休假m g 1 型排 队。c o o p e r ( 1 9 7 0 ) , c o u r t o i s ( 1 9 8 0 ) , f u h r m a n n ( 1 9 8 4 ) ，, f u h r m a n n 和c o u r t o i s ( 1 9 8 5 ) 等众 多学者相继研究了各种休假策略及服务规则的m g 1 型排队系统。从8 0 年代到 9 0 年代，田乃硕等( 1 9 8 9 ) 首先把矩阵几何解方法引入休假排队研究，推进了 g i m 1 型休假排队系统和多服务台休假排队系统的研究。 1 5 本文研究内容和研究背景 前面我们分别介绍了批量到达排队系统和第二可选服务的排队系统以及休 假排队系统，随着现实模型的复杂变化，2 0 0 5 年，k c m a d a n 将反馈和休假引入 到批量到达的排队系统中。但是，有关将批量到达排队、第二次可选服务、反馈 和休假相结合的情况尚未讨论，这类系统对现实有着积极的作用。 现实生活中我们经常会遇到顾客成批到达系统被服务完后发现对服务不满 意或要求重新接受服务，于是重新回到系统等待服务；还有一种情况就是顾客在 江苏大学硕士学位论文 接受一次服务后，还需要再接受一次服务才能完成服务任务，如顾客在柜台机取 款时，首先接受第一次服务，即确认密码，第一次服务完成后再进行第二次服务， 即取款或查询余额。服务员在完成一次服务后，可以进行其他辅助工作，我们定 义为休假。 本文主要研究了具有第二次可选服务的带反馈的m g i ( e ，s v ) 排队系统 和具有第二次可选服务的带反馈的 卜一策略m g 1 ( e ，m y ) 排队系统。首先利用 补充变量法建立了系统的稳态柯氏微分方程组，通过对方程组的求解，得出了稳 态队长的概率母函数以及稳态平均队长，并给出了休假排队的随机分解定理及其 明确的概率解释。 最后，在前一章模型的基础上，我们讨论了具有n 一策略的多重休假和反馈 机制的m 。i g l l 型排队系统的等待时间，通过与n 一策略的多重休假m g 1 排队 的模型比较，得出其顾客在盲棋到达的条件下的等待时间也存在随机分解。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章研究排队模型的主要方法 本章将简要介绍一下排队论的几种主要研究方法，以及各方法在研究排队论 中的特点。 2 1 嵌入马尔可夫链法 定义设随机过程 0 l f 芒t 的状态空间s 为r 中的可列集，如果对t 中 任意n 4 t 。 t ： o ) 由于到达流是p o s s i o n 流，在这些再生时刻，观察系统的状态一顾客 数，它具有马尔可夫性。n n 表示一个顾客服务结束后刚离开系统时留在系统中 的顾客数，则 n 。) 就是一个马尔可夫链，这叫嵌入马尔可夫链。由于“l t n 对 一切n 都是同分布的，到达又是以p o s s i o n 流，于是经过f 。一0 这段时间，系统 江苏大学硕士学位论文 从状态虬到圯+ l 一1 状态的概率相同，因此是一个齐次马尔可夫链。为求得此 马尔可夫链的平稳分布，首先应求出转移概率。 2 2 补充变量法 许多排队系统的队长过程本身并非马氏过程，但为了利用马氏过程知识分析 排队系统，可把这种排队系统的队长过程嵌入在状态空间更复杂的多维过程中， 使新的多维过程具有马氏性。这种方法称为补充变量法，它是研究排队模型的一 种常用方法。e r l a n g 的阶段化思想可以看成是最早引入补充变量的尝试。k o s t e n 和c o x 也曾经使用过补充变量的技巧。 下面我们以m 。i g 1 排队模型为例来说明补充变量法的求解思路。 考虑一个经典的m 。i g l l 排队模型，顾客成批到达，每批到达的顾客数是 随机变量z 个，批到达流是参数为五的波松流，服务时间为一般分布 g g o ) = f g ( f 如= ，一e x p ( 一f g 垮) ，e ( g ) = 去 系统中只有一个服务台 ，暖= f ) = c jc 0 ) = c ，z 。 设o ) 表示f 时刻系统中的顾客数，显然o ) 不是马尔可夫过程。设x ( f ) = x 为f 时刻正在接受服务的顾客已经用去的服务时间，则引入补充变量z o ) 后 n x o ) ) 是一个二维马尔可夫过程。 令 p o o ) = p ( o ) = 0 ) 只o ，x x = p c 如) = n ，x 0 当极限分布存在时设 忍2 熄只o ) 只0 协= l i m 只o ，x 皿 由 p o o + 出) = p ( 在啦陔4 ，系统中没有顾客且在f 到f + 般有顾客到达系统) p 艋f 时刻系统中有一个顾客且在f 到h 址他的剩余服务时间为o ) 得r o + 舡) = r e x l 一胁) + r g k ( r ，x ) 出+ 。( f ) 江苏大学硕士学位论文 两端除以a t 并令尉- 00 整理可得 卜刳删= r g 跳x 垮 再令t - - 。可得 弛= f 麒g 她g ) 出 同理可得( 丢+ a + g ) ) 只。) = 喜砘只一，g ) 甩 这里规定一0 只( 0 ) = 织异+ r g ) 只+ 。g ) 出 r + f 只g 执= 1 然后可以对方程求解，从而得到一些排队指标。 2 3 拟生灭过程和矩阵分析法 定义 考虑一个二维马尔可夫过程 z j ( r ) ，状态空间是 q = 睡，办i 0 , 1 j 聊l 称 x 似，o ) 是一个拟生灭过程，如果其生成元可写 成下列分块三对角形式。 q = a oc o b 爿c b 4 c 丑4 c 其中所有子块都是m 阶方阵，满足 ( 4 0 + c 。x = 0 l + 一+ c x = 陋+ 爿+ c k = 0 a 和爿有负的对角线元素和非负的非对角线元素，其余子块均是非负阵，e 是元素全为i 的列向量。 称状态集( k ，1 ) ，( k ，2 ) ( k ，m ) 为水平k 。若过程是正常返的，以伍， 表示 过程 z n ，e ) 的极限变量，并记= ；骢| p 忸( r ) = 七，o ) = - ， = p 扭= 七，= ，) 江苏大学硕士学位论文 其中k 0 , 1 j m 。为适应q 的分块形式，将稳态概率按水平写成分段形式 万= = 协 ；r g 2 ，- 7 r h l 七0 拟生灭过程是经典生灭过程从一维状态空间到多维状态空间的推广，正如生 灭过程的生成元具有三对角形式一样，拟生灭过程的生成元是分块三对角阵。 从2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代田乃硕等把矩阵几何解方法引入到休假排队模 型中，促进了多服务台休假排队系统的研究，并且初步建立起多服务台休假中以 条件随机分解为核心的理论框架，为经典排队论的发展和应用开辟了更为广阔的 前景。 2 4 随机分解 假设当系统变为空时，服务员进行一次休假，如果休假结束时系统不空，服 务员立即开始服务，一直到系统中又无顾客为止；如果体假结束时系统仍为空， 服务员立即开始另一次休假，一直到休假结束时系统中至少有一个顾客为止或服 务员休假一次，若无顾客仍在等待，此系统称为空竭服务、多重休假或单重休假 模型。在系统m 。i g l l 中引入此休假策略，简记为m 。g ( e ，m v s v ) 1 。假设 每次休假时间( k ，i 1 ) 独立同分布且与到达过程独立。k ( f i ) 同矿的分布有 e ( v = 力= v ，2 1 e ( z ) = 矿( z ) ，e ( v ) o o 。 设三，l 分别为m 。g ( e ，m v s v ) 1 系统中任一顾客离开系统时系统的稳 态队长和附加队长，概率母函数分别为上。( z ) ，岛( z ) 。设上为m 。g 1 系统中任 一顾客离开时系统的稳态队长，概率母函数为l ( z 1 ，则有 上( z ) = ，( z ) 三。( z ) 。 2 5 更新过程 设轰，参，为相互独立非负的随机变量，且参，与，同分布，参的分布 函数记为墨p ) ，参的分布函数记为f ( ，) ，4 e s 。= 0 ，晶= ，n = l ，2 ， j = l 定义记n ( t ) = m a x n ：s 。 = 0 ，则称 ( r ) ，f 0 为一般更新过 程；如果f d t ) ；f ( f ) ，则称 ( f ) ，0 ) 为更新过程，称f ( r ) 为更新分布，称f ( f ) 江苏大学硕士学位论文 为首次更新分布。 记m ( t ) = e ( r ) ，r 0 则称m ( t ) 为更新函数。 更新定理 当f 一。时，r e ( t ) 的性态是更新理论关心的中心问题，其性质由下面的更新 定理给出。此定理是关于更新过程给出的，但对一般更新过程也成立。 定理 l i m 业：“b ，b 地0 ， r _ * r1 0 b = o o 其中6 = f t d f ( t ) 证明：因为s u ( r ) f - s ( f ) 十i ，所以 监 上墨盟。 n ( ，) ( ( f ) 记( 。) = l h ( f ) 又因 p n ( o o ) o o ) = p ( o 。) = ，z = _ p 矗 0 。 江苏大学硕士学位论文 第三章具有第二次可选服务的带反馈的 m 。6 l ( e ，s v ) 排队系统分析 3 1 模型的应用背景 近年来，不少作者对休假和可修排队系统以及对批量到达的排队系统和带反 馈的多选服务的排队系统进行了许多深入研究，其中m a d a n 研究了批量到达的 具有反馈和单重休假的排队系统。本文基于他的工作，研究批量到达下，顾客到 达系统时必须先进行第一次服务，我们称之为第一次必选服务；当第一次服务结 束后可以离开系统永不再来，可以回到系统重新要求同样服务，也可以进入第二 次服务；第二次服务完后可以离开系统永不再来，可以回到系统重新要求服务。 服务台在进行完一次服务时可以休假可以继续为顾客服务。 此模型在实际中有很强的应用背景，如顾客到达系统后进行服务，服务完后 发现服务不满意于是重新回到队列进行服务，服务员也可以在服务完后进行一次 其他辅助服务，我们将其定义为单重休假。比如，在使用银行柜员机时，我们一 般都会进行查询服务，在确认账户上的金额后再进行下一步的取款或存款服务， 当然也可以只查询余额后就离去或密码不正确重新查询；柜员机在服务完后可以 系统维护，可以继续为顾客服务。 3 2 模型描述与假设 1 系统只有个队列，到达的顾客形成一广义齐次泊松过程，即顾客的到 达批次形成一参数为丑的泊松过程，第n 批到达的顾客数是正整数值随机变量 z 。，服从相同的分布律 p ( x 。= l q ) = c 。，n = l 2 “，均值为e ( x 。) 且有e ( x 2 ) o o ，各批顾客的到达 间隔相互独立。 2 服务台每次服务一个顾客，按批次先到先服务，对同一批次到达的顾客 以随机次序服务，所有顾客必须接受第一次服务，我们称之为第一次必选服务， 服从一般分布，其分布函数，密度函数，风险率函数分别为g 。( r ) ，g t o ) ， 江苏大学硕士学位论文 b t i ( r ) = g l ( f ) ( 1 - g i ( r ) ) 。均值为e ( s t ) ，且有e ( j ? ) 。o 。 3 第一次服务完成后，顾客以概率r o = 1 一- 一，2 离开系统，而以r 的概率 重新回到系统，以吃的概率进行第二次服务，其服务时间也服从一般分布，其分 布函数，密度函数，风险率函数分别为g ：( f ) ，9 2 ( 0 ，u 2 ( f ) = g ：( f ) ( 1 g ：( f ) ) ，均 值为e ( s ：) ，并有e ( j ；) o o 。服务台完成一个顾客的第一次服务后以概率p 进行 一次随机长度的休假，休假时间的分布函数，密度函数，风险率函数分别为 b ( t ) ，b ( t ) ，p ( t ) = b ( t ) ( 1 一b ( t ) ) 均值为e ( v ) ，并有e ( v 2 ) o o ；而以概率1 p 继续为顾 客服务。服务台休假结束时若系统中有顾客等待，则立即为顾客服务：若无顾客 等待，则服务台处于空闲状态直到顾客到达系统转为服务期，此种空闲状态定义 为闲期。 4 第二次服务完成后，顾客以概率1 - 0 离开系统，而以概率0 重新回到系 统。服务台仍以p 进行一次与前述同样的休假，而以概率1 - p 继续为顾客服务。 同样服务台有前述一样定义的闲期。 5 所有的服务时间，休假时间各自独立同分布，并且独立于到达过程。 3 3 系统的状态转移方程 我们引入下列记号， n ( t ) ：时刻t 系统中的顾客数； y 0 ) _ j ：时刻t 服务员正处在第j 种状态；( j = 0 时服务员正在休假，j = l 时服 务员正在进行第一次必选服务，j = 2 时服务员正在进行第二次服务) z ( t ) ： 时刻t 顾客正在接受某项服务或服务台休假已用去的时间： q ( t ) ：时刻t 系统中无顾客，服务台处于闲期的概率。 w n j ( x ，t ) 。p n ( t ) = n ，v ( t ) = ，x z ( t ) = 1 v 。( x ，f ) = p ( f ) = 咒，y ( r ) = o ，x = 。 五q = ( 1 - p ) rw 1 ，。o ) 蝴o ) d r + ( 1 - 口) ( 1 - p ) j - w l 2 ( x ) “。 ) a x + f g o ( x 妒o ) d x 其边界条件为： m t ( o ) 2 ( 1 - p ) f w 删( z ) ( x 胁+ ( 1 口) ( 1 一p ) f w n 扎：( x ) 甜：o ) d x + f v n ( x ) f l ( x ) d x + ( 1 p ) f w n 。( z ) “。( x ) d x + o ( 1 。p ) jw , a x ) u 2 ( 工+ 五c 。q n = 1 w n ，：( o ) 2 ，2f d w 叫( z ) “。( x 胁 n = 1 v 。( o ) 。t o p f w n 扎，( x ) “。o ) a x + r t p f k ，( x ) “。( x ) a x + ( 1 - o ) pf w + ：( x ) “：( x ) d x + o pf w 。( 功“：( x ) d xr l = 1 v 。( o ) 2 p rw i ，( 茗) “( z + ( 1 - o ) pf w ( x ) ：( x 油 1 5 江苏大学硕士学位论文 我们建立了稳态下系统的状态转移微分方程。 3 4 系统的稳态概率母函数 我们解方程( 1 ) ，( 2 ) 并取其概率母函数得： w j ( x ，z ) 。w i ( o ，z ) 【1 g j o ) 】e x p 一旯( 1 一c ( z ) ) x 】 j 2 1 ，2( 8 ) v ( x ，z ) = v ( o ，z ) i - b ( t ) e x p 一五( 1 一c ( z ) ) z ( 9 ) 下面我们将( 4 ) ，( 5 ) 两边同乘以z ”1 与z ”并将n 从1 到m 求和并化简得 2 w 1 ( o ，z ) = r o ( 1 - p ) w i ( o ，g ? z a c ( z ) + 1 ( 1 一p ) z w l ( o ，z ) g h 五一知( z ) 】 + ( 1 一目) ( 1 - p ) g ；【 一五c ( z ) w 2 ( o ，z ) + 目( 1 - p ) z1 4 2 ( o ，z ) g ； 旯一知( z ) 】 r 0 ( 1 - p ) zn ，( x ) 材。 ) a x - 口( 1 p ) zn ：( x ) u 2 0 逑一zf v 。( x 妒o ) a x + ac ( = ) zq + z v ( o ，z ) b + 【五一旯c ( z ) ( 1 0 ) 其中g ? a 一，扯( z ) = f e x p ( 一 a 一知( z ) x ) a g ，( x ) ，i = l ，2 曰 兄一a c ( z ) 】= o x p ( 一 五一a c ( z ) x ) c 培( x ) ，分另。为g ，( x ) 与b ( x ) 的l s t 。 w 2 ( o ，2 ) = r 2w 1 ( o ，z ) g ：【五- 五c ( z ) ( 1 1 ) 联立( 3 ) ，( 1 0 ) 得 【z - ( 1 一p ) r o g ? 2 一：k ( z ) 一1 ( 1 一p ) z g j 2 一五c ( z ) 】 、恍( o ，z ) 一 口( 1 - p ) z g ； 3 , 一a c ( z ) 】+ ( i - 护) ( 1 - p ) 匾【丑一加( z ) 】 w ：( o ，z ) 2 旯z ( c ( z 一1 ) ) q + z v ( o ，z ) b 【a 一知( z ) 】( 1 2 ) 同理可得 z v ( o ，z ) r o p w l ( o ，z ) g ? 【a 一2 c ( z ) + f i p z w l ( o ，z ) g i 五一a c ( z ) 】 + ( 1 - o ) p w 2 ( o ，z ) g ； 五一拈( z ) 】+ 2 w 2 ( o ，z ) g ：【五一五c ( z ) - z r 。pfw 1 t ( x ) u l ( x 灿一( 1 一目) p zr ，：( x ) “：( 工冲( 1 3 ) z v 。( o ) = z l 0 p f w l l ( 曲甜。( x ) 出+ ( 1 一o ) p z rw 1 ：( x ：( x ) 出 ( 1 4 ) 将n 的所有取值求和，我们得到 z v ( o ，z ) 2r o p w i ( o ，g “丑一杞( z ) 】+ r t p z w i ( o ，z ) g ? 丑一a c ( z ) + ( 1 一o ) p w 2 ( o ，z ) g a 一儿( 2 ) 】+ 0 p z w 2 ( o ，z ) g ： 五一a c ( z ) 】 江苏大学硕士学位论文 = 【+ r l z ) p w ll u ，z jq 【 一忙l z 川十【l 一+ d z ) p w 2l u ，z ) 【7 2 【 一们l z 川( 1 ) j 我们解方程组( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 5 ) 可得 w 。( o ，垆2 z ( c f ( z ) - 1 ) q ( 1 6 ) w ：( o ，垆r 2 a z ( c ( z ) - 1 1 ) g 厂； 2 - 2 一c ( z ) q ( 1 7 ) 。r 0 , z ) - 旦兰! ! ! 型二1 2 竺：i 苎二丝! ! 塑! 鱼量! 垒( ! 二皇里! 堡i 墨二丝! ! 塑! 望、 d ( 1 8 ) 其中 d 3 。一( r o + _ 2 ) ( 1 一p + p b a 一知( 。) 】) g ? 【五一儿( 2 ) 卜 f 1 外 r 2 ( 1 目+ 良) ( 1 一p + p b 【 一杞( z ) 】) g ? 【 一五c ( z ) 】g ： 一五c ( z ) 】 、7 从而由( 1 6 ) 到( 1 8 ) 以及( 8 ) 和( 9 ) ，我们可以得到服务台正在进行第一次服务， 第二次服务，以及休假时的稳态队长： w l ( z ) 2 f w ，( x ，z ) 出= ( 1 - g 1 2 _ = - j a 厂c ( z 一) ) z q ( 2 0 ) w ：( 垆f w 2 ( x ，z 胁：r 2 ( 1 - g ； 2 - 2 _ c ( z 万) ) g 1 2 - 2 一c ( z ) z q ( 2 1 ) m v ( z ) 2jv ( x ，z 胁2 p o ? 兄一k ( z ) 】 ，0 + z + r 2 ( 1 一口+ 0 z ) g ： 2 一 c ( z ) 】) g ( 1 一b 五一，枷( = ) 】) 一d ( 2 2 ) 在此我们定义p ( z ) = q + 2w j ( z ) + v ( z ) 为系统稳态队长的概率母函数，从( 1 9 ) j = l 到( 2 1 ) 我们可以得到 p ( z ) = ( z - 1 ) g l 2 - a c ( z ) r o + 矿r 2 ( 1 - o ) g ； 2 - 2 一c ( z ) q ( 2 3 ) 当取z = 1 时( 2 2 ) 式的右端为罟型，应用罗比达法则有 加) = 曾比) = 塑二譬塑 ( 2 4 ) 其中 e = ( 1 - ，1 一，2 口) 一加( 爿j ) e ( j 1 ) + p e ( v ) + r 2 e ( s 2 ) ) 由归一化条件知p ( 1 ) = 1 ，得到系统空