（概率论与数理统计专业论文）非寿险索赔数据的统计分析与风险模型研究.pdf

山东大学博士学位论文 论文摘要 本文的研究对象是非寿险保险市场的统计数据，从统计分析和风险过程两个 层面对其进行理论研究。根据保险市场的实际背景探索更为深刻的统计规律和风 险模型。与此同时，揭示和寻找中国非寿险保险市场的特点和规律，为中国保险 公司进行风险分级、制定保费计价系统提供理论基础和计算方法。 风险分级就是按保单的属性进行分组，使得同一组内的保单具有相对的同质 性，不同组之间的保单具有相对的不同质性。所谓同质性是指保单具有相同的风 险水平及索赔规律。一般来说，可以用保单的( 平均) 索赔额或索赔次数来度量 风险水平，索赔规律则可以用索赔额或索赔次数的概率分布来描述。 风险分级是保险公司进行保费定价的重要依据不同的保单由于其属性不 同，所处的风险水平一般也不同就汽车保险而言，保单的属性可分为三个方 面：一是司机的风险状况，如年龄、职业、违章记录等；二是汽车的风险状况， 如车型、车龄等；三是驾驶环境，如驾驶区域、路况、气候( 年雨雪天数) 等目 前，我国尚未就不同保单属性对汽车保险的风险水平进行分级，各保险公司的保 费定价过于粗旷，不利于与国外保险公司的竞争针对这一问题，本文采用广义 线性模型研究了风险分级的方法，这种方法可以找到适当的分布，合理地刻画索 赔规律，与传统的基于正态分布的回归分析相比有明显的优点有关这类问题的 研究成果在国内尚未见到。可喜的是，最近我国放开了对汽车保费定价的限制， 各保险公司可以自行研制定价系统，这为本文的方法在我国的应用提供了广阔的 空间。因此，可以说本文的选题具有前赡性，研究成果将具有重要的应用价值。 保费定价的另一重要内容是无索赔优待系统( n o c l a i md i s c o u n t ) 或奖惩系统 ( b o n u s m a l u ss y s t e m ) 这一系统是根据投保人( 保单) 在前一保险周期的索赔表现 来决定后一保险周期的费率水平简单地说，若投保人( 保单) 在前一保险周期无 索赔记录，则在后一保险周期的费率水平会降低；否则相反这种系统实施后， 投保人在发生事故( 出险) 的情况下，会权衡各方面的利益得失决定是否向保险 公司进行索赔。因此，索赔次数的分布规律会偏离实际出事故次数的分布规律 本文针对这一背景引出了p o i s s o n g e o m e t r i c 分布( 简称p g 分布) ： 设随机变萤x 为个体保单在单位时间内发生事故次数，y 为该保单实际索赔 山东大学博士学位论文 次数。在n c d 系统下，p r ( y = o ) p r ( x p r ( y = 0 ) = 1 一o4 - p ，p r ( y21 ) = q ( 1 p r ( y 1 ) = o ( 1 一p ) = 墨1a ( 1 一p ) 2 p 一1 。 ”= a ( 1 一p ) ，则y 的分布可写为 ：o ) ，设p r ( x = o ) = 1 n ，p r ( x 1 ) = n ， 珐p 峨1 ) ，称p 为偏离参数。由于 进一步，设p r ( y = ) = n ( 1 一p ) 2 p 一1 且 p r ( y = o ) = ( 1 一f ) ，p r ( y = ) = ( 1 一p ) 矿一1 ，女= 1 ，2 f 1 ) 所以，y 的母函数为 g 巾) = 争p r ( k 牡l 一篱 ( 2 ) # = 0 7 记k ( = 1 ，2 ，n ) 为第k 个个体保单的索赔次数，并且它们独立同分布，其概 率分布如( 1 ) 式所示，则s n 圭n _ 。k 的矩母函数为 呶= ( 1 一篱) “ 令n - o 。，- 0 ，n _ ，则有 g = e 印( 等) ( 3 ) 若随机变量f 的母函数如( 3 ) 所示，其中p 【o ，1 ) ， 0 为参数，则称f 服从复合 p o i s s o n g e o m e t r i c 分布( 简称为p g 分布) 当p = 0 时，p g 分布就是p o i s s o n 分布；当 0 p 1 时，p g 分布相对于p o i s s o n 分布来说具有散度偏大性质( o v e r d i s p e r s i o n ) 。 基于p g 分布，本文研究了风险分级的回归模型及混合p g 模型，探讨了偏离参 数p 显著性的检验方法 本文的总思路是，保险公司的保费政策会引起索赔规律的偏离。这种偏离可 以用统计模型进行刻画和估计；偏离参数p 反映了保费政策对索赔的影响，这种 影响的显著性可以用统计检验的方法来推断；偏离参数p 的大小及变化通过风险 模型波及到保险公司的破产概率，从而可以对保险公司的保费政策作出评价这 种研究模式不论是在理论上还是在保险实践方酉都具有独创性。 全文分两个部分共八章第一章为预备知识，着重介绍了指数类分布的定义 及其重要性质该章的主要内容均来自于文献1 1 】 论文的第一部分是风险分级与统计分析，包括第二章、第三章和第四章。第 二章讨论了广义线性模型与保费点数计价系统，该章通过分析一个经典的汽车保 山东大学博士学位论文 险实例展示了风险分级与保费点数计价的方法，这种方法的主要优点是拓宽了模 型的选择范围，即可以通过对不同的分布的拟合结果以及离差分析方法来选择适 用的模型，它比传统的方法有着更科学的统计理论依据。如果得到我国保险公司 的这方面数据，则马上可以利用此模型进行数据分析，为保险公司的保费定价提 供重要的参考依据 第三章研究了索赔次数基于p g 分布的回归模型，该章首先由保险实际背景 引出p g 分布的定义与性质；其次研究了基于p g 分布回归模型中的参数估计及 假设检验方法；最后通过两个实例展示了该模型在风险分级中的应用，第一个例 子对货船撞损事故次数进行了分析，经检验p = 0 被接受，表明用p o i s s o n 分布与 用p g 分布来描述此例无显著差异；第二个例子是汽车保险索赔次数的分析，经 检验p = 0 被拒绝，表明用p o i s s o n 分布来描述此例不合适 第四章研究了一类指数类混合型索赔次数的分布及其应用该章得到了混合 型指数类分布的一个散度性质( 定理4 21 ) ，并将混合p o i s s o n 分布推广到混合 p g 分布，这种推广有其实际背景利用该分布可以研究集合保单的不同质性。 该章给出了拟合这类分布中参数的矩估计及相应的检验方法；研究了我国某保险 公司的一个汽车索赔数据的实例研究结果表明，( 就该例而言) 用国外常用的 混合p o i s s o n 分布来描述我国的索赔数据并不合适，说明了国内( 至少是该例) 保 险索赔数据与国外保险索赔数据存在着显著不同的规律，因此保险公司在制定保 费定价政策时，不能完全套用国外的方法 本文的第二部分是风险模型与破产概率，包括第五章至第八章。第五章研究 了索赔次数过程为p g 过程的风险模型及破产概率，推导出了破产时的盈余惩罚 期望及破产概率所满足的更新方程；特别地，当个体索赔额服从指数分布时，给 出了破产概率的具体表达式，推广了经典风险模型的结果。 第六章继续第五章的研究，当假设个体索赔额服从相位分布时，得到了破产 概率的显式表达式。相位分布( 见文献【2 i 芦8 】) 是指数分布、几何分布的推广，它 保留了许多运算上的“封闭”性质，例如：当f s k ；o ) ，f ( z ) 都是相位分布时， 嚣。船f ( z ) 亦是相位分布可以利用这些性质来推导破产概率的显式表达式 此外，( o ，。o ) 上的任意分布都可以用相位分布来逼近，这一性质为相位分布的应 山东大学博士学位论文 用提供了理论上的价值该章的主要结果是定理6 , 4 t 中的( 6 4 4 ) 式，通过该表达 式可以研究对于具体的个体索赔额的分布( 如混合指数分布) 所对应的破产概率 的具体表达式，进而可以研究p 的变化对破产概率的影响。这对于评估保险公司 的保费定价政策有参考价值。 第七章将第五章的风险模型及方法应用到索赔次数过程为广义齐次p o i s s o n 过程的风险模型，推导出了破产时的盈余惩罚期望及破产概率所满足的更新方 程；进一步推广了经典风险模型特别地，e d 类分布导出的计数过程是广义 齐次p o i s s o n 过程。作为例子，该章分别讨论了保险实践中常用的一些e d - 类分 布包括第四章引出的混合p g 分布所导出的计数过程 第八章引用大偏差理论的有关结果( 见文献 3 学】) ，研究了一类风险模型在有 限时间内破产概率的渐近性质，这类风险模型的个体索赔额被假设服从指数幂 尾型分布，其索赔次数过程被假设为一更新过程，更新时间间隔服从e d ，类分 布并讨论破产发生时的特征以及破产预警方法由于当更新时间间隔服从指数 分布时，对应的更新过程为p o i s s o n 过程，相应的风险模型为经典风险模型，因 此，该章的结果是j o r g e n s e n 3 4 有关经典风险模型结果的推广。 从创新的角度看，第三、四两章提出p g 分布及混合p g 分布并研究其应用； 第五、六两章提出p g 过程并将之引入风险模型，这不仅拓宽了经典风险模型， 而且具有现实的应用背景。可以说，这不仅富有应用创新而且富有理论创新。这 四章构成了本文的核心，使全文的两部分组成一个有机的整体。第七章的结果虽 然与文献【3 9 的结果相同，但本文采用了完全不同的研究方法，因此从方法上讲 也具有新意。第八章则从另一侧面研究了指数类分布在风险模型中的应用，其结 果及方法具有进一步开拓的价值，也为本文的后续研究打下了基础。 关键词：p g 分布，混合p g 分布，p g 过程，风险模型，破产概率 山东大学博士学位论文 a b s t r a c t t h et a s ko ft h i st h e s i si st os t u d yt h es t a t i s t i cd a t ao nn o n l i f ei n s u r a n c em a r k e t b o t hs t a t i s t i c ， a n a l y s i sa n dr i s kp r o c e s sa r ei n v e s t i g a t e d t h es t a t i s t i cm e t h o d sa n dt h er i s km o d e l sb a s e d o nt h ei n s u r a n c ep r a c t i c ea r ep r o b e d m e a n w h i l e ，t h ec h a r a c t e r sf o rn o n - l i f ei n s u r a n c em a r k e t i nc h i n ai su n v e i l e da n de x p l o r e d t h et h e s i sp r o v i d et h e o r e t i c a la n dc a l c u l a t i n gm e t h o d sf o r c h i n e s ei n s u r a n c ec o m p a n i e st om a k e r i s kc l a s s i f i c a t i o na n dp r i c i n gp r e m i u ms y s t e mo rr a t i n g r i s kc l a s s i f i c a t i o ni sj u s tt od i v i d ep o l i c y h o l d e r si n t om a n yr i s kg r o u p sa c c o r d i n gt ot h e i r r i s ka t t r i b u t i o n ss ot h a tt h ep o l i c y h o l d e r si ns a m eg r o u pa r eh o m o g e n o u sa n dd i f f e r e n tg r o u p s a r eh e t e r o g e n o u s h o m o g e n e i t yi se x p l a i n e dh e r ea ss a r a er i s kg r a d ea n dc l a i mr e g u l a r i t yi n g e n e r a l ，t h er i s kg r a d e c a nb em e a s u r e d b y c l a i ms i z eo rc l a i mn u m b e r sa n dt h ec l a i m r e g u l a r i t y c a i lb ed e s c r i b e db yt h e i rd i s t r i b u t i o n s r i s kc l a s s i f i c a t i o ni sv e r yi m p o r t a n tf o ri n s u r a n c ec o m p a n i e st om a k er a t e d i f f e r e n tp o l i c y h o l d e r sh a v ed i f f e r e n tr i s ka t t r i b u t i o n ，f o re x a m p l e ，t h ep o l i c y h o l d e r si na u t o m o b i l ei n s u r a n c e c a l lb ec l a s s i f i e dt h r e ea t t r i b u t i o n s t h ef i r s ta t t r i b u t i o ni sa b o u td r i v e r ，s u c ha sa g ej o ba n d d r i v i n gh i s t o r y ( o rd e l i n q u e n tr e c o r d ) ；t h es e c o n da b o u tt h ea u t o ，s u c ha st y p ea n da g e ；t h e t h i r da b o u td r i v i n gc o n d i t i o n s ，s u c ha sr e g i o n ，r o a da n dc l i m a t e ( t h ed a y so fr a i no rs n o w ) r i s k c l a s s i f i c a t i o no fa u t oi n s u r a n c ei nc h i n ah a v en o tb e e np e r f o r m e dn o wa n dt h er a t i n gi nt h e c o u n t r yi st o oc r u d et oc o n t e n ta g a i n s tf o r e i g nc o m p a n i e s t ot h i sp r o b l e m t h et h e s i su s e s g e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l s ( g l i m ) t os t u d yt h er i s kc l a s s i f i c a t i o n c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a l m e t h o d s ，t h ea d v a n t a g eo fg l i m i st h a tag o o dd i s t r i h u t i o nc a nb ec h o s e nt of i t t h ec l a i m r e g u l a r i t y h o w e v e r ，t h es i m i l a rs t u d y i n gr e s u l th a v en o tb e e nf o u n di nc h i n as of a r r e c e n d y , c h i n e s eg o v e r n m e n tc a n c e l st h er e s t r i c t i o nt oa u t o m o b i l ei n s u r a n c e ，w h i c hp r o v i d e sal a r g e s t a g ef o rt h ea p p l i c a t i o no ft h em e t h o d si nt h i st h e s i s s o ，t h et o p i co ft h et h e s i si sf o r e s i g h t e d a n dt h er e s u l t sa r ei m p o r t a n tf o ri n s u r a n c ep r a c t i c e a n o t h e ri m p o r t a n td i r e c t i o no f r a t i n gi sn o - c l a i md i s c o u n t s y s t e m ( n c d ) o rb o n u s m a l u s s y s t e m ( b m s ) u n d e rt h i ss y s t e m ，t h er a t ei nt h en e x ti n s u r a n c ep e r i o do n l yb a s e so nt h er a t e a n d c l a i m s i n t h e f o r m e r i n s u r a n c e p e r i o d i f a c c i d e n te v e n t s h a p p e n ，p o l i c y h o l d e r s w i l lc o n s i d e r t h e i rb e n e f i ta n dl o s st od e c i d et oc l a i mt oi n s u r a n c ec o m p a n i e s ；t h e r e f o r e ，t h ec l a i mn u r o b e r s 山东大学博士学位论文 m a yd e v i a t et h er u l eo fa c c i d e n tn u m b e r s a c c o r d i n gt ot h i sf a c tp o i s s o n g e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n i si n t r o d u c et od e s c r i b et h ec l a i mn u m b e r sj nt h et h e s i s l e tr a n d o mv a r i a b l exi st h ea c c i d e n tn u m b e r so fi n d i v i d u a l p o l i c y h o l d e rw i t h i nu n i t t i m ea n dr a n d o mv a r i a b l eyi st h ec l a i mn u m b e r so ft h ep o l i c y h o l d e r u n d e rn c d s y s t e m ， p r ( y = 0 ) p r ( x = o ) a s s u m e p r ( r = 0 ) = 1 一o t ，p r ( x 1 ) = 口，p r ( = 0 ) = 1 血+ p a ，p r ( y 1 ) = a ( 1 一p ) ，p 【0 ，1 ) pb ec a l l e dd i s p e r s i o np a r a m e t e r m o r e o v e r ，l e tp r ( y = 岛) = 口( 1 一p ) 2 p 一1a n d = 口( 1 一p ) s i n c e p r ( y 1 ) = o ( 1 一p ) = 芒1 口( 1 p ) 2 p 一1 ，l ，s p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni s p r ( y = 0 ) = ( 1 一f ) ，p r ( y = k ) = ( 1 一p ) p 1 ，k = 1 ，2 ， ( 1 ) s o ，y 7 8p r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o ni s g r ( t ) = 争p 峭叫小篱 ( 2 ) = 炯( y = 女) = 1 一半导 ( 2 ) i = 0 l e ty k ( k = 1 ，2 ，n ) d e n o t et h ec l a i mn u m b e r so ft h ek “i n d i v i d u a lp o l i c y h o l d e r a s s u m e t h e ya r ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a ld i s t r i b u t e da n dt h e i rp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o na s ( 1 ) ，t h e n t h ep r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o no fs n 圭k l y ki s g s 小) = ( 1 一篱) ” l e tn _ 0 0 ，f _ + 0 ，n ”_ + a ，w eh a v e g = e 印( 糌) ( 3 ) a d i s t r i b u t i o n w i t h p r o b a b i l i t y g e n e r a t i n g f u n c t i o na s ( 3 ) i sc a l l e d c o m p o u n d p o i s s o n g e o m e 拓i c d i s t r i b u t i o n ( d e n o t e dp gd i s t r i b u t i o n ) c l e a r l y ，w h e np = 0 ，p gd i s t r i b u t i o ni sj u s tp o i s s o n ，s w h e n0 0 ( p n ，g ) ， 山东大学博士学位论文 进一步，有 1 1 2 等价形式 ( 1 13 ) 命题1 1 1 分布密度或概率函数p y ( 9 ；p ) 可以表示为rj ，剀式的形式的充分必要 条件是：存在满足 v ( k ( 口) ) = k ”( 日) 0 e 兰 日：k ( 口) n )( 1 1 4 ) 的二阶连续可微且一阶导函数严格单调的函数一( 口) ， 为 p ( ”；0 ) = c ( y ) e x p o y k ( 日) ) 使得p y ( y ；肚，口2 ) 可以表示 ( 1 1 5 ) 其中0 e ，p = 一( 口) 兰r ( 日) ，称k ( 口) 为累积量函数。 证明】必要性：设p y ( ；p ) 有( 1 1 2 ) 式的表示形式，记p o i n f p ：“n ) ，圭i n f f 目 0 e ) ，令 咖) = j c 南删“o 、o ， 由矿( ) 的定义知9 ( ) 0 ，且为二阶可微的严格单调函数。记 k ( 日) = g - 1 ( t ) d t 0 o j 0 0 则一( 目) 亦为二阶连续可微函数 k 。( 目) = g - 1 ( 口) 圭p ，k ”( 日) = v ( p ) 由于矿( ) 0 ，所以一7 ( 目) 是严格单调函数因此 地；加2 z ”型v ( o = 2 b 9 0 ) 一k 0 ( ，) ) 一卯( p ) + k 0 ( p ) ) 】 由于口= 9 ( p ) ，令a = 1 ，c ( ) = n ( ) 唧 2 f 鲴( ) 一k ( 口( y ) ) 】) ，则( 1 1 5 ) 式成立。 2 斑 一一一 礼斑 山东大学博士学位论文 充分性：设( 11 5 ) 式成立，令，詹r ( 目) = 一( 口) ，0 = t - 1 ( p ) ，y ( p ) = r ( r 。( p ) ) ， 则有 错虻( 一一( 目) ) 甜 两边积分得 上”错d t = y v - 1 叫r - l ( 州- y o + 一 即有 可口一。徊) = 一；d ( ；p ) + 2 妇r 一1 ( ) 一k ( r 一1 0 ) ) 】 令o ( ”) = c ( ) e x p 2 y r _ 1 ( ) 一k ( r 。( ”) ) ) ，即得到( 1 1 2 ) 【证毕 由命题1 1 1 ，我们也可以将形如( 1 1 5 ) 式的分布称为单参数指数类分布，记 为n e ( o ；一) ；当一确定或默认的情况下，简记为n e ( o ) ；其全体记为n e ( o ；一) 注1 1 1 由r 别式易知其矩母函数为m ( s ) = e x p k ( 0 + s ) 一k ( 日) 】， 1 1 3n e 类的重要性质 定理1 1 2 设( p ) ，v 2 ( u ) 是n 上的两个方差函数，若vp n ，u ( p ) = k ( p ) ，则 n e ( f l ；k ) = e ( n ；v 2 ) 证明 由命题11 1 ，存在心，及e 。- - = o ：一：( 目) n ) 使 e ( 0 ；k 。) = v e ( n ；k ) ，0 = 1 ，2 ) 且满足 k ( p ) = t ( r f - 1 ( p ) ) ，p n ，其中n ( 目) = k 。( 一) ，0 e ；，( = 1 ，2 ) 由于vp n ，h ( p ) = v 2 ( u ) ，则存在实数o o 使 即 因此，存在常数如使 下1 ( p ) = 可1 ( 肛) + p n t 1 ( 口) = r 2 ( o o o ) 0 0 l k l ( 口) = 1 9 2 ( 0 一如) + 0e e l 3 山东大学博士学位论文 所以有0 。= ( 0 0 0 ：0 e 。) ：- 0 t o o 记慨为n e ( 8 孙；) 的矩母函数，则 尬( s ；口) = e x p , q ( o + s ) 一k l ( 日) = e x p k l ( 口一o o + s ) 一k l 徊一) ) = 如( s ；0 一o o ) 8 0 2 一( 0 一o o ) 这表明对n e ( o 。m ) 的任一成员n e ( o ；一。) ，可以找到n e ( 0 2 ；一。) 的成员n e ( 8 一 o o ；k 2 ) ，它们的矩母函数相同，因此n e ( o l ；k 1 ) cn e ( 0 2 ；k 2 ) ；同理有n e ( 0 2 ；k 2 ) c n e ( o l ；k 1 ) 。所以，n e ( o l ；t c l ) = n e ( 0 2 ；k 2 ) 。【证毕】 定理1 1 3 对分布类序列 n e ( r i 。；k ) 黯1 ，若下列条件成立 叫n 。圭n 黯ln 。为非空开区间； 纠l i m 。_ + o 。k ( “) = y ( 肛) 对p 在n o 的每一紧子集上一致收敛； 别v ( p ) 0 ，vp n o 。则：存在n e ( f 2 0 ；v ) ，使得对vpen o ，有 v e ( p ；k ) 0 e ( p ；v ) ( n _ + 。) 【证明】参见m o r a ( 1 9 9 0 ) 2 1 。 定理1 1 4 设e ( n ；v ) 的支集为s ，若i n l s ) = 0 ，则 i n i n = o i 纠l i m “_ 0 v ( p ) = o i 3 ) l i m + o 掣璀町i 纠若p ( 0 ) 0 ，则l i m 。o v ( p ) = d j 纠若p ( o ) o ，则1 i m 。气竽= o 。 ； f 证明j 参见j c r g e n s e nb ，m a r t i n e zj r a n dt s a om ( 1 9 9 4 ) 3 j 1 2e d 及e d 类分布 1 2 1e d 类分布 设s ，c ，n ，y ( ) 的含义同前 定义1 2 1 记 m 圭2 2 9 雨y - t 出( ) c n ( 1 2 1 ) 山东大学博士学位论文 若y 的分布密度或概率函数可以表示为 p y ( 刚，口2 ) = d ( 舻2 ) “p 卜赤4 ( 娜) ) g c ，p n ，( 7 2 ( 1 删 则称y 服从单位方差函数为v ( m 、参数为( “d 2 ) n 的两参数指数类分 布，记为e d ( “0 2 ；v ) ，当v 已确定或默认时，简记为e d ( p ，口2 ) ，其全体记为 e d 0 2 ，；v ) ；并称d ( ；p ) 为该指数类分布的单位离差函数 命题1 2 1 分布密度或概率函数p r ( y ；p ，a 2 ) 可以表示为r 2 纠式的形式的充分必 要条件是：存在满足 y ( k ( 口) ) = k “( 口) 日e - - e ：k ( 日) f 2 )( 1 2 3 ) 的二阶连续可微且一阶导函数严格单调的函数一( 口) ，使得p y ( p ；p ，口2 ) 可以表示 为 p ( 汜 ) = c ( ；a ) e x p a s y k ( 日) 1 ( 1 2 4 ) 其中( 日，a ) oxa ，a = 1 ，p = 一( p ) 圭r ( 口) ，a = 击：0 - 2 e ) ，称k ( 口) 为累积量函 数，r ( 日) 为均值函数 【证明】类似命题1 1 1 的证明，这里 = 砉 由命题1 2 1 ，我们也可以将形如( 1 2 4 ) 式的分布称为两参数指数类分布，记为 e d ( 8 ， ；k ) ；当一确定或默认的情况下，简记为e d ( 日， ) ；其全体记为e d ( 8 ，a ；。) 。 由e d 及n e 的定义，n e ( e ；k ) 是e d ( e ，a ；一) 的子集，另一方面，由命题1 2 1 ， 对e d 类，当a 固定时，有e d ( e ， ；k ) = n e ( o ；矿) ，其中k ( 口) ：肌( p ) 1 2 2e d 类分布 定义1 2 2 对参数空间r e a ，及累积量函数一( ) ( 其含义同前) ，若某一随机变 量z 的分布密度或概率函数有如下的形式： 矿( = 汜a ) = c + ( ； ) e x p s z 一 k ( 口) ) ( 125 ) 则称z 服从e d 类分布，记为e l ) ( 口， ；k ) ；当k 确定或默认的情况下，简记为 e d ( 目，a ) ；其全体记为e d 。( e ，a ； ) 。 由命题1 2 1 及定义1 2 2 ，容易证明： 5 山东大学博士学位论文 命题1 2 2 对于给定的0 6 e ，a a 及累积量函数k ( ) ，则随机变量y 服从e d ( o ，a ) 分布的充分必要是：z = a y 服从e d + ( 目，a ) 分布。 称变换yha y 与变换z h z 互为对偶变换。由命题1 2 2 ，e d ( ( 9 ，a ；一) 与 e d ( e ，a * ) 一一对应，因此，若e d 类与e d + 类之一有某性质，则另一类也有相 应的性质，所以将e d 类与e d + 类统称为指数类或指数族分布 1 3 1 矩母函数 1 3 指数类分布的性质 性质1 3 1 设随机变量y 1z 分别服从e d ( o ，a ；k ) 类及e d ( 口，a ；一) 类，则它们的矩 母函数分别为： m ( 8 ；口，a ) 2 。p 州8 + 哪) 一8 ( 蛐 f 1 3 1 ) m + ( s ；目，a ) = e x p a ，c ( s + 日) 一k ( 口) 1 ) 、 7 数学期望及方差分别为 e y = “v a r y = 矿( p ) a e z = 札，v a r z = a v ( p ) ( 1 3 2 ) 【证明】由( 1 3 1 ) 式可以直接计算出m + ( s ；目，a ) ，e z ，v a r z ，再由对偶变换可以得到 肘( s ；目，地e y ：v a r y 的表达式 1 3 2 收敛性 性质1 3 21 j 正态收敛性：若y e d ( p o + 口p ，f i t 2 ；y ) ，p o n ，p r ，则有 学与忡，m 。) ( a 2 - + o ) ( 1 3 3 ) 纠g a m m a 收敛性：对e d ( 弘，0 - 2 ；v ) ，设n = r + 且v ( p ) c o p 2 ( p - 十0o ro 。) ，则 c - 1 e d ( c # ，一；y ) 二g a ( p ，c 0 口2 ) )( c _ + 0 o ro o ) ( 1 3 4 ) 到p o i s s o n 收敛性：设e d ( 口，扎一) 为非退化、取整值的分布，且在0 和j 处有正 的概率，则对口 0 有 e d ( r ( a a ) ，a ；k ) 与p o ( a )n - + o o )( 135 ) 6 山东大学博士学位论文 证明】1 ) 取a 。 。，n = 1 ，2 ，l i m n - - , o o0 - 2 = o ，令k = 艺，设n 足够大使得 l z o + 盯，。# - 6n ，记v k ( p ) = v ( “o + 盯。p ) ，贝0 k 一e ( “；k )- - 4 , o 。) 因为v 可微，由微分中值定理易知 i i mk ( p ) = v ( p 。) 圭印在n 的任意紧子集上对p 一致收敛 h 由定理1 i 3 ，对v p n ，有 e ( 肛；k ) 鸟e ( p ；c 0 ) = n ( u ，c o )( 礼_ o o ) 即( 1 33 ) 式成立 2 ) 取c n o ，n = 1 ，2 ，1 i m n _ + o 。c i = o 0 r 。o ，记k ( p ) = i o - 2 v ( c n 枷) ，对每个 c 。 0 及口2 0 ，有 c ：1 e d ( c f l p ，c r y ；y ) = n e ( u ；k ) 由已知条件对“n 有 v ( c 。u ) 一c o c 。p 2( n _ + 0 0 ) 所以 k ( p ) - + c 0 0 2 p 2( n 。o ) 再由v 的可做性及微分中值定理易知，上述极限在n 的任意紧子集上一致收敛。 由定理1 13 ，对op n ，有 n e ( t t ；k ) 0n e ( # ；c o a 2 p 2 ) = g o ( p c o a 2 )_ + o 。) 即( 1 3 4 ) 式成立。 3 ) 取a 。 0 ，n = 1 ，2 ，l i m 。+ 。 。= 。c ，设y 为该e d 类的单位方差函数， 记k ( p ) = a 。y ( p k ) ，则有 e d ( r _ 1 似h ) ，a n ；k ) = v e ( “k ) 7 山东大学博士学位论文 由定理1 1 4 知，对每个1 1 有：k ( o + ) = 0 ，吒( o + ) = 1 ，因此：v ( o + ) = 0 ，y ( o + ) = 1 。 所以，对v p 0 有 k ( p ) = 。y a 。) = p 矿( 。) 一v ( 0 + ) p k _ p_ 。) 且上述极限在n 的任意紧子集上一致收敛由定理l i3 ，对v p 0 ，有 即( 1 3 5 ) 式成立。 1 3 3 可加性 e ( p ；k ) 鸟n e ( i t ；p ) = p o ( p )m _ + 。) 性质1 3 3 j 设( z i ； = 1 ，2 ，n 独立且磊一e d + ( 目，扎；k ) ，( 日， ) o a ，记 z 0 圭z l + + z ，a + 圭 + + a 。，则 z + 一e d ( 口，h ；k )( 1 36 ) 纠设 k ；i = 1 ，2 ，n ) 独立且k e d ( p ，盯2 叫。；v ) ，pe ，w 。a 2 a ，记叫+ - - w 1 + ，+ w 。，则 去争m 一竹州v ， 特别，取w 。= 1 ，i = 1 ，2 ，n ，则有 ：妻k 。删, z ，0 2 n 【证明】1 ) 由( 1 31 ) 知五的矩母函数为 所以，z + 的矩母函数为 因此 m z ( s ) = e ) ( p a ，【k ( 口+ s ) 一k ( 口) 】) m z + ( s ) = 1 - e x p a i k ( e + s ) 一k ( 口) 】) = e x p a + k 徊+ s ) 一一徊) 】) t = l z + 一e d ( 日，h ；k ) 8 ( 1 37 ) ( 13 8 ) 山东大学博士学位论文 2 ) 设九= w i ，由对偶变换， k e d + ( 目，a t ；一) ，由( 1 3 6 ) ，有 z 十兰凡l ：一e d + ( 9 ，h ；k ) i = l 再用一次对偶变换有 。一e d 拶，“；一) 上 即得( 1 37 ) 式。 1 3 4 无穷可分性 对随机变量x ，若对vn n ，j 置；i = 1 ，2 ，n ) i i ，d 使得x 与：1 墨有 相同的分布，则称x 或x 对应的分布是无穷可分的 性质1 3 4 设随机变量x 服从e d ( o ，a ，i g ) 类或e d + ( o ，a ，k ) 类分布，则x 是无穷 可分的充分必要是：a = r + - - ( 0 ，o 。】。 证明 1 ) 先考虑e d + 类 充分性：设a = r + ，对任意随机变量x e d ( 口，凡k ) ，( 日0 ，aea ) 及任意一自 然数n ，由于 加er + i a ，取 x 。1 掣e d ( 目a 加；k ) i = 1 ，2 ，n 则由e d + 的可加性知x 与羔。x i 有相同的分布所以x 无穷可分 必要性：设x e d ( 目，a ；k ) ，( 口o ，a a ) 且无穷可分，即存在 x 。) 坠l ：id 使x 与：。置有相同的分布，记( s ) ，m ( s ) 分别为x ，x 的矩母函数，由命题1 31 的( 1 3 1 ) 式得 m i ( s ) = m ( s ) 1 ”= e x p ；【k 徊+ s ) 一一( 伽 所以：托一e d ( 口，a n ；* ) 因此 加h ；进一步由e d 的可加性知，对一切自 然数有一a t ：a ，故对一切正有理数r 有以a 设任意口；= 1 抽r + ，e d ( n ，口2 ；矿) 是e d ( e ，a ；k ) 的对偶类，其中矿：l a ， 取正有理数序列 r 。) ，r 。a 。_ + 磅( n _ + o o ) ，则 9 山东大学博士学位论文 由定理1 13 ，n e ( n ；o o w ) 存在，即e d ( n ，砖；v ) 存在，由对偶性e d + ( o ，a o ；k ) 存 在，即知a ，所以a = 耳。 2 ) 对e d 类，因为 x e d ( o ， ；k ) 铮a x e d ( p ，a ；k ) 而且对任意a 0 x 无穷可分钳 x 无穷可分 所以，e d ( o ，a ；s ) 类的成员e d ( 8 ，一) 无穷可分等价于e d + ( e ，a ；一) 类的成员 e d ( 8 ，a ；一) 无穷可分