（理论物理专业论文）三角形和链式网络的混沌同步研究.pdf

l 学位论文独创性声明 f l l i l l l i i i f i i i l l f l f li f r l f l f iiir l f f i iflll y 18 8 9 8 9 6 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。 论文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或 发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均 已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，及学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 指导教师签名：0 善左卜 签名日期：年月日 l 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 近年来，复杂网络的混沌同步研究引起了人们的普遍关注。由于复杂网络的 同步现象广泛存在于自然界中，同时在物理学、计算机科学、生物学、生命科学 以及信息通信等领域有着广泛的应用，因此，它已经成为众多领域研究的前沿课 题。 本文概述了复杂网络的基本概念、复杂网络的发展历史、国内外研究现状以 及复杂网络同步的研究意义。在此基础上研究了复杂网络的同步问题。首先对时 间混沌系统作为节点构成的三角形网络进行了同步研究。利用l y a p u n o v 稳定性 定理，通过b a c k s t e p p i n g 方法构造l y a p t m o v 函数，确定了网络控制器的具体结 构，实现了整个网络的投影同步。并且通过仿真模拟验证了理论分析结果的正确 性和有效性。其次，提出了一种实现单向链式网络激光混沌同步的方法。以单模 激光l o r e n z - h a k e n 系统作为网络的节点，采用单向链式连接构成网络，利用 l y a p t m o v 稳定性定理确定了网络控制器的结构以及实现网络同步的条件。研究 结果发现，仅对网络中的一个节点施加控制器就能使整个网络达到稳定的同步状 态。仿真模拟检验了同步方案的正确性和可行性。 关键词：三角形网络，链式网络，稳定性理论，b a c k s t e p p i n g 法，仿真模拟 辽宁师范大学硕士学位论文 s t u d y o nc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni nt r i a n g l ea n dt r a i nn e t w o r k s a b s t r a c t s y n c h r o n i z a t i o ns t u d yo nc o m p l e xn e t w o r k sh a sa t t r a c t e dp e o p l e sa t t e n t i o ni n r e c e n ty e a r s s i n c es y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n o no fc o m p l e xn e t w o r ke x i s t sw i d e l yi n n a t u r e ，a n di ti s 诵d e l yu s e di np h y s i c s ，c o m p u t e rs c i e n c e ，b i o l o g y ，l i f es c i e n c ea n d i n f o r m a t i o nc o m m u n i c a t i o ne t c i th a sb e c o m eal e a d i n gs u b j e c ti nm a n ys c i e n t i f i c f i e l d s t h eb a s i cc o l i c e p t so fc o m p l e xn e t w o r k s ，t h ed e v e l o p m e n th i s t o r y ，t h ec u r r e n t s i t u a t i o na n dt h es i g n i f i c a n c eo fc o m p l e xn e t w o r ka r ei n t r o d u c e di nt h ep a p e l t h e s y n c h r o n i z a t i o n o fc o m p l e xn e t w o r k si sf u l t h e rs t u d i e do nt h eb a s i s t h e s y n c h r o n i z a t i o no ft r i a n g l en e t w o r kw i t ht e m p o r a lc h a o ss y s t e m sa sn o d e si sf i r s t s t u d i e d t h el y a p t m o vf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db yb a c k s t e p p i n gm e t h o da c c o r d i n gt o l y a p t m o vs t a b i l i t yt h e o r y , t h es t r u c t u r eo ft h ec o n t r o l l e ri sd e t e r m i n e d , a n dt h e p r o j e c t i o ns y n c h r o n i z a t i o ni sr e a l i z e di nt h ew h o l en e t w o r k s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o w t h a tt h et h e o r e t i c a la n a l y s i si sc o r r e c ta n de f f e c t i v e s e c o n d l y , am e t h o dt or e a l i z e s y n c h r o n i z a t i o no f t m i d i r e c t i o n a lc h a i nn e t w o r kw i t hs i n g l e m o d el o r e n z h a k e nl a s e r s y s t e m sa sn o d e si sp r e s e n t e d 。u 面d i r e c t i o n a lc h a i ni su s e di nt h en e t w o r k 刃把 s t r u c t u r eo ft h ec o n t r o l l e ra n dt h ec o n d i t i o nt or e a l i z es y n c h r o n i z a t i o ni sg i v eb a s e do n l y a p u n o vs t a b i l i t y i t i ss e e nt h a tt h ew h o l en e t w o r kc a na c h i e v eas t a b l e s y n c h r o n i z a t i o nw h e nt h ec o n t r o l l e ri sa d d e do nas i n g l en o d e s i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h es y n c h r o n i z a t i o ns c h e m ei sc o r r e c ta n df e a s i b l e k e yw o r d s ：t r i a n g l en e t w o r k s ，c h a i nn e t w o r k , s t a b i l i t yt h e o r y ，b a c k s t e p p i n gm e t h o d , a r t i f i c i a ls i m u l a t i o n 2 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 中文摘要1 a b s t r a c ：1 1 、绪论4 1 1 复杂网络的发展历程4 1 2 复杂网络中的基本概念6 1 3 网络拓扑的基本模型及其性质8 1 4 国内外研究现状1 0 1 5 本文的工作1 1 2 、复杂网络的同步1 2 2 1 复杂网络的完全同步判据1 2 2 2 复杂动力网络的完全同步1 5 2 3 连续时间时变耦合网络完全同步1 7 3 、利用b a c k s t e p p i n g 法实现三角形网络同步2 l 3 1 引言2 1 3 2 三角形网络实现同步的原理2 l 3 3 选用l i u 混沌系统进行仿真的模拟2 3 3 4 实现三角形网络同步的结论3 1 4 、单向链式网络的激光混沌同步3 2 4 1 引言3 2 4 2 单向链式网络同步方案3 2 4 3 选用激光l o r e n z h a k e n 系统的仿真模拟3 4 4 4 实现单向链式网络同步的结论3 9 5 、总结和展望4 0 5 1 全文的总结4 0 5 2 未来工作的展望4 0 参考文献4 1 致谢4 5 附录4 6 辽宁师范大学硕士学位论文 l 绪论 1 1 复杂网络的发展历程 1 1 1 复杂网络的起源 随着复杂网络的兴起，人们开始关注网络结构的复杂性和网络行为之间的关 系【l 】。如果想要研究不同结构的复杂网络的共性，那么就首先需要有描述网络的 工具。这种工具就称为图。我们用图来描述抽象后的网络，就像是网络是有存在 在网络中的无数个节点和节点之间所连接的边构成的系统，我们就用图像的点来 描述网络中的各个不同的节点，用线段来表示连接两个节点之间的边，这样就将 抽象后的网络，用图的方式表示了出来。 1 8 世纪伟大的数学家e u l e r 是图标是的先祖，他对著名的 k o n i g s b e r g 七桥 问题”的研究就体现出了图表示的重要的应用。问题是这样的，k o n i g s b e r g 是一 个小城镇，在这个小城镇里面，有一条分叉的河水流过，将这个城镇分离开来， 人们将各个分离开来的岛屿用木桥相连，共有7 座桥梁将这个城镇连接。当地的 人总会想一个有趣的问题：一个人一次能不能不重复的通过每一座桥梁，而最后 回到出发点呢? 这个貌似简单的问题在数年间，却从没有被人证实出来过【2 】。 图l - 1k o n i g s b e r g 七桥问题 e u l e r 仔细地研究了这个问题。他利用图的方法，将河流分隔开的四块陆地抽 象成四个固定点分别用a ，b ，c 和d 来表示。又把连接着四块陆地之间的七座桥 l 一 辽宁师范大学硕士学位论文 抽象成连接四个点的七条线段，分别用a , b ，c ，d , e ，f , g 来表示。进而就得到了由四 个点和七条连线构成的一个图。于是七桥问题就被转化成为这样的数学问题： ( 口 图1 2k o n i g s b e r g 七桥问题的示意图 那么e u l e r 当时是怎么解决这样一个问题的呢? 他想，如果能用笔在图上， 一笔画出一个回路，那么是不是就可以解决了呢。于是，e u l e r 转而研究一笔画 成的图形应该具备怎么样的性质。如果能够一笔画出的图形，一定只可能有一个 起点和终点并且中途所经过的每个点都能包含进去的，那么除起点和终点之外的 每一个点都只能有偶数条线段与它相连。所以，如像使其起点与终点最后在一起 的话，那么只能其中的节点只与偶数条线相连接。e u l e r 还进一步地阐述这一条 件的充分性。而从图1 2 中四个点来说，每个点都是有三条或五条线通过的，所 以是不能一笔画出这个图形。这就是说，不重复地一次走，并且经过图1 1 中的 七座桥是绝对不可能的。 1 1 2 随机图理论 在e u l e r 解决了七桥问题之后，图论并没有得到快速的发展。但是在1 9 3 6 年 出版的第一部有关于图论的专著之后，图论才开始得到快速而迅猛的发展与壮 大。在2 0 世纪6 0 年，由来自匈牙利的两位数学家e r d o s 和r e n y i 所建立的随机 图理论被大家认为是在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究的先河【3 】。他们 在研究随即图模型的时候，发现任意两个节点之间，都有一条概率都是p 相连接 的边。而一个期望值为p e n ( n - 1 ) 2 】的随机变量是由含个节点的e r 随机图中边 的总数构成。这是他们研究中的重大发现也为后人继续研究其规律做出了重要贡 献。 他们系统性地研究了e r 随机图的性质与概率p 之间的关系在趋近于无限 大时的规律。并使用了如下定义：几乎每一个e r 随机图，都具有某种性质q ， 如果当趋近于无限大时产生具有这种性质q 的e r 随机图的概率是1 。他们的 辽宁师范大学硕士学位论文 重要发现是：e r 随机图的许多重要的性质都是突然涌现的。 1 1 3 对小世界的研究 一群人或团体按某种关系连接在一起而构成的一个系统就是一个社会网络。 这里的关系可以是丰富多彩的。如人与人之间的朋友关系，同事之间的合作关系， 家庭之间的联婚关系和企业之间的商业关系等等。以朋友关系为例，很多人可能 都有这样的经历：当你遇到一个陌生人的时候，在与其交往的过程中，你会无意 间发现你和他原来都认识另外一个都是你们朋友的人。那么对于地球上的任意一 个人，他与另外的人之间，平均要通过多少个人才能认识呢? 在2 0 世纪6 0 年代， 美国哈佛大学的社会心理学家s t a n l e ym i l g r a m 就给出了他的推断：地球上的任 意两个人之间的平均距离是六。 我们再来重温m i l g r a m 当年的社会实验是如何操作的。首先，他选定了两个 随机的目标对象：其中一个是美国马萨诸塞州莎朗的一位神学院研究生的妻子， 而另外一位则是波斯顿的一个位证券经纪人。然后他又在遥远的内布拉斯加州和 堪萨斯州找到一批志愿者。m i l g r a m 叫这些志愿者可以通过自己所认识的所有人， 用自己认为尽量少的传递次数来把一封信交到一个给定的目标对象手中。 m i g r a m 在发表于1 9 6 7 年5 月美国出版的今日心理学杂志上的一篇论文中，描述 了一份信件是如何禁用3 步就从肯萨斯州的一位农场主手中转交到马萨诸塞州 的一位神学院学生的妻子的手中，农场主将信件寄给一位圣公会教主，然后教父 又通过自己所认识的人将其转发到莎朗的一位同事，而后这封信就达到了神学院 学生的妻子手里。虽然并不是所有实验都如此成功，但是m i g r a m 根据最终到达 目标者手中的信件的统计中得出，其传递的平均距离只是6 【4 】。实验结果在某个 层面上反映了人际关系中的小世界网络的特征。 m i l g r a m 的实验和其中得出的分析和结论是具有重要影响的。但其实验并不 是很让你信赖的，在实验中实际上只有很少部分的信件最终送到收信人手中，因 此实验的完成率也很低。而m i l g r a m 只送出了3 0 0 封信也就是只找了极少的一部 分人来做实验，即使这些信全都成功送到收信人的手中，用这么少的数据来统计 人际关系网的性质，其可信度也是打折扣的。 1 2 复杂网络中的基本概念 近些年来，人们在描述复杂网络结构的统计特性上又有了长足的进步。为了 更好的描述复杂网络结构，人们提出了平均路径长度，聚类系数还有度分布这三 个概念来帮助解决问题。在这里，我们先介绍复杂网络的这几种基本性质。 1 网络中的图表示 由点集v 和边集e 所组成的图g ；( v e ) 是被抽象成的一个具体网络。其 辽宁师范大学硕士学位论文 中，节点数目记为n = i v i ，边的数目记为m = 蚓如果任意点对o ，力与u ，力对 应同一条边的话，那么网络称为无向网络，不然则称为有向网络。如果队每一条 边都加上相应的权值的话，那么网络就称为加权网络，不然称为无权网络。除此 之外，网络还可能是由多种的节点组合同。图l 一3 给出了几个不同类型的网络的 例子。 丧恢 ( a l( b )( c )( d ) 图1 3 不同类型的网络例子 ( a ) 单一类型节点和边的无向网络；c o ) 不同类型节点和边的无向网络 ( c ) 节点和边权重变化的无向网络；( d ) 有向网络。 2 平均路径的长度 在网络中，节点口和6 之间的距离叱可以定义是连接它们之间的最短路径 上的边数。在网络中，任意两个节点之间的距离的最大值称为网络的直径，可记 为d ，则 d = 啤略 ( 1 1 ) 而网络的平均路径长度三可定义为任意两个节点之间的距离的平均值，则 三= r 二一办 ( 1 - 2 ) - ；n ( n + 1 ) 芦 其中表示网络中的节点数目。 3 类聚系数的有关概念 假设网络中的一个节点f 有岛条边将它和其他节点相连，这毛个节点就称为节 点f 的近邻同。这个墨个节点之间最多可能有吃( 岛一1 ) 2 条边。而这毛个节点实际 存在的边数量和总的可能的边数k , f k , 一1 ) 2 之比就定义为节点f 的聚类系数q ， 即 c = 2 e ( 毛- 1 ) ( 1 - 3 ) 在几何特征上看，上面的式子的一个等价定义为 c ：皇盛塑垄塑三鱼垄塑墼量r 】舢 i = = 一 i 、 与点湘连的三元组的数量 rv 辽宁师范大学硕士学位论文 图1 5 以节点i 为顶点之一的三元组的两种可能形式 在整个网络中的聚类系数c 就是所有节点f 的聚类系数e 的平均值。很明显 地，0 c i ，c = 0 当且仅当所有的节点均为孤立节点的时候，即没有任何连 接边；c = 1 ，当且仅当网络是全局耦合的时候，即网络中任意两个节点都是直 接相连。而对于一个含有个节点的完全随机的网络，当很大时，c = o ( n - 1 ) 。 而许多大规模的实际网络都是具有这样的聚类系数效应，这之间的聚类系数尽量 远小于1 但却比o ( n - 1 ) 要大得多。 1 3 网络拓扑的基本模型及其性质 1 3 i 规则网络 在一个全局耦合的网络当中，一定有边将其中的两点相连。因此，在具有相 同节点数的全局耦合网络中，具有最小的平均路径长度k = 1 和最大的聚类系数 c 。= 1 。虽然全局耦合的网络能够反映许多实际网络具有的聚类性质和小世界的 性质，但其作为实际的网络模拟仍存在很多的不住。 最近邻耦合网络是一个得到大量研究的稀疏的规则网络模型，其特点就是其 中的每个节点都与其附近的节点相互连接。在一个最近邻耦合网络中，且具有周 期边界条件中，包含着个构成环的所有的节点，其中每一个节点都与它左右 各足2 个邻居点相连，这里x 是一个偶数。对较大的k 值，最近邻耦合网络的 聚类系数为 c 。= 3 ( k 一2 、3 - - - - - 二一；昌一 4 ( k 1 ) 4 ( 1 - 5 ) 所以，类似这样的网络是具有高度聚类性质的。但是最近邻耦合网络不是一个小 世界网络模型，当固定定值，该网络的平均路径长度为 乙唼州 ( 刊( 1 - 6 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 这也就解释了在类似一个局部耦合的网络中，是很难实现全局协调的动态过程 的。 在一个常见的规则网络是星型耦合网络。其实由一个中心点与其他的n 一1 个点相连接而构成的，并且其他的节点都只与中心点相连接，它们彼此之间却不 连接。星形网络的平均路径长度为 k - 2 一端卅( 1 - 7 ) 星形网络的聚类系数为 = 等一l ( 1 - 8 ) 星形网络是一个比较特殊的一类网络模型。假设如果一个节点只有一个点相连 接，那么该节点聚类系数定义为1 。 鳓嘞 飞 侈心 砀i 慕 。 鳓 图1 7 几种规则网络模型示意图 ( a ) 全局耦合网络；c o ) 最近邻耦合网络；( c ) 星形网络模型 1 3 2 小世界网络模型 在规则的最近邻耦合网络中，高聚类的特性是有的但其并不是小世界网络。 在e r 随机图中，小的平均路径长度是有的但却没有高聚类的特性。所以，这些 网络模型作为实际的网络是不能够反映大部分的特性的。因为，大部分实际网络 是既不是完全规则也不是完全随机的网络的。 w a t t s 和s t r o g a t z 于1 9 9 8 年发现了一个小世界网络模型引，称为w s 小世界 模型，一个完全规则网络向完全随机图的过渡的模型。 辽宁师范大学硕士学位论文 o 嚣 一一一! 苎丝坚： ) oo l 仉鬣嗣l 边 图1 - 9 小世界网络模型 此模型可以得到的网络模型的聚类系数以及平均路径长度的特性，都可看作 是重连概率的函数。考虑一个完全规则的最近邻耦合网络当概率较小时，连线后 得到的网络与原规则网络的局部属性差别不大，从而网络的聚类系数变化也不 大。但其平均路径长度却下降非常快。这类既具有较短的平均路径长度又具有较 高的聚类系数的网络就是称为小世界网络。 1 3 3 无标度网络模型 e r 随机图和w s 小世界模型的共同特征就是网络的连接度分布可以用 p o i s s o n 分布来近似的表示，该分布在度平均值( 砖处有一峰值，此后就呈指数快 速衰减。也就是说当k ( k ) 时度为k 的节点几乎是不存在。所以，这样的网络也 称为网络或指数网络。最近的研究对于复杂网络的链接度分布函数具有幂律形 式，这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度既称为不标度网络。 b a r a b a s i 和a l b e r t 提出了一个无标度网络的模型，现被称为b a 模型为了解 释幂律分布的产生机理。 图1 1 0b a 无标度网络的演化 1 4 网络同步的意义和国内外研究现状 早在上个世纪9 0 年代，信息技术得到快速发展使得整个社会大步迈入网络 时代。在整个社会的方方面面，比如电力网络，生物的新陈代谢网络，经济，政 辽宁师范大学硕士学位论文 治，社会关系网络，我们已经生活在一个被各种各样的复杂网络所有充斥的世界 里。所以，对于网络的认识是我们通向未来的必经之路和重要过程。而复杂网络 在给我们的生活带来方便的同时，又有可能也带来麻烦甚至灾难。比如，网络计 算机病毒，通过互联网，可以快速的侵占整个网络。还有通信网络，电力网络， 生物网络和社会网络，其中也不乏引网络而产生的麻烦。如何更好的利用现有的 网络，如何预防正在和即将带来的麻烦，这就是对复杂网络研究的意义所在。 相对于国外对于复杂网络的研究相比来说，国内对于发杂网络研究起步是相 对晚些的。但是，国内的学者们也意识到复杂性科学的重要性并且对与复杂网络 的研究也逐渐的发展壮大起来，大量的有关复杂网络的研究的论文从2 0 0 2 年开 始不断的在一些国内外的学术期刊和会议上发表。而后的物理学者们又从统计物 理学角度总结了复杂网络的重要研究结果，概括了关于规则网络，完全随即网络， 小世界网络以及无标度网络的模型。在国际上，b a r r a t ，b a r t h e l e m y 以及v e s p i g n a n i 等人在加权网络的演化模型研究上得出了点权，度和边权都遵从幂律分布，这也 是符合大部分真实网络的性质。 1 5 本文的工作 本文的第一部分主要介绍了复杂网络的发展历程和其研究的基本内容。第二 部分主要概述了网络的一些重要的基本模型，并对这些模型的性质和简单的应用 进行了说明。第三部分对时间混沌系统作为节点构成的三角形网络进行了同步研 究。基于l y a p u n o v 稳定性的定理，通过b a c k s t e p p i n g 方法构造l y a p t m o v 函数， 确定了网络控制器的具体结构以及实现网络投影同步的条件。研究发现，仅对网 络中的一个节点施加控制器就能使整个网络达到稳定的同步状态。进一步通过仿 真模拟验证了理论分析结果的正确性。第四部分提出了一种实现单向链式网络激 光混沌同步的方法。以单模激光l o r e n z h a k e n 系统作为网络的节点，采用单向 链式连接构成网络。利用l y a p u n o v 稳定性定理，确定了网络控制器的结构以及 实现网络同步的条件。研究发现，仅对网络中的一个节点施加控制器就能使整个 网络达到稳定的同步状态。第五部分是对本文的工作总结并对未来的研究工作的 展望。 辽宁师范大学硕士学位论文 2 复杂网络的同步 2 1 复杂网络的完全同步判据【9 - 1 2 1 2 1 1 一般连续时间耦合网络完全同步 一个由含有相同的n 个节点所构成的时间耗散耦合的动态方程的第i 个节点 的状态方程可以写为： 毫= 厂( 毛) + c a h ( x ) ( 2 1 ) 卢l 五= ( 毫n ，墨2 1 ，毫”) 吼”为节点f 的状态变量。常数c 0 为网络的耦合强度。 日( ) ：吼4j 孵为各个节点的状态变量的内部耦合函数。如果所有节点的内部函 数完全相同的话，耦合矩阵么= ( ) 吼舨表示网络的拓扑结构，既满足耗散耦 合条件的吩= o 。 耦合矩阵么是一个无权无向简单的拓扑结构。若节点f 和节g 夏( i ) 之间 有连接，那么吩= = l ，否则吻= = oo _ ，) 。对角元为 吩= 一= 一= 吨，i = l ，2 ，n ( 2 2 ) j - 1j ；l 律j拇j 这里蠡为节点f 的度数。其中彳是对称阵。如果网络是连通的，则么是一个不可 约矩阵。由于矩阵彳为对称矩阵那么除零特征根以外的所有特征根对应的特征向 量构成的n - 1 维子空间横截于特征向量( 1 ，1 ，。1 ) r 。 如果当t 专a o 时有 五o ) - 4 恐( f ) 专一毛( f ) 一占( f )( 2 3 ) 就称动态网络式达到完全同步。因为耗散耦合条件，同步状态s ( f ) 贸“必为单个 孤立节点的解，满足j ( f ) = 厂( s ( f ) ) 。s ( t ) 是孤立的节点的平衡点周期轨或是道混 沌轨道。 对与状态方程式关于同步状态s ( f ) 的线性化其中毒为第一个节点状态，可以 得到如下的变分方程： 辽宁师范大学硕士学位论文 毒= 巧( s ) 缶+ c a v d h ( s ) 磊 ( 2 4 ) 其中o f ( s ) 和脚( s ) 是厂( s ) 和日( s ) 关于s 的j a c o b i 矩阵，令善= 【缶，色，知】则上 式可以写为 乎= 彤( j ) 善+ c d h ( s ) 善a r ( 2 5 ) 记彳r = s 人s - 1 为矩阵彳的j o r d a n 分解。假设 为对角阵，即a = d i a g ( ，五，以) ， 其中 五) 二是矩阵彳的特征根并且 = o 。令7 7 = 【玩，仉，】_ 善s ，有 厅= d f ( s ) r l + c d h ( s ) 孝 ( 2 - 6 ) 上式等价于 唬= 【巧o ) 刁+ 以d 何( s ) 】仇，k = - 2 ，3 ，n ( 2 - 7 ) 在方程式中，仇和五与k 相关。当矩阵a 为非对称阵时，其特征值为复数， 即定义主稳定方程如下： 夕= 【l 矿( s ) + ( 口+ f ) d 日o ) 】y ( 2 8 ) 其最大l y a p u n o v 指数k 是变量口和的函数被叫做动力网络式的主稳定函 数。 如果网络是无权无向连通的简单图的话，那么耦合矩阵的特征根就是实数， 而且可以记成 0 = a 五乃厶 ( 2 9 ) 此时，主稳定方程式可写为 j p = d f ( s ) + a d h ( s ) y ( 2 - 1 0 ) 对应的主稳定函数k 是实数口的函数。定义主稳定函数k 为负的实数口的取 值范围s 为动态网络式的同步化区域则其由孤立节点的动力学函数厂( ) 和内部 耦合函数日( ) 来确定。如果耦合强度与耦合矩阵的每个负的特征值之积都属于 同步化区域，即 c a i | s ，k = 2 ，3 ，n( 2 1 1 ) 即同步流行式是渐近稳定的。 辽宁师范大学硕士学位论文 2 1 2 连续时间线性耗散耦合网络完全同步【1 2 d 6 】 现在我们考虑动态网络式中的内部耦合是线性耦合的情况。整个动态网络的 状态方程为： ， 毫= 厂“) + c 如，i = 1 2 ，n ( 2 - 1 6 ) i = 1 内部耦合矩阵取为对角阵h = d i a g ( r 。，吃，) 孵，其描述了耦合节点变量之 间具体的连接关系。 显然，同步流行式的稳定性是由孤立节点的动力学特性还有偶和强度c 内部 耦合矩阵日以及网络耦合矩阵彳来决定的。 定理2 1 对于动态网络式，如果一1 个刀维的线性时变系统 西= 【巧0 ( f ) ) + 以日】缈，k = 2 ，3 ，n ( 2 1 7 ) 是指数稳定的，那么同步流行式也是指数稳定的。 定理2 2 对于动态网络式，假设存在一个n n 的对角阵e 0 ，以及常数 d 一 0 ，使得对于所有的d 孑有： 巧0 ( f ) ) + 扭】r e + 占【巧( j ( f ) ) + 扭】一吐 ( 2 1 8 ) 这里，l 吼删“为单位阵。如果 以d( 2 1 9 ) 则同步流行式是指数稳定的。 证明首先由不等式以及矩阵彳的特征根式可以知道，所有的特征根均满足 c 五d ，k = 2 , 3 9 * 0 9 n( 2 - 2 0 ) 将上式代入式得到 【巧( j ( f ) ) + 以日】2e + e 巧( s ( f ) ) + 以日】一叹，k = 2 ，3 ，n ( 2 - 2 1 ) 通过l y a p u n o v 函数圪= 矿e c o ，k = 2 ，3 ，可以证明系统式指数稳定，再有定 理2 1 可以得到动态系统式同步流行指数稳定，证毕。 定理2 3 对于由混沌节点构成的网络式，记孤立节点的最大l y a p u n o v 指数为 h 嘣。如果h = 厶，并且 c 五 h 一 ( 2 2 2 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 那么同步流行式是指数稳定的。 2 2 复杂动力网络的完全同步【m 1 】 2 2 1 规则网络的完全同步 1 类型i 网络 类型i 网络的同步化能力是由耦合矩阵么的第二大特征值疋确定。对于节点 度为k 最近邻耦合动态网络式来说对应的耦合矩阵屯是一个循环阵，其第二大 特征值为 。篓s i n 2 ( 等) ( 2 - 2 3 ) 五肿= - 4 s 2i 等l 对任意给定的k ，当网络规模一0 0 时，五。是单调上升的，直至趋于零为止， 而当网络规模足够大时，其网络是无法达到同步。 全局耦合网络对应的耦合矩阵为 = 一+ l 1 1 l 1 一+ 1 1 1 l 一+ 1 ( 2 - 2 4 ) 除了一个零特征根外其余的特征根都为一n 。当网络规模专时，第二大 特征根五肇= 一n 是单调下降的，并且趋近于负无穷大。也就是说全局耦合网络 容易达到同步。 那么具有星形结构的动态网络式所对应的耦合矩阵为 如= 一+ l 1 1 1 11 一lo oo 00 1 o 0 一1 ( 2 2 5 ) 其第二大特征根为如。= - 1 与网络规模是没有关系的即网络的同步化能力与网 络规模是不相关的。 辽宁师范大学硕士学位论文 2 类型网络 类型网络的同步化能力由耦合矩阵4 的最小特征值与第二大特征值之比 厶五确定。 其对应的耦合矩阵厶的特征值满足 五恤五。( 3 万+ 2 ) 2 2 石3 ( k + 1 ) 饭+ 2 ) ，1 - 0 当有足够多的节点个数n d c ，只要概率p 大于一定的阈值p ，该 网络就会达到同步。 辽宁师范大学硕士学位论文 2 2 3 无标度网络的完全同步 2 4 - 2 9 1 无标度网络的完全同步 考虑具有b a 无标度拓扑的连续时间耦合动态网络式的同步化能力。这里仅 针对类型i 网络讨论。 在构造b a 无标度网络时， m o = 坍= 磊，耦合矩阵为如( 磊，忉，五矿而，加为 其第二大特征根。通过仿真发现，五矿( 磊，忉随n 的增大而下降，并且 熙锄( m ，) 2 ( m ) o 即当趋近于无穷大时，五矿( 翕，忉趋近于一个负的常数五矿( 磊) 。对不同的磊和 ，计算相应的五f ( 册，忉，如下图。当m o = m = 3 ，5 ，7 时分别有 五矿( m ) - 1 2 3 2 9 ，- 2 8 7 5 8 ，- 4 6 11 0 ( 2 - 2 7 ) 从图中可以看出，当比较大时，继续增加新的节点不会使b a 网络的同步化性 能下降。 2 3 连续时间时变耦合网络完全同步【3 蚴】 网络中每条边上的耦合强度是相同的，然而许多复杂网络在不同的连接部分 耦合强度是不同的耦合矩阵也不一定对称甚至网络的连接结构也会随着时间的 推移而变化。针对时变的动态网络模型来研究其的同步特性。 一个由个相同节点线性耗散耦合构成的时变动态网络，可以用下面的状 态方程来描述： 毫= 厂( 五) + 吩o ) 日( f ) ，i = 1 ，2 ，n ( 2 - 2 8 ) = 1 j 耐 这里日0 ) 贸描述了在t 时刻节点之间的内部耦合关系，彳( f ) = ( 口疗( f ) ) 。为t 时刻网络的耦合矩阵。若吩o ) = 勺o ，表示在t 时刻从节点f 到节点歹有一条耦 合强度为勺的连接边，p ) = 一吩。这样么( 力不仅描述了网络的拓扑结构也给 ，；l ，耐 出了耦合强度的大小。如果在任意给定时刻，内部耦合矩阵n ( 0 为一常对角0 1 矩阵，耦合矩阵彳( f ) - - - - c ( ) m ，这里c 为常数，的定义如同动态网络式中的 ，那么时变动态力学状态方程就简化为定常数状态方程式。 辽宁师范大学硕士学位论文 假设同步状态s ( 力是时变的，并令毒( f ) = x t ( t ) - s ( t ) 。这里不失一般性，令 五( f ) = j ( f ) ，使得当( f ) = x l ( t ) - s ( t ) 兰0 。将磊o ) 代入动态网络式得到 再令 专( f ) = 厂( 磊o ) + s ( f ) ) 一厂o o ) ) + a u ( t ) h ( t ) 专s ，i = 2 ，3 ，n ( 2 - 2 9 ) j - 2 叫黝 ( 2 - 3 0 ) f 巧0 ( f ) ) + c ko ) 月( f ) a 2 3 ( t ) h ( t ) a 2 。o ) 月o ) 1 d f ( t ，o ) - 1 o p 训“力+ ：a 3 。o 归o ：a 3 , ( t ? i l a n 2o ) ( f )a n 3 ( f ) 日( f )z 2 厂( j ( 嘞+ ) 日( f ) j 定理2 - 4 假设f ：q 专吼“- 1 在正不变集q = x 孵州- 1 、i i i x l l ： r ) 中是连续可微 r o ，y ( t ) ) = d i a g d f ( y ，o ) ) ，d f ( y 一，( f ) ) ) ，y o ) = ( 订o ) ，y t 。o ”r y t ( t ) = s 0 ) + q o ) 专+ l ( f ) ，1 f n 一1 ，0 q o ) l ， s ( t ) = 0 r o ) ，s r o ) ) r f f u ( n - o , y s ( 力q 。( 2 3 4 ) 证明因为f 在凸集o 中是连续可微，有递推的中值定理可得 厂( 毒( f ) + j o ) ) 一厂0 0 ) ) = 巧魄q o ，参) ) ) 专( f ) ，i = 2 ，3 ，n 由上式可得 辽宁师范大学硕士学位论文 f 厂( 磊( f ) + j o ) ) 一厂0 0 ”1f ，a 2 2 0 ) 刀0 ) a 2 ( ，) 日( f ) 1 手( f ) = l i i + f i j i 善( 力 i 厂( 靠( d + j ( r ) ) 一0 0 ) ) l z k ：( f ) 月( f ) q 哪( f ) 刀o ) f ，d f ( y 。( t ，色o ) ) ) 色( f ) 、1a 恐o ) 日。( f ) 吃o ) 日( f ) 1 = i ； l + l ； l 孝( f ) l o x a _ 。o ，色( f ) ) ) 磊) l 口：o ) 月( f ) q 啊o ) 日。( f ) i ：o f c r , ( t ，色( f ”) 一巧o ( f ”0 0 1 = l 00 i 芗( d + d f ( t , o ) 手( f ) 0 0 d f ( y 1 j f ，乞( f ) ) ) 一上矿o ( f ”，j 手( f ) = r ( f ，y ( t ) ) - f ( t ，s ( f ) ) + d f ( f ，o ) 】手0 ) ( 2 3 5 ) 构造l y a p u n o v 函数 y ( f ) = 手r 砖( f )( 2 - 3 6 ) 并对式两边关于时间t 求导, - i p a 得到 矿o ) = 手o ) rp 孑o ) + 手( f ) rp 手( f ) = 手( f ) r d f ( t ，妒p + p ( d f ( t ，o ) ) 手( f ) + 手( f ) r r ( f ，y ( t ) ) - f ( t ，s ( f ) ) rp + p ( f ( t ，y ( ) ) 一r ( t ，s ( f ) ) ) 手( 力 一手o ) r q 孑o ) + 吃孑) r ，孑o ) ( c 2 一c 1 ) 手o ) 丁手o ) o ( 2 - 3 7 ) 由l y a p u n o v 稳定性定理可知，同步误差手会以指数速度收敛到o ，也就是说动 定理2 5 假设函数，：q 一孵n - l 在区域q = i e 孵4 1 l l i x 0 ： ，) 是连续可微 的。又设，对于所有的t ，f ( t ，0 ) = 0 ，j a e o b i 矩阵d f ( t ，力在q 中有界，l i p s c h i t z 连续，且关于时间f 是一致的。若存在一个有界非奇异实矩阵西( f ) ，满足条件 西。1 ( f ) ( 彳( f ) ) r ( f ) = d i a g 2 q ( t ) ，a u ( t ) ，a w ( t ) ) ( 2 - 3 8 ) - 1 ( f ) ( f ) = 破口g 屈( f ) ，厦o ) ，风( f ) ( 2 3 9 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 则动态网络式的同步流行是指数稳定的充分必要条件是线性时变系统 的零解都是指数稳定的。 西= 【巧0 ( f ) ) + 五0 ) 日( f ) 一展o ) 厶】国，k = 2 ，3 ，n ( 2 - 4 0 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 3 利用b a c k s t e p p i n g 法实现三角形网络的混沌投影同步 3 1 引言 自然界中有着