（理论物理专业论文）关于量子力学束缚态求解新方法的若干研究.pdf

中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 易旌伤 p 律占月夕日 摘要 近年来r f r i e d b e r g 教授和李政道教授等人关于求解定态s c h r 6 d i n g e r 方 程基态、低激发态的能级和波函数提出并发展了一种新颖而精巧的理论方法 这一方法在粒子物理、原子核物理、原子分子物理凝聚态物理中都有一定的 应用前景本论文对他们提出的新方法的理论框架、计算技术、优越性作了简 要综述 新方法的求解定态s c h r 6 d i n g e r 方程一般分两步，第一步从势函数中抽取 个标度因子，以此因子做基态能级和波函数的渐近展开，然后通过沿着一条 确定的经典路径积分对展开式中各项依次逐项计算，直到得到满足物理条件 的解若用渐近展开得到的解不满足物理条件，则第二步，利用渐近级数的头 几项作为试探波函数，采用迭代程序尝试寻找收敛的能级和波函数序列，序列 极限就是要求的体系的状态 我们在文中采用r f r i e d b e r g 教授和李政道教授等人发展的渐近展开法求 解包含反屏蔽势的s c h r s d i n g e r 方程基态对于迭代解法，我们给出实例，表 明此新方法的适用范围尚未得到很好的界定，有待于进步研究 3 a b s t r a c t r e c e n t l y , p r o f r f r i e d b e r ga n dt d l e ef o u n da n dd e v e l o p e dan o v e l a n ds u b t l ea p p r o a c hf o rs o l v i n gt h es t a t i o n a r ys c h r s d i n g e re q u a t i o nt oo b t a i n t h eg r o u n ds t a t ea n dl o w - l y i n gs t a t ew i t ht h ee n e r g ya n dw a v ef u n c t i o n t h e n e wa p p r o a c hm a yb ea p p l i c a b l ei np a r t i c l ep h y s i c s ，n u c l e a rp h y s i c s ，a t o m i c p h y s i c s ，m o l e c u l a rp h y s i c s ，a n dc o n d e n s e dm a t t e rp b y s i c s t h es c h e m e ，c o i n - p u t a t i o nt e c h n i c s ，a n dt h ea d v a n t a g ei sr e v i e w e db r i e f l yi nt h i st h e s i s g e n e r a l l yt h e r ea r et w os t e p sf o ro n et os o l v et h es c h r s d i n g e re q u a t i o n i nt h en e wa p p r o a c h f i r s t l yo n ee x t r a c t sas c a l ef a c t o ro u to ft h ep o t e n t i a l ， a s y m p t o t i c a l l ye x p a n d st h eg r o u n de n e r g ya n dw a v ef u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o t h ef a c t o r ，a n db yt h ei n t e g r a t i o na l o n gt h ed e t e r m i n e dc l a s s i c a lp a t hw o r k s o u tt h et e r m si nt h ee x p a n s i o n i nt h i sw a y , o n et r i e st og e tap h y s i c a l l y s a t i s f y i n gs o l u t i o n i fs u c hap h y s i c a l l ys a t i s f y i n gs o l u t i o nc a n n o tb eo b t a i n e d ， t h e ns e c o n d l yo n em a yu s et h ef i r s tf e wt e r m so ft h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o na s t r i a lf u n c t i o n ，i t e r a t i n gt oo b t a i nt w oc o n v e r g e n ts e r i e sf o rg r o u n de n e r g ya n d g r o u n dw a v ef u n c t i o nr e s p e c t i v e l y , t h el i m i to ft h es e r i e sd e n o t e st h eg r o u n d s t a t e w ea p p l yt h ea p p r o a c hd e v e l o p e db yp r o f r f r i e d b e r ga n dt d l e e t ot h es c h r s d i n g e re q u a t i o nc o n t a i n i n gt h ea n t i - s c r e e n i n gp o t e n t i a l ，o b t a i n i n g t h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o nf o rt h eg r o u n de n e r g y w i t hr e g a r dt ot h ei t e r a t i v e m e t h o d ，a ne x a m p l ei sp r o p o s e dt oe x h i b i tt h a tt h ea p p r o p r i a t er a n g eo ft h e n e wa p p r o a c hh a sn o tb e e nl a i no u t h e n c e ，f u r t h e rs t u d yi se x p e c t e d 5 第一章引言 量子系统的束缚态，特别是基态的求解，对理解系统的行为和特性有重要 的意义对处于束缚态的量子系统，基态波函数和能级也是二次量子化方法的 基础，它们由系统的s c h r 6 d i n g e r 方程决定但能严格求解的s c h r 6 d i n g e r 方 程数量很少，因此人们发展了各种方法来求出s c h r 6 d i n g e r 方程的近似解，如 微扰法、w k b 法等但这些方法并非适用于任意形式的势比如下述形式的 非谐振势： y = 百9 2 ( r 2 1 ) 2 ( 1 1 ) 从势的形式可以看出，它包含了坐标的2 次项和4 次项，因此又称为非谐振 势( a n h a r m o n i cp o t e n t i a l ) 这种形式的势之所以具有特别的研究价值，是因 为它可以作为自发对称破缺的简单图象，也可以作为束缚态隧穿的简单模型 但它的微扰波函数不连续，因此需要用其他方法进行处理 关于量子力学基态与低激发态求解，r f r i e d b e r g 教授，李政道教授和赵 维勤教授等提出并发展了一种新颖而精巧的理论方法他们首先导出了可以 求出基态能级和波函数渐近级数的方法【i ，硐，并把这种方法用到了势( 1 1 ) 对 应的量子系统，而后演示了这种方法在其它势基态求解和一些低激发态求解 上的应用在改进求解势( 1 1 ) 的过程中同，他们又在原先的基础上发展出了 新的迭代解法【4 ，b ，九，可以分别求得其基态能量和波函数的一个序列，在一 定的条件下，这两个序列分别收敛，而其极限就是所要求的基态能量和基态波 函数如果第一激发态和基态的能量很接近，用此方法也能对激发态进行研 究用这种新方法，结合原先的渐近级数解，他们得到了势( 1 1 ) 在一维情况 下的基态波函数和基态能量的收敛的序列而后又在任意维下求解了这个势 嗍，并给出了数值模拟结果，因此比较圆满地解决了这个问题但这种方法的 适用范围尚未得到很好地界定 我们的老师，已故的阮图南教授早几年以前就要求我们研读李政道教授 等人所作的这一系列工作他本人十多年以前进入量子色动力学的胶子球理 论研究在关于运动学分析的系统工作完成以后，即把主要精力转移到动力学 理论上他对李政道教授等人的新方法应用于q c d 真空、胶子球形成机制以 及q c d 其他重大问题的研究有较大期望，他曾经说过李先生等人的新方法就 是为了求解量子色动力学而提出的此外，原子核理论也是阮图南老师研究多 7 c h a p t e r1 引言 年并有丰硕成果的一个领域阮老师还计划让我们把新方法用到这个领域 我们还期望，李先生等人的新方法在凝聚态物理、原子分子物理等领域有 广泛的应用 本论文的安排如下；第二章引入新方法的第一步，即得到渐近展开的方 法，并讨论其在非谐振势求解中的应用第三章将这一方法修改后用于球对称 势的情况，这是该方法特别有效的情形然后以此讨论汤川势的求解，并应用 于带有反屏蔽性质的势的基态求解第四章引入新方法的第二步，即得到基态 能量和波函数的迭代序列的方法并在一维情况下讨论此序列的性质在一定 条件下，可以大致判断这个序列是否收敛的并给出个不收敛的例子第五 章将迭代序列的性质推广到高维情况第六章将其用于最低激发态的求解第 七章是全文结论 8 第二章基态能级和波函数的渐近展开 考虑n 维的s c h r 6 d i n g e r 方程1 2 j ； 日西( 刃= e 西( 力( 2 1 ) 其中彳= ( q l ，啦，口) 表示维坐标，圣( 西为基态波函数 h = 一去v 2 + y ( 动 是非相对论粒子的哈密顿量为方便起见，已将质量和普朗克常数取为1 其 中 v 2 = 薹丢l = l 假设v ( o 有下界，并令其最小值为0 ，则； 。 v ( q - ! ) 0( 2 2 ) 为了根据势的耦合强度做渐近展开，对势引入标度因子9 2 ，使得 y ( 蓟= 矿口( 回 ( 2 3 ) 当g 1 时，令 圣( 西= e - 9 5 ( 田( 2 4 ) 其中的指数部分按g 做渐近展开： 夕s ( 神= 夕岛( 刃+ 冀( 矛+ g - 1 岛( 回+ g - 2 & ( o + ( 2 5 ) 对基态能量e 做类似的展开： e = 妒局+ 易+ g - r e 2 + 夕一2 易+ ( 2 6 ) 把这两个展开式代入s c h r s d i n g e r 方程( 2 1 ) ，并令方程两边矿的同幂次项相 等，得： ( v 岛) 2 = 2 v v 岛v 韪= v 2 岛一岛 泛s o - v v 岛s 2 三鬃 v 2 岛s t 一- 2 ( v 剐s 1 7 高 ( 2 7 ) v 岛v 岛= 引v 2 岛一) ( v 岛) 】一易 7 v 岛v & + 1 = v 2 & 一v s , v 鼠一日 9 c h a p t e r2 基态能级和波函数的渐近展开 其中n = 1 ，2 我们看到，原来的二阶偏微分方程已经化成了一系列一阶方 程将展开式取为如上的形式，是受到谐振子解的启发因为在零点附近，y 可以做泰勒展开，第一项为坐标的二次项，即可以用谐振子势做近似而谐振 子势中的圆频率u 在势中为平方，在基态能级中为一次方，在基态波函数的 指数上也是一次方，所以上述步骤中先引入了标度因子，然后以此参考谐振子 的情形做渐近展开 我们把( 2 7 ) 中的第一个方程写为： 1 妄( v 岛) 2 一 ( 酌= e( 2 8 ) 其中e = 0 + 如果把岛看作作用量，则( 2 8 ) 为不含时的哈密顿一雅科比方 程，e 为总能量，势为一”( 矛先考虑势只有一个最小值的情况，不妨设最小 值位于在彳= 0 ，即 v ( o ) = 矿u ( o ) = o 考虑一条两端固定的粒子轨迹； 敢o ) = 0贰t ) = 订 则作用量由如下积分的最小值给出： 岛( 州) = z r ；薹n 删十啪训乳 ( 2 9 ) 其中t 为例子沿轨迹运动的总时间因为v 0 ，所以被积函数恒正，因此此 积分的最小值存在，当粒子沿经典路径运动时取到因为 l i mt e = o 所以当粒子沿经典路径运动时得到的岛就是方程( 2 8 ) 的解易见岛( o o ) = o o ，所以在无穷远处，西o = e - g s o = 0 因为岛的表达式( 2 9 ) 中被积函数恒 正，所以岛单调增 求出岛后，我们就能求( 2 7 ) 的第二个方程因为波函数必须连续，所以 我们要求& ( 刃在彳哥0 处解析，得： 舀= ；( v 2 鳓l ( 2 1 0 ) 1 0 中国科学技术大学硕士毕业论文 考虑平面岛= c o n s t a n t ，其法线方向为经典路径的方向因此定义n 一1 个 新变量： a = t ( 矛，q 2 ( 神，a 一l ( 矛) 使得 v 啦( 国- v s o = 0 ，i = 1 ，2 ，一l ( 2 1 1 ) 若映射( q 1 ，q 2 ，q n ) - - y ( 岛，口) 是一一映射，则我们有了套新的坐标( 岛，n ) ， 在新坐标下t & ( 西= 岛( 岛，q ) ( 2 7 ) 的第二个方程变为： ( v 骈( 甏) 1 v 2 岛_ 岛 ( 2 1 2 ) 删 咧件z 岛淼( 知一目) 仁 其中的积分沿着保持口不变的经典路径同理可求( 2 7 ) 的其他方程的解： 毋= 互1 【v 2 岛= ( v 毋) 2 l 扛。 ( 2 t 1 4 ) = ( 跏) = j ( 岛蒜 护岛叩卵卜e t ) ( 2 1 5 ) 而= 互1 v 2 岛一2 ( v 岛) c y s t ) j 扛。 ( 2 1 6 ) 昆( 功= 昆( 岛，口) = z 邱丽d s o ；【v 2 岛一2 ( v 研) - ( v 岛) 卜易) ( 2 1 7 ) 我们把归一化取为； s ( o ) = 0 ，圣( o ) = 1 ( 2 1 8 ) 至此，就得到了基态能级和基态波函数的渐近展开 虽然这个求渐近展开的方法和微扰论的方法有些相似，但具体到每一阶 的计算，则有很大不同在微扰论中，每一阶都要计算无穷多个矩阵元而在 上述方法中，每一阶项都由沿经典路径的确定积分表示，不需要计算矩阵元 它是一个依赖于g 的渐近级数，g 越大，结果越精确 c h a p t e r2 基态能级和波函数的渐近展开 直接把这个方法应用于一维非谐振势( 1 ，1 ) ，就得到其基态能级和基态波 函数的渐近展开， e o = 1 ，e 1 = 一言，易= 一云 岛= 弓1 一1 ) 2 + 2 ) ，岛= l n 竺笋，岛= 未一磊x 丽+ 2 这个展开与微扰计算的结果一致嗍，但在z = 一1 处波函数不连续因此这个 方法并不能直接应用于非谐振势因为非谐振势有两个对称的零点，所以以一 个零点为渐近波函数指数项积分起始点得到的渐近项，在另一个零点处有第 一类间断点在实际中，先分别得到两个零点对应的渐近波函数项，然后定义 分段函数，把这两个分别在正负半轴连续的渐近波函数在零点处连续可微地 连接成一个在全空间连续的波函数，从而可以作进一步分析，并作为下文将要 提到的迭代法的试探波函数 。 1 2 第三章球对称势情况的应用 对球对称的势，其求解等价于半个坐标轴上的一维s c h r 6 d i n g e r 方程若 势又能写成库伦势加上个无奇性的微扰的形式，则根据上述方法的思想，我 们可以推导出通用的解法因为它对势的性状要求不高，因此有比较广泛的适 用范围 库伦势的哈密顿量为： 甄= 一；v z 一譬 ( 3 - ) 其中 9 2 = z e 2 现在加上球对称的微扰势： h = 皿+ e u ( r )( 3 2 ) 要求u 在原点无奇性设仇和妒分别为皿和日的基态，即 h c = e 砷c 日曲= b e ( 3 3 ) ( 3 , 4 ) 以：e 一卉，足：一i 1 矿( 3 5 ) 按照前述的方法，设 妒= e s( 3 6 ) 代入哈密顿方程( 3 4 ) ，得 一；( v 卵+ ；v 2 s 一譬+ e u 一 ( s 7 ) 考虑到标度因子g 在势、基态能级和基态波函数中的幂次( 3 5 ) ，把渐近展开 取为 s = 9 2 岛+ 岛+ g - 2 岛+ g - 4 s 3 + + g - ( 2 n - 2 ) & + ( 3 8 ) 】3 c h a p t e r3 球对称势情况的应用 以及 e = 9 4 e 0 + 9 2 毋+ 赐+ g - 2 玛+ + g - ( 2 n - 4 ) 风+ ( 3 9 ) 把展开式代入( 3 ，7 ) ，并令方程两边g 的同幂次项相等，得： ( v s o ) 2 = 一2 e o ( 3 1 0 ) v 岛v s , = ；v 2 岛一；一易 ( 3 1 1 ) v 岛v 岛= 一；( v 岛) 2 + ；v 2 毋+ e c 厂一邑 ( 3 1 2 ) v 岛v s 3 = - v s l v 岛+ v 2 岛一局 ( 3 1 3 ) 一般地，对n 1 ，有 v 岛v 岛。= 一薹v ，v 岛。一。互1 ( v & ) 2 + 五1 v 2 岛。l e 2 。 ( 3 1 4 ) v 岛v 岛。= 一v s _ ，v 岛。一。一百( v & ) 2 + 百v 2 岛一l n ( 3 1 4 ) ，n = i 对佗1 ，有 v 岛v 岛州：一壹v 岛v 鼢+ l _ 。+ ：v 2 鼢一踢。+ 。 ( 3 1 5 ) 因为u ( r ) 在r = 0 解析，所以可以移动能量零点，使得 u ( 0 ) = 0 因为整个体系是球对称的，所以基态波函数也只依赖于径向坐标，即s k ( 力= s 竹i ( r ) 归一化条件仍按( 2 1 8 ) 所以( 3 1 0 ) 变为 誓：厢 a r v 得 岛= 一2 局r( 3 1 6 ) 把上式代入( 3 1 1 ) ，得 俨, - - 勘- = - _ 百o s i = ；( 厢一z ) 一e 1 ( 。朋) 因为s l 必须在原点解析，所以 、二赢一1 = o 中国科学技术大学硕士毕业论文 得 岛= 互1 ， 岛= r( 3 1 8 ) 与( 3 5 ) 相符，即渐近展开的零阶项正是库伦势的基态于是( 3 1 7 ) 变成 一0si目o r。1 得 代入( 3 1 2 ) ，得 岛= 一髓r 鲁= 7 1 。2 一了e 1 御一易 要求岛( r ) 在原点解析，得 所以( 3 1 9 ) 给出 ( 3 2 0 ) 变为 为求赐，考虑( 3 1 3 ) 因为 所以( 3 1 3 ) 为 e 1 = 0 s t ( r ) = 0 警：。u ( r ) 一易 百2 u ( r j 一乜 v 2 r ：一2 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 鲁= ；v 2 岛一玛= ；繁+ ；警一场 ( 3 ) 把( 3 2 3 ) 代入上式得 岛在原点解析要求 因而( 3 2 3 ) 变为 等= 互e 石o u + i 1 妙( r ) 一别一e 3 ( 3 2 5 ) e 2 = e 扩( o ) = 0 警瑚 1 5 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) c h a p t e r3 球对称势情况的应用 塑= 一1 0 ( r 2 e u ) a r2 r 2 0 r 一忍。4 同理有 堕=一三脚)】2+；等+71石0&or 2 一甄 2 一f 6 u 【r j j 十i 刁万+ 7 刁f 一地 同样由在零点的解析要求得 毋= 嘉鼢奶l ，：。 用同样的方法可以得到般的情况，有 訾l ：o 由此推出 玩= 冽10 。10 9 ( 以u 虬+ ；乳。 昂= ；v 2 & l ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 既= ；v 2 & 一t i r = 0 ( 3 3 4 ) 从上面对渐近展开各阶项的计算，可以更明显地看出其与微扰论的差别， 不需要计算矩阵元，而能够简单地将各阶项确定下来，各阶波函数都由积分确 定 现在将以上的方法应用于汤川势： y = 一争”= 一譬+ a 譬( _ r + ；) s s ， 取微扰势为 u ( o = 譬( e - a t _ 1 ) 一矿 ( 3 1 3 6 ) 则u ( r ) 在整个定义域上都连续可微，且在r = 0 取到其最小值u ( o ) = 0 因 此可以直接利用上述公式，求出基态能量的渐近展开 e 1 1 9 4 + 凹2 一+ 嘉_ 旦1 6 竺9 4 + t ( 3 3 7 ) 中国科学技术大学硕士毕业论文 我们看到这个展开式有意义要求o 9 2 1 但基态波函数的积分不能表示为 初等函数的形式文献【5 1 也得到了同样的结果 现将这种方法应用于反屏蔽形式的势的计算考虑如下形式的势： 则 设 v ( o = 一譬+ 譬e 知 ( 3 3 8 ) 。e 2 g 2 ；丽 v ( o = 譬( e 打_ 1 ) 一譬 重新定义n 9 2 - + 9 2 ，并取e = 9 2 胁，则势变为 附) = 一譬+ 驴二1 ) ( 3 ，3 9 ) ( 3 4 0 ) 所以势在原点无奇性为使微扰势在原点为0 ，从矿( r ) 和e 中同时减去零点 值，因此 附) = 一譬+ 叫忙一譬+ - ，e ( e - - 1 ) 地 ( 3 4 1 ) 于是可以直接运用前面得到的般方法得： e o = 一；，岛= r ，e 1 = 0 ，研= 0 ，易= 0 誓= e u = ；( e 知一1 ) 一a 马= 1 1 。o 、t 2 e u ，、 = ；a 2 e 警= 秘1 岳( r 2 e u ) 一i a 2 e 及= v 2 岛乙= 科1 矾o f r 2 第) l 。譬 喾= 一 ( e u ( r ) ) 2 十v 2 s ；一譬 历= ；v 2 & l 删。萨1 磊a ( r 2 等) l ：。2 喾 1 7 ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) k i l d 一矿 e r溉 为因 c h a p t e r3 球对称势情况的应用 所以反屏蔽势的基态能基的渐近展开为 e = 一争+ k + 可3 a 2 e + 筹+ 面5 c a 4 + ( s 4 9 ) 对上述各a & 西积分，即得到& ，从而按前面( 3 8 ) ，得到基态波函数指数 项s 的展开式 从基态能量以及基态波函数指数项s 的展开式知，当a 矿1 这种计 算方法有效介子是正反夸克组成的束缚体系，有关的相互作用只有电磁相互 作用( c o u l o m b 势) 和强相互作用( 反屏蔽势) 我们希望这里某些结果可用于 在介子谱的计算中 第四章基态能量和波函数的迭代求解 考虑s c h r s d i n g e r 方程( 6 】： 一；v 2 + y ( 面 妒( 而= e 妒( 动 ( 4 1 ) 把其中的势y ( 西分离为两项，使得 u ( q 3 = y ( 十 ( 矛( 4 2 ) 假设u ( 西的s c h r s d i n g e r 方程的基态解是已知的，即 一；v 2 + c ，( 曲 妒( 茹= 岛妒( 功 ( 4 3 ) 则令 e o = e + 原方程( 4 1 】就化为 【一互1 v 2 + u ( q 3 一岛】妒( 刃= 陋( 回一纠妒( 旬 ( 4 4 ) 用庐( 茹左乘上式，用妒( 动左乘( 4 3 ) ，并相减，得 一互1 v ( 咖v 妒一妒v 妨= ( 埘一) 埘 ( 4 5 ) 对其在全空间积分，因为表面项在无穷远为0 ，所以得 = 丽f w 妒c d n q ( 4 6 ) 方程( 4 4 ) 可以迭代求解考虑序列 妒1 ，忆，及矗，易，厶， 它们满足 一互1 v 2 十u ( q - ) 一岛 以( 功= 陋( 功一厶】饥一t ( 西 取 妒0 ( 茹= ( i i ) 1 9 ( 4 7 ) ( 4 8 ) c h a p t e r4 基态能量和波函数的迭代求解 于是( 4 5 ) 变为 一妻v ( 咖v 以一识v 妒) = 一厶) 如一l ( 4 9 ) 而( 4 6 ) 变为 厶= 错 ( 4 1 0 ) 一般来说，直接看出v ( q - ) 如何分离出u ( 面比较困难所以通常先凭经验选 择一个试探波函数( 曲，然后以此构造 u ( q - ) 一岛= 炯一 j 1 v 2 炯】 ( 4 1 1 ) 其中的常数岛可以随意指定，比如选取它使得c ，( 面的最小值为0 于是我们 得到了基态波函数和基态能量的迭代序列如果这两个序列收敛，则有 。l i r a 。晶= 及，觇2 妒 于是就得到原方程的基态解 定义 则( 4 9 ) 变为 圳三锵 ( 而兰眇( 西一厶】以一t ( 西( 功 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 一互1 v ( 扩v 厶) = ( 4 1 4 ) 定义“介电常数 后( 动兰2 ( q o 则( 4 1 4 ) 可看作静电场方程，为电荷分布，而电场强度为 d n 三一；k v ：o ( 4 1 4 ) 变为 v 玩= o n 对其做全空间积分，可得 ，( d = 0 2 0 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 中国科学技术大学硕士毕业论文 若以a 代替，在一维情况下，我们可以得到更明确的表达式为方便 起见，假设矿( z ) ，u ( 。) 为偶函数，则妒p ) ，( z ) 为偶函数则只需考虑z 0 的部分此时，( 4 1 2 ) ，( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 变为 胁) = 豁 风= 一；克( z ) 丘( z ) ( z ) = d ：( z ) 因为妒( 0 0 ) ；0 ，所以上) n ( o o ) = 0 ，所以( 4 2 0 ) 可直接积分得 圾( z ) = 一( 3 ，) d r ，z 因为靠( 王) 为偶函数，所以根据( 4 1 7 ) 的一维表达式 i o a ( y ) d y2 ：0 可得工k 的另_ 个等价表达式； d n ( z ) = j o 。函) d 耖 立即有工) ( o ) = 0 代入的表达式后得 n 。( 司= 一f 扩( 名) ( z ) 一& ) 厶一t ( z ) 如 k p ) = z 。2 ( 名) ( z ) 一厶) 厶一，( z ) 如 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) ( 4 ，2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 从而根据( 4 1 9 ) ，司以积出厶； ，o o，o 。 ( z ) = f ( o o ) 一2 d y _ 2 ( 箩) f 扩( z ) ( z ) 一厶】厶一( z ) d z ( 4 2 5 ) ， j 或 厶p ) - - - f ( 0 ) 一2z 。d y e 一2 ( 暑，) z 护( z ) ( z ) 一晶】厶一- ( z ) 如 ( 4 2 6 ) 根据边界条件f ( o o ) 或厶( o ) 的选取决定用上述公式中的哪个这两个边界 条件般取为1 ，即厶( o o ) = i 或厶( o ) = i ，因为根据( 4 8 ) ，有 施) = 觜= t 口l z i 2 1 c h a p t e r4 基态能量和波函数的迭代求解 能级由( 4 1 0 ) 得出， 厶= 可fw 妒磊_ 万1 d x ( 4 2 7 ) 因此我们可以迭代地求出每一项厶和，从而得到基态波函数和能级的序 列 若我们再假定连续可微的函数 ( 茁) 在z 0 上满足 加( z ) 0 且钮( o o ) = 0 ( 4 2 8 ) 则这个序列有一些特别的性质文献【6 1 为讨论这些性质，定义$ 。使得 仰( z 。) 一厶= 0( 4 2 9 ) 因为加( z ) z 。时，t l ，( z ) 一厶 0 在整个。 0 上成立，则根据( 4 2 3 ) 和 ( 4 2 4 ) 有 d f 。( $ ) 0( 4 3 0 ) 因此根据( 4 1 9 ) 有 矗扛) 0 对切礼成立，且 厶( o ) 厶扛) 厶( o o ) = 1 此外序列有个性质可以用于判断其收敛性在一维情况，陈述如下； 性质；对任意非负整数m 和z ，若在整个茹 0 区间有 ( i ) 兰 ) 丢 ，m ( z ) 五( z ) 厶( z ) 五( z ) 晶+ l ； 0 ，则k + 1 最+ 1 ； 证明：对任意函数f ( z ) ，定义 【司= z 。f ( 。) 如 2 2 ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) 中国科学技术大学硕士毕业论文 则根据( 4 1 8 ) 和( 4 2 7 ) 有 岛+ 【厂m j = 陋，m 】 “3 5 ) 艮l l 朋= i e , + 厶】 “3 6 ) 0 = 【( 叫一晶+ 1 ) ，i ( 4 3 7 ) ( 4 3 5 ) 和( 4 3 6 ) 相减得 ( “t 一晶+ - ) 】_ 【( 伽一轧t ) 厶1( 4 3 8 ) 按( 4 2 9 ) 定义甄+ 1 为 伽( z l + 1 ) 一晶+ 1 = 0 对( 4 3 7 ) 乘以厶( z j + 1 ) ，对( 4 3 8 ) 乘以，i ( z ) ，求差得 五( z l + 1 ) ( 品+ - 一甄) 【厶】= 【知一钆) ( ，m ( z ) ( z m ) 一 ) ，m o l + 1 ) ) 】( 4 3 9 ) 分情况讨论； ( i ) 当( ，m ( z ) ，l ( 卫) ) “ ( 茁) 7 ，l f 十1 ) 4 1 、4 7 7 。件1 在2 x t 1 上，上两式反号所以( 4 3 9 ) 右边大于o 而左边的 ( z l + 1 ) 和 【，m i 因为厂仁) o ，所以也大于0 所以叶1 岛 同理可证( i ) 成立证毕 对于边界条件，( ) = 1 ，已知，i ( 士) 0 ，o ( = 1 ，所以 器】， 1 若此后每级迭代的波函数都满足上述条件，则能级数列单调递增而根据厶 的定义式( 4 2 7 ) 有 0 1 ) ，因此存在束缚态重新定义n 9 2 叶9 2 ，则 一2 2 y ( r ) = 一手一兰( 1 一e 一”) = 【，( r ) 一彬( r ) ( 4 4 1 ) 定义e = 9 2 肪，则 t t ，( r ) = ；( 1 _ _ e - a t ) 满足 w ( o ) = 口c ，w ，( r ) 4 “ ( 5 s ) ) 南 褊 0 ，则 ( 5 9 ) 证明：对任意函数，( ) ，定义 ，( w ) ) 兰上 k ( ) 厂( ) d 彤( 5 1 0 ) 则 【f ( q - ) 】- ( f 口”( ) ) 因此 厶嘛一1 ( q 3 】= 厶( 嚣：l ( ) )( 5 1 1 ) ( 神厶一1 ( 0 j = ( 彤z 罂1 ( ) )( 5 1 2 ) 于是可以模仿一维时的证明，由( 4 1 0 ) 得 + 1 ( 篇) ) = ( w 篇( ) )( 5 1 3 ) 由( 5 1 0 ) 得 西+ z ( z 并( 彤) ) = 翰+ l z 挈( w ) )( 5 1 4 ) 把上两式相减，得 ( + 1 一晶+ ) ( 篇( ) ) = ( ( 一蜀+ 1 ) 工等( w ) )( 5 1 5 ) 把( 5 1 3 ) 中的m 换为c ，得 0 = ( ( 一4 1 ) 疗”( ) )( 5 1 6 ) 把( 5 1 5 ) 乘以，严( 岛+ - ) ，把( 5 1 6 ) 乘以篇+ 1 ) ，相减，并注意到矗”+ 1 ) 和篇( 易+ ) 都是数，得 ( 岛+ t 一局+ 1 ) 开”( & + 1 ) ( z 挈( 彬) ) = ( ( 一晶+ 1 ) ( 斤”( 函+ - ) 搿( ) 一，尸( 彬) 堞( 局+ ) ) ) ( 5 1 7 ) 与一维证明中的式子相同，所以根据一维证明时的讨论，性质得证 高维情形迭代基本方程目前仍是( 4 9 ) 此时为确定每一级的波函数均需 求解一个偏微分方程采用这种迭代存在一定困难，似乎有必要作进一步改 进 第六章低激发态的迭代序列 一般说来，s c h r 6 d i n g e r 方程的基态是我们最关心的因为基态确定后，通 过算符代数或二次量子化等方法即可得到激发态解 1 0 1 但当第一激发态能级 和基态能级很接近，而且我们只对它比较关心时，我们可以利用上节的迭代方 法，将其直接推广用于低激发态的求解 设激发态波函数和能量为 忆= e - s xe = 马d + e ( 6 1 ) 其中e z p ( 一s ) 为基态波函数，易d 为基态能量，是已知的假设e 很小因此 我们有关于基态和激发态的两个s c h r s d i n g e r 方程： h v 2 + y 一岛a p = o h 1 v 2 + y 一马a 】e 一曳= c e s x ( 6 2 ) ( 6 3 ) 把( 6 2 ) 式左乘e - s x ，( 6 3 ) 左乘e 一，相减得 一互1 v ( e - 2 s v x ) = e e - 2 s x ( 6 4 ) 把上式写成迭代方程 一互1v ( c - 2 s v x n ) = e - 2 s x 一l ( 6 5 ) 把迭代的第一项设为试探波函数西 e - s x o = 击 要求试探波函数和基态波函数正交 e - 2 5 x o d 。q = 0( 6 6 ) j 对方程( 6 5 ) 两边做全空间积分，因为在无穷远处基态波函数e - 嬲为零，所 以方程左边为零，因此有 f e - 2 s x d q = o ( 6 7 ) 7 c h a p t e r6 低激发态的迭代序列 即各阶激发态波函数都与基态波函数正交 但方程( 6 5 ) 求出的迭代序列还有一个不确定的积分常数，所以还需要加 限制条件一般地，可以要求在势的最小值口0 处有 x 。( q o ) = x o ( q o )( 6 8 ) 由此就可以初阶求出激发态波函数和能量了 假定势y 是轴对称的，则与第四节的情况一样，在一维情况下，迭代方 程( 6 , 5 ) 可以直接积分，从而可以把迭代序列的每一项都确定地写出来 ) “( z ) = 2 e nf o xe - g s ( v ) d y o o e _ 2 s ( z ) x n 一- ( z ) d z( 6 9 ) 其中对z 的积分从o o 取起是因为根据( 6 5 ) 式，这项积分的结果等于e - 2 s z n ， 而它在无穷远处同妇= e 一5 一样为零对y 的积分从0 取起是因为轴对称 势的第一激发态波函数是奇函数每阶的能量由式( 6 8 ，6 9 ) 确定 第七章结论 本文对于由r f r i e d b e r g 和李政道教授提出并发展的求解定态s c h r s d i n g e r 方程基态、低激发态的能级和波函数的一种新方法，做了简要综述这种新 方法源起自r f r i e d b e r g 教授和李政道教授等人求解包含非谐振势( 1 1 ) 的 s c h r s d i n g e r 方程的努力这个势用传统的微扰法不能有效求解，李先生等人 用他们发展的新方法完满地解决了非谐振势的求解 李先生等人发展的新方法还可针对其他各种势求解定态s c h r s d i n g e r 方 程新方法的求解定态s c h r s d i n g e r 方程一般分两步，第一步从势函数中抽取 一个标度因子，以此因子做基态能级和波函数的渐近展开，然后通过沿着一条 确定经典路径的积分对展开式中各项依次逐项计算，直到得到满足物理条件 的解若用渐近展开得到的解不满足物理条件，则第二步，利用渐近级数的头 几项作为试探波函数，采用迭代程序尝试寻找收敛的能级和波函数序列，序列 极限就是要求的体系的状态 我们看到，虽然求得的渐近级数有时与微扰论的结果一致，但在求解的细 节上明显地有别于微