（计算数学专业论文）弦截法的分形动力系统.pdf

鲁 鼍 l p o p 饿 i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 丛啡 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东：i l n 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盆盏本 e l 期：2 窆【q ：s ：墨9 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 日 电话： 邮编： 峰 艄 - _ ， ， ，- 啦 摘要 牛顿法是求解非线性方程的经典方法，具有很高的收敛速度。弦截法在牛 顿法的基础上，利用差商来回避导数值的计算。本文推导了牛顿迭代法的各种 改进方法。推广得到带下山因子力的单点弦法和带下山因子a 的双点弦法。 收敛域、j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集是复平面上通过简单函数迭代产生的复杂 结构分形集。本文给出参数收敛域和初值收敛域的定义，并以三次单位根和四 次单位根情形为例，绘制复迭代动力系统单点弦法和双点弦法在复平面上的收 敛域。定义了单点弦法带双参数的广义m a n d e l b r o t 集，并画图作出它的截集。 最后利用双点弦法的迭代函数的双初值的复映射，给出了推广的j u l i a 集和 m a n d e l b r o t 集的定义，并作出了不同初值下广义m a n d e l b r o t 集和给定参数下 j u l i a 集的二维截集。 关键词：分形；弦截法；收敛域；m a n d e l b r o t 集；j u l i a 集 - r k i j - i k i h a b s t r a c t n e w t o nm e t h o di sac l a s s i cn u m e r i c a lm e t h o df o r s o l v i n gn o n l i n e a r e q u a t i o n s o nt h eb a s i so fn e w t o nm e t h o d ，s e c a n tm e t h o du s e dt h ed i f f e r e n c e q u o t i e n t i n s t e a do fc a l c u l a t i n gt h ev a l u eo fd e r i v a t i v e h i st h e s i sd e r i v e s i m p r o v e m e n t so fn e w t o nm e t h o d e x t e n dt h ed e f i n i t i o n so fs i n g l e - p o i n tc h o r d m e t h o da n dd o u b l e p o i n tc h o r dm e t h o d 、 ，i md e s c e n tf a c t o ra j u l i as e t sa n dm a n d e l b r o ts e t so nt h ec o m p l e xp l a n ea r ef r a c t a li m a g e s g e n e r a t e db yas i m p l ei t e r a t i o n i nt h i sp a p e r , d e f m i t i o n so ft h ec o n v e r g e n c ed o m a i n o fp a r a m e t e ra n dt h ec o n v e r g e n c ed o m a i no fi n i t i a lv a l u ea r eg i v e n t h e nw ed r a w t h ec o n v e r g e n c ed o m a i no fs i n g l e p o i n tc h o r dm e t h o da n ds i n g l e p o i n tc h o r d m e t h o do fc o m p l e xf u n c t i o ni nt h ec a s eo fc u b er o o ta n df o u ru n i tr o o t t h e ng i v e s t h ep r o m o t dd e f i n i t i o no fm a n d e l b r o ts e tw i t ht w op a r a m e n t s ，a n ds h o wt h e i m a g e i n t h e l a s t ，w i t ht h ec o m p l e x m a p p i n gb yt h e i t e r a t i o nf u n c t i o n o f d o u b l e p o i n tc h o r dm e t h o d ，w ee x p a n dt h ed e f i n i t i o n so fj u l i as e t sa n dm a n d e l b r o t s e t s ，a n ds h o wt h ei m a g eo fg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e ta n dt h ei n t e r c e p t i o no f g e n e r a l i z e dj u l i as e tw i md i f f e r e n tp a r a m e t e r s k e yw o r d s ：f r a c t a l s ，s e c a n tm e t h o d ，c o n v e r g e n c ed o m a i n ，m a n d e l b r o ts e t ，j u l i a 一 m 目录 摘要。 a b s t r a c t ：i i i 目录 引 一、弦截法及分形动力系统的基础 二、单点弦法的收敛域和j u l i a 集 三、单点弦法的m a n d e l b r o t 集19 四、双点弦法的收敛域和j u l i a 集2 7 五、双点弦法的m a n d e l b r o t 集3 9 结语4 3 参考文献4 7 后记z 1 9 一 - 东北师范大学硕士学位论文 己i 吉 jl f j 分形( f r a c t a l ) - - 词最早是由数学家m a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年在法文专著分形 对象中提出的，用来描述破碎、不规则的形状。随着这一专著的出版，分形 几何成为了一门全新的独立学科。在此之前，早在文艺复兴时期，著名艺术家、 科学家丢勒( a l b e r td u r e r ，1 4 7 1 1 5 2 8 ) 基于正五边形向外无穷复制，生成了一个 分形体，可以说这是最早被发现的分形图形，也是人类研究分形的一个开端。 1 8 8 3 年，著名数学家康托尔( c t f e c a n t o r , 1 8 4 5 1 9 1 8 ) 构造了三分集，即c a n t o r 三分集，这个与实直线相对立的古怪图形，在当时被人们认为几乎是病态的， 如今它已成为分形几何学的最简单、最基础、也最典型的模型。1 8 9 0 年，皮亚 诺( g p e a n o ，1 8 5 8 1 9 3 2 ) 提出了一种能充满空间的曲线皮亚诺曲线。1 8 9 1 年， 希尔伯特( d h i l b e r t , 1 8 6 2 1 9 4 3 ) 也发表短文，提出了一种能充满平面区域的曲 线，这就是著名的希尔伯特曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家柯赫( h y o n k o c h ，1 8 7 0 1 9 2 4 ) 构造出著名的雪花曲线，将这个曲线推广为随机分形则能得到 类似海岸线形状的曲线。1 9 2 5 年柏林大学的克莱默( h c r e m e r ) 组织讨论班学习 朱丽亚的工作，并首次手工绘制了朱丽亚集的图象。1 9 6 7 年m a n d e l b r o t 在科 学上发表题为英国海岸线有多长? 统计自相似性与分数维数的著名论文。 1 9 6 8 年美国生物学家林德梅叶( a l i n d e n m a y e r , 1 9 2 5 1 9 8 9 ) 提出研究植物形态与 生长的“l 系统”方法，8 0 年代l 系统被引入计算机图形学。现在，l 系统是生 成分形图形的最典型方法之一。这些重要的模型的相继出现都预示分形作为一 门新学科的兴起。1 9 7 7 年出版的分形：形状、机遇和维数和1 9 8 2 年出版 的自然界中的分形几何两本专著将分形理论推向一个全新的阶段，标志着 分形几何作为一门独立学科的形成。 牛顿迭代法是种经典的方程求根的数值方法，早在1 8 7 9 年，a r t h u rc a y l e y 就在对这个迭代法进行研究的过程中得到了奇怪的“灰色区域”，1 9 1 7 年，g a s t o n j u l i a 对这些区域的性质进行研究并以他的名字将其命名为“j u l i a 集”。而美国 数学家j h h u b b a r d 最早用计算机直观地得到了这一方法的混沌分形图像。在 东北师范大学硕士学位论文 此基础上，d a v i dj o h nw a l t e r 对只有有限个的情况进行了分析。随后w i l l a mj g i l b e r t 将研究推广到有重根的情况下。同时w a l t e r 、w e g n e r 和c h e n 等人曾先 后采用了牛顿法、正切法、r i c h a r d s o n 外推法等方法构造并研究了在分形学中 占重要地位的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集。此后人们对牛顿迭代法混沌分形图像 进行了更加广泛的研究【1 5 】，通过数学实验得到的图形直观地展现了科学与艺术 相结合的分形之美。 盛中平在2 0 0 8 年提出了弦截法分形问题，引入了单点弦法下山法与双点弦 法的m a n d e l b r o t 集合、参数收敛域、参数j u l i a 集、初值收敛域、初值j u l i a 集 等概念。本文将在此基础上做进一步讨论。 盛中平首次提出了高阶复动力系统( 二阶或高阶差分方程产生的复动力系 统) 的分形问题，经典的分形动力系统都是对一阶复动力系统( 一阶差分方程 产生的复动力系统) 展开讨论。盛中平推广了传统的一阶复动力系统不动点的 概念，引进了二阶复动力系统的不动点的概念，并对二阶复动力系统韵不动点 做了简单分类，定义了吸引不动点、排斥不动点及中性不动点的概念。其二阶 不动点的概念也可平行推广到高阶情形。 本文将首先介绍m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的相关数学基础，给出传统的 m a n d e l b r o t 集和j u l i a 集的定义和相关性质。并介绍牛顿迭代法的各种改进方法： 牛顿下山法、单点弦法、双点弦法等等，以及双点弦法的超线性收敛性。随后 在弦截法中引入下山因子名，得到带下山因子a 的单点弦法和带下山因子旯的 双点弦法。根据这两种迭代构造复映射，并分别给出迭代法的收敛域的定义、 j u l i a 集的定义。给出推广后的m a n d e l b r o t 集的定义。并以三次单位根和四次单 位根情形为例，分别作出了单点弦法和双点弦法的收敛域图形，并给出广义 m a n d e l b r o t 集和广义j u l i a 集的截集。 2 东北师范大学硕士学位论文 一、弦截法及分形动力系统的基础 求解非线性方程的牛顿迭代法 ，+ l _ 一7 f ( 雨x k ) ，k = 1 , 2 , - - - 是一种非常经典高效的方法，具有很高的收敛速度。牛顿法在单根附近具 有平方收敛，是比较高效的数值方法，但是，它对迭代初值选取要求严格，初 值选取不好可能导致不收敛；同时，它每迭代一次要计算一次厂7 ( 吒) 的值，这 在数值计算中势必会增加很多计算量。于是人们对牛顿法进行了改进，得到了 很多类似的数值方法【6 】。 用一个常值代替f ( 魂) ，这就得到了简化牛顿法： 坼+ l2 一2 f ( x k ) ，k = 1 ，2 ， 其迭代函数为缈( x ) = x - 2 f ( x ) ，若矽( 刮= 1 1 - 3 f ) l l 即0 2 f7 ) 2 在 根x + 附近成立则迭代法局部收敛。显然此法简化了计算量，但却降低了收敛速 度。 将牛顿法的计算结果石= 一篇与前一步的近似值吒彳乍力口权平均则 得到新的改进值 x k + l2 2 x , + l + ( 1 一五) 其中参数；4 0 a 1 ) 称为下山因子，即 一旯怒，k = 1 , 2 , - - - 这种方法称为牛顿下山法。选择下山因子元时，应使条件i 厂( 矗+ 。) i if ( x k ) i 成立，从兄= 1 开始，逐次将名减半进行试算，直到l ( 吆+ 。) i 岛或l + 。一i 岛 东北师范大学硕士学位论文 为止。其中q 为残量精度，岛为根的误差限。 根据( x ) 在x k 处导数的定义，在x 附近取点( 6 ，( 6 ) ) ，用差商鱼掣 x 。一d 近似代替牛顿迭代公式中的导数f ( x a ，即 = 一赫地- 1 ，2 ， ( 1 1 ) 上述迭代公式得到的迭代法即称为单点弦截法，即单点弦法。 单点弦法的基本思想可由下图描述： 3 一，a j 0 | | i 么。够i i 3。 图1 1 单点弦法 设方程f ( x ) = 0 在区间( 口，6 ) 内有一个单根x ，f 。( x ) 在区间( 口，6 ) 上不变号， 连接两个端点( x o ，f ( x o ) ) ，( 6 ，( 6 ) ) 作弦 y 一厂( ) ：掣生盟x - - x 0 ) d 一 弦 此弦与x 轴交点横坐标设为 耳= 一赢讹) 若( 鼍) = 0 ，则x = 而即为所求根，否则选取点( 五，厂( 五) ) 和点( 6 ，厂( 6 ) ) 作 4 东北师范大学硕士学位论文 y 一厂( 五) = 掣( x 一_ ) 此弦与x 轴交点横坐标设为 = 而一赢讹) 以此类推写成迭代格式即为 2 以一赢- - v 2 八) + l2 以一7 话f 而，【) 单点弦法的几f q 意义是依次用弦线代替曲线，用线性函数的零点作为函数 f ( x ) 零点的近似值。 与单点弦法类似，根据厂( x ) 在屯处导数的定义，用瓦处的向前差商 笪上盥近似代替牛顿迭代公式中的导数厂，( 吒) ，即 x k x k 以 + t2 一了i 赢厂( 屯) ，七= l ，2 ， ( 1 2 ) 其中，x o ，五为 ) = 0 的根x 。的两个初始近似值。 我们将此迭代公式确定的迭代法称为双点弦法。 双点弦截法的基本思想如下图所示： 一，f 盖j 茁： 托五 0 钐矽： 7 图1 2 双点弦法 东北师范大学硕士学位论文 设方程厂 ) = 0 在区间( 口，6 ) 内有一个单根x ，f 。 ) 在区间( 以，6 ) 上不变号， 连接两个端点( x o ，( ) ) ，( 五，( 五) ) 作弦，弦方程为 y 一( 墨) ：f ( x o - f ( x 。) ( x - x , ) 乇一x o 此弦与x 轴交点横坐标设为 屯2 五一揣鹏) 如果f ( 恐) = 0 ，则x = x 2b p 为所求根，古则选取点( 五，。( 五) ) 和点( 屯，( ) ) 再作弦 少一厂( ) = ! 掣( x x ：) 矗一五 此弦与x 轴交点横坐标设为 屯2 而一瓦x = ) - 一x , 【五) f ( x ：)屯2 而一瓦) 一【五) x 2 以此类推写成迭代格式即为 2 矗一蔬讹) 与单点弦法类似，双单点弦法的几何意义也是用弦线代替曲线，用线性函 数的零点作为函数f ( x ) 零点的近似值。单点弦法在计算过程中只有一个弦端点 是变动的，另一个弦端点是不动的，而双点弦法在计算过程中弦的两个端点都 是变动的。 定理1 1 双点弦法是超线性收敛的，并且它的收敛阶为生：箬1 6 1 8 。 证明：设e k = 坼一x + ，由( 1 2 ) 式得 气+ 2 黾+ 1 - - x * ：1 坼一7 石高( ) 一x + 气+ 2 黾 坼一t ，【) 一x 6 东北师范大学硕士学位论文 ：! 盖2 盘= ! 二! 盖= 立盏 ( ) 一f ( x k 一，) ：丛盏2 刍= ! 二丛兰= ! 监 ( ) 一f ( x k 1 ) 提取因子气吼1 ，并嵌入( & 一一，) ( f ( x k ) - f ( x k 一。) ) ，得 = 掣谢 咯+ 。：【i 等牲】【丛型生丛业k 气一。( 1 3 ) 由t a y l o r 定理， f ( x k ) = 厂( x + 吼) = 厂( x ) + 吼7 ( x ) + 互1e 。2 ”( x ) + 。( 气3 ) 由于f ( x 1 = 0 ，则有 掣：厂，( x + ) + i 1 气一( x + ) io ( e k 2 ) 1 - - 4 - 一= r - + 一p 7 t - e k z 同理得到 丛立：f ，( x ) + i 1 吼一f 一( x + ) + d ( 吼- 1 2 ) e k 一1 z 上述两式作差得出 f ( x k ) 一丛世：l ( e k - - e k _ , ) f 一( x ) + d ( _ 1 2 ) e k吼_ 1 一 由于一以一1 = e k - e k - l ，上式为 同时有 趣逢兰堕监：1 八x ) 2 一一1 将上面两式带入( 1 3 ) 式得到 l 瓦了 东北师范大学硕士学位论文 磅需张。= 4 ， 这个式子表明，双点弦法是收敛的。 f 面我们再来求双点弦法的收敛阶。设双点弦法的收敛阶为p ，即设 i p 。+ 。l k e k ，i e k i i ( 1 e , 一。l ， 将上面的关系式代入( 1 4 ) 式得 k 川p c 蚓k 。佃e 。r 从而得到p = l + l p 由于p 不能取为负数，求解上式得到 p ：委( 1 + 垢) 1 6 1 8 因此，双点弦法的收敛阶为1 6 1 8 ，这就说明了双点弦法是超线性收敛的。 现在我们分别在单点弦法和双点弦法的迭代公式中引入参数a ，就可以得 到单点弦下山法和双点弦下山法： x k + l2 坼一旯蒜厂( ) ，后= 1 ，2 ， ( 1 5 ) 弘“而污商八副纠。， u 。 其中，参数五为下山因子。 砟+ t2 一旯了彳赢厂( 以) ，七= 1 ，2 ， ( 1 6 ) 其中，参数旯为下山因子。 显然，迭代法( 1 1 ) 可以视为( 1 5 ) 在a = 1 时的特殊情形，i i i ( 1 2 ) 是( 1 6 ) 在 兄= l 时的特殊情形。 以上是弦截法的一些基础知识，在这里我们介绍的是对实数的迭代法，而 刘r - 复数，以上的各种迭代法都能给出相应的复迭代。通过这些复平面上的简 单迭代我们就能得到不同定义下的分形图形。 现在我们开始介绍一下分形动力系统中的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集。著名 东北师范大学硕士学位论文 的分形集合j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集都是在复平面上通过简单的函数迭代得到 的复杂分形结构。为讨论这些分形集合，这里我们首先给出j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的一些相关的定义和性质。 j u l i a 集是由法国数学家j u l i a 和f a t o u 在发展了复变函数迭代理论的基础上 获得的。在复平面上，对f ( z ) = z 2 + c 0 c ) 进行迭代，以水平的轴线代表实轴， 垂直的轴线代表虚轴，对于不同的f 值，能生成得到各种各样形状的分形，以 此方式得到的复杂的分形集合称为j u l i a 集。 定义1 1 【7 1 对气e c 及 z + ，若有厂”( ) = z o _ k 有- 。( z o ) = z o ( k = 1 ，2 ，n - 1 ) ， 则将毛称为的，z 周期点。 特别的，当r l = l 时，即有f ( z o ) = z o 时，则称为的不动点。 定义1 2 i s l 兄= ( ”) 7 ( 气) 称为，2 周期点z k = 厂。( 气) ( 七= 0 ，1 ，刀一1 ) 的特征 值。 由于有了特征值的定义，就可以对周期点定义不同的类别。 ( 1 ) 当a = 0 时，称周期点z 。为超吸引周期点， ( 2 ) 当川 1 时，称周期点而为斥性周期点， 根据上面对周期点的几种分类，我们可以就给出j u l i a 集新的定义： 定义1 3 f 8 1j u l i a 集j ，为多项式f 的斥性周期点的闭包，它是不包含孤立点 的不可数的紧子集，如果z ，则是u 竺：o “( z ) 的闭包，那么j u l i a 集是厂 的包含无穷远点在内的每一吸引不动点的吸引域的边界，而且厂在，上的作用 是混沌的。 j u l i a 集同时还有一些其他的等价的定义方法，比较通用的是以下的定义。 9 东北师范大学硕士学位论文 定义1 4 t 8 1 设厂：0 专0 是阶数大于1 的多项式，e 表示c 中那些其轨道 不趋于无穷远点的点的集合，即 o = z c ： i ”( z ) i n 删= 。疋1 5 1 有界的 称此集合为相应于厂的填充j u l i a 集，填充j u l i a 集e 的边界即称为多项式 厂的j u l i a 集，记为以，即= 晖。 j u l i a 集的余集称为f a t o u 集，记为，即f = 互j ，其中e = c w o o j u l i a 集具有以下几个简单性质： 设r 为一个有理函数，即足( x ) = p ( x ) q ( x ) ，x 召。这里尸和q 为没有公约 因子的多项式函数。如果是一个吸引不动点，其吸引盆域为 a ( x o ) = x c ：r 。( x ) x o ( k 寸o o ) ) y 是尺的一个周期为玎的吸引环，则r ”的每个不动点r ( ) ( 待0 ，1 ，n - 1 ) 都有各自的吸引盆，而a ( r ) 是这些吸引盆域的并。 性质1 1 【7 1 ( r ) g ，且包含多于可数多个点 性质1 2 【7 1 只和r k = 1 ，2 ，的j u l i a 集是相同的。 性质1 3 7 1r ( j r ) = j r = r 一1 ( 以) 定义1 5 阴若y 是r 的一个吸引环，则吸引盆域彳( ，) cb = a 以，且 o a ( r ) = 山。其中以( 7 ) 为彳( ，) 的边界，即x o a ( r ) 相当于x 圣彳( y ) 但x 是彳( ，) 中一序列的聚点。 对于j u l i a 集的图形的绘制我们通常使用反函数迭代法或称逆迭代法( i i m ) 来完成，这个算法主要的思想是根据定义1 3 中对j u l i a 集的描述而形成的。对 于绘制填充j u l i a 集的图形，我们则通常使用逃逸时间算法实现，这个算法的思 想主要是应用了定义1 4 的描述来形成的。 下面给出一些关于m a n d e l b r o t 集的定义和性质。 1 0 东北师范大学硕士学位论文 m a n d e l b r o t 集是由法国数学家m a n d e l b r o t 在发展了复变函数迭代理论的基 础上获得的。在复平面上，对f ( z ) = z 2 + c 0 c ) 进行迭代，以水平的轴线代表 实轴，垂直的轴线代表虚轴，当c 固定时，由初始值z 0 = 0 进行迭代，就能生成 一个相应c 值下的图形，我们称这个图形为m a n d e l b r o t 集。当c 值变化时，图 。 形也相应的变化，下面就给出m a n d e l b r o t 集的定义。 在复平面上由初值z o = 0 开始对f a z ) = z 2 + c c ) 进行迭代，以水平轴代 表实轴，垂直轴代表虚轴，迭代能产生一个相对于c 值的分形图形，即 m a n d e l b r o t 集： 定义1 6 【8 1 复平面c 上，令序列c ，f 2 + c ，( c 2 + c ) 2 + c ，不趋向于o o 的c 的集 合m 称为m a n d e l b r o t 集，简称m 集。 此定义等价于以下形式： 定义1 7 嘲设复映射族z ：z 专z 2 + c pec ) ，由初值z o = 0 形成的 m a n d e l b r o t 集为m r = p cl z 。( o ) ) 捌有界) 。 以上定义都只是限定于复映射z ：z z 2 + c c ) 的m a n d e l b r o t 集，将其 推广得到一般复多项式的m a n d e l b r o t 集的定义。 定义1 8 【9 1 设z ：0 一e 是阶数大于l 且以c 为参数的多项式，z o 为初值， 则它的m a n d e l b r o t 集为 m ，= c cl z ( 元) 趔有界) = c ci z ( 气) ) 捌有界 。 本文将把j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的定义作一定的扩展，在单点弦法和双 点弦法的迭代下定义广义的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集，并给出图像。 东北师范大学硕士学位论文 二、单点弦法的收敛域和j u l i a 集 由单点弦下山法的迭代公式( 1 5 ) 可以得到复映射仍。：e 哼0 ， ， = z - ；l 焉亮化) ( 2 1 ) 其中( 旯，6 ) 0 2 ，固定点6 和下山因子旯为参数。 迭代公式( 1 5 ) 即为z k 卅= 仍。( 气) 。 在复平面上f ( z ) 可能会有若干个根，对于某个根z ，复平面上经过迭代后 收敛到z 的点构成的集合即为根z 的收敛域。 定义2 1 迭代函数仍。( z ) 定义如( 2 1 ) 式，设z 0 满足厂( z 毒) = o 。 ( 1 ) 称集合岛。( 驴) 口 z el 吼。( z ) 一扩，忌哼) 为关于参数( 五，6 ) 的根z 枣 的初值收敛域。 ， ( 2 ) 称集合吃( 矿) 口 ( 五，6 ) 0 2i 仍, b k ( 毛) 矿，岔_ ) 为关于初值气的根 z 宰的参数收敛域。 定义2 2 设仍。：0 专0 是以旯和6 为参数的复映射，r z 木e 是迭代函数 仍。( z ) 的吸引不动点。 ( 1 ) 称集合 e 。( z 母) = z 0 i 乙+ l = 伊i , b k ( z ) 、弋z 木) 为吸引不动点z 木关于参数五，6 的初值填充j u l i a 集。并称其边界集合 以。( ) = 峨。( 尹) 为初值j u l i a 集。 ( 2 ) 称集合 e ( 尹) = ( 兄，6 ) e 2i 乙+ 。= 仍。( z 。) 矿) 东北师范大学硕士学位论文 为吸引不动点z 幸关于初值z o 的参数填充j u l i a 集。并称其边界集合 以( 驴) = 皿( 矿) 为参数j u l i a 集。 由收敛域的边界可以做出j u l i a 集的等价定义： 定义2 3 根z 木的收敛域由定义2 1 定义， 。 ( 1 ) 称集合以6 ( 矿) = 蜴。( 扩) 为初值j u l i a 集。 ( 2 ) 称集合厶( z 枣) = o d ：o ( z 奉) 为参数j u l i a 集。 在一般意义下，初值填充j u l i a 集只。0 幸) 与初值收敛域q 6 ( z 幸) 互为补集， 暇。( 扩) = 厶，。( z 卡) ；参数填充j u l i a 集乞( z 幸) 与参数收敛域d = o ( z 宰) 互为补集， ( 尹) = 正。( 扩) 。 ( 一) 三次单位根单点弦法的收敛域 1 算法推导 构造三次单位根情况下，即( z ) = z 3 1 时，相应的单点弦法的迭代格式为： 刮乙) = z t - 2 赢他) 一九舄( z 2 - 1 ) q 以万专 一南( z k 3 - - 1 ) 令缸+ 1 = 诈+ l + 饥+ l ，气= + 饥，a = u + i v ，b = p + i q ，爿f _ r 取z o = 而+ 砜， 经计算得到下面公式： = 气一而a + b i = 一虿( a c + 矿b d ) 山。一等等】f气“2 气一云j 面2 一石f 矿十l y t 一石f 矿j 2 坼+ ，= 一弋( a c 万+ b d ) ， ( b c a d l 虬+ l 2 n 一1 万。 其中 1 4 东北师范大学硕士学位论文 彳= u x k ( x , 2 3 y k 2 ) 一“一巩( 3 吒2 一儿2 ) b = 2 x k y k + x k q + y k p + 2 p q c = p 2 一q 2 + x ? 一y ? + x k p y k q d = 2 p q + 坼g + p y k + 2 x k y k 分别得到了气+ l 的实部和虚部，分别取定b 和初值乙，在平面上以横坐标 为实轴，纵坐标为虚轴，逐点做单双点弦迭代，根据其收敛的根，着不同颜色， 就可以得到三次单位根单点弦法的收敛域。 2 实验结果举例 ( 1 ) z o = 0 时的参数收敛域b = p + i q ，允= 1 图2 i x o = 0 ，y o = 0 三个根的收敛域平均分布，并且关于原点对称。 ( 2 ) 2 = 1 ，b = 1 3 1 3 i 时的初值收敛域 图2 2 p = 1 一3 ，q = 1 3 图2 3 p = 1 3 ，q = - 1 3 这两个图形分别是b 的虚部q 取1 3 时的收敛域，两个图形是对称的，而 1 5 东北师范大学硕士学位论文 | 1 j 都j 仃两种颜色，即只收敛到三个根中的两个根。 ( 3 ) 旯= l ，b = 1 3 + 1 3 i 时的初值j u l i a 集 图2 4 p 2 1 j ，q2l j 图2 5 p 。l j ，g 。一l j 图2 4 和图2 5 中蓝白边界为j u l i a 集，对比图2 2 和图2 3 ，可以看出图中 初值j u l i a 集和初值收敛域的边界基本吻合。 ( 二) 四次单位根单点弦法的收敛域 1 算法推导 ( z ) = z 4 1 ，作出在不同初值情况下双点弦法四次单位根的收敛域。 吲气) = z k - 2 赢他) = 乙一互b 4 _ 兰z k 4 ( 6 一气) = 气一矿褊4 1 h 彳+ 。= 纯( 乙) = 乙一歹i z k 丽4 - - 1 令缸“= + l + 饥+ l ，气= x k + 巩，b = p + i q ，并带入得到 。一蕊c + d i 电一等警一 y k + l y k 一等等】f z 川t 一而7 2l 磁一阿一阿j h ( a c + b d ) ( a d b c ) 吒+ t5 一孑历广+ - 2 y k 一孑历广。 茸中 1 6 东北师范大学硕士学位论文 a = ( 耳2 一y k 2 + p 2 一q 2 ) ( + p ) 一2 ( p q + x k y k ) ( y k + g ) b = ( 砟2 一y k 2 + p 2 - q 2 ) ( 几+ q ) - 2 ( p q + x k y k ) ( x k + p ) c = 【( 2 一儿2 ) 2 4 屯2 y k 2 - 1 u 一4 ( x k 2 - y k 2 ) x k y k v d = 4 ( x k 2 一y k 2 ) x k y k u + 【( 2 - y k 2 ) 2 4 砟2 儿2 1 】1 ， 与三次单位根情形类似，我们得到了气+ 。的实部和虚部，取定b 或取定初 值磊，在平面上以横坐标为实轴，纵坐标为虚轴，逐点做单双点弦迭代，根据 其收敛的根，着不同颜色，就可以得到四次单位根单点弦法的收敛域。 2 实验结果举例 ( 1 ) = 0 ，y o = 0 时的参数收敛域b = p + i q ，a = 1 图2 6 x o = 0 ，y o = 0 可以看到四个根的收敛域平均分布，且关于原点对称。 ( 2 ) a = 1 ，b = 1 3 + 1 3 i 时的初值收敛域 图2 7b = 1 3 + 1 3 ，图2 8b = 1 3 1 3 f 1 7 东北师范大学硕士学位论文 图2 7 与图2 8 是b 的实部p 取1 3 、虚部g 分别取1 3 时情况下的初值收 敛域，图形呈对称的三角形，在它们边缘有明显的锯齿结构，而且都只有两种 颜色，即只收敛到两个根。两个图形都是自身对称的，单并不关于原点对称。 图形的方向与b 的虚部q 取值的符号有关。 1 8 东北师范大学硕士学位论文 三、单点弦法的m a n d e l b r o t 集 根据以旯为f 山因子的单点弦f 山法法的迭代格式， t 以赢胞) 我们可以得到一个以6 和旯为参数的复映射仍。：e 专0 眦心以热他) 使得z k + ，= 仍。( 气) 。则根据m a n d e l b r o t 集的定义，我们得到以6 和a 为参数的 单点弦法的m a n d e l b r o t 集的定义： 定义3 1 吼。：e 专e 是由单点弦法得到的复映射，以6 和见为参数，z 0 为 初值，则单点弦法的m a n d e l b r o t 集为 m ( z 0 ) = ( 五，6 ) 0 2i 气= 伤。( 乙一。) 础有界 = ( 五，b ) ec 2l 仍。( 气) ) 蹦有界) 对于每个不同初值毛，都能得到不同的m a n d e l b r o t 集。相对于经典 m a n d e l b r o t 集，这是一个广义的定义，由于复映射伤。：0 专e 有两个参数，这 个m a n d e l b r o t 集的是复二维的，我们可以通过固定其中一个参数，而获得广义 m a n d e l b r o t 集的一个截集，来考察另一个参数的分布情况。 而当我们取定了b 的值时，即将b 视为一个常数时，则可以将m a n d e l b r o t 集的定义改写为 ( 气) = a cl 既。( z 。) ) 描有界) ， 其与m a n d e l b r o t 集的经典定义无异。 ( 一) 三次单位根单点弦法的m a n d e ib r o t 集 1 算法推导 1 9 东北师范大学硕士学位论文 构造三次单位根情况下，即f ( z ) = z 3 一l 时，相应的单点弦法的迭代格式为： 吲气) = z k - 2 赢讹) = 矿a 嘉三孑，( z k 3 v - k - 1 ) 2 z 女一九石，一乏， t 一南( z 2 - 1 - 1 )t 一瓦丽 令气+ l = x k + 1 + 砒+ 】，z k = x k + 饥，z = u + i v ，b = p + i q ，并且取z o = x o + i y o ， 经计算得到。f 面公式： = 乙一坐= 一了( a c 矿+ b d ) c + d i x k 也一等等】， 元+ t2 乙一2 一虿j f + 【儿一_ 孑万f f 么c + b d ) 砟+ - 2 一气霄 b c a d ) y k + - 2 以一之霄。 其中 a = u x k ( x k 2 3 y k 2 ) 一“一v y k ( 3 x k 2 一y k 2 ) b = 2 x 女y k + x k q + y t p + 2 p q c = p 2 一9 2 + 2 一儿2 + x k p - y t g d = 2 p q + xk q 4 - p y k + 2 x k y k 这样就得到了形如z m = x + h 的迭代式。 将b 视为一个常数，根据m a n d e l b r o t 集的定义 虬= a cl 仍( 缸) ) 榭有界) ， 可以通过以下算法得到m a n d e l b r o t 集的图像： 1 设定最大迭代次数k 和界值m ，为z 取初值； 2 在平面上以横坐标为实轴，纵坐标为虚轴，对将参数五逐点取值； 3 做迭代z = 仍6 ( z ) = x + y ； 2 0 东北师范大学硕士学位论文 4 判断iz 1 2 = ( x 2 + l ，2 ) 是否超过界值m ；若是返回2 ，否则执行5 ； 5 若k k ，返回3 ；否则继续执行6 ； 6 描点着色。 2 视b 为常数时的实验结果举例 ， ( 1 ) b = 0 5 ，2 0 = 0 5 时的m a n d e l b r o t 集 图3 1p = o 5 ，q = 0 ，x o = o 5 ，y o = 0 蓝色区域为m a n d e l b r o t 集，可以看到m a n d e l b r o t 集呈圆形，关于实轴对称。 ( 2 ) b = 2 ，z o = 0 时的m a n d e l b r o t 集 图3 2 p = 2 ，q = 0 ，x o = 0 ，y o = 0 可以看到m a n d e l b r o t 集呈圆形，其中包含若干小的经典m a n d e l b r o t 集图形， 关于实轴具有良好的对称性。 2 l 东北师范大学硕士学位论文 视a 为常数时的实验结果举例 对于不同的初值z o ，可以产生丰富多彩的m a n d e l b r o t 集图形。 ( 1 ) 名= 1 ，z o = 0 ，即x o = 0 ，y o = 0 时的m a n d e l b r o t 集 图3 3x o = 0 ，y o = 0 上面图中蓝色区域即为m a n d e l b r o t 集，可以明显看到它包含三个经典 m a n d e l b r o t 集。图形很整齐，呈1 2 0 。旋转对称。 ( 2 ) 旯= 1 初值气虚部为0 ，实部改变时的m a n d e l b r o t 集 图3 4 ( a ) x o = 0 5 ，y o = 0 ( b ) x o = 2 ，y o = 0 ( c ) x o = 1 5 ，y o = 0 ( 3 ) 初值气实部为0 ，虚部改变时的m a n d e l b r o t 集 图3 5 ( a ) x o = 0 ，y o = 0 5 ( b ) x o = 0 ，y o = 1 ( c ) x o = o ，y o = 2 东北师范大学硕士学位论文 ( 4 ) a = 1 5 ，z o = 0 ，即x o = 0 ，y o = 0 时的m a n d e i b r o t 集 图3 6 五= 1 5 ，x o = 0 ，y o = 0 图中蓝色区域为m a n d e l b r o t 集，可以明显看到经典m a n d e l b r o t 集。图形很 整齐，呈1 2 0 。旋转对称。 ( 二) 四次单位根单点弦法的m a n d e ib r o t 集 1 算法推导 取f ( z ) = z 4 1 ，作出在不同初值情况下双点弦法四次单位根的收敛域。 钿吲气) 7 k - - , 元赢胞) 吃一五高( b - z k ) t 以葫) 即 = 缸一五矿面茹z4 瓦- 1 石丽6 一缸) = 缸一a 矿瓦z k 而4 - - 1 气+ = 纯( 缸) = z , - 2 矿i z k 丽4 - - 令毛+ l = x k + l + 饥+ 1 ，乙= 吒+ 饥，力= u + i v ，b = p + i q ，并带入得到 东北师范大学硕士学位论文 =一而c+di=一一等警一丝a2+塑b：zk x k 1 f ， 乙+ ，2 一而7 2 一t 阿j + 【y t 一 ( a c + b d ) ( a d b c ) 以+ ，2 一孑市儿+ 2 儿一矛：面厂“ 其中 彳= ( 2 一坛2 + p 2 一q 2 ) ( 也+ p ) - 2 ( p q