（应用数学专业论文）随机漫步反射原理及其在金融衍生产品定价上的应用.pdf

硕士学位论文 m a s t e r t s t h e s i s 摘要 随着中国金融市场改革的发展和进一步深入，各式各样的金融产品越来越多地 出现在我们日常的生活中，金融产品的定价也成为大家日益关注的问题。本文中提 到的障碍期权和回望期权曾被k u n i m o t o 与i k e d a ( 1 9 9 2 ) 以及g e m a n 与y o r ( 1 9 9 6 ) 在 连续时间假设和b l a c k s c h o l e s 公式的基础上阐述过。这些方法建立在对合约连续 观察监测上，这就意味着在期权生命期的任何时间都要检验合约的限制，而在很多 时间内这种假设是不合实际的，特别是多区间的金融产品。只有离散的监测是可能 的，在这种情况下，离散时间的算法就要精确给出。本文在c o x - r o s s r u b i n s t e i n 的二叉树模型的基础上，拓展了b o y l e 和l a u 的方法，利用随机漫步反射原理提供 了一个离散化时间模型的方法来解决这些特殊的期权和金融衍生产品定价问题。在 这个框架下，资产价格被认为是随机游走的，期权和金融衍生产品的价格是在风险 中性概率测度下到期时期望价值的贴现。最后将把本文提供的离散化方法的结论和 传统的连续时间模型的结论作比较，体现离散化在计算机处理方面的优越性。 关键词：反射原理；期权定价；金融衍生产品定价 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s a b s t r a c t a l o n gw i t l lt h ed e v e l o p m e n to fc h i n a sf m a n c i n lm a r k e tr e f o r m s a l lk i n d so f f m a n c i a lp r o d u c t st om o r ea n dm o r ei no b rd a i l yl i v e s ；t h ep r i c i n go ff i n a n c i a lp r o d u c t s h a sb e c o m ea ni s s u eo fi n c r e a s i n gc o n c e r n t h ep r o b l e mo fb a r r i e ro p t i o n sa n dl o o k b a e k o p t i o n sw a st a c k l e db yk u n i m o t oa n di k e d a ( 1 9 9 2 ) a n dg e m a na n dy o r ( 1 9 9 6 ) w h o p r o p o s e da c c u r a t ea l g o r i t h m sd e v e l o p e di nac o n t i n u o u s - t i m es e t t i n gu n d e rt h eu s u a l a s s u m p t i o n s o ft h eb l a c k - s c h o l e sa n a l y s i s b o t ht h e s em o d e la l eb a s e do nt h e a s s u m p t i o no f ac o n t i n u o u sm o n i t o r i n go f t h eo p t i o nc o n t r a c t t 1 l i sm e a n st h eu n d e r l y i n g a s s e tp r i c eh a st o u c h e do rc r o s s e dt h eb a r r i e r s h o w e v e r ，i nm a n yc a s e st h i sa s s u m p t i o n i sn o tr e a l i s t i ca n do n l yad i s c r e t em o n i t o r i n go ft h ec o n t r a c ti sp o s s i b l e i nt h e s e s i t u a t i o n sad i s c r e t e - t i m ea l g o r i t h mi sn e e d e dt og i v et h ec o r r e c tr n s w e rt ot h ep r o b l e mo f p r i c i n gb a r r i e ro p t i o n s t h i sp a p e rb a s e so l lt h ec o x r o s s r u b i n s t e i n sb i n o m i a lt r e e m o d e l ，e x t e n d i n gt h eb o y l e l a ua l g o r i t h m , a n du s i n gt h er e f l e c t i o np r i n c i p l ef o rr a n d o m w a l kt h e o r y ，t os o l v ep r i c i n gp r o b l e mo fs o m es p e c i a lo p t i o n sa n ds o m ef i n a n c i a l d e r i v a t i v e s i nt h i sf r a m e w o r k , t h eu n d e r l y i n ga s s e tp r o c e s si sar a n d o mw a l ka n dt h e p r i c eo ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e si sd e t e r m i n e da s t h ed i s c o u n t e dv a l u eo ft h ep a y o f fa t m a t u r i t yu n d e rt h er i s k - n e u t r a lp r o b a b i l i t ym e a s u r e a tl a s tt h r o u g ht h ec o m p a r i s o nw i t h t h ec o n t i n u e s - t i m em o d e lr e f l e c t st h e g o o dn a t u r e o ft h e s em e t h o d st a c k l e d b y c o m p u t e r s k e y w o r d s ：r e f l e c t i o np r i n c i p l e ；o p t i o n sp r i c i n g ；t h ep r i c i n go f f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：童迅 日期：二哆年歹月冲日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 喜壮 日辄呻【月叶日 导师签名： 佰似 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a m s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童途塞握窒厦溢亘i 旦兰生；旦= 生；旦三生蕴查! 作者签名 孝拉 日期：叼年罗月叶日 导师签名： 写 i 慨呻绀月谢一日 竺 举 帆 | | 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 前言 自从股票期权于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易后，期权市场的发 展十分迅猛。现在，在世界各地的不同交易所中都有期权交易，银行和其他金融机 构同时也进行巨额的期权合约的场外交易。期权的标的资产包括股票、股票指数、 外汇、债券和各种商品期货合约。期权赋予其持有者做某件事情的权利，但持有者 不一定必须行使该权利。这一点使期权不同于远期和期货，而且投资者购买一张期 权合约必须支付期权费。 除了标准的欧式期权和美式期权外，金融公司还往往根据投资者的不同需求设 计出特殊的期权，例如障碍期权和回望期权等等，而这些特殊期权的定价问题也是 众多金融机构研究的重点 前面提到的障碍期权和回望期权曾被k u n i m o t o 与i k e d a ( 1 9 9 2 ) 以及g e m a n 与 y o r ( 1 9 9 6 ) 在连续时间假设和b s 公式的基础上阐述过。这些方法建立在对合约连 续观察监测上，这就意味着在期权生命期的任何时间都要检验合约的限制，而在很 多时间内这种假设是不合实际的，特别是多区间的金融产品。只有离散的监测是可 能的，在这种情况下，离散时间的算法就要精确给出。 在本文中，我们利用随机漫步反射原理提供了一个离散化时间模型的方法来解 决一些特殊的期权和金融衍生产品定价问题。在这个框架下，资产价格被认为是随 机游走的，期权和金融衍生产品的价格是在风险中性概率测度下到期时期望价值的 贴现，并且我们将把本文提供的离散化方法和传统的连续时间模型的结论作比较， 能够明显体现出离散化的方法在计算机处理上的优势。 本文的结构是如下安排的。第一部分介绍了随机漫步的反射原理；第二部分介 绍了随机漫步的反射原理在障碍期权上的应用；第三部分介绍了在回望期权上的应 用；第四部分则应用随机漫步的反射原理解决了多区间的触发性衍生资产的定价问 题；第五部分是拓展了b o y l e 和l a u 方法，解决了离散化处理中的一个关键问题， 步数r l 的确定。 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 1 随机漫步的反射原理 假设一质点在t 时刻的值s ( t ) = s ，而在t + l 时刻该质点的值有两种可能 s ( t + 1 ) = s + 1 或s ( t + 1 ) = s 一1 ，我们相应的称为上升一步或下降一步。过了n 个时刻 以后，在t + n 时刻，质点就有了n + 1 个值，s ( t 十n ) = s + ( n - 2 i ) ，其中i = 0 ，n 。我 们现在可以根据这些值建立一个网格，网格上的每一个点表示这个时刻质点的值。 不失一般性，我们令t = 0 ，s = 0 ，出发点p 设为( o ，o ) 。再令p _ - - - - ( n ，j ) 表 示经过j 步上升和旷j 步下降到达的位置，那么我们容易得到从p 到胁的路径的总 厂n 、 数m ，j - i _ l 。下面可以利用反射原理( 见文献5 ) 考虑有吸收壁的随机漫步。 1 1 只有一个吸收壁的反射原理 p p 1 p 2 r x 孽 l 图1 一个吸收壁的反射原理 设p 点所处的水平线为x 轴，l 是一个在x 轴下方吸收壁，距离x 轴m 步( m 是正整数) ，我们接下来就要计算出从p 出发并且触及l 的路径总数。 我们考虑一条触及l 的路径a 可以分成两部分：从p 出发第一次接触到l ： 从接触点到胁。我们可以找到p 点关于l 的对称点p 2 ，则p 2 的位置是( o ，一2 m ) 。 将路径a 的第一部分关于l 对称，再和a 的第二部分连起来，那么就构成了一条从 p z 出发到胁的路径，而这样的路径和原路径是一一对应的。那么只需要计算从p ： 到p 木的路径有多少条就可以得出从p 到黔触及边界的路径有多少。可以计算得到 2 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 从p 。出发到胁的路径总数n 。= ( j 二 。从而可以得到从p 到胁未触及边界的路径 删，= ( 飙0 p 3 p 1 p p 2 p 4 2 有两个吸收壁的反射原理 u l 图2 两个吸收壁的反射原理 我们仍旧考虑一个质点从p s ( o ，0 ) 出发到p 书。这里有两个吸收壁，u 从p e ( 0 ，m ，) 出发，平行于x 轴；l 从p 2 一( 0 ，一m z ) 出发，平行于x 轴( m i 、n k 都是 正整数) ，记m = m 。+ m z 。 令a i 是从p 到p 木的路径中触及到l 的路径所组成的集合；a ：是从p 到p 术的路径 中触及到l 然后接着触到u 的路径所组成的集合；如此下去，a 。就是从p 到黔的路 径中包含依次触及到l 、u 、l 共i 次的路径所组成的集合。同样的，令b 。就是从 p 到黔的路径中包含依次触及到u 、l 、u 共i 次的路径所组成的集合，易知 a j + l a i ，b i + l b i 。记ia i i 为集合a t 中元素的个数，根据容斥原理( 见文献5 ) ， 可以得到触及边界的路径总数为： r n m 1 n ：j = i - 1 ) “1 i a ；i + i b ，| 】，其中r n m 1 表示大于n m 的最小整数。 硕士学位论文 i v i a s t e r s t h e s i s 反复使用反射原理，我们可得l a ；l 和l b i i 。例如确定1 b z i ，我们可以先找到p 关 于u 的对称点p 。( o ，2 m 。) ，然后再取p 3 关于l 的对称点r ( 0 ，一2 m ) 。那么从p 。出发 到p 木的路径数f n1 就和 i 中元素个数相同。如此我们可以得到一般的结果： u 十i “ | b 2 i | = ( j 二卜：。i = ( ，一：吣 o 同理，对每个i l ， i a 2 。i = ( j 二m 卜：。l = ( ，+ 二m ：) 。 从而得到从p 到脚未触及边界的路径数n 毛= n 叫一n ：j 4 硕士学位论文 m a s t e r ，st h e s i s 2 在障碍期权上的应用 障碍期权的收益依附于标的资产的价格在一段特定时期内是否达到了某个特 定水平，一般分为敲出期权( k n o c k - o u to p t i o n ) 和敲入期权( k n o c k i no p t i o n ) 这两类。敲出期权是这样一种期权，即当标的资产价格达到一个特定障碍水平时， 该期权作废：而敲入期权是这样一种期权，即只有当标的资产价格达到一个特定的 障碍水平时，该期权得以存在。 我们不妨以一个下降敲出看涨期权( d o w n - a n d - o u tc a l l ) 为例。 下降敲出看涨期权( d o w n a n d o u tc a l l ) 是一个常规看涨期权，但如果资产价 格达到某一个低于初始股票价格的障碍水平l 时，则该期权作废。 根据c o x ( 1 9 7 9 ) 的二叉树模型作了如下假设： ( 1 ) 市场是有效的，无摩擦的。无风险利率为r 。 ( 2 ) 市场是无套利的，投资者是风险中性的。 1 ( 3 ) 将有效期 0 ，t 平均分成n 个时间段，令a t = 一1 。如果记s l = s 。，( 0 i ) ， n 厘l 那么下一时刻的价格s 。+ 可能有两种结果u6 。和d6 。，其中u = e ”“，d = 三， 。是波动率。根据风险中性假设和无套利假设，我们可以得到p ：! 兰宰， u d 其中p 是价格上升的概率。 ( 4 ) 期权的敲定价为k ，期权的障碍为一m ，其中m 为正整数且满足k 一m 。 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s g s t ( 1 1 ，j ) - m 记v o 为产品当前的价格，v t 为t 时刻产品的价值。 下面我们分析到期日t 时刻每个可能的结果s ，和路径之间的关系。设出发点g 为( o ，0 ) ，在t 时刻的结果s t ：( n ，j ) ，其中j 取从0 到n 的所有( n + 1 ) 个整数， 表示经过j 步上升和n - j 步下降到达的位置，那么我们容易得到从g 到s ，的路径的 总数虬，= ( 匀，其概率为( n p j ( 1 一p ) n j 。易知要使得期权有价值我们只需考虑s t 一n l ，即2 j n - m 的情况。 当n j n - m 竽c i - n - m 其中e + 表示随机变量v t 按等价概率测度求数学期望。 7 硕士学位论文 m a s t e r ，st h e s i s 3 在回望期权上的应用 回望期权就是在期权到期日持有人可以“回望”期权的有效期内原生资产价格 演化的整个历程，选取最低( 高) 的原生资产价格作为敲定价格，购进( 出售) 原 生资产，因此它在期权到期日( t = t ) 的收益为 收益= s ，一m i n s 。( 看涨期权) 0 9 t g l 。 = m a x s 。一s ， ( 看跌期权) u s i s l 。 因此人们又把它称为“买进按低价，卖出按高价”期权( o p t i o n s ：b u ya tt h e l o w ，s e l la tt h eh i g h ) 或称标准的回望期权( s t a n d a r dl o o k b a c ko p t i o n s ) ，是“具 有浮动敲定价的回望看涨( 跌) 期权( 1 0 0 k b a c kc a l l ( p u t ) o p t i o n sw i t haf l o a t i n g s t r i k ep r i c e ) ”。由于这类期权的收益高，因此十分昂贵。对回望看涨期权一旦 有效期内的原生资产的最低价是在到期日达到，那么期权将成为一钱不值，这种情 况的出现将使期权持有人在花去了昂贵的期权金而一无所获。回望期权的收益对原 生资产在期权有效期内价格演化的依赖是很强的，它是强路径依赖期权的一个典型 品种。 用一般的二叉树模型计算回望期权的价格显得比较繁琐，期数的增加会产生冗 长的计算，如果有n 期，就有2 “条路径，例如计算一年期的回望期权时取一周为一 个时间间隔( n = 5 2 ) ，那么速度快的计算机也会很吃力。 我们可以用反射原理简化计算过程。 我们的基本假设仍然和前面障碍期权的假设一样。我们进一步用s ，表示s ，( n ， j ) ，即在n 步中有j 步上升到达的点，其中j = 0 ，1 ，n 。 由于n 一表示n 步中有j 步上升的路径条数，当n 确定时，n n ，是关于j 的函 数。 n ：；( m ) 表示终点为( n ，j ) 点的所有路径中触到下界一u l 的路径条数，其中m 为整数且j n 一m g 的分析，对于s ， s d 4 一厅i j l e 1 v i s = n 0 2 m 2 ( t - t ) l n ( l s ) 取步数n 等于不超过f ( m ) 的最大整数，其中f ( m ) = 1 m 予2 , 五2 ( 了t 矿- t ) 。这时，n 就 是关于m 的函数，找到合适的m ，就能确定1 9 。关于合适的m ，b o y l e 与l a u 已经进 行了很好的研究，这里就不重复了。一旦合适的n 找到，就能帮助我们计算有关障 碍期权的问题。 在本文的第四部分所涉及的金融衍生产品不止有一个障碍，而是多个，那么 b o y l e - l a u 的方法就需要有适当的改进才能适应。 我们考虑一个双障碍的期权，它有一个下界l 和一个上界u ，当标的资产触到 上界或下界时，该期权失效，否则就是一个普通的欧式期权，其余的假设和前面一 样。我们的目标就是找到一个合适的步数r l ，建立一个二叉树，使得上界u 尽量接 近但不大于一层节点，而下界l 尽量接近但不小于一层节点。 按照b o y l e l a u 的方法，我们可以通过上界u 得到，n 是不超过f ( m 。) 的最大整 数，其中f ( i 1 1 1 ) = 1 m 1 孑2 6 面2 ( 酉t - t ) 。同样我们通过下界l 可以得到，n 是不超过f ( m 2 ) 的最大整数，其中f ( m s ) = m i 2 s o 丽2 而( t - t ) a 令符号 x 表示不超过x 的最大整数，那么 f ( m 。) 和 f ( m 2 ) 就可以表示成关于 m 。和m 2 的函数。对于不同的m 。和m 。，我们需要选择那些能使i f ( m 。) = f ( m 2 ) 成立 的值。如果能够找到满足上式的n l 。和m 2 ，那么步数n 随之就确定了，我们就可以进 行下一步计算。 但是我们也知道，找到合适的m ，和m 2 通常是件很困难的事。如果没有找到，那 么我们选择那些m 。和m 2 ，使它们的绝对值i f ( m 。) 卜 f ( m 2 ) l 尽可能的小，然后令计 算期权价值的步数为i f ( m 。) 和 f ( m 2 ) 中的较小值。通过数值计算显示，这种方法 并不影响其最后计算的精确性。 当我们确定了期权定价时所需的步数n 时，我们就要计算有多少个最终的路径 要考虑。由于一个双障碍的期权，它的标的资产既不能触到上界也不能触到下界， 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么有价值的路径的终点一定在u 和l 之间。不妨设一个在上下界之间的终点的坐 标为( n ，j ) ，即总数为n 步，其中有j 步上升。那么， l s u j d n j u j l n ( l s d ) i 垫盟! ! 盟。 l n ( u d )。l n ( u d ) 因此只需考虑在上面范围内的j 即可，这将大大节约计算时间。 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 6 结论 最普遍和最常用的离散化处理期权定价问题的方法就是c o x ，r o s s 和 r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 提出的方法，离散化处理金融产品定价问题能够很好地弥补连 续时间模型在实际中观察和操作上的不足。但离散化也有它的不足，b o y l e 和l a u ( 1 9 9 4 ) 曾指出如果简单的使用该方法会导致离散的结果缓慢地收敛到相应的连续 时间的结果上。但他们同时也指出，这个不足如果能够选择了适当的步数n ，就能 很好地克服，并且提供了处理有关障碍期权的方法。在本文中，我们拓展了b o y l e 和l a u 的方法，并且合理利用了随机漫步反射原理，对一些特殊的期权和多区间的 金融衍生产品提出了自己的定价方法，数值的结果显示了这种二叉树离散方法的有 效性。事实上，我们可以从文中的数据发现本文所提到的离散化方法处理得到的结 果比照连续时间模型得到的结果是非常精确的。由于计算机进行的都是离散化处 理，因此，本文中所提到的定价方法将能被计算机更好地运行，从而能够被更广泛 的应用。 除了文中所提到的期权和金融产品外，离散化的方法能够适用于大部分的金融 衍生产品，特别是当计算机大量使用的今天，离散化处理更能体现其特殊的优越性， 因此我们可以在本文的基础上进一步探讨离散化方法在其他各种特殊期权和衍生 产品定价问题上的使用。 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 参考文献 i 姜礼尚，期权定价的数学模型和方法 m ，高等教育出版社( 2 0 0 3 ) 2 史树中，金融经济学十讲 m ，上海人民出版社( 2 0 0 4 ) 3 a g m a l l i a r i s ，w a b r o c k ：s t o c h a s t i c ( 1 9 8 2 ) ：m e t h o d si ne c o n o m i c sa n d f i n a n c e ，e l s e v i e rs c i e n c eb v ( 中译本：a g 马利亚里斯，w a 布罗克，经济学和 金融学中的随机方法，陈守东等译，上海：上海人民出版社，2 0 0 4 ) 4 】b o y l e ，p p ，【舢，s h ：b u m p i n gu pa g a i n s tt h eb a r r i e rw i t ht h eb i n o m i a lm e t h o d t h ej o u r n a lo f d e r i v a t i v e si ( 19 9 4 ) 6 - 1 4 5 】c o x ，j c ，r o s s ，s ar u b i n s t e i n , m ：o p t i o np r i c i n g ：as i m p l i f i e da p p r o a c h j o u r n a lo f f i n a n c i a le c o n o m i c s7 ( 1 9 7 9 ) ，