（运筹学与控制论专业论文）弹性需求下道路收费的平衡配流模型的研究.pdf

摘要 随着国民经济的发展，城市化进程的进一步加快，使得城市交通 供需矛盾日益突出，交通问题已经成为社会经济发展的主要障碍。道 路收费作为交通管理中的一种有效措施，近年来受到运输经济学家和 交通工程师的关注，并在这个领域里以不同的方式进行着广泛的研 究。本文主要对弹性需求下的拥挤道路收费的平衡配流模型进行了研 究。 本文根据网络用户平衡原则，研究了弹性需求下的交通平衡配流 问题，建立了在弹性需求下与用户平衡条件等价的变分不等式模型， 并通过一个算例分析了模型参数对求解结果的影响。 进一步，研究了弹性需求下的拥挤道路收费问题，建立了广义的 双层规划模型，其中上层模型以用户盈余最大化为目标，下层模型为 满足弹性需求下的用户平衡的变分不等式模型。由于现有的非线性规 划的灵敏度分析方法不能直接应用于本文中的城市交通网络平衡问 题，因此，本文通过采用受限制的灵敏度分析方法，设计出了求解拥 挤道路收费问题的启发式算法。最后进行了算例检验分析。 关键词拥挤道路收费，弹性需求，用户平衡，灵敏度分析，变 分不等式 a b s t r a c t w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to fs o c i a la n de c o n o m yi n c h i n a , t h e u r b a nt r a f f i cp r o b l e mh a sb e c o m eam a j o ro b s t a c l ef o rt h ed e v e l o p m e n t o fs o c i a le c o n o m y c o l l e c t i n gt o l lf o rr o a di a m m e dw i t h 们伍ca sa l l e f f e c t i v em e a s u r ef o rm a n a g i n gt r a f f i c p r o b l e mi sb e c o m i n gm a t t e ro f c o n c e r nf o rt r a n s p o r te c o n o m i s t sa n dt r a f f i ce n g i n e e r s i nt h i sf i e l d , t h e w i d er e s e a r c hh a sb e e nd o n ei nd i f f e r e n tw a y s t l l i st h e s i s m a i n l y d i s c u s s e st h eo p t i m a lm o d e lo ft o l l r o a du n d e re l a s t i cd e m a n d f i r s t l y ，f o rat r a f f i cn e t w o r ke q u i l i b r i u mq u e s t i o nu n d e re l a s t i c d e m a n d ，t h i st h e s i sp r o p o s e sa ne q u i v a l e n tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ym o d e l b yu s i n gt h en e t w o r ku 蚶e q u i l i b r i u mt h e o r y a n dan u m e r i c a le x a m p l ei s g i v e nt oi n d i c a t et h a tt h ep a r a m e t e ro ft h em o d e la f f e c t st h es o l u t i o n so f t h em o d e l f u r t h e r m o r e ，t h eb i - l e v e lp r o g r a m m i n gm o d e lo ft h et o l l - r o a di s d e v e l o p e d 1 1 1 eu p p e rm o d e li sf o rm a x i m u mc o n s u m e rs u r p l u s ，w h i l et h e l o w e rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ym o d e li sf o ru s e re q u i l i b r i u mw i t he l a s t i c d e m a n d t h e nb a s e do ns e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o d ，ah e u r i s t i ca l g o r i t h m i sp r o p o s e dt os o l v et h er e s t r i c t e dp r o b l e mw h i c hi se q u i v a l e n tt oo r i g i n a l u s e re q u i l i b r i u mp r o b l e mw i t he l a s t i cd e m a n d a tl a s t an u m e r i c a l e x a m p l e i sp r o v i d e d k e yw o r d sc o l l e c t i n gt o l lf o rr o a dj a m m e dw i t ht r a f f i c ，e l a s t i c d e m a n d ，u s e re q u i l i b r i u m ，s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名1 錾嘘 日期：皇望年型月丑日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：壹婆导师签名超：i 至日期：竺：z 车兰月兰日 中南大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 城市交通是城市经济结构中重要的组成部分，直接影响着城市的社会经济活 动和城市居民的生活水平。随着国家现代化建设的发展，城市交通的地位显得更 为重要。交通事业的发展有利于生活质量和生产效率的提高，高水平的生产活动 和生活质量对交通条件提出了更高的要求。由于城市人口、车辆及出行活动的增 加，产生了巨大的人、车交通量。交通量过大造成道路负荷过重，车速随之下降， 从而造成交通阻塞。世界上大多数城市交通中存在的主要问题都是交通拥挤。为 了找到缓解城市交通拥挤状况的有效措施，越来越多的运输经济学家和交通工程 师正积极研究城市交通系统和与之相关的各种问题。其中一个主要的研究分支就 是网络交通流。目前，研究人员们遇到的主要问题有：预测各种交通网络改进方 案( 包括增加、扩展线路，提高路面质量等) 和管理规则对运量分布的影响；对 已存在的运量分布状况，提出如何改造和管理交通网络的最优方案。 1 1 国内外网络交通流的研究现状 城市交通网络是由节点通过有限长度的道路连接而成的，它是一个复杂、开 放、自适应和具有突变特征的系统，比如，从出发地到目的地的某条路径拥挤， 并不需要该路径所包含的所有路段都拥挤，只要有一个路段拥挤甚至某一点拥堵 就够了。尽管我们判断这条路径是拥挤的，但出行者却可以通过选择别的路径或 改变出发时刻或改用其它出行工具来避免拥挤。因此，当把交通流研究扩展到网 络范畴时，变数就更大了。网络交通流的形成机理更多地涉及人的行为，而复杂 的交通行为受信息、价值标准、判断准确性以及理性程度的综合影响。 国外学者使用随机效用理论对交通方式选择、出发时间决策、出行目的地选 择和路径选择进行了大量的研究，提出了l o g i t 模型、n e s t e d - l o g i t 模型和概率模 型。另一个著名的关于路径选择的理论就是用户均衡理论，由w a r d r o p 提出、 b e c k m a n n 等人进行数学化、s i n i t l l 证明数学上的存在性和唯一性。用户均衡理 论研究交通分配问题，即把交通需求分析阶段得到的出发地一目的地需求矩阵 ( o d 阵) ，按照一定的路径选择原则分配到交通网络的路段上，得到路径流和 路段流。为体现拥挤效应，车辆在路段上的行驶时间或阻抗是路段交通流量的增 函数。在大量的个体最优决策和长时间行为调整后，同一o - d 对之间所有被使 用的路径的时间是相等的，并不大于任何未被使用路径的时间，这种流量分布状 态就是用户均衡态，在这种状态下，没有人能够通过单方面改变自己的路径来达 到降低自己时间的目的。可以用等价的数学规划或变分不等式构造描述用户均衡 中南大学硕士学位论文 第一章前言 态的数学模型。另外一种择路原则是系统最优原则，它假定所有人的出行能够令 交通网络总时间最小，就是说，有一个中央组织者协调所有人的路径选择行为， 大家也都听从该组织的指挥。如果假设出行者不完全了解整个交通网络的交通状 况，只能凭经验选择对自己有利的路径，就导致随机交通分配模型。 国际上关于网络交通流形成过程研究的文献十分庞大，重要成果主要发表在 t r a n s p o r t a t i o nr e s e a r c h - p a r tb - p a r ta 、t r a n s p o r t a t i o ns c i e n c e 和运筹学刊物上有 研究路段通行能力受限制的( y a n g 、p a t r i k s s o n ) 、有允许路段之间流量相互影响 的( d a f e r m o s 、s m i t h ) 、有研究求解算法的( l e b l a n c 、p o w e u 、d a g a n z o 、l a r s s o n ) 、 有研究将o d 阵与交通分配组合起来的( e v a n s 、b o y c e 、l a i n 、h u a n g ) 、有研究 时间成本双准则交通分配的( d i a l 、l e u r e n t 、y a n g 、h u a n g ) 、有研究变分不等 式的( f r i e s z 、t o b i n 、n a g u m e y ) 、有用双层规划将交通流分配与交通政策结合 起来的( y a n g 、m a r c o t a ，g a o ) ，等等。这些都是研究网络交通流解析模型与算 法的，另一个途径是用模拟方法( m a h n m s a n i ) ，不少商业软件都采用了模拟技 术。 静态网络交通流模型研究交通行为的长期稳态结果，但交通流显然具有时变 特征，我们应该更进一步研究网络交通流的运动过程。动态交通分配( d 1 a ) 模 型就是针对这个问题的，由于问题的极其复杂性，目前的研究主要还是在理论探 讨上，但它是发展智能交通系统( i t s ) 的基础，所以具有非常重要的意义。目 前我国有关部门已经投入大量资金进行i t s 研究，但主要以标准、框架设计、硬 件开发为主，其实，核心的基础理论研究更难。m e r c h a n t 和n e m h a u s e r 在d t a 方面做了开创性的工作，他们发展出一个多起点、单讫点的动态、非线性、非凸 的数学规划模型；f r i e s z 和w k 等人用连续最优控制理论建立模型，r a n 和b o y c e 也使用最优控制理论、但把模型推广至随机交通分配情形；c a r e y 、h e y d e c k 、 s m i t h 、黄海军、l a i n 所做的动态交通分配模型基本上是基于数学规划理论之上 的( 数学规划、变分不等式、互补问题和固定点问题，本质上是一致的，这些工 具近年在动态交通分配模型上得到大量应用) ；d a g a n z o 、l o 则使用元胞机方法 描述车辆在路段上的动态移动，但路径这类宏观选择则依动态均衡原理进行。 国内在网络交通流分配方面的研究工作始于1 9 8 0 年代，由于这个领域比道 路交通流大许多，涉及的学科知识面比较广( 交通行为、微观经济学、图论、最 优化等) ，所以消化吸收国外成果的速度比较慢。静态交通分配模型与算法被王 炜等人引入其开发的城市交通规划软件中黄海军、高自友、张宁、周晶等人在 城市交通网络流方面做出一批进入国际行列的成果，1 9 9 2 年以来在著名刊物 t r a n s p o r t a t i o nr e s e a r c h p a r tb 上发表了1 6 篇论文，并被大量引用。他们研究的 问题包括：多车种交通分布与交通分配的组合模型，动态交通分配模型，瓶颈排 2 中南大学硕士学位论文 第一章前言 队模型，l o g i t 随机均衡分配模型，o d 阵估计，公交车流分配模型，拥挤交通流 收费模型，以及这些模型的求解算法。总的说来，国内的研究工作跟踪多、创新 少，要大批量做出国际先进水平的成果，形成有影响的中国团队，还需要加倍努 力。 1 2 拥挤道路收费问题 研究表明，驾车者在选择出行路径和出发时间时，往往只考虑自己能感知的 成本、不管别人，没有系统的观点或者说没有全局的观念，很难有“系统最优 的概念。 当道路的通行能力充足时，这种“自私”的行为不会影响到其他人的出行。但 是，当交通流量接近通行能力时，出现拥挤，道路上每新增加一个出行单位都会 使系统中已存在的所有成员的利益受损。如果大家都坚持原来的出行，不另外选 择出行路线或改变出发时间，系统就会越来越拥挤，直到瘫痪。经济学家相信解 决这一问题，较好的办法是使用经济手段一对使用拥挤道路进行收费：付费的人 还可以在原来的路上和时段行驶，不想付费的人就另择它路或改变出发时间，这 样，原来拥挤的路段就被缓解了。收取费用的大小等于边际社会成本和边际个人 成本之差，从而使城市道路网络的使用达到最优。 在城市交通严重拥挤的情况下，通过对使用者收费来干预他们的出行方案， 达到引导和调节交通需求，从而缓解交通拥挤。拥挤道路使用收费的主要机理是： 通过收取通行费用，使得部分车辆绕过瓶颈地带而取道较宽松地带；使部分 人避开高峰期出行；通过附加货币的方式增加出行者的旅行费用，降低城市总体 的出行量；通过对私人车辆或小汽车的收费，可以鼓励人们更多地选用效率相对 高的公共交通工具；道路收费所取得的收益可以用于扩展现有的道路网络或者投 资于公共交通和人行道系统。 拥挤道路使用收费从时间维和空间维上可以分为静态收费和动态收费两大 类。 ( 1 ) 仅考虑空间维的拥挤道路使用收费称为静态收费； ( 2 ) 仅考虑时间维而忽视网络拓扑的拥挤道路使用收费我们称为时变收费( 时 变收费亦属于动态收费范畴) ；将时间维和空间维综合考察的拥挤道路使用收费， 我们称为动态收费。 在道路收费系统中，静态收费理论研究得相对成熟，但其严格的限制条件使 其不能很好地反映交通系统的现实特征，近来关于动态收费的研究开始活跃起 来，被视为未来若干年内交通科学中的一个研究热点。 3 中南大学硕士学位论文第一章前言 1 3 本文的主要内容 一般交通网络的用户均衡原理是研究公交网络系统均衡配流问题的基础。本 文首先对一般交通网络系统的确定性w a r d r o p 均衡原理进行了回顾，并对弹性需 求下静态城市交通网络的用户平衡配流模型的等价性变分不等式问题进行了研 究。在此基础上，结合拥挤道路收费理论，建立了广义的双层规划模型，研究了 静态的城市交通网络最优收费方案的求解问题。具体而言，本文的主要工作包括： ( 1 ) 给出弹性需求下用户平衡配流问题的变分不等式模型。证明弹性需求下用户 平衡配流变分不等式模型与用户平衡原理的等价性，在路段出行费用是路段 流量的严格单调增函数以及需求函数是伊d 对间最小出行费用的严格单调减 函数的条件下，指出模型存在唯一最优解。从而为弹性需求下拥挤道路收费 的双层规划模型奠定了基础。 ( 2 ) 利用双层规划模型，在用户盈余最大化的目标下，建立了弹性需求下的拥挤 道路收费模型。 ( 3 ) 介绍了变分不等式灵敏度分析方法。通过证明相关定理，得出可以使用受限 制的灵敏度分析方法研究弹性需求下用户平衡配流问题。在此基础上给出了 求解弹性需求下拥挤道路收费模型的基于灵敏度分析的算法。最后给出详细 的算例，求解得到了优化的收费方案。 4 中南大学硕士学士论文第二章数学规划及变分不等式理论基础 第二章数学规划及变分不等式理论基础 本章主要介绍与本文相关的数学问题，包括：数学规划理论、变分不等式理 论。本章所引结果一般不作证明，详细证明可参看文献【3 】，【5 3 - 5 5 1 ，【5 7 。 2 1 数学规划模型概述 在科学技术、生产实践和日常生活中，经常会遇到各种各样的极小化或极大 化问题，对于这些问题往往可以通过事物的各种量之间的规律关系，用多个变量 的函数在一定条件下的极值问题来进行描述，我们称之为数学规划问题。数学规 划问题一般可以表示为如下的数学标准形式： ( p 2 1 ) m i n f ( x ) s 上g j ( x ) o ，i = 1 , 2 ，m ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) h i ( x ) = 0 ，j = l 2 ，p ( 2 3 ) 其中x 瓴，x 2 ，x 。) r e 4 ，即x 为欧氏空间e ”的疗维列向量，而厂( x ) ， 岛( x ) ( i = 1 ，2 ，m ) ，h j ( 功u = 1 , 2 ，力为x 的函数。八功称为目标函数，式( 2 - 2 ) 称为不等式约束，式( 2 - 3 ) 称为等式约束。 进一步记：x = k b ( 砷s 叩= l 二，搠) ；_ ( 曲= o ( j = 1 ，2 ，p ) ，称x 为问题 僻1 ) 的可行域。若x x ，则称x 为问题( p 2 1 ) 的可行解。若x 。x 具有性质： 存在x + 的某个邻域o + ) = 翻忙- - x * 0 o j ，使得对一切x xnn , ( x ) ，均 有八力之f ( x + ) ，则称x 为问题( p 2 1 ) 的一个局部最优解。若对一切x x ，均有 f ( x ) f ( x + ) 成立，则称x 为问题( p 2 1 ) 的一个全局最优解。 根据目标函数与约束函数的不同形式，可以得到不同类型的数学规划问题。 当m = p = 0 时，不存在约束，称这种数学规划问题为无约束优化问题：若 m + p 0 ，此时存在等式或不等式约束，称这种数学规划问题为约束优化问题。 若厂( x ) ，g ，( x ) ，h ，( x ) 中至少有一个非线性函数，就称问题( p 2 1 ) 为非线性规划问 题。约束非线性规划问题在可行点x 处，不等式约束呈现两种情况： s 中南大学硕士学士论文第二章数学规划及变分不等式理论基础 ( 1 ) 等式成立，即g 。( 习= 0 ，i i ； ( 2 ) 严格不等式成立，即g j ( 习 0 ，此时 岛( x - ) = 0 ( f = 1 , 2 ，聊) 称 为严格互补松弛条件。 与k k - t 定理密切联系的一个函数是 6 中南大学硕士学士论文第二章数学规划及交分不等式理论基础 上( x ，名，历= 厂( 力+ 五g ，o ) + 历( x ) i = 1 j = i 这个函数被称为拉格郎日( l a g r a n g e ) 函数。利用拉格郎日函数， 定理表达的必要条件表示为： v 。l ( x ，名，f 1 ) = 0 g 。( 曲0 ，i = l 2 ，坍 h j ( x ) = 0 ，j = l , 2 ，p x , g 。( x ) = 0 ，i = 1 ，2 ，m 五0 ，i = l ，2 ，m ( 2 1 0 ) 可将k - k - t ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) 对于凸规划问题 p 2 2 】，一般厂和g 。( x ) ( i = l ，2 ，m ) 是凸函数， h j ( x ) ( j = 1 ，2 ，p ) 是线性函数，上述必要条件也是充分条件。 2 2 2 非线性规划的求解算法 一般来说，对于( p 2 2 ) l h 题的求解算法可分为四大类。第一类是可行方向法； 第二类是惩罚函数法；第三类是变尺度法；第四类是广义乘子法。本文主要使用 f r a n k w o l f 方法，它属于可行方向法的一种。在城市交通网络平衡的规划问题中， 主要都是带有非负和线性等式约束的非线性规划问题，下面使用f r a n k - w o l f 法 求解这类问题。 设非线性问题为： ( p 2 3 ) n f i nf ( x ) s 上a x = b 工0 其中a 是朋刀矩阵，秩为m 维列向量， ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 1 8 ) f ( x ) 是连续可微函数。可行域为： d = & i 出= 6 ，x o f r a n k w b l f 算法的基本思想是，在每一次迭代中，将目标函数f ( x ) 线性化， 通过解线性规划来求得下降可行方向，沿此方向在可行域内作一维搜索得到新的 迭代点。一般用一阶泰勒多项式逼近f ( x ) 来实现目标函数的线性化。设已知可 7 中南大学硕士学士论文第二章数学规划及变分不等式理论基础 行点x i ，将厂( 功在x 处展开为： 厂( x ) = f ( x ) + v f ( x ) r ( x x ) = v f ( x ) x + l 7 r ( x ) 一可歹( x ) r x 】( 2 1 9 ) 去掉目标函数中的常数项，将0 2 3 ) 改写为如下形式： ( l p 2 4 ) r a i nv f ( x 量) ，x s t x d 由线性规划的基本性质 6 0 1 可知，皿p 2 4 ) l h 题的解必为下列的情况之一： ( 1 ) 如果夥o ) o x ) = 0 ，则此时矿就是问题的k - k t 点。 ( 2 ) 如果夥( 矿x x x ) 0 必有夥o ) ( x x ) 0 ，对于所有的y 0 ， 使得： 取。o ) y 0 ，对所有晶0 ) = 0 的f ( 2 2 3 ) v g 。( x ) y = 0 ，对所有乃 0 的f ( 2 - 2 4 ) v h , ( x ) y = 0 ，对所有的扛l ，p ( 2 - 2 5 ) 则x 就是变分不等式v i ( 1 ) 的唯一局部解。 2 3 3 变分不等式问题的求解算法 变分不等式问题的求解方法很多，包括：投影算法、线性化方法、对解化方 法、交替方向法以及其他一些新方法( 如混沌优化方法) 。本节主要是介绍对角化 方法。 对角化方法把v i 问题的求解分解成一系列子问题，其中每一个子问题一般 来说都是一个非线性规划问题。对解化方法的具体思想和收敛性证明可参看文献 3 ，下面给出对角化方法的迭代求解步骤： 第l 步：初始化。从初始可行点x o d 开始，令m = 1 。 第2 步：对解化。求解数学规划子问题： m i n f ( x , x 和1 ) j ；工， 得到解石_ 。 第3 步：收敛性检验。若肛_ 一x 。- 1 占i ，停止( s 是事先给定的迭代精度) 。 否则，令所= 历+ l ，转至第2 步。 其中厂( x ，x m - i ) - 和x 矗。1 ) 凼 ( g f ( x ，x 。一1 ) = e ( x f - - | 9o - 9 m 1 - i ，而，x l m + - l i ，x 】：- 一1 ) ，( f = 1 ，刀) ) 中南大学硕士学士论文 第二章数学规划及变分不等式理论基础 由于上述优化问题是个凸规划问题，可以使用任意适合的优化方法求解。 但对有有些交通问题，由于其特殊的网络结构，使用f r a n k - w o l f 方法或者m s a 算法则比较合适。 2 4 小结 本章将后续各章中所要用到的相关数学问题作了简单介绍。主要包括数学规 划模型及算法方面的知识，变分不等式问题的相关理论等。有关本章引用的定理 证明，在许多非线性规划和变分不等式的文献中均有详细介绍，这里不再赘述。 1 2 中南大学硕士学位论文第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 假设从一个起点至另一个讫点的出行单位数量已知，且连接这对起讫点的路 径有多条，交通量分配就是将这些出行单位数量按照一定的准则分配到各条路段 上，求出各条路段上的交通流量。交通量分配可以为路网规划、设计与决策提供 依据。本文后续章节建立的双层规划模型，就是在网络用户的路径选取择行为符 合用户平衡准则的交通量分配下实现某种目标的优化。事实上，交通网络上形成 的交通量分配是由两种机制相互作用直至平衡的结果：一方面，网络用户试图通 过选择最佳行驶路线来达到费用最少的目的；另一方面，网络用户遇到的阻抗( 即 广义费用) 与系统被使用的情况密切相关，道路上的车流量越大，对应的行驶费 用就越高。在两种机制的交叉作用下，难以找出节点与节点问最佳行驶路线的位 置分布与最后导致的流量分布结果。城市交通网络的平衡配流模型就是用数学模 型模拟这两种机制，并估计出平衡状态下交通网络上交通流量的合理分布。 3 1 符号定义 考虑网络g = ( n ，彳) ，其中为网络节点的集合，彳为网络有向弧( 即路段) 的集合。另有以下其它符号定义： d 产生运量的起始节点的集合，0cn ： d 吸收运量的终讫节点的集合，dcn ； 厂代表一个起始节点，0 ； j 代表一个终讫节点，s d ； 足。一连接0 一d 对，一j 的所有路径的集合； k 一路径集合 七lk k ，协0 ，s d ； g 隋一所研究的时段内从，到j 的交通需求量； g 0 一d 矩阵( g 舟) ，o , s d ； 屯一在弧a 上的交通流量，a a ； x 向量( ，工。，) r ，a a ； f 口一弧口上的阻抗( 出行费用) ，口a ，口= ，。( x 。) ； f 一向量( 一，f 口，厂，口a ； 一0 一d 对，一s 之间路径七上的流量，k k 糟； 1 1 中南大学硕士学位论文第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 珂一向量( ，) r ，k k 腰； 厂向量( ，( 厂坩) ，) r ，d ，s d ； c ? 一o - d 对，一s 之间路径七的阻抗( 出行费用) ，k k 圩； c 厅向量( ，c f , - - - ) ，k k 席； c 向量( ，c ”，) ，d ，s d ； 畦一如果弧口在连接o d 对，一s 的路径七上，其值为l ，否则为0 f 矩阵【i 爹五】，口a ，k k 厅； 一向量( ，矿，) ，d s d ； 占? 一如果路径k 属于连接0 一d 对r - $ 间的路径，其值为l ，否则为o ； i 向量( ，s f ，) r ，o ，s d ： a 一矩阵( ，人j | ，) k k 。 关于路段口与路径七之间流量和阻抗，有如下的关系： c = r 。赈 v k k 。，o ，s d ( 3 1 ) 毛= f 畦 v 口a m七 这两个等式描述了路径路段的关联关系， 阵也可以用矩阵表达上式： c = t r x = f ( 3 - 2 ) 而矿叫做0 - d 对r - $ 的关联矩 关于o - d 对与路径之间的流量，有如下的关系： q 。= 筇 v ，d ，s d 也即 k f = q 3 2w a r d r o p 平衡原则 ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 进行城市交通网络规划时，如何将0 - d 需求量分配到交通网络的各条路段上 去，这是几十年来许多研究学者苦苦思考的问题。人们早就认识到：所需出行时 间、距离及费用等是选择路线的重要基准。但在早期由于缺乏系统理论和计算手 段，人们不得不依靠实际作业者的个人经验和判断。进入5 0 年代后。随着研究 的不断深入，研究人员逐渐认识到，正确的交通量分配方法应能较好地再现实际 交通状态，而这种实际的交通状态是交通网络用户路线选择的结果。基于这种认 1 4 中南大学硕士学位论文第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 识，以使用者路线选择行为分析为基础的交通平衡配流理论逐步发展起来。1 9 5 2 年，w a r d r o p 提出平衡分配原则以后，1 9 5 6 年，b e c k m a n n 建立了平衡理论的数 学极值模型，1 9 7 9 年s m i t h 在对平衡原理进一步细致分析的基础上提出了变分 不等式模型，他们的研究工作使得平衡模型理论形成了比较完整的体系。在 w a r d r o p 平衡原则中，不但假设用户都力图选择出行费用最小的路径而且还假设 司机随时掌握整个网络的状态。下面将给出用户选择路径的原则和该原则的数学 描述( w a r d r o p 平衡配流原则) 。 w a r d r o p 平衡配流原则描述如下： 在起终点之间所有可供选择的路线中，使用者所利用的各条路线上的出行费 用全都相等，而且不大于未被利用路线上的出行费用。 满足这一原则的交通状态被定义为w a r d r o p 平衡状态，上述配流原则也称为 用户平衡配流( 简称u e 配流) 。在平衡状态下，系统达到稳定，此时任何一个用 户在起始点之间都不能找到一条费用更小的线路，即都不能单方面改变路径以降 低出行费用。b e c k m a n n 采用以下数学形式描述w a r d r o p 平衡状态： 舻c 档芬箬： 胙蹦皈( 3 - 乃 其中。为o d 对，和s 之间的最小出行费用。 3 3 弹性需求下的交通平衡配流模型 在交通分析中，需求变动的配流问题是一个很普遍的问题。在现实的交通中， o _ d 需求量会受到交通网运行情况的影响：当网络中两节点间的拥挤程序增加 时，有些出行者可能会改变自己的出行计划或放弃出行，相应的o - d 对之间的交 通量会减少。为了反映这一现象，可用如下的函数来描述这种关系： q 对= p 。( 材。) v r 0 ，s d ( 3 - 8 ) 其中材舟是平衡态时从起点，到终点s 之间的出行费用。d 疗( ) 被称为，n s 的运量 需求函数，它一般是可微的严格单调下降的函数，即“腰增加时，必然下降， 并且存在上限。以下给出弹性需求下交通均衡配流的变分不等式模型v i ： 寻找平衡路段流量x 、o d 需求量g ，使得对所有的x q ，9 q 都有下式成 立。 v i ( 2 ) ： 1 5 中南大学硕士学位论文第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 乞( x ：) ( 屯一) 一p ：( g = r ) ( g 府一g 二) o reo , sed ( 3 - 9 ) a e a 糟 其中：q = ( x ，譬) lx = a ，q = ，f 0 ，q 0 ，f ( x ) = ( ，t 。( x 。) ，。) ， x - - ( ox a ，) a a ，q = ( ，) ，口( 曲为路段出行费用的函数， d ( ) = ( ，仉o ) ，d f f ( - ) 是需求函数p 厅( ) 的反函数。 定理3 1 模型( 2 ) 的解与弹性需求下的u e 配流解等价( 即模型v i ( 2 ) 的解 满足式( 3 7 ) ) 。 i i e 明- 显然( 工，g ) 也是下面数学规划问题的解： n f m z ( x ，g ) = ，( x ) r ( x - - x ) 一w ( g 二厢一g 二) ( 3 - l o ) 糟 q = v f 0 ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) q 0 ( 3 1 3 ) ( 3 4 ) 的拉格郎日函数可写成： 咖z k 卅c 撕，舭，。防 b q 式中l ，都是拉氏算子。其中万= ( 巩，万：) ，乃= ( ，布，) 维数等于网络中路径 数，万2 = ( ，万一，) 维数等于网络中o - d 对数；= ( ，9p ) r 维数等于网络 中o - d 对数e 为单位矩阵，维数等于网络中o - d 对数 由k - k - t 条件知，在最优点( x ，q ) 满足下列一阶必要条件： v ，z ( ，q ) 一乃一r a = 0 ( 3 1 5 ) - d 一1 ( g ) 一万2 + = 0 ( 3 一1 6 ) a ：= 01 7 ) 石厝g ：，= 0 ( 3 1 8 ) 石0 ( 3 - 1 9 ) 。= g 。( 3 - 2 0 ) 1 6 中南大学硕士学位论文 第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 又因为 v r z ( x ，q ) = t ( x ) r ( v ，x ) ( 3 - 2 1 ) 由路段流量和路径流量的关系式( 3 - 4 ) 知 v，x=(3-22) t ( x ) r v ，工= t ( x + ) r = c ( f ) ( 3 2 3 ) 故( 3 1 5 ) 式可改写为： c ( 厂) 一码- z r a = 0 ( 3 2 4 ) 如果疗 0 ，f l 了( 3 1 7 ) 可知砟= o ，由于a 代表o d 对和路径的关联关系， 将万? = o 代入式( 3 - 2 4 ) 得c ? u ) 一巧= 0 ；如果臂= 0 ，由( 3 一1 9 ) 可知万f 0 ， 将万f o 代入( 3 - 2 4 ) 式可知c f ( 厂) 一。= 刀f o ，即舟- c t ( f ) s 0 这就 是说，对应于o - d 对r j 间的拉氏算子。总是小于或等于连接o - d 对子，- s 的 任意路径的阻抗，因此。是起点，和终点s 之间的最小阻抗。表达出了( 3 1 7 ) 所定义的平衡原则，至此定理得到证明。 由d ( ) 函数的单调性知它的反函数w ( ) 也是严格单调函数。如果此时还 有路段出行费用t o o 口) 是关于路段流量吒的可微单调递增函数，则有如下定理： 定n 2 姗，= t ( x 。h 酊黼眦g 卜( 一善甜， t ( x + ) = ( ，口( e ) ，) ，则砂0 ，o ，g ) q 有j ，r w ，q ) y o 。即即o ，q ) 矩阵正定。 证明：有： 啡砌= p _ ) ) 0 ，设y = ( m ，虼，y 肼l ，一，儿坩) ( 其中m 为网络中的路段数，w 网 络中的o d 对数) ，有 y r v f ( x , q ) y2 ：( y l ，。，y ) r v j r ( y l ，y t ) ( 3 2 5 ) + 0 皿+ l ，儿柑) r ( - v g d 1 ( g ”om + l ，靠坩) 。 由d ( ) 函数的单调性知，d 一1 ( g ) 是严格单调减函数，故一v 。d q ( g ) r ：i e 夤g 1 7 中南大学硕士学位论文第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模登 矩阵。又因为路段出行费用t a 。) 是关于路段流量屯的可微单调递增函数，所以 v ，f ( x ) 是正定矩阵。故综合上述分析可知( 3 - 2 5 ) 式大于o 。定理证毕。 故当需求函数d ( ) 是严格单调减函数，路段出行费用，口o 口) 是关于路段流 量屯的可微单调递增函数，则根据定理2 3 、定理2 4 和定理3 2 可推出模型存 在唯一解。 3 4 弹性需求下交通平衡配流模型的求解算法 对角化方法把变分不等式问题v i ( 2 ) 的求解分解成一系列子问题，每一个子 问题等于用数学规划表示的交通平衡配流问题，详细内容可参见 4 5 1 ，【5 6 】，下面 直接给出迭代求解算法。 第1 步：初始化。设置初始可行路段流量k ，白： ，令刀= l 。 第2 步：计算，：= ，口( ) ( v 口4 ) 和d 二l ( q ：) ( v ，o ，s d ) 。 第3 步：在当前路段出行费用下，寻找o - d 对之间的最短路径和对应的出 行费用。令“= i i 皿p ? ” _ “：，如果c ：一d 二l ( g 搿) ，则令g ：一= 虱，g f 一= 0 ； 否则簖- = o ，v k k 。记”= 吩霞”，1 ，：= 9 7 “。其中靠代表o d 对 m 间的需求上限。 第4 步：利用m s a 方法，更新流量： = + 二( 虻一c ) g 1 = g ：+ 二( 1 ，：一g ：) 第5 步勰满足收敛条件；唑掣+ ；掣绝胎 止迭代( 占预先给定的精度) ；否则令刀= 刀+ 1 ，转第二步。 3 5 算例分析 网络如图3 一l ，有两个伊d 对，五个节点，七条路段。网络阻抗函数使用b p r 公式( 3 - 2 6 ) ，o - d 需求函数采用负指数函数( 磊称为0 _ d 潜在需求，张= 2 0 0 ， 张= 2 2 0 ) ，具体形式如式( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 。 1 8 中南大学硕士学位论文 第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 乞= 耻1 0 + 0 1 5 ( 鱼) 4 】 c 口 9 1 4 似1 4 ) = 巩p 一撕 9 1 5 1 5 ) = 张p 一撕 图3 - i 算例网络图 各条路段的参数数据见表3 1 。 表3 - i 各路段出行费用函数参数表 路段 l234567 乙 35l6464 c 口 3 03 01 51 51 51 51 5 ( 3 - 2 6 ) ( 3 - 2 7 ) ( 3 - 2 8 ) 表3 - 2 反映了需求函数参数x 对o _ d 需求的影响。当x = o 时，0 - d 对之间的 需求就是它的潜在需求，这表明此时的0 - d 需求与路网的服务水平无关，这就是 固定需求的情况。随着x 的增大( 设0 _ d 需求上限为乳= 8 0 ，磊5 - - 1 0 0 ) ，o _ d 对之间的需求减少。当x = l 时，两个o _ d 对之间均没有出行需求，这是由于。一d 对之间的出行费用太大，以至系统中没有人打算出行。 1 9 中南大学硕士学位论文第三章弹性需求下的城市交通网络平衡配流模型 占= 0 0 1 ，张= 2 0 0 ，张= 2 2 0 x = ox = o 1x = 0 2x = 0 5x = o 8x = 1 o - d 需求 2 0 04 8 3 82 2 3 92 2 60 1 50 q 1 4 2 2 04 7 3 43 3 0 26 6 0o 8 40 q 1 5 此外，0 - d 需求的上限也影响迭代次数。表3 3 说明了随着o _ d 需求的上限 的增大，迭代次数增加，而且由于拥挤作用，最终的0 - d 需求量不会超过巩0 f ) ( 甜f 是零流量最短路径出行费