（计算数学专业论文）矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究.pdf

摘要 矩阵广义逆理论与计算以及线性系统的求解都是2 0 世纪2 0 年代以后兴起的 研究课题发展至今，已经有许多丰富的研究成果了矩阵广义逆在微分和积分方 程、算子理论、控制论、最优化、m a r k o v 链等许多领域中有着广泛的应用线性系 统在实验设计、控制和交换理论以及科学和工程技术中也有十分广泛的应用如今 他们都已经成为科学和计算的重要的研究工具本文对广义逆的计算、表示、代数 扰动和修正理论做了进一步的研究，给出了一些新的结果，同时也研究了一些线性 系统的求解方法本文的研究成果可以分为两大类 1 广义逆的表示、计算和代数扰动 本部分的成果共有两章，在第二章主要介绍了广义逆的一些计算方法，其中第 一节给出了基于g a u s s 消元法而得到的广义逆a g ；的一种新的表示，并给出了相 应的计算过程和计算量第二节首先给出了广义逆a g ：的满秩分解表示，利用该 满秩分解表示得到广义逆a 鬟姿的两种仿射组合表示，并给出了相关的应用第三 节构造加权共轭梯度法的迭代公式，从而给出了加权m - p 逆和m - p 逆的有限迭代 计算公式第四节我们进一步的分析了分块矩阵的行列性质，得出了分块矩阵m p 逆、群逆和d r a z i n 逆的表达式，并用此结果得出了几种广义s c h u r 补的商的等式 第三章主要研究了广义逆的代数扰动和修正的一些结果其中第一节通过对长 方矩阵的值域和零空间的再研究，给出了长方矩阵常见广义逆的代数扰动表达式， 简化了已有的结果第二节主要研究了长方矩阵加权群逆的分析扰动和代数扰动 第三节得出了a p 广义逆的代数扰动的相关结论第四节利用m p 逆的秩一修正 理论，得出了b o t t - d u f f i n 逆和广义b o t t d u f t i n 逆秩一修正的结果 2 几类线性系统的求解 本部分的内容主要包括两章第四章主要研究了一些矩阵方程的求解和逼近问 题其中第一节构造了一种有限迭代计算公式用于求解矩阵方程对( a x b ，c x d ) = ( e ，f ) 第二节利用广义逆的投影方法研究了矩阵方程对a x = b ，x d = e 的各种 解，而不是利用传统的矩阵分解的方法，从中可以很好的看出其解结构第三节给 出了矩阵方程a x b + c x d = e 的多项式求解方法，从而把已知利用多项式求解 的矩阵方程的方法得到了极大的推广第四节研究线性a x = b 的最速下降法和极 小残量法的修正理论 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 第五章主要研究了不定最小二乘问题首先定义了一种新的广义逆一广义加权 广义逆又称为不定最小二乘广义逆，同时研究这种广义逆的一些性质和计算方法 然后利用这种广义逆研究了不定最小二乘问题的显示解 关键词广义逆，g a u s s 消元，满秩分解，矩阵体积，子式，仿射组合，有限迭代， 分块矩阵，s c h u r 补，商的等式，代数扰动，秩一修正，最佳逼近，投影方法，不定 最d - - 乘 a b s t r a c t 朋1 et h o e r yo f g e n e r a l i z e di n v e r s e sa n di t sc o m p u t a t i o n ，t h es o l u t i o no f l i n e a rs y s t e m s d e v e l o p e di n1 9 3 0 s t h e r ea r ea l o to fr e s u l t sa b o u tt h e m n eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fa m a t r i xh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a s ，s u c ha sd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a lc q u t a t i o n s , o p e r a t o rt h e o r y , c o n t r o lt h e o r y , o p t i m a lt h e o r y , m a r k o vc h a i n s ，a n de t c a n dl i n e a rs y s t e r n sa l s oh a v em a n ya p p l i c a t i o ni nm a n ye a l e s ，s u c ha se x p e r i m e n t a ld e s i g n ，c o n t r o la n d c o m m u t a t i o nt h e o r y , s t a t i s t i c sa n a l y s i s ，s c i e n c ea n dt e c h n o l o g ye n g i n e e r i n ga n ds oo n n o w , b o t ho ft h e ma r ei m p o r t a n tt o o l si ns c i e n c ec o m p u t a t i o n i nt h i sp a p e r , af u r t h e r r e s e a r c h e sa r ec o n s i d e r e df o rt h er e p r e s e n t a t i o n , c o m p u t a t i o na n dp e r t u r b a t i o no fg e n e r - a l i z e di n v e r s e so fam a t r i xa n ds o m en e wr e s u l t so b t a i n e d d i f f e r e n tm e t h o d e st os o l v e s o m el i n e a rs y s t e m e sa l - ea l s os t u d i e d t w om a i nk i n d so f p r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e sa n d r e s o l v e da sf o l l o w s ： 1 t h er e p r e s e n t a t i o n c o m p u t a t i o na n da l g e b r ap e r t u r b a t i o no ft h eg e n e r a l i z e d i n v e r s e s t h i sp a r tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i n 也s e c o n dc h a p t e r , s o m em e t h o dt oc o m p u t e t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e sa r ei n t r o d u c t e d i nt h ef i r s ts e c t i o n ，an o v e lr e p r e s e n t a t i o nf o r t h eg e n e r a l i z e di n v e r s ea g 名b a s e d0 1 1o a u s s ee l i m i n a t i o ni sg i v e n , a n dc o r r e s p o n d i n g a l g r i t h i na n da r i t h m e t i co p e r a t i o na r ea l s os u m m a n z e d i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ef i r s t i n t r o d u c eaf u l l r a n kr e p r e s e n t a t i o no ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s ea 孙o f ag i v e nc o m p l e x m a t r i xa ，t h e nt w oa f f i n ec o m b i n a t i o ne x p r e s s i o no ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s ea 诌a r ea l s o s t u d i e d , t h e nw eg i v es o m ea p p l i c a t i o no ft h e s er e p r e s e n t a t i o n s i nt h et h i r ds e c t i o n ，a n w e i g h t e de o n j u g d a t eg r a d i e n tm e t h o di sc o n s t r u c t e d ，u s e dt h i sm e t h o d ，a f i n i t e di t e r a t i v e f o r m u l a ei sp r e s e n t e df o rw e i g h t e dm pi n v e r s ea n dm pi n v e r s e i nt h ef o u r t hs e c t i o n w ef u r t h e rt h ep r o p e r t i e so fl i n ea n dc o l u m no fap a r t i t i o n e dm a t r i x ，a n dg i v es o m er e p r e s e n t a t i o n so fm pi n v e r s e ，g r o u pi n v e r s ea n dd r a z i no ft h ep a r t i t i o n e dm a t r i x b a s e d o nt h i s ，w eg e tt h r e ek i n dq u o t i e n ti d e n t i t i e so fg e n e r a l i z e ds c h u rc o m p l e m e n ta b o u tt h e p a r t i t i o n e dm a t r i x 。 i nt h et 址r dc h a p t e r s ，a l g e b r ap e r t u r b a t i o na n dm o d i f a c t i o nt h e o r ya l es t u d i e s i n t h ef i r s ts e c t i o n , w ef i r s ts t u d yt h er a n g ea n dn u l ls p a c eo far e c t a n g u l a rm a t r i c e s ，t h e e x p r e s s i o n so ft h ea l g e b r a i cp e r t u r b a t i o na r eg i v e n t h e s er e s u l t sd e v e l o pt h et h e o r i e s i ns o m ep a p e r s i ns e c o n ds e c t i o n , t h ea l g e b r ap e r t u r b a t i o na n da n a l y s i sp e r t u r b a t i o no f w e i g h t e dg r o u pi n v e r s e f o rr e c t a n g u l a rm a t r i c e sa l es t u d i e d i nt h et h i r ds e c t i o n ，a l g e b r a i c 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 p e r t u r b a t i o nt h e o r yf o rt h ea 一8g e n e r a l i z e di n v e r s ei sd i s s c u s s e d i nt h ef o u r t hs e c t i o n , w eu s et h et h o c r yo fm o d i f i c a t i o no fr a n k 一1o fm - pi n v e r s e , g e tt h er e p r e s e n t a t t i o no f m o d i f i c a t i o no fr a n k - lf o rb o o t - d u t f i ni n v e r s ea n dg e n e r a l i z e db o o t - d u f f i ni n v e r s e 2 t h es o l u t i o no fs o m el i n e a rs y s t e m s t l l i sp a r ta l s oc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nf o u r t hc h a p t e r , t h ep r o b l e mo fo p t i m a l a p p r o x i m a t i o na n ds o l u t i o nf o rs o m em a t r i xe q u a t i o n sa rer e s e a r c h e d i nt h ef i r s ts e e d o n , a l le f f i c i e n ti t e r a t i v em e t h o di sp r e s e n t e dt os o l v eap a i ro fl i n e a rm a t r i xe q u a t i o n s ( a x b ，c x d ) = ( e ，f ) i ns e c o n ds e c t i o n , w eu s et h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s e a n dp r o j e c t i o nm e t h o dt os t u d ya l lk i n ds o l u t i o no fm a t r i xe q u a t i o na x = b ，x d = e ， w h i c hi sd i f f e r e n tt ot h ed e c o m p o s i t i o no fm a t r i x i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eg i v eap o l y n o m i a lm e t h o dt os o l v et h em a t r i xe q u a t i o na xb + c xd = e w h i c h d e v e l o p st h er e s u l t s i ns o m ep a p e r s i nl a s ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r , t h et h e o r yo fam o d i f i c a t i o n so fs t e e p e s t d e s c e n ta l g o r i t h ma n dm i n i m a lr e s i d u a li t e r a t i v ea r es t u d i e d 、 i nt h ef i f t hc h a p t e r , w em a i ns t u d yt h ei n d e f i n i t el e a s ts q u a r ep r o b l e m ( i l s ) w ef i r s t d e f i n ean e wg e n e r a l i z e di n v e r s - g e n e r a l i z e dw e i g h t e dm pi n v e r s e ( a l s on a m e di n d e f - i n i t el e a s ts q u a r eg e n e r a l i z e di n v e r s 曲a n ds t u d ys o m ep r o p e r i e so fi t t h e nw eu s et h i s g e n e r a l i z e di n v e r s et od r a wa ne x p l i c i ts o l u t i o no fi l s k e yw o r d s ：g e n e r a l z e di n v e r s e ，g a u s se l i m i n a t i o n ，f u l l - r a n kf a c t o r i z a t i o n ，m a t r i x v o l u m e ，m i n o r , a 伍r ec o m b i n a t i o n , f i n i t ei t e r a t i o n ，p a r t i t i o n e dm a t r i x 。s c h u rc o m p l e m e n t ，q u o t i e n ti d e n t i t y , a l g e b r a i cp e r t u r b a t i o n ，r a n k lm o d i f i e dm a t r i x ，m a t r i xe q u a t i o n ， o p t i m a la p p r o x i m a t i o n ，p r j e c t i o nm a h o d ，i n d e f i n i t el e a s ts q u a r ep r o b l e m 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：塑起选聋 日期：地孟：主：垫 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：邀墨叠 导师签名： 御z j 第一章引言 1 1 本文的主要研究内容 在本节我们首先介绍本书的基本内容 第一章给出了本书中常用到的符号与记号，介绍了本书的基本内容以及与此相 关的基础知识 第二章主要介绍了广义逆的一些计算方法，其中第一节给出了基于g a u s s 消元 法而得到的广义逆a ； 二的一种新的表示，并给出了相应的计算过程第二节首先 给出了广义逆a 5 j 0 的满秩分解表示，利用该满秩分解表示得到广义逆a 笋：的两种 仿射组合表示，并给出了相关的应用第三节构造加权共轭梯度法的迭代公式，从 而给出了加权m p 逆和m p 逆的有限迭代计算公式第四节我们进一步的分析了 分块矩阵的行、列性质，得出了分块矩阵m p 逆、群逆和d r a z i n 逆的又一新的表达 式，并用此结果得出了几种广义s c h u r 补的商的等式，并介绍了其在线性系统求解 中的应用 第三章主要研究了广义逆的代数扰动和修正的一些结果其中第一节通过对长 方矩阵的值域和零空间的再研究，给出了长方矩阵常见广义逆一m - p 逆、加权m p 逆和a 髻名逆的代数扰动表达式，这些结论简化了已有的结果第二节主要研究 了长方矩阵加权群逆的分析扰动和代数扰动第三节得出了0 ：一p 广义逆的代数 扰动的相关结论。第四节利用m p 逆的秩1 修正理论，得出了b o t t d u f f i n 逆和广 义b o t t - d u f f i n 逆秩1 修正的结果 第四章主要研究了一些矩阵方程的求解和逼近问题其中第一节构造了一种有 限迭代计算公式用于求解矩阵方程对( a x b ，c x d ) = ( e ，f ) 及其逼近问题第二 节利用广义逆的投影方法研究了矩阵方程对a x = b ，x d = e 的各种解，而不是 利用传统的矩阵分解的方法，从中可以很好的看出其解结构第三节给出了矩阵方 程a x b + c x d = e 的多项式求解方法，从而把已知利用多项式求解的矩阵方程 的方法得到了极大的推广第四节研究线性a x = b 的最速下降法和极小残量法的 修正理论，比较了修正后的最速下降法，极小残量法与原最速下降法，极小残量法 的收敛速度，并用数值例子加以检验 第五章主要研究了不定最小二乘问题第一节定义了一种新的广义逆一广义 加权广义逆又称为不定最小二乘广义逆，同时研究这种广义逆的一些性质和计算方 法第二节利用这种广义逆研究了不定最小二乘问题( 几s ) 和( m m ) 的显示解 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 弘( 俨) 即黼( e 2 娜) a t j a 【口，冈( a 口p ) a 口。 a 。8 a 陋7 ，卢，1 ( a 一) a ( i 卜b ) d e t a ( 1a1 ) g ( a ) n 澎( a ) i k e 知 r ( a ) n ( a ) r ( a ) t r ( a ) i n d ( a ) ( i n d ( a ) ) a ( a ) p l m 兄 l 上 l 国m 上 l q m a r a ( a 日) a 带 a - 1 a t 楚 a d a d a ( l - 1 ) ( a 2 ) 1 2 符号表 2 实( 复川维空间 表示秩为r 的m n 阶实( 复) 矩阵 矩阵a 的第i ，j 个位置的元素 行、列位于矩阵a 的a ，p 位置的子矩阵 行位于a 位置，列同a 一样的子矩阵 列位于p 位置，行同a 一样的子矩阵 删掉矩阵a 的a 行和p 列后剩余的子矩阵 表示用向量b 代替矩阵a 的i 列所得的矩阵 方阵a 的行列式 矩阵a 的k 次复合矩阵 方阵a 的伴随矩阵 k 阶单位矩阵 第k 个元素是1 的单位列向量 矩阵a 的值域 矩阵a 的零空间 矩阵a 的秩 方阵a 的迹 方阵a 的指标 方阵a 的特征值的全体 沿子空间m 到子空间l 上的投影 子空问l 上的正交投影 子空间l 的正交补 子空间l 与1 7 的直和 子空间l 与m 的正交直和 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的加权共轭转置 矩阵4 的逆矩阵 矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 逆 矩阵a 的群逆 矩阵a 的d r a z i m 逆_ 矩阵4 的b o t t - d u f f i n 逆和广义b o t t - d u m n 逆 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 a 熟 | 1 i i a 圆b v e c ( a ) m a ( m a ) p ( m a ) g ( m a ) d s p a n v l ：屹，) 2y * x 口 3 矩阵a 的具有指定值域丁和零空间s 的 2 ) 逆 f r o b e n i u s 范数 矩阵a 与矩阵b 的k r o n e e k e r 乘积 矩阵a 按行拉直所得到的向量 矩阵a 在矩阵m 中的s c h u r 补 矩阵a 在矩阵m 中基于m - p 逆的s c h u r 补 矩阵a 在矩阵m 中基于群逆的s c h u r 补 矩阵a 在矩阵m 中基于d r a z i n 逆的s c h u r 补 由向量魄，耽，张成的子空间 向量和的e u c l i d e a n 内积 表示证明结束 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 1 3 基础知识 在本节中我们将对广义逆的研究和有关线性系统理论的历史作一回顾半个多 世纪以来，广义逆的理论和应用研究得到了快速的发展广义逆在最优化、数值线 性代数、数值分析、控制论、微分和积分方程等许多领域以及其他应用学科中都有 重要的应用，在研究最小二乘问题、长方及病态线性系统、非线性方程等同题，约 束、无约束等规划、回归分析、分布估计、m a r k o v 链等统计问题，控制理论和系统 识别问题，等等，广义逆都是不可缺少的重要工具之一 广义逆的概念最早是由i f r e d h o l m 于19 0 3 年在 6 6 中研究f r e d h o l m 积分算 子时提出的，并称之为“伪逆”( p s e d u oi n v e r s e ) 1 9 2 0 年，e h m o o r e 在美国数学学 会上【1 1 0 ，推广了非奇异矩阵的广义逆的概念，他利用投影矩阵定义了矩阵唯一的 m o o r e 广义逆，即 定义1 3 1 对于任意的矩阵a c m 肌，满足 a x = r ( 4 ) ；x a = 岛( x ) 的nxm 矩阵x 称为矩阵a 的广义逆，记为a t 其中肠a ) 和r ( x ) 分别表 示r ( a ) 和r ( x ) 上的正交投影 接下来的3 0 多年里，矩阵广义逆很少被人注意到，直到19 5 5 年，英国数学家 r p e n r o s e 在剑桥哲学学会上【l1 9 】利用四个矩阵方程，以简单、直观的方式给出了 广义逆的定义，即 定义1 3 2 对于任意的矩阵a c m 黼，满足下列四个方程 a x a = a ( 1 ) xax=x ( 2 ) ( a x ) = a x( 3 ) ( x a ) = x a( 4 ) 的礼m 矩阵x 称为矩阵a 的广义逆，记为a t 自r p e n r o s e 用四个矩阵方程定义矩阵广义逆开始，矩阵广义逆得到了广泛的关 注和研究，并在各个领域里取得了卓有成效的应用后人证明了e h m o o r e 和r p e n r o s e 所定义的两种广义逆是等价的，为了纪念他们对广义逆研究所做的贡献，现在人们 把满足定义1 3 2 的四个方程的矩阵a 的广义逆x 称为m o o r e p e n r o s e 广义逆，简 称为m p 广义逆，记为 r p e n r o s e 定义中的方程( 1 ) 一( 4 ) 称为四个p e n r o s e 条件，由此出发，可以 衍生出许多不同类型的广义逆设，7 = 【1 ，2 ，3 ，4 ) ，a 伊黼，如果矩阵x c 似m 满足p e n r o s e 条件中的第 班 歹) ， 后) 个方程( t ，歹，七) ，7 ) ，我们 4 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 称x 是a 的托j ，k ) 广义逆，记为x = a 似，瑚不同于m p 逆，这些广义逆 不具有唯性，所以通常用a i ，j ，k ) 表示a 的“j ，后) 逆的全体 关于矩阵的 l 逆和 2 ) 逆以及 1 ，2 ) 逆，我们有如下一个著名的引理 引理1 3 1 1 5 1 设矩阵a c 5 加，则下列三个关系式中的任意两个都可以推出第 三个 x a _ ( 1 ) x a 2 ) r a n k a = r a n k x 随着对广义逆理论研究的不断深入，以及在其他领域应用的不断地扩展，对广 义逆认识的不断的加深，于是人们又引入了其他类型的广义逆，一种是关于定义1 3 2 推广的广义逆一加权广义逆s 定义1 3 3 对于任意的矩阵a c m 黼，m c 仇m 和n c “n 都是正定的 h e r m i t e 矩阵，满足下列四个方程 a x a = a ( 1 ) x a x = x( 2 ) ( m a x ) + = m a x( 3 m ) ( n x a ) = x a( 4 n ) 的礼仇矩阵x 称为矩阵a 的广义逆，记为a t 1 9 5 8 年，m e d r a z i n 提出了结合环和半群上的广义逆，后来称为d r a z i n 逆 d r a z i n 逆只对方阵有定义，下面首先给出方阵指标的定义 定义1 3 4 设a c 似n ，我们称满足 r a n k ( a k “) = r a n k ( a 七) 的最小非负整数七称为矩阵a 的指标，记作i n d ( a ) = k 显然，当a 非奇异时，它的指标为0 定义1 3 5 设a c ”黼，l n d ( a ) = 矗若x c 竹x 满足 ( 1 七) x a = a ( 2 ) x a x = x ( 5 ) a x = x a 则称x 为a 的d r a z i n 逆，记作x = a d 或者a ( 1 ，2 , 5 ，当k = l 时，x 为a 的群 逆，记为印 5 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 1 9 5 3 年，b o t t 和d u f l i n 在他们那本经典的著作中 1 2 】，介绍了一种有广泛应用 的方阵的限制广义逆- b o t t - d u 伍n 逆 b 0 仳- d u f l i n 逆可应用于电路网络限制系统，以及以下形式的约束方程的求解 设a c 似n ，b 伊，l 是伊的子空间 a z + 夕= bz l ，可l 上 ( 1 3 1 ) 对于线性系统( 1 3 1 ) 的求解，是要应用到b o t t - d u f f i n 逆的概念的，以下给出该 逆的定义 定义1 3 6 设a 伊加，l 是c n 的子空间，若( a 兄+ 兄上) 非奇异，则称a f = r ( a 咒+ 咒上) - 1 为a 关于l 的b o u - d u f f i n 逆，记作a f 对于任意的矩阵a 和子空间，其b 微一d u m n 逆是否存在取决于矩阵( a p l + 兄上) 的奇异性， 19 9 0 年陈永林教授在 3 9 】定义了广义的b 馓- d u f f i n 逆 定义1 3 7 设a 伊x n ，l 是c “的子空间，若( a 兄+ 尸l 上) 奇异，则称a z = 兄( a 既+ p l 上) t 为a 关于l 的广义b o h - d u f f i n 逆，记作a 2 显然这种定义的a z 总是存在的，它是b 傩一d u m n 逆的自然推广，在文献 3 9 中 陈永林教授还给出了个矩阵a 是“非负定的定义( l p s - d ) ，讨论在矩阵a 是l p 矗d 时，广义b 酣d u f f i n 逆的一些列性质和表示 1 9 7 4 年， b e n i s r a e l 和g - r e v i l l e 在文 5 定义了一种具有指定值域丁和零空 间s 的广义逆a 5 ； 圣 定义1 3 8 设a 凹加，t 是c n 的子空间，且d i m t = tsr ，s 是c m 的子空 间，d i m s = m 一，则矩阵a 有( 2 ) 逆x 满足r ( x ) = t ，n ( x ) = s 当且仅当 a ros = c m ( 1 3 2 ) 且满足此条件的x 是唯一的，记作x = a 笋 b e n - i s r a e l 和g - r e v i l l e 5 ，c o m p b e l l 和m e y e r 2 0 ，王国荣教授和魏益民教授【13 8 ， 陈永林教授【4 l 】等都指出，几种常见的广义逆：m - p 逆，加权m p 逆a k m 群 逆a g ，d r a z m 逆a e ，b o t t d u f f i n 逆a 1 和广义b o _ t t - d u f f i n 逆a 都是具有特定值 域丁和零空间s 的 2 逆 引理1 3 2 设a c m n ，则 俐a t _ a ) ，( 。) ? 例a k ，= a 襻) ，( a 襻) j 仞设a 伊煳，则 ( c ) a g = a ) ( ) ，若i n d ( a ) = 1 j 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 彻a d = a ( 畛若l n d ( a ) = 七 俐a 1 = a 曼2 j ，其中lcc n 且a l l 上= 伊； 仞a = a 呈上，其中lc 伊，s = r ( p l a ) 且a 是l p s d 矩阵 近五十年来，国内外都有很多著名的学者从事广义逆理论或者与此相关的领域 的研究工作。国外学者如a b i s r a e l 4 - 7 】，t n g r e v i l l e 71 ，s l c o m p b e l l ，c d m e y e r 2 0 ， c p , r a o 1 2 3 ，r e h a r t w i g 7 3 ，7 4 ，g w s t e w a r t 1 3 0 ，j j i 8 4 - 8 6 等，国内学者如孙继广 教授 1 31 ，魏木生教授【1 5 4 ，15 5 ，魏益民教授 1 4 5 - 15 3 ，陈果良教授【3 3 3 8 ，陈永林 教授 3 9 - 4 7 ，王国荣教授 1 3 8 - 1 4 0 ，何旭初，孙文瑜教授【7 7 等广义逆理论经过 8 0 年的演化和深入的研究，已经取得了丰硕的成果，但仍然是国际数学界非常活跃 的一个研究领域，因为广义逆理论本身及其相关的应用领域等许多问题仍有待进一 步的研究和探索，本书第一部分我们将进一步讨论广义逆的计算和一些性质 伴随着广义逆的研究，线性系统的研究也得到了很大的进展，一般的生产和科 学试验中，人们往往会碰到一类线性系统 a x = b ，a c m ”，z 矿，b c ” ( 1 3 3 ) 如果b r ( a ) ，则方程( 1 3 3 ) 一定有解，但当b 聋r ( a ) 时，其解的讨论可以概括为 如下的引理 引理1 3 3 嘲设a c m 黼，向量b c m ，线性系统3 动总有 倒线性系统7 矽有解的充要条件是b 兄( a ) ，其一般的通解是 z = a ( 1 ) 6 + ( i a ( 1 ) a ) 剪，v y c n 例线性系统“3 习有解时，满足i lz1 1 2 = l | zi l f = r a i n 的解倦为极小范数解， 为 z = a ( i ，a ) b 例线性系统3 矽无解时，则满足i | a x b1 1 2 = i la x b i f = r a i n 的解绺为 最小二乘聊为 z ：a ( i ，3 ) b 例线性系统口3 动无解时，则满足i lz1 1 2 = l | zl i f = r a i n 和l ia z b1 1 2 = 1 i a z bl i f = r a i n 的解佛为极小范数最小二乘解夕为 z = a t 6 例线性系统门3 影有解时，对于正定矩阵，满足l lzl l = i in x1 1 2 = r a i n 的 解佛为极小加权范数夕为 o = n 一1 ( a n 一1 1 ( 1 ，4 ) b 7 华东师范大学博士论文矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 例线性系统口3 剀无解时，对于正定矩阵m ，则满足i | z0 = | ln xi | 2 = r a i n 和l la z bi i m - - i im ( a x b ) 1 1 2 = r a i n 的解依为极小加权范数最小加权二乘 解，为 z = a 乞b 线性系统的求解问题往往是从实际问题的求解中转化而来，文 1 5 9 】给出了膜 振动方程、弹性系统的振动和多元线性回归模型的求解时如何转化为线性系统求解 的过程，一般的偏微分方程离散化求解过程都会转化为线性系统的求解，这其中有 著名的s y l v e s t e r 方程a x 士x b = c ，s t e i n 方程x + a x b = d ，r i c c a t i 方程a t x + x a x b b ? x + 伊c = 0 或者x = a t x a a t x b ( r + b t x b ) 一x b t x a - 4 - c r c 这些矩阵方程在控制论，动力系统的稳定性分析，线性时间系统的膜约化中都有着 十分广泛的应用 对于这些方程的求解，文 7 8 ，9 2 】等利用古典的k r o n e c k e r 积的方法解决了方程 七 a t x b i = c i = 1 的一般解的求解问题，进一步的讨论了s y l v e s t e r 方程a x 士x b = c 和s t e i n 方 程x 士a x b = d 的解的表达式 近年来，对于矩阵方程的求解是数值代数的一个热门问题，一般的对于矩阵方 程的求解，主要可以归结为两大类方法，第一类方法为利用矩阵的各种分解法比如 c c d 、g s v d 、q s v d 、p s v d 等手段来研究矩阵方程的解包括一些特殊对称解， 这些可见文 4 9 ，5 0 ，5 5 ，5 8 ，6 1 ，1 0 3 ，l1 3 ，第二类方法为迭代法这包括有限迭代法和无限 迭代法两种，这些方法可见 8 2 ，8 5 ，9 5 ，117 ，1 l8 本文的第二部分内容我们进一步研究一些线性系统的求解，这其中包括不定线 性系统的求解，我们的研究内容不是对前人方法的改进和补充，就是得到了更为一 般的结果，详见第四章和第五章 8 第二章广义逆的一些表示和计算 正如第一章所述，从广义逆的诞生至今，对广义逆的研究一直倍受国内外的学 者关注和青睐国内学者，陈永林教授通过对矩阵值域和零空间采用限制的办法得 到一些广义逆的表达式 4 l _ 4 3 ，4 5 ，魏益民教授得到广义逆的一些列无限迭代计算公 式和积分表达式【1 4 5 ，1 4 8 ，田永革教授则通过对矩阵秩的研究，利用秩的恒等式获 得了很多有意义的结论 1 3 3 1 3 5 对广义逆的研究国外学者主要是a b e n - i s r a e l ，他 在文【6 ，通过定义矩阵体积的办法，利用矩阵的最大子式获得了广义逆很多有意义 的性质和结论 9 6 - 9 9 ，此外j j i 于2 0 0 5 年在文【8 4 】中给出了广义逆的正则表示和 利用浓缩的c r a m e r 法则计算广义逆对广义逆的计算还可以利用其他的方法比如 一多项式法 4 0 ，分块矩阵法 1 4 6 ，这里就不一、一列举了本章我们将给出广义 逆一些新的计算方法和表达式。 2 1 基于g a u s s 消元法的广义逆a 黑的表示和计算 前一章第三节已经提到，常见的六种广义逆；m p 逆a t ，加权m p 逆a i f m 群逆a g ，d r a z i n 逆a d ，b o t t d u f f i n 逆a ：u 和广义b o t t d u f f i n 逆a z 都是具有特定 值域z 和零空间s 的 2 ) 逆 2 逆在非线性方程的迭代求解 5 ，l1 2 】和统计学【6 8 ，8 0 ，1 1 0 中有着十分广泛 的应用， 2 】i 逆还是病态问题稳定性逼近【1 11 和线性、非线性秩亏问题 1 4 4 的重 要研究工具 众所周知，对于非奇异方阵a ，我们可以用g u a s s 消去法，通过对矩阵对( a ，j ) 实 施初等行变化至( j ，a q ) 的方法，得出其正则逆a 一g u a s s 消元法还可以用来判断 个方阵的可逆性和用来求矩阵的秩，然而我们不能够将这种方法用于长方矩阵或 者个奇异的方阵来求其广义逆 1 9 8 7 年k a n s t r e i c h e r 在 2 】中用g a u s s 消去法 来求奇异方阵的广义零空间和d r a z i n 逆本节我们将基于g a u s s 消去法，给出广义 逆a 呈名的一个新的表示，由此表示可以用g a u s s 消去法计算常见的六种广义逆 1 9 9 8 年，魏益民教授给出了用群逆来表示广义逆a5 j ：圣的一个新的表达式，这 给a 数逆的研究开辟了一个新的思路 引理2 1 1 【1 4 5 l 设a 跏，t 为( 的子空间其维数为d i m t = 8 r ， s 为伊的子空间其维数为d i m s = v f t 一8 ，矩阵g c 似m 满足r ( g ) = t 和n ( a ) = s 如果矩阵a 广义逆a ；j 名存在，则 i n d ( a a ) = i n d ( g a ) = 1a 关= g ( a g ) 。= ( g a ) 9