（运筹学与控制论专业论文）带跳的耦合正倒向随机微分方程.pdf

摘要 l 随机微分方程是概率论的一个重要分支，在经济金融领域中有着广泛的应用。 非线性倒向随机微分方程首先由彭实戈和p a r d o u x 展开研究。彭实戈发现了倒向 随机微分方程与拟线性抛物型偏微分方程的联系，也即对一类拟线性抛物型偏微分 方程给出了概率解释。1 9 9 2 年，d u f f l e 和e p s t e i n 独立地对有经济学背景的一类倒 向随机微分方程进行了研究。在随机最优控制理论中，我们也会遇到耦合的正倒向 随机微分方程，比如随机最大值原理的表述就涉及到这样的方程。1 9 9 3 年a n t o n e l l i 研究了耦合正倒向随机微分方程在时间区间充分小( 或系数所满足l i p s c h i t z 条件 中的上i t ，s c h i t z 常系数充分小) 的可解性。对于任意有限时区的情形，马进和雍炯 敏引进随机最优控制的方法进行了研究。稍后，马进，p r o t t e r 和雍炯敏利用偏微 分方程的方法，提出了求解正倒向随机微分方程的“四步法”，获得了确定性系数且 正向方程的扩散项是非退化的正倒向随机微分方程的可解性及解的表示。不久，胡 瑛，彭实戈和吴臻等人研究了满足“单调性条件”的正倒向随机微分方程的可解性 1 9 9 7 年，雍炯敏对正倒向随机微分方程提出了“桥”的概念，通过“桥”的构造，对 几种类型的正倒向随机微分方程的可解性进行了研究。 带跳的正倒向随机微分方程首先由汤善健和李训经进行了讨论。随后，b a r l e s ， b u c k d a h n 和p a r d o u x 发现了带跳的倒向随机微分方程与微分一积分形式的抛物型 偏微分方程的联系。1 9 9 9 年，吴臻对满足“单调条件的带跳的耦合随机微分方程 的可解性进行了研究。 “连续性方法”在证明椭圆型偏微分方程正倒向解的存在性中有着广泛的应用。 本文的思路是应用“连续性方法”从一类已知可解的正倒向随机微分方程出发，到 达另一类正倒向随机微分方程( 尚不知其可解性) ，从而得到其可解性。具体的做法 是：引入一些单调性条件和强制性条件( 我们称为桥) ，应用i t b 公式得到其先验估 计式，然后证明了如果两个带跳的耦合正倒向随机微分方程被桥连接着，那么它们 有相同的唯一可解性。在此基础上，我们通过桥的构造，得到解耦情形和满足单调 条件的两类带跳的正倒向随机微分方程的唯一可解性。另外，我们对系数引入半范 数，得到了解的某种稳定性，由此我们得到了一类正倒向随机微分方程的唯一可解 性。； 本文安排如下：在第一节中，我们叙述随机微分方程理论的历史和现状及本文 的主要思路；第二节中，我们作一个概述，引入记号和概念并叙述主要定理；第三 节中，用连续性的方法，我们给出主要定理的证明；第四节中，我们讨论两种具体 类型的正倒向随机微分方程的唯一可解性；第五节中，我们讨论一种类型的正倒向 随机微分方程的唯一可解性 关键词：耦合正倒向随机微分方程，桥，适应解 2 a b s t r a c t t h e o r yo f s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa n i m p o r t a n tb r a n c h o f p r o b a b i l i t y t h e o r y i th a se x t e n s i v ea p p h c a t i o ni nf i n a n c ea n de c o n o m i c s n o n h n e a rb a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hb r o w n i a nm o t i o na sn o i s es o u r c e ( b s d e ，i n s h o r t ) w e r ei n t r o d u c e db y p a r d o u xa n d p e n g s o o na f t e r ，p e n gd i s c o v e r e dt h a ts u c h b s d e sa r ec l o s e l yr e l a t e dt oq u a s i l i n e a rp a r a b o h cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n 1 9 9 2 ，d u f f i ea n de p s t e i ni n d e p e n d e n t l yi n t r o d u c e dak i n do fb s d e sh a 、r i n g e c o n o m i c b a c k g r o u n d f u l l yc o u p l e d f o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d r i v e nb yb r o w n i a nm o t i o n ( f b s d e s ，i ns h o r t ) a l s oa p p e a ri nm a x i m u n p r i n c i p l e f o rs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r 0 1 i n1 9 9 3 ，a n t o n e l hf i r s t l yd i s c u s s e dt h es o l v a b i l i t yo f f b s d e sf o rw h i c ht h et i m ed u r a t i o nw a sa s s u m e dt ob es u f f i c i e n t l ys m a l l ( o rt h e l i p s c h i t zc o n s t a n to ft h ec o e f f i c i e n t sw a sa s s u m e dt ob es u f f i c i e n t l ys m a l l ) f o rt h e p r o b l e mi na n yt i m ed u r a t i o n ，m aa n dy o n gf i r s t l yd i s c u s s e dt h ef b s d e s s o l v a b i l i t yu s i n gs t o c h a t s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y s o o na f t e r ，u s i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e ，i ns h o r t ) m e t h o d ，m a ，p r o t t e ra n dy o n gi n t r o d u c e dam e t h o d c a l l e dt h ef o u r s t e p s c h e m et oa t t a c kt h ep r o b l e m t h e y s u c c e s s f u l l yo b t m n e d t h e s o l v a b i l i t yo ff b s d e s i nw h i c ht h ec o e f f i c i e n t sa r ed e t e r m i n i s t i ca n dt h ed i f f u s i o n c o e f f i c i e n ti nt h ef o r w a r de q u a t i o ni s n o n d e n g e r a t e o nt h eo t h e rh a n d ，h ua n d p e n ga n dw u i n t r o d u c e dc e r t a i nm o n o t o n i d t yc o n d i t i o n su n d e rw h i c h ，t h es o l v a b i l i t yw a se s t a b h s h e di na n yt i m ed u r a t i o n i n1 9 9 7t h en o t i o no fb r i d g ei si n t r o d u c e d f o rs y s t e m so ff b s d e sb yy o n g t h es o l v a b i h t yo fs e v e r a lc l a s s e so ff b s d e si s o b t a i n e db yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t eb r i d g e s t h eb s d e sw i t hr a n d o m j u m p s ( j b s d e s ，f o rs h o r t ) w a sf i r s t l yd i s c u s s e db y t a n ga n dl i l a t e rb a r l e s ，b u c k d a h na n dp a r d o u x d i s c o v e r e dt h a ts u c hj b s d e sa r e r e l a t e dt os y s t e m so fp a r a b o l i ci n t e g r e - p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e c e n t l y ，u d i s c u s s e dt h es o l v a b i l i t yo fc o u p l e df o r w a r d _ b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hr a n d o m u m p s ( j f b s d e s ，f o rs h o r t ) i nw h i c ht h ec e r t a i nm o n o t o n i c i t y c o n d i t i o n sw e r ei n t r o d u c e d t h em e t h o do fc o n t i u a t i o nh a sb e e nw i d e l yu s e di np r o v i n gt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n st oe l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，i ti sp r o v e dt h a tb y u s i n gt h em e t h o d o fc o n t i u a t i o n ，y o um a ys t a r tw i t hak n o w ns o l v a b l ej f b s d et o “r e a c h ”a n o t h e rc l a s so fj f b s d e s w h i c ha r en o tk n o w ni fi t i ss o l v a b l ea n dn o w o n ec a np r o v et h a ti ti ss o l v a b l e t h ek e yi st oa p p l yi t 6 sf o r m u l at o g e t h e rw i t h s o m es o r to f “m o n o t o n i c i t y ”a n d “c o e r c i v i t y ”c o n d i t i o n s ( w ec a l li t b r i d g e ) t og e t 1 c e r t a i nap r i o r ie s t i m a t e s t h e ni ti s p r o v e dt h a ti ft w oj f b s d e sa r eh n k e db ya b r i d g e ，t h e yh a v et h es a m eu n i q u es o l v a b i h t yf b s d e s c o n s e q u e n t l y ，b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t eb r i d g e s ，w eo b t a i ns e v e r a ld a s s e so fu n i q u e l ys o l v a b i h t yf b s d e s m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c eas e m i n o r mf o rc o e f f i c i e n ta n dg e tt h es t a b i l i t yr e s u l tf o r s o l u t i o n s ，w h i c hl e a d st ot h es o l v a b i h t yo fs o m en e wd a s so fj f b s d e s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n1 ，w er e c a l lt h e h i s t o r yo f f o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i 船r e n t i a le q u a t i o n i ns e c t i o n2 w em a k es o m ep r d i m i n a r i e s a n ds t a t et h em a i nr e s u l t ，s e c t i o n3i sd e v o t e dt ot h ep r o o fo ft h em a i nr e s u l t t h e m e t h o do fc o n t i u a t i o ni sc a r r i e do u tt h e r e i ns e c t i o n s4a n d5 w ec o n s t r u c ts o m e b r i d g e sf o rc e r t a i nc l a s s e so fj f b s d e s ，w h i c hg i v et h eu n i q u es o l v a b i l i t yf o rt h e s e e q u a t i o n sb yo u r m m n k e y w o r d s ：c o u p l e df o r w a r d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q a t i o n s ，b r i d g e a d a p t e ds o l u t i o n 2 l 引言 设( q ，厂，p ) 是给定的概率空间，在此空间上定义了一个d 维的布朗运动”( ) = ( w 1 ( ) ，w 2 ( ) ，w 4 ( ) ) 和一个以a 剧为值域的平稳的普阿松过程( ) ，此处a 为有限维空间剧的一个子集设d k 【0 ，+ o o ) 是( ) 的定义域且为可数集， n ( d ) 、d t ) 表示由( ) 导出的可数测度，即 n ( u ( 0 ，t ) = 挣 s d k ；s t ，( s ) u ) ，t 0 ，u b a ，( 1 1 ) 这里# 表示集合 元素的个数，舀a 为a 上的b o r e l 一一域设存在( a ，层a ) 上的测度”( ) 使得e ( ( 烈出) ) = d t l r ( d a ) 我们称，r ( d a ) 为( ) 的特征测度记 i q ( d $ d t ) = an ( d a d t ) 一r ( d a ) d t ( 1 2 ) 我们引入： 五= 口 正( 0 州n ( d a d ) ；s t ，a e b a 】v0 卜( s ) ；ss v ， ( 1 3 ) 其中表示p 一零集全体jo - 1v0 2 表示由口。ua ：生成的口一域 关于普阿松过程的详细讨论及在普阿松过程下的积分理论可参见”由 a ( p p 7 7 定理6 3 ) 知，”( ) 和( ) 是相互独立的两个过程 在本文中，我们考虑的是下列的正倒向耦合随机微分方程的可解性： ，c x ( t ) = 。+ 6 ( s ，x ( s ) ，y ( s ) ，z ( s ) ，q ( s ，) ) d s j 0 + 上一( 。，x ( s ) ，y ( s ) ，z ( s ) ，q ( s ，) ) 4 ”( s ) + a ( 0 硝7 ( s , x ( 8 一) ，y ( 3 一) ，z ( 8 ) ，q ( s , a ) ) ( 扒如) ，( 1 4 ) ，j y ( t ) = 9 ( x ( t ) ) 一危( s ，x ( s ) ，y ( s ) ，z ( s ) ，q ( s ，) ) d s 一z ( s ) a h ”( s ) j t j 一j a x ( t , t q ( 8 ，a ) ( 4 1 d 5 ) 。 随机微分方程是概率论的一个重要部分，在经济金融领域中有着广泛的应用 非线性倒向随机微分方程首先是由彭实戈和p a r d o u x 研究的( 见参考文献【1 0 】) 彭 实戈( 见参考文献【1 1 ) 发现了倒向随机微分方程与拟线性的抛物型偏微分方程的联 系，对一类拟线性的抛物型偏微分方程的解给出了概率解释在1 9 9 2 年，d u f f l e 和 e p s t e i n ( 见参考文献 3 】) 独立地对有经济学背景的一类倒向随机微分方程进行了研 究在随机最优控制理论中，我们也会遇到耦合的正倒向随机微分方程1 9 9 3 年 a n t o n e l l i ( 见参考文献 1 】) 研究了耦合正倒向随机微分方程在时间区间充分小或系 数所满足三i p s c h i t z 条件中的l i p s c h i t z 常数充分小) 的可解性对于任意有限时区 的情形，马进和雍炯敏( 见参考文献 8 ) 引进随机最优控制的方法进行了研究稍 后，马进，p r o t t e r 和雍炯敏( 见参考文献 7 】) 利用偏微分方程的方法，提出了求解 正倒向随机微分方程的“四步法，获得了确定性系数且正向方程的扩散项是非退化 的正倒向随机微分方程的可解性及解的表示不久，胡瑛，彭实戈和吴臻( 见参考 文献5 ，1 2 ) 等人研究了满足“单调性条件”的正倒向随机微分方程的可解性1 9 9 7 年，雍炯敏( 见参考文献【1 5 】) 对正倒向随机微分方程提出了“桥”的概念，通过“桥” 的构造，对几种类型的正倒向随机微分方程的可解性进行了研究 带跳的正倒向随机微分方程首先由汤善健和李训经( 见参考文献 1 4 ) 进行了讨 论随后，b a x l e s ，b u c k d a h n 和p a r d o u x ( 见参考文献 2 1 ) 发现了带跳的倒向随机微 分方程与微分一积分形式的抛物型偏微分方程的联系1 9 9 9 年，吴臻( 见参考文献 1 7 ) 对满足“单调条件”的带跳的耦合随机微分方程的可解性进行了研究 “连续性方法”在证明椭圆型偏微分方程正倒向解的存在性中有着广泛的应用 ( 见参考文献【4 , 5 ，1 2 ，1 5 ) 由于普阿松过程与布朗运动是两个独立的过程，所以处理 带跳的正倒向随机微分方程与处理没有跳跃时的情形没有太大的本质差别本文沿 用文献1 5 1 的基本思想方法，应用“连续性方法 从一类已知可解的正倒向随机微 分方程出发，到达另一类正倒向随机微分方程( 尚不知其可解性) 从而得到其可解 性具体的做法是：引入一些单调性条件和强制性条件( 我们称为桥) ，应用i t 5 公 式得到其先验估计式，然后证明如果两个带跳的耦合正倒向随机微分方程被桥连接 着，那么它们有相同的唯一可解性在此基础上，我们通过桥的构造，得到解耦情 形和满足单调条件的两类带跳的正倒向随机微分方程的唯一可解性另外，我们对 系数引入半范数，得到了解的某种稳定性，由此我们得到了一类( 迄今为止未知可 解性) 正倒向随机微分方程的唯一可解性 我们指出本文是对文献 1 5 的推广，但并非无意义的推广理由如下：首先带跳 的正倒向随机微分方程对金融市场的描述从某意义上来说比连续情形更为准确，请 参见 9 其次，带跳的正倒向随机微分方程在随机控制中有着重要的应用，比如 2 带跳随机系统的随机最大值原理的表述就涉及这样的方程( 见文献 1 4 ) 最后，带跳 的正倒向随机微分方程的跳跃“修正”项有时是必不可少，例如下述的带跳倒向随 机微分方程 x ( ) = 0 1e h 踟( s ) + 上x ( o 刖( d a d s ) 一j ( 1x ( s ) d s j ( 2z ( s ) d ”( s ) 一上。k 卅q ( s ，a ) i v ( d a d s ) ， 我们可以验证， x ( ) = z 0 te t - 8 托( s ) + 上。( 吣】e - 5 ( 烈如) ， 【z ( s ) i1 ，q ( s ，a ) 三1 是上述方程的唯一解也就是说，如果，我们令“修正”项q ( s ，a ) 三0 ，那么，上述 方程无解 本文余下部分安排如下：第二节中，我们作一个概述，引入记号和概念并叙述 主要定理；第三节中，用连续性的方法，我们给出主要定理的证明；第四节中，我 们讨论两种具体类型的正倒向随机微分方程的唯一可解性；第五节中，我们讨论一 种类型( 迄今为止为未知可解性) 的正倒向随机微分方程的唯一可解性 2 概述 在本节，我们考虑正倒向耦合随机微分方程( 1 4 ) 为了叙述的方便，我们先给 出相关记号和有关定理关于测度”( ) 平方可积的函数，( ) ：a r “全体组成的 希尔伯特空间，记为霹( a ；r “) ，范数定义为： 悯l = 九v - 2 “j h a j ，z 1 ，v 扎) l ；( a ，r m ) 我们用r “表示竹维的欧氏空间，有通常意义下的范数和内积用r ”删表示由m d 矩阵全体组成的希尔伯特空间，其内积定义为： 竺t r ( a b t ，v a ，口 月4 任何矩阵a r “8 的范数定义为：i a i = 以r a a t 用扩表示由n 对称矩阵全体 记m = a r n r “r ”“，5 i 垒m 瑶( a ，丘“) ，对任意的妒= ( 。，y ，z ，g ) 砑， 范数定义为： | | 皿i l 髓= a “。2 + i 引2 + j 名j 2 + | | 口f 2 ) 3 简记皿垒( x ，f z ，q ) 我们再引入下述空间 l 多( o ，t ；r “) 表示取值于r “的( 五) 一适应的平方可积过程的全体； 工多，( o ，t ；r ”) 表示取值于尼“的( 五) 一可料的平方可积过程的全体j l 多，( o ，t ；瑶( a ；r “) ) 表示取值于工；( a ；r “) 的( 兀) 一可料的，使得 上巾t 1e i ( a ，) 阳烈) 以 + o 。 的过程，( ，) 的全体 d 至- ( 0 ，t ；r ”) 表示取值于r 的( 五) 一适应的右连左极的，使得 es u p l v ( t ) 1 2 + o 。 u 三t s l 的过程p ( t ) 的全体 可以证明，上述空间都是b a n a c h 空间( d 多( o ，t ；曰”) 的完备性的证明见附录) 下面我们叙述有关的定理： 定理2 1 ( i t 5 公式) 设x ( t ) 为下列形式的半鞅： x ( t ) = x i ( o ) + m i ( ) + a i ( t ) + 上。( 吣】，( s ，2 ，) ( 如如) + f a x ( o , t l g l ( s ，。，) ( 如如) 其中m ( ) 为连续的局部可积鞅，a ( ) 为有限变差过程，= ( ，：，。) ，g ： ( 9 1 ，9 2 ，g d ) ，i = 1 ，2 ，d 设f ( z ) c 2 ( 础) 函数，那么f ( x ( ) ) 也是半鞅，且 下列公式成立 f ( x ( ) ) 一f ( x ( o ) ) 三t td一 2 蚤上堋x ( s ) ) d m i ( s ) + 蚤j ( f ( x ( s ) ) d a i ( s ) 1 l “- t + 互i 毛o 麓，f ( x ( s ) ) d ( m ，m + z 。慨目 f ( x ( s 一) + ，( s ，。，) ) 一f ( x ( s 一) ) ) ( 如如) 4 + 工。( 叫】 f ( x ( s 一) + g ( s ，。，) ) 一f ( x ( s 一) ) ) 霄( 如如) + 上。( 叫产f ( x ( s 一) + g ( s ，z ，) ) 一f ( x ( s ) ) 一d ( 。，扎) o x 。f ( x ( 。) ) ) 。( 如) 如 证明可在参考文献【1 3 ( p p 3 1 3 3 1 9 ) 中找到 定理2 2 如果x = ( x t ) o _ t 1 ) t e o t l p l 证明可在参考文献 6 ( p p 3 3 3 4 ) 中找到 定理2 3 ( 鞅表示定理) 设m ( t ) 是取值于r “的 五) t o 适应的平方可积 鞅，那么存在q i 二多，( o ，t ；r “) ，( i = 1 ，t t ) 和r ( ，) 三多p ( o ，t ；l ：( a ，) ) 使得 m ( 。) = m ( o ) + ：。州矿( 8 ) 如i ( s ) + f a 。( o , t r ( s , a ) 霄( 如d a ) 证明可在参考文献f 1 4 1 ( p p 1 4 7 0 1 4 7 4 ) 中找到 有了上述的预备知识，下面我们讨论方程( 1 4 ) 在( 1 4 ) 中， b ： 0 ，t m 三：( a ；r ”) q r “； 口： 0 ，t m 三：( a ；r “) q _ r “。； r ： 0 ，t 】m a q j p ； h ： 0 ，t m 三：( a ；r m ) q ，r “， 而x ( s 一) 和y ( s 一) 分别表示在s 时刻的左极限 记 m o ，t 竺d 多( o ，t ；r “) d 多( o ，t ；r ”) 三多一( o ，t ；r m 。d ) 三多，p ( o ，t ；三：( a ；r m ) ) 5 对任何的( x ( ) ，y ( ) ，z ( ) ，q ( ，) ) 砌 o ，t ，定义 ( 圳，川，川，) = e l 。s - 。pi x ( t ) 1 2 + e 。s u 。pi r ( t ) l t0tt 2 】 0 t 0 使得 ( z i f ( t ，妒，”) 一f ( t ，巧，”) 1 2 ”( d a ) ) s 三f i 妒一巧府， w ，市尬， 0 卅，。s 记 宜 o ，t 全三多，p ( o ，t ，w 1 ，”( 髓，r “) ) 三多，( o ，t ，w ，1 ，”( 府，r - “9 ) 三多，( o ，t ；w 1 ，。( 砑，三：( a ；r “) ) ) 三多，p ( o ，t ；w 1 ，。( 砑，r “) ) 三匀，( q ，w 1 ，”( r “，r ”) ) 任何h 1 0 ，t 中的元素记为r 垒( 6 ，a ，h ，9 ) 记 谴 o ，t = 三多加( o ，t ；r “) 三多，p ( o ，t ；r ”。d ) 三多，( o ，t ；三；( a ；r “) ) 三多，( o ，t ；r m ) 三( q ，r m ) 6 任何n o ，t 中的元素记为7 兰( b 。，( 7 0 ，1 0 ，h o ，g o ) 由于h 1 0 ，t 】和诧 o ，t 】的值域都是舻r “4 r “r “r ”，n j h a x , t ：b 任 意的r = ( b ，r ，h ，g ) 日 o ，t 】和7 = ( b o ，口o ，r o ，h o ，g oj “( 0 ，卅，可以定义 r + - f = ( b + b o ，盯+ ，r + r o ，h + h o ，g + g o ) h 0 ，t 对于任意的r = ( b ，口，n h ，g ) h 1 0 ，t 】和任意的，y = ( b o ，口o ，r 。，h o ，g o ) “ o ，卅我们考虑下列正倒向随机微分方程： x ( t ) = z 4 - 6 ( s ，虫( 3 ) ) + 6 0 ( s ) ) d s + 盯( s ，皿( 3 ) ) + 盯o ( s ) d 叫( s ) ，t，c j o，0 + 上。( 吣】 r ( 。，x ( s 一) ，y ( s 一) ，z ( s ) ，q ( s ，a ) ) + ( s ) ) ( 扒如) ， y ( t ) ：g ( x ( t ) ) - - g o - - ，t 危( 。，皿( 。) ) + 矗。( 。) ) d 。一j ( 7 z ( 。) d 。( 。) 2 1 一f a x ( t , t q ( s ，a ) n ( d a d s ) ， 其中皿( s ) = ( x ( s ) ，y ( s ) ，z ( s ) ，q ( s ，) ) 我们用( 互1 ) r ，。表示上述方程显然 当7 = 0 时，方程( 2 1 ) 和( 1 4 ) 相同 定义2 4 随机过程皿( ) 三( x ( ) ，y ( ) ，z ( ) ，q ( ，) ) m o ，t 】称为( 互1 ) r 。 的一个适应解，如果( 互1 ) r ，。几乎处处成立我们称r 是可解的，如果对任意的 z 舻，7 霄f 0 ，卅，方程( 2 1 ) r ，。存在唯一的适应解，所有可解的1 1 k o ，卵构 成的集合记为( 【o ，别 定义2 5 设t 0 ，r = ( h ，口，r ，h ，g ) h 1 0 ，t ， 圣垒fb as g t ) ： o 卅一m 嚣引叭卅， ( 2 2 ) ( 圣( t ) f ( 击( ) f 。y + ( 西( t ) z 一孟 g ( z ) 一9 ( 孟) 一面、z 一孟、 一雪j i 可一雪 或者下述的( 2 3 ) 和( 2 4 ) 同时成立 z 一互 、 9 ( 。) 一g ( i ) 7 ) + 2 ( 叩) ( ；二； ( 叩唿二)( 州唿一- - ；g 面) ) 一6 l z i 1 2 ，w ，痧府，n e t o ，t ( 西( t ) ( 。( 茄二；( 。) ) ，( g ( 茄二；( 。) ) ) 。， ( ；二；) ) 刊叩，( ；二；) + ( 西( t ) ( 9 ( 唿二；t 事) ，( 4 屯唿二；以西) ) + 上( 圣c t ，( c t ，z ，z 讼；二；l i 广口，i 口1 ) ， w ，书衍t 0 ，明， | 占 。， ( 2 3 ) ) ) ( 2 4 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 如果( 2 2 ) 一( 2 4 ) ( 或者( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( 2 4 ) ) 成立，则称圣为由r 延伸出来 的第一( 二) 类桥，记为b d r ，【o ，t ) i b u ( r ，【o ，卅) ) 令 8 立成时 同 q 2 和 2 的述 下得且使 奶奶啡 一 一 砂砂 6 ， 、， a 一“y z 一 一z a “虱 一 一 、)、j “q z zr ，一 i e l 厶 + 、d丌 、 、j 一n y 一= 力， 一o 、 “贰 一 一 、j、j 协 “口 z 可 zr ， 、 两扔 一 一 妒妒 b h ，fli、 、j 一。一 一 一 z 可 ，iii、 t ，i t e l ( ad丌 、， 砌 一旭 一z、， 玑 似 ， 一x 蛳 一 “甄柚一一“ 砌 “q + 口 引 可 一 霉 = r 2 ，引鲈“ 一 0 ，r 和亍矗【o ，t 】称r ，亍被桥直接连接，若 b ，( r ； 0 ，t 1 ) nb j ( 亍； 0 ，t ) u b j j ( r ；【0 ，t ) nb ，f ( f ； 0 ，t 】) o 称f ，于被桥连接，如果存在f 。，n 宜 o ，引，r 。= f ，r 十= 亍使得 b ，( r i ； 0 ，t 】) nb i ( f i + i ； 0 ，r ) ) u b f f ( r i ； 0 ，t ) n 召j f ( r 件1 ；【0 ，t ) ) o ，05i 矗 下面我们叙述本文的中心定理 定理2 7 设t 0 ，f 1 ，f 2 h 1 0 ，t 被桥连接着，那么f 1 e o ，t 的当且仅 当r 2 ( 0 ，t 上述定理表明当f 。和r ：被桥连接时，它们有相同的可解性文献 1 5 】中对于 没有跳的情形证明了这样的结果，我们将它推广到带跳的情形 3 中心定理的证明 设n ：( b i ，以，n ，h i , g i ) 疗 o ，引，( i = 1 ，2 ) 显然，我们只要证明r 1 和r 2 被 桥直接连接的情形，因此我们假设r t 和r ：被桥直接连接 对于任意的 1 垒( 6 0 ( ) ，。b ( ) ，( ) ，h o ( ) ，g o ) 诧 o ，丁】，z r “，o o ，1 9 我们考虑f 歹u 正倒向随机微分方程 x ( 。) 2 。+ j c ( 1 一。) b l ( s ，( 3 ) ) + a 6 z ( s ，屯( s ) ) + 6 。( s ) ) d s + ( 1 q ) 盯( s ，垂( 3 ) ) + a 圹2 ( s ，皿( s ) ) + o b ( s ) ) 。h ”( s ) ju + 工x ( 0 硝 ( 1 一a ) r z ( 。，x ( s 一) ，y ( 3 一) ，z ( $ ) ，讹土) ) + a r 2 ( s ，y ( s 一) ，y ( s j ，z ( s ) ，q ( s ， ) ) + r 。( s ，a ) ( d a 如) ，( 3 1 ) y ( t )= ( 1 一n ) 吼( y ( z ) ) + n 卯( j r ( ? ) ) + g o ：f ( 1 一n ) ( s ，m ( s ) ) + a h 2 ( s ，皿( s ) ) + h o ( s ) ) d s j ( 7z ”( s ) 一工( t ，t 1q ( s ，a ) 霄( 删s ) 我们用( 3 1 ) ：，。表示上述正倒向随机微分方程类似定义2 4 ，我们可以给出关于 ( 3 i k 。可解性的概念t 显然( 3 1 ) 。o ，( 3 1 ) j ，。分别与( 2 1 ) r 。，( 2 1 ) r ：，。等同 假定( 3 1 ) ；，。对于任意的7 俺 o ，卅和z r n 唯一可解的，我们需要证明的是 ( 3 1 ) ：，对于任意的，y 饨【o ，卅和z 朋是唯一可解的为此，我们先证明下述 引理 引理3 1 设口 0 ，1 】记 皿( ) 竺( x ( ) ，y ( ) ，z ( ) ，q ( ，) ) ， 量( ) 垒( 贾( ，) ，p ( ) ，牙( ) ，囝( ，) ) 分别是( 3 1 ) ；。和( 3 1 ) ；，。的适应解其中 7 = ( b o ，( y 0 ，r o ，h o ，g o ) ，彳= ( b o ，5 0 ， o ，口o ) e 九 o ，t i ，z ，孟r “ 那么，下列估计式成立： i i 皿( ) 一面( ) l | 三：i 兰目 0 ，使得 e i x ( t ) i ：+ e z 7 阳 1 5 sg j 奎j ：+ ej g o j 2 + e o t 【 如( t ) j 2 + j 岛( ) j 2 + j 元。( ) r ( 3 1 2 1 + 1 ( 亡) 1 2 7 r ( d a ) 出) j a 由( 3 5 ) 和( 3 1 2 ) 得 e f 。焉m ) 卅e 2q 2 ( t ) 阳+ e z lio(tj0 0j a ，a ) 阳枞) 班 t 0 ，明 o c l 1 2 + e 1 9 0 1 2 + e 知n m ) 1 2 + i h o ( t ) 2 ( 3 1 3 ) + f a i i o ( ) f 2 ”( d a ) d 于是，由( 3 1 3 ) 式得 e 。；s 0 p 引1 2 ( t ) 1 2 g l 1 2 + e l 。1 2 + e z 0 2 i 耗( ) 1 2 + 1 占。( t ) 1 2 f o ，t 】 o 嘲t 卅加# 肭删 3 1 4 结合( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 即得( 3 2 ) 式 ( 2 ) 设西b f j ( r i ； o ，t ) 0 = 1 ，2 ) ，在这种情况下( 3 4 ) 一( 3 6 ) 仍成立，且类似于 ( 37 ) ，( 3 8 ) ，我们有 f ( n ) 0 ， 舳) 一h m ) 1 2 + 1 2 ( t ) 1 2 + 上i o ( t ，a ) 阳烈) ) 相应的等式( 3 6 ) 的左边一e e l 2 ( t ) 1 2 一c d l = 1 2 + e 1 2 ) ，( 3 1 5 ) 这里q 依赖于k ，l ，6 ，i b 旧) 【，i a ( t ) f 和待定的常数e 0 等式( 3 6 ) 的右边 一；e 厅阮) f 2 + 阢) 2 + 上帆a ) 阳扒) ) 以+ e 刀z t 1 2 ( 。) 阳 + c , e o 编( ) 1 2 + t ) 1 2 + l h o ( 0 1 2 + 上眦) 1 2 7 r ( d a ) d t ( 3 1 6 ) j a 1 6 由( 3 4 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 、1 6 ) 并且选择适当的常数e 可得 e 存帆) 1 2 + 阢) 1 2 + 工m ，a ) 胁 o l 1 2 + e l i 。1 2 + e 上t l i b 删2 + 瞰t ) 1 2 ( 31 7 ) + 阳t ) 1 2 + 上m ，a ) 阳烈) m 于是， ( 3 2 ) 容易由( 3 4 ) ，( 3 1 7 ) 推导出 推论3 1 设r 由 o ，明且b ( r ； o ，t ) 0 ，那么，对于