（计算数学专业论文）一阶非定常双曲问题的间断差分流线扩散法及其误差估计.pdf

1 引言 1 . d f d s d格式的产生背景 熟知，对于一阶双曲问题，由于其空间算子的非正定性， 使得标准的g a l e r k i n f e m i 1 很难达到较理想的数值结果，特别对于真解非光滑的情形.更确切的说， 如果问题的真解出现跳跃性间断，那么其有限元解经常出现伪数值振荡现象，甚 至是在远离间断线的区域因此为了改善其收敛性和稳定性，自 从 1 9 7 2 年，许多 非标准有限元方法相继问世.如d e n d y 方法12 1 , w a h l b ir ， 方法13 1 , i可 断g a le r k i r. 方法 ( d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n f e r n以下简称d g方法 少 ! ， 流线扩散法( s t r e a m l i n e d i ff u s i o n f e m ， 以下简称s d方法卿 其中d g方法是一种迎风型的显式算法， 它从入流边界 开始，自 上游往下流逐层逐个单元求解， 计算简便且可局部并行化，但是它在每 一个单元上求解时仍然是一种g a le r k i n 型的方法， 故在真解呈现急剧变化的局部区 域内， 数值解仍可能出现伪数值振荡.s d 方法则是一种新型的人工粘性法， 其人 工粘性项主要施加于流线方向且改变标准有限元方法中的检验函数来实现，因而 该方法具有良 好的稳定性能及高阶的计算精度. 但是s d方法是一种隐式方法， 故 要求解全局性的高阶离散化代数方程组， 而且入流边界上边界条件的局部改变将 在全区域上改变数值解的结果，这对于以解双曲问题并不完全合理 在文 16 1 中，已 将 d g方法和s d方法结合在一起， 提出了一阶双曲问题的间 断流线扩散法 ( d i s c o n t in u o u s s t r e a m l i n e d iff u s i o n f e m ， 以下简称d s d方法) . 其基本 思想是保持 d g方法的基本框架，但是在逐个单元求解时采用 s d方法，这样既保 持了d g方法显式计算的优点，又进一步改善了d g方法的稳定性.但是d s d方 法在处理含时间变量的问题时将时间变量和空间变量同等看待，利用时空元进行 求解， 这无形中 就使得待求解问题的维数增加了 一维， 与一般的离散方 法相比， 程 序实现变得更加复杂， 计算速度也受到影响. 尤其对高维含时间变量的问题， 利用 时空有限元变得难以实现.另外对于一些非线性问题，处理过程中也会带来许多 困难. 基于以上事实:本文我们将讨论对时间变量作差分离散而对空间变量作d s d 离散的间断差分流线 扩散法. 以 下我们 简称 之为d f d s d 方 法( d is c o n t in u o u s f i n i t e d i ff e r e n c e s t r e a m e l i n e d i ff u s i o n f e m ) . 在本文的 2 中。 我们给出了 两种d f d s d格式: e u l e r d f d s d和c r a n k - n i c o l s o n ( c n ) d f d s d 格式， 并在以 后的节次中 进行了稳定性 与收敛性的分析. 2 关于后验误差估计 所谓后验误差估计是指使用定解数据及已得到的数值解构成的某种形式来评 估 计 算 精度. 对于 有限元 方 法的 后 验 误差 估 计， 起 始于b a b u s k a 与r .h e in b o ld t 在11 3 中对两点椭圆边值问题的研究工作. 后来后验误差估计得到了发展， 通过以整体能 量模或每个有限单元 x的能量模的方式提供误差估计因子n x来近似表示误差. 这些构成了用来控制和减少误差的自 适应网格调节技术的基础. 8 0 年代以后，后验误差估计理论和基本技术逐渐形成 具有代表性的工作包 括 b a n k 与w e i s e r 1 3 , z ie n k ie w i c z 与 z h u 1 4 1 6 ,b a b u .s k a 与 m i l l e r 1 7 等人的工作，以 及e r ik s s o n 与 j o h n s o n 1 1 1 8 2 1 关于 抛物与双曲问 题的后验误差估计研究. 康彤 在!2 2 中 详细讨论了 定常一阶 双曲问 题的d s d 格式的 后验误差估计. 本文 受其启 发， 对非定常一阶双曲问题的d f d s d格式讨论了其后验误差估计 本文采用的网 格局部调节的基本思想是选取适当的时间步长，先在一个粗网格上求解，然后根 据后验误差估计式和使误差在空间网格单元上均匀分布的原则调节网格。也即在 真解比 较平坦的区域， 使网格比 较稀疏，而在真解变化剧烈或数值解精度较差的 区域， 将网格局部加密. 这样便可以尽可能减少代价而达到提高计算精度的目 的. 3 . 本文内容安排 在卯中， 本文给出了非定常一阶双曲间题的两种 d f d s d格式， 即e u l e r 型和 c r a n k n ic o l s o n 型， 3 和 4 分别对两种d f d s d格式进行了稳定性分析和误差阶 的先验估计. j 中我们讨论了d f d s d格式的后验误差估计.在防中我们给出了 e u le : 型d f d s d格式的一个数值算例，盯中 提出了一些尚未解决的问题 我们约定: 用符号。 , ,表示与时间步长a t ， 时间步数。 有限元网格参数h 无 关的正常数且同一符号在不同的估计式中可取不同数值. 虽 2 问题的表述及其 df ds d 格式 记vi为一有界二维区域，其边界o sz 分片光滑，a , 叫为时间域，考虑一阶线性双 曲问题 杂+ l3 ( x , t ) - v u + a (x , t ) 二 二 u ( x , t ) =g ( x , t ) , ?， ( 二 ， o ) =u o ( x ) , f ( x , t ) , ( x , t ) e s 2 ( t ) x ( d , t ( x , t ) e a 。 一 ( t ) 、 o , t x几. 这里 d u= w.-(s2(t) ( a 1 _a ,. ) ， r 8 ,.z a y (二 ， ) 一 ( )3 i (x , t ) , i32 (x , t ) ) , a a (x ) e w ， 一 (s 2 (t ) x 0 , t ) ( 一 ， ， 2 ) , a (x ) e x ( 0 , t ) f 1 c ( n ( t ) x 0 , t ) , f ( x , t ) l z ( l 2 ( q ( t ) ) ) , 9 ( x , t ) l z ( l 2 p o _ ( t ) ) ) , u , 。 l z ( n ( 0 ) ) , a n _ ( t ) =i x c a q: 3 ( 二 ， t ) - y 0 1 , y ( 二 ) a q 的单位夕 i、 法向 q ( t ) = s i l a l t - ( t ) . 通 常a n _ ( t ) 指流场 0 于瞬时t 的入流边界，而称a s a + 川二a s a l a s a _ 川 为流场 月十瞬 时t 的出流边界. 如同文日， 为在数值处理上避免使用随t 而改变的的变网格有限元空间及因此 而导致的分析上的困难，我们假定: 在空间边界a q上，,8 ( x , t ) 的指向不随 t 的改 变而变化， 从而0 - n - ( t ) 为一固 定的曲线段， 记为a 。 一 ( t ) 三 r 一 t e ( 0 , 州 相应 地q ( t ) = 叭r 一 全 几 ， 这 样， 问 题( 2 .0 ) 被 简 化为 +0 ( x , t ) 勺 ， 十0 ( 二 ， t ) 二 = f ( x , t ) , x , t ) 二 ， 0 ) ; ( 二 ， t ) , u o ( 二 ) ( 二 ， t ) e 5 2 x ( 0 , t ) , ( 二 ， t ) a r _ ( t ) x 0 , t , .e 几. ( 2 . 1 a ) ( 2 . 1 h ) ( 2 . 1 c ) 垫觑州州 厂几lesj、ee.t 现在给出问题 ( 2 . 1 ) 的d f d s d格式. 对时间变量作差分离散，令a t = 二 为时间步长 t =二， 二 =0 , 1 , 2 , n=t / l t 为简便，取s2为二维多边形区域，t h = 日是n的拟一致三角剖分，网格参 数为h .( 0 h . i t p 1 ) . a 是7 r, 的单元. 记 、 、 一 。 。 l 2 ( s 2) : ik : p (k ) : 。 t , ，(2 .2 ) 这里只( k ) 为a 令 1 ( 7 : ) 1 2 , 3 ) 组成. 上次数 三: 的多项式集合. ,9 ( x , t ) . v k e t i, ， 令a k为单元k 的边界， 记y ( x ) 为a的单位外法向.v k e t i, ， 在 它由三条直线边界 z ., ( 7 = 二亡 ， 时刻，我们定义 可 一 击 天 0 (x )ds , ， 一 1,213 , (i 1i， 是 t的 长 度 ， 3 (:r ) 一 f3 j , fo r 二 。 ， ; 一 1 , 2 3 c )a: 一 和。 ,9 k : t (斗- w 0 ， 任意取定.6 = c h , o c 。 ， 任意取定. s =ch 。 c 0 ， 使得v v e p 因、 ilv l0 (a k ) 0使得v w re 二 “ 一 v h 和v 2 u l rf r_ 剖 b ( 。 ， :，” ; :， ” 一 ) +c a 1 111 2 倒 下场 : 1121, , 112 + (t o !， + “ 。 1，ry r f+ c i d iiu 2 . ii2 i i a l i fln i i2 +比- 22q 1卜-2 这里 2 11711*, ii2 0 ( 11w 112i lw 0 - cif ) / t , a s 一 in t iq ( x i t) i, “ 一 “u p,c l a ( x , t ) i 因 证明 . a ( :。 ” ， 由( 3 . 1 ) 7 1 7 ，。 二 一 ) 全 y- ( 亡，n + ， ; + 。 。 ， 、， ” + 6 71i;3 ) k + (a ) 、 ，” ， ， + ) q 显然容易得到 ( a 二 倪。 ，n 卿a tw iil 十 ， 日 。 ii ) 布 6 llw ii (*j)(*z) 吩 i l a t u i i 丁 丁万斗 - 、，j沪 ( w y , 6 w ) 一( a tw , 6 w p n (u fl + 。 二 ? :? ) * + (a w , 6w , ) * 一 ( ( c. - z d iv j3) w , w .) , 、.产1 叮jj几 * 了.几、 7 _ _ _一. 一- - 卜 ， ， ， ， ， ， 山 门 . . . ， . . . . . . . 口 . . . . . . . . . . . . ， . . . . ._ 一 2 ( (、 + q d iv i3 ) ? 一)、 + 告 a (w 几 )2 .+dk“ 一 : d s . * “ ， 儿 * ， 。 ， “ 一 : d s = 五 、 o 0 (w )2 q y d sk+ 五 。 v (w )si ak(“ 一,3 ,) . y d s f * o (. -), 7 y ，一 told ” ” (招 全 ) 了 二 ，一 yak a (u;+ )2 lo , y l“ 把( * 1 ) 一 ( * 6 ) 代入 到( 3 .5 ) ， 并 取c , 1 一 昙我们 有 (* 7 ) 。 (一 ，70 ;?一) : 告 : 日 t1，一 一 + c ,6 llw ; ill - 一 告 d iv o 二 一 一 :u p .卜 一 一 鲁 、 。 - 7 d iv ,i3 lr.- 一 ( ) 一 + 4 t p cw 112 + z ( q w n , w )( 。 一 ， e i de r d f d s d 格 式( 2 .8 ) 有唯一 解 u l 艇 1 并 ， m 溉 。 ，2 + (ilu n : ? 、 i u - i2p.) t + n (r i)a ,u 0 ii2 + b 11 u ,10 c ( ilf ll 2 t t ( n 1 1+日 a 2 v( l ( i _:， + ilu o ll2 ) 这里 c与 二 . 无关. 证明. 由( 2 .8 ) ， 我们有 b ( u , u 0 ; u - ) 一 ( f , u + 6 u ,. ) : 。 一 2 , 4 -4 , i b 8 对( 3 .7 ) 的 右端应用。 一 。 6 不等式， 我们可以得到 (， ，。 + 。、 ) : 1 4 + 4 / :， 一 + .: 一 + 髻 iiu -3 ii . (3 .8) 然后由引理3 2和( 1 8 b ) ， 有 ， iiu , 112 + t o n i (u 1 .2 ， 十 : 。 。 ， + r 1 一 竺 、 b 1u 0 11 + : : i ， u 112 . - , ” 一” 一 “ 见一 q = “ 一 “ !一ir 十 火 二 ) “ llu “ , 2” 2 ( 1 + c o ) iiu 112 + 2 盯 i ii, + 2 q i is 12 。 = 1 , 2 ， 一 n . ( 3 .9 ) ( 3 . 9 ) 的两边同 时乘以t ， 并从1 加到二 ， 然后利用g r o n w a l l l 不等 式， 并注意到ii u 0 ii 。 ， 并且 艺ilf 0 ii t _ 2 11f 11 2 l - ( v ( 0 ) ) ,又is 12 t 0 ， 使得 : i1f 112 十 1 112 : 十 l 0 h + 十 陌112 + t iia , 112 c 1i6 112 + 1171 11 + h 11yj ii; + ii - iq . + in 1 p , + ih tn 112 + iie i l12 证明 . 事实上 ( 3 . 1 8 ) b (?7 ; 71” 一 ) 一 艺 ( :。 ” + 哈十 。 ” ，” ， ; ” + $ ) 、 + ( l 1, 乏 + q , . (3 .1 9 ) 由于 ik e p , ( k ) ， 并由ii 的定义，我们有 ( ,n , 1 )( a t r 7 , f ) x =1 (7j7一子一 ， 护) * 二0 , h k e五 _- - ， ， ， 种 甲 . . . 种 种 种 ， 种 户 ， 户 . 户 种 种 种 . . . . . . . . 分部积分，就有 (o z ) (n + 。 : ， ) * 一(n ,l(1 )k + (。 一d iv r )n ,e )k + 儿 k : 一 。n , f; -)k + 1 k !， f ” 一 : d .s + 1ia 一 d iv ,y l l、 一 (+.- (il )11n llk - ik lik 令o k 为单元k r的几何中心， 那么 就有q ( c k ) - 0 v ik e p ( k ) 和i a ( - ) 一 m( c k ) i 5 c h k ， 再由p ( k ) 的逆估计， 我们可以得到 ( a 3 ) 另外， ( ， n ， 琳 ) * 一 n , ()3 (x ) 一 q (0 k ) ) v o k 5 c 11n ilk iiv ilk 容易证明 ( t, 4 ) ( 。 ， ， $ ) * 一 五 。 b a q % 0 k y d s - “ 1 10 b + a 0 d iv q ) n , ) 、 )r 。 s a y c o 8k -yd .s + b lla ; + a d iv o 0 ii: 一 、: 一 (。 )， ，。 ，、 t m llk ( ,5 ) 沁* a r ) k _ c a lm ih ,k ll r ilk _ c a lln ih ,k + 66r8 llk 注意到 ( ,6 ) j ak 77%n ， + i ak 6 a n y “ 二 : d s 一 i k 于 。 刀 - y d s 一 ( 子 ” : 竺 ，c , a k: 一 ( a n + ,f + l a k- + 五 、 a 0 n v (j ax ” 一 q ) -id s 应用引理3 . 2 和迹不等式，我们有 众 厅 r ， 犷 (” 砚 一 7 ) y d s 、 al( 众 ?，几 ) ，“ 一 if id s) i 、众 (; ) 、。 一 t d o “ h 2c 117m io (o k ) jiv ilk c h l 11,1 11二 ， ( ) jj jjk 。 ， 是的， 的解.那么在 对于足够小的 + 。” ) n艺阔 + 十 2叱 n艺阔 + 尸n : c ( “ ，r + ， 这里规定了u + i r + = u + ir + = +ir + = 0 . 证明. ( 3 . 1 8 ) 的两边同乘以二 ， 然后对。 e二 0我们可以得到对足够小的二 + t 2 j ， 相加， 应用g r o n w a l 1 18 1 不等式， ( 3 . 2 0 ) 并注意 护il + 睿 (i 1 + i# i2r+ + 114 1, 112 - t iia ,c i112) c , 又( 1 1,1 1112 + h 1l 71. 112 + 1r1_ 1孰 + 、 .。 + + ， !?尸 !一 十 : 。 ，) ( 3 . 2 1 ) 由归 . 1 2 ) ， 我们有 又11 留11 2 (,212 ii 2 l 2 ( j i . l 2 ( q ) _ _ ， 打 a 训 (,2 t 一a ce ii ( 3 . 2 2 ) l ( v ( f l ) 因此，由伍2 1 ) m ax 明 ) nn l 】 d 0 】 一 + 悉又 11七 j i舀 : + i = 1r + + 0 il n ll + t iia e0 1) : c a f_ ( 11,7 112 + h llrh 112 + ?7n 12 , + 1,1 1 1 12 , + 11a , 日， + t 2 ) :( 3 . 2 3 ) 又易得 17 1 117 7 11 c 4 h .* + i iin ll i ,k c s h r , ii a 0 ) 1q _ 三 c c h + - , 1117 0- ilr + c 7 h + , 又an , 睁 0 , l 2 ( r _ ) h l 7w , 7e1 ; 7l 。 一 ) + c a 1wil2 + jjw , ii2 + 使得v w 0 , 。 ” 一 v , 以及v 7 j ir _ i w - 1 112 + 剖 淤 2u l_ ir : 告 卜 w ii2 + 。 .+v )2 + 。 二 : 十 + c =6 iiw an ll2 ， ( 4 .3 ) 证明 . 注意到这里 ( 牛 1 ) (a =71) , 711 ) 一 告 ，卜 一 . ( 丰 2 ) i( =w 。、 ;。 : 一+ 一 + 24 22 w n 2 其他项的估计类似引理3 . 2 ， 从而很容易得到 汗3 ) . 由引理4 . 1 ， 我们可以得到如下的cn格式的有限元解的稳定性估计 定理4 . 1 . 对于足够小的 t ( 二二 ) ， c n d f d s d格式( 2 .1 2 ) 有唯一解 u 集1 . 并 有下面的估计式成立 六 /l- 一2 ，m a xi。 ， 使得 o iiv iiz + 4 n 12 + ie 12 . + 6 p ll2 : c :; : ! + r i - 111 + : ， + ii n 0 - 112 + “ .: .: + ii - iq , + i - it+ + :二 . 、” 5 ) 证 明 类 似 于 引 理3 .3 的 处 理 办 法 ， 这 里 我 们 仅 需 估 计( o t7l n , 曦) 事 实 上 ( 丰 3 ) (a an , 4 n) : c o w ，一 + iln n- iiz) + 杀 ii,n ii2 因此， 适当取: ， 令二 足够小，( 4 . 5 ) 显然成立. 令。 为 ( 2 . 1 ) 的解， 假定 u 。 : 一 (。 一 (。 ) n c m x to , t i),鬃 。 l 2 (。 一 (52) ， a 2ua ez 。 ; 2 (h i (q ) ， a 3ua 13 。 l 2 (l 2(0 ) ( 4 . 6 ) 现 在 我 们 估 计二 登 ii珊 112 ， 事 实 上 ( 丰 4 ) t 一 (au).一 : c ti一a3 fl, t3 一一。(。(。)， ( $ 5 )二 又日 g n 0 ( u n 一 u n ) + c rg i i , 一 u l 川: c 一 】 t ty 】1: ,(h,(p) 11 yz 11,， 因此容易得到 二 艺ie 2 ilu -1 11一 ( 一a2uat2 一:，(。，(，)一 1a37,+ a0 一一:(:(。，) 然后我们可以得到c n格式的误差佑计如下 定理4 . 2令 、 ， u n 分别是间 题 ( 2 . 1 ) a n d c - n d e d s d格式( 2 . 1 2 ) 的解 ( 4 .6 ) 为真，那么存在与二 ， h 无关的常数c o 使得，对于足够小的7 , ( 4 . 7 ) 假定 二 。 .z . 吞 i r- n n : 二 ，.， 、 _ . 。 李 : 、11 0 m a x lieo n n ” 十 l t h e ” q 巴 十 “ 一 殊 少 下 十 “ l- i 日 “ j , ii ! c ( jt2 r + 1 + 二 ) ， ( 4 .8 ) 这里规定了娜: ， = 畔l r , = 解: ， 二 0 互 5 df ds d 格式的后验误差估计 考虑到需要对某个时刻t o 的网格进行调整， 为了保持u “ 一 格一致， 需要引进l z 一 投影尸 ” ， 故对原来的格式稍作变化 u =u + p 竺 u - i , n o =t l -r , 1 二 n o . 与在t 时刻调整后的网 改记 u . =u - p u 一 、 冲 = 其直径. 记 目是t = t , ( n = 0 , 1 , 2 - - - , n ) 时刻s 2 的三角剖分， h 和h.;二 为rh 中所有单元的最大和最小直径. k 是兮 的单元，h .。 为 显然h-;. h k h . 1 ,h 一 ， 。 l z (s 2 ) : ，、 。 p , ( k ) , k 。 7 ,- ) 、 这里p 因 为k 上次数 r 的多项式集合. 参照前文及阵 ， 求解( 2 .1 ) 的d f d s d格式可以定义为: 求u 0 e 4 h , 、= 0 , 1 , 2 ， 二 ， n o ， 使得 i . e u l e r 格式 ! + u; + u 0u *. + b v p n ) n + 易 ” lu l l ，二 )* - =( 1 f n , v + b v y ) nv vv h , u ir= 9 u 0 =1 0 u 0 . ( 5 . 1 0 .) ( 5 . 1 g ) i i . c - n 格式 (a u n + u g + a r u , + b二 ) 。 + k - 0 p 1 ，二 )。无- 一 ( i 0 g - 11 2 , v + 。 ， ) ， v v 任v h , 仗ir=9 n l m =i 0 u . ( 5 .2 a ) ( 5 . 2 b ) ( 5 . 2 e ) 其中 c p ) *s 1h 为l a g r a n g 。 线 性插值， l z ( q ) - r v ,; 为l 2 一 投影， 满足 尸尸 ( p u - , p ) 一 ( u - , cp ) 6 g c o h 2 . . c o 为适当选取的常数，随着t 饰 v h( 5 . 3 ) 时刻网格的调整， b 也需要相应变 化. 一一-一 对于一般的函数f , 精确求出相应的积分项代价太高，且考虑到本文后面讨论 t 是可网 个调整时需要计算各 个单元的误差指标项， 为此格式( i ) 与( i i ) 中 分别以 尸 了 ” 替代f n ， i n f n - i / 2 替代f n - 1 / 2另外， 本节中我们补充假定 ( 5 . 封 对于 b n 一 a =ra t 一 v 二 ( x , t ) = z ( x , t ) : q 一 ; d iv a : 、 、 。 nn o ， 考虑二维对偶问题: ( 13 z ) + tr z = 0 , ( x , t ) 5 d x ( 0 , t j , 0 , ( x , t ) r + x ( 0 , t 1 , 二 e n = 俨一 “ n 对于问题 ( 5 . 5 ) 我们假定存在不依赖于e n 的正常数c ， 使得d 0 t t n ， 有 ilv z ( t ) j l c ( t n 一 t ) 一 ， iip n ii( 5 石 ) 类似 !2 2 的讨论， 先证明问 题( 5 . 5 ) 的 解之 具有如下稳定性佑计 引理5 . 1 . 存在不依赖于。 n 的正数c ， 使得: 满足 n m 沐 (，)，一 + 2 芜 f (一 ; d iv f ) z2d x:d t + 2 1 j r ild iv (o z ) ( t ) ll : c (t iv 一 ， ) 一 ii e .n t o ilv z lid t 气 十 n .t“ “ z i p 7 1d i, d t 2 1le ii. ( 5 .7 ) ( 5 . s ) ( 5 . 9 ) , r /i n二 1 il d i v ( 8 z ) ild t c 1 + i n 一 ile ll j o、i/” ( 5 . 1 0 ) 证明 ( 5 .5 a ) 的两边同时乘以: ， 在对: , t 积分， 得 厂 f (一 + d iv (o z)一 卜 。 ，“ 【。 ，“ ， 利用分部积分公式，得 f f zz,d x d, 0 ， 一 ; ( )一; 。 (， 1, f. d iv (o z)zdx d : 一 ; 厂 f. 一 (d iv # )dx d t + ; 厂 11_ z2 yd id t_ 于是 i iz ( t n ) iiz2 i iz (t)iii + ; 厂 f 一 (d iv o )d xd t + 12 厂 f,_ z2,9 1 y d id t - 厂 fn a zd x d ， 一 。 注意到r 一 的定义，我们即可得到 ( s .7 ) . 由( 5 .6 ) 及p o i n c a r e 不等式，我们有 ild i v ( )3 z ) ( t ) il =1 10 v z + ( d i v p ) z ll 5 ( 11 0 11_+ ild i v ,6 ii- ) 日 ， z il c ( t n 一 t ) 一 iie ll 又， : ， d i v ( ,o z ) 都是【 0 , t n 上关于t 的连续函数，故存在t o 31 t n ， 使得 下m ax 已 n一1 亡 亡 . yi lv z ( t ) ii _ c t llv z ( t 0 ) 日 c r ( t n 一 t 0 ) 一 ， lle ll 5 c i ile ll 以及 t i l l ax 亡 ， 一1 记 至 ni ld i v ( j l z ) ( t ) ii _ c t lld i v ( /3 z ) ( t n ) 日 c t ( t iv 一 t 0 ) 一 ile ll _ c z ll e l l 成立，从而 j ina :二 ild ， 一 z 一 llv z lld t + 亡 n一 l 亡 之 llv z (t ) ll _ c ( i + in 专 h e ll 产 万产 一 t n t o ild iv (,y z ) ild 一 u ild iv (f3 z ) ild t + t , m a x ,n lld iv (a z ) ii _ c ( i + in 十 h e ll 到此引理5 . 1 得证. 下面考虑问题的后验误差估计.先考虑格式( i ) 令 ( + 1 )i ( t ) =( t n 一 t ) i t , ( 二 ， t ) = u ” 一 t ( t 卜 ( 1 一 1 ( t ) ) u , v t e ( t - 一 , t 方程( 5 . 5 a ) 的两边同时乘以， ， 一 u ， 并对二 ， ， 积分， 有 息 j e。 一 。， 一 “ “ +j j ,。一 ， (d iv (o z ), ” 一 ) “ 一 苍 j e。一 ， (v z ,“ 一 “ ) “ 一 。 (5 ) 对( 5 川 中的各项分别计算，有 n . , ( z , , : 一 u ) ( i 二 艺f . l ; 一 u )d tdx 一 ( u n 一 u n ， z n ) 一 ( 。 “ 一 u 口 ， : 。 ) 一 艺f a_ , 一 一 ，亡，“ ( 5 . 1 2 ) 产矛把 、艺 戴 j ,nn , ( d i v ( 13 z ) ， 二 一u ) d t = ( d i v ( /3 z ) , e t 一 u ) d t + 又 e ( d i v ( 3 z ) , u 一u ) ( i t ( 5 . 1 3 ) 而 ( d i v ( z ) , 。 一u 0 ) =( d i v ( 3 z ) , 。 ) 一 *eket ( d i v ( o z ) , u ) k 一 ” ， 一 ， + 关 zu 3j ryd s + * eke t (“ v u , z)k 一 f * zu 0,3 (。 二 (u - 。 ) : ) + j r _ 一 ” y d s + ke t j8k : 毋10 川 d s 一f 、 z 肥 口 y d s k + 当1a k 十 诺 r * 时，8 k + 必为k 的 相邻下 游单元的入流 边界，因 此 ke j 8十 伙 “ y d s =艺 k e t ,-i ,u z,q ” + fl. 二 : a 、 ， 一 关 _ u z q y d s , nn ( d i v ( # z ) , 。 一 u ) d t =艺i t _ . (a v ( u ” 一 “ ) , z ) d t + 艺c_ : 井 _ z (u 一 u _ )10 y ld sd t nn ( lu l l : ) 。 : d t + 艺i . t _ : ( d i v ( a z ) , u 一 u ) d t ( 5 . 1 4 ) n0 7几二1 =t t n 一 u n ， 结合( 5 . 1 1 ) , ( 5 . 1 2 ) 和( 5 . 1 4 ) ， 我们有 “ “ 一 p n 一， -， 。 一 u 0 , : 。 ) + et (，(?一 。 ):)d : + n)t)d t +tf q_ , ca v 一 u );z )d t 一 nt f rt- 厂 _ (一 “ ， ，” 7 ld sd t - nt i n _ : ( u 1 , ) 、 : d t _ ， ( (7 z , ” 一 明d t 阔月了知 n ( d i v ( j i z ) , u ” 一 u ) d t +又( 5 . 1 5 ) 上产矛加 、艺阔 由( 2 .0 a ) , ( 5 .4 a ) 和( * 1 ) ， 我们有 ( ( ， 一u ) t , : ) +( a v ( 二 一u ) , : ) +( 。 ( 。 一 u ) , z ) =( f . : ) 一( u t. : ) 一( t i - v u z ) 一( a u : ) + ( a u + u ; + tr u 0 , 。 “ + b v ., ) n + /d (u 0 ) , v + ) q : 一 ( i f , v + =( f 一 i f , z ) +又 ( r ， 二 一 ,u ri 一 6 v ) k -( 尸 几 之 厂 . 一 1 一u 仲 一 1 k c 刀 ) + (q u 6 q . ) , ， v