（应用数学专业论文）耦合光学波导腔中光子的相干控制.pdf

摘要 论文理论地研究了在祸合谐振光学波导腔( c r o w ) 中，通过与 人工原子的相互作用，对于光子传播的相干控制。本文采用了双时 格林函数的方法，研究了在各向同性耦合的c r o w 中光的相干传播。 我们研究的物理系统中，组成c r o w 的每个微腔和一个人工二能级 原子作用。在弱耦合的情况下，我们计算了光子和原子的格林函数。 通过分析格林函数的极点可以得到光子传播的本征频率。由此可 以计算出光子的群速度，实现通过原子的集体激发而相干控制光的 群速度。我们还从理论上预言了原子布居数反转导致类似激光的输出。 关键词：耦合谐振光学波导腔( c r o w ) ，二能级原子，双时格林函数。 a b s t r a c t t h i sp a p e rt h e o r e t i c a l l ys t u d i e st h ec o h e r e n tc o n t r o lo fp h o t o n t r a n s m i s s i o na l o n gt h ec o u p l e dr e s o n a t o ro p t i c a lw a v e g u i d e ( c r o w ) b yd o p i n ga r t i f i c i a la t o m si nh y b r i ds t r u c t u r e s i nt h ep r e s e n tp a p e r w ea d o p tt h et w o - t i m eg r e e nf u n c t i o na p p r o a c ht os t u d yt h ec o h e r e n t t r a n s m i s s i o no fp h o t o ni nac r o ww i t hh o m o g e n e o u sc o u p l i n g s ，e a c h c a v i t yo fw h i c hi sd o p e db yat w o - l e v e la r t i f i c i a la t o m w ec a l c u l a t e t h eg r e e nf u n c t i o n sf o rp h o t o na n da t o m si nt h ew e a k - c o u p l i n gc a s e i t sp o l e sp r e d i c tt h ee x a c te i g e n - f r e q u e n c y , w h i c hr e s u l t si nt h eg r o u p v e l o c i t yc o h e r e n t l yc o n t r o l l e db yt h ec o l l e c t i v ee x c i t a t i o no ft h ed o p i n g a t o m s w ee m p h a s i z et h er o l eo ft h ep o p u l a t i o ni n v e r s i o no fd o p i n g a t o m si n d u c e db ys o m ep o l a r i z a t i o nm e c h a n i s mw h i c hw i l lr e s u l t i n l a s e r - l i k eo u t p u t k e yw o r d s ：c o u p l e dr e s o n a t o ro p t i c a lw a v e g u i d e ( c r o w ) ，t w o - l e v e l a t o m ，t w o - t i m eg r e e nf u n c t i o n 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：讯各自 日期：刃m 细f f b 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名： 讯各岛 日期：阳徭z 月，厂日 量子电动力学f 1 】是描述电磁场与物质相互作用的基本理论。 它在极高的精度上，成功解释了诸如电子反常磁矩和氢原子能级兰 姆( l a m b ) 移动等重要的物理发展。可以说，量子电动力学是现代物理 学中最经得起实验检验的重要理论之一【2 】。量子电动力学的研究主 要强调描述电磁场相互作用时电磁场量子化的必要性。对于原子物理 而言，只有通过量子化的电磁场，才能真正描述真空中原子自发辐射 等纯量子效应。微腔量子电动力学( 腔量子q e d ) 是原子物理和量子 光学研究的交叉研究领域。它主要研究原子与特定边界条件下量子化 光场的相互作用。在过去的十几年里腔q e d 预言了许多崭新的物理现 象，如微腔中原子自发辐射的抑制或增强和强耦合极限下辐射谱的拉 比( r a b i ) 分裂等。近年来，由于冷却原子技术和光刻方法的长足进步， 在小尺度腔中，可以实现光子和原子质心动量能量的有效交换，从而 导致原予光学的诞生。最近，在量子信息的研究中，腔q e d 系统显示 了其他系统不可代替的作用。 ( a ) ( b ) 图l ：利用耦合谐振光学波导( c r o w ) 对光相干控制 近几年来，研究者们提出了将微腔耦合起来，即所谓的耦合谐振 光学波导( c r o w ) f 3 ，4 1 ，对光子相干控制【5 7 】，已经在实验上实现了 所谓“慢光子”f 6 ，7 1 的相干传播。这些实验成功地演示了单模腔的相 干耦合f 5 ，6 1 ，同时也实现了类似于光子晶的物理体系统和它的能带结 构。在实践应用中，c r o w 可以用来停止或储存光脉冲的传播，它的 结构相近于凝聚态物理中紧束缚费密子体系【8 ，9 】。如图1 ( a ) 一( b ) ，这 两个装置就是研究者分别在f 5 】和【6 】使用的c r o w 。因为我们的工作 跟这两个研究有相似的物理体系。所以在这里简要介绍一下这两个工 作。图1 ( a ) 一( b ) 中的圆盘都代表单模微腔。图( a ) 中腔体分为两个系统， 系统a 和系统b ，光脉冲从耦合腔a 进入，但是研究者发现如果调节腔 体的物理参数，可以使光从b 反向输出。在【5 1 中研究者列出了光子算 符的海森堡运动方程： 警= 讥a i + i e t a ( 啦一，+ 啦+ 1 ) + 慨一7 a 面d b i = i w b 阮+ i q b ( 玩一l + 既+ 1 ) + i p n i 一佃玩。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 两个式子中的算符a f 和b i 分别代表体系a 和b 中第i 腔体里光子的湮没算 符；u a 和w b 分别是两体系里光子的频率；q a 和q b 分别是两体系里光 子在腔体之间的的遂穿系数，可由腔之间的距离调节，在文献f 5 】中 研究者取q = 一a b = 一q ：7 a 和佃分别是两体系里光子的衰减速 率；p 是a 和b 之间的耦合系数。如果对光子算符作傅立叶变换，变换 到七空间，在求解运动方程则有光子传播的本征频率 u 士，k = ；p a ，+ w b ，+ i ( z a + 讹) 士wa,k-wb,k+i(7a-7a)2+432，( 1 3 ) 这里的u a = c o a 一2 dc o s ( k e ) 和r o b = “谵+ 2 ac o s ( k g ) 分别是两个子 系统的能带。我们可以看到没有耦合时两个能带是独立的，当子系统相 互耦合时能带就变为u 士加文中光的群速度 = d w d k ，可以通过调节 两个子系统的频率u a 和u b 来改变方向。具体的操作是这样的，把光脉 冲打入系统时令u a u 8 一例，这时光脉冲的频率在下带u 一附近， 而且频率随波矢k 单调减小，即群速度v 为原方向随后调节“，4 和u 8 ， 使得o g a u 口例，这时可以看到“，一随波矢k 单调增大，这时的群速 度就反方向了，光脉冲就反向传播了。当然这里还涉及到具体调节时 的技巧，我们这里就不多叙述了，但基本思想是很巧妙的。图1 ( b ) 示意 的装置是文献【6 旧来减慢光子传播群速度的，基本原理和文献【5 】相 似，也是调节c o a 和u b 。我们看到，这里运用到的物理原理很朴素，但产 2 生的物理现象却很丰富。在实际的应用上最关键的还是要制备可调单 模的耦合腔，就是c r o w ，这种类光子晶体的器件有很大的应用前景。 图2 ：c r o w 和硅树底的e i t 效应 在c r o w 中，这个效应类似光学中发生在原子系综介质里的电磁 诱导透射( e i t ) 1 0 _ 1 3 】现象。图2 ( a ) ，( b ) 就示意了研究工作f 1 2 ，1 3 】中， 光学波导腔和硅片上的e i t 现象。另外最近研究表明 1 4 ，1 5 1 ，当一个 耦合腔阵列与二能级原子相互作用时会呈现出光子阻塞现象。这就是 极化子的m o t t 绝缘体态，这个物理态是原子与量子化光场相互作用时， 形成的多体修饰态( d r e s s e ds t a t e ) 。更有趣的是，这个杂化的体系跟二 维腔阵列耦合时会经历从m o t t 绝缘体态( 每个腔里的局域激发) 到超 流态( 腔体之间非局域的激发) 的量子相变 1 6 】。类似的结构还可以 在超导电路中实现。利用所谓的耦合传播线性谐振( c t l r ) 波导中，可 以对微波光子进行相干控制，这里每个腔跟一个可调的荷比特( c h a r g e q u b i t ) 耦合f 17 1 。c t l r 构成了一个人工光子晶体，光子在其中传播的 同时具有了可调的能带结构，而荷比特的集体行为在低激发的极限下 表现为自旋波，这些荷比特可以调制晶体能带宽度从而可以达到减慢 甚至停止其中微波传播的目的。 上面提到的最近的研究进展促使我们进一步发展一般的微腔量子 电动力学( q e d ) 的理论方法。我们研究的物理体系不仅光子与原子相 耦合，而且光子具有了能带结构，所以我们尝试运用固体理论中的双 时格林函数方法来处理问题，得到了一些物理结果，并和其他研究者 的结果有所参证。 3 2基本概念 2 1 微腔中的电磁场量子化 作为量子电动力学的一个重要发展，微腔量子电动力学( 腔q e d ) 主要是研究在微腔提供的特殊边界条件下电磁场量子化及其对其中的 实物粒子( 如原子) 的影响。从数学形式上讲，场的量子化是一种本征 模式( n o r m a lm o d e ) 展开的过程。由于这些本征模式由相应的经典场方 程的边界条件决定，而微腔的腔壁限定出各种各样的边界条件，这样 使得腔量子化变得很丰富。物理上讲，腔壁决定了腔中电磁场与外界 交换能量的方式，它的改变能直接影响微腔中发生的任何由电磁相互 作用主导的物理过程。这一节和下一节，我们将采用文献【18 】中的内 容，介绍微腔量子电动力学的有关基本概念。 本节主要介绍图3 所示一维法布里一珀罗( f - p ) 微腔中的电磁场量 子化问题。我们考虑( f p ) 中的无源电磁辐射场，其中f p 腔是由两个 原理上无穷大的平行平面导体壁组成。两壁之间的间距为厶。腔中的电 场e 满足m a x w e l l 波动方程： 1 伊 v 2 e = 去去e( 2 1 1 ) 伊犹o 其中的c 为光速。这里的理想导体在z = 0 和z = l 处提供的边界 y 图3 ：由两无穷大超导平板构成的一维微共振腔( f p 腔) 4 条件点k ( 0 ) = e l ( l ) = 0 给出的e 只有z 分量玩( 此时磁场h 只有y 分 j t h l , ) 的特解： 一 玩：q l ( t ) s i n 了1 7 r z( 2 1 2 ) 不难证明，波动方程分离变量的时间部分q f ( t ) 满足谐振子运动方程： 国f ( t ) + 1 2 矿7 r 2 c 2 q _ f 0 ) ：o ( 2 1 3 ) 利用麦克斯韦方程可以计算出对应于电场点名的磁场： 吼= i c o l 啪；) 删i 1 7 r z ( 2 1 4 ) 由此可以计算出电磁场的哈密顿量 日= 搿捌嘏+ 加田) s = ；( 繁y ) 【讹) 2 + 研q 御】 ( 2 1 5 ) 这里，e o 和p o 分别为真空中的磁导率和电导率，8 为f p 的横截面 积，矿= s l 为腔的体积，k t = 譬为驻波的波矢，相应的频率= c 觑。 引入“归一化”的力学量啦( t ) = 、撵y q f ，研( t ) = 讯( t ) 和相应 的“产生一湮灭”算符n 和啦 哪= 了面1 ( q f + 锄) 单模电磁场的哈密顿量可以表达为单模谐振子的形式 凰= 扫+ u 行) = h w t 。t n l 这时，电磁场的量子化可视为谐振子的正则量子化 【q p 】= i h ，【n ，a t 】_ 1 于是，我们得到f p 腔中横向单模电磁场量子化的表达式 眦= “n + n t ) s i n 笔名 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 其中c f = 、锷为单位体积场振幅。 需要指出的是，理想的边界条件b ( o ) = e l ( l ) = o 给出了分离出 空间部分的波动方程 a 2 易b ( z ) + 砰己( z ) = 0 ( 2 1 1 0 ) 的解 u t ( z ) = s i nk t ( z )( 2 1 1 1 ) 它们构成一组完备的本征矢微腔。任意一种电磁场位形场可以表达 为u z ，它被称为腔场的正规模( n o r m a lm o d e ) 。可以认为，场的量子化 过程对应于场算符的正规模展开。 6 2 2 单模光场与原子的相互作用 本节将从第一原理的“全量子理论”出发，推导出单模光场和二能 级原子互作用的j a n y e s - c u m m i n g s ( j c ) 模型。 为简单起见，仅考虑单个中性原子。设原子核的质量为m ，坐标 为r ，核外电子质量为m ，电荷为e ，坐标为r 。当原子处在电磁势为a 的 电磁场中，根据最小耦合原理，只需对没有电磁作用的原子系统哈密 顿量中核与电子的正则动量p 。( s = r ，r ) 作规范平移： p r p r a ( r ) ，p ，一p ，+ a ( r )( 2 2 1 ) 这里我们采用了“自然单位制”。由此，得到电磁场中原子的基本哈密 顿量 凰= 爿旨 p 月一a ( r ) 】2 + 丽i 。p r + a ( r ) 】2 + v i a - r l ( 2 2 2 ) 其中y i r r l 代表电子与核的库仑相互作用。 引入相对坐标x = r + r 和质心坐标q = m m r + - 。m r 。、一。应的正 则动量b 和尸。在原子质量m 很大的大质量极限下嚣一o t ( 对于 束缚态电子而言，也考虑到电子运动尺度远小于质心运动的范围) ， l l l 】q z q ，则上述基本的哈密顿量为 玩! 嘉+ 蒜州加鼍竽 ( 2 2 3 ) 其中忽略了双光子项a 2 和高阶项0 2 ( 半) 。 类似于玻恩一奥本海默( b o r n - o p p e n h e i m e r ) j 2 似【19 】，固定q 求解 关于z 变量的本征值问题 p 2 【磊+ y ( z ) 】i n ) = 晶玩= ( 2 2 4 ) 同时，考虑z 的运动方程圣= 去扛，日】= 可得 ( m l p 。i n ) = 纛( 晶一e m ) ( m f 。i 扎) + a ( 2 2 5 ) 7 这时 玩= 嘉+ 岫) ( n i + i a 一u 。) ( m l x 川m ) ( 竹i + 0 2 ( a ) ( 2 2 6 ) 对于二能级的情况，( 记i e ) 和1 9 ) 分别为原子的激发态和基态，局= 0 ， 而x 为奇宇称，有( s l x l s ) ) ，所以可以得到 d 2 h a 2 云+ i e ) ( e l + 砒a p ( i e ) ( g l i g ) ( e 1 ) ( 2 2 7 ) 其中p = ( e l x l g ) 为电偶极矩。 现在考虑单模微腔电磁场情况。e h e = = 番a 。，吼= 伽是如反解 出 a 。= q ( q ) o t + o l + ( q ) n( 2 2 8 ) 其中的q 和o t 分别为a 。的正频分量和负频分量，q = z 。于是，单模光 场与二能级原子相互作用系统的哈密顿量 日2 丢西+ 觑如i e ) ( e i + 鼬七+ 夕( q ) ( 。一n ) ( 1 e 臼f 1 9 ) ( e | ) ( 2 2 9 ) 其中9 ( q ) = p 南s i n 七q ，是微腔的有效模式其中的u 代表与原 子共振的微腔模式的频率，通过u ( t ) = e x p - - i w a t a i w 。l e ) ( e 1 变换到 相互作用表象，哈密顿景中将出现四种不同的频率的项 e ) ( g la + i e ) ( g i a e 一( 。一峨) t 9 ) ( e lo i g ) ( e l a e 一( + 。e ) 。 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 以及它们的厄米共轭项。由于在近共振的条件下，i e ) ( g l a t 和l g ) ( e f o 分 别对应于以下的“虚过程”( 图4 ( a ，b ) ) ，它们对于运动的贡献是两个高 频项，其频率为u + 。而l e ) ( 夕l 和j 9 ) ( e l a t 对应于频率为6 = u 咄的低 频“实过程”( 图4 ( c ，d ) ) ，相比之下虚过程可以忽略不计。详细的证明 可以见文献【2 0 1 ，其主要的思想是一个缓变函数与一个高频震荡函数 的长时间积分为零。上述忽略虚过程的近似被称为旋转波i 巨似( r w a ) 。 8 协 盼 西 g 图4 ：( 8 ) ，( b ) 两图表示光子的虚过程；( c ) ，( d ) 两图表示光子的实过程。 这样，得到了描述单模光场与二能级原子相互作用和质心运动的j c 模 型 i 0 2 h = ：；- 再+ _ i i e ) ( e i + ，i u t o + g ( q ) a t l g ) ( e i + h c ( 2 2 1 2 ) 二w 其中虿p 丽u 与相互作用项研= g ( q ) o ti g ) ( e i + h c 通常不对易，故有质心 运动的j c 模型一般不能严格求解。以上是关于j 模型纯量子论的推 导，它也可以在半经典偶极近似下推导出来。即采用偶极近似熹a p e r e ，其中e r = p 是原子电偶极矩。但只有在旋转波近似下，熹a p 才 与e r e 等价，详细见文献( 2 1 。另外，考虑到g ( q ) = g o s i n 七q 的驻波 情况【p s i n k q 】= 一k c o s k q ，当驻波场光子的动量k 与原子质心的动 量p 相比很小时，我们可以近似地认为【p is i n k q l = 0 。于是，可以不考 虑原子内部运动与质心运动耦合。这相当于忽略了多普勒效应，由此 可以得到传统的j c 模型。 h j c = 觑吨l e ) ( e l 十h u j a t a + g ( q ) a ti g ) ( e i + c ( 2 2 1 3 ) j c 模型虽然对原子与光场相互作用的真实过程作了相当大的简 化，但由于它能够非微扰地精确求解，所以在一定精度下可以正确地 预言光一原子系统的演化过程的整体性质。 9 2 3 推迟格林函数简介 在这一节里我们主要介绍多体理论中的双时格林函数方法，讲述 这套方法的文献有很多，这里我们主要采用文献 9 】的内容来讲述，进 一步的内容可以参见文献 2 2 】。 在海森堡表象中任意两个算符a 与b 所组成的函数 g ( t ，7 ) = - 素o ( t t ，) ( 陋( t ) ，b ( t ，) 】士) 兰( ( a ( t ) ；b ( t ，) ) )( 2 3 1 ) 称为双时推迟格林函数。其中的p ( t 一亡，) = 1 ，当t ；o ( t t ) = 0 ， 当t o 时为 g r ( ) = ( ( 对( t ) ；筇( o ) ) ) = 一考 ( 对( t ) 跖( o ) ) 一( 跖( o ) 对( t ) ) ， 当t = o k 时，对于铁磁自旋晶格g r 由f m 相的基态平均表示 g r ( t ) = 一詈 ( o l 对( t ) ) 跖( o ) i o ) 一c o ls f ( o ) 对( f ) l o ) ) = 一；( o l 对( t ) 跖( o ) i o ) 显然，g r ( t ) 代表t = 0 时刻在f 7 格点上产生自旋偏离，经过时间t 在2 格点 所测得的信息。因此，( ( 对( ) ；跖( o ) ) ) 描述晶格中自旋波的传播过程， 说明g 且( t ) 是传播- f i ( p r o p a g a t o r ) 。g 啊( ) 的傅立叶变换为 俨( t ) 2 击上。d w g r ( u ) e x p m u 帐) 胡( e = + o ) ( 2 3 9 ) 其逆变换 ，o o g r ( u ) = d w g r ( t ) e x p p ( u + 诞) t 】 ( 2 3 1 0 ) j o o 在实际运算时，更多讨论的是g r ) 的性质。 2 g r ) 的极点确定互作用系统的元激发 为了简单起见，先讨论t = o k 时g 丑) 的特性。设i n ) 与玩代表互 作用系统哈密顿量的严格本征态和能量本征值，i o ) 与正1 0 为日的基态 和基态能。利用矩阵元关系 ( 0 ia ( t ) i n ) = ( 0 ial 凡) e ) ( p 一击( 磊一岛) ) ( 2 3 1 1 ) 并考虑n t = o k 时式( 2 3 7 ) 只需对基态求平均，可求出 g ( t ) = 一；p ( f ) ( o ia ( t ) b1 0 ) 4 - o ib a ( t ) i o ) 1 = 一枷) ( 0 l a i n ) ( 训bi o ) e x p ( 一i w n o t ) 士 ( o ib1 7 , ) ( 礼iaj 0 ) e x p ( 讪加t ) ( 2 3 1 2 ) 其中 w h o 三妄( 磊一e o ) ( 2 3 1 3 ) 根据式( 2 3 1 0 ) ，对式( 2 3 1 2 ) 作傅立叶变换 g = 丢t 警掣警圭等訾警， 兰( ( a l b ) ) 。+ 拈( 2 3 1 4 ) 上述式子称为推迟格林函数的莱曼( l e h m a n n ) 表示。我们从式 子( 2 3 1 4 ) 可以知道，g 暑。) 的极点在下半复平面，它在上半复平面 是解析函数，玻戈留玻夫采用记号( a i b ) ) 。+ 证明确表示g 舞日) 这一 解析性。由于g 鲁r ) 极点的实轴坐标为士“h o ，因此只要知道g 置b ) ， 就可以确定极点u 。o ，从式( 2 3 1 3 ) 可知壳o 是互作用系统激发态点与 基态砀之差，它正好代表系统的元激发能量。这就证明了，从格林函 数g n ( w ) 的极点可以决定多体系统的元激发谱。 1 2 对于有限温度，由于各种本征态l 钆) 均以概率z 一1 e 一卢b 出现，这 时式( 2 3 7 ) 中( ( ) ) 不再是基态平均( o i ( ) i o ) ，而应当取统计平 均z 一1 。e p 晶( n l ( ) i n ) 。按此，将式( 2 3 1 2 ) 推广到t o k 时应 写成 g ( ) = 一去o ( o z 一1 e 一卢风 伽i a i r a ) ( m lbi 札) e i u n m t 士 n m ( n ibi m ) ( m iai 竹) e - - i 。n m 2 )( 2 3 1 5 ) 其中壳。兰( 晶一易。) 。再对上式中的右边第一项作变量代换礼一m ， 就可以得到t o k 时的g r b ( ) 为 g ( t ) = - 去o ( t ) z 。1 e 一隅( n l b i r a ) ( m l a i n ) r , m i e ) ( p 【一量( 既一e m ) t e x p 0 3 ( e n e 矗) 】4 - 1 ) ( 2 3 1 6 ) 经傅立叶变换求得丁 o k 时的莱曼表示 g 勉p ) = z _ 1 e 一卢取( n l b i m ) ( m i a i n ) n m e x p 归( 易。一易。) 士1 ，一( 玩一e ) + 钯 兰( ( aj b ) ) 。+ 拓( 2 3 1 7 ) 1 3 3耦合微腔中光子传播的相干控制的理论方法 3 1 模型 我们考虑这样一个杂化的系统：耦合微腔阵列和原子作用( 如 图5 ( a ) 所示) 。这里，个具有紧邻均匀耦合的光学微腔组成了一个一 维周期结构，这个结构类似于在紧束缚晶格上的费米子体系。在实际 中，有两个方法实现这个c r o w 。第一个方法，可以在材料上刻上周期 性的缺陷来实现。微腔阵列就是这些缺陷也就是所谓的超晶格。光子 在这些微腔中的隧穿取决于相邻两个腔之间光子波函数的交叠积分。 第二个方法是基于超导电路的电磁控制的量子器件f 1 7 ，c r o w 可以 由耦合的传播线性谐振腔实现。 ( b ) ( c ) 网5 ：( a ) 表示受控光( 彩色线) 在c r o w q a 传播，并与二能级原子耦合( b ) 演示了 有效二能级系统中，基态和激发态之间的受控拉比跃迁。( c ) 演示了在二能级体系 罩的受激拉曼机制，而且经典控制光与辅助态和激发态之间的跃迁共振。 在图5 ( b ，c ) 中，被耦合的二能级原子的能级差为w a ，为了实现二 能级原子在激发态l e j ) 和基态i g j ) 之间的可控拉l t ( r a b i ) 跃迁，激发拉 曼( r a m a n ) 效应通常被用于三能级原子，这时经典的控制光的频率和 辅助态i f j ) 与激发态旧) 之间跃迁共振。 在模型里，我们假定每个微腔里的原子具有三个能级，两个亚稳 低能级态i 缈) ，l 勺) 和辅助态l 厶) 。跃迁过程l 乃) 一i 卯) 是和具有拉比频 1 4 枷岍多占葛 南，占或如 率q 的辐射量子光场耦合。每个微腔里的光子的频率是“幻，越( a f ) 是 第j 个微腔中光子的产生( 湮灭) 算符。跃迁过程l 厶) 一l e 0 是由频率 为q 。的经典可控光场来驱动。我们进一步假定) ，l 矗) 之间跃迁与量 子光场的失谐量等于防) ，| e j ) 之问跃迁与经典光之问的失谐量。由 于受激拉曼效应在大失谐条件下，有效耦合就有形式g = f l r l a 。这 样，通过调节经典拉比频率q ，和失谐就可以控制耦合强度g 。 为了描述原子集体激发，我们使用准自旋算符 哆= ( 勺1 f g j ) g j l ， ( 3 1 1 ) 哆= i e s ) 0 ，e ( t ) = 1 ，当t 0 ，e ( t ) = 0 。 我们要得到格林函数的运动方程，首先要用方程( 3 1 1 0 ) 决定的 哈密顿量来得到光子的产生湮灭算符的运动方程。然后才有格林函 数g 量b ( t ，7 ) 的运动方程 暑( ( a ( ) ；b ( t ，) ) ) = - i s ( t t t ) ( 【a ，捌) 一l ( ( 陋，刎；b ( t ，) ) ) ，( 3 2 2 a ) 嘉( ( a ( t ) ；b ( t ，) ) ) = 订 一t 7 ) ( 【a ，b 】) 一i ( 似( t ) ； b ，日】) ) ( 3 2 2 b ) 从时域到频域，进行傅立叶变换。频域推迟格林函数表示为 ( ( a l b ) ) 。+ 钯= d t e + 诂) ( 。一。( ( a ( t ) ；b ( t 7 ) ) ) ， ( 3 2 3 ) 这里的= + o 是正无穷小量。所以在频域里的格林函数的运动方程为 u ( ( a l b ) ) 。= ( 陋，冽) + ( ( 陋，h 】l b ) ) 。， u ( ( a l b ) ) u = ( a ，b 】) 一( ( a i b ，日 ) ) 。 ( 3 2 4 a ) ( 3 2 4 b ) 我们知道在线性响应理论中，( 似l b ) k 决定了系统的能谱，而( ( a b ) ) 。 的极点就是系统的本征频率。 1 8 利用上述的方程，我们将要写出以下五个格林函数的运动方 程( ( 缸随) ) 。，( ( 吒i 盯毒) ) 。，( ( 叮l 咭) ) 。，( a l 盯去) ) 。，和( ( 町峨) ) 。光 子传播子( ( 以i a l ) ) 。的运动方程可以由氟和日的对易关系得到 ( u q ) ( ( a l a ：) ) 。= 1 + g ( ( 仃i i a ：) ) 。 ( 3 2 5 ) 同样，我们可计算原子的格林函数( ( 盯i i ) ) 。运动方程， u ( ( 口孑) u = 一万g e - ( i d - t e ) j ( ( 啪吣) u ( 3 2 6 ) 七”j ，n - 1 一专e - i ( k - k ) j ( 嵋) + 蝴( ( 盯i 旧) u j = o 我们可以看到这五个格林函数的运动方程是个无穷的方程组链， 为了求解，必须作适当截断。我们采用所谓的平均场近似f 2 5 ，2 6 】 ( ( o a k 一“) ) u ( 哆) ( ( a 忧4 - - ) ) u ， ( 3 2 7 ) 囚1 - l 仃；) 霰不j 尿亍刚例念仲_ i 古烈叨且龙与脲于删硼且作用1 民x 1 5 以父 它。这样格林函数方程组就近似封闭，有三个方程组成( 具体的计算见 附录4 1 ) ， 似出：m = 去+ 黜， 戤批= 一型铲 一邑紫， ( 3 2 8 ) k 7 女一、7 tc 础黝4 - 一器一聂铲， 1 9 我们定义函数 m = 笺2 学- + ， ( 3 2 9 ) 觯) = - - o j - - 蝴+ 麓， 一1 ( ，) = 丙1 e - i ( k - k ) j ( ) ，= u 叭+ 图6 ：费曼图表示模光子在c r o w 巾传播。光子的传播子包括自由部分( 波浪线 表示自由光子传播子) 加卜第：项微扰部分( 波浪线和虚线框里的图) 。阴影的圈 图表示光子自能和自由原予自旋波的传播子( 带有箭头的双线) 。 为了在空问里讨论光子的传播性质，我们用费曼图，图6 来讨 论( ( 饥l a l ) 山。在图中光子的自由传播子l p 一吼) ( 波浪线表示) 出现 两次。在方程组f 3 2 8 ) 中的第一个方程，我们看它的右边第二项，这一 项就是原子的作用对光子自由传播子的修正，这一修正由原子的翻转 传播子( 仃f l 刍) k 决定，在图中用双线来表示。含有双线的费曼图描述 了局域光场与原子二阶互作用过程。 在弱耦合的条件下，可以求解上面的方程组到最低阶 ( 钆| a ：) k = ( ( 吒l 时) ) 。= u u a 万乏面万j 耵i 积雨 - ( 0 2 ) 一q ) 万j 丽万= 丽干张习。 ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) 方程的解存在两个极点u = 甜和u = u f ： 带= q d 士铂 ( 3 2 1 2 ) 2 0 章 这就是光场和原子互作用后的新的色散关系。这里 q 。= i ( w a + ) ，( 3 2 1 3 ) 铲；锕再葡诵。 我们把格林函数延拓到复平面上，为了分析延拓到复平面上的光 子和原子的推迟格林函数( ( 乱陋1 ) ) 。+ 话，( ( 町j ) ) 。+ 话的性质，我们把 它们分别分解成两支波动的形式。光子的传播子就有形式 ( ( a i a ：) ) 。+ 话= a k g + ( 七，u ) + b k g 一( 南，u ) ， 自由格林函数有形式 g 士( 七，u ) 2 蕊1 原子的格林函数为 ( ( 町l ) ) u + 缸= 一( 盯。) ! 孔g + ( 后，u ) + a k g 一( 七，u ) 】。 其中的系数 忙砑w 2 + ) - - 0 j a 一搿， ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 6 ) ( 3 2 1 7 ) 是两支波的振幅。 如果把上面的格林函数反变换到时域，可以发现光子就是以两个 频率u 铲波动传播，而振幅就分别是a 和b k 。至于( ( 盯i i 盯毒) ) 。，有研 究 17 】指出可以看成是有个自旋的自旋波的传播子。经过计算，这个 自旋波也含有两个相同的频率u f ，但振幅却分别是魄和a k ( 具体的 分析见附录4 2 ) 。 由于光子在c r o w 中由局域模式转变成了传播的波动模式，我 们就可以把光子的传播看作是两个准粒子激发的传播，正如上面的 分析，两个准粒子的能量就是( ( 钆 a ：) k 的极点。我们在复平面上考虑 两点u f 一u ：土一i 任。它们的物理意义是，两个准粒子激发在传播 2 1 过程中会有衰减，而且寿命为1 任。在腔模本征频率u c 和原子的能 级差o j a 分别唯象地加上两个虚部一i 和一i y a 。任可以表示为一 = 一饥和一竹a = 一竹( 具体分析见下一节) 。这就表明这个物理体系中 光子传播的衰减来源于腔里光子本身的寿命，还来源于原子能谱的宽 度。 3 3 群速度分析 我们由色散关系( 3 2 1 3 ) 可以知道布居数( 矿) 可以直接影响光子 在c r o w 中的传播。为了放大这个影响，我们在增加与每个腔耦合的 原子。假定每个腔与n 个全同原子相互耦合，并且原子之间没有相互作 用。所以涉及到原子部分的哈密顿量变为 一1 h a = 警影， ( 3 3 1 3 ) j = o 一 一l h a c = 9 奶黟+ h c ， j = o 这里我们引入了总自旋算符s ，= 冬1 乃f 。这样上面得到的频率要作 相应的修正带，( 矿) 要改成 - - 1n ( 酽) = 面1 ( 吩) 。 ( 3 3 2 ) 一j = ol 可以知道，总自旋的平均值满足一n ( s 。) 礼。 在讨论光子的群速度之前，我们先研究这个类似光子晶体的系 统的能带宽的变化。因为群速度与能量有简单的关系谚= d w d k ， 这跟u 的取值范围很有联系，也就是能带宽度对群速度有影响。没 有原子与光场作用时，体系只有一条能带，带中心在o j c 。但当有原 子作用时，能带就分裂成两条u 。带中心移到q d 土e k ：。2 。在没 有布居数反转的情况下，也就是( 酽) 0 ，两个能带具有相同的带 宽彬= l u ：妇一滞l 向馏l 2 j ， w = i f 士( ( 舔) ，0 ) 一f 土( ( 鄙z ) ，南) i ， ( 3 3 3 ) 这里足义明函数 f ( z ，七) = 、i 陋+ 胁s ( 后) 】2 一夕2 z ， 占= 们一u ) a 。可以看出当微腔和原子耦合时，能带变窄。 接下来我们研究光子传播的群速度 = 觚啪。 士黼 o 在七= 丌2 的情况下，屯甍f 相应的群速度为 西土加，鲥= 础 土妻 ， 光子传播的两个振幅为 z e = 等。屏黜= 等， ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 。6 ) ( 3 3 7 ) 这里的函数，f = v 5 2 _ 4 9 2 ( s * ) 。我们考虑大多数原子处于基态的 情况，也就是( 酽) 0 。当6 2 9 网，振幅在带中心a 。型一 1 ，b 。1 2 , 一0 ，所以这时候有 ( ( a 。2 l a ：射) ) 。+ 站 1 i 丽。一u ；连七8 ( 3 3 8 ) 这表明，在这个条件下被原子散射的光子趋向予本征频率唰f ，这时 的群速度达到最大值扩”( 2 2 2 j g 这时原子的格林函数 ( ( 射) ) 州e 巧i 0 时，光子趋向 于u r 而原子的自旋波趋向于u r ：当6 0 ，u ：十的虚部可以为正。 当然，当原子发生布居数反转时，不一定会有激光的特性出现。布 居数还存在一个阈值，当达到这个阈值时，类激光的特性就会产生由 式( 3 3 1 2 ) ，可以知道频率产生正的虚部的条件为f ，( ) ) 一l h k 可 以计算出布居数( 酽) 的阈值( 酽) t ( 酽) t = 翕。 ( 3 3 1 4 ) 在阈值以上，本征频率 啦一q d + t ( 誓( 酽) 一芸) ( 3 3 1 5 ) l_ 虚部就为正值，c r o w 中激光的特性也就出现了。非常有趣的是，我们 和普通的的激光理论作比较之后发现，闽值( 伊) r 有非常相似的形式。 至于u r ，由于我们在弱耦合条件下，它的虚部不可能为正值，而且 以u f 为频率传播的准粒子激发是以速率 ，( ( 酽