（计算数学专业论文）迭代函数系统应用和偏微分方程多尺度数值方法中的若干问题.pdf

摘要 论文题目：迭代函数系统应用和偏微分方程多尺度数值方法中的若干问题 专业：计算数学 博士生：邓小炎 指导教师：陈仲英教授许跃生教授 摘要 本篇论文包含迭代函数系统应用以及偏微分方程多尺度数值方法两方面几个 问题的研究在迭代函数系统应用方面，包括一类高维分形插值函数的级数表示 及h s l d e r 指数估计、二次分形插值与多尺度分析的构造和i f s 反问题方法中的两类应 用问题在偏微分方程多尺度数值方法方面，包括解偏微分方程的一类高时间精度的 显隐一多步一多尺度一g a l e r k i n 方法，求解非线性偏微分方程的多层控制迭代及提高逼近 解精度的线性化修正方法全文内容共分为六章 第一章主要阐述迭代函数系统、分形插值、分形变换和多尺度分析等基本概念 及其性质，并对本文所涉及内容的研究现状与存在的问题作概述同时也介绍了本文 的工作及其意义 第二章利用不变集的多尺度剖分和加细集等概念描述高维分形插值问题，进而给 出一类分形插值函数的普适性定义，及其符号级数表示并利用级数表示式讨论分形 插值函数l i p s c h i t z 连续性和h s l d e r 指数估计我们得到的估计结果具有普适性，包 含和改进了目前已有的一些结果 第三章考虑二次分形插值函数，给出积分公式，进而讨论用二次分形插值函数构 造多小波尺度函数的方法并给出了尺度函数正交的条件和构造例子 第四章首先，以具有广泛应用背景的一类高维反应扩散方程组为模型，基于i f s 反 问题方法给出其参数反演的公式化算法，包括迭代算子的构造、反演误差分析、反演 算法和数值算例等其次，我们针对图象编码过程中出现粗糙编码的情形，提出一类基 于预处理一修正模式的分形图象压缩方法算法中充分利用了已有的计算结果，为编码 过程中适当地加入人工干预，提高压缩效率和改进编码质量提供了契机 第五章推广l a x - w e n d r o f f 多步方法，建立一类新的显式和隐式相结合的多步格 式，以此为基础提出求解发展方程的一类显隐一多步一多尺度一g a l e r k i n 方法，并通过理论 分析和数值实验说明了方法的有效性与已有的多步方法相比，我们的方案形式简明， 具有更好的稳定性 第六章考虑非线性偏微分方程的多层逼近求解过程，提出一类带精度控制参数的 多层迭代方法通过引入控制参数来控制从初始空间向目标空间逼近求解过程中的求 解精度，给出了依赖于控制参数的误差分析，以及一类多层迭代求解过程中迭代次数 的选取策略为改进逼近解的精度，提出一类线性化修正方案，并通过理论分析和数值 实验说明方法的有效性 关键词迭代函数系统，分形插值，多尺度分析，偏微分方程，参数反演，图象压缩， 多步一g a l e r k i n 方法，多层控制迭代，线性化修正方法 第i 页博士学位论文 英文摘要 t i t l e ：s o m ep r o b l e m si ni t e r a t e df u n c t i o ns y s t e ma p p l i c a t i o n sa n dm u l t i r e s o l u t i o n n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r ：c o m p u t i n gm a t h e m a t i c s n a m e ：d e n gx i a o y a n s u p e r v i s o r ：p r o f c h e nz h o n g y i n g p r o f x uy u e s h e n g a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hs o m ep r o b l e m si ni t e r a t e df u n c t i o ns y s t e ma p p l i c a t i o n sa n d m u l t i r e s o l u t i o nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ni t e r a t e df u n c - t i o ns y s t e ma p p l i c a t i o n s ，t h et o p i c sd i s c u s s e di nt h i st h e s i si n c l u d e ：ah i g h - d i m e n s i o n a l f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s e x p r e s s i o nw i t hs e r i e sa n di t se s t i m a t e so fh o l d e re x p o n e n t s ，q u a d r a t i cf r a c t a li n t e r p o l a t i o na n dc o n s t r u c t i o no fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ， a n dt w oa p p l i c a t i o n sb a s e do ni f si n v e r s ep r o b l e mm e t h o d s i nm u l t i r e s o l u t i o nn h m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et o p i c sw ed i s c u s si n c l u d e ：a n e x p l i c i t i m p l i c i tm u l t i s t e pm u l t i r e s o l u t i o ng a l e r k i nm e t h o d am u l t i l e v e l c o n t r o li t e r a t i o nm e t h o da n dal i n e a r i z e dm o d i f i c a t i o na l g o r i t h m t h et h e s i si sd i v i d e di n t os i x c h a p t e r s c h a p t e r1d i s c u s s e ss o m eb a s i cc o n c e p t sa n di t s p r o p e r t i e ss u c ha si t e r a t e df u n c - t i o ns y s t e m ，f r a c t a li n t e r p o l a t i o n ，f r a c t a lt r a n s f o r m ，a n dm u l t i r e s o l u t i o n i ta l s or e - v i e w sr e c e n td e v e l o p m e n t sa n de x i s t i n gp r o b l e m sr e l a t e dt ot h i ss t u d y m e a n w h i l e ，i t i n t r o d u c e st h es t u d yp r e s e n t e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ed e s c r i b eh i g h - d i m e n s i o n a li n t e r p o l a t i o np r o b l e mb yu t i l i z i n gi n v a r i a n ts e ta n dm u l t i s c a l ep a r t i t i o n ，a n dp r e s e n tg e n e r a ld e f i n i t i o na n ds y m b o le x p r e s s i o nw i t hs e r i e so ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n 、ed i s c u s sl i p s c h i t zc o n t i n u i t ya n d t h ee s t i m a t e so fh o l d e re x p o n e n t sf o rf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n a n dw er e a c h s o m eg e n e r a lc o n c l u s i o n s w h i c ha r eb e l i e v e dt ob ea ni m p r o v e m e n to nt h ee x i s t i n g s t u d i e s i nc h a p t e r3 w ef i r s tp r e s e n ti n t e g r a lf o r m u l a t i o n so fq u a d r a t i cf r a c t a li n t e r p o l a - t i o nf u n c t i o n ，a n dt h e nd i s c u s st h em e t h o do fc o n s t r u c t i n gm u l t i - w a v e l e ts c a l ef u n c t i o n w 宅r e a c ht h eo r t h o g o n a lc o n d i t i o no fs c a l ef u n c t i o n sa n do f f e rac o n s t r u c t i n ge x a m p l e i nc h a p t e r4 w ef i r s tc o n s i d e rah i g h - d i m e n s i o n a lr e a c t i o n d i f l u s i o ns y s t e mw h i c h h a sb r o a da p p l i c a t i o n si np r a c t i c a lp r o b l e m t h e nw ed i s c u s sf o r m u l i z a t i o nm e t h o d o fp a r a m e t e ri n v e r s i o nb a s e do ni f si n v e r s ep r o b l e mm e t h o d c o m p u t i n ge x a m p l e s a r ep r e s e n t e db yt w ob i o l o g ym a t h e m a t i c ss y s t e m s f u r t h e r w ep r o p o s eaf r a c t a li m a g ec o m p r e s s i o nm e t h o db a s e do np r e t r e a t m e n t - - m o d i f i c a t i o nm o d e ，w h i c hk e e p st h e c o a r s ei m a g ec o d e sa sp r e c o d e s t h e nw ep r e s e n tam o d i f i c a t i o na l g o r i t h mt oi m p r o v e t h eo r i g i n a lc o d e s i no u rs c h e m e t h ec o m p r e s s i o ne m c i e n c ya n dc o d i n gq u a l i t yc a nb e i m p r o v e db yu t i l i z i n gt h ee x i s t i n gr e s u l ta n da d o p t i n gc e r t a i nm a n u a li n t e r v e n t i o n 第i i 页博士学位论文 j1j_ji j1 j，1 英文摘要 i nc h a p t e r5 ，w ee x t e n dt h em u l t i s t e pl a x - w e n d r o f fs c h e m ea n dp r o p o s ean e w e x p l i c i t i m p l i c i tm u l t i s t e ps c h e m e o nt h eb a s i so fo u rm u l t i s t e pm e t h o d w ep r o p o s e t h ec o n c e p to fe x p l i c i t i m p l i c i tm u l t i s t e pg a l e r k i nm e t h o d ，w h i c hc a nb eu s e dt os o l v e t i m e d e p e n d e n tp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lr e - s u i t si n d i c a t et h ev e r s a t i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e ds c h e m e c o m p a r e dw i t h c o n v e n t i o n a lm u l t i s t e pm e t h o d ，o u rs c h e m eh a sb e t t e rs t a b i l i t y ，w h i c hh a ss t r e n g t h s i ns o l v i n gl i n e a ra n dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r6d i s c u s s e st h em u l t i r e s o l u t i o na p p r o x i m a t em e t h o df o rs o l v i n gp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ep r o p o s eam u l t i l e v e li t e r a t e dm e t h o dw i t hp r e c i s ec o n t r o l l e d p a r a m e t e r s ，w h i c hc o n t r o l t h ep r e c i s i o nb yc h o o s i n gp a r a m e t e ri np r o c e s s i n go fa p - p r o x i m a t i o nf r o mi n i t i a ls p a c et od e s t i n a t i o ns p a c e w ep r e s e n te r r o re s t i m a t e sa n d ac h o o s i n gs t r a t e g yf o ri t e r a t e dt i m e si np r o c e s s i n go fa p p r o x i m a t i o n m e a n w h i l e ，w e p r o p o s eal i n e a r i z e dm o d i f i c a t i o na l g o r i t h m ，w h i c hc a ni m p r o v et h ep r e c i s i o no ft h e a p p r o x i m a t es o l u t i o ni nn u m e r i c a lm e t h o do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ，f r a c t a li n t e r p o l a t i o n ，m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p a r a m e t e ri n v e r s i o n ，i m a g ec o m p r e s s i o n ，m u l t i s t e pm e t h o d ，m u l t i l e v e l c o n t r o li t e r a t i o nm e t h o d ，l i n e a r i z e dm o d i f i c a t i o na l g o r i t h m 第i i i 页 博士学位论文 第一章绪论 第一章绪论帚一早珀了匕 本篇学位论文包含迭代函数系统应用和偏微分方程多尺度数值方法两方面几个问 题的研究这一章我们对论文所涉及内容的基本理论、方法及其研究概况作一个简要 的论述 1 1 迭代函数系统及其应用概述 由美籍法国数学家m a n d e l b r o t 于7 0 年代中期开创的分形几何学，经过近三十年的 发展，已成为横跨自然科学和社会科学各研究领域的一门新兴学科一分形学，是目前非 线性科学研究中十分活跃的一个分支分形概念和思想能广泛和迅速地为人们所认识 和接受，一个主要的原因就是借助计算机的能力分形集的产生往往是通过迭代完成 的，著名的j u l i a 集及其它很多分形集都是某些迭代函数系统的吸引集，用其它方法产 生的分形集也可用迭代函数系统来逼近，因而迭代理论的研究方法和手段是分形研究 的重要工具迭代函数系统的构造与描述目标对象的空间有关，应用中体现为各种分 形变换算子的构造，通常表现为反问题而分形插值则是迭代函数系统得到成功运用 的典型范例以下我们分迭代函数系统、分形变换及其反问题、分形插值函数以及几 类问题的研究现状等部分来介绍相关的基本理论和研究工作 1 1 1 迭代函数系统 迭代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ，简记为i f s ) 的早期思想可追溯 到1 9 8 1 年h u t c h i n s o n z 的一篇研究分形集构造的文献 1 】，1 9 8 5 年b a r n s l e y 和d e m k o 对 这一思想进行总结、公式化并命名，正式引入迭代函数系统这一概念以分形学 家b a r n s l e y 、d e m k o 、f a l c o n e r 等为代表的研究者们的早期工作2 - 8 1 ) g 迭代函数系统 理论的日趋完善和广泛应用提供了坚实的基础目前，i f s 是用数学系统去解析地构造 和研究广泛存在于自然界的或人为的具有自相似形结构的对象的最成功的方法在自 然图象的模拟、模式识别、信号及图象处理等领域都取得了很大的成功 9 一1 2 】，成为分 形理论和应用研究中的一个核心部分 首先我们引入i f s 的定义对任意的正整数n ，记瓦= 0 ，1 ，一1 ) 设x 是一 非空集，p 是x 上的某种距离，( x ，p ) 是完备的度量空间，f ( x ) 是x 的所有非空紧子集所 第1 页博士学位论文 1 1 迭代函数系统及其应用概述 构成的集合对a 、b f ( x ) ，定义其距离为 p ( a ，b ) = m a x p ( x ，b ) ，z a 】， 其中p ( z ，b ) 为点z a 到集合b 的距离，定义为 p ( x ，b ) mm i n p ( x ，可) ，y b - 定义1 1 1 设( x ，p ) 是完备的度量空间，f ( x ) 是x 的所有非空紧子集构成的集合 称h p ( a ，b ) = m a x p ( a ，b ) ，p ( b ，a ) ) 为a 、b 间的h a u s d o r 伍距离 i ) j , h a u s d o r f f 距离作为f ( x ) 的度量，则( f ( x ) ，h p ) 构成一个完备的度量空间【4 】， b a r n s l e y 称之为”分形空间”，i f s 基础理论和分形集的构造研究大都是以分形空间为舞 台 设 叫t ：x _ x ，i 知) 是定义在x 上的一族压缩映射，压缩因子qe 0 ，1 ) ，其定 义为 q ：s u p 坐粤坚掣 z ，y e x 声! ， l “，可j 定义映射蛾：f ( x ) 一f ( x ) 为 西t ( s ) = 叫 ( z ) ：zes ，sef ( x ) ，( 1 - 1 ) 这里蛾与w ；的压缩方式一样，只是定义域不同，两者具有相同的压缩因子构造算 子彬如下 咖( s ) = 咄( s ) ，s ef ( x ) ， ( 1 2 ) i e z n 则有 h p ( w ( a ) ，( b ) ) c p ( a ，b ) ，v a ，b f ( x ) ， 其中c = m a x c i 1 定义1 1 2 称( 1 2 ) 所定义的压缩算子咖为空间( f ( x ) ，h p ) 上的一( 双曲) 迭代函数系 统，简称i f s ，记为 x ，w i ：ie 瓦 记咖的吸引子( 也称不变集) 为a ，则有 a = 咖( a ) = w i ( a ) ， ( 1 3 ) i e z n a = l i m 咖“( b ) ，v b f ( x ) ( 1 - 4 ) i f s 白9 吸引子一般都是分形，称为确定性的分形，相关内容的详细论述可参阅文 献 1 3 ，i n 需要指出的是：映射叫i 是从x x 的压缩映射在分形图象压缩等应用中， 通常需要w t 定义在x 的局部上，从而派生出所谓的的局部i f s ( 简记为l i f s ) 其中，w i 定 第2 页博士学位论文 第一章绪论 义为从d tsx 到兄x 的压缩映射，这里集r 直径小于d t 的直径，详细内容可参阅文 献 1 5 1 下面的定理称为拼贴定理，对于一类压缩变换，它给出了衡量一个集与相应不变 集之间接近程度的一种方法，是i f s 反问题和许多应用算法的理论基础 定理1 1 1 ( 4 1 ) 设a 是定义1 1 2 所定义的i f s 的吸引子，则 、 h p ( e ，a ) ( 1 一c ) - 1 h p ( e ，啦( e ) ) ，v e f ( x ) ( 1 - 5 ) 1 1 2 分形变换及其反问题 在理论和应用上，都需要将i f s 的概念推广到各类函数空间和测度空间，这种推 广即表现为分形变换一个典型的例子是c a b r e l l i 等人引入的模糊集上的迭代函数系 统i f s z 1 6 x _ k 猷j 模糊集空间f + ( x ) 中的元素为函数札：x _ 0 ，i i ，其中u 在( x ，p ) 中上半连 续，且满足标准化条件，即v 让ef ( x ) ，至少存在一点z o x 使得u ( x o ) = 1 空间度量 为 p 。u ，v ) = s u pp ( 钆】。， 钉 。) ，v u ，v f + ( x ) ，( 1 - 6 ) 0 0 ，要找一映射 c o n ( y ) ，使得h p ( u ，砚) ，其 中五( _ s ) = 砚 拼贴定理1 1 1 和下面的两个定理为i f s 反问题解法提供了理论基础 第4 页博士学位论文 第一章绪论 定5 1 1 2 ( b a n a c h 不动点原理) 设( h p ) 是完备的度量空间，f c o n ( y ) ，则存在唯 一的西y 使得，( 西) = 瓦并且对任意的u y ，当n _ 时有( 尸( 乱) ，面) _ 0 定理1 1 3 ( 2 2 】) 设( h p ) 是完备的度量空间，c o n ( y ) 是定义在y 上的压缩映射函数 空间，空间度量定义为 h c o n ( y ) = s u ph p ( 厂( u ) ，夕( u ) ) ，v f ，g c o n ( y ) 设f ，9 的不动点分别为西，和u g 则 ( 瓦，) 二意志可h c o ( v ) ( ，9 ) ， 其中c ，c g 分别是f ，夕对应的压缩因子 定理1 1 3 给出了不动点关于压缩映射的连续性在定理1 1 3 的条件下，拼贴定理 具有如下的形式 h pu ，瓦) f h pu ，( u ) ) ， 上 o ， 其中= h p ( 札，( u ) ) 称为c o l l a g e 距离应用中可通过c o l l a g e 距离最小来找压缩映 射f 因而分形变换反问题通常可转换为一个优化问题这方面的研究可参考f o r t e b 和v r s c a ye r 等人的工作【2 2 2 6 】 1 1 3 分形插值函数 插值方法是数据模拟的重要工具传统的插值方法如l a g r a n g e 插值、牛顿插值和 样条插值，一般用来处理有较高光滑性的数据实际应用中我们更多地面对较为复杂 的对象，通常都具有一定的分形特征【5 ，2 7 3 0 ，用传统的插值方法可能导致结果与数据 的本质不一致1 9 8 6 年b a r n s l e y 4 在考虑用插值方法构造分形时提出了分形插值方法 分形插值函数通过i f s 的不动点来定义，其图象可以近似描述那些欧氏函数不能很好 地描述的对象，如弯曲的海岸线、山脉轮廓等目前已被成功地用来模拟地震科学、 环境科学、医学和经济学等众多领域的各种数据同时分形插值函数为计算机仿真 学、计算机图象学提供了有力的工具 9 - 1 2 ，1 5 ，3 1 3 5 ，已逐步发展成为科学工作中的 一种新的通用语言以下介绍b a r n s l e y 给出的分形插值函数的定义 设t o z 1 z ，i = z o ，z 】cr 给定一数据点集 ( 既，y i ) i r ：i = 0 ，1 ，) 记五= 甄一l ，甄】，定义一族压缩同构映射 毗：，一五) ，满足 w t ( x o ) = 觋一1 ，w i ( x n ) = 轨，( 1 1 2 ) w i ( c 1 ) 一叫t ( c 2 ) l l c l c 2 l ，v c l ，c 2 j ， 第5 页 ( 1 1 3 ) 博士学位论文 1 1 迭代函数系统及其应用概述 其中0 l o 使得 i ( l u ，u ) i c l l l u l l x i i v l l x ，v u ，v d ( l ) 根据地文 1 2 8 1 中的命题3 7 ，l 可唯一地扩张成定义在x 上的有界线性算子l 并且有 i ( l u ，u ) i c l i i u l l x i i v l l x ，v u ，v x ， 和 ( l u ，u ) c 2 1 1 u l t 支，v u x ， 其中c 1 ，c 2 0 为常数若仍用a ( u ，u ) 表示扩张后的双线性形式，即 a ( u ，v ) ：= ( l u ， ) ，u ，v x ， r i e s z 表示定理，我们得到如下形式的弱解方程 a ( u ，v ) = ( g ，u ) ，v v x 引入x 的一个有限维嵌套子空间序列_ 玛) c 玛c 玛+ 1c 第1 1 页 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 博士学位论文 1 2 偏微分方程多尺度数值方法概述 用表示空间z j 的维数， 咖七：k ) 表示基函数，对x j ，记 吻= u j k c j k ， k e z n j 我们有 。( 呦，咖1 ) = 钆批。( 咖七，咖f ) ，f z n j k e z n j 记a j = o ( 咖血，咖z ) 】，= ( 夕，咖z ) ，吻的向量形式为豸，则( 1 - 2 2 ) 等价于一矩阵系统 如弓= 幻( 1 2 5 ) 通过求解( 1 2 5 ) ，我们可以得到( 1 2 2 ) 的一个逼近解上面描述的过程被称) 9 g a l e r k i n s j 散当( 1 - 2 5 ) 的规模较大时，求解代数方程组( 1 2 5 ) 并不是很容易，如果系数矩阵今呈现 出层次特征，往往有助于设计出有效的算法 一般地，设z j + 1 有某种意义上的直和分解，即存在z j + 1 的子空间w j + 1 ，使得 玛+ 1 = z jow j + 1 ， ( 1 2 6 ) 若记眠= x o 则有 x j = w oo 肌o o o ( 1 2 7 ) 用吻表示的维数， 奶：k 磊，】表示的基函数记a 。= o ( 矽。七，矽n ) 】，m ，n = 0 ，1 ，2 ，j ，则a s 具有以下形式 a s = = 应用中我们可以根据a 的结构特点来设计求解的方法 1 2 3 几类问题的研究现状 ( 1 2 8 ) 1 发展方程时空离散的一致性问题 考虑依赖时间的偏微分方程，数值求解过程中需要处理时间和空间的离散，同时 还要考虑离散化方法对离散方程组系数矩阵的条件数的影响，是偏微分方程数值解中 比较困难的一个问题采用多尺度空间作为g a l e r k i n 方法中的试验函数空间，为提高空 间逼近精度提供了可能但时间离散精度必须相应提高，才能获得整体的逼近效果因 而在离散过程中考虑时间离散和空间尺度的匹配问题是具有意义的 1 9 8 4 年文f 8 8 1 在一类对流问题的数值解中首次提出了t a y l o r g a l e r k i n 方法，并用它 建立了高时间精度的有限元算法随后文 8 9 】和 9 0 利用t a y l o r g a l e r k i n 方法考虑了双 第1 2 页博士学位论文 第一章绪论 曲方程和对流扩散方程的数值求解问题随着多尺度方法在偏微分程数值方法中的运 用，最近文 9 1 和 9 2 1 在不同的问题中分别提出了w a v e l t t a y l o r g a l e r k i n 数值方案这 些方法类似于有限差分法中的l 册w | e n d r o f f 方法f 9 3 ，9 4 ，其基本思想是用t a y l o r 公对 时间进行离散，提高时间逼近精度 考虑如下的偏微分方程 a 札= l u + n f ( u ) ，( 1 2 9 ) 其中 l = q 未+ 诺，= 乜杀州钆，= 百u 2 用二阶t a y l o r 公式对时间离散 侥u = u n + 瓦1 _ 一u n 一百a t u 嚣一o ( a a 容易得到 a 札= a o u + q 玩( 告) + p 磋札， 玩t u = a 巩札t + a 以( 札u t ) + p 馥札。 将( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 代入( 1 3 0 ) ，即得到半离散方程 ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 1 一百a t ( q 玩+ 咖”玩+ 蚓 芝 = q o x u n + 以( 譬) + 陆” 上述方法中用空间导数来表示时间导数，涉及到高阶的空间导数，其应用较为复 杂特别是考虑具有更高精度的时间离散时，计算难度更大目前面临的问题是减少计 算的复杂性，并运用到一般形式的线性和非线性偏微分方程 2 非线性偏微分方程的多尺度数值方法 考虑如下形式的非线性问题 o , u + l u + n ( u ) = g ，( 1 3 3 ) 其中( 1 - 3 3 ) 满足适当的边界条件，n ( u ) 为非线性算子，算子l 及相关空间的定义与( 1 2 2 ) 中的定义类似已有相当多的文献研究这类问题的小波多尺度数值方法( 9 5 1 0 1 1 ) ， 算法思想类似于线性问题其中有点不同的是研究文献 1 0 1 ，基于解的半群表示，利 用算子的小波表示式及其压缩性质来考虑自适应算法，其中的关键是在精度范围内 对e 一( 扣t o ) l u o 进行评估 第1 3 页博士学位论文 1 2 偏微分方程多尺度数值方法概述 算法中的一个问题是非线性项的处理为简单起见，我们设n ( u ) = f ( u ) ，这 里f ( u ) 是一个足够光滑的非线性函数在多尺度g a l e r k i n 离散中，我们需要计算内 积( 厂( 札j ) ，咖七) ，j = 0 ，1 ，zk z ，由于不同尺度基函数的相互作用，非线性运算 的代价非常高，完全破坏了在线性问题中小波基函数的性质带来的矩阵稀疏性等好处， 成为该类问题中的一个难点在有限元方法中，只需要在一个局部范围内计算，似乎不 存在问题但当考虑自适应算法以提高求解精度时，计算不再局限于一个单一的层次， 仍然遇到同样的计算问题这个f 1 题在早期的文献【9 6 ，9 8 ，9 9 1 中已经被注意到，并采用 一定的截断策略来减少计算量这需要选取适当的截断阈值和较强的正则性假设，其 中截断阈值必须动态校正到与随精度的提高而不断增加的空间自由度，应用上两者均 比较困难 目前有两种逼近方法一种是文献 1 0 2 1 基于对偶小波基提出的整体逼近思想 设 奶t 和 奶w ) 是两组小波基，满足 ( 奶k ，奶，k ，) = 勤，以，j 7 ，k ，k z ， ( 1 3 4 ) 这里( ) 是通常的三2 内积代替计算单个的内积( 厂( u t ，) ，咖* ) ，考虑其整体逼近 】 ，( u j ) = ( f ( u g ) ，奶七) 奶七 ( 1 3 5 ) j = ok e z n j 这类方法在渐近意义上的理论计算量与f ( u j ) 中有意义的小波系数( 在给定精度下) 的 个数成比例目前的困难是高维问题中双正交小波基的构造 另一种是小波树逼近思想f 1 0 3 1 0 6 ，可以看成是非线性函数树逼近理论 1 0 7 - 1 1 2 】的一个重要发展在最近的研究文献 1 0 6 中，许跃生，邹青松利用”贪婪算 法f c o s ) ”构造目标函数的小波树逼近通过定义一个函数类，由c g s 生成的分片 多项式来逼近函数类中的每个函数该文给出了使小波树逼近达到最优收敛阶的一个 充分条件，并证明了如果树结构是用c g s 生成的，则相应的小波树逼近具有最优收敛 阶 尽管已出现了一些非常有意义的工作，但总体上非线性偏微分方程的数值方法 仍然是一个具有挑战性的研究课题无论是采用差分法、有限元法，还是小波多尺度 方法，数值求解最终归纳到求解一个非线性的代数方程组随着求解精度的提高，通 常需要一个细分加密过程，方程组的规模会变得十分巨大就多尺度方法而言，充分 结合多尺度特征和基函数的性质，设计出合理有效的算法，尽量减少逼近过程中处理 非线性项的次数，无疑是处理这类问题的一个方向其中具有代表性的研究成果是文 献 1 1 3 ，1 1 4 其中c h e nz ，m i c c h e l l ic a 和x uy 在文献 1 1 3 1 中以多尺度分析为基础 创立了解算子方程的多层方法，此方法成功地将方程组的规模控制在初始层，从而实 第1 4 页博士学位论文 第一章绪论 现快速求解f a n gw f ，m af m 和x uy 在文献 1 1 4 中则以积分方程为背景考虑 了j a c o b i 和g a u s s s e i d e l 迭代这些文献充分利用了多尺度g a l e r k i n 离散方程组中的尺 度结构和小波基的性质，构造出了多种快速计算格式，在线性微积分方程的应用中获 得了理想的效果这种思想方法在非线性微积分方程中的应用有待进一步的研究 1 3 本文所做的工作及其意义 迭代函数系统、偏微分方程多尺度数值方法是内容十分丰富的两个研究分支本 文的工作仅包含其应用方面的几类问题，具体可划分为三个部分 ( 1 ) 分形插值及其应用( 第- i 和第三章) 首先利用不变集