（概率论与数理统计专业论文）fattailed分布下的var和es模型及其实证研究.pdf

、 摘要 近年来国际上金融危机的频频发生，引起了，“大学者和金融监管 部门对风险测量的高度重视与研究兴趣，同时随着我国金融市场的全 面放开，影响金融i 场波动性的因素曰益增多，金融风险的测度问题 也变得越来越重要。目前，金融风险测度的主流方法仍为1 9 9 3 年兴 起的风险价值v a r ( v a l u ea tr i s k ) 技术，它是指市场在正常波动的情 况f ，某资产在一定置信水平下的最大损失。但是v a r 存在很多 使用条件，而这些条件往往与市场条件不符。本文主要根据我国股市 的实际特点，对v a r 模型进行了改进：一是考虑基于肥尾( f a t t a i l e d ) 分布下的v a r 模型，并把g a r c h 模型、极值理论引入其中，构建 动态的v a r 模型，解决了v a r 使用的市场条件，并达到了预期效果。 二是考虑一致性风险测量的标准，引入期望损失e s 模型。由于v a r 的缺陷非一致性风险测量指标，以及v a r 关心的是损失的频率， 而不是损失的大小，而期望损失e s 是指超过v a r 的损失的均值，它 关心的是损失的大小，而刁 v a r ) = 1 一口。其中，p 为证券 组合在持有期t 内的损失，v a r 为置信水平口f 处于风险中的价值。 f 面我们给出与v a r 有关的数学定义如f ： 致固定! ! ! 勺水平。, - - tc ( o ，1 ) ，x 为概率空间( q ，f ，p ) 上的实随机变量， 似 叫，o7 0 、 “l ， o j 吵u r 。山lh j 、函，1 1，上j 人似7 l ，u 入平， f a t t a il e d 分布卜的v a r 和e s 模型及其实百f 研究 d e f 2 1 1 l u ) l ：( 分位数) x 的下口尾分位数： 刚= g 。( _ ) = i n f x r ：尸【x 】口 x 的上口尾分位数： x “= q 。( x ) = s u p x rl 尸【x x 】口 = i n f x rh x z 】 a 由于 x rh x x 】 口 c x rp x z 】口) ，所以，x 。) x m 且容易看出：x = x 至多有个x ，一p 【) ( x f 口 d e f 2 1 2 ： x 。，工) ，p x = x 】 0 x 。，x ”】，p x 呵】：0 置信水平为口为： v a r 。= 一= q h 【一x ) 我们给出它的更1 般数学定义如下： d e f 2 1 3 l l l l ：对于给定的i r ，以及口( o ，1 ) ，令 y ( f ；v ) = i n f y r i p ( 善 v - - v ) 1 一口) 我们称y ( ；砀) 是f 在置信度为口下以可为目标的在险价值( v a l u e a tr i s k 简称v a r ) 。 9 ，(l i l 、-、j 口 l i l x 一 x r - _ - l p足x ，t 时 x 0 证明：由定义 湖南师范人学硕f j 彬f 究，卜论文 矿( 孝；v 口) = i n f ，r i p ( f v y ) 口 = i n f 矿r i l ，( 毒一v 一v ) 口 = v ( 古一一v ；0 ，臼) l ，( 彤：了，醴) = i n f ，r p ( 5 孝 , s v i ，) 口 = i n f y r p ( 善 可一茜) t z 哪吣：珏) 2 v a r 的缺陷 众所剧知，组合投资具有分散风险的效应，闪此分散化的投资组 合的风险必定小于等于各组合的风险的和。但足在：t f - i e 态分币j 卜，用 v a r 测度组合的风险时，会出现相反的情况。这说明v a r 在组合应 用巾是有缺陷的。总的来说，在非i 卜态分布卜，v a r 缺陷1 i 要有以 下2 种： ( 1 ) 不满足1 致性风险测度的定义 一一致性风险测度的定义表示的是金融风险测度最基本的道理， 它胄芝够跺匠部分风险测度与整体风险测度的无矛盾，次可加性对于风 险测量来说很重要，满足厂次可加性，也就符合投资组合的风险分散 化原则，然而在非正念分布下，v a rj i ：小满足次r q 加性l h i ，这意味着 当用i 弋，0 r 测量风险时投资组合的风险可胄b t 5 比组合符r 成分风险之和i 还一 j - “- 、k l 0 兰主兰i ，l 上h jj j - y 土nl ihj ，7 、k i 皂丝h ji j卜u ；： ll jl ，4 i j 7 、l ! 、z 一7 五_ l 二 要大，这与投资理念相违背，也不利于风险的管理，也就是说v a r 对卡及端事件难以控制，不易消除尾部风险。 多j 夕 、i ，出于飞宅r 芙心的是损火的频率，而不i 是损失的大小，而i j ， 山o _ “1 、l、7 u 一 lj j “j 州t = ， i l i j 儿j 叭j j ， lu 且v a r 不满足次可加性( v a r ( x + y ) v a r ( x ) + v a r ( y ) ) ，不是凸性风险 测度，冈而不满足风险分散化的原则，在组合优化时，它可能有多个 局部极值，导致风险管理的不稳定性。 f a t t a i1 e d 分布卜的v a r 和e s 模型及其实证研究 ( 2 ) v a r 低估尾部损失 v a r 的实质含义是市场在正常波动的情况f ，某一资产在一定置 信水平f 的最大损失，本质上讲，它只是给定某个嚣信水平下的分位 数，因此无法捕捉超过分位数的下方风险( 左尾) 的信息，而此处往往 是极端事件发生的巨额损失的情景甚至是金融危机事件，这就是通常 的v a r 模型容易低估风险的原因。 针对v a r 的缺陷，本文采取的研究办法是：引入新的风险测 度工具一期望损失e s ( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) ，以解决在非正态分布f ， v a r 是非致性风险测度的问题；将极值理论引入厚尾( f a t t a i l e d ) 分布下的v a r 模型，以解决风险低估的问题。 2 1 4 新的风险测度工具e s 由v a r 定义：v a r 。= = = 一x = q h ( x ) ， x 刚= g 。( 彳) = s u p x rp i x x 】s 口) 可知v a r 关心的是损失的频率，皿1 答的是在我们的组合在a 的 损失事件巾最小的损失是多少，且不满足次可加性。作为风险管理者 更希望知道在资产组合在a 的损失事件中，遭受的平均损失是多 大? 要解决这个问题，就需要构建新的风险测度，同时具有次可加性， 下面是。些新风险测度二i = 具的有关定义： d e f 2 1 5 1 1 5 1 ：t c ef l a i lc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n s ) 尾部条件期望损失 设e x 一】 ，那么定义x 的口水平下的下尾条件期望为： t c e 。( x ) = 一e ( xx x ( 。) ) ， 定义x 的口水平下的上尾条件期望为： 湖南师范人学硕十研究生论文 山i c e 的定义以及卜卜尾的定义，业i - - ：4 然有： t c e “t c e 。 卜面我们讨论以f 它们的自然估计值。 给定x 的些独立样本( 一，五，l ，以) ，定义排序后的顺序统计量 为。k 。k l 以。，则口的结果约为： 脚2 n , 窿 = m a xi ml 历，熘，脚 ， 所以口的损失至少为【煅】个结果即： x l ，x n ，所以口的口f ： 分位数，的自然估计为： x ：( x ) = x 舢 t z 的最坏结果的期望损失的自然估计为： 耻卜挚( 枷最坏躲的平糊 这个我们称其为口的期望损失：e s 。 i 。( i j t c e ( x ) 的自然f + 汁为： t c e ：c x ，= 一赞4 c 所有的置的甲均数， 容易证明e s 。，t c e ：( x ) 是满足次r d h 性的： 证明：麟( x + 】，) ：一三垫! 坠 一薹兰丝! 二型 = 醪? ( x ) + 嬲：( n 同理可以证明，l 、c e ：( x ) 也满足次可加性， f a tt a il e d 分布卜的v a r 帮le s 模犁及兵买让倒f 艽 一一一 现在我们来扩展磷( x ) 的定义： 珊卜挲= 一掣 一去( 2 。 - z ：。l ( k 声匕厂k ” = 一1 ，p - , l i l t = 。x ，k 也。 爿“一2 - ( k “一一1 ) ) = 一三( 去巩。巩。去飘玑厂 当n 寸o 。时有 。l i 。r a 。x 。：x 口( 依概率1 ) 所以我们有f 式依概率1 相等 。l i r a 。e s ( x ) = - a - t ( e x l x 。一。 卜工( 口( p 【x x ( 引卜岱) ) f 1 4 】 2 1 4 1 广义期望损失e s ( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 概念 d e f 2 1 5 ：( 广义的期望损失e s ) 设x 代表在时刻t 时组合的损益，口( o ，1 ) 为指定的概率水平， l o o x 口水平期望损失定义为： e s = 。甜一( e x l x 洲l 卜工。( p 【x x 。卜倥) ) 这里l 为示性函数：t ( 口) = 三：三主三 上式解释为：当 x x t 刚) 的概率大于甜时，x ( 刚( p 【x x 卜a ) 项为 应当从期望值e 【x 1 x d 。， 】中减去的项，相反，当p x x 口) = 口时，即 当x 为连续随机变量时，e s 。( x ) 。一口。e x 1 t x j 。) 1 】 进一步有： e s 。( x ) = 川f q 。似) d u 如果我们定义分布函数f ( x ) 的广义逆函数为： f “( p ) ：m f x if ( x ) p 湖南师范人。硕f j 研究生论文 则：e s ”( x ) = 仃r f + ( “) d u 娃然e s “( x ) 关j 二口连续。 2 1 4 2 e s 的。陛质 命题2 。1 2 ：e s 的一致性 设置信水、卜为口，在概率审问【q ，f ，尸) j 的实随机变量集合y ， 使得对所有的x l - f fs ( x 。) ，如果定义：yj 月为p ( x ) e s 。( x ) 对 所有的x v ，则e s 为一一致风险测度，即e s 满足： ( a ) 次町力阳性：e s 。( x + y ) e s 。( x ) + e s 。( y ) ( b ) 正齐次性：如果五0 ，贝, j j e s 。( 2 x ) = 2 e s 。( x ) ( c ) 单调性：如果x y ，则e s 。( x ) e s 。( y ) ( d ) 甲移不变性：如果m r ，贝, t j e s 口( x + m ) = e s 口( x ) 一m 命题2 1 - 3 ：如果x 是概率窄问( 【2 ，f ，尸) 上的实随机变量，且柯 e ( x ) ，“( o ，1 ) ，那么i ( “、= “1r x 。 ) d u ( 这里的妄( 口) 2 甜一1 ( e x 1 x d 。， 一x 口( p x x 口1 卜醪) ) ) 推论：如果x 是概率空问( 毛f ，尸) 上的实随机变量，且有e ( x ) 0 ，甜+ s 1 命题2 1 5 ：v a r 。与e s 。的关系 ( 1 ) f s 。8 r 。幽 ( 2 ) e s 。v a r 。 ( 3 ) e s 。和v a r 。都是口的减函数 f a t t a i l e d 分布卜的v a r 和e s 模型及其实证研究 证明：( 1 ) 、( 2 ) 很显然成立，下面证明( 3 ) 。 设o 口，口2 1 ，由于e s 。2 口f v a r 。d u 所以碾：= 口f f _ - ：l 哦+ 去2 v a r 。d u “a ：le s 。, + 去v 出qe 幽( v a r 。是减函数) v 只r ，y 、1 =： ：堡：! p 卜x v a r 。( x ) 】 1阳f 口l = 一l ( - x ) t ( x ) d x 倥“ ，1 1 寿雨本铸右下；+ 笛e q p - o o ，0 i ，r - 7 t o 假定收益序列服从均值为，方差仃2 的正态分布，即： n ( ，盯2 ) ，贝u 有 l 湖南师范人学硕一1 j 研究q i 论文 峨( x ) = 拶) f j x 灿= 一吉擘x 丽1 e - 警d x 盯一壁1 1 1 竖 2 f e 2 一 ( 2 12 ) 口2 万 。 、。 。7 2 1 。2 2g a r c h ( 1 ，1 ) 模型下e s 的计算 砹收, - , i t l t j 1 问j 列y 。，t 。l 期的佶息集合u 为f ，给定的条件卜 ， 我们假定分解为如f 的形式： y t = e ( y 。v , 一1 ) + s t ， 向随机项通常假定具有以f 的形式： g t 2 z t o - , 其中z 。n ( o ，1 ) ，霹= 缈十倥。占i - + 屈。，记标准正态分布的反函数为 一1 ( x ) ，y ? = e ( y ：e 一) + ( a ) o - 。= “+ 一1 ( q ，则有 e s 。c x ，= 吉j ：= ! c x ，坟x 皿= 一吉x 击e 若；a x ：牟e _ 掣一双 ( 2 1 3 ) a x 2 z 、7 对于其它分布f 的e s 计算，理论i 二必要把正态分布下的密度函 数换成其它分布的密度函数即口，但求出其表达式很斟难，本文将在 第1 i 章给出在其它分布f 极值理论e s 模型的估计表达式。 本章小结： 本章首先从j 风险测度：具发展的角度介绍j 7 马柯威茨的方差协 方筹法、威廉夏普的j 系数法、半方差及l p m 法、v a r 方 ，：介宝“ 了v a r 风险测度的两个