（应用数学专业论文）一类非可微多目标广义分式规划问题.pdf

摘要 本学位论文就一类非凸非可微多目标广义分式规划问题( v f p ) ，即每个子 目标函数为广义分式形式，且具有抽象不等式约束和抽象集合约束的规划问题， 讨论了k u h n - t u c k e r 型最优性条件，鞍点型最优性条件，l a g r a n g e 对偶定理以 及相应于( v f p ) 的一个单目标规划( s f p ) 的恰当罚函数存在条件共分四部 分 第一章绪论部分综述了多目标分式规射和单目标广义分式规划的研究进展， 并介绍了本文所要做的一些工作。 第二章是本文的主要部分第一节介绍了本文要用到的一些概念和记号，并 给出了若干预备性的结果；第二节以凸分析和c l a r k e 广义方向导数、广义梯度 为分析工具。在适当的约束品性下，建立了( y f p ) 关于弱有效解和真有效解的 k u h n t u c k e r 型必要条件；第三节在广义p 一凸性下探讨了( v f p ) 弱有效解， 有效解和真有效解的k u h n t h c k e r 型充分条件 第三章，我们取h = 兄2 ，在次似凸和广义次似凸的条件下，分别建立了 ( v f p ) 关于弱有效解，有效解，真有效解的鞍点型最优性条件和l a g r a n g e 对偶 定理 第四章研究了( v f p ) 的一个特殊情形( s f p ) ，给出了广义k u h n t u c k e r 向 量的概念，讨论了其恰当罚函数存在的条件，并给出了恰当罚函数存在的一个充 要条件 关键词t 约束品性；c l a r k e 广义梯度；鞍点；广义次似凸；恰当罚函数 ac l a s so fn o n d i f f e r e n t i a b l em u u r i o b j e c t i v e g e n e r a l i z e df r a c t i o n a lm a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n gp r o b l e m s l uh a i - l o n g ( c o l l e g eo fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，z h e j i a n g n o r m a lu n i v e r s i t y , j i n h u a ， z h e j i a g ，c h i n a ，3 2 1 0 0 4 ) a b s t r a c t f o rac l a s so fn o n d i f f e r e n t i a b l ea n dn o n c o v e xm u l t i o b j e c t i v eg e n e r a l i z e df r a c - t i o n a lm a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n gp r o b l e m ( v f p ) ，w h o s es u b o b j e c t i v e f u n c t i o n s a r eg e n e r a l i z e df r a c t i o n sa n di n c l u d i n gr e s t r i c t i o n so fa b s t r a c ti n e q u a l i t ya n d a n s t r a c ts e t ，k u h n t u c k e r t y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，s a d d l e p o i n tt y p eo p t i m a l - i t yc o n d i t i o n s ，l a g r a n g ed u a l i t ya n dt h ec r i t e r i o n o fe s i s t e n c eo fe x a tp e n a l t y f u n c t i o no fas p e c i a lc a s eo f ( y f p ) a r ec o n c e r n e d t h ep a p e rc o n s i s t so f4c l l 印- t e r s i n c h a p t e r 1 w es t a t et h er e c e n ta d v a n c e si nt h es t u d yo fm u l t o b j e c t i v e f r a c t i o n a la n ds i n g l e - o b j e c t i v eg e n e r a l i z e df r a c t i o n a l p r o g r a m m i n g t h e nt h e w o r kw ed oo nt h i sp r o b l e mi si n t r o d u c e d c h a p t e r2i st h em a i np a r to ft h ep a p e r i ns e c t i o n1 ，s o m ed e f i n i t i o n sa n d n o t a t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，a n ds e v e r a lp r e l i m i n a r yr e s u l t sa r ep r o p o s e d i ns e c t i o n 2 ，u n d e rt h ep r o p e rc o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n s ，w ed e v e l o pt h ek u h n - t u c k e rt y p e n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rw e a ke f f i c i e n c ya n dp r o p e re f f i c i e n c yo fp r o b l e m ( y f p ) w i t ht h eh e l po fc o n v e xa n a l y s i s ，t h ed e f i n i t i o no ft h ec l a r k e sg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea n d g e n e r a l i z e dg r a d i e n t i ns e c t i o n3 ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n s o f g e n e r a l i z e dp - c o n v e x i t y , w ep r e s e n tt h ek u h n t u c k e rt y p es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s i nw h i c ht h ew e a ke f f i c i e n c y , e f f i c i e n c ya n d p r o p e re f f i c i e n c ya r ei n v o l v e d i nc h a p t e r3 ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n so fs u b c o n v e x l i k ea n dg e n e r a l i z e ds u b c o n v e x l i k e ，w ep r o p o s et h es a d d l ep o i n tt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dl a g r a n g e 1 1 d u a l i t yf o rp r o b l e m ( v f p ) ，w h e r eh = r 7 i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yas p e c i a lc a s e ( s f p ) f o rt h ep r o b l e m ( v f p ) f i r s tw ep r o p o s et h eg e n e r a l i z e dk u h n t u c k e rv e c t o rf o rp r o b l e m ( s f p ) ，t h e n w e p r o p o s et h ec r i t e r i o no f e s i s t e n c eo fe x a tp e n a l t yf u n c t i o nw i t hi t ，a n dd e v e l o p an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc r i t e r i o no fe x a c tp e n a l t yf u n c t i o n k e yw o r d s ：c o n s t r a i n t q u a l i f i c a t i o n ；c l a r k e sg e n e r a l i z e dg r a d i e n t ；s a d d l ep o i n t ；g e n e r a l i z e ds u b c o n v e x l i k e ；e x a c tp e n a l t yf u n c t i o n s i n 绪论 ( 一) 多目标最优化问题的产生 多目标最优化是近5 0 年来迅速发展起来的一门新兴学科，作为最优化的一个 重要分支，它主要研究在某种意义下多个数值目标的同时最优化问题多目标最 优化的起源可以追溯到经济学中a s m i t h ( 1 7 7 6 年) 关于经济平衡煮【f e d g e w o r t h ( 1 8 7 4 年) 对平衡竞争的研究特别是著名经济学家v p a r e t o ( 1 8 9 6 ，1 9 0 6 年) 在 经济裰利理论的著作中。不仅提出了多目标最优化阔题，并且还弓l 选了p a r e t o 最优化的概念，这对多目标最优化学科的形成起着十分重要和深远的影响多目 标最优化问题从p a r e t o 正式提出到j o h n s o n 的系统总结，先后经过了六、七十 年的时间但是，现代多目标最优化学科的正式形成始于本世纪5 0 年代，众所 周知，t c k o o p m a n s ( 1 9 5 1 年) 从数量经济学角度对多目标最优化所作的基本 工作，以及h w k u h n 和a w t u c k e r ( 1 9 5 1 年) 关于向量极值的一些研究为这 一学科的建立奠定了重要的基础稍后，l ，h u r w i c z ( 1 9 5 8 年l 把多耳标最优化问 题的研究推向了般的拓扑向量空间，终于使这一学科的抽象理论为数学家们所 广泛接受，从此，不少著名数学家先后转入这领域的研究，取得了很多有意义 的成果到现在为止，多目标最优化不仅在理论上取得重要成果，而且在应用上 也越来越广泛。多目标决策作为一个工具在解决工程技术、经济、管理、军事积 系统工程等众多领域的问题也越来越显示出强大的生命力 在多目标最优化问题的研究方向中，非可撇多目标规划是一个重要研究方 向，它不仅具有理论意义，面且在物理或化学试验中的数据拟合、最优控制和工 程优化设计中的许多闽题以及经济管理等方面也有广_ 泛应用自7 0 年代开始， f h c l a r k e ，a d i o f i e 和j p a u b i n 从不同角度出发，各自研究了非光滑函数的 广义梯度，现在非光滑分析已经形成了个庞大的家族。非光滑分析的发展真接 刺激了非可微优化的研究，近年来国内外学者都非常重视非可微多目标规划的研 究，并且取褥了较为丰硕的成果( 见文献【l 卜【6 1 ) ( - - ) 非可微最优化问憨的研究现状 8 0 年代初，人们就开始研究如下的多目标分式规划t ( p 1 )r a i n 显( 譬) = ( ，t ( 。) ( 。) ，一，靠( z ) h ，( 茁) ) ， s t g ( x ) 冬0 ，z c 其中e 是r “中的开集， ，胁都是g 上的实值函数，且h i 0 ，v x c 关于可微的多目标非线性分式规划( p 1 ) ，s i n g h 1 和林锉云f 2 】在形式上或本 质上假定所有的分母h 都相同的情况下作了比较详尽的讨论；徐增坤【3 对异分 母也情况全面系统地给出了有关弱有效解、有效解以及真有效解的k u h u 。t u c k e r 型最优性条件和m o n d - w e i r 型对偶结果b e c t o r 4 对分子仅为凸而分母仅为凹 的多目标分式规划( 只) 研究了关于有效解的最优性条件和对偶理论对非凸非 可微多目标分式规射( 日) ，文献f 5 在不变凸的假定下证明了几个最优性充分条 件和m o n d w e i r 型对偶定理；文献f 6 】假定分母都相同且在( 只力一凸性下建立 了关于真有效解和弱有效解的最优性条件 对如下的规划问题 ( m 础i n 秽， s t g ( x ) 0 其中g 是移中的开集，y 是磅中的紧子集，( z ，口) ，挖扛，暂) ：c y ， r ，g ：c _ + r “，f ( x ，) ，h ( x ，鲈) ，口( z ) 连续可微，妒( 茹) ，l p ( 。) 为c 上实值凸函 数，且h ( x ，蓼) 一妒( 。) o ，v ( z ，) c y ： 近二、三十年来，对( b ) 有关最优性条件和对偶理论的研究已取得了可喜 的进展( 见文献c 8 】- 1 1 4 ) 1 9 7 7 年，s c h m i t t e n d o r f 在文献【7 】首次提出了关于 咖= 妒= 0 ，h ( x ，y ) = 1 以及c = 舻的极大极小问题，给出了k u h n t u c k e r 型 最优性必要条件；其后在文献f 9 一1 1 2 】利用此必要条件构造了若干个对偶问题， 分别在凸性和广义凸性的假设下证明了对偶定理1 9 9 9 年l a j ，l i u 和t a n a k a 在文献【8 】提出了妒( z ) = ( x r b x ) 1 2 ，妒( 卫) = ( ，d 茹) m ( 其中b 和d 都是对称 2 半正定阵，下同) 的( 岛) 即为菲凸非可微单目标广义分式规划，并在凸性及广 义凸性的条件下着重讨论了最优性充分条件和对偶理论，这些条件的理论基础 是k u h n ，t u c k e r 型最优性必要条件另外，早在1 9 8 4 年s i n g h 在文献1 1 4 中 对( z ) = ( x r b x ) m ，妒( z ) = 0 的情况给出了最优性条件但是文献i s ，1 4 的 k u h n t u c k e r 型最优性必要条件都是在一个极其繁杂的约束品性下建立的，利用 一个合适的择一定理，可以证明他们所提出的约束品性与他们所建立的k - t 必 要条件是等价的因此，对这类问题寻找一个相对简单而实用的约束品性就显得 更为重要了 2 0 0 1 年，罗和治在文献【1 5 】中，把( 岛) 推广到了多目标的情形，在k u h n t u c k e r 约束品性和a r r o w - h u r w i c z u z a w a 约束品性下讨论了多目标广义分式规 划闯题的k u h n t u c k e r 垂最优性条件，并在广义( f p ) 一凸性下给出了k u h n - t u c k e r 型充分条件和对偶定理 最近，徐增坤在文献【1 6 】中，研究了如下规划问题t ( p s )m i n ，( 芏) + 希( 茹) ， s t 9 ( o ) 耋0 ，z c 其中a 为舻中的凸集。 毋：彤一r ，g ：舻- + 置“，f ，g 是连续可敬的，是 g 上的实值凸函数，在类似k u h n - t u c k e r 约束品性和a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约 束品性下给出了问题( b ) 的k u h n - t u c k e r 型必要条件，并且指出通常对一些局 部的结果，取抽象约束集为凸集所得的结果包含了相应抽象约柬集为开集时的结 果，所以取g 为凸集推广了现有的结果 ( 三) 本文主要的研究工作 本文考虑如下规划： ( v f p )r a i n 君( z ) = ( e l ( 茹) ，e ；( 写) ，e ；( z ) ) s t 一g ( x ) h ，z c 3 其中 酢) 2 黟糕等器卢1 1 2 ，一i p g 是舻中一非空凸集，日是舻；中预先给定的闭凸锥，l ，是兄中的紧子集， ( 茹，) ，氐( 互，g ) ：cxy - 昱，v ；五( 2 ，譬) ，v 。h i ( x ，p ) 存在且关于( ，分) 连续， 机( z ) ，协( z ) 为c 上实值凸函数，且h i ( x ，y ) 一亿( 。) 0 ，v ( x ，s ，) c ( i = 1 ，2 ，p ) g ：c _ 足”在c 上连续可微的向量函数 与一般相类似的规划问题不同的是我们这里加了一个抽象约束集一一凸集 8 若抽象约束集为一般的凸集，则某些能够描述成凸集的等式约束和不等式约 束也可以归并到该抽象约束中去；而抽象约柬集为开( 凸) 集的话，则此种方法 不可行因此，加了一个抽象的凸集0 处理问题起来更有灵活性并且我们这 里采用了抽象的不等式约束：- g ( x ) h ，其中日为闭凸锥，若取h = 研， 则约束即为通常的不等式约束9 ( z ) 墨o ，所以阔题( v f p ) 的内涵更为丰富，文 献 1 7 ，1 8 】就是采用这种抽象不等式约束条件 众所周知。约束品性对非线性规划中的k u h n t u c k e r 型最优性必要条件的建 立起着及其重要的作用m a n g s a r i a n 1 研对可微的非线性规划给出了包括k u h n t u c k e r 和a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 等一些常见的约束品性及其相互间的关系，从 中可以看出k u h n t u c k e r 和a r r o w h u r w i c z u z a w a 这两个约束品性是其中最具 有代表性的约束品性 本文第二章针对( v f p ) 的抽象不等式约束条件：一g ( x ) h ，给出了约束 品性c q l 和c q 2 ，并且说明取h = 螂，在可微的条件下，约束品性c q l 和 c q 2 就转化为类似于k u h n t u c k e r 和a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 的约束品性在所 给的约束品性下建立了( v f p ) 关于弱有效解和真有效解的k u h n t u c k e r 型必 要条件，同时指出我们这里必要条件的证明只是借助非光滑分析中的广义方向导 数和广义梯度的概念及性质、凸分析以及广义分式规划中的基本工具；并不涉及 其中较为深奥的理论 在最优化问题的最优性充分条件和对偶理论的研究中，凸性概念作为一个最 基本的条件在获得预期的结果中起着重要作用，在这方面的研究中，为了减弱凸 性的限制条件。人们先后引进了各种广义凸函数的概念( 可参见【2 0 【2 4 ) 本文 4 2 3 节在广义p 一凸性 2 2 1 的基础上，给出了非可微函数的广义p 一伪凸和广义 p 一拟凸的定义，并在此凸性条件下，讨论了( v f p ) 关于弱有效解、有效解和 真有效解的k u h n t u c k e r 型最优性充分条件 l a g r a n g e 鞍点及对偶一直是最优化理论中很吸引人的一个主题许菇学者 做过研究，特别是关于多目标规划，可参看文献【2 5 - 2 8 j 但他们大多只讨论弱 有效解以及真有效解的情况在这些研究中，一个重要的问题是如何减弱条件得 到相应的结果 建立l a g r a n g e 对偶理论的基础是鞍点窭f 最优性必要条件，而在鞍点型最优 性条件的讨论中，择一定理起着非常重要的桥梁作用在文献 2 9 】中，杨新民进 一步推广了函数的凸性，给出了广义次似凸函数的概念，并在文献f 2 9 ，3 0 1 中对 这类函数证明了两个择一定理，文献【2 5 】利用文献【2 9 中给出的广义次似凸函数 和撵一定理，讨论了一般多目标规划的弱有效解以及真有效解的鞍点和l a g r a n g e 对偶 在第三章里，我们取h = 嘲! 首先，我们对文献【3 0 中的择一定理作了一 些修改，证明了一个引理，利用这个引理，在次似凸及广义次似凸的条件下，分 别讨论了( v f p ) 有效解的鞍点型最优性条件及l a g r a n g e 对偶的一些结果，并 且我们在讨论鞍点型必要条件的时候。没有用到通常证明必要条件时所采用的约 束品性，而是通过对耳标函数和约束集的一些适当假设得到的同时我们也给出 了( v f p ) 弱有效解和真有效解的鞍点型最优性条件及l a g r a n g e 对偶的若干结 论相比现有文献，我们在更弱的条件下得到了相应的结果 本文的最后一靳究了( v f p ) 的一个特殊情形，即取妒( 0 1 = ( o ) = 0 ，p = 1 的单目标广义分式规划问题( s f p ) ，讨论了其恰当罚函数存在的条件罚函数 法是以归并约束函数到无约束问题目标函数中去的方式把带约束问题转化为一 系列无约束问题的方法，是求解带约束问题的一个重要途径而恰当罚函数法是 通过进行单个无约束最优化解嵌约束最优化，即对给定的一个带约束非线性规划 问题，在一定条件下，确定一个函数使它的无约束极小就是带约柬问题的解对 于一般数学规划问题的恰当罚函数存在的条件，目前已有较多结果，且给出了多 种形式的罚函数，参见文献 3 l ，3 2 】等但这些结果多以充分条件形式给出这 里我们利用对偶锥的概念定义了( s f p ) 广义k u h n - t u c k e r 向量，讨论了其存在 5 的条件。在此基础上讨论了( s f p ) 恰当罚函数存在的条件，并给出恰当罚函数 存在的一个充耍条件最后还列举了( s f p ) 的两个特例，说明我们的结果包含 了现有文献中的相应结果 6 二k u h n - t u c k e r 型最优性条件 本章我们主要讨论( v f p ) 的k u h n t u c k e r 刑阢靼荟件以砖存广尊p 一 性 下的k u h n t u c k e r 型充分条件 ( 一) 基本概念和预备性结果 这里我们先引入本文要用到的一些记号和定义 设舻是n 维欧氏空间，卫= 0 l ，z 。) ? ，y = i y l ，j ? t 矛，厕 茁= y 铮甄= 玑，i = 1 ，n ； z 耋y = 争z l 耋玑，i = 1 ，n ； $ y 甘如挑，i = 1 ，礼，且。暑，； 岱 0 ，使得对每 个j p 下系统不相容： l m ( e i ( 。) 一毋( 孟) ) + ( 毋( 茁) 一马( 牙) ) 0 ，使得f 耋屯( $ ，们一 i p ( 茹) 耋l ，v ( x ，y ) c y ，i p 若牙是( y f p ) 的有效解，则雪是( v f p ) 的真有效解的充要条件为牙是b ) 的真有效解，其中e = 曰侮) 引理2 2 设孟是( r 。) 的最优解，且g = e ( 量) ，则 ( 1 ) 若a 0 ，则雪是( v f p ) 的弱有效解；若a 0 ，则牙是( v f p ) 的有效 解； ( 2 ) 若a 0 ，且牙是( 最# ) 的唯一解，则孟是( v f p ) 的有效解； 8 ( 3 ) 若a 0 ，再设( v f p ) 满足一致有界条件( u b ) ，则孟是( v f p ) 的真有 效解 下面我们介绍c l a r k e 广义梯度的概念 定义2 4 1 3 3 1 称函数妒：c _ + r 是c 舻上的局部l i p s c h i t z 函数，如果 对任意的茁c ，存在z 的领域【，( 茹) 及实数k 0 ，使得 i ( 掣) 一咖( z ) i 耋k i i y 一三0 ，v y ，z c ，( 正) c l a r k e 3 3 对局部l i p s c h i t z 函数毋引入如下广义方向导数和广义梯度概念 妒。( z ； ) = l i 理s u p 咖( 掣+ t 口) 一毋( ) 】t ， y 1 。伽 a 咖( ) = f 矿：p 。t ，耋矿( 石；口) ，v v 。 。 并证明了，若妒为连续可微的，贝! a 0 ) = v ( 2 ) ；若妒为凸的，则毋在z 处 的广义梯度与凸分析意义下的次梯度是一致的 引理2 3 3 3 设妒，九：x _ + r 为局部l i p s c h i t z 函数，t = 1 ，m ，则 ( 1 ) 踯( z ) 为非空紧凸集； ( 2 ) 矿( z ； ) = r a a x t ”：f 踯( 岳) ，且矿( z ； ) 关于口是凸、正齐次的； m、m ( 3 ) ai 最也) ( z ) & a 也( 茹) ，v s t r ；若九为正则的且以兰0 ，则等式 i = li = l 成立； m ( 4 ) 若毋是可微或凸的，则是正则的；若咖为正则的且8 i 至0 ，则s t 也 是正则的 为推导( v f p ) 的k u h m 2 h c k e r 型必要条件，我们还要用到以下着十引埋。 引理2 4 3 4 设y 是剧中的非空紧子集，( z ，掣) ：j 铲y _ + r ，v 。，( z ，) 存在且关于( 。，) 连续设盯( $ ) 2 学，0 ，! ，) ，则 a 盯如) = 乳，( 卫渤：y tr 汹) 其中y ( 茹) = y ：，( z ，私) = 盯( z ) ) ，c o 表示集合的凸包 引理25 3 5 设a i 舻为凸集，t = 1 ，2 ，m ，吼! i f，n”i、 c o a 1 u 也u u a 。 = a i 6 ：6 a 。，丸兰0 ，九= l i = l i = 1 j 引理2 6 1 3 6 1 设a 为非空紧凸集，b 为凸集若v d b ，存在矗a 使得 器d 兰。 则存在a ，使得 r d 兰o ，v d b 设a 毋，牙a ，a 在牙处的切锥记作t ( a ，牙) ： t ( a ，孟) = ( d ：d = 。l i m t k ( x k 一孟) ，缸至0 ，z 女a ，x k _ 孟) 若g 钟，记a f f c 为e 的仿射包，r i c 为c 的相对内部，再记r b d c = c l c r i c ， 0 为讨论( v f p ) 的k u h m t u c k e r 型最优性充分条件，我们还要用到文献【2 2 中的广义凸性 设，：x _ + r 为局部l i p s c h i t z 函数，且在牙x 处具有c l a r k e 广义梯度 a ，( 牙) ，d ：x x - - + r ，p r 定义2 6 称函数，在峦处p 一凸，若存在f a ，( 牙) ，对任意z x ， ，( 写) 一，( 雪) 至f r ( z 一童) + p i d 2 ( 茹，孟) 。 定义2 7 ( 1 ) 称函数，在茁处p 一伪凸，若存在a ，( 蕾) ，对任意z x ， 或等价于 f ( $ 一孟) 兰一p d 2 ( x ，孟) ，( 茁) 兰，( 孟) ，( z ) ，( 孟) ( 二) k u h n - t u c k e r 型必要条件 1 ( y f p ) 的约束品性 先给出( v f p ) 抽象不等式约束，一9 ( 茁) h 的几个约束品性 记x o = z r 8 ：- g ( 。) 日 ，z ( 牙) = z f p ：一9 ( 孟) 一v 雪( 孟) ( 。一圣) 日) 再记( v f p ) 的可行集为x = z c ：一g ( x ) 日) ，先给出以下三个约束 品性t c q i ：称g ( x ) 在至x 处满足c q l ，若对每个z z ( 牙) ，存在定义在【0 ，1 上的n 维连续可微的向量函数a ( t ) ，满足 0 ) = 蕾， t ) x o n a f c , 讹【0 ，1 】 0 ) = 6 扣孟) ，d 0 这里a ( o ) = 施- - j i - i ：。 c q 2 ：称g ( x ) 在牙x 处满足c q 2 ，若一夕( 至) h ，且一g ( 牙) 一v g ( 牙) 一 牙) i n t h 有解o a s f c c q 3 ：称g ( x ) 在至x 处满足g q 3 ，若g ( z ) 在c 上是h 一凸函数 3 8 1 ，且 存在盒i n t c 使得一夕( 圣) i n t h 1 1 注若取嚣= 磁，即约柬变成9 ( o ) 耋0 ，上述三个约束品性就转化为类似于 k u h n - 2 h c k e r 、a r r o w h u r w i c z - u z a w a 和s l a t e r 的约束品性( 可参见文献 1 9 d 事实上，若取h = 衅，即约束变成g ( x ) 姜0 ，在c q l 中，此时若将条件 8 8 ) j 岛nn ，g ，v t 【o ，1 加强为q 0 ) j nc ，v t 【0 ，1 ，即q ) 对 ( v f p ) 可行，则c q l 就是周知的k u h n - t u c k e r 约柬品性，通常情况下，前者 要弱于后者；当口为开集时，两者是等价的在c q 2 中，若g 为开集，则条件 中的一9 ( 牙) 一v 岔( 窖) 重) i n t h 就变为 g ( 孟) + v g ( 牙) ( 。一孟) 0 若g ( x ) 满足a r r o w - h u r w i c z - u z a w a 约束品性，再设g ( x ) 在c 上非凹，容易验 证，存在茁c 满足上式。从而可知9 ( ) 也满足c q 2 2 弱有效解的k u h n - t u c k e r 型必要条件 接下来我们就在上述3 个约束品性下给出本文的主要结果 定理2 1 设牙是( v f p ) 的弱有效解，记目( 雪) = e ，设9 协) 在牙处满足约 束品性c q l 若 t i c n z ( 牙) 毋，( 2 2 ) 则存在( 8 ，t ，雪) 忙) ，a r p ，厅日+ ，使得 。磐佳卵。罅固+ 舷叫v 。婚固一舷( 瑚 ) 十矿v 童忙) + b ( 牙) ；( 2 3 ) ，t ，露) + i j i ) 一e ( h ，彰) 一协( 牙) ) = 0 ，j = 1 ，一，s ；( 2 4 ) 于t 9 ( 雪) = 0 ； ( 25 ) 九至0 ，凡= 1 ( 2 。6 ) 这里( 牙) = = z r ”：z t ( x 一牙) 耋o ，v 茹c ) 证明由9 ( ) 在牙处满足约束品性c q l 以及( 2 2 ) 式，令茁r i c n z ( 孟) ， 记d = 。一孟，存在定义在【0 ，1 上的n 维向量函数a ( t ) ，满足 q 0 ) x o ，t 1 0 ，1 1 ( 2 7 ) 下面我们分三步来证明定理 步一：我们先证明存在e ：0 o ，( 从以 下的证明可以看出，不妨设这里的6 = 1 ) ，可知 1 ( 0 f ( “) 一口( o ) ) _ + d ， 则由切锥的定义可知 d t ( ( r 曲，孟) 但由于口r i c 以及r i c 是凸集，d = o 一牙，由引理2 7 知这是不可能的综 合( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式可知存在e ：0 e 1 使得 a ( t ) ) c o n c ，t 【0 ，e ( 2 9 ) 步= ：由于厉是( v f p ) 的弱有效解，记e ( 牙) = g ，由引理2 1 ( 2 ) 知互是 ( y b ) 的弱有效解，且圣( 孟，e ) = 0 由( 2 9 ) 式可知t = 0 为下问题的弱有效解 且圣( 口( o ) ，e ) = o ： 。m 。【o i n ，q 圣( a ( 帅) = ( 壬( 。( 帅) ，圣。( a ( 蚰) ，郇( a ( 。) ，习) ， 其中氨( ( 蚰) 2 罢势，i ( o ( 帅) + 如( ( t ) ) 一自眦n ( 帅) 一忱( a ( 洲) ，i p 接下来我们证明存在f 以包( 牙，毛) ，九耋0 ，九= 1 ，使得 = l ( 芝：a t ) t ( 茹一牙) 兰0 ，v t i c nz ( 孟) i = l 由于v 。 扛，) ，v 。如扛，暑，) 存在且关于扛，y ) 连续，钕，忧 ) 为凸函 数，以及a ( t ) 存在且连续，不难验证蛾 ( t ) ，g ) 在【0 ，司上是局部l i p s c h i t z 的， 1 3 i p - 若记s ( t ) = 圣( 口( t ) ，6 ) ，则。= o 是r a e p i n ，e 】8 ( t ) 的若有效解，从雨可断言下 系统无解 【0 ，e 】 s ；( o ，口) 0 ，i 尸( 2 1 0 ) 若不然，由引理2 3 知s ? ( 0 ，。) 关于v 正齐次，故可取口= 1 是系统( 2 1 0 ) 的 解，即s ：( o ，1 ) 0 ，i p 则由8 。的定义便有 船晰卜& ( o ) 】t 茎s 鹕1 ) 0 ，使得当t ( 0 ，日时，岛( t ) 一岛( o ) 0 ，i p 这 与则。= o 是t r a i o i n ，d s ( ) 的若有效解矛盾故系统( 2 1 0 ) 无解 【0 司- 由引理 2 2 知s t ( o ，。) 关于 是凸的，利用广义g o r d a n 择一定理( 文献 19 定理4 2 3 ) 知存在扎舻，沁0 ，使得 p 妇孢移) 0 ，v ”【o ，e ( 2 1 1 ) i = l 口 上式中不妨令沁= 1 由于1 是t = 0 处关于【o ，e j 的可行方向，且8 ；( o ，口) 关于u 是正齐次的，故( 2 1 1 ) 式就成为 p a t d 8 ；( o ，1 ) 兰0 = l 再由引理2 3 知 a 证m a x ( 印1 ：a s ；( o ) 至0 = 1 由a s i ( 0 ) 为紧凸集知存在啦a s t ( o ) ，使得磁= m a x 1 ：矿a s l ( o ) ，即 a 耐兹0 利用广义梯度的链式法则( 文献f 3 3 ) 的定理2 3 ，9 ) 、s ( t ) 的定义以 及a ( o ) = d ，( o ) = 牙知，存在酯巩吼( 孟，西) 且唬= ( 器) ? d 使得 p ( 岛) t d 至0 ( 2 1 2 ) = 1 若记a = 以屯( 雪，磊) ，a = c o a ：u ，- u 4 ) ，则由a 为非空紧凸集知a 为非 空紧凸集对上述的k ，露，记白= 入编，由引理2 5 和( 2 1 2 ) 式便知白a t = l 1 4 且嚣d 兰0 再利用弓l 理2 6 以及d = 。一孟知存在 0 ，使得i t t s o ，结合( 2 2 1 ) - ( 2 2 3 ) 以及 u ( 牙，t z ) _ 00 _ 0 ) 可知对瓷分，| 、i c lt 0 ：一9 陋。) s0 期i 2 2 0 ) 案f ；| ：寺 类似定理2 1 开始部分的证明，可知存在2 ，e 3 0 使得 o 。( t ) r i c ，v t ( 0 ，f 2 】，s ( 0 ，3 】 记q = m i n ( 日，e 2 ) ，可知仕葱戢难8 l u ，e 3 j ， q ，( t ) c n x 二，v t f o ，e 4 】 由于孟是( v f p ) 的弱有效解，记e ( 重) = e ，由引理2 1 知孟是( y r ) 的 弱有效解，且圣往，砷= 0 从雨t = 0 必为问题划r a o i 。n 1 西( a s o ) ，5 ) 的弱有效解且 1 7 圣( 乜。( o ) ，i ) = 0 ，记7 = 圣( 。( t ) ，e ) ，类似( 2 1 0 ) 式的推导，可知