（应用数学专业论文）用对称径向基函数配点法求解地下水流问题.pdf

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关键词；对称；径向基函数；配点法；无网格方法；地下水数值模拟 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 s o l v et h ep r o b l e mo fg r o u n d w a t e rf l o w b yu s i n gt h es y m m e t r i cf o r m o f c o l l o c a t i o nm e t h o du s i n gr a d i a lb a s i sf u n c t i o n s a b s t r a c t i np r e v i o u ss t u d i e so nn u m e r i c a ls i m u l a t i o no fg r o u n d w a t e r , t h ec o n v e n t i o n a ln u m e r i c a l a n a l y s i sm e t h o d sh a v eb e e na l w a y sa d o p t e d , i n c l u d i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d , a n dt h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d t h i sp a p e rw i l li n t r o d u c ean e wn u m e r i c a lm e t h o d t h es y m m e t r i cf o r m o fr a d i a lb a s i sf u n c t i o n sc o l l o c a t i o nm e t h o d s t oc o n d u c tn u m e r i c a ls i m u l a t i o ns t u d i e so n g r o u n d w a t e rp r o b l e m s i ti sar e a lm e s h l e s sm e t h o dt os o l v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c h d o e sn o tn e e dt od i v i d et h em e s h e sa n da v o i d st h ec o m p l e xm e s hg e n e r a t i o np r o c e s sw h e ni t s o l v e sn u m e r i c a ld i s c r e t i z a t i o n n ep a p e ri sd i v i d e di n t of o l l o w i n gf i v ep a r t s i nt h ei n t r o d u c t i o np a r t ，t h em e a n i n ga n dm e t h o d so fg r o u n d w a t e rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ， t h ee m e r g e n c ea n dd e v e l o p m e n to fm e s h l e s sm e t h o da n dr a d i a lb a s i sf u n c t i o n , a n dt h em a i n r e s e a r c ha r e a so ft h i sp a p e rw i l lb eg e n e r a l i z e d t h er e l e v a n tb a c k g r o u n do fh y d r o l o g yi sp r e s e n t e di nc h a p t e ro n e ，w h i c hs t r e n g t h e m t h eu n d e r s t a n d i n go ng r o u n d w a t e rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n c h a p t e rt w ow i l lf o c u so nt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o no nb r o a ds e n s ea n dr e l e v a n tt h e o r i e s o fr a d i a lb a s i sf u n c t i o n s t os e tt h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o r 也es y n m a e t r i cf o r mo fr a d i a l b a s i sf u n e t i o n sm e s h l e s sc o l l o c a t i o nm e t h o d s n ep r i n c i p l e so ft h es y m m e t r i cf o r mo fr a d i a lb a s i sf u n c t i o n sm e s h l e s sc o l l o c a t i o n m e t h o d sw i l lb ea n a l y z e di nc h a p t e rt h r e e ，a n di tw i l lb ea p p l i e dt on u m e r i c a ls i m u l a t i o no f g r o u n d w a t e r 1 1 s p e c i f i ce x a m p l e sw i l lb el i s t e d , t of o r m u l a t e ，a n a l y z ea n ds o l v et h e m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gb yw a yo fm a t l a hp r o g r a m m i n g t h ec o n c l u s i o nw i l lb ef m a l l ys u m m a r i z e d ：w h e nw ea d o p ti m qr a d i a lb a s i sf u n c t i o n w i 也s y m m e t r i ca l l o c a t i o nm e t h o d st os o l v eg r o u n d w a t e rp r o b l e m s t h es i m u l a t i o nr e s u l t sa r e m u c hb e t t e rs a t i s f i e dw i t he a s i e ro p e r a t i o n , h i g h e rc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y ，a n df e w e re r r o r s c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h es u m m a r i z a t i o na n dp r o s p e c t so ft h e s y m m e t r i cf o r mo fr a d i a lb a s i sf u n e t i o i l sc o l l o c a t i o nm e t h o d sh a v ea l s ob e e nf u r t h e rs t r e s s e d i nt h ee n d k e yw o r d s ：s y m m e t r y ；r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ；c o l l o c a t i o nm e t h o d ；m e s h l e s sm e t h o d ； n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fg r o u n d w a t e r i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t 。u 弓i言1 l 地下水背景知识4 1 1 地下水及其功能。4 1 2 地下水的赋存4 1 3 地下水的运动规律5 1 3 1 渗流的基本概念5 1 3 2 达西( d a r c y ) 定律5 1 4 地下水运动的基本理论6 1 4 1 承压水运动的基本微分方程6 1 4 2 定解条件7 1 4 3 地下水数值模拟的基本过程【1 4 1 8 2 对称径向基函数配点法9 2 1 径向基函数及其插值9 2 2 广义h c r m i t e 插值问题1 0 2 3 对称径向基函数配点法基本原理1 4 3 解决地下水流问题的对称径向基函数配点法19 3 1 二维地下水稳定流的对称径向基函数配点法1 9 3 1 1 基本原理1 9 3 1 2 二维地下水流问题应用实例。2 l 3 2 二维地下水不稳定渗流问题的径向基函数配点法2 5 结论2 8 参考文献2 9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 l 致谢：；：! 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 地下水数值模拟的意义水是自然资源，是人类和一切生物赖以生存与发展的最重 要的物质基础，是人类社会可持续发展的基础与条件，是环境与发展的核心水是农业 的命脉、是工业的血液、是交通和能量的载体、是国民经济的命脉、是保障经济社会可 持续发展的首要物质基础地下水作为水资源的重要组成部分。由于其分布广、水量稳 定、水质佳而备受人们关注，已经成为人类重要的饮用水源但最近几十年来人类对资 源的过量开采、对三废的任意排放给地下水资源的造成了很大程度的负面影响因此， 开展地下水资源的评价、合理开发、以及危险预测等工作已迫在眉睫，而这些问题的解 决都需要借助于求解地下水流问题的数学模型才能找到比较理想的解答 地下水数值模拟的方法解决地下水问题的数值方法有有限差分法( f d m ) 、有限元 法( f e m ) 、边界元法( b e m ) 、特征线法( m o c ) 其中有限元法和有限差分法是最为常用的 数值模拟方法这两种方法的区别在于，有限元法是建立在直接求函数的近似解基础上 的，而有限差分法则是建立在用差商近似表示导数的基础上的这两种方法各具自身的 优点，已经成为地下水数值模拟问题中比较成熟的数值方法，但是他们也有许多不足之 处，例如只有在先求出水头后，才能由达西定律算出渗流速度及流量，这样做会导致误 差大，精度差因此，我们把无网格方法引入到地下水数值模拟领域中，并得到初步的 应用从结果来看它可以很好的提高计算精度，同时自身又具有传统方法所不能比拟的 优势，是一种很有应用前景的方法 无网格方法的产生与发展近半个世纪以来，数值分析方法取得了长足的进步，特 别是对有限元方法进行了深入研究。使其在科学研究与实际工程的各个领域中得到充分 的应用随着信息技术的飞速发展，人们对数值分析方法的可操作性与精度要求越来越 高，有限元法在解决某些问题时遇到了难以克服的困难这种困难的产生源于传统方法 对于网格的依赖性，由于每次计算时都需要对求解区域划分网格，对于运算规模大、网 格剖分要求精细的问题，网格的生成则需要大量时间，所需求解的数据量也非常庞大 特别是对于高维问题，这种局限性就愈发明显因此，无网格方法就在这样的时代背景 下应运而生 无网格方法是指在建立整个问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的网格信 息进行域离散的方法【l 】无网格方法产生于三十多年以前，最早是由l u c y 于1 9 7 7 年提 出的光滑粒子法，用于研究无边界的天体问题；9 0 年代，o y k a ，s w e g l e f 2 】等人提出了光 滑质点流体动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) 不稳定的起因和稳定化 方案；b e i s s e l 等人于1 9 9 6 年提出了一些改善应变计算的方法网：1 9 8 1 年l a n c a s t e r t 4 1 提出 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 了一种叫做移动最小二乘( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 的近似方案；1 9 9 2 年n a y r o l e s 【5 1 等 人将m l s 应用到g a l e r k i n 方法，于是提出了扩散单元法；后来，b e l y t s c h k o 等人在1 9 9 4 年进一步完善了扩散单元法，提出了无网格g a l e r k i n ( e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d , e f g ) t 们这类方法较s p h 方法更具稳定性与协调性；这之后l i u f 7 】利用积分重构函数思 想，提出了一种重构核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d , r k p m ) ；1 9 9 5 年美国学 者o d e n 和d u a r t e ，利用m l s 原理建立单位分解函数，构造权函数和试探函数来进行场 变量的近似，然后利用g a l e r k i n 变分法原理构建离散模型，提出了h p c l o u d s 无网格数值 方法：随后，l i s z k a 提出了h p m e s h l e s sc l o u d s 方法，该方法采用配点格式，不需要 g a l e r k i n 格式中的所需要积分计算的背景网格；1 9 9 6 年o n a t e 和i d e l s o h n 【8 1 等学者提出了 有限点法( f i n i t ep o i n tm e t h o d , f p d ，该方法利用移动最小二乘法构造形函数，采用配点 格式进行离散，摒弃了背景网格，是一种真正意义上的无网格方法；这之后，a t l u r i 等学者 9 3 对无网格方法进行了大量研究，将边界元法的思想引入到无网格方法的研究当中，基 于m l s 原理简历对场函数的近似，提出了局部边界积分法( l o c a lb o u n d a r yi n t e r g r a l e q u a t i o n , l b i e ) 和局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h l e s sl o c a l p e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d , m l p g ) 这两种方法在积分的时候都不需要背景网格，是纯粹的无网格 相比传统方法，无网格方法作为一种新兴的数值分析方法，具有自身的独特优势， 但是也存在着许多亟待解决的问题随着研究的逐渐深入，相信无网格方法会有更大的 发展空间。 径向基函数配点法的产生与发展径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，r b f ) 由于具 有形式简单、与空间维数无关、各向同性等优势，因此得到了广泛的研究，特别是在多 变量逼近理论中俨然成为一种特别有效的工具g a l l s a 将径向基函数引入到配点法中， 用来求解偏微分方程问题在i ( d l r l s a 所提出的方法里，系数矩阵是非对称的而采用 h e r m i t e 型逼近方法所得到的系数矩阵是对称的w e n d l a n d 将径向基函数引入到g a l e r k i n 方法中，得到了相应的无网格形式吴宗敏等人证明了用径向基函数进行散乱数据插值 和求解微分方程问题的优越性，并给出了误差估计h o n 等人将径向基函数应用到求解 两相流问题中，并得到了所期望的结果径向基函数理论知识还在进一步丰富发展中， 由于它所具有的优势，它的应用会越来越广泛 本文的主要研究工作有以下几个方面：通过大量查阅书籍、搜集、整理资料，将文 章中所涉及到的水文学背景知识较为系统的呈现在论文中，使得对后续进行的数值模拟 有了更为系统的认识 一2 一 辽宁师范大学硕士学位论文 对地下水流问题进行了对称形式的径向基函数无网格配点法分析，分别对二维稳定 流和非稳定流问题进行了研究，利用m a t l a b 语言编制了算法的实现程序，达到算法可视 化的分析目的，并且与传统的有限元方法求解进行了对比分析，得出了结论 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 1 地下水背景知识 1 1 地下水及其功能 地下水的基本概念： 地下水是指赋存于地面以下岩石空隙中的水，狭义上指赋存于地下水面以下饱和含 水层中的水1 1 0 】在国家标准水文地质术语中，地下水时至埋藏与地表以下的各种形 式的重力水 地下水的功能f 1 1 1 ： 地下水的主要功能有资源、生态环境三大方面，包括资源功能、生态环境因子、灾 害因子、地质营力与信心载体等五种功能 首先是资源功能，作为水资源重要组成部分的地下水，由于其水质良好、分布广泛、 变化稳定、便于利用而成为理想的供水水源，有时甚至是唯一的供水水源；其次，地下水 是主要的生态环境因子，地下水是生态环境系统中一个敏感的子系统，地下水的变化往 往会影响生态环境洗头的天然平衡状态；多年对地下水开发利用的研究表明，若是开发 利用不当，也会使地下水成为灾害因子，此外水质恶化、水质污染、地方病、矿坑突水、 岩溶塌陷、滑坡、渗透变形均与地下水有关；地下水是一种重要的地质营力，是应力的 传递者和热量及化学组分的传输者，它在参与岩浆作用、变质作用、岩石圈的形成与改 造，乃至在地球演变中均起到重要作用；地下水也是一种信息载体，可以作为预报地震 的辅助标志等 1 2 地下水的赋存 根据岩层透水能力大小以及渗透性强弱，岩层通常可以划分为含水层i 隔水层和弱 透水层 含水层是指能够透过并给出相当数量水的岩层，是饱含水的透水层 隔水层是指透过与给出的水量微不足道的岩层 弱透水层是指透水性相当差，但是在水头差作用下通过越流可以浇花较大水量的岩 层 地下水的赋存特征对其水量、水质时空分布有决定意义，其中最重要的是埋藏条件 和含水介质类型按照埋藏条件可以将地下水分为包气带水、潜水和承压水，这里面的 承压水和潜水是供水水文地质的主要研究对象，下面简单介绍潜水和承压水的概念 辽宁师范大学硕士学位论文 潜水是指地表以下第一个稳定隔水层以上具有自由水面的地下水【1 2 】承压水p 2 是 指充满于两个隔水层( 弱透水层) 之间的含水层中具有承压性质的地下水潜水与承压水 在一定条件下可以互相转化，承压水可以由潜水转化而来，潜水也可以获得承压水的补 给，两者之间的转化取决于两个含水层的水头差、两个含水层之间弱透水层的岩性、厚 度、渗透性、时间等因素 1 3 地下水的运动规律 1 3 1 渗流的基本概念 渗流【1 0 1 是指地下水在岩石空隙中的运动，发生渗流的区域称为渗流场根据渗流运 动要素与时间的关系，将渗流分为稳定流和非稳定流所谓的稳定流是指水在渗流场运 动过程中各个运动要素不随时间改变的水流运动，而非稳定流则是指水在渗流场运动过 程中各个运动要素随时问改变的水流运动严格地说地下水运动都是非稳定的，稳定运动 只是一种暂时的平衡状态 1 3 2 达西( d a r c y ) 定律嘲 达西定律是在定水头、定流量、均质砂的实验条件下得到的渗透流量与水头差、渗 透途径之间的分析表达式： q ：o t l ；k ah , - e 2 ： 一 l ，：垒：盯： 彳 式中，q 渗透流量： ，渗透流速，是渗流在过水断面上的平均流速，是一种假想速度，州d ； 彳过水断面面积，忉2 ： 鼠、日，上、下游过水断面的水头，所； 工渗透途径，朋； ，水力梯度，是指沿渗透途径水头损失与渗透途径长度的比值计算公式为 ，：h 1 - h 2 ： 上 k 多孔介质的渗透系数，是水力梯度等于1 时的渗透流速，州d ： 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 1 4 地下水运动的基本理论 1 4 1 承压水运动的基本微分方程 基本假设：单元体体积无限小，为承压含水层，边长分别为x 、少和心；含水层侧 向收到限制。缸、y 为常量，z 为变量，存在垂向压缩，水的密度p 、孔隙度刀和z 随压力p 而变化：由p 引起的变化远小于单元体内液体质量的变化量，可以忽略不计； 水流服从达西定律；k 不因p 聋夕( p ) 的变化而变化；从和k 也不受玎变化的影响 根据质量守恒定律，单位时间内流入和流出单元体积的水量差，等于该时间段内 单元体弹性释放( 或储存) 的水量，推导可得到承压水运动的三维流微分方程【1 4 】： 丢( k 罢) + 专卜等) + 昙( k 警) = 以警 m4 1 ， 式中，日为地下水水头，k 为含水层的渗透系数，。为含水层的贮水系数，上式的数 学意义是指渗流空间内任一点在任一时刻的渗流规律 基本微分方程是研究承压含水层中地下水运动的基础它反映了承压含水层中地下 水运动的质量守恒关系，表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差( 左端) 等 于同一时间内单位体积含水层弹性释放的水量( 右端) 他还通过应用d a r c y 定律反映了 地下水运动中的能量守恒与转化关系 由地下水流基本微分方程式( 1 4 1 ) ，在均质各向同性介质中，方程转化为 a 2 日a 2 日a 2 日从a h 万+ 可+ 可2 管百a 皆a v 2a z 。k8 t 二维流情况下，基本微分方程可以表示为 旦f 丁塑1 + 旦fr 塑1 = a h 缸l 苏砂l 砂。 西 式中t = k m 和l 。m 分别为导水系数和贮水系数，m 为含水层厚度注意；导水系数 r 和贮水系数只能出现在二维水流方程中，要与三维方程中的渗透系数k 和贮水系 数从区分开来 在实际问题中若存在抽、注水的影响时，只要在微分方程中的左端通过加、减汇源 项w 当从含水层注水或垂向有水流入含水层时，w 为正值，表示汇；当从含水层抽水 或垂向有水流流出含水层时，w 为负值，表示源对于二维问题，w 表示单位时间在垂 直方向从单位水平面积含水层中流入或流出的水量；而对于三维问题来说，w 则表示单 位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量所以w 通常包含两部分内容，即降水入 辽宁师范大学硕士学位论文 渗补给地下水的量占和位于而的抽、注水量吼，用公式表示为w = 占+ 吼艿( x 一五) 式 中v 为井数，万为d i r a c d e l t a 函数于是对应于式( 1 4 1 ) 有 丢( k 警) + 茜( k 等) + 昙( k 罢) + w t 以百o h 二维情况为 旦f ，r 塑、1 + 旦k 塑1 + w ：p 塑 叙l 苏砂l 砂， 。 o t 地下水的状态总是在不断变化与发展的，所谓稳定只是有限时间段内的一种暂时平 衡现象当水位变化很小、边界条件不随时间而改变时，可看作稳定流问题来研究，这时 只需令非稳定流方程右端的_ o h 等于零a p - i ，这也意味着同一时间内流入单元体的水量 等于流出的水量 1 4 2 定解条件 1 4 1 中给出的方程只能描述地下水流的一般规律，而无法确定具体的运动状态 它可能有无数个解，如果这时我们再附加上_ 一些条件，就可以完全确定具体的运动状态 这些附加条件统称为定解条件定解条件包括边界条件和初始条件 边界条件： 边界条件是指渗流区边界所处的条件，用以表示水头日在渗流区边界上所满足的 条件它包含以下两方面内容 第一类边界条件( d i r i c h l e t 条件) ：如果直接给出了未知函数在边界上的值 日( x ，y ，z ，f ) ir 1 = 厶( 工，y ，z ，f ) ，( x , y ，z ) r i 式中，石( x ，y ，z ，t ) 为边界r 。上的已知函数第一类边界有时也称作给定水头的边界，注 意给定水头边界不一定就是定水头边界 第二类边界条件( n e 恤n a n 条件) ：有一些情况，并不直接给出边界r ：上的函数值，而 是给定了函数沿边界外法线方向的导数值，即 等i r 2 = 幺( w ，f ) ，( 毛y , z ) f ： 式中，炙( x , y ，z ，) 为f ：上的已知函数；n 为边界r 2 的外法线方向有时也称作定流量边 界条件 初始条件： 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 对于地下水流问题来说，初始条件就是指在某一选定的初始时刻( 如t = 0 时) ，渗流 区内水头日的分布情况可以表示为 h ( x ，y ，z ，) l ，。= 厶k ( 工，y ，z ) ，( x ，y ，z ) q 式中，风是研究区q 上的给定的已知函数 1 4 3 地下水数值模拟的基本过程【l q 建立数学模型：要确定一个地下水问题的数学模型，需要对研究区进行必要的水文 地质勘测、试验、收集有关资料天然地质体一般比较复杂，为了便于解决实际问题必 须忽略一些与当前问题无关或者关系不大的因素，简化我们所要研究的问题这样就得 到我们所要研究问题的概念模型，再从这个概念模型出发，用一组数学关系式来描述它 的数量关系以及空间形式，达到再现或复制一个现实地下水系统基本状态的目的这个 过程就是建立数学模型确定数学模型必须具备以下条件：有一个或组能描述这类 规律的控制方程：给定相应研究区q 的范围，形状和有关的各种参数和系数值；给 出所描述区域的边界条件 模型识别：下一步把模型通过数值模拟的结果与实际结果和已知资料进行比较， 看两者是否一致若不一致，就要对条件和进行修正，直到得到满意的结果为止 这个过程称为模型识别，即通过数值方法不断调整模型参数，达到输出的模拟结果与 实际结果一致为止 模型检验：为了确保校正后的模型能再现所研究的实际问题，还需要在参数值不 变的前提下根据另一段时间内模型的预测结果与相应时间段实际观测资料的对比来进 一步检验、考核模型对灵敏度的分析通常是必要的，这样可以估计解的性质是否满足 精度要求这一步非常重要，因为仅仅经过识别的模型无法保证模型确实有能力在可 行的范围内较好地代表实际问题 运转模型：经过上述步骤后的模型表明它确实能代表所研究问题的真实过程，有 能力以足够的精度预测未来状况，因此可以运用此模型进行相应的预测或计算 总之。模型的建立有很多技巧，它的好坏很大程度上取决于模拟者对所研究问题的 正确认识和对有关数据、资料的选用和估计 辽宁师范大学硕士学位论文 2 对称径向基函数配点法 2 1 径向基函数及其插值爿 径向基函数【1 7 】是由形如缈( 町定义的一个一元函数作用在e u c l i d 距离上，再作平移 所产生的线性组合 缈( 帖一c i i ) ) 而得到的函数基，其本质是用一元函数来逼近多元函数 利用径向基函数逼近多元函数，在计算机里表现出存储方便、运算简单等优势，对于各 向同性的问题更容易操作径向基函数的主要研究工作就是研究形如 妒( 忙一c i i ) ) 的函数 生成的函数空间，以及如何应用它来解决一般对象的函数所描述的问题 定义：给定一元函数 缈： o ，棚】一r 在定义域口。上满足：( x ) = 缈( ，) ，其中，= 叫i ，i i | i 是定义在r 5 上的范数( 通常采用距离 范数) 实际上径向基函数就是满足【1 7 1 ：如果忙l = 0 恐0 ，那么( 五) = ( 屯) ，x a , x ：r ， 即其仅依赖于，- = 叫i 。、 在一定的条件下，只要取 薯) 两两不同， ( x 一而) ) 就是线性无关的，从而形成径 向基函数空间中某子空间的一组基，并且当 ) 取遍整个空间r5 时， ( x 一薯) ) 及其线 性组合可以逼近几乎任何函数 常用的径向基函数有： ( 1 ) g a u s s i a nr b f ：p ( r ) = 一 。 q 舯一姗m 1 删c ( i m q ) r b f ：p 卜石万 ( 3 ) m u l t i q u a d r i c ( m q ) r b f ：伊( 厂) = 1 + ( 占，) 2 ( 4 ) t h i np l a t es p l i n e ( t p s ) r b f ：c p ( r ) = r 2l o g ( r ) ， ( 5 ) 紧支集正定径向基函数 关于紧支集正定径向基函数的理论内容以及其他的一些径向基函数可以参考【他】 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 现在，我们利用径向基函数展开式解决在空间口8 上的散乱数据插值问题，假定 弓( x ) ：兰q 伊( 卜i i ：) ，x r ， 其中，系数向量q 是待定的，利用插值条件，我们可以得到如下线性方程组， 伊( 0 耳一而i l ：) 缈( 0 五一恐0 ：) 驴( 8 五一h l l ：) 缈( i k 一再i l ：) 缈( 恐一恐8 ：) 矽( 0 屯一h 8 ：) 妒( 0 h 一毛l | 2 ) 矽( 0 h 一而l | 2 ) 缈( i i h h l | 2 ) c 1 乞 ： c n ( 五) ( 恐) 厂( h ) ( 2 i 1 ) ( 2 1 2 ) 上述方程组中的径向基函数缈( h 1 ) 我们可以选取前述的几种常用类型的径向基函数中 的任何一个，也可以选取其他类型的往向基函数求出系数矩阵【c 1c 2 c r ，将其 回代到式( 2 2 1 ) 中即可 1 厂1 对于形如 ，l s ( 工) = 咖( 卜五i i ) ，x 只 ( 2 1 3 ) 的径向基函数插值问题，我们有如下定理【1 9 】： 定理：设函数矽c 假，一r ) ，嫩缈( ，) - o ，那么对j 元径向基函数插值总存在唯一 解的条件是：对任何两两不同的点列 而) ，矩阵妒( 肛一鼍1 ) 都是正定矩阵 2 2 广义h e r m it e 插值问题 考虑数据 薯，丑力，i = l ，n ，而r 5 ，其中a = 五，如) 是连续线性泛函的一个 线性无关集合f 是一些( 光滑) 的数据函数例如，丑表示在薯点处的点值，因此产生 l a g r a n g e 插值条件，或者它可以表示在鼍点处的导数值然而，我们可以允许集合人包 含更多一般形式的泛函，这类问题的研究可以参考【b e a t s o na n d l a n g t o n ( 2 0 0 6 ) n 5 1 我们试图寻找如下形式的插值公式： r 弓( x ) = 勺( 删) ，x r 。 j = 1 ( 2 2 1 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 用( 径向) 基函数逼近使得p ，满足广义插值条件 五只= 丑，汪1 9o * o ，n( 2 2 2 ) 为了接下来讨论方便我们引入记号磊，磊作为径向基函数的中心，我们通常选取这些 点让它们与节点z = 五，x m 重合从下面的讨论可以很明显的看出，这里面我们只是 对中心点磊和节点薯作以形式上的区分令 y j ( 1 l x l l ) = 零缈( 忙一钿 ( 2 2 3 ) 表示五是以第二变量孝为自变量，并且作用在径向基函数缈上的泛函如果兄作用在 单变量函数上，我们将不添加任何上标因此，我们假定广义的h e r m i t e 插值具有如下形 式： 弓( z ) = 勺彤缈( 忙一舶，工r 5 ( 2 2 4 ) = l 满足以p ，= 丑厂，f = 1 ，n 于是我们得到线性方程组， , 4 c = 以， ( 2 2 5 ) 其中鸣= 丑巧矿，f ，- 1 ，n ，矩阵鸣是非奇异的方程组右端项六= 【 9o 0 0 9 厶门2 值得注意的是，当我们在装配插值矩阵彳的时候，作用于9 上的泛函五，既可以看 作是关于第一个变量x 的函数，也可以看作是关于第二个变量孝的函数这意味着我们 需要使用c 2 阶函数来进行c 阶数据插值，这样我们得到的矩阵彳可以保证是可逆的 下面我们讨论为什么( 2 2 4 ) 可以很自然的使用到h e r m i t c 插值问题中除了对称 插值矩阵( 2 2 5 ) 保证了对所有使用径向基函数可逆这个事实外，我们将要说明对于使 用( 2 2 4 ) 中的基函数，这时与在一点处的函数值和一阶导数值有关的h e r m i t e 插值矩 阵，对应于在一簇点集的l a g r a n g e 插值的极限矩阵在【f r a n k ee ta 1 ( 1 9 9 5 ) 1 6 1 中作者 利用插入节点研究了m q 在口2 上自适应的最小二乘逼近问题文中提到可以用适当的 基函数的方向导数替代m q 在中心点集的自适应最小二乘逼近下面我们通过分析一个 一维例子来验证上述的问题，更一般的高维问题的分析同样可以类似地进行我们讨 论在实数轴上的径向基函数在给定点处的函数插值和导数值，为了给出如何将一个一 般的h e r m i t e 矩阵子块与相关的l a g r a n g e 矩阵子块建立起联系，这足以分析相应的两对 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 些点，分别为墨，五+ 缸和白，乞+ 善此外选取如下形式的径向函数， 一 伊= 妒( 1 x 一善i ) ，x ，善屈 我们假定缈不同于我们所给出的，为了保持记号简洁方便，我们用丢缈( i 毛一句i ) 表示- 未o t l 工一白i ) l 珊和毒驴( k 一纠) ，用毒缈( k 一白1 ) 表示毒缈( i 而一圳蚴，用 去伊( i 而一白i ) 表示磊矿( p 一纠) 卜畸名畸于是得到下面的引理： 引理：对于上述描述的一维问题我们有， d 跳e t m f = d c t + 。( 缸) + 。( 善) ，1 其中， 。 鸩：裟。l 磐淌 l m ( 薯+ 缸) 一彭i ) 缈( 1 ( 薯+ 缸) 一( 旬+ 蝣) i ) i 是l a g r a n g e 矩阵对应于基函数在点善，善，+ 善插入点五，毛+ a x 的一部分， m h = 缈( 卜旬i ) 一毒缈( 卜旬i ) 翱薯一彭1 ) 一去缈( m j ) 是相关的h e r m i t e 子块 下面我们以一个简单的二维例子来说明h e r m i t e 插值逼近中所使用的一阶偏导数 例如：给定数据 五，厂( 再) 矗。和 薯，篆( 而) ) 二州，以及x = ( 五y ) r 2 因此， f气，i - - 1 ，棚 扣怯。去产叽， 从而。 辽宁师范大学硕士学位论文 弓= 啊二伊( 卜酬) = 喜训o ) + 薹，巳割咱1 1 ) = 喜硎工枷一煮，勺刹x 伽 于是我们可以有上述的插值条件得到系统矩阵 么：l 拿乡1 么= i 。 5 i l 4 如j 其中， 磊；9 ( 忙一旬8 ) ， ( 忍) 驴= 翱为一钏= 一刹一协 ( 互) 移= 翱而一钏 ( 砚= 警( 卜钏 这里我们应该注意的是乏和丑含有同样的数据节点和中心点，因为在这种情况下 符号的改查，是由于通过与互的比较，使得对互的第二变量的微分通过互换薯和白而 被替换这里需要认识到对缈求解关于工的偏导数，往往包含关于x 线性元素，例如， 我们在这里考察如下的二维问题： 仆i i ) = 伊( ，) = 缈( 乒可) 由链式法则可得到： 缈( ) = 磊d 缈( ，) 丢，( w ) 。万伊【，) 两罗 = 导伊( ，) 詈2 石伊歹 由于厂- 1 1 4 = 0 7 可，所以自变量，可以产生任意奇数阶导数 注意矩阵彳对于偶数阶导数也是对称的我们可以验证。 l 、 用对称径向基函数配点法求解地下水流问题 导非i i ) = * 告卅) + 等丢训 因此，现在我q j - j - 以很清楚的知道互换而和善，不会导致符号的变化；另一方面，对缈的 关于变量善的二阶导数也不会产生符号的改变 2 3 对称径向基函数配点法基本原理 h e r m i t e 型逼近的径向基函数配点法 有了前三小节的知识铺垫，下面可以很自然的引入对称径向基函数配点法是假设 我们给定线性椭圆型偏微分方程， 厶甜( 墨) z 厂( 五) ，x ，i n t l ， 为了应用2 3 中所提出的广义的h e r m i t e 插值方法所产生的结果，并且确保配置矩阵是非 奇异的，我们采用如下所示的未知函数毋的展开式， 二( x ) 二兰巳伊( 1 1 工一孝o ) i 扣白+ 羔巳缈( 忙一白1 ) ( 2 3 1 ) 这里面m 为q 的内部节点，是三品( 毛) = 厂( 玉) 中的微分算子，它是作用在函数缈的第 二变量善上的，其实也就是说缈与缈是等价的，只是记号不同而已 因此公式( 2 3 4 ) 中的线性泛函允通过 久j = 6 ；i o l ，j = 、，n l ， 以及五，= 名，_ ，= 川+ l ，n 给出 强制配置条件： 三二( 而) = ( 薯) ，五， 品( 薯) = g ( 五) ，而b 其中1 是内部节点集合，b 是边界节点集合 于是我们得到如下对称形式的配点矩阵： 彳= 隆考 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 _ _ | _ _ - _ _ - 一_ - _ _ _ _ _ 这时配点矩阵a 是n x n 的对称矩阵其中矩阵么中相应的四个子块分别为： ( 乞) 打= l l v ( i i x 一刮蚋砷，五，旬e ， (