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曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程边值问题多个正解的存在性 摘要 非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中各 种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性边值问题 源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科，是目前分析数学中研究最为 活跃的领域之一其中多点边值问题来源于应用数学的各个领域以及物理学中 的模型，具有重要的理论意义和应用价值本文利用锥理论，不动点理论，拓 扑度理论并结合上下解方法等，研究了几类非线性微分方程多点边值问题解的 情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下三章： 在第一章中，作者主要利用g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，讨论了一类非 线性二阶奇异延滞微分方程组多点边值问题 iu + a o ( t ) ，( t ，v ( t 下) ) = 0 ，亡( 0 ，1 ) ，下 0 ， ! 口”+ a 6 ( 亡) 9 ( ，u ( 。一7 - ) ) = o ，。( o ，1 ) ， 丁i o ， ( 1 1 ) lu ( t ) = t ，( t ) = 0 ，一下t 0 ， lu ( 1 ) = a 乱( ? 7 ) ，v ( 1 ) = a v ( u ) 正解的存在性，本章结果本质的推广和改进了文【1 3 ，1 5 】的结果最后通过三个 具体的例子说明了本章所得主要结果的应用性 在第二章中，作者利用l e g g e t t w i l l i a m 不动点定理：研究了如下非线性 p - l a p l a c i a n 方程两点边值问题 ( 如( ) ) + 8 ( 。) 伽，t 珏，跳) - - - o , 0 舌 l ，( 2 1 ) iu ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 9 ( u ，( 1 ) ) 三个正解的存在性，其中，中含有算子孔。和舰，o ( t ) 允许在t = 0 和t = 1 处 奇异随后作者应用本章所得结果解决了两类高阶微分方程混合边值问题，最 曲阜师范大学硕士学位论文 后通过一个例子说明了本章所得结果的应用性本章主要结果改进和推广了文 【2 0 一2 3 】中的主要结果 在第三章中，作者考虑四阶奇异微分方程边值问题 0 ( t ) u w ( t ) ) 7 = g ( t ) f ( t ，缸( t ) ，t i ( t ) ，t ( t ) ) ，0 t 0 本章推广 和改进了文【3 4 - 3 7 ，3 9 4 1 中的结果，并拓广了l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理的应 用范围 关键词：g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理；奇异；l e g g e t t w i l l i a m 定理； 正解；不动点；p - l a p l a c i a n a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h m a t i c s ，a n di t c a ne x p l a i ns e v e r a lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nav a r i e t yo f a r e a so fa p p l i e d m a t h e m a t i c s ，p h y s i c sa n d v a r i a t i o n a lp r o b l e m so fc o n t r o lt h e o r y ，i ti sa tp r e s e n t o n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d si na n a l y s em a t h e m a t i c s a m o n gt h e m ，m u l i t i - p o i n tb v p sc o m ef r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ， a n di ti sv e r ym e a n i n g f u li nb o t hp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a la s p e c t s t h ep r e s e n t p a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y ，f i x e dp o i n tt h e o r y ，t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y a n du p p e r - l o w e rs o l u t i o n sm e t h o da n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f p o s i t o v es o l u t i o n st om u l t i p o i n tb v p so fs o m ek i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e da r ee i t h e rn e wo re s s e n t i a l l yg e n e r a l i z ea n d i m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 - b yu s i n go ft h eg u o - k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h e a u t h o rc o n s i d e r st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rm u l t i - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs y s t e m so ft h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 1 1 ) t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ri m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e st h er e s u l t so f 1 3 ，1 5 】 t h r e ee x a m p l e sa r et h e np r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o no fo u rm a i n r e s u l t s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n go ft h el e g g e t t w i l l i a mf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h e a u t h o re s t a b l i s h e ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o ft r i p l ep o s i t i v es o - - l 、乃 1 1 0 q v i 她扎v i 嘶 啦栌曼 静 卜氓 蝴懈蜘一 九 = = l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ha p - l a p l a c i a no p e r a t o r ： i ( ( ) ) + a ( t ) f ( u ，牡，t u ，s u ) = 0 ，0 t 1 ， l ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 9 ( ( 1 ) ) ( 2 1 ) w h e r efc o n t a i n so p e r a t o r st ua n d 乳，a ( t ) m a yb es i n g u l a ra t0a n d1 w e a l s os h o wt h a tt h er e s u l t sc a nb ea p p l i e dt os t u d yc e r t a i nh i g h e ro r d e rm i x e d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a ne x a m p l ei s a l s og i v e nt os t u d yt h es o l u t i o n o fap - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mu s i n gt h et h e o r e md e v e l o p e d t h e m a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ri m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e st h er e s u l t so f 【2 0 2 3 】- a n e x a m p l ei st h e np r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o no fo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n go ft h el e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h e a u t h o rs t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so ff o u r t h o r d e r s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f ( p ( 亡) u ”( t ) ) 7 = g ( t ) f ( t ，u ( t ) ，( t ) ，( t ) ) ，0 0 ， a 6 ( 。j 7 芒，乱( 舌一下) ) = o ，t e ( o ，1 ) ，丁 o ， ( 1 1 1 ) iu ( t ) = 口( t ) = 0 ，一7 t 0 ， iu ( 1 ) = 0 f u ( 7 7 ) ，u ( 1 ) = 0 f u ( 叩) ， 其中a 是一个正参数，g c ( o ，1 】x 【0 ，。o ) ，【0 ，。o ) ) ，对任意的t 【0 ，1 ， f ( t ，0 ) 三0 ，g ( t ，0 ) 兰o ，a ，b ：( 0 ，1 ) _ 0 ，) 是连续的，并且在o ，1 处可能有 奇异，0 7 7 丁，o z 0 并且。唧 1 一 如果7 _ = 0 ，口= 0 ，则边值问题( 1 1 1 ) 就是我们常见的非线性二阶微分方 程组两点边值问题，这样的问题已有许多作者进行了研究，见文【1 0 一1 2 】及其 参考文献 2 0 0 6 年，文【1 3 】研究了非线性二阶微分方程组三点边值问题 l 一乱”= f ( t ，u ) ，t ( 0 ，1 ) ， 一t ， = g ( t ，毯) ，亡( 0 ，1 ) ， ( 1 1 2 ) lu ( o ) = v ( o ) = 0 ，a u ( ? 7 ) = “( 1 ) ，a v ( , 1 ) - - - - 刀( 1 ) 多个正解的存在性，其中，c ( 【o ，1 1 【o ，。o ) ，【o ，o o ) ) ，g d ( 【0 ，1 】【o ，o o ) ，【o ，o o ) ) ， 对任意的t 0 ，1 】，f ( t ，0 ) 三0 ，g ( t ，0 ) 三0 ，0 叼 0 和口? 7 o ， u o ) = 0 ，一7 - s ts0 ， ( 1 1 3 ) i 让( 1 ) ：o 多个正解的存在性，其中 ( a ：) 0 丁 o ， ( 1 ：1 4 ) l 铭( 古) = 0 ，一7 - t 0 ，铭( 1 ) = & 铭( 可) 多个正解的存在性，其中a 是一个正参数，0 叩 l ，0 0 f 叼 1 然而到目前为止，对非线性二阶奇异延滞微分方程组多点边值问题的研究 结果还不多，受以上文章的启发，本章第2 部分在久满足一定条件下应用g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理得到了边值问题( 1 1 1 ) 多个正解的存在性，第3 部 分则通过三个具体的例子说明了我们所得主要结果的应用性 本章总假设下面的条件成立： ( a ) 片s ( 1 一s ) a ( s ) d s 0 引理1 1 1 【1 7 】设e 是一个b a n a c h 空间，k e 是一个锥，q l ，q 2 是 e 中的有界开集并且孬1gq 2 a ：kn ( _ 2 q 1 ) - k 是全连续算子，如果 满足下列条件之一 2 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i ) u k na q l 时，l i t u i l l l u l i ，让kn a q 2 时，i i t u l l l | “| l ， ( i i ) u k na q l 时，l i t u l l | l 让| l ，u kna q 2 时，l i t u l l | i u l j 那么，a 在kn ( _ 2 q 1 ) 中必具有一个不动点 1 2 主要结果 定义1 2 1 我们称向量( 钆( 亡) ，秽( t ) ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的解如果它满足让，口 c - 7 r ，1 】f - c 2 ( o ，1 ) ，并且对任意的亡( 0 ，1 ) 满足u ( 亡) 1 0 ，口( 亡) o 和边值问 题( 1 1 1 ) 令 e = u c - r ，1 】：孔( t ) = 0 ，t 【一7 r ，o 】，乱( 1 ) = q u ( 叼) ，u ( 1 ) = 口锄( 叩) ) ， 易知在范数l l u i | = s u p l u ( t ) l ：一7 r t 1 ) 下，( e ，”i i ) 是一个b a n a c h 空 间很明显对任意的u e ，牡0 ，范数| i i i i o ，l 】= ”l i ，其中”i i i o ，1 】表示 c 0 ，1 】中的上确界范数 易知，如果向量( u ，u ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的一个解，则它可以表示成 10 ，- - t 孟0 ， 似d 。沁k ( t ，s ) 0 ( s 刚卜r 妣s ，0 ， q 驯 l0 ，- - t t 0 ， t ，。ta z l k ( z ，s ) 6 ( s ) 9 ( s ，让( s 一丁) ) d s ，。t 1 ， 1 2 2 其中k ：f 0 ，1 】【0 ，1 】_ 【0 ，0 3 ) 的定义如下 3 第一章二阶奇异延滞微分方程组多点边值问题的正解 k ( t ，8 ) = 令 t ( 1 一s ) 1 一口卵 t ( 1 8 ) 1 一口7 7 t ( 1 8 ) 1 一口叩 t ( 1 8 ) 1 0 f 叼 则下面的结论成立 其中 q 亡( 叩一8 ) l 一位7 7 口亡( 刀一8 ) 1 一q 7 7 一( t s ) ，0 8 t 1 ，8 曰， 0st s 卵， 0 t 8 1 ，8 7 7 ， 一( t s ) ，叩s t 1 ( 1 2 。3 ) g c t ，s ，= ：二篡：三茎；三：三： c 1 2 4 ， 1 ) k ( t ，8 ) a l a ( s ，s ) ， 2 ) k ( t ，8 ) a 2 g ( s ，s ) ， ( t ，8 ) 【0 ，1 】【0 ，1 1 ， ( t ，8 ) h ，1 】x 0 ，1 1 ， 8 。= 掣簪心= 型生1 掣r 1 0 f 力 一q 引理1 2 1 1 1 3 】设0 r l 1 ，0 0 f 7 7 1 ，y c o ，1 】，对任意的t 【0 ，1 】， 可( t ) 0 ，如果u ( 亡) 是方程 篓篇t e 叫( o , 1 ) 的解，则对任意的t 【0 ，1 】 其中 ( 1 2 5 ) u ( t ) o 并且绯m i n 。j u ( 亡) 。3 删， ( 1 2 6 ) 一曲h 掣，叼) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 注1 2 1 易知a 3 n ； 定义锥k = u e ：u ( t ) 0 ，v t 0 ，1 】，m i n o t 0 ，y o 0 ，o 0 使得 0 2 ( 厶一e o ) s u p t e o , 1 席竹k ( t ，s ) 口( s ) 幽 d 2 ( 一o ) s u p 蚝群+ rk ( 亡，s ) 6 ( s ) d s 5 a a 口t ( 五+ 印) fa ( s ，s ) a ( s ) d s 0 1 ( - 0 + 印) fa ( s ，s ) b ( s ) d s 因为一f 0 o o ，y o 0 使得对任意的0 u h 1 ，有 令q l = u e ： 从而 ，( s ，也) ( 7 0 + o ) u ，夕( s ，t 上) ( y o + o ) 让 i l h i ，则对任意的u kna q l ，有 ( 圳= as u p t e o ，1 】 k ( t ，s ) 6 ( s ) 9 ( s ，让( s 一7 ) ) 如 p 上一r s a ( - o + c o ) s 坚p ，k ( 亡，s + 7 ) 6 ( s + r ) u ( 8 ) d s t 【o ，1 】j o a n - ( y o + g 。) 1g ( s ，s ) 6 ( s ) d s l l 珏i i _ 0 ，所以存在_ 2 0 使得对任意的让h 2 ，有 邢，乱) ( 厶一6 0 ) u ，夕( s ，u ) ( 旦o o e o ) u 令趣= m a x a ；1 _ 2 ，2 皿) ， 6 一 一 z l 1 口 0 a 入 | i = 曲阜师范大学硕士学位论文 q 2 = 让e ：i f 让| i a ( 厂 一、三旬o = a ( 厂 、二- o o = 入( 厂 、：。o a ( 氏一o ) 1 一下 s u p | t e o ，1 】j o k ( t ，s + 丁) 6 ( s + t ) u ( s ) d s = 硒( 致一印) t 【0 ，s u p l 】j 0 + r l - r o + , r - 1 1 t , 1 h 2 k ( t ，s ) o ( s ) ，( s ，v ( 8 一r ) ) d s g o ) g o ) g o ) s u p t e o ，1 】 s u p t e o ，1 】 s u p t e o ，1 k ( t ，s ) b ( s ) d s l l u l i 1 k ( t ，s ) 。( s ) 钉( s 一7 - ) d s 0 1 一下 0 1 一f k ( t ，8 + 丁) 口( s + v ) v ( s ) d s k ( 亡，s + 丁) 口( s + 下) 入o 1 k ( s ，r ) 6 ( r ) 夕( r ，u ( r r ) 出) 如 a 2 ( z 一o ) ( ( 氏一o ) ，1 一下 s u p k ( t ，s + t ) a ( s + 下) t e o ，1 】，0 a 2 n ；( 一e o ) ( 致一s o ) f l - o s u p k ( t ，s + r ) a ( s4 - 丁) = 入2 n l ( 厶一s o ) ( 一印) ，1 - 0 + r 。哿】z 打k ( 抽) 。( s ) ( 1 - rk ( s ，r 刊6 ( r 刊嘶) d r ) d s ( 厂k c s , r + t 以，办) 酬 ( r 聊以岫) d s i l “l f - - 1 1 u 1 1 由引理1 1 1 的第一部分知，a 在kn ( _ 2 q 1 ) 中有一个不动点u 1 令 7 z 叩阻 有 蚝 而 猷 腑 忙阻 l0 ，- - t t 0 ， u l 2 ta 1k ( t ，s ) 6 ( s ) 9 ( s ，u 。( s 一丁) ) d s ，6 亡1 ， 则易知( u l ，v 1 ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的一个正解这与文 1 3 】中定理1 的证明 类似，这里不再加以证明定理1 2 1 证毕 定理1 2 2 设条件( 4 ) 成立，如果a c nd 并且满足厶 野 0 ，弘 0 ， 0 使得 口2 ( 厶一1 ) s u p 蚝 o 1 1群押k ( t ，s ) 口( s ) 如 0 2 ( 岛一e 1 ) s u p 【0 ，1 】群柯k ( t ，s ) 6 ( s ) 如 0 ，所以存在h 1 0 使得对任意的 ，( s ，u ) ( 厶一1 ) 乱，g ( s ，钍) ( g o 一1 ) 乱令q l = u e ： 8 0 仳凰，有 恻f a 2 _ - s u p t e o ，1 】 s u p t e o ，1 】 o 一一 o 一一 ( 厶一e - ) ( 岛一) k ( t ，8 + 7 _ ) o ( s + 丁) u ( s ) d s k ( t , s + r ) 。( s + 丁) a o 1 k ( s ，r ) 6 ( r ) 9 ( r ，乱( r r ) d r ) d s 。supp，o 1 一rk ( t , s + v ) 。( s + 丁) ( z 1 - v 。k ( 8 , ra - t ) 6 ( r + 丁) 钍( r ) d r ) d s a 2 a ；( f o 9 1 ) ( 岛一s 1 ) ，】厂卜8 k ( t , s +州f ，厂1 - 8s,r+tsupk ( tt ) a ( 8k ( s ) 6 ( h t)drteo 1j o k j o) + + 7 ) l ) 6 ( r + ) ，】 = a 2 4 ( l s t ) ( 岛一s ，) s u p t e o ，1 】 1 1 t 1 1 p + r g ( t ，s ) n ( s )( 小l - f o + 下g ( s 珩) 办) d s | 叫 d 3 i | 牡l l 又因为l 0 使得对任意的8 【0 ，1 】，0 ，夕( s ，u ) s 令凰= m a x 2 h l ，a 口l y f oc ( s ，s 9 ，( s ，t ，) 让e ： 有= 2 c = 一j 内k u 0 一净 第一章二阶奇异延滞微分方程组多点边值问题的正解 训 m a x 2 h 1 ，瓦) 使得对任意的s 【0 ，1 】，0 钍，钉 仍，有，( s ，u ) ，( s ，凰) ，夕( s ，u ) 9 ( s ，t 2 ) 令q 2 - - - 【珏e ：l 日2 ) ，则 对任意的札koa q 2 ，有移kn 一2 并且 m 让0概z 1g ( s ，s ) 。( s ) m ，日2 ) 幽 a 。( 兀+ t ) 1 0 1g ( s ，s ) 。( s ) d s 日2 h 2 = i i 钆1 1 ： 情形( i i i ) 和( i v ) 与情形( i ) 和( i i ) 类似，在这里不再重复 由引理1 1 1 第二部分知，a 在kn ( _ 2 q 1 ) 中有一个不动点1 5 2 令 l0 ，- - t t 0 ， 也 。t a z 1 k ( t ，s ) 6 ( s ) 夕( s ，让2 ( s 一7 - ) ) 如，。亡1 ， 同定理1 2 1 类似，易知( u 2 ，v 2 ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的一个正解证毕 定理1 2 3 设条件( a ) 成立，厶= 。o ，= o o ，g _ o = o o ，致= o 。，如 果存在两个正常数，y ，卢使得对任意的亡【下，1 】有 0 s ( t ，让) 0 g ( t ，u ) p a tfg ( s ，s ) a ( s ) d s p o - rg ( s ，s ) 6 ( s ) 幽 1 0 远，y 让 ，y ， o h u ，y ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 那么，对任意的0 入 所边值问题( 1 1 1 ) 至少存在两个正解( u l ( t ) ，移1 ( t ) ) ， ( 让2 ( t ) ， 2 ( 亡) ) j 证明对任意的0 a 卢，y ，由，g 关于他的连续性知，存在，y l ，y 使得 o a p ，y 1 并且对任意的t i t ，1 】有 0 ，y 使 得 令 f ( t ，u ) l u ，g ( t ，u ) l u ，0 u 饥， f ( t ，让) l u ，g ( t ，u ) l u ， u r ， p l - o + r ) 、a 2 l g ( s ，s ) a ( s ) d s 1 ， j 口+ r p l - o + v a o ；l g ( s ，s ) b ( s ) d s 1 j 口+ r q 1 = 让e ：i ，y 1 ) ， q 2 = 笛e ：l l 珏l l ， q 3 = u e ：l 口i 1 r + 1 ) 对任意的铭k n a q l ，由( 1 2 1 3 ) 知 ) = a z l 邵，s ) 6 ( s ) 如，让( s 叫) d s 入口1 a a l g ( s ，s ) 6 ( s ) 9 ( s ，心( s 一丁) ) d s 誓s ) 6 ( s 瓦丽1 丽丽如 ，1 a 百 1 ， 1 1 第一章二阶奇异延滞微分方程组多点边值问题的正解 l l a 缸l l = l l 入lk ( 亡，s ) 。( s ) ，( s ，口( s 一丁) ) d s i a 。1g ( s ，s ) a ( s ) ，( 5 ，口( s 一丁) ) 如 概l 1 g ( s ，咖( s ) 巾叫如 = a a 2 l a a 2 l a 2 a ；l 2 a 2 a 4 2 l 2 1 i - 0 g ( 8 + t , s d - t ) 。( s + 丁) ( z 1 一口g ( r + 丁，r + 丁) 6 ( r + 丁) d r ) 让( r ) d s f 0 1 - r 口+ g ( s ，s ) 巾) ( f i j 8 1 二8 + 7 珩) 咖) d s i i 牡l | 对任意的u kna q 2 ，由k 的定义及( 1 2 1 2 ) 知 心) 蛔1 g ( s s ) 6 ( s ) 如，u ( s 一州如 所以由( 1 2 1 1 ) 得 l i a u l i a a l g ( 8 ，s ) 6 ( s ) 7 ， 8 队g ( t ，r ) b ( r ) d r l k ( 抽) 小) 邝，小叫) d s i l ，1 a a l 3 f ，- l a a l ，卞 g ( s ，s ) a ( s ) f ( 8 ，v ( 8 一t ) ) d s s ) 巾瓦丽南丽幽 a 去 概z 1 g ( s s ) 0 ( s ) ，巾叫) 幽 概l 1 g ( s ) s ) 。( s ) 巾一巾s a 。2 l 厂卜r j o a ( 8 + 7 - ，8 + 7 ) 口( s + r ) v ( s ) d s $ a 2 l 1 8g ( s + 7 ，s + 7 - ) n ( s + 7 - ) t 7 ( s ) d s j 口 a 2 。；l 厂1 一口g ( 8 + t ，8 + + 丁, ( f i l l t ) a ( 8r ，r ) b ( r ) g ( r ：u ( r r ) d r 、1d sjoo a 2 0 ；l g ( + 7 - r ，u ( r 一 ) a 2 。2 l 2z 1 - 0 g ( 8 + t , 8 + t ) a ( 8 + 丁) ( ：1 。9g p + lr+丁)6(r+r)drj) a 2 0 (+ + 丁) i g p + 7 - ，7 - + 7 ) 6 ( r + ) ，口 )、2a42l2厂1一口g(s+丁，s+r)a(s+丁)(z1一口g(r斗丁，r+丁)6(r+r)drj0) l 2 g ( s + 丁，s + + 7 ) ( g ( r 斗7 - ，r + 7 ) 6 ( r + ) ，口 心4 2 l 2 蚺f - r 口+ rg ( s ，s m s ) ( 仁卧rg ( r r ) 6 ( 岫) d s | l u i l u l l 1 3 u ( r ) d s d s i l u 综上所述，由引理1 1 1 知a 有两个不动点牡l kn ( q 2 q 1 ) 和u 2 k n ( q 3 q 2 ) 令 f0 ，r t 0 ， 钉1 t 2 t a z 1 k ( 亡，s ) 6 ( s ) 夕( s ，“。( s 一丁) ) d s ，。t 1 ， f0 ，一7 - t 0 ， 现 2t a z l k ，s ) 6 ( s ) 9 ( s ，钍2 ( s 一7 - ) ) d s ，。亡1 ， 则易知( u l ，口1 ) 和( u 2 ，也) 是边值问题( 1 1 1 ) 的两个正解定理1 2 3 证毕 1 3 例子 在下面的例子中，我们总是假设0 = ；，下= ，o t = ；，7 7 = ，口( 亡) = ，6 ( 亡) = 击 例1 3 1 令j f ( 亡， ) = 口+ 可2 ，g ( t ，u ) = u + 牡3 ，则条件( a ) 成立并且容易 计算 a l 掣警= 嚣，a 2 = = 了i 二2 石， 2 l q 7 7 上d 1 一q 叩 1 1 5 厶o = o o 0 ，7 0 = 1 0 ，_ 0 = 1 0 ，l = 1 0 ，弘= 1 0 使得条件( a ) ，( 1 2 ，i i ) 和( 1 2 1 2 ) 都满足，并且容易计笋0 1 = 篱，眈= 击， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 厶20 0 ，厶o = o 。，岛= o o ，致= 所以对充分小的a ，由定理1 2 3 知边 值问题( 1 1 1 ) 至少有两个正解 1 5 第二章一类p - l a p l a c i a n 方程边值问题正解的存在性 本章主要应用l e g g e t t w i l l i a m 不动点定理研究下面p - l a p l a c i a n 方程边 值问题三个正解的存在性 ( 讳( 缸，) ) ，+ a ( 。) ，( u u t u s 乱) = o ，o 亡 1 ，( 如) - 1 = 如，；1 + i 1 = 1 ， ，i t t u ( t ) = 忌( 亡，s ) u ( s ) d s ， ，0 ，- 1 s u ( t ) = ( 舌，s ) u ( s ) d s ， ，0 这里k c d ，r + 】，h c d o ，r + 】，d = ( t ，8 ) r 2 ：0 8st 1 ) ，d o = ( 亡，8 ) r 2 ：0 8 ，t 1 ) ，矿= 【o ，o o ) ，k o = m a x 忌( t ，8 ) ： ( t ，s ) d ) ，h o = m a x h ( t ，8 ) ：( t ，8 ) d ) 本章假设下列条件满足： ( b ) ，c ( m ，( o ，o o ) ) ； ( c ) d c ( ( o ，1 ) ，( 0 ，) ) ，a ( t ) 允许在t ；0 ，1 处奇异，且0 片a ( t ) d t o o ： ( d ) g ( v ) 在( 一。，+ ) 上是非增的，连续的，且对任意的 3 r ，0 g ( v ) i i v l l 非线性边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目 前分析数学中研究最为活跃的领域之一，许多作者通过不同的边界条件研究了 一维p - l a p l a c i a n 方程边值问题 ( 锦( ) ) 7 + q ( t ) f ( t ， l t ) = 0 ，0 t 1 ( 2 1 2 ) 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 正解的存在性，见文 2 0 一2 3 】及其参考文献文 2 0 2 2 】分别通过边界条件 ( 1 ) u ( o ) 一g l ( u ，( 0 ) ) = 0 ，1 5 ( 1 ) + 9 2 ( u ”) ) = 0 ， ( 2 ) 1 5 ( o ) 一g l ( u ( o ) ) = 0 ，u ，( 1 ) = 0 ， ( 3 ) 让( o ) = 0 ，1 5 ( 1 ) 4 - 9 2 ( u 7 ( 1 ) ) = o 中的一种或几种，利用锥中的不动点 定理研究了边值问题( 2 1 2 ) 正解的存在性文【2 3 】讨论了边值问题 l ( 如( u ) ) 4 - a ( t ) f ( u ，) = 0 ，0 亡1 ， 【- 1 3 ) lu 7 ( o ) = 1 5 ( 1 ) = 0 正解的存在性，其中a ( t ) 在【o ，1 】上连续很明显，边值问题( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 都是边值问题( 2 1 1 ) 的特殊形式 近年来，许多作者都利用l e g g e t t w i l l i a m 不动点定理研究了p - l a p l a c i a n 方程边值问题三个正解的存在性，见文【2 6 2 9 ，3 1 3 3 】及其参考文献但是到目 前为止，还没有看到将l e g g e t t w i l l i a m 不动点定理应用到含算子t “和s 仳 的p - l a p l a c i a n 方程中，受以上文章启发，在较广泛的情况下，本章研究p l a p l a c i a n 方程边值问题( 2 1 1 ) 三个正解的存在性，本章主要结果和推论改进 和推广了引文中的结果 本章安排如下，第。2 部分给出了一些基本定义和主要引理，第3 部分则在 一定的条件下得到