（概率论与数理统计专业论文）稀疏模型的三特征联合分布以及贴现罚函数的研究.pdf

摘要 从经典风险模型出发，人们进行许多方面推广，将索赔记数过程， 从p o i s s o n 过程推广到更新过程，再到一般的马尔可夫过程。1 9 7 0 年g e r b e r 又将其推广到带干扰的经典风险模型等。本文在文 3 4 2 3 的基础上，考虑稀疏过程的几个重要的精算量以及贴现罚 函数。 第一章，回顾一下近年来的几位作者稀疏模型的结果以及研究的 现状，并综述本文所要用到的基础知识。 第二章，我们在文 1 的基础上，将经典风险模型的破产时间、 破产赤字、破产前的最大盈余联合分布推广到破产时间，破产赤字， 破产前的最大盈余，极大破产时刻前的最大盈余的四则联合分布，并 求得索赔为指数分布时相应的表达式。 第三章，考虑含退保因素的风险过程，退保以及索赔发生的过程 分别为q 一稀疏和p 一稀疏过程，在该模型下，仿照经典风险模型在文 3 3 4 2 3 的基础上，我们得到该模型下的鞅及破产概率。 第四章，我们考虑一类索赔次数为保费到达的p 一稀疏过程的三 特征的联合分布，利用对偶讨论的方法，我们得到破产前盈余首达x 的密度和破产时间，破产赤字，破产前盈余的联合密度函数所满足的 表达式。 第五章，讨论稀疏模型在离散索赔分布下的贴现罚函数，用类似 g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ) m 1 的方法，得到期望贴现罚函数的一个公式， 并分析u = o 时的特殊情形的显式表达式。 关键词：稀疏模型，对偶，破产时间，破产赤字，破产前的盈余 a b s t r a c t e v o l v e df r o mt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，p e o p l eg e n e r a l i z ei ti nm a n y a s p e c t s f o ri n s t a n c e ，g e n e r a l i z e t h ec o u n t i n gp r o c e s sf r o mp o i s s o n p r o c e s si n t or e n e w a lp r o c e s sa n dg e n e r a lm a r k o vp r o c e s s b e s i d e s ，g e r b e r g e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lr i s km o d e l i n t om o d e lw i t hp e r t u r b e dd i f f u s i o ne t c t h i sd i s s e r t a t i o n ，b a s e do np a p e r s 【3 】 4 【2 3 】，c o n s i d e rs e v e r a li m p o r t a n t a c t u r i a lc o n c e p t so f t h i n n i n gp r o c e s s i nc h a p t e rl ：l o o kb a c ku p o nt h er e c e n tr e s u l ta b o u tt h i n n i n g p r o c e s sa n dc i t es o m en e c e s s a r yb a s i ck n o w l e d g e i n c h a p t e r2 ：b a s e d o nt h ep a p e r 1 】，a tf i r s t ，w em a n a g et o g e n e r a l i z et h ej o i n td i s t r i b u t i o ni n t or u i nt i m e ，r u i nd e f i c r ，t h em a x i m u m s u r p l u so fb e f o r er u i n ，a n dt h em a x i m u ms u r p l u so fb e f o r et h el a s tt i m e r u i na n dg e tt h e e x p l i c i te x p r e s s i o n w h e nt h ec l a i mi s e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n i nc h a p t e r3 ：w ec o n s i d e rt h ed i s m i s st h ec o n t a c ta n dt h et i m e so f c l a i m sa r eq - t h i n n i n g ，p - t h i n n i n gp r o c e s sr e s p e c t i v e l y i nt h i sm o d l e ，b y s i m u l a t i n gt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，b a s e do nt h ep a p e r 3 1 1 4 2 3 ，w e o b t a i nt h em a r t i n g a l ea n dt h eu p p e rb o u n d i nc h a p t e r4 ：c o n s i d e rt h ej o i n td i s t r i b u t i o no fp - t h i n n i n gp r o c e s s ， w h i c ht h et i m e so fc l a i m si sp - t h i n n i n gp r o c e s so fp r e m i u m ，a n db yd u a l a r g u m e n t ，w eo b t a i nt h ed e n s i t yf u n c t i o no fu ( t ) t h ef i r s ta r r i v a la tx b e f o r er u i na n d j o i n td i s t r i b u t i o no f r a i nt i m e ，s u r p l u sb e f o r er u i na n dt h e e x p r e s s i o nt h a tt h ed e f i c i ta tr u i ns h o u l ds a t i s f y i nc h a p t e r5 ：w ed i s c u s st h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o no f t h i n n i n gm o d e l t h ec l a i m s d i s t r i b u t e sa l eu s i n gt h es i m i l a rg e r b e ra n d s h i u ( 1 9 9 8 ) m e t h o d w eg e taf o r m u l ao fe x p e c t e dd i s c o u n t e df u n c t i o n a n dd r a wae x p l i c i te x p r e s s i o nw h e nu = 0 k e y w o r d s ：t h i n n i n gm o d e l ，d u a l ，t i m eo f r u i n ，t h ed e f i c i to f r a i n ， s u r p l u so f b e f o r er u i n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名地：量：日期：丛年旦月生日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文：学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 名：地盏翩签名钕嗍盈年旦月笪日 硕士学位论文第一章绪论及预备知识 第一章绪论及预备知识 1 1 风险理论的介绍、研究现状及主要结果 按照总索赔的方式划分，风险模型可以分为短期个体风险模型、短期聚合风 险模型、长期聚合风险模型三种；按照对保费的收取方式划分，风险模型可以分 为连续模型和离散模型两种。一般主要考虑后一种划分方式。连续模型采取连续 收费的标准，即以时间为连续变化的量连续的收取保费；离散模型采用离散收费 的原则，即以一定时问长度为收费的单位区间，在每一个单位区间只收取一次固 定的保费。讨论的最多的连续经典风险模型是复合p o i s s o n 风险模型，又称为古 典风险模型；讨论的最多的离散经典风险模型是复合二项风险模型。 目前保险风险理论的研究基本上是对经典风险模型的改造和推广，使得模型 更贴近于实际，结果更具有可操作性。作为极具针对性的应用学科，风险理论除 了追求模型及结果的一般化以外，它更重视模型假设的合理性与结果的可操作 性，而后者更造就了风险理论研究内容的丰富多彩。 古典风险模型是研究历史最长并且理论最为完善的风险模型，也是最简单的 风险模型。它的严格表述如下： 令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的所有的随机变量和随机过程 均定义在这样一个概率空间上。 ( 1 ) 过程n = ( f ) ，t 0 ) 是一个强度为五的p o i s s o n 过程； ( 2 ) z = z 。：i = 1 , 2 ， 是独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为 f ( z ) ，且f ( o ) = 0 ，期望为； ( 3 ) n = ( f ) ，t 2 0 ) 与z = 互：i = 1 , 2 ，) 相互独立； 令： 幽 r ( t ) = “+ c f 一互 1 - 1 ( f ) s ( t ) = c t 一互 t = l 其中，群2 0 是初始准备金，c 0 是常数，表示单位时间的保费收入，0 ) 表示( o ，t 1 时间间隔内发生的索赔的次数，互表示第f 次的索赔量。 注：在本文中，约定o - 。互= 0 我们称 只( f ) ，t o 为复合p o i s s o n 风险模型， s ( f ) ，t 0 为此模型的盈利过 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 程，这里的保费收入过程 c f ，t 0 ) 是时间f 的线性函数。 记r ( f ) 的破产概率为： y ( “) = 尸( r ( f ) o ) 并令： r- ( ，) = f e 8 d f ( z ) 一1 假设j ，。 0 ，当r 乍r 。时，有力p ) 个0 0 。 定义相对安全负荷p = 一1 t , t 对于古典风险模型r ( f ) 的破产概率缈( 摊) 主要结果有： ( 1 ) 若p 0 ，则( o ) = l + p 1 生 ( 2 ) 当互服从指数分布时， ) = e 州 l + 口 ( 3 ) l i m ( “) = 面生( l u n d b e r g c r a m e r 髓) 、7 h ( r ) 一c 五 ( 4 ) ( “) e “ 其中( 3 ) ( 4 ) 两式中的定为l l l i l d b e r g 指数，即而( r ) = 要的正解。 古典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但它不能很好地反应保 险公司的经营状况，与现实生活状况有很大的差距，因此，已有许多风险理论研 究者对古典风险模型作出了更符合经营实际的推广。这些推广主要有以下几个方 面： ( 1 ) 古典风险模型的索赔到达过程齐次p o i s s o n 过程，推广为广义齐次p o i s s o n 过程、非齐次p o i s s o n 过程、c o x 过程、一般的更新过程等。 ( 2 ) 把古典风险模型中的保费收入常数c 推广为一个变量受马氏调制的费率， 随当前资产盈余影响的费率等。 ( 3 ) 通货膨胀率、利息率、投资收益等因素也放考虑进风险模型，如：带利 率的风险模型，带干扰的风险模型。 ( 4 ) 把单险种的风险模型推广为双险种模型，甚至多险种风险模型。 对离散风险模型研究的相对少一些，且大都停留在完全离散复合二项风险模 型。下面对此模型进行一下描述： 2 硕士学位论文第一章绪论及预备知识 设“z ； o ，l ，2 ， ，c z + ； l ，2 , - - - ，在某完备概率空间( q ，f ，p ) 上给 定： ( 1 ) 取值于z + 的独立同分布的随机变量序列 z i ：f = 1 , 2 ， ，相同的分布列 为：p ( z = 歹) = p ，j = 1 , 2 ，： ( 2 ) 具有参数为p 的二项随机序列n = r ( 月) ：。，p ( 0 ，1 ) ，即j v 具有零初 值、独立平稳增量，且具有参数为p 、项数为疗的二项分布b ( n ，p ) ； ( 3 ) n = ( 玎) ) 二与 互：f = 1 , 2 ，) 独立； 令： l q ( ) 尺( 珂) = u - 1 - c n - - z 。， n = 0 ，1 ，2 ， s ( n ) = z ， ”= o ，l ，2 ， i * l 则称豫( 帕) 二。为完全离散复合二项风险模型，记为f d c b r m r ( n ) ：。 实际背景：在保险公司的事务中，我们假定： 0 ) - q 在离散时刻玎迸行最多一次赔付并收取保费，在连续时间段 一l ，行】 中进行的赔付以及收取的保费均视为在时刻n 进行： ( 2 ) 保险公司在时刻, = 0 ，有初始准备金甜( 材2 0 ) ，而且只通过收取保费 获得收入，假定每单位时间收取的保费为c ，仅有的支出为投保人发生事故后， 公司对其进行赔付； ( 3 ) 记第f 次赔付量为z 。，于是s ( 行) 为到时刻, 的总索赔； ( 4 ) r ( 玎) 表示保险公司在时刻 i 的盈余资本。 假定：e z 。】= u 0 。 对于此模型，有许多文献进行了研究，而对于一般情形的复合二项风险模型则研 究的相对少一些，下面对它进行一下描述： 设数簦0 ，c 0 ，给定某概率空间( q ，f ，力，取值于( o ，o 。) 的独立同分布 随机变量序列 互：f = 1 , 2 ，) 以及就有参数为p 的二项随机序列= ( 玎) ) 乙， p ( o ，1 ) ，且= ( ( 胛) ；二与 互：f = 1 , 2 ， 独立，令 越! ) r ( 玎) = “+ c n 一z ， 栉= o ，1 ，2 ， f m s ( 行) = z i ， 月= o ，l ，2 ， - 1 则称( 足( 刀) ) 二为复合二项风险模型，记为c b i t m 似( 玎) 二。 实际背景同完全离散复合二项风险模型。 最近，些作者考虑稀疏模型，保险人的盈余过程 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 u ( f ) = u + c m ( t ) 一置 其中m ( t ) 为泊松过程，索赔过程为保贳蓟达的p - 稀疏过程。在陈珊萍文【3 】， 陈占斌，刘再明文 4 】，司建东文【2 3 】，仿照g r a n d e l l ，a s p e c to fr i s kt h e o r y 5 】的 方法得到破产概率的上下界，破产概率。在陈占斌，刘再明文 4 1 e 0 。得到该稀 疏模型破产概率上界； ( “) e - “ r 为调节系数。 1 2 论文内容和主要结果 本文主要讨论了稀疏模型的精算量，通过对稀疏模型进行系统地研究，首先 将经典风险模型的联合分布推广到破产时问，破产时的赤字，破产前的最大盈余， 极大破产时刻前的最大盈余分布等四种情形，并求得索赔为指数分布时的显式表 达式。 其次，我们考虑退保以及索赔发生的过程分别为保费到达的p 稀疏以及q 稀疏，在该模型下仿照经典风险模型，在文 3 1 1 4 1 2 3 的基础上，我们得出该模型 下的鞅、破产概率及其上界。 再次，我们考虑一类索赔次数为保费到达的p 一稀疏过程的三特征联合分布， 利用对偶讨论的方法，得到破产前盈余首达某点x 的密度和破产时间，破产赤字， 破产萌的盈余的联合密度函数所满足的表达式。 最后。讨论稀疏模型在离散索赔分布下的贴现罚函数，用类似g e r b e ra n d s h i u ( 1 9 9 8 ) 在文 1 8 】中的方法，得到期望贴现罚函数的一个公式，并分析u = 0 时 的特殊情形的显式表达式。 1 ，3 预备知识 ( 一) 条件期望 概率空间记为( q ，f ，p ) ，g 是，的某一子盯代数，g cf 。善 ) 是满足 e l 善i a 0 的随机变量。 定义1 3 1 具有下列两性质的随机变量( f i g ) 称为f ) 关于g 的条件数学 期望( 简称为数学期望) 。如果 ( 1 ) e ( 手f g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g 有：e ( 善l g ) p ( d 国) ；d 驴( 如) 。 定义1 j 3 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数，即：l ( c o ) = 1 ，如果 4 硕士学位论文第一章绪论及预备知识 国c ，否则t ( ) = 0 ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为 p ( c l g ) 。 p ( c l o ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) p ( c l g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意爿g 有：【p ( c l g ) p ( a c o ) = p ( a c ) 。 注：在本文中，如无特殊说明，所有l 表示示性函数，即：厶( t o ) = 1 ，如果 国c ，否则厶 ) = 0 。 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以概率i 成立的，孝，考，1 1 都是随机变量且ej 善i e ( t i i g ) ； ( 3 ) i e ( 善l g ) l e ( i f | | g ) ； ( 4 ) 设o 考个f ，e i 孝l 0 0 ，则e ( 专l g ) 个e ( 孝i g ) ； ( 5 ) 设考一善，l 考j r ，e 即 o o ，则e ( 专l g ) 寸e ( 1 2 1 g ) ； ( 6 ) 如玎对g 可测，e i 孝珂l o 。，e r i g o ，则e ( 1 2 r i g ) = 7 z e ( 1 2 1 g ) ； ( 7 ) 如善对g 可测，贝i j e ( 1 2 i g ) = 善； ( 8 ) 若善与g 独立，则e ( 刮g ) = e 孝： ( 9 ) 如g ，c g ：c f ，则e 【e ( 纠g 2 ) lg l 】= e ( 孝i g l ) = e e ( 孝| g 1 ) l g 2 ； ( 1 0 ) e 陋( 手l g ) 】- e 1 2 。 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就得到相应的条件概率的 性质。 一个常用记号，善关于盯代数f h ，f 丁) 的条件期望，e ( 孝j ，“，t r ) ) 记为e ( 孝i t ，f 丁) 。 ( - - ) 期望贴现罚函数与破产时间期望现值 ( 1 ) g e r b e r s h i u 期望贴现罚函数是由g e r b e ra n ds h i u o “于1 9 9 8 年提出的。 其设为： 庐 ) = e p 一盯w ( u ( t - ) ，i u ( r ) i ) ，( 丁 ) i u ( o ) = 甜】，“0 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 其中u ( r ) ：“+ c f 一兰互，t 为破产时间，u ( r 一) 、p ( r ) f 分别为破产前瞬时盈 余和破产赤字，w ( x ，y ) 为罚函数，珥) 为示性函数。 ( 2 ) 破产时间期望现值丸( z ，) ，则可设为； 唬 ) = e e 一”，( r - o ，还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 ，( n s ( r ) = 互， f o 7 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 其中( f ) 是参数为a = z 。的齐次p o i s s o n 过程，且z 1 分布函数为 呢( z ) = 旯( z ) ，均值为1 = a ，以。 i a l几i = l 证明：m 的矩母函数为 m m ( r ) = e e 嘶】_ 一，- 1 墨的矩母函数为 朋j ( ，) = e 嚆】= e e ( e 嚆i ) 】= e l ( m r , ( r ) ) 川】= p “o 卜” 其中m r , ( r ) 为i 的矩母函数。由s 的独立性，得s 的矩母函数 m s ( ，) = n 坂( ，) = h e 4 p 卜1 = e x p 五( 毛( ，) 一1 ) 】= e x p 【五( ，( ，) 一1 ) 】 t = l 其中z = 五。，m ( ，) = a ，蚝( r ) ，由矩母函数与分布函数一一对应性质知 f e l t = l s 是一个复合p o i s s o n 过程，且进一步有互矩母函数为m ( r ) ，分布函数为 五( 力一t ，。- 2 ( z ) ，f 胡 对m ( r ) 求一阶导数并令r = 0 得 m ( o ) = 五，m e ( o ) ，lt = l 所以互的均值为z = 麦善五“a 证毕。 ( t i l ) e r l a n g ( n ) 过程 定义1 3 4 计数过程 ( f ) ，t 0 ) ，称作e r l a n g ( n ) 过程，如果它的点间间距序 列辑，r = l ，2 ，) 是相互独立同分布的非负随机变量序列，它们的共同分布是有 参数为五的e r l a n g ( n ) 分布，即它的密度函数为 f ( x ) _ 志r “ 性质1 3 1 服从e r l a n g ( n ，五) 分布的随机变量可以表示为n 个服从参数为五的 8 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 指数分布的随机变量之和。 ( 六) 二项随机序列 定义1 3 5 设z 是非负整数的集合，z + 为正整数的集合。设 n ；( ( 聆) 刀= o ，1 ，2 ) 为定义在某概率空间( q ，f ，p ) 上的非负整数值的随机序 列。如果满足以下条件：( 1 ) 零初值：n ( 0 ) = 0 ；( 2 ) 独立增量：0 q r h 0 ，i = 1 ，2 ，n - i ；口 s ( n ) 0 ，i = 1 , 2 ，l l ；a s ( 国 s ( _ ，) ， j = l ，2 ，n - 1 ；a s ( n ) s u ) _ ，= l ，2 ，n - l ；a s ( 厅) o ，i = 1 ，2 ，n - l ；口 s ( n ) b 】 上述论证技巧称为对偶原理。同时推出一个结果： 假设s ) 是向上自由跳动的，那么 珂s ( 以) = y ，s ( d x ( 八) 鞅 设( q ，f ，p ) 为一概率空间，( 只，t o ) 为一单调增的f 的予盯一代数流， y = 化，t 0 ) 是任意的随机过程，令f 7 = 盯( e ，s f ) ，则，7 = 盯( z ，t 0 ) ，则 e 7 是由过程j ，在时间 o ，】段生成的盯一代数流，表示过程j ，到时刻t 的历史。 如果对每个f 0 ，r 为f 一可测，那么过程】，成为，一适应的，显然，】，是 f 一适应的当且仅当对所有的t 2 0 ，群只成立。 定义1 3 8 实值过程m = t ，t 0 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的t 0 ，m 为只一可测； ( 2 ) 对于任意的t 0 ，研i m | o o ； ( 3 ) 对于任意的0 j t ，e m ，1 只】= m ，p a s 。 定义l 。3 9f 一鞅m 称为右连续的，如果满足： ( 1 ) m 的轨道是右连续的： ( 2 ) 子口一代数流只是右连续的，也就是对一切的t 0 ，只= n 只。 j 甜 定义1 3 1 0丁是q o 【0 ，0 0 】上的随机变量，如果对一切t 0 ，有 口f f ，则称丁是，一停时。 定理1 3 2 ( d o o b 停时定理) 设m = m ，t 0 为一右连续的f 一鞅，s ，r 为两个停时，则e m ，i 乓】- m ，棚，p a j 。 ( 九) 齐次p o i s s o n 过程的稀疏 在定义1 3 1 中强度为五的齐次p o i s s o n 过程 ( f ) ，t o 。如果每一发生 的事件只以概率p 被记录到( o p 1 ) 。我们用 m ( r ) ，f 0 ) 表示被记录到的事件 1 0 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 序列，并把它称作过程 ( r ) ，r 2 0 ) 的一个随机稀疏序列( 或随机选择) 。 定理1 3 3 上面提到的过程 m ( f ) ，r 是强度为p 五齐次p o i s s o n 过程。 证明过程只须证明对于任意长度为b 的可表为有限多个互不相交区间之并 的集合b 。而在b 中被记录到的事件数m ( b ) 有参数为五p b 的p o i s s o n 分布即可。 定理1 3 4 设n 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程，p 是任意介于0 和1 之间 的常数，则n 可以分解为两个相互独立的齐次p o i s s o n 过程m 和m ，它们的强 度分别是旯p 和丑q 。这里q = l p 。 上述定理有常用推论： 推论1 1 3 1 设n 是强度为允的齐次p o i s s o n 过程，对任意正整数r 2 ，和任 意，个满足条件：，p ，= 1 的正数罗。，p ，可以把n 分解为，个强度分别是 矽1 ，劫，的相互独立的齐次p o i s s o n 过程。 ( 十) m a r k o v 过程 定义1 3 1 l 设有概率空间( q ，f ，尸) 上的以( 妒，) 为状态空间的随机过程： f = f o ) ；f t ，及f 的一族子口一代数饵；，t ) ；使得对vs ，；e e 。 设f 对 只；f t 是适应的，这时我们称( q ，f ，只六 e ) 是一个以饵 为参考口一 代数族的马氏过程，如果对vs t t ，b ，都有下式成立： m k 1 ) p ( c o ；善( ，c o ) bie ) = p ；善( ，凹) bi 善( s ，) ) 。这又称为马氏性。 特别的，当e = 口( 手( “，) ；“t ) ( vt t ) 则称亭是( q ，f ，p ) 上的马氏过程。 定义1 3 1 2 设善是( q ，f ，p ) 上的一个马氏过程，当且仅当对v 玎1 及 t l ，f o i t ，都有下式成立： m k 2 ) p ( 善( f n + ls c o ) b 1 善( f ，) ，善( f 。，”= p ( 善( f n + ls c o ) e b i f ( r 。，) ) 在以上两式中，m k 1 ) 显然蕴含m k 2 ) ；另一方面，用测度论典型方法亦可 证明m k 2 ) 蕴含m k 1 ) 对马氏过程由如下等价条件： 1 ) f 是( q ，f ，p ) 上的一个马氏过程； 2 ) 对一切s f t 及有界函数f ( 妒，) ，下式成立： m k 3 )e ( 厂( 手( ，) ) 1 只) = e ( ，( 孝( f ，国) ) i 善( s ，) ) ； 3 ) 令f 5 = 盯( 善( “，) ；“s ) ( 亦即将来的盯一代数) ，对任意有界实函数 g ( r o ) ef ，下式成立： m k 4 ) 以g ( r o ) ie ) = e ( g ( c o ) i 孝( s ，) ) ： 4 ) 对任意有界函数厂只与g f ( vs t ) ，下式总成立： m k 5 ) e ( f ( c o ) g ( c o ) i 善( ，) ) = e ( f ( c o ) l 善( j ，) ) e ( g ( c o ) i ( j ，) ) 定义1 3 1 3 设 x 。，疗0 为一列只取非负整数值的随机变量。若对任意的 硕士学位论文 第一章绪论及预备知识 k 2 1 ，t i t t o ，u ( ，) 坚寸佃，r 斗佃 证明：利用随机游动的思想，将u ( t ) 改写，通过随机游动的分类方法知引理2 1 成立，详见文 6 4 1 。 在以上引理下，我们假设保险人可以克服财务困难，因为一定会在有限时间 盈余大于0 ，记t 为第i 1 次盈余小于0 后，首次大于0 的时刻。 f i n f t ；u ( r ) 0 ) 定义：0 。= 【0 0 ，若上集为空 由引理2 1 1 知z 。的极限存在，记 l 2 ，l i m t , + t ( 2 。2 ) f ，( 甜) = p ( u o ) o ) = p ( t o o i u ( o ) = “) 称妒( “) 为初值u 时的破产概率，( z f ) = l y ( “) 为不破产的概率，也称为生存概 率。记矽( o ) = p ，( o ) = 1 ( o ) = q ，由此知p ：c - ) u ，q ：竺。 在保险风险理论中，破产概率的研究是最重要的内容，这方面的论文与专著 都不少。如 2 。近来也有不少文章讨论破产瞬间的余额u ( t 一) ，破产时的赤字 i u ( t ) i ，如【l 】， 1 2 】还讨论了u ( t 一) ，i u ( r ) i 与r 的联合分布，在 1 2 中研究了 破产前的最大余额s u p u ( t ) 的分布，而本文主要是研究u ( r 一) ，f u ( 丁) l ，s u p u ( t ) 及s u p 【，( f ) 这四个量的联合分布。在研究方法上，主要利用 u ( r ) 。的强马尔可 r f l 夫性。 2 - 2 破产赤字与破产前盈余分布 为刻画保险公司的破产赤字与盈余分布概率规律，下面定义两个函数： f ( “，y ) = p ( u ( 丁) - y ；t o o l u ( o ) = “) ( 2 - 3 ) 及 v ( u ，x ) = p ( u ( t 一) x ；t o o i u ( o ) = “) ( 2 - 4 ) 其中u , x 和y 皆为非负实数。 显然 痧( “) = 掌( “，o o ) = v ( u ，0 0 ) 1 4 硕士学位论文第二章经典风险模型四特征联合分布 若从数学的观点来考虑，u ( t _ ) ，iu ( r ) i ，t 这三个随机变量中，u 盯一) 是 更为关键的随机变量。事实上只要知道u ( t - ) 的分布规律，便可求出iu ( t ) l ，t 的概率规律。以下来证明这一点，先约定： e 【善；】= e 【g l 】 其中i a 表示集合a 的示性函数，即： l = 骺竺 现在考虑下述形式的泛函： y ；矿) = e 【形( u ( r ) ) ；r o ，f ( u ，x ) 与 f ( “，j ，) 分别存在密度函数f ( u ，x ) 与g ( u ，y ) 。不过，当u o 时，一般而言难于求出 地x ) 与g ( u ，y ) 的显式表达式，这时可在方程( 2 6 ) 两边同乘以e “( r 为调节系数) ， 而将瑕疵更新方程化为适定更新方程，从而分别求出它们的渐近解。 f ( u ；x ) c ，e 一，甜_ c o ，垤o ； g ( u ；y ) c 。e 一“，h _ 。o ，v y 0 2 。3 主要结果 以p ，x r 1 ( 实数全体) 表示初始值为x 的马氏过程 u ( ，) 在( q ，尸。) 上所 产生的概率，可理解为p i ( ) = p ( u ( o ) = x ) 。记g ( ；口) = p “( s u p u ( f ) 口，t o o ) 。 不失一般性，可以假设在空间q 上存在由过程( f ) ) 所产生的推移算子族 b ，t 0 。 定理2 3 1 f l ( ) ，若口甜， g ( u ，口) = 【糕啉。扎 【矿( 口) 一” 证明：当a “，显然有g ( “；a ) = ，( u ( r ) 一a ；t k ( 0 ) = “) = p ”( 丁 “情形。利用独立同分布随机变量列的强大数定律得： p “( 鲫半：。一烘华熹艺z 。：。一础) ：l 、一。f r ，m r o ) 智 一 因p ：c - 2 , u ，o ，故p ”( 1 i m u ( ，) ：。o ) ：l ，且由u ( t ) 的轨道性质可知，它将取到 【甜，。) 中的一切值，以乃表示( ，) 首达a 的时间，即： 1 6 硕士学位论文第二章经典风险模型四特征联合分布 l = i 篙z 茹掌 则必有p ( t o “) ，因此： g ( “；a ) = p “( 瓦 t ，t o o ) = p ”( l t ，t 。 o o ) ，。i t t ) p 4 ( r o o ) = p 。( 瓦 t ) v ( a )( 2 - 8 ) 又： p “( t o r ) = p “( t o t ，t o o ) + p 。i l = 嚣u 掣 o 盘 li妒i 口凡 u 证明：以t - 表示 【，( f ) ) 首达b 的时问，由于p “( ! i m u ( t ) = 0 0 ) = 1 ，故p 。 o ) ( 2 1 2 ) 对u 0 ) = 1 ，从而 p “( 上 o ) = p “叮。= o o ，l o ) = p ”( 瓦 0 ) = ( t o o ) 上t 在( 丁 o o ) 上，t l 。故： p ”( 三 o ) = p “i t 。艮= o o ，瓦 o o ，t o o ) = p ”( 瓦 0 0 ，t 瓦，t 。= o o ) = p ”i t t d 矿( b ) 1 2 - 1 4 ) 由( 2 1 1 ) 式推出： p ( t t d = 等笋 1 2 - 1 5 ) 1 7 硕士学位论文 第二章经典风险模型四特征联合分布 2 f ( a , x , y ) 船舶) 螂 ( 2 1 7 ) 胞w ，= 协善2 ( 疋订) = 糕， ( 2 - 2 。) 硕士学位论文第二章经典风险模型四特征联合分布 又由 1 4 知： 其中： p 4 ( u ( 丁- ) d r ，ic 厂( r ) | 方，t 口) = q ，此时( 2 1 7 ) 右