（应用数学专业论文）时标上脉冲动力系统的研究.pdf

摘要 1 9 8 8 年，s t e f a nh i l g e r 在他的博士论文中引进了时标理论，目的 是统一连续分析和离散分析。由于它广泛的应用前景，近年来，倍受 数学工作者的关注。但是，有关时标上脉冲动力系统的研究还不是 很多，特别是有关时标上脉冲动力系统的稳定性、周期性、振动性的 研究。本文在已有的理论基础之上，考虑了时标上的几类脉冲动力系 统的稳定性、周期性和振动性，具有一定的理论意义。文章分为以下 五部分： 第一章概述了前人所作的一些相关工作以及本文所研究问题的 产生的背景，并简单介绍了本文的主要工作。 第二章简单介绍了时标的一些基础理论知识，包括一些相关的概 念和性质。 第三章讨论了时标上的一类脉冲动力系统的稳定性，运用时标微 分学理论和l y a p u n o v 函数的方法，得到了时标上该脉冲动力系统零 解的一致稳定性和一致渐近稳定性的充分条件。 第四章讨论了时标上一类非线性脉冲系统周期解的存在性，通过 利用不动点原理，得到了该脉冲系统周期解存在的充分条件。 第五章研究了时标上一类二阶脉冲系统的振动性，通过运用完全 平方技术和引入参数函数，得到了该系统所有解振动的充分条件。 关键词时标，脉冲，动力系统，一致稳定性，一致渐近稳定性，周 期解，振动性 a b s t r a c t t h et h e o r yo ft i m e s c a l e s ，w h i c hh a sr e c e n t l yr e c e i v e dal o to f a t t e n t i o n ，w a si n t r o d u c e db yh i l g e ri nh i sp h d t h e s i si n19 8 8i no r d e rt o i n t e g r a t ec o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ea n a l y s i s b u tt h ew o r kt os t u d yt h e d y n a m i c so fi m p u l s i v ed y n a m i cs y s t e mo nt i m es c a l e s ，a st h es t a b i l i t y , p e r i o d i c i t ya n do s c i l l a t i o n ，r a r e l ya p p e a r e d i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h e c l a s s i cr e s u l t so ft h e o r y , w em a i n l yc o n s i d e rt h es t a b i l i t y , p e r i o d i c i t ya n d o s c i l l a t i o nf o rs e v e r a lk i n do fi m p u l s i v ed y n a m i cs y s t e mo nt i m es c a l e s ， w h i c hh a st h ec e r t a i nt h e o r ys i g n i f i c a n c e t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff i v e c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r s ，w es u m m a r i z et h eh i s t o r yo ft i m es c a l e s ，t h e e x i s t e dr e l a t e dw o r ka n dt h eo r i g i no ft h ep r o b l e m sw ed i s c u s s e d a n dt h e m a i nw o r k so ft h i sp a p e ra r ea l s os i m p l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t a t es i m p l ys o m eb a s i ct h e o r i e so ft i m e s c a l e s ，i n c l u d i n gs o m er e l a t e dc o n c e p t sa n dq u a l i t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r , w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed y n a m i c s y s t e mo nt i m es c a l e s b yu s i n gt h ec a l c u l u sa n dt h el y a p u n o vf u n c t i o n m e t h o d ，t h eu n i f o r ms t a b i l i t ya n du n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yc r i t e r i af o r t h i si m p u l s i v es y s t e mo nt i m es c a l e sa r eo b t a i n e d ，r e s p e c t i v e l y i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp e f i o d i cs o l u t i o n s f o ra l li m p u l s i v es y s t e mo nt i m es c a l e s b yu s i n gt h ef i x e dt h e o r y ，t h e e x i s t e n c et h e o r yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , i nt h ef i f l ：hc h a p t e r , w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nf o ras e c o n d o r d e ri m p u l s i v es y s t e mo nt i m es c a l e s b yu s i n gp e r f e c ts q u a r et e c h n o l o g y a n dp a r a m e t e rf u n c t i o n ，t h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rt h i si m p u l s i v es y s t e m a r eo b t a i n e d k e yw o r d st i m es c a l e ，i m p u l s e ，d y n a m i cs y s t e m ，u n i f o r ms t a b i l i t y u n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t y , p e r i o d i cs o l u t i o n ，o s c i l l a t i o n 学位论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：立牛 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 日期：皿年旦月羔日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 问题产生的背景 第一章绪论 时标上动力系统的研究可以追溯到它的创始人一s t e f a nh i l g e r ，见文【1 】。这 是一个新的研究领域，有相当广泛的理论探索空间和实际的应用意义。一方面， 时标理论在连续分析和离散分析之间架起了理论桥梁，统一了二者；另一方面， 在时标上建立模型，更接近实际，如：昆虫繁殖，神经网络，热传导和传染病等 模型，见文【2 】。近年来，时标上的动力系统由于广泛的应用前景，受到数学工 作者的广泛关注其研究范围已经涉及到动力系统的稳定性、振动性、周期性和 边值问题等。 在实际应用中，研究动力系统的一个重要方面就是边值问题，它在自然科学， 工程学和工艺学等领域都有不可忽视的应用，特别是考虑时标上动力系统的边值 问题，不仅可以避免理论研究的重复，还可以消除微分方程和差分方程边值问题 的片面性，为其应用带来了更多的方便，见文 3 8 】。另外，近年来，时标上动力 系统的稳定性，振动性和周期性研究也倍受数学工作者的青睐，也有了一些很好 的结论，有关这方面的资料可参考文献【9 2 6 。然而，有关时标上脉冲动力系统 的研究还不是很多，特别是有关时标上脉冲动力系统的稳定性、周期性、振动性 的研究，虽然已有一些结论，但还值得我们继续研究。因此，本文考虑时标上的 几类脉冲动力系统的稳定性、周期性和振动性，具有一定的理论意义。 下面介绍文章中的模型及其历史背景。 一、时标上的脉冲动力系统的稳定性 近年来，脉冲微分系统的研究越来越受到数学工作者的关注，其研究成果也 越来越多，见文 2 8 3 2 。在文 2 9 】中，作者研究了下面具有可变脉冲点的脉冲微 分系统 i x ( f ) = f ( t ，z ( f ) ) ，t q ( x ) ，t t o ，、 i 工( f ) = x ( t 一) + i k ( x ( t 一) ) ，r = 气( x ) ， 、。 的稳定性，其中x r ”，f ：【o ，o o ) xr “一r “，：r ”_ r ”，k = l ，2 ，3 ，t t o 0 ， 气：r ”一 o ，) 。通过利用l y a p u n o v 函数以及r a z u m i k h i n 技巧，作者得到了该 脉冲微分系统零解一致稳定和一致渐近稳定的充分条件。 1 9 8 8 年，s t e f a nh i l g e r 在他的博士论文中引进了时标理论，目的是统一连续 分析和离散分析由于它广泛的应用前景。近年来，时标上动力系统的研究倍受 数学工作者的关注，特别是时标上动力系统稳定性的研究已经有了一些很好的结 论，有关文献见文 9 1 2 。然而，有关时标上脉冲动力系统稳定性的研究却很少。 硕士学位论文第一章绪论 2 0 0 7 年1 月，m a y a j u n ，s u nj i t a o 在文 2 7 】中考虑了时标r 上的脉冲动力系统 工a ( ) = 厂o ，工( ) ) ， t ( x ) ，r ， ( 1 2 ) 【石( f + ) = z ( f ) + 五( 工( f ) ) ，t = 气( 功， 的稳定性，在以下假设条件成立的前提下： ( q ) 函数厂：t x s ( p ) 专r ”是连续的r f ( t ，o ) = 0 ，f r ；对坛s ( p ) ， y s ( p ) ，j 三 0 ，q e p # l f ( t ，x ) - f ( t ，j ，) l 三i j y l ； ) 函数：s ( p ) 斗r 4 连续r f i ( o ) = 0 ，k ； ( h 3 ) 3 po ( o p ) 使得当工s ( p o ) 时，工+ 厶( 功s ( p ) ，七n ； ( 吼) 函数r k ( x ) ：s ( p ) 寸矿，七n 是连续的，且 o t o = r o ( x ) ( x ) 0 ，使得= t j + 彩， ，m = ，z 。该文利用锥的不动点原理，给出了该脉冲系统的周期解存在 的充分条件。 由于时标理论的广泛应用，时标上动力系统周期解的研究也引起了数学工作 者的兴趣，有了不少很好的研究结果，见文 2 1 - 2 5 ，3 5 3 7 。其中在文 3 5 1 q b ，s u n j i a n p i n g l iw a n t o n g 研究了时标上的一阶非线性动力系统 j 工a o ) + p o ) 工( c ，- o ) ) 2 9 ( t , x ( c 7 ( f ) ) ) ，【o ，t 】r ，( 1 4 ) i x ( o ) = “盯( t ) ) ， 。 的周期边值问题，其中0 ，t t ，g ：【0 ，t 】r r r 是连续函数。在该文中作者通 过推导给出了系统( 1 4 ) 的格林函数，并且利用s c h a e f e r 不动点原理给出了该系统 周期解存在的充分条件。 文献 3 6 ，3 7 d p 也分别讨论了时标上的一类动力系统的周期解的存在性，所以 一个很自然的问题就是：脉冲对这些动力系统周期解的存在性有没有影响。事实 2 硕士学位论文第一章绪论 上，在现实中，脉冲动力系统更贴近实际，因此有其更广泛的研究意义。 三、时标上脉冲动力系统的振动性 脉冲微分方程和脉冲差分方程在众多学科中由于其广泛应用，已成为国内外 学者广泛关注的课题。关于脉冲微分方程的振动性的研究，已取得了不少成果， 如文献 5 1 5 5 1 研究了二阶脉冲微分方程的振动性。近年来，时标上动力系统振动 性的研究也倍受数学研究者的青睐，如文献 5 7 6 0 。文献【5 8 】研究了时标上二阶 动力系统 ( p ( f ) p ( f ) ) a + g ( f ) 厂( 石( c ，- ( f ) ) ) = 0 ，t l( 1 5 ) 的振动性，其中p ( t ) ，q ( t ) 都是t _ t z i f _ 的、实值、右稠密连续的函数，f ：r 一尺 是连续函数且矿( 工) 0 ，f ( x ) k xo o ) 。作者利用r i c e a t i 变换，得到了该动 力系统解振动的充分条件。 1 2 本文的主要工作 考虑时标上的脉冲动力系统( f t ，吒( 功t ，k = l ，2 ) j x ( ) = 厂( ，x ( ) ) ， ( x ) ， ( 1 6 ) l x ( f ) = x ( t 一) + i k ( x ( t 一) ) ，t = 0 ( 石) ， 所满足的假设条件见本文第三章。 文【2 7 给出了系统( 1 6 ) 的零解稳定和渐近稳定的充分条件，一个很自然的问 题是：能否给出系统( 1 6 ) 零解一致稳定和一致渐近稳定的充分条件。基于上面的 想法，在本文第三章中，通过利用l y a p u n o v 函数以及分析方法，我们得到了脉 冲动力系统( 1 6 ) 零解一致稳定和一致渐近稳定的充分条件，很好的回答了上面的 问题。 在第四章中，我们在系统( 1 4 ) 的基础上引入了脉冲，借助文献 4 4 1 中的研究 方法，研究了时标上的非线性脉冲动力系统 j y o ) = 一口o ) j ，( 盯o ) ) + 厂o ，y o ) ) ， o ，z ， ( 1 7 ) 【y ( 哆) = y ( 丐) + ( y ( 0 ) ) ， 的周期解的存在性，其中t t ，t s t ，歹z ，o f l f 2 0 ， f ：t x 0 ，0 0 ) 专 o ，0 0 ) 是连续的函数，厂( f ，“) = f ( t + c o ，”) ，爿0 ，o o ) 一 o ，) 是连 续的，且存在p o 使得+ ，= ，0 p = 0 + 国通过构造恰当的格林函数，利用 锥算子的不动点原理，我们得到了脉冲动力系统( 1 7 ) n 期解存在的充分条件。 在第五章中，我们讨论了时标上的二阶脉冲动力系统( t k t ，k = 1 ，2 ，) 硕士学位论文 第一章绪论 工a a o ) + g ( f ) 厂( 以c ，- ( f ) ) ) = 0 ，t ， 石( ) = 纯( x ( ) ) ，z a ( ) = & ( 矿( 气) ) ，f = t k ， ( 1 8 ) x ( 牙) = x o ，p ( 牙) = 孝， 的振动性，其中q ：r 一( o , o o ) 是右稠密连续 i c jl ；t q ( t ) 0 ；厂：r 专r 是连续的且 当z 0 时，矿( x ) 0 ，丛型k ；纯( 工) ，g k ( 工) 在尺上有定义，( o ) = ol e i 满 工 足o n 称为前 跳跃算子；映射p ：t t ，p c t ) = s u p s t ，s f ， 称t 是右离散的；若从f ) 0 2 2 时标上的指数函数 7 硕士学位论文 第二章预备知识 考虑时标上的初值问题 y a ( t ) ：= p y ( t o ) 1 ，o 沙一t o 曼 ( 2 1 ) 【 = ， z 、。 在初值问题( 2 1 ) 的求解过程中，指数函数充当重要的角色，所以下面我们介绍时 标上的指数函数 首先介绍回归函数的定义称函数p ：t r 是回归的，若l + ( f ) p ( f ) 0 ， f t 记所有回归函数集为孵我们称初值问题( 2 1 ) 的唯一解为指数函数，记为 勺( ，t o ) 实际上，指数函数( ，气) 有准确的表达形式，参考文 2 6 】 定义 磊c z ，= 三? 。g o + 舷x 2 三三iz ， 以2u 那么，指数函数可以表示为 也s ) = 唧江乞( f ) ( p ( 砌f ， ( 2 2 ) 由( 2 2 ) 知，e p ( t ，5 ) 0 ，f ，s t 接下来介绍指数函数的运算，见文【2 6 】 定理2 2 1 若p ，g 吼，则 o ) e o ( t ，j ) 兰1j l e p ( t ，f ) 三1 ； ( i i ) e p ( t y ( t ) ，s ) = ( 1 + ( f ) p ( f ) ) e 。( f ，j ) ； ( i i i ) e p ( t ，s ) 5 赤； ( f ，) e p ( t ，) 勺( ，s ) = ( f ，s ) ： ( ，) e p ( t ，s ) e q ( t ，s ) 2 钿g ( f ，j ) - 硕士学位论文 第三章时标上一类脉冲动力系统的稳定性 3 1 引言 第三章时标上一类脉冲动力系统的稳定性 近年来，时标上动力系统的研究，越来越受到研究学者的关注。时标上动力 系统稳定性的研究已有了不少很好的结果【9 1 2 。然而有关时标上脉冲动力系统 稳定性的研究却很少，因此本文考虑一类时标上的脉冲动力系统的稳定性，具有 重要的理论意义。 在文 2 7 1 中，作者研究了时标上脉冲动力系统o t , r k ( x ) t , k = 1 ，2 ) i x a o ) = f ( t ，工o ) ) ，t q ( x ) ，t t ， 【石o + ) = z ( f ) + 厶( “f ) ) ，t = t a x ) ， 的稳定性，得到了时标上该脉冲系统零解稳定和渐近稳定的充分条件。 本文在文 2 7 】的基础上，研究时标上脉冲动力系统( f l ( 力t , k = 1 ，2 ) x a ( ) = ( f ，工o ) ) ， 气( 工) ，r ， ( 3 1 ) 【x ( f ) = x ( t 一) + 厶( 石o 一) ) ，t = 0 ( 工) ， 。 的零解一致稳定性和一致渐近稳定性，利用l y a p u n o v 函数以及分析方法，我们 得到了脉冲动力系统( 3 1 ) 零解一致稳定和一致渐近稳定的充分条件。 3 2 基本的知识和概念 设丁是时标( 实数集的任意非空闭子集) ，t o 0 是丁的最小值且丁无最大值。 定义3 2 1 设函数y 巳lt x r , r + l ，定义v a ( f ，x ( f ) ) 如下：对任意的g 0 ， 存在t 的一个邻域u = p 一万，t + 6 ) n t 使得对所有的s u 有 | 【y ( 仃( f ) ，工( 盯o ) ) ) 一y o ，石( 盯o ) ) ) 卜z ( t , s ) f ( t ，缸f ) ) 一o ，s ) v ao ，x ( f ) ) i si ( f ，s ) 1 令 q = ( f ，功t x s ( p ) ，一l t 0 满足 例i o ，存在一个瓦= 瓦似) o 使得由仃岛和m l 万可以得到0 “f ；盯，缈) 0 0 ，使得j 厂( f ，x ) - f ( t ，力j l i x - y i ； ( 呸) 函数l ：s ( p ) 一r “连续且厶( 0 ) = 0 ，k ； ( 日3 ) 3 po ( o ，p ) 使得当石s ( p o ) 时，工+ 厶( 曲s ( p ) ，k n ； ( 且) 函数r k ( x ) ：s ( p ) - - + ，k en 是连续的，且 o _ t o2 ( x ) l ( 工) 吒( 工) t o 时与每一个超平面f = 吒( 工) 相交不超 过一次 我们假设积分曲线( f ，x ( t ，t o ，缈) ) 与超平面f = 气( 工) 相交于厶，其中 乞 气 并可得l i i m 。t k = 佃 3 3 主要结论及证明 定理3 3 1 如果存在矿v o ，口，b ek ，使得下面的条件满足 ( 1 ) 对于所有的( f ，x ) r s ( p ) ，有口( ) v ( t ，工) 酬x 0 ) 成立； ( 2 ) 对于任意的( f ，曲g 有旷o ，功0 ，并且对于所有的七彤和f = t ( x ) 有 v ( t ，x + 4o ) ) ( 1 + 玩) y ( f 一，x ( t 一) ) ，其中圾0 ，瓯 o o k = l 那么系统( 3 1 ) 的零解是一致稳定的 证明不失一般性，假设f o t t 由于圾 o o ，瓯o ，可得兀( 1 + 仇) = mr i 0 ，由口，b 的性质，我们可以选择一个 艿= 艿( 占) ，满足m b ( 6 ) 口( 占) 令z ( f ；盯，缈) ：ax ( f ) 是系统( 3 1 ) 经过p ，缈) 的解，其中恻i 万，我们将证明下面 的式子 l o 硕士学位论文第三章时标上一类脉冲动力系统的稳定性 i | 缸f ) 0 o r ，t t ( 3 2 ) 是成立的 令盯【t k - i ) 气) ，其中k z + ，我们可以证明 v ( t ，x ( d ) 6 ( 艿) ，仃t t k ，t t ( 3 3 ) 事实上，由条件( 1 ) 可得 y ( 仃，顶0 9 ) = 矿( 仃，劝b 1 1 ) 6 ( o 9 又由条件( 2 ) 知，v ( f ，功0 ，o ，z ) g 故v ( t ，缸f ) ) 在q 上非增，所以当盯f ，t t 时 v ( t ，工( f ) ) y ( 盯，z ( 仃) ) 6 ( 万) 从而( 3 3 ) 式成立 由条件( 2 ) 我们还有 v ( t 。，x ( t 。) ) = y ( f ；，j ( ) + ( x ( ) ) ) ( 1 + b o y ( t ；，) ) ( 1 + b k ) b ( 6 ) ， 所以当f 【仃，t k 】时，有 v ( t ，石( f ) ) ( 1 + 6 k ) 6 ( 万) ( 3 4 ) 同理，当f 【t k , t m ) 时 v ( t ，x o ) ) v ( t k ，石( 气) ) ( 1 + b k ) b ( a ) ， ( 3 5 ) 由条件( 2 ) 可得 y ( 0 + 。，x ( t k 州) ) = y ( f 孟i ，x ( t l i ) + 厶( x ( 。) ) ) ( 1 + 瓯+ i ) v ( t l i ，z ( t i 一+ 1 ) ) ( i + 吃+ i ) ( 1 + 么) 6 ( 万) ， 所以，当fe t i ，+ 。】时 v ( t ，工( f ) ) ( 1 + 吃+ 1 ) ( 1 + b k ) b ( 6 ) ( 3 6 ) 通过推导，一般的，对任意的m = o ，1 ，2 ，t t k + 。，t k + 埘+ 】有 v ( t ，工( f ) ) ( 1 + 瓯+ ，+ i ) ( 1 + b k ) b ( 6 ) ( 3 7 ) 从而 v ( t ，x ( f ) ) m b ( 6 ) ，t 仃，t t 因此，由条件( 1 ) 可得 a ( b 1 1 ) v ( t ，工( f ) ) m b ( 6 ) 口( 占) ，t 盯，t t 故( 3 2 ) 式成立从而定理3 3 1 证毕 定理3 3 2 如果存在v i o ，a , b k ，函数w ( s ) c ( t ，r + ) ，w ( o ) = 0 ，使 得下面的条件满足 ( 1 ) 对于( f ，x ) t x s ( p ) ，有a ( 1 l x l l ) v ( t ，工) - - 0 ，瓯 0 ，我们假设占足够小使得占 o 满足 当m 一1a ( c ) s 胁p ) 0 d 时，p ( s ) - m s d 成立令n = n ( 8 ) 0 ，满足 m b ( a ) m 一1 0 p ) + n d ) 的最小正整数令x ( t ) = x ( f ；盯，缈) 以及 y = i n f “j ) ， 6 1 ( 盯一1 ( 口( ) ) ) 匀匈 、7 j i l 丝继! 丝! 厂 ，其中万= 饥 七= l 令瓦= 乃p ) = ( 2 n - 1 ) h ，证明下式成立 v ( t ，x o ) ) 口( 占) ，t 盯+ 瓦 为了证明该式成立，首先证明 v ( t ，工( f ) ) 口( s ) + ( 一1 ) d ，t 盯+ h 假设对于所有的f 以= 【盯，盯+ 】ct ，有下式成立 v ( t ，x ( f ) ) m 叫【口( s ) + ( 一1 ) d 】， 那么对t z ，有 m 。1 口( 占) v ( t ，z ( f ) ) 砀( 万) 因此有条件( 1 ) 及上面的证明可得 6 1 ( m 叫( 口( 占) ) ) 0 x ( t ) l i a - i ( 易( 万) ) = q ， p ( v ( t ，x ( f ) ) ) m v ( t ，颤f ) ) + d m m 。1 【口( ) + ( 一o a + a m - 1 ( 口p ) + n a ) 拍( 万) v ( t ，x ( f ) ) 由条件( 3 ) 知，对t 以，有下式成立 1 2 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 硕士学位论文 第三章时标上一类脉冲动力系统的稳定性 v ( f ，x ( t ) ) - w l l x t ) 1 1 ) - y 因此，对t 以，有 v ( t ，缸d ) 矿( 盯，x ( 仃) ) 一y ( t 一仃) + v ( t s ，x ( o ”一矿( 丐，j ( 巧) ) o 鱼j s t 0 ， 并且 v ( t ，石o ) ) y ( 吒，x ( 吃) ) ，t t r z ， m 。1 【口( 占) + ( 一1 ) d 】矿( 吒，x ( 吒) ) 从而 m 叫a ( g ) 矿( 乞，x ( r z ) ) m b ( 8 ) 对于仃s ；，s 丁，注意到 v ( s ，石( j ) ) 砀( 万) m 一【口( 占) + w 】 m 1 【口( 占) + ( 一1 ) d 】+ d y ( 吃，石( 乞) ) + d m v ( r 2 ，顶乞) ) + d s p ( y ( 吒，x ( 乞) ) ) ， 即 矿( 吒，工( 吒) ) p ( 矿( 吒，工( 乞) ) ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 由条件( 3 ) 可得 矿( 呸，z ( 吒) ) 0 ， ( 3 1 3 ) 所以( 3 1 3 ) 式与( 3 1 2 ) 矛盾，故 v ( t ，石o ) ) m 一【口( 占) + ( 一1 ) d 】，t f f _ ，te t ， 硕士学位论文 第三章时标上一类脉冲动力系统的稳定性 成立由条件( 2 ) 知 矿( 乙，x ( 乙) ) = y ( 乞，工( ) + ( x ( ) ) ) s ( 1 + 屯) y ( ，工( ( ) ) m 叫【口( g ) + ( 一1 ) d 】( 1 + k ) ， 因此 v ( t ，缸f ) ) m 1 【口( 占) + ( 一1 ) d 】( 1 + 屯) ， ；s t m m 。1 【口( g ) + ( 一2 ) d 】+ d v ( t ，工( f ) ) 由条件( 3 ) 知 v a ( f ，工( f ) ) - 以l l x ( t ) 1 ) - t ， f 以 因此，对t 以，有 y o ，z o ) ) 矿( 仃+ 2 ，工( 盯+ 2 ) ) 一t ( t - o - 2 h ) + v ( t s ，x ( o ) ) 一y ( 巧，工( 丐) ) 口+ 2 h t j t m b ( 6 ) - r ( t - # - 2 h ) + b s v ( t s ，工( 丐” m b ( 8 ) + m b ( 6 ) m r ( t 一盯一2 h ) 令t = 仃+ 3 j i l ，可得 v ( a + 3 h ，工( 仃+ 3 h ) ) 易( 万) ( 1 + m ) 一y h = 0 ， 矛盾，因此，存在一个f 以，满足 1 4 硕士学位论文 第三章时标上一类脉冲动力系统的稳定性 v ( t ，石( f ) ) m 。1 【口( 占) + ( 一2 ) d 】 类似可以证明 r ( t ，工o ) ) 口( g ) + ( 一2 ) d ，t t ，t t 因此 v ( t ，石( f ) ) a ( 6 ) + ( n - 2 ) d ，t t r + 3 h ，t t 通过推导，可以证明 v ( t ，工( f ) ) a ( c ) + ( n - i ) d ，t 盯+ ( 2 f - 1 ) h ，t to = 1 ，2 ，3 ) 因此，取f = n ，可得 v ( t ，工o ) ) 口( 占) ，t 盯+ ( 2 一1 ) ，t t 由条件( 1 ) 可得 a ( 1 l x ( t ) l ) v ( t ，砥f ) ) 口( s ) ， 从而 i i x ( t ) l l e ，t o r + ( 2 n 一1 ) = c r + t 0 定理3 3 2 证毕 3 4 例子 我们考虑时标丁上的脉冲动力系统( 3 k t ，k = l ，2 ) x a ( r ) = 互石 兰竽石万一z ( f ) r 3 七 巾，2 志叫珊 b 聊 x ( t d = j 1 工( ) f = 3 后 1 y ( t k ) = y ( ) t = 3 k 令y ( x ，y ) = 石2 ( f ) + y 。o ) ，t 3 k ，贝u v ( t k ，x ( ) ，y ( 气) ) = i v ( t ；，石( ) ，j ，( f i ) ) ，f = 3 k