（应用数学专业论文）板模型中具广义边界条件的迁移算子的谱分析.pdf

板模型中具广义边界条件的迁移算子的谱分析 摘要 本文应用泛函分析、算子理论和半群理论等现代分卡斤方法，研究了板模嬲中一 类具广义透界条件的迁移方程，获褥了该方程捆应的迁移算子斡谱分析等一系烈 毅结果。主要缝果叙述如下： 1 对具各向异性、单能、均匀介质的迁移算子，证明了该迁移算子a 产生g 半 群和该g 半群的d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项在( 1 c c m ) 空间上怒紧及 岔空闯怒弱紧羽。 2 。对具各囱异性、连续麓量、均匀分质的迁移算子，证明了该迁移算子0 产 生c 。半群和该q 半群的d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项在( 1 c pc m ) 空间上 悬紧的及l l 空间是弱紧的。 3 。对上述掰类迁移算子a ，获得了a 京区域f 中仅有有限个其有限代数熏数的 蒜散本缝篷农占扰本征僮豹存在牲。 4 对具各向异性、单能、均匀介质的迁移算子，证明了该迁移算子爿产生的c 。 半群是不可约半群，从而获得了a 的占优本征值的存在性等结果。 关键词：迁移方程：迁移算子：c 。半群；不可约半群：紧性；占优本征值：二阶余项 珏 t h es p e c t r a la n a l y s i so ft h et r a n s p o r to p e r a t o rw i t h g e n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o ni ns l a b 秘o m e t r y a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t eo n et y p eo ft r a n s p o r te q u a t i o nw i t hg e n e r a l b o u n d a r yc o n d i t i o n si ns l a bg e o m e t r yb yt h em e t h o d so fm o d e r na n a l y s i s ， s u c ha sf u n c t i o n a la n a l y s i s ，t h et h e o r yo fo p e r a t o ra n dt h et h e o r yo f s e m i g r o u p w eh a v eg o tas e r i e so fn e wr e s u l t sa b o u tt h es p e c t r u mo ft h e t r a n s p o r to p e r a t o rr e l a t i n gt ot h et r a n s p o r te q u a t i o n s ，t h em a i nr e s u l t s a r es h o w e db e l o w ： t 。w ed i s c u s sa n i s o t r o p i c ，m o n o e n e r g y ，h o m o g e n e o u st r a n s p o r to p e r a t o r aw i t hg e n e r a lb o u n d a r y o p e r a t o ri ns l a bg e o m e t r y 。w ep r o v et h a t t h e o p e r a t o rag e n e r a t e saqs e m i g r o u pa n dt h es e c o n dr e m a i n d e ro ft h e 岛 s e m i g r o u pi sc o m p a c ti nl p ( i 一 ) 中 本征值的存在与不存在的结果，其次讨论半群的不可约性，得出了如果边 界算子是正有界的且半群是不可约的。 本文盼安籍 如下：第二拳我们讨论7 投模型中具各淘异性、单麓的迂 移算子生成的拳器的紧性闽题，从褥褥到其谱的分布情提。第三章我们讨 论了板模型中舆各向异性、涟续能量迁移算子生成的半群的紧性问题，从 而得到麒谱的分布情况。第四章我们讨论了板模型中具备向异性、单能的 迁移算子生成的半群不爵约性闻题。 第二章具各向异性、单能鲍迁移方程 迁移方程解的渐近性态和迁移算子的谱分析研究历来是人们非常关心的麓要课 题。近年来，在板模型中，对其抽象边界条件的粒子迁移方程有些研究成栗，见 文献 1 2 ，l s ，1 6 】。l a t r a c hl 空阕为紧戆和叠空阗为弱紧鲶。 证明：对任意t o ，3 n 。使得当n z n o ( t ) 时有： rc ( 圳一z 胁蠕业铲 9 所潋对任意t 0 ，二酚余顼 酬2 三璀( f ) ，( h ，2 ) 只有有限项不为零。设 m ，“ 心( r ) _ 。毳趟4 ( r ) ， ( 咄) 所以要证r ，( f ) 的紧性，只要证每一项r r ( ) 为紧的即可。记 恐( f ) = 三r ( f ) + s r ( t ) 买串 ( 互p ( ) 妒) 扛，一) 2 工+ 。如由z ，( 口) e ”“+ “z g ( 口) ，( p 芦，g ( ”) d ” a “m ( t 一 一s ：) 妒) ( s g n ( ) 2 口一p s 。+ 2 n 口一+ 5 ：+ x ，”) 聱：一* + m 蜮：w 帕：+ e ：“渺撺一：】f s ，国竭。r f ：一* f j s 2 ( 互：j f ) 擎) 并，) = 点蚺，( 口”j 1 z g ( 年) ，( p 口z ，g ( 弘”) d 掣” 。“+ ( 矿( r 一_ ，是) 妒) ( s g n ( p ) 2 d 一s ，一2 h a - “+ s ：+ 薯”) 。t 妒酬碳一帕：，壮“啦一渊c m 一一+ j 蕞1 洚坤f ( ：一弦，i s 3 峦予兰y ) 鞠毫鳇结构相弱，翳以只要证明譬。疑紧性既可e 下藤证臻 2 p ( t ) 的紧性，记 敝= ( j ：) 尺2 ，墨z0 ，s ：苫e ，o ，凰。+ s ：当f ) 那么有 疆冀彩k 弘2 盖e ”蝴，f 牟壤g 掣) ，( 掣净芦z ，g ( a ) d 彭” , o f n + g ( 9 5 ；一如) 妒) ( s g n ( 掣) 2 妇一五+ 2 n 4 一s ：+ z ，p ”) 1 叫一酬州z 一心+ f z “p ”( 坤一叫妒】( 墨) 1 m 叫一一z 一 ， ( 5 2 ) 啦啦 令f 。s g 珏f 产2 勉一p 蕞+ 2 n 8 芦s ：+ x ，煲l = 土( s g n 弘) 2 妇一掣s 1 + 2 n o + x - - x ) ；弘。x ，z ，掣，s ；，5 ：) s 2 再令矗f 牟7 ) = 歹牟) g 群) ，露褥 。爵此， 利耀具有綮支集酌连续滋数按叠( 或扩) 范数逗远丞数h ( ，) ，我们翘遭g 于是具 有界核的积分算子按一致拓扑收敛的极限，故噬f 在l e 一口。 定理2 4设r 。 。芦，l | k 卜口，则d ，( 4 ) 一咖且存在实数熊f 为算子爿和它的共轭算 子一。的本征值。 证饔：设r 。冀：声，阁| _ 盯，裂谬z 一嚣) 一1 是x 上鳇宥界线形算子，因力 【f 一( 箩7 一嚣) 。拦】。2 磊矮筘7 一艿) 1 要) ” 多j z ) d = 【( ，一嚣) ( 王一( f i i 一嚣) 1 x 麓1 = t - ( b y - b ) - 1 籁! 。 筘z 一嚣) 一 所以，( 声，一锄一- 也是i 上的有界正算子。从而可知：y ( p ) = r ( 如( 一) ) 为( 爿) 2 ( 芦，一爿) 一，幂n r , o ) ( ( 爿) 的共轭算子) 的本征值，相应地有非负本征函数妒。和妒；， 鄙： r ( 声) 。= 磁 妒：2 r f 搿) 妒：2 ( 筘，一a ) - 1 妒： 所以 ( 卢一志。一却。( 芦一志冲：刊妒； 令磊2 芦一妄暑，则反是a 和的本征值。若取声和y 满足： | | 蟊l d 一云斋t 一志2 热 陋i 一口 一拶 g 墨( 蠢) 由不等式性质锝： i l o ：l l ；s 槲f ，( 咿矿删“k 扣矗毒一( v ：妄c 渤( 一) 撕- 1 2 54 2 t l a + x - x ，) 妒( 斗s ，：r 。如d s d x d r 出 由y o u n g 不等式可得： 1 1 0 = 1 ：g 4 ，( 肛) 卧。1 ) i l h l t 帅， n 为常数 这说秘f 连续依蓑( 按一致算子籀扑) 涵数，三，谬 i ，臻窝自妒( 露) 。 因此，剽熙具有紧支集煦连续爨数按掣( 或) 范数逼近爱数h ( ，) ，我们 知道噬f 是具有界核的积分算子按一致拓扑收敛的极限，故噬f 在( 1 c p to o ) 是紧的和在驴是弱紧的。 3 4 迁移算子酶谱 类似于第二牵证明可得以下结果： 定瑷3 2 条件同定理3 1 ，贝f j c o 半群c ，( f ) o 麓o ) 和g 半群矿( f ) o 己o ) 有相 同的谱型m 。 定理3 。3 黧r e k ，拶爵，箨子矗盼谱交至多霹数个套葭代数重鼗褰教本 薤值组成。 4 r z , 7 ( a ) n 旄c i r e z ，y l ，其中y 一盯。 定理3 4 设r e a 一，删卜以则) * 办且存在实数扁r 为算诩和它的共 轭葵子a + 豹本鬣毽。 定理3 。5 f 内仅有翁限个有限代数重数离教本征值缝成。 定理3 6 成是迁移算子爿的占优本征值。 第四灌一类迁移半群麴不霹约性 从前二章可见迁移算子的谱的结构对迁移方程的研究的重要性，而迁 移算子的谱的结构跟它生成的半群的类型有密切的关系，所以讨论一些有 关半群静注凄楚嚣常必要兹。本室讨论馥攥型孛类挚广义边赛条释其各 向异性、单能、均匀介质迁移算子a 生成不可约半群y 扛z o ) 的性质和与 其相关的内容。 j 型掣等掣一滞如蹦) + 龋剐坝础：啦牟， 一 ! 妒( 如，o ) ；妒。， 谚fr = ( 妒r ) 其中t e ) 为樱空闻逮彝处飞入( 飞舞 部分， 势正套努线性葬子， 即为广义边界算子： 妒( 一n ，卢) = d 妒( 口，p ) ，o c l f t l ；妒( 口，) = 口妒( 一口，) ，1 c 肛t 0 ：0 ；口。1 箕孛西嘲羹瞻箴。；分副表示总磋撞霉帮敖魏裂交接。霰竣 ( o ) ：七乒，口) 为【一1 ，1 3 x 【一1 ，1 3 上的有界可测函数，且 0 9 女( ，) s 七，p ， 一1 ，x j 4 1 空间与算子 设羔* f ( d ) 。= 一n ，n 3 【一l ，l ! ) ( 1 s 尹o 。) 表撩域d 上按遥常的蕊数构成的 b a n a c h 空间。定义相空间的飞入、飞出的边界分别为： d ；。磷。d ；e 一8 【。，l 】u 和 x 【一o 】；参。= d ? u d g 。 一口 x 【一1 ，o j u 。 【织l 】 引入边界空间和范数以及边界算子见第一章。 在x 上定义算子： ( 4 3 ) ( 4 。4 ) 却( 训) 叫掣一咖( 训) 卜) + z 雠鼠廿非圳圹矿猷。啦。 则迁移算子a 为 ( 唾。5 ) 翅中： k ：x ”x a 。b k 妒。= ( 妒? ，妒：o7 t ，妒一( 妒0 妒：) 7 妒五芦) 一 z ，毒妇，知( 墨p ，) 蠢芦 f 妒i = 妒( 一n ，) ，p ( o ，1 ) ；妒i ；妒( ，) ，( 一1 ，o ) 妒? = 妒( 一n ，牟) ，芦( 一1 ，o ) ；妒；= 妒a ，群) ，s , e ( o ，1 ) 对舻x ，考虑方程 ( 一b ) 妒端妒 ( 4 6 ) 刚对任意r e b 一玎，方程( 4 6 ) 可形式地解为 “7 ) 特莉地有： d ( a ) = d ( b ) d 如 p 吣 k 班 础 一 协 烈 卜 肛i 妒 川 伽 讣 缸扩 州 咖 协 m k 州 螂 川 卜 - ，渺 、 妒( 螂) ；妒h 弘) e 沁嘞l + 瓤e 书 删妒螂州 ( 4 8 ) 咖，弘) ；妒( 刚) 。m 圳p i + 积e 小训伽比p ) 如1 删 ( 4 9 ) 令： f m ：盖一并。，掰上嚣= 掰；毪，掰j t t 2 ， 1 ( m 川( 喝肛) = u i - a , e - 2 a ( x + o 州，0 c “t 1 ；( m 以) ( 唧) 啦( ) e 。”m “，一1 c “c 0 f 馥：盖一x 。，反“一簟。m f “；嚣；“，+ 簟- i , o ) “) 舡 ( 即，批) 毯( 吨，f 一“晰嘶1 ，0 t “c l ；( 丑孔) ( 卅) = u 2 ( 训) 8 “咖叫“，一1 c mt 0 嚷：茗- - - + x 。, 嘎驴。g ，) 炳洳川。帮e 小卅m 地址皿一心积吗小簿e 山 叫m b k 如m 删 陌：x 一搿，q 妒* 确- l ，。) ( ) c 妒+ 辑。1 ) ( 芦) g 妒 陋沁一* 韶e 出 弘帕坂刊螂t 啦船小节。小 拇删4 出厕戤小删 定理4 。1 ：以上定义的埘；、致、g 、g 都是有界算子。 证明：算子m 。和毋的有界性最然，仅需证明q 和q 的有界性 ( 1 )先证明q 的有界性： 任敷妒爿， 陬| s 【亩。扭“口轴辫| 【南。恤粉蜘| 眵f 墨芦) | 敬 鸯h o l d e r 不等式得： 西磷： 陋净f j 广- o 三l a f 。枷“口轴铷k ) 毪( 壶。书“+ 。弘穆| 】p ( 而芦驴出) 鬈 s ( r e 孟+ 呃由e 母“咖婚。眵扛，f 矿出 陂忡f s 陋+ a f 。脚吒静“咖辫忡硝敷 注意至： r e a 群，0 哥得： 陋| 斟d 彭s ( r e a 仃) 一眵( 鹄芦扩缴d 芦 所以有： j 陋忙( r e a + 盯) 一；同理可得：8 g 刘s ( r e + 盯) - ，因此葬子 呒是有界的。 类戗爵涯簿0 也燕有器耱。霾就，( 凄。_ 7 ) 虿写成： 冀孛 妒( ) o r ( a ，口) 妒( x ，) ；魂即) f 弘) r + ( 五，嚣) 妒f j 二) + 盈吐。j ( 芦) r 4 ( 毒，矗) 尹( 善，芦) 冠+ 嚣) = 甾甄：芝f 嬲；甄。) “啜+ q ； 由文献 2 8 ，3 2 知： 霞一a ，君) 2 或掰n 磊f 槲：努：z ) “嚷+ 4 2 半群的不可性约 定毯4 2 设嚣为囊( 1 2 ) 所确定豹边界算子，刚箨子b 在x 土霹生 成g 半嚣拶毋o j ，且其孵柝袭达式为： 【，( r ) ，0 = 怒壶e 矿( 2 1 - b ) 1 埘九( v ，仃) ( 4 。1 0 ) 由定理4 2 和扰动定理 1 1 知： 定理4 。3 设 为鸯 1 2 ) 嚣确定麓边雾舅子， ( 为x 上静毒努簿予， 则a 在x 上生成半群v ( t ) ( t 怠o ) ，且其表达式为： y ( 0 1 0a 熙瓤( 肌爿) 。1 彬 ll ( v ，一 ( 4 1 1 ) 矿( 。) ；u j ( 小 r e ( f ) ( 4 i 2 ) 其中 u 0 0 ) e u u 力) 。尸( s ) k v ，- 1 ( r s ) 凼 1 3 ) r 0 ) e j - v ( s i 坶u l lk v ( s 。) 0 一墨一s ：己l 靠) 办。ll 瓿 ( 4 1 4 ) 在这一部分我们讨论算子4 生成的c o 半群的不可约性。为证g 半群v ( t ) ( t a o ) 的不可约性，令 = 一p 面0 ，k = t ( 刚卜f ； 爨| 锄；b 。+ k ，其中嚣表示边爨算子，耀( 珞。l 。记峨黧残熬c 。半群。 定义4 。l 设，l ：。为b a n a c h 格e 上的正半群，a 为其生成元，如果 下面之条件成立，则称它是不可约的。 ( 1 ) 如果对如s ( a ) ( 其中s ( a ) 为a 的谱半经) 和所有的，g e ，f zo ，一0 有五一蠢) 。，是严格正的； ( 2 ) 任给，量，垆宴使哿，姨如。那么( 丁纯) ，妒卜。对一塍气z o 。 下面证明我们的主要结果： 定理4 4 迁移算子a 生成的c 0 半群( ，。( r ) ) 。是不可约的。 为既先证明骏下二个鞴遴 辘理4 1 q 半群( ) ( f o ) 釉。) ( f 0 ) 满足不等式： ( t ) 。和) 龟0 证明：由半群 ) 的表达式 和) 2 。f ) 0 k 。姆么f f s ) 妒蕊， 妒d f 坟) = d f & ) 翻k 的菠性即知。 辅理4 2 ：c o 半群屹。( t ) ( t 毒o ) 是不可约的。 证明：因为由引入的有界算子知： ( 7 一) 岛日荔( 膨a 日r 岛+ q ， ， 由于e ，b a ，釉氓都是正算子，而瓴是个严格正算子，贝本辅理成立。 壶撩理4 。l 、赣理4 。2 翻定义4 ，l & p 霹褥定璞4 。4 成立。 致谢 本论文是在导师王胜华教授的悉心指导下完成的。三年来，在学问 上，导师付出了无数的汗水将我领入科学的大门，今天本论文的完成无不 充满导筛的心髓；奁生活上，导辩无徽不至戆关怀，形成一段诖我罐忘的 愿爆帻义；此外，导辫治学之严谨，生活上待人之宽容，这魃做人的崇高 品质对找人生也产生了深远的影响。特借此机会衷心地说声谢谢，导师为 学生付出的一切学生将永远铭记在心。 在鬻昌大学学习镌三年来，傅俊义教授，籍灌蕊教授，龚德华教授都 给了我很大的帮助和教诲，我在此表示袭心的感谢。此外，吴理华，唐玉 超等很多同学往很多方面也给了我很大帮助，我表示衷心的感谢! 嗣时希 盥我们所有同学之间的友谊天长地久。 参考文献 【l 】l e h n e t ja n dw i n g 。g m ，o n t h es p e c t r u mo fa nu n s y m m e t r i co p e r a t o r a r i s i n gi nt h et r a n s p o r tt h e o r y o fn e u t r o n ，c o m m p u r e a p p l m a t h ， 1 9 5 5 ( 8 ) ：2 1 7 乏3 4 2 】l e h n e r ja n dw i n g g m ，s o l u t i o no ft h el i n e a r i z e db o l m m a n ne q u a t i o n f o ft h es l a pg e o m e t r y , d u k em a t h 。j ；2 3 1 2 5 1 4 2 ( 1 9 5 6 ) 。 【3 】j o r g e n s 。ka na s y m p t o t i ce x p a n s i o ni nt h et h e o r yo fn e u t r o nt r a n s p o r t ， c o m m ，p u r ea p p l m a t h 1 9 5 8 ，1 1 ：2 5 3 0 4 】d u n f o r dn ，s c h w a r t zj t , l i n e a ro p e r a t o r s ，p a r ti ：g e n e r a lt h e o r y w i l e y 。 i n t e r s c i e n c e ：n e wy o r k ，1 9 5 8 f 5 】c a s ek 赫e l e m e n t a r ys o l u t i o n o ft h et r a n s p o r te q u a t i o na n dt h e i r a p p l i c a t i o n s ，a n no fp h y s i c s ，9 ( 1 9 6 1 ) 【6 】n o r t o nrv ，o nt h e r e a ls p e c t r u mo fam o n o e n e r g yn e u t r o nt r a n s p o r t o p e r a t o rc o m m ，p u r ea p p lm a t h ，1 9 6 2 ( 1 5 ) 【7 】 u k a i s ，r e a le i g e n v a l u e s o ft h e m o n o e n e r g e t i ct r a n s p o r t f o ra h o m o g e n e o u sm e d i u m ，j n u c ls c it e c h3 1 ( 1 9 6 6 ) 2 6 3 。 【8 】l a x ，p ，da n dh i l t i p s ，c ，s ，d e c a y i n gm o d e s f o rt h ew a v ee q u a t i o ni ne x t e r i o r o fa no b s t a c l e ，c o m m 。p u r ea p l em a t h2 2 ( 1 9 6 9 ) 【9 】t k a t o ，p e r t u r b a t i o nt h e o r yf o rl i n e a ro p e r a 6 t o r s ，s p f i n g e r ，b e r l i n ，1 9 6 6 【1 0 】v o i g tj ，s p e c t r a lp r o p e r t i e so ft h en e u t r o nt r a n s p o r te q u a t i o n ，j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 8 5 ，1 0 6 ：1 4 0 - - - 1 5 3 【l 王】 【1 2 【王3 】 【王4 】 【1 5 】 【堇6 】 【1 7 】 【重8 】 p a z ya ，s e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r a n da p p l i c a t i o n st o p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p r i n g e rn e wy o r k ，1 9 8 3 k h a l i dl a t r a c h ，c o m a c t n e s sp r o p e r t i e sf o rl i n e a rt r a n s p o r to p e r a t o r sw i t h a b s t r a c tb o u n d a r yc o n d i t i o n si n s l a bg e o m e t r y , t r a n s p o r tt h e o r ya n d s t a t i s t i c a lp h y s i c s ，2 2 ( 1 ) ：3 9 6 4 ( 1 9 9 3 ) m o r h t a r - 。k h a r r o u b im ，t i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n dc o m p a c t n e s si n n e u t r o n t r a b s p o r t t h e o r y ，e u r o p e a nj o u r n a l o f m e c h a n i c s b f l u i d ，1 9 9 2 ，1 1 ：3 9 - 6 8 k h a l i dl a t r a c h ，c o m p a c t n e s sp r o p e r t i e sf o rl i n e a rt r a n s p o r to p e r a t o r sw i t h a b s t r a c tb o u n d a r yc o n d i t i o n si ns l a bg e o m e t r y ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s 1 9 9 9 ，2 5 3 ：1 3 2 k h a l i dl a t r a c h ，o nt h es p e c t r u mo ft h et r a n s p o r to p e r a t o rw i t ha b s t r a c t b o u n d a r yc o n d i t i o n si ns l a pg e o m e t r y , j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i s a n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 0 ，2 5 2 ：1 1 7 ， k h a l i di a t r a c ha n da b d e l k a d e rd e h i c i ，s p e c t r a lp r o p e r t i e s a n dt i m e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fl i n e a rt r a n s p o r te q u a t i o n i nas l a bg e o m e t r y , m a t h e m a t i c a lm e t h o d si nt h ea p p l i e ds c i e n c e s ，2 0 0 1 ，2 4 ：6 9 8 - - 7 1 1 k h a l i dl a t r a c ha n dm o r h t a r - - k h a r r o u b i m ，s p e c t r a la n a l y s i s a n d g e n e r a t i o n a n d g e n e r a t i o n r e s u l t sf o r s t r e a m i n go p e r a t o r s w i t h m u l t i p l y i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，p o s i t i n i t y , 1 9 9 9 ，3 ：2 7 3 - 2 9 6 。 m o k h t a r - k h a r r o u b im ，m a t h e m a t i c a lt o i c si nn e u t r o nt r a n s p o r tt h e o r y ， n e wa s e c t s a d v a n c e si nm a t h e m a t i c sa n da p p l i e ds c i e n c e s ，4 6 ，w o r l d s c i e n t i f i e ；s i n g a p o r e ，1 9 9 7 。 【1 9 】l a t r a c hka n dd e h i c i ，ar e l a t i v e l ys t r i c t l ys i n g u l a rp e r t u r b a t i o n se s s e n t i a l s p e c t r aa n da p p l i c a t i o nt ot r a n s p o r to p e r a t o r s ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 2 ，2 5 2 ：7 6 7 - - 7 8 9 【2 0 】a r e fj e r i b i ，t i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o rf o ru n b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r a r i s i n g i n g r o w i n gc e l lp o p u l a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l y s i sr e a lw o r l d a p p l i c a t i o n ，2 0 0 3 ，4 ：6 6 7 6 6 8 f 2 1 】关肇直，关于中子迁移理论中出现的一类本征值问题，数学物理学 掇，1 9 8 4 ，4 ( 4 ) ：3 7 3 3 9 3 2 2 1 田方螬，al e c t u r eo nm a t h e m a t i c a lp r o b l e m si n t r a n s p o r tt h e o r y , c h i n e s es c i e n c ea n dt e c h n o l o g yu n i vb e i j i n g ，1 9 6 2 【2 3 】 躺名珠、朱广爨， 极值原理与迂移簿子，科学通掇( 数学物理他学专 辑) ，1 9 8 0 ，1 5 8 * 1 6 1 【2 4 】阳名珠，朱广田，韦梓楚，关于嶷中心球空穴介质的迁移算子谱的性质， 科学通报，1 9 7 6 ，2 1 ( 8 ) ：3 7 4 3 9 6 2 5 】阳名珠，来广困，中子迂移中鼢多群理论，中国科学，1 9 7 9 ，8 ：7 5