人教版初中数学第六章实数知识点.doc

第六章 实数6.1 平方根1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）.一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.正数a的平方根记做“”.2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.；注意的双重非负性：例：求下列各数的算术平方根（1）；（2）；（3）.例：若数的平方根是和，求的值.解： 负数没有平方根，故必为非负数.（1）当为正数时，其平方根互为相反数，故（）+（）=，解得，故=，从而.（2）当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无解.例：估计1的值是（ ）（A）在2和3之间（B）在3和4之间（C）在4和5之间（D）在5和6之间6.2 立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）.其中3是根指数.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.例：已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根.分析：由算术平方根及立方根的意义可知，解方程组，得：代入已知条件得：，故MN的平方根是.6.3 实数1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数.正整数又叫自然数.正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数. 2、无理数：无限不循环小数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数，如sin60o等例：在所给的数据: ， (相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( B ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个3、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立.4、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，.零的绝对值是它本身，若，则；若，则.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.5、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数. 例：比较的大小.当时，取，则，显然有当时，当时，仿取特殊值可得例：解方程.解： x+1看着是36的平方根. .， .例：已知一个数的平方根是2a1和a11，求这个数解：由2a1+a11=0，得a=4，2a1=241=7这个数为72=49例：已知2a1和a11是一个数的平方根，求这个数解：根据平方根的定义，可知2a1和a11相等或互为相反数当2a1=a11时，a=10，2a1=21，这时所求得数为(21)2=441;当2a1+a11=0时，a=4，2a1=7，这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.实数大小进行比较的常用方法方法一：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当ab0时，得到ab.当ab0时，得到ab.当ab0，得到a=b.例1：（1）比较与的大小. （2）比较1与1的大小.解 0 ， .解 （1）（1）=0 ， 11.方法二：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商.当1时，ab；当1时，ab；当=1时，a=b.来比较a与b的大小.例2：比较与的大小.解：=1 方法三：倒数法 倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当时，ab.来比较a与b的大小.例3：比较与的大小.解=+ ， =+又+（超纲，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0，b0时，可由得到ab来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小.例5：比较与的大小解：， =8+2.又8+28+2 .方法五：估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例4：比较与的大小解：34 31 方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a0，b0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.例6：比较2与3的大小解：2=，3=.又2827， 23.方法七：取特值验证法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单.例7：当时，的大小顺序是_.解：（特殊值法）取=，则：=，=2.2，.例：设a20，b(3)2，c，d，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解：a201，b(3)