（概率论与数理统计专业论文）指数威布尔分布的统计分析.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o no f 舱a r2 0 11 u n i v e r s i t yi d ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 8 3 0 0 1 0 8 3 s t a t i s t i c ala n a l y s i so fe x p o n e n t i a t e dw e i b ull d e p a r t m e n t m a j o r di s t r ib u t i o n s c h o o lo ff i n a n c i a la n ds t a t i s t i c s p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n r e l i a b l i t y s t a t i s t i c s s u p e r v i s o r a u t h o r d a t e p r o f e s s o ry i n c a it a n g m i n g y u a nx i a o a p r i l ，2 0 1 1 咖3 96209iii-_咖y uy，】ilill】 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文指数威布尔分布的统计分析，是在华东师 范大学攻剐博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 i 作者签名：衄日期：作者签名：恐煎! 翌日期： 华东师范大学学位论文著作权使用声明 指数威布匀汾布的统计分析系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指 导下完成的砸z 博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和 相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许 学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加 入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密 学位论文丰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 2 不保密，适用上述授权。 作者签名： 日期： 盗蜩国 勿f 易多 导师签名： 日期： 加h i 、j 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位论文( 需 附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位 论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 。 肖明园硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张日权教授华东师范大学主席 吴贤毅教授华东师范大学 周迎春副教授华东师范大学 目录 摘要 a b s t r a c t ( 英文摘要) 目录 第章引言 1 1 指数w e i b u l l 分布的产生与发展 1 2 指数w e i b u l l 分布的定义 1 3 指数w e i b u l l 分布的性质 1 3 1 3 1 3 1 3 指数w e i b u l l 分布的7 阶原点矩 指数w e i b u l l 分布的分位数 指数w e i b u l l 分布的众数 指数w e i b u l l 分布的失效率函数 1 4 本文的主要工作 第二章指数w e i b u l l 分布参数的逆矩估计 2 1 逆矩估计的思想 2 2 二参数指数w e i b u l l 分布的逆矩估计 2 3 三参数指数w e i b u l l 分布的逆矩估计 第三章指数w e i b u l l 分布参数的极大似然估计 3 1 二参数指数w e i b u l l 分布的极大似然估计 3 2 三参数指数w e i b u l l 分布的极大似然估计 第四章指数w e i b u l l 分布参数的b a y e s 估计 4 1 单参数指数w ，e i b u l l 分布的b a y e s 估计 4 1 1 平方损失函数下参数q 的b a y e s 估计 4 1 2l i n e x 损失函数下参数o 的b a y e s 估计 4 1 3 模拟对比 4 2 二参数指数w e i b u l l 分布的b a y e s 估计 4 2 1 二参数指数w e i b u l l 分布e w ( o t ，p ，1 ) 的b a y e s 估计 4 2 2 二参数指数w e i b u l l 分布e w ( o t ，1 ，7 7 ) 的b a y e s 估计 v 一 1 1 l 2 2 3 4 4 6 7 7 7 4 6 6 d 3 3 4 5 6 8 8 9 、 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 一 目录 4 2 3 模拟对比3 0 4 3 三参数指数w e i b u l l 分布的b a y e s 估计3 3 4 3 1 口，卢，r i 拘b a y e s 估计3 3 4 3 2m c m c 方法3 4 4 3 3 数值模拟3 5 结论 致谢 参考文献 一1 1 3 7 3 8 3 9 插图目录 插图目录 1 - 1 四种失效率函数的图像5 2 1 1 0 个小于1 的样本时逆矩估计g ( f 1 ) 的图像1 2 2 2 5 个小于1 的样本时逆矩估计g ( 卢) 的图像1 2 2 - 3 1 0 个大于1 的样本时逆矩估计g ( p ) 的图像1 3 2 4 2 0 个样本时逆矩估计g ( f 1 ) 的图像1 4 3 1 1 0 个小于1 的样本时极大似然估计h ( 卢) 的图像1 9 3 - 2 1 0 个样本时极大似然估计h ( 卢) 的图像2 0 4 1 不同样本量下q 的三种估计的均值比较3 1 垂2 不同样本量下a 的三种估计的均方误差比较3 1 4 _ 3 不同样本量下口的三种估计的均值比较3 2 4 - 4 不同样本量下p 的三种估计的均方误差比较3 2 4 - 5 三参数口，叩的m c m c 动态轨迹图3 6 缸6 三参数q ，卢，叩的后验分布密度3 6 表格目录 表格目录 2 1 x e w ( 0 6 ，0 6 ，1 ) 时的1 0 个小于1 的样本1 1 2 2 x e w ( 0 5 ，0 7 ，1 ) 时的5 个小于1 的样本1 2 2 3 x e w ( 5 ，0 3 ，1 ) 时的1 0 个大于1 的样本1 3 2 4 x e w ( 0 8 ，1 5 ，1 ) 时的2 0 个样本1 3 3 1 x e w ( 0 6 ，0 6 ，1 ) 时的l o 个样本2 0 3 - 2 x e w ( 0 8 ，0 6 ，1 2 ) 时的5 0 个样本2 2 4 1 单参数指数w e i b u l l 分布e w ( a ，0 6 ，1 ) 的参数估计2 6 垂2 单参数指数w e i b u l l 分布e w ( a ，0 8 ，1 ) 的参数估计2 7 4 3 单参数指数w e i b u l l 分布e w ( a ，1 2 ，1 ) 的参数估计2 7 垂4 单参数指数w e i b u l l 分布e w ( o c ，1 6 ，1 ) 的参数估计2 7 4 - 5 二参数指数w e i b u l l 分布e w ( a ，卢，1 ) 的参数估计3 0 4 - 6 三参数口，卢，叩后验估计统计量3 5 垂7 三参数指数w - e i b u l l 分布参数的真值、m l e 估计与b a y e s 估计3 6 - 1 v 一 中文摘要 摘要 m u d h o l k a r 和s r i v a s t a v a ( 1 9 9 3 ) 提出了一种新的寿命分布一指数w b i b u l l 分布，该分布 的特点在于其具有单峰、浴盆或单调的失效率函数图像。 针对该分布本文主要从以下几个方面进行研究： ( 1 ) 介绍了指数w b i b u l l 分布的r 阶原点矩、分位数和众数；阐述了不同参数取值情况 下的四种失效率函数图像。 ( 2 ) 推导了指数w 色i b u l 分布的参数逆矩估计、极大似然估计和b a y e s 估计；讨论了二参 数指数w e i b u l l 分布下参数逆矩估计和极大似然估计的存在情形。 ( 3 ) 通过数值模拟，本文主要针对得到不同样本量下单参数和二参数指数w e i b u l l 分布 参数的逆矩估计、极大似然估计和b a y e s 估计，采用均方误差作为评价标准进行的 大量比较分析，得出在均方误差标准下小样本时参数的b a y e s 估计优于逆矩估计和 极大似然估计，大样本时参数的逆矩估计优于极大似然估计和b a y e s 估计。此外， 针对三参数指数w e i b u l l 分布，本文运用m c m c 方法中的m e t r o p o l i s 和g i b b s 抽样 来对三个未知参数进行数值模拟，采用遍历均值作为参数的b a y e s 估计，并与极大 似然估计进行了比较。 关键词：指数w e i b u l l 分布，逆矩估计，极大似然估计，贝叶斯估计，g i b b s 抽样，数值 模拟 英文摘要 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ee x p o n e n t i a t e dw e i b u l ld i s t r i b u t i o nw h i c hw a si n t r o d u c e db y m u d h o l k a ra n ds r i v a s t a v a ( 1 9 9 3 ) t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h ed i s t r i b u t i o ni st h a ti t sd e n s i t y i su n i m o d e la n di t sh a z a r df u n c t i o nc a l lb ei n c r e a s i n g ，d e c r e a s i n g ，i nb a t h t u bs h a p e t h ef o l l o w i n ga r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r ： ( 1 ) t h eo r i g i nm o m e n t s ，p e r c e n t i l e sa n dm o d eo fe x p o n e n t i a t e dw e i b u l ld i s t r i b u t i o n a r ei n t r o d u c e da n dd i f f e r e n tf o r m so fh a z a r df u n c t i o n su n d e rd i f f e r e n tv a l u eo fp a - r a m e t e r sa r ed i s c u s s e d ( 2 ) t h r e em e t h o d so fe s t i m a t i o no ft h ee x p o n e n t i a t e dw e i b u l ld i s t r i b u t i o na r ed i s c u s s e d ，i e t h ei n v e r s em o m e n te s t i m a t i o n ( i m e ) ，t h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a - t i o n ( m l e ) a n dt h eb a y e se s t i m a t i o n ( b e ) ( 3 ) c o m p a r i s o n sa r ed o n ef o rt h ei n v e r s em o m e n te s t i m a t i o n ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i - m a r i o na n db a y e se s t i m a t i o nf o rt h es i n g l ep a r a m e t e ra n dt w o - p a r a m e t e re x p o n e n - t i a t e d 强b u l ld i s t r i b u t i o nt h r o u g hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n b a s e do nt h ec r i t e r i ao f m e a ns q u a r ee r r o r ( m s e ) t h er e s u l t ss h o wt h a tt h eb a y e se s t i m a t i o np e r f o r m sb e t t e rt h a nt h ei n v e r s em o m e n te s t i m a t i o na n dt h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nf o r s m a l ls a m p l e s a n dt h ei n v e r s em o m e n te s t i m a t i o np e r f o r m sb e t t e rt h a nt h em a x - i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o na n dt h eb a y e se s t i m a t i o nf o rl a r g es a m p l e s b e s i d e s ， n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sa p p l i e df o rt h et h r e e - p a r a m e t e re x p o n e n t i a t e dw b i b u l ld i s - t r i b u t i o nt h r o u g ht h em e t r o p o l i sa n dg i b b ss a m p l i n g ，w i t ht h ee r g o d i cm e a na st h e b a y e s i a ne s t i m a t e so ft h eu n k n o w np a r a m e t e r s ，w h i c ha r et h e nc o m p a r e dw i t ht h e m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e s 。 k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a t e dw e i b u ud i s t r i b u t i o n ，i n v e r s em o m e n te s t i m a t i o n ，m a x i - m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ，b a y e s i a ne s t i m a t i o n ，g i b b ss a m p l i n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 一一 第一章引言 第一章引言弗一早jli 1 1 指数w e i b u l l 分布的产生与发展 近几十年w e i b u l l 分布在工程学、航空、电子、生物医学等领域的广泛应用使人 们越来越认识到w e i b u l l 分布在可靠性统计及其相关科学领域中的重要性，与此同 时w e i b u l l 分布所产生的局限性也逐步暴露，w 西b u l l 分布难以解决失效率函数图像为 浴盆或倒浴盆形状的情况。m u d h o l k a r 和s r i v a s t a v a ( 1 9 9 3 ) 提出了指数w 6 i b u l l 分布， 该分布恰恰能很好地解决失效率函数图像为浴盆和倒浴盆形状的情形。这是使指 数w _ e i b u l l 近几年来逐渐受到学术界关注和研究的原因之一。 指数w e i b u l l 分布是通过在w - e i b u l l 分布中增加一个形状参数推广而来， 其分布具有单峰、浴盆或单调形状的失效率函数图像。m u d h o l k a r ，s r i v a s - t a v a 和p r e i m e r ( 1 9 9 5 ) ，m u d h o l k a r 和h u t s o n ( 1 9 9 6 ) ，还有n a s s a r 和e i s s a ( 2 0 0 3 ) 都对指数w e i b u l l 分布的性质做了更详细的研究。g u p t aa n dk u n d u ( 1 9 9 9 ，2 0 0 1 ) 提出 了指数w e i b u l l 分布的一种特殊情形一指数一指数分布。p a l ，a l i 和w | o o ( 2 0 0 6 ) 将指 数w b i b u l l 分布的失效率函数与两参数w b i b u l l 分布以及伽玛分布下的失效率函数进行了 对比。m u d h o l k a r 等人( 1 9 9 5 ) 运用指数w e i b u l l 分布模拟失效数据。m u d h o l k a r 和h u t s o n ( 1 9 9 6 ) 采用指数w e i b u l l 分布研究数据的极端值。可见指数w e i b u l l 分布已经受到了 学者们的重视，但对其相关的研究大多是在性质层面。基于指数w e i b u l l 分布的研究现 状，本文将从其性质出发，重点讨论该分布的参数估计。 1 2 指数w e i b u l l 分布的定义 设随机变量x 服从指数w e i b u l l 分布，其分布函数为 脚) = ( 1 e _ ( 钭) 口，z 帅 o ，q 叩 咖 。，( 1 - 1 ) 相应的密度函数为 ，( z ) = 警( 1 一e 一( 半) 4 ) 1e 一( 半广( 等) 肛1 ， ( 1 - 2 ) 其中p 为位置参数，卢为第一个形状参数，q 表示第二个形状参数，叩为尺度参数。可将 该分布i g ) 勺e w ( o z ，p ，r l ，肛) ，称之为四参数指数w b i b u l l 分布。 1 3 指数v | r e i b u l l 分布的性质 特别地，当p = 0 时，此时对应的分布称为三参数指数w b i b u l l 分布，其分布函数为 密度函数为： f ( z ) = ( 1 一e 一( 吾) 芦) 口，z 。，。r 。，卢 。，叩 。，( 1 - 3 ) 他，= 等( 1 一e 一卢) 沪1e 七，芦( 圹 m 4 ， 当q = 1 时，指数w e i b u l l 分布即为w e i b u l l 分布的形式，此时对应的分布称为三参 数w e i b u l l 分布，他最早由瑞典物理学家w a l o d d iw e i b u l l 在1 9 3 9 年引进，是可靠性分 析及寿命试验的理论基础。近半个世纪学者们对其做了大量研究，c o h e n 和w h i t t e n ( 1 9 8 2 ) ，c o h e n ，w h i t t e n 和d i n g ( 1 9 8 4 ) 讨论了在全样本下三参数w e i b u l l 分布的矩 估计陈迪( 1 9 9 1 ) 给出了三参数w b i b u l l 分布下参数的一种近似极大似然估( a m l e ) ， 该估计方法可减少计算的困难。徐晓岭( 1 9 9 4 ) 给出了三参数w e i b u l l 分布参数点估计的 新方法- - b l u e ，并通过计算机模拟将其与参数的其它估计做了比较。孙丽玢和费 鹤良( 2 0 0 3 ) 在定数截尾情形下，采用平均剩余寿命构造的样本矩和第一个样本次序 统计量，给出了定数载尾样本下三参数w e i b u l l 分布的矩估计方程。汤银才和侯道 燕f 2 0 0 9 ) 基- 于l a p l a c e 数值积分法和g i b b s 抽样方法给出了三参数w e i b u l 分布的b a y e s 估 计。 当口= 1 时，指数w e i b u l l 分布即为广义指数分布的形式，此时对应的分布称 为广义指数分布，通常也称指数一指数分布。它是由g u p t a 和k u n d u ( 1 9 9 9 ) 弓i 入，g u p t a 和k u n d u ( 2 0 0 1 ) 讨论了该分布的相关性质，指出了g a m m a 分布、w b i b u l l 分 布和广义指数分布之间的关系。唐玉娜，施瑞和王炳兴( 2 0 0 8 ) 利用逆矩估计对广义 指数分布的未知参数进行估计，并将其与极大似然估计结果进行了比较。邱雷颦和张 帼奋f 2 0 0 8 ) 讨论了广义指数分布场合下参数的极大似然估计和极大似然估计与回归相 结合的估计，并利用数据模拟比较了它们的优劣。 1 3 指数w e i b u l l 分布的性质 1 3 1 指数w e i b u l l 分布的? 1 阶原点矩 研究统计性质对于熟悉统计分布非常重要。m u d h o l k a r 和h u t s o n ( 1 9 9 6 ) 提出了三 参数指数w e i b u l l 分布7 阶原点矩的积分形式，其具体表达式如下 p，=qp叩一卢+。zn+卢一1e一(吾)卢(1一e-(嚣)卢)口一1dx0 ， p ，= q p ? 7 一卢z n + 卢一1 e 一( 吾) 。( 一 ( 嚣) ) ， j 一2 ( 1 - 5 ) 第一章引言 其中q 0 ，p 0 ，? 7 0 ，p ，= e ( x 7 ) 。 最近几年学者们针对指数w e i b u l l 分布的原点矩作了很多研究，n a d a r a - j a h 和g u p t a ( 2 0 0 5 ) 运用级数展开式 ( 1 础矿1 = ( 1 + ( 一e 一卢) ) 卜1 = 薹，揣( e 七矿 对( 1 5 ) 进行化简，给出了r 阶原点矩和的表达式 舻吖r ( 剐喜 ( - 1 ) 。f ( a ) z ! r ( q i ) ( i + 1 ) 1 + 舌。 上式对任意佗 一都成立，是r 阶矩的无限级数形式。 ( 1 - 6 ) n a s s a r 和e i s s a ( 2 0 0 3 ) 在参数约束条件下，将( 1 6 ) 简化为有限级数形式，具体表 达如下 若三是一个正整数时，指数w b i b u l l 分布的r 阶原点矩可化简为有限级数形式 其中 p r = q 矿r ( 丢+ 1 ) a ，( q ，卢) ， ( 1 7 ) 坐，r _ 1 ，2 ，3 ( 1 - s ) i l f ( a z ) ( z + 1 ) 1 + 舌一一上q o 1 3 2 指数w e i b u l l 分布的分位数 若随机变量x e w ( 口，p ，7 7 ) ，则其口分位数为 z 。一i n 1 , ) 砉，。 0 ，f ( x ) 0 ，则有 ( p 一1 ) x - 1 一p 叩一卢z 卢一1 + 卢( q 一1 ) r 一卢z 卢一1 ( e 竹一声z 卢一1 ) 一1 = o ( 1 - 1 2 ) 由于指数w e i b u l l 分布的密度函数图像受参数的影响会呈现不同形状，则在参数的不同 条件下其众数( m o d e ) 为 删( 耻j 7 7 ( 槲) 吉，a 胗1 ， ( 1 - 1 3 ) 【0 ， a 卢1 1 3 4 指数w e i b u l l 分布的失效率函数 失效率函数的表达式为 坼) = 尚p 。( 1 - 1 4 ) 若随机变量x e w ( a ，卢，叩) ，则其失效率函数为 坼，= 篙产 m 嘲 j i a n g 和m u r t h y ( 1 9 9 9 ) 提到失效率函数的一些性质。当z 比较小时，有 吣) 型筹 ( 1 一1 6 ) 当z 比较大时，指数w e i b u l l 分布e w ( a ，卢，? 7 ) 的失效率与二参数w e i b u l l 分布w ( 口，7 7 ) 的 失效率很接近。 一4 一 第一章引言 同时，我们也注意到 ( 0 ) = ，( o ) ，而 ) _ l i m 尚= 熙错 = 。l i m ( ( f l 一1 ) z l 一卢叩一p z 卢一1 + 卢( q 一1 ) t - f l x f l - 1e 7 - 咿- 1 ) 一1 ) 由上式可知 ，= 忙磊f l l 岩, a # i l , ( 1 1 7 ) m u d h o l k a r ，s r i v a s t a s v a 和f r e i m e r ( 1 9 9 5 ) 将失效率函数曲线的特征进行了如下概括： o o 一 葛 芑 o c n o o o o o 02 04 06 08 01 0 01 2 0 图1 - 1四种失效率函数的图像 ( 1 ) 若o l = p = 1 ，失效率函数值为常数叩，失效率函数图像为一条直线； ( 2 ) 若卢l 且a p 1 ( 8 l j | a f l 1 ) ，失效率函数图像为递增( 递减) 的形状； ( 3 ) 若卢 1 且口卢 1 ，失效率函数图像为浴盆形状； ( 4 ) 若卢 1 ，失效率函数图像为反浴盆、单峰形状。 图l 一1 形象地展示了不同参数取值条件时指数w e i b u l l 分布的四种失效率函数图像。 一5 一 1 4 本文的主要工作 1 4 本文的主要工作 本文主要对指数w e i b u l l 分布的定义和性质做了比较全面的介绍；推导了该分布下 参数的逆矩估计、极大似然估计和b a y e s 估计；并通过随机模拟，比较了指数w e i b u l l 分 布下几种参数估计方法的优劣。本文具体结构如下： 第一章介绍了指数w e i b u l 分布的产生与发展、定义及其性质。给出了该分布的r 阶 原点矩、分位数和众数，并讨论了不同参数取值情况下，指数w e i b u l l 分布的四种失效 率函数图像。 第二章采用不同方式构造枢轴量得到了二、三参数指数w e i b u l 分布的的逆矩估 计，并进行了相关数值模拟。 第三章推导了二、三参数指数w e i b u l l 分布的极大似然估计，并进行了相关数值模 拟。 第四章讨论了单参数指数w e i b u l l 分布e w ( a ，阮，1 ) ( 风己知) 、二参数指数w b i b u l l 分 布e w ( o c ，卢，1 ) 与e w ( a ，1 ，7 7 ) 和三参数w e i b u l l 分布各参数的b a y e s 估计，并通过数值模 拟，采取均方误差作为评价标准，比较了该分布的参数在逆矩估计、极大似然估 计和b a y e s 估计下的估计效果优劣。对于三参数指数w e i b u l l 分布的b a y e s 估计式，运 用m c m c 方法中的m e t r o p o l i s 和g i b b s 抽样来对三个未知参数进行数值模拟，采用遍历 均值作为参数的b a y e s 估计，并与极大似然估计进行了比较。 论文的最后部分，提出了指数w e i b u l l 分布有待进一步研究的一些问题。 6 一 第二章指数w e i b n l l 分布参数的逆矩估计 第二章指数w e i b u l l 分布参数的逆矩估计 2 1 逆矩估计的思想 我们知道矩估计的思想是用样本矩估计总体矩，例如用样本均值估计总体均值。 但随着分布函数表达式的复杂化和参数的多维性，利用样本均值和方差将难以得到我 们所需的参数估计式，而高阶的样本矩将使得表达式十分复杂。为了解决这些问题， 本节运用了逆矩估计法。 逆矩估计的思想是：首先通过对随机变量进行转换，得到一些特殊分布，例 如：f ( x ) 一u ( 0 ，1 ) ；再按照转换原则从原有的样本量中得到该特殊分布的伪样本 量。i 并利用这些分布的样本均值和方差，得到一组相对简单和低维的方程式，通过求 解这些方程式构造的参数方程组来得到参数的估计。 2 2 二参数指数w e i b u l l 分布的逆矩估计 假定产品的寿命x 服从两参数指数w b i b u u 分布e w ( q ，p ，1 ) ，有n 个产品进行寿命 试验，试验到全部产品失效为止，得到失效数据为五，恐，k 下面讨论两参数指 数w e i b u l l 分布参数的逆矩估计。 令y = f ( x ) ，由于产品寿命x 的分布函数服从标准均匀分布【厂( 0 ，1 ) ，则 1 e ( y ) = 去， ( 2 1 ) 从而由逆矩估计的思想有 即有 善( 1 一群) a = 又由于z = 一2 1 n f ( x ) 服从卡方分布) ( 2 ( 2 ) ，从而得到 n 五= 2 n i = 1 7 一 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 1 2 = 盘 、 砰 一 e一1 ，k n 汹 l n 即得 2 2 二参数指数w e i b u l l 分布的逆矩估计 在小样本的情形下，参考王伟( 2 0 l o ) 的逆矩估计方法，将( 2 5 ) 修正为 在此仅考虑由( 2 3 ) 矛- f l ( 2 6 ) 求解a 和p 的逆矩估计。由方程( 2 6 ) 可得 佗一1 代入方程( 2 3 ) h p 有 一一五inf丽e-xi-=l 1 一f ) ， ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 用牛顿迭代法求解方程( 2 8 ) ，则可得到参数p 的估计值，再代入( 2 7 ) 就可得到口的估 计。 下面讨论逆矩估计的存在性，令 则 椰) ：蚺e 一霹) 一羽一2 擘婴g c p ，= 喜e x p 一c 礼一 鞘7 1 , ) l n ( 1 一e = 1 ) l 1 一互夕， 一8 一 亿 2 礼 2 n2= 、l 砰 一 e l ，l n n： 口 2 2 一 n2 = 、l 、 砰 一 e l ，k n n：l 2 一 痢 n 斟 一i e 一 一 一一1 1 一- 【一n 兰n 酣 h 斗 h 伊 、， 1 u 一 一 n n 一 掣 一 一 e e n n = = 第二章指数w e i b u l l 分布参数的逆矩估计 当n 4 时，由于 e 一掣一三9 2 一三 o 从而躲9 ( 卢) 0 。a ud + u 下面分二种情形讨论姥恐夕) 。 情形一：五n ) 0 ，则k 倒 o ，p o ，由于 s ，( z ) ：一z 1 卢- 一1 e e - 一x z 。二 。 从而可知s ( z ) 为单调递增函数，则有 其中x ( 1 ) 为样本最小次序统计量，x ( n ) 为样本最大次序统计量。 下面根据x ( 1 ) 1 5 1 1 x 1 ) 埘，口l 寸i m 。e - x & ko ，牌e 一磙) - o ，则 x 岛) 碍，) 令6 ) = x 盆) 一x & ) + 卢l n 监x o ) 因 ，( 1 一e 靠鑫) ) e 一磙) 砟) l n x 。牌亡了表面翥而 = i h l nx 义 ( , 。0 ) 卢l _ i m 。l x ( 。0 ) 、卢x a ，一x & ， = 溉，辑一h 锫， l i m 茎峰：l i m 茎! 兰兰丝；茎墨2 1 1 兰盟 口_ 。o p i n 令出 卢- o o i n 軎尘 ( 1 1“( 1 ) ，x ) ( i n x n ) 一i n x ( z ) ) 牌当i 轰ni 群i n 2 。 口_ o 。炎一五 一1 0 一 堡2 一 巧 n 。触 以 m 一瓦 。：l 件条足满且 将 骞晕 h 肛 酬小叫牌嵩岛卜 e x p 0 一百n = 芸 0 综上可得，在x ( n ) 1 的情形下，礼i n ，方程夕够) = o 存在正实根。 下面通过四个例子来说明上述讨论。 例2 1 若产品的寿命x 服从指数w | e i b u l l 分布e w ( 0 6 ，0 6 ，1 ) ，通i 二- m o n t e - c a r l o 模拟得到1 0 个小于1 的样本，如表2 1 所示。 表2 - 1x 一e w ( 0 6 ，0 6 ，1 ) 时的1 0 个小于1 的样本 x 1 0 5 1 5 9 x 6 0 0 0 4 5 咒 0 0 0 0 5 x 1 0 7 6 4 7 3 ；3 0 1 5 3 5 x s 0 2 5 0 8 x 4 0 0 6 2 3 x 9 0 8 9 4 8 x 5 0 7 7 2 0x l o0 1 6 5 3 通过计算与拟合，我们得到函数g ( 卢) 的图像，如图2 1 所示。 ，l n- ( n - 1 ) i n x j 在图2 1 中，p = 0 6 7 1 2 1 对g ) = 0 ，这时x 7 扫1 一鸶= 0 5 1 4 3 ，这个例 i - - - - 1 n - ( n - 1 ) i n x j ，忆 子符合上一节讨论的若x ( n ) 0 ，方程夕( 卢) = o 存 t = 1 在正实根的情形。 1 1 2 2 二参数指数w e i b u l l 分布的逆矩估计 t o o d 口 t o i 畸 甲 图2 - 11 0 个小于1 的样本时逆矩估计夕) 的图像 例2 2 若产品的寿命x 服从指数w b i b u l l 分布e w ( 0 5 ，0 7 ，1 ) ，通过m o n t e - c a r l o 模拟得n 5 个小于1 的样本，如表2 2 所示。 表2 2x x 1 0 0 0 0 0 2 3 9 9 6 x 2 0 0 0 0 0 0 0 4 7 7 5 9 2 4 x 3 0 0 0 1 6 6 8 5 x 4 0 0 0 7 3 2 8 4 6 3 x 5 0 0 4 5 3 2 3 9 3 、于l 的样本 通过计算与拟合，我们得到函数9 ( 卢) 的图像，如图2 2 所示。 在图2 2 中，p = - 0 0 7 9 2 时g ) = 0 ，k 一 一号=-00644in ，这时方 n一( n 一1 ) 玛 程9 ( p ) = o t v 存在正实根。 y 图2 - 25 个小于l 的样本时逆矩估计9 ) 的图像 一1 2 第二章指数w e i b u l l 分布参数的逆矩估计 例2 3 若产品的寿命x 服从指数w 宅i b u l l 分布e w ( 5 ，0 3 ，1 ) ，通过m o n t e - c a r l o 模 拟得到1 0 个大于1 的样本，如表2 3 所示。 表2 - 3x e w ( 5 ，0 3 ，1 ) 时的1 0 个大于l 的样本 x 1 3 9 5 4 4 x 6 3 0 9 7 5 8 8 尥 1 1 5 9 6 8 x 7 4 6 6 8 2 弱 3 6 8 2 8 x s 4 3 4 4 4 蜀 3 1 0 5 4 2 5x 92 9 6 9 0 x 5 1 0 8 7 2 1 x 1 0 1 4 6 8 5 3 通过计算与拟合，我们得到函数g ) 的图像，如图2 3 所示。 在图2 3 中，卢= 0 4 1 9 3 时g ) = 0 ，说明方程g ( p ) = o 存在正实根。 图2 3 1 0 个大于1 的样本时逆矩估计g ) 的图像 例2 4 若产品的寿命x 服从指数w e i b u l l 分布e w ( 0 8 ，1 5 ，1 ) ，通过m o n t e - c a r l o 模拟得到2 0 个样本，如表2 4 所示。 表2 4x e w ( 0 8 ，1 5 ，1 ) 时的2 0 个样本 x 1 0 1 5 4 0 x , 1 0 2 5 6 3 尥 0 7 3 1 1 x 1 2 0 0 9 7 7 咒 0 2 9 9 2x 1 30 8 9 5 0 x 4 0 4 3 4 9 x 1 4 0 8 1 8 3 x 5 1 5 4 6 6 x 1 5 0 6 8 8 2 拖 0 4 3 4 8x l o 1 0 3 5 4 x 7 0 4 9 0 5x 1 70 0 5 6 0 x 8 1 9 0 8 8 x 1 8 0 0 6 3 9 硒 0 6 5 3 0x 1 90 0 6 7 4 x , o 1 1 4 2 5 x 2 0 0 7 9 5 4 1 3 2 3 三参数指数w c i b u l l 分布的逆矩估计 通过计算与拟合，得n g ( 卢) 的图像，如图2 4 所示。 在图2 4 q h ，卢= 1 6 1 3 2 时g ( 卢) = 0 。例2 3 和例2 4 符合上一节讨论的x ( n ) 1 , n 4 w t ，方程g ) = o 存在正实根的情形。 图2 42 0 个样本时逆矩估计9 ( 卢) 的图像 2 3 三参数指数w e i b u l l 分布的逆矩估计 假定产品的寿命x 服从三参数指数w e i b u l l 分布e w ( o l ，p ，7 7 ) ，有n 个产品进行寿命 试验，试验到全部产品失效为止，得到失效数据为五，恐，下面讨论三参数指 数w e i b u l l 的逆矩估计方程的构造。 令y = f ( x ) ，由于产品寿命x 的分布函数f ( x ) 服从标准均匀分布u ( 0 ，1 ) ，则 1 e ( y ) = 去 ( 2 - 9 ) 由于z = 一2 i n f ( x ) h t 从卡方分布) ( 2 ( 2 ) ，从而有 e ( - 2 i n f ( x ) = 2 由( 1 1 0 ) 知指数w e i b u l l 分布函数的中位数为 删c 耻叩( h 南) 吉 由( 2 9