（概率论与数理统计专业论文）变点的统计分析及其在金融中的应用.pdf

摘要 摘要 证券收益率的统计规律或分布形式是金融市场的基本性质之一。大量实际 的高频金融数据表明，收益率的分布远远偏离正态分布，具有尖峰、厚尾特征。 在研究过程中，人们逐步发现稳定分布比正态分布更适合描述收益率的分布。 本文采用稳定分布的性质对高频上证指数收益率的分布作了标度分析，求得特 征指数为1 4 8 ，说明我们在分析证券指数分布时可以用稳定分布，而非正态分 布。 这些是我们比较关心的一方面。另一方面，由于金融市场的多变性，我们 也需要检测在一定时期内参数是否发生变化，在统计上称之为变点问题。因此 如何检测金融数据的变点就显得尤其重要。由于稳定分布没有分布函数显式表 达式，除正态分布外，二阶矩不存在，这给变点的检测带来一定的困难。本文 用经验特征函数给出了稳定分布中有关参数变点的相合估计，相合估计量的强 收敛速度，并给出了检测金融市场突变性的应用。 特别地，我们考虑了一般独立序列中均值变点的检测和估计问题，而不再 局限在稳定分布族中。在二阶矩存在的条件下，我们把已有的变点估计的弱相 合改进为强相合，并将此结论推广到负相关序列中。 关键词：稳定分布高频数据标度分析参数估计变点估计强收敛速度 负相关序列 a b s t r a c t a b s t r a c t 辩辐s t i e 舔l 菇w 锵妞t y p e 描d i 姗i b u t i o ni st l i eo 勰o fc h 粼t e r so ff i n a l l c i a l 耀鑫呔载。众l 嚣g e 辫勰楚秘ro fp 魏葭i e 鑫l 囊i 尊- 堍聪麓锣d a 埝姥。蹒斑鑫耋纛e 燕s 菠b 趣i 避o f y i e l dd o e s tf o l l o w 纰n o 潮a l 趣s l 矗姒i o 羚研也黔嫩激d 雌_ c k 镪i le h 凇饴r i e s ， i nt h es t u d y ，p e o p l e 泓a d u a l i yf i n dm a ts t a b l ed i s t r i b u t i o ni sm o a p p r o p r i a t ei n e s e 纛绺i 玲嬉 臻瘘泰蕊基越i o no fy i e l 纛氇2 i 琏n o 张觳a l 纛i s 拄i b 娃t i o 致，w e 建p p l 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t i m a t 尊t e h 繇鬈毒p o i 擞融s t a b i 譬夔靖r 灞落i o nw i t 瓤p 黜e 砉e r ss h i 趣w h a ti sm o r e ，t h es t r o n g = c 鼹￥e 禧e 葵e 棼f 蠢巷弧o b 滴耐，勰匹氇鼹氇ee o 致l 毽s i o 鼗i s 鑫辨l i 谂曩捷凝| 爨e 吞蠹嫦逸 盎n a n c i a ll 骢# i r k e t 。 e s p e e i a i l y w ec o n s i d e r e dt h ed e 抛c t i o na n de s t i m a t i o no fc h a n g ep o i n tw i t h 黼e 黼s 毯蠡漱蠢话 毒辫毪& 懿s 械e s ，w 怒。越凌嚣魏y 羚t h 菇so f 嘲孙l e 蠢s 哦矗躐i o n ，赫t 赫 e o n d i 墩避也鲢凌os 裁。瓣硅。掇露怒滋e 醛瓢i 戏文辩i 耀蓼转v el 融龄呔憋i 蹴懿游o f e s t i m 龇o r so fc h a n g ep o i n ta n ds h o wt h es 眦n gc o 煅i s 蝴k e ，也e n 骢懈o b t a i ns i m i l 射 c o n c i u s i o ni nn e g a t i v e l ya s c i a t e ( n a ) r a i l d o mv a r i a b l e s s e r i e s k e yw b 穗s ：s 纨b l ed i s 颤转蠛i o 氇k 曲- 懿唾毽越yd 鬣垂譬艇鑫l y s i s ，p 鑫薹蓬糙摄e e s t i m a t i o n ，c h a n g e - p o i n te s t i m a t i o n s t r o n gc a n v e 嘴l 。n c er a 毫e ，n a s e r 耋e s i 王 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：蜱 沙伊罗月牛日 第l 章绪论 1 1 研究动机与内容 第1 章绪论 对于上证指数收益率丽言，十几年前的每墨历史数据表明收益率遵循正态 分布。随着电脑科技的日益迅猛发展，电脑容量不断提升以及计算速度不断加 快，到如今，获得每秒的数据已成为可能。从数据的信息量来看，高频数据能 够捕捉到市场更多的动态信患，然丽每墨的数据无法刻画股票市场中当天的所 有行为。众所周知，股票市场的波动非常之大。对于股票来讲，有的甚至在当 天经历了暴涨暴跌的行为，因此当天的数据只反映了这只股票的平均价格，无 法刻画具体的价格波动。然丽高频数据含有市场的大量信息，但是同时会带来 不利的因素。例如带来更多的噪音。那么以此提出一个阍题：这样的高频数据 是否仍旧遵循正态分布? 因为暴涨或暴跌行为在股市中较常见，换句话说，正 态分布能否刻画股市中暴涨暴跌行为? 进一步分析可知，由于暴涨或暴跌的几 率较大，故遵循的分布其尾概率较大，群其密度函数具有厚尾特征。根据正态 分布的尾概率相对很小或其密度函数尾部呈指数级衰减，因此正态分布不能描 述含有暴涨暴跌的高频数据的收益率分布。另外，过度的暴涨暴跌也会导致分 布过度的偏离均值，从分布的密度函数来看，具有尖峰形状。综合这两种厚尾 与尖峰特征，歪态分布无法刻薅，然而稳定分布能够很好遣亥l 蘧。这就是为什 么我们用稳定分布来描述高频数据的收益率分布。接下来的问题是如何寻找有 效与实用的方法来估计稳定分布的参数，这是本论文的第一个研究出发点。 其次，。由于金融市场的多变性，我们也需要检测在一定时期内参数是否发 生变化，在统计上称之为变点阀题。因此如何估计金融数据的变点就显得尤其 重要。结合上述的第一个问题，就是如何对稳定分襁参数变点进行估计。由于 稳定分布没有分布函数显式，除正态分布外，二阶矩肯定不存在，这给变点的 检测带来一定的困难。因此如何寻找有效的检测方法显得很重要。虽然稳定分 布豹密度函数没有曼示表达式，但是其特征函数有比较篙洁的表达式，丽且密 度函数的峰值很容易求出。于是根据这两个特征，给出了稳定分布中有关参数 变化时的变点估计，这种检测方法是独特与实用的，进一步获得的强收敛速度 第l 章绪论 与分布的矩无关。这就是本文的第二个研究擞发点。 另外，考虑一般的均值参数变点问题，这在实际中有着广泛的应用。比如 某政策的出台是否对股市的平均波动有影响。又如在质量控制中如何判断( 检测) 产品的平均质量是否改变( 在何时改变) ，这样做的好处是避免机器出产出更多 的不合格产品，从而减少损失。国外文献大都是在二阶矩存在的条件下考虑均 值变化导致的变点的检测问题。获得的有关变点估计的结果都是弱相合的。在 大样本理论中，我们还关心这种估计是否几乎处处收敛的，即是否是强楣合的。 因此如何把这些弱相合结采改进为强褶合在不同的相依德形是我们的第三个研 究出发点。 进一步来说，对于稳定分布无二阶矩下可以获得参数交点估计的强收敛速 度，那么在二阶矩存在下对于特别的均值参数变点篮计，也应该具有强收敛速 度。那么该如何证明? 值得说明的是，我们在证明过程中必须依赖与强相合的 结论。在这种前提下，如何证明更快的强收敛速度，并运用此强收敛速度发展 交点的更有效的迭代估计，是我们第疆个研究出发点。 总之，我们的第一个研究内容是如何寻找高效实用的方法估计稳定分布的 参数；第二个研究内容是如何估计稳定分布参数变点，并研究变点估计的大样 本性质；第三个研究内容是对予广泛被研究的均值变点估计，能否把现有的弱 相合结果改进为强楣合；第莲个研究内容是在第三个研究内容的基础上把强相 合的结论改进为强收敛速度，并利用此强收敛速度研究更有效的迭代估计。对 于上述的前三个研究内容，我们已经顺利地解决，所得结果已被相关杂志发表 或录用。对于第四个研究内容，我们已研究完毕，所锝结果已投相关杂志。 1 。2 国内外研究进展 有关稳定分布的概念首先由p a r e t o 提出来的，后经l e v y 的发展，故有称其为 p a r e t o 或l e v y 分布的。物理中大都称其为列维( l e v y ) 分布。统计中习惯称为稳定 分布。 稳定分布理论的深入研究首先来自于应用中。早在2 0 世纪初， h o l t s m a r k ( 1 9 1 9 ) 就用稳定分布拟合天文中的重力场分布。随后 c h 张慨s e 娃a r ( 1 9 4 3 ) 进一步研究了稳定分布在天文与物理中的应用。其次在经济 与贸易中，稳定分布可以用作价格变化的概率规律模型。著名的经济学家 m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 和f a m a ( 1 9 6 5 ) 对此价格行为作了详细的论述。 有关稳定分布的理论研究同时也在进行。著名的统计学家g n e d e n k o 和 2 第l 章绪论 k o i m o g o r o v ( 1 9 5 4 ) 考虑了独立随机变量和的极限分布性状，其中包括了稳定分布 的刻蘧与尾概率的性质。& l l 1 9 6 6 ) 对此在理论与应用上作了详细描述。其中 值得一提的是，j o s h u ac h o v e r ( 1 9 6 6 ) 获得了有关稳定分布的重对数律。接下来的 研究是如何估计稳定分布的参数。首先研究的是稳定分布中特殊情形c a u c h y 分 布er o 妞n 碗稻， f i s k f 和蕾l a n u s ( | 9 6 4 ) ，b a 雠髓( 1 9 6 6 ) 以及b l o c h ( 1 9 6 6 ) 分别给 出了c a u c h y 分布的参数估计。随后展开了对稳定分布参数估计的研究。最有名 的是f 锄a 和r o l l ( 1 9 6 8 ) 给出了对称稳定分布的一些性质，然后在均值存在的条 件下给出了参数估计方法。随屠r o l l ( 1 9 7 1 ) 进一步讨论了对称稳定分布参数估计。 j 锄e sp r e s s ( 1 9 7 2 ) 去掉了稳定分在中对称性的假设，剥用经验特征函数给出了一 般的稳定分布参数估计方法。d u m o u c h e l ( 1 9 7 3 ) 采用了极大似然方法。p a u i s o n ， h o l m b 和 l e i t c h ( 1 9 7 5 ) 介绍了另一种方法，通过对偏差的重正则后的积分最 小化给出参数的估计。在模拟过程中，需要产生稳定分布的随机数，针对这点， c h a m b e r s ，m a l l o w sa n ds t u c k ( 1 9 7 6 ) 给出了具体的方法。此后，参数估计的方法 不断发展。w i e n e r ( 1 9 7 5 ) 和k o u t r o u v e l i s ( 1 9 8 0 ) 利用回归型方法给出稳定分布的四 个参数的估计。r a o 毽ll e p a g e ，黜。( 1 9 8 1 ) 利用秩统计量给出了稳定分布申特征指数 参数的弱相合估计。m c c u l l o c h ( 1 9 8 6 ) 利用经验分位数估计稳定分布参数。近年 来参数估计方法不断被更新与完善。基于模拟矩阵( s m m ) 方法，参考d u m ea n d s i 魏g l 呶撵( 1 9 9 3 ) 。基于拟似然函数方法，参考f e 撒强d e za n ds t e e l ( 1 鲫8 ) 和醚a n s e n ( 1 9 9 4 ) 。基于特征函数的傅立叶变换，参考m i 纰i k ，r a c h e v ，d o g a n o g l ua n d c h e n y a 0 ( 1 9 9 9 ) 。基于c o n v e n t i o n a lm e t h o do fm o m e n t s ( c m m ) 的方法，参考 g a l l 黻l 雒dt a u c l l e n ( 1 9 9 9 ) 。基于c o n s 鼍r a i n e di n d i r e c t 估计，参考c a l z 。l a r i ， f i o r e n t i n ia n ds e n t a l l a ( 2 0 0 4 ) 。 我国的学者对稳定分布的参数估计也作了一些研究。例如缪柏其，赵林城 ( 1 9 8 3 ) 给出了稳定分布的性质。顾娟和茆诗松( 2 0 0 2 ) 采用了d u 箍e 刹 s i n g l e t o n ( 1 9 9 3 ) 方法，褥到估计的强楣合结果。易艳红和周石鹏( 2 4 ) 采用了 m c c u l l o c h ( 1 9 8 6 ) 方法对上海交易所的综合股指的分布作了拟合研究，反映了金 融数据的尖峰厚尾性。汪秉宏( 2 1 ) 等对香港恒生指数涨落的统计规律进行了标 度分析，德到分布尾部的下降特征以幂函数规譬l 乍指数下降。刘群，变晓平和 葛春蕾( 2 0 0 6 ) 利用标度分析验证了上证指数收益率的分布为稳定分布，且得到特 征指数为1 4 8 。 就变点来说，变点的应用葚誊常广泛。最近2 0 年来，实际中遇到锻多重大闯 题，如故障的检测，诊断与监控；复杂系统的安全性，包括飞机、飞船、火箭 等；质量控制；自然灾害的预测，包括地震、海啸等；生物制药的监控。解决 3 第1 章绪论 好上诉问题将会给我们在人生安全、生态环境以及经济方面带来巨大收益。上 述问题中一个共同点是如何检测在这些过程中的突然的变化，这变化将会导致 结构的变化。为研究方便，习惯上称这变化时刻为变点。在这方面的专著 b a s s e v i l l e 和n i k i f o r o v ( 1 9 9 3 ) 给出了具体的描述。此专著除了在理论上给出了变 点的统计推断方法，而且还给出了具体的应用。变点方面还有另外一本专著 c s o 曜oa n dh o r v a t h ( 1 9 9 7 ) 。此专著更多的是从理论上讨论有关参数变点如均值变 点，回归参数变点，方差变点的统计推断与大样本性质。 具体说来，有关变点问题的研究大致从两个方向去研究。一是分布变点。 二是回归函数变点。分布变点的研究首先考虑的是有关非参数统计推断，参见 w o l f e 和s c h e c h t m a l l ( 1 9 8 4 ) ，谭智平，缪柏其( 2 0 0 0 ) ，谭智平，缪柏其( 2 0 0 1 ) ， f e 赡e r ( 2 0 0 1 ) 。对于多个变点情形，缪柏其，赵林城，谭智平( 2 0 0 3 ) 运用信息量的 方法给出了变点的估计。进一步，在不同的分布假设条件下，一些学者对变点 作了进一步分析。在指数分布下，参见k a j l d e ra n dz a c k s ( 1 9 6 6 ) 。在g a m m a 分布 下，参见h s u ( 1 9 7 9 ) ，a s o k ar 锄a n a y a k e ( 2 0 0 4 ) ，谭长春，缪柏其( 2 0 0 5 ) 。在正态 分布下，参见葛春蕾，史晓平( 2 0 0 8 ) 。在稳定分布下，参见史晓平，缪柏其，葛 春蕾( 2 0 0 8 ) 。 对于分布变点中一种特殊情形均值变点，其也有着广泛的应用。最先研究 的是有关正态分布均值变点的估计，参见c h e m d fa n dz a c k s ( 1 9 6 4 ) 。 相关的统 计推断方法参见w 6 r s l e y ( 1 9 7 9 ) ，j 锄e s ( 1 9 8 7 ) ，s r i v a s t a v aa n dw b r s l e y ( 1 9 8 6 ) ，陈 希孺( 1 9 8 8 ) 。放宽同分布的条件，在独立情形下，有关均值变点的统计推断参见 s e na n ds r i v a s t a v “1 9 7 5 ) ，h a w k i n s ( 1 9 7 7 ) 。有关均值估计的相合性等大样本性质 参见h i n k l e y ( 1 9 7 0 ) ，b h a n a c h a r y a ( 1 9 8 7 ) ，y a o ( 1 9 8 7 ) 。进一步放宽独立的条件， 对与有均值变点的线性过程序列，b a i ( 1 9 9 3 ) 利用最小二乘方法给出了变点的估 计与在对立假设下变点的渐近分布。在相依情形，k o k o s z k aa n dl e i p u s ( 1 9 9 8 ) ， 获得了弱收敛速度。对于强混合与强相依过程，l a v i e l l e ( 1 9 9 9 ) 考虑了多个变点估 计的强相合性。在强收敛速度方面，c a r l s t e i n ( 1 9 8 8 ) 用非参数方法获得的速度可 任意接近1 n 2 。史晓平，缪柏其和葛春蕾( 2 0 0 8 ) ，以及m i a 0 ，s h ia n dw u ( 2 0 0 8 ) 在二阶矩存在下独立，n a 以及相依情形获得了强相合性与更快的强收敛速度， 改进了已有的结论。 回归函数变点的研究首先是考虑斜率变点，m i a o ( 1 9 8 8 ) ，缪柏其( 1 9 9 3 ) 讨论 了相关的统计推断。后来斜率变点被推广到更一般的s h a r p 变点。简单来说，s h a r p 变点指的是回归函数在变点处不连续或其某阶导数不连续。有关s h a 印变点的研 究大致分两种情况。针对于解释变量的两种情形，即固定设计与随机设计。 4 第l 章绪论 在固定设计下，e s t e r b y ( 1 9 8 1 ) 研究了回归函数s h 唧变点的统计推断。在交 点估计方面有很多不圈的方法。一种是核估计方法，参见m 蠢l e r ( 1 9 9 2 ) ， w u ( 1 9 9 3 ) ，l o a d e r ( 1 9 9 6 ) ，k e e - h o o n ，j a y o n g ，c h e o l - w b o ( 2 0 0 0 ) ，h u h ， c a r r i e r e ( 2 0 0 2 ) ，。其次是小波方法，参见c h e o l w 0 0 ，w b o c h u l ( 2 0 0 4 ) 。也有用累 积和c u m u l a 圭i v es u m ( c u s u m ) 方法如w b l 龟a n g ( 2 0 0 5 ) 。另外局部多顼式方法也 被运用到变点的检测中，如p e i h u 1 9 9 8 ) ，h u h ( 2 0 0 2 ) 。在图像中s h a 磴变点的应 用，比方说曲面形状发生改变，可参考p e i h u aq i u ，b r i a ny r 觚d e l l ( 1 9 9 7 ) 。 在随机设计下，大都采用小波方法估计交点。w 赫惑1 9 9 5 ) 利用连续的小波变 换( c w t ) 估计瓢a 翠变点。r 绷i m o n d o ( 1 9 9 8 ) 在w 弧g 的基础上给出了模拟并解 释了为什么采用连续的小波变换方法。c h e o l 、o o 和w - 0 0 c h u l ( 2 0 0 6 ) 获得了 s h a 邛交点小波估计的较快的弱收敛速度。 3 内容安排 第一章简要介绍稳定分布与变点理论的相关背景与研究现状，以及对作者 所作工作作简要介绍。第二章给出相关的概率不等式，这将会被应用到变点的 统计分析中。第三章叙述稳定分布参数估计方法，并介绍作者在这方面所作的 工作。第蹬章包含了作者的主要研究内容，体现在分析稳定分布参数变点估计 与均值变点估计的大样本性质中，并介绍了有关s h 哪变点的内容，这是l 乍者未 来的研究对象。 1 4 创新之处 1 在稳定分布参数估计方面，将标度分析运用到稳定分布参数估计中，并 将理论应用于上证指数收益率分布的刻蘑中。该成果己发表在核心杂志。作者 对这方面正在作进一步的理论研究，相信不久会有所突破。 2 首次提出了稳定分布参数变点问题，并加以研究，获得了很好的结论。 该成果已发表在中国科学杂志上。 3 。二阶以下矩下证明了在独立或相依情形均值变点估计的强相会与强收敛 速度，改进了弱相合的结论，进一步发展了迭代搜寻变点的方法。该成果将发 表在科大学报杂志，其它相关成果已投a n n a l so ft h el n s t i t u l e o fs t a 两e a l m a t h e m a t i c s 。 5 第2 章相关概率不等式 第2 章相关概率不等式 2 1 独立情形 这节中给出有关鞅与独立情形下的相关不等式。先考虑鞅情形： 令 以，4 ，门1 ) 为一下鞅，x 0 。 引理2 1 ( d 0 0 d 不等式) 舻 磷z x ) j n 砒h 以卯e j 以l 。 证明参考文献 7 4 。此引理将被应用在定理4 1 、4 2 、4 3 的证明中。 下面给出独立情形下的随机变量最大部分和的矩不等式： 引理2 2 ( m a r c i n k i e w i c z - z y g m u n d 不等式) 随机变量墨，以独立，且它们均值都为o ，对，1 ，记一= 置，有 f = 1 e ( 麟i f ) 7 饱l 最j 7 。 证明参考文献【7 4 】。此引理将被应用在证明均值变点强收敛速度上。 引理2 3 ( r o s e n t h a l 不等式) 随机变量五，以独立，且它们均值都为0 ，对，2 ，有 e ( z ) c ( ( 骈) “2 + e iz i ，) o 口l，= i j = i 证明参考文献 7 4 】。此引理将被应用在证明均值变点强相合上。 2 2 相依情形 我们主要介绍负相关序列相关不等式。 定义2 1 称随机变量，一( 门2 ) 称为n a ，如果对于 1 ，2 ) 的任何两个 不相交的非空子集4 和4 ，都有 c o v ( 石( 置，4 ) ，正( x ，4 ) ) o ， 6 第2 章相关概率不等式 其中彳和五是任何使上述协方差存在的对每个变元均非降( 均非升) 的函数。 称随机变量序列墨，l l 是n a 的，如果对任何自然数椎2 ，置，鼍都是n a 的。 n a 序列方很多性质与独立序列相似，其中苏淳获得了n a 序列的r o s e n t h a l 型不等式如引理2 4 。 引理2 。4 ( s 毽e 耗不等式) 随机变量墨，。，以是n a 序列，且它们均值都为o ，对，2 ，记最。= t “， f = o 置霉最，若成= s u p le l 置i 2 ， 证甓参考文献隧7 】。此孳| 理将被疲用在证明均值交点强相合。 7 1鼍 e 一硝 +p 嘶 。蔺 q 0 ；，7 是偏移参数，穆卜l ，l 】，当7 7 篇l ，分布完全偏向右边，赍刁= 一l ，分布完全偏向 左边，当露= 时，分布对称；为位置参数，若一阶矩存在时为均值。以下我们 介绍稳定分布参数的标度估计方法。 8 第3 章稳定分布的参数估计 对稳定分布& ( ，0 ，) 通过f o u r i e r 变换求出概率密度 ( x ) 2 考f ：e x p ( 一觚) e x p ( 一口l ，r + 驰f ) 出 ( 3 2 ) = 喜f c o s ( 一盯叫) e x p ( 瑚 于是 ( ) = f ( 1 瑾) ( 卿) ， ( 3 3 ) 其中 r ( x ) 篇r “咖 ( 3 4 ) 稳定分布具有可加性质：几个同分布的稳定分布的随机变量和的分布中特征 指数不变。即，设五，以同分布服从疋( ，7 ，) ，则 z & ( 倍，刁，掣) ( 3 5 ) 在这里我们一般考虑的是稳定分布是对称的，翟= o 。为研究方便，我们不妨 假定此稳定分布的均值存在，且为o ，即= 0 ，否则z 用置一代替。实际中 可用样本均值贾估计。 取嚣= & ，考虑& 时问内的收益率的和的概率密度： m 皿) = 去e e x 醑触) e 啾& ) ”钢印n 廨 ( 3 6 ) 类似于( 3 3 ) ，得到 厂( o ，) = r ( 1 口) 嬲( f 口) 口】( 3 7 ) 对上式两边取自然对数 l n ( o ，) = 【hr 1 ( 1 ，搿) 一i n 靠口一l n 】一二l n f ( 3 8 ) 从上式可看出l n 厂( o ，f ) 与l i l 缸有线性关系，分别取不同的& ，对厂( o ，) 采 属核密度估计，可褥到回归系数的最小二乘彳砉计，其斜率估计的负倒数为特征指 数g 的估计。代入( 3 8 ) 可网时估计出。此估计方法就是所谓的稳定分布参数的 标度估计。 3 2 实际应用 下面分析2 0 0 3 年间隔十秒的上证指数序列置，从1 月0 4 囡到8 月5 日，每 9 第3 章稳定分布的参数估计 天上午9 ：3 0 一1 1 ：3 0 ，下午1 ：0 0 3 ：o o 为交易时间，间隔1 0 秒。总共1 9 0 9 0 6 个 点。 定义收益率z ( f ) 量l n 置+ 。一l n 置。图3 ，l 可以看出有大量的波动。在实际的观 察中，我们得到样本 z ( f ) 均值为l + 7 奎l o ，由此对参数估计为o ，且我们认为 收益率的概率密度围绕均值对称的，即7 7 = 0 。则 z ( f ) 近似服从叉( ，0 ，0 ) 。接着 估计参数髓，。 。 l l 。 f ，。：t ，l 。t - i ，1 l 1i ：p4 l ：+ ： 豳3 。董间隔l o 秒上证指数收益率的序列( 2 9 0 2 。l 。2 4 2 0 0 2 8 。5 ) 让，= l ，2 ，4 ，8 ，1 6 ，3 2 ，6 4 ，1 2 8 ，利用( 3 9 ) ，通过最小二乘方法估计出斜率为 一0 6 7 4 。于是我们获得特征指数为饶= i o 6 7 4 1 4 8 。代入( 3 i o ) 并令= l ，可 得爹= 8 7 1 0 。图3 2 与图3 。3 分别给出了& 与k 厂( 舅，& ) ，黻a x l 建厂戈，尉) 之闽 的关系。 l o s s 、 曩 第3 章稳定分布的参数估计 弱 8 卜 扁 z 瓣 腿3 2 不同础对应概率密度( x ，f ) 的自然对数 图3 3l n & 与概率密度l n ( x ，f ) 最大值的线性关系 第4 章变点估计的大样本性质 第4 章变点估计的大样本性质 4 1 稳定分布参数变点的估计 第3 章讨论了稳定分布的参数估计，用以拟合金融数据收益率的分布，这 些是我们比较关心的方面。另一方面，由于金融市场的多变性，我们也需要 控制在一定时期内参数是否发生变化。现在我书j 的霹的是如何检测稳定分布是 否发生变化，即稳定分布的参数是否变化。有关这方面变点估计强收敛结果都 是二阶以上矩存在的条件下获得的。如f e 唱e r ( 2 0 0 1 ) 。在这里我们考虑的稳定分 布除正态分布外没有二阶矩，获得的强收敛速速度可任意接近于d ( 1 ，聆”2 ) 。 假设( 3 1 ) 式中稳定分布的特征指数口满足l g 2 ，关于均值对称。下面 我们考虑稳定分布孛口或刻度参数变化导致的变点问题，即是否发生变化及 变化时刻。若均值己知，当口或改变时，密度函数厂( x ) 在处的值( ) 发生 变化，我们和用密度函数的核估计来估计该点的值。若均值未知，利用经验特 征函数估计该点的值，并进一步讨论了估计的相合性与收敛速度。其次讨论了 均值变化导致的变点问题，若均值发生变化，相应变点前后特征函数的参数将 变化，利用经验特征函数给出了变点的估计，获得了类似的收敛速度。最后给 出了检测金融市场突变性的应用。 首先我们讨论厂( 声) 与参数g 和多的关系，籍此绘出变点估计的方法。 先考虑( 3 3 ) 式中r ( x ) 的单调性。当o x 2 p 十1 ) 时，r ( x ) 单调递减，当 2 p ( 口十1 ) z 2 时，i ( z ) 单调递增。所以1 口2 ，古r ( 古+ 1 ) 关于掰单调递减， 因此若口改变，( 3 3 ) 式中的厂( ) 必定改变。 接下来对特征函数利用m a c l 甜r i 疑公式： g o ) 拳l + f ，+ d ( f ) ， f o + 。 ( 4 1 ) 假定稳定分布是关于均值对称的，即，7 = 0 。先讨论掰和其中一个参数发 生变化对应交点的估计，其次讨论无论穗和是否变仡而参数变化对应变点 的估计。假设独立稳定分布序列 五，t & ( 厦，o ，“) ，t + l ，以( 屈，o ，：) ，后。为未知的变点， f + = 庀。n ，其中f 为变点的位置。假设变点的位置不在一开始或接近陀处。具 第4 鬻变点估计的大样本性质 体地，设存在蕊和如，满足o 磊 f 疋 1 。假设变点是由下列情形之一下发 生的： ( 1 ) 已知，夕不变，g 发生变化，即q 喾； ( 2 ) 已知，口不变，夕发生变化，即屈案殷； ( 3 ) 未知，不变，口发生变化，即磷口2 ； 未知，搿不交，发生变化，部磊雾愿； ( 5 ) 发生变化，即鲳鹃； 参数髓或者变化对应的厂( ) 变化分别记为石( ) 和石( ) ，参数变化对 应的g ( f ) 分别记为蜀( f ) 和g ：( f ) 。记膏= 二。置船，s = ：，五， 艿= 戚珏( 硪，l 一谚) ，p ( ) 翻z ( ) 一五( ) | ，e 为与拜无关的常数，每次出现可以 不同。记 = 掣【凑“玲击。毫一捌， m ) k = 掣 丢扣 ( 置厕) _ 击，蠢啪( 鼍嘞】， ( 4 3 ) 职= 掣【妻喜e x p 溉耻去，扣p ( f 】， ( 4 4 ) 其中以为窗宽，( ) 为示性函数，f 取不为l 的常数，乞的取法相当于魄。 在情形( 1 ) 和( 2 ) 下，定义变点的估计为毛= m i n ( 意：l 以l 器m a ) ( 鲥。iu1 ) 。 在情形( 3 ) 和 ) 下，定义交点酶估计为恕= m i n ( 惫：| 圪| = m a x ，。| k | ) 。 在情形( 5 ) 下，定义变点的估计为镌= 撕n ( 老：l 磁净m a x ；型。| 氍1 ) 。 令端毛栉，幺嚣也疗，蟊= 如玎，分别为对应变点的位覆估计。 首先分别考虑有参数货或者变化导致的交点位置估计，郎考虑在在情形( 1 ) 和( 2 ) 下变点位置估计。盘于搿或者变化必将导致密度函数在均值处的值 ( ) 发生改变( 由前面叙述的( 3 3 ) 式的分析可知) ，因此这里变点位置f 的检测 和估计是根据变点前后厂( ) 的变化来确定的。具体如下： 定理4 1 设为已知参数，口或者之一发生变化，即情形( 1 ) 或( 2 ) ，设 臻岭和岭) 。 ( i )若聍霹_ 。，则t 啼f ，i np r o b 。 ( i i )若l o g 珂( 以瑶) o ，贝0 蟊一f ，a s 第4 颦交点估计的大样本性质 ( i i i )若存在g ，满足o l ，使得l 盛呸，群2 2 ，且9 g l ，2 ，以及 o 牮l l 口+ ，则矿( 2 一r ) 一o ，a s ( 这里和d 2 分别为变点前后 稳定分布的特征函数) 。 若均值变化，由( 4 1 ) 式可知特征函数必将发生变化，于是我们也采用了经 验特征函数来估计变点前后的特征函数，从两给出了变点位置估计的性质。具 体如下： 定理4 3 设发生变化，即在情形( 5 ) 下，“_ 0 ( 甩一o o ) 。 ( i )若筇一。，则磊of ，i n 幽b 。 ( i i ) 若l o g 斑( 纷) 争o ，贝i 乞一f ，a s 。 ( i i i )若存在9 ，满足o g l 2 ，且l o g ( 刀卜2 9 ) 一o ，则，2 9 ( 岛一f ) 一o ， a s 注：f 。兹佟焉相当予定理霹。l 中的魂。 定理4 。l 、定理4 。2 、定理4 3 的证明请见附录。 下面我们考虑上述定理4 3 在金融序列中检测变点的应用。 我们分析2 0 0 2 年6 月2 1 圈至2 4 目间隔1 0 秒的上证指数序列 z ) ，期闻 5 胃2 2 墨和6 月2 3 爵分别为周六和周尽，股市 爨式。因此6 胃2 l 圜至2 碡嚣实 则为6 月2 1 日与6 月2 4 日这两日数据，每同有1 4 4 7 个收益率，共2 8 9 4 个收 益率，对每个收益率放大1 0 0 0 0 倍，即定义收益率 z l = 1 0 0 0 0 x ( i n 鼍+ 1 一五) ，f = 1 ，2 8 9 4 ，( 4 5 ) 其中真实交点位置可由股奇实际情形( 下面会解释) 确定为f + = l 2 ，对于变点 七= 1 4 4 7 。按照定理4 3 ，f 。在满足一定条件下，收敛速度在以一时可以非常 接近胛一坨。但我们给出的是大样本性质，而实际中”不可能很大。在我们的实证 1 4 第4 章交点估计的大样本性质 中，数量为2 8 9 4 ，为方便选择乙，令气；以，为选取合适的s ，分别取s 为 l 1 2 ，l ，6 ，l 3 ，2 5 ) ，得到变点估计恕为 1 3 5 l ，1 4 4 4 0 ，1 4 5 0 ，1 4 4 3 ) ，我们发现织在s 取较小值时，离真实值是= 1 4 4 7 较远，针对这个数据我嬲取一个比较折中的值， 即取s = l 3 ，气= ，l 卅乃，如= 1 4 5 0 时效果较好。当然，s 的选取不是唯一的。 分析存在变点的原因，我们认为是由于6 月2 4 日国务院决定停止国内证券 市场减持国有股以及发布关于迸一步规范上市公司增发新股的通知( 征求意见 稿) ，造成股市当日开盘就一举突破了1 7 0 0 点，当墨收盘1 7 0 7 点，全豳涨楼 9 2 5 ，9 成以上的股票涨停，成交飚升至9 0 0 多亿元。对于前面l 。1 4 5 0 个收益 率，我们做出了直方图并分别用正态分布与稳定分布进行了拟合，如图4 1 ，从 匿中可以甓曼看出燕态拟合是不好的，用稳定分布拟合的较好，运用第三章中提 供的方法我们得出拟合的稳定分布为s 。，( 1 。8 9 ，织一o 。2 ) 。对于蜃面1 4 5 1 2 8 9 4 个 收益率，如图4 2 ，同样正态分布拟合很不理想，其拟台的稳定分布为 墨3 9 ( 2 2 l ，o ，_ o o ) 。 图4 1 拟台收益率序列互，z l 。5 d 的分布 第4 章变点估计的大样本性质 吃锈唿易易汤r 刍易易彩易易龟岛易龟岛 图4 2 拟合收益率序列z 1 4 5 l ，z 2 8 9 4 的分布 由此我们可以看出对于证券市场突变行为的检测，用传统的方法假设为正态 分布常常是不可取的，因此在这里我们合理地假设为更为广泛的稳定分布，达 到有效地检测到由于政策影响导致收益率普遍提高所具有羊群效应。 4 2 均值变点的估计 考虑均值不变的序列，以，不妨设它们的均值为o 。假设，匕是对 应的有均值变化的序列，定义为： r = 篡 ， 其中七为变点，f = j | ，z 为变点的位置。上述( 4 6 ) 就是均值变点模型。 变点的估计为： 七= a 唱燃 i i ) ，= 七” 其中 州掣】1 口c 去喜置一熹。妻。m 嘶“ 1 6 第4 鬻变点估计的大样本性质 霹前在二阶矩的条件下，瓣独立的样本下，人窬大多研究了均值交点 古诗 的弱相合性，并获得了一些弱收敛速度，这在研究变点估计的渐进分布无疑是有 很大作用豹。然两，在实际情况中我们还震要考虑交点估计的强相会性。进一 步提菇估计的效果。在二阶矩存在下，k o b s 呔鑫勰d 己嘲斑s ( 1 9 9 8 ) 以及f e l l 萨( 2 0 0 l 等均获得了弱相合结果即p 。( 1 珂) ，我们在独立情形下把弱相合改进为强相合。 对予相依序列，蟊前主要研究是关于长程相依与短程相依如挂越z 矧 w ，l i e ( 2 0 甾) 。事实上其怨相关序列密是璧得我稍探讨。比如正耀关p i a ) 序列与受 相关( n a ) 序列，有关这类序列的研究可参考j o a g ( 19 8 3 ) 和苏淳( 19 9 6 ) 。 由于考虑到负相关序列的踅要的用途，我们考虑了负相关序列中的均值变 点。值得说鳃的楚，其它相依情形，在附加适当豹条件下，均可壹本文类织得 出楣阕翁结采。 下面作者将给出主要结果：在= 阶矩存在下，对于独立序列，通过截尾，证 明了估计是强相合的，改进了k o k o s z 妇a n dl e i p u s ( 1 9 9 8 ) 以及f e r g e ( 2 0 0 1 ) 的弱 相会结栗。终必菲独立静情况，我髑考虑了在可靠性琏论、渗透理论毅及多元统 计分析中有着广泛应用的负相关序列，我们采用了另外种截尾方法，也证明 了均值变点估计的强相合性。 定理4 4 蕃( 4 6 ) 中序列互，五。i i d ，五l ，鼍i 。i d ，且互| 置| 2 e ， i = l ，。，嚣，鲻 手争f ，a s 定理4 ，5 若( 4 6 ) 中序列五，置i 。i d ，是n a 的，t ，托_ i i d 是n a 的， 量墨 董 2 e ，i = l ，摆，爱g 爹f + ，a ，s 定理4 4 与定理4 5 的证明见附录。 4 。3 回归函数变点的估计 关于回归函数变点的估计的发展，1 2 节中介绍的很详细。由于作者在这方 面的工作还只是处予刚研究的阶段，在这曼我们主要介绥两个方面的已有成果， 可以说这嚣今磷究成果基本可以反映这方露的研究脉络。 第一个方面的研究成果酋先